Geni¸s Optik Alanlarda Geleneksel Sayıl Yakla¸sım
Sonucunda Olu¸san Bölgesel Hatanın Analizi
Local Error Analysis Arising from the Conventional
Scalar Approximation in Wide Optical Fields
Onur Kulce, Levent Onural
Elektrik-Elektronik Mühendisli˘gi Bölümü, Bilkent Üniversitesi, TR-06800, Bilkent, Ankara, Türkiye kulce@ee.bilkent.edu.tr, onural@ee.bilkent.edu.tr
Özetçe —Bo¸s uzaydaki optik alanların gösterimi için
kul-lanılan sayıl yakla¸sım, vektör elektrik alanın ihmal edilen uzun-lamasına bile¸seni nedeniyle yüksek açılarda hataya sebep ol-maktadır. Geni¸s optik alanlarda sayıl yakla¸sımın neden oldu˘gu bölgesel hata için, kısa uzam Fourier dönü¸sümü (STFT) tabanlı bir uzam-sıklık analiz metodu önerilmi¸stir. Hata miktarı, sayısal olarak, uzunlamasına bile¸senin bölgesel gücünün, tüm elektrik alanın bölgesel gücüne oranı ¸seklinde tanımlanmı¸stır. Optik alanı olu¸sturan ekrana göre paralel ve e˘gik açılardaki düzlemlerdeki hata ayrı ayrı incelenmi¸stir. Ayrıca, sayıl dalga olarak varsayılan ve farklı bölgelerinde farklı sıklık bile¸seni içeren bir sinyal üzerinden yapılan benzetimde, hata miktarının yüksek sıklıklı bile¸senler içeren bölgelerde yüksek oldu˘gu görülmü¸stür. Öneri-len yöntem, olu¸sturulacak geni¸s optik alan için sayıl yakla¸sım kullanılmak isteniyorsa, farklı bölgelerde ortaya çıkan bölgesel hata miktarını bulmak için kullanılabilir.
Anahtar Kelimeler—Optik alanlar, optik dalga yayılımı Abstract—The scalar approximation which is used to represent
the optical fields in free space causes large error in large angles due to the neglected longitudinal component of the vector electric field. A short space Fourier transform (STFT) based space-frequency analysis method is proposed to analyze the local error in wide extent optical fields. The error measure is quantitatively defined as the ratio of the local power of the longitudinal component to the local power of the total electric field. The error is analyzed on both parallel and tilted planes with respect to the display that produces the optical field. Moreover, a simulation result for a scalar wave that includes different frequency components at different locations shows that the local error becomes high at the locations where high frequency components exist. The proposed method can be used to analyze the local error, if the the scalar approximation is to be used for the optical field to be generated.
Keywords—Optical fields, optical wave propagation
I. G˙IR˙I ¸S
Üç boyutlu (3B) nesnelerin görüntülenmesini de içeren opti˘gin birçok alanında sayıl (scalar) yakla¸sım kullanılmak-tadır [1], [2]. I¸sık, vektör özelli˘ginde olan bir elektromanyetik dalga olmasına ra˘gmen, sayıl yakla¸sımda, vektör dalganın üç bile¸seninden biri olan uzunlamasına (longitudinal) bile¸sen ih-mal edilmektedir [3]. Bu yakla¸sımla ortaya çıkan hata, düzlem
¸Sekil 1: Geni¸s optik alanlar için örnek bir düzenek. Anla¸sıla-bilirlik açısından düzenek 2B olarak çizilmi¸stir.
dalga bile¸senlerinin ana optik yayılım ekseninden küçük sapma açısıyla yayıldı˘gı durumlarda, uzunlamasına bile¸senin genli˘gi küçük olaca˘gından, ihmal edilebilir [4]. Ancak, holografik 3B televizyon (3DTV) için hedeflenen özelliklerden biri olan geni¸s açılardan izlenilebilmesi [5]–[7] söz konusu oldu˘gunda, uzunlamasına bile¸sen dikkate alınmalıdır.
Sayıl yakla¸sımın kullanılması nedeniyle ortaya çıkan bütünsel (global) hatanın teorik ve kullanılan ekranın piksel geni¸sli˘gine ba˘glı analizi sırasıyla [4] ve [8]’de yapıldı. 3B görüntüleme sistemi, gözlemcilerin (örne˘gin, insan, hayvan, foto˘graf makinesi, kamera vs.) bulundukları konumları dikkate alarak onların bulundukları bölgelerdeki optik alanları esas alan bir düzenekse, sayıl teori farklı gözlemciler için farklı hata miktarına neden olabilir. ¸Sekil 1’de buna örnek iki boyutlu (2B) bir optik düzenek gösterilmektedir. Bu ¸sekilde, ekran z = 0 düzleminde bulunmakta ve uzamda geni¸s optik alanı olu¸stur-maktadır. z = d1, d2 ve e˘gik z = d düzlemlerindeki farklı bölgeler ve herbiri bir gözlemciyi temsil eden elips ¸sekilli semboller düzenek içinde rastgele yerle¸stirilmi¸stir. Dolayısıyla, sayıl yakla¸sımla elde edilen optik alandaki hata miktarı, bütün bu bölgeler için farklı miktarda olacaktır.
Bu bildiride, verilen tek renkli ve uzamda geni¸s optik alanların sayıl yakla¸sım kullanılarak olu¸sturulmasıyla ortaya çıkan bölgesel hataları hesaplamak için bir uzam-sıklık analiz yöntemi önerilmi¸stir. Böylece, her bir bölgedeki farklı uzam-sal sıklıktaki düzlem dalgaların genli˘gi bulunabilecek ve bu-radaki uzunlamasına bile¸senin gücünün, toplam elektrik alanın gücüne oranı, yani hata miktarı hesaplanabilecektir. Uzam-sıklık analizi için Gauss pencereleri kullanılarak kısa uzam Fourier dönü¸süm (STFT) metodu seçilmi¸stir. Bu seçimin
deni, dönü¸sümde kullanılan taban (basis) fonksiyonların, yani kiplenmi¸s (modulated) ve uzamda kaymı¸s (shifted) Gauss fonksiyonlarının, minimum uzam-band geni¸sli˘gi çarpanına sahip olması dolayısıyla uzam-sıklık çözünürlü˘günün yüksek olmasıdır [9]. Ayrıca, baz fonksiyonların uzamsal kaplamı analiz edilmek istenen bölgenin geni¸sli˘gine göre kolay bir ¸sekilde ayarlanabilmektedir.
II. ÖNB˙ILG˙ILER VESEMBOLLER
A. Bo¸s Uzaydaki Elektromanyetik Alanlar ˙Için Bazı ˙Ili¸skiler
3B uzayda elektrik alan vektörü, E (r) =
[Ex(r) Ey(r) Ez(r)]T ∈ C3 ile gösterilmektedir. Burada
r = [x y z]T ∈ R3 üç boyutlu konum vektörünü, E
x(r),
Ey(r) ve Ez(r) de sırasıyla her bir noktadaki x, y ve z
yönlerindeki elektrik alan genli˘gini göstermektedir. E˘gerE (r) sadece yayılan düzlem dalgaları içeriyorsa, 2B ters Fourier dönü¸sümü ile E (r) = 1 4π2 Y EEEˆkejkTrdˆk (1)
biçiminde yazılabilir [1]. Burada, k = [kxkykz]T ∈ R ve
ˆk = [kxky]T uzamsal sıklık vektörünü göstermektedir. Bo¸s
uzayda dalga denkleminin sonucu olarak kz =
k2− |ˆk|2 ili¸skisi bulunmaktadır [1]. Ayrıca, Y alt simgesi, integralin sadece yayılan dalgalar üzerinden alındı˘gını belirtmektedir. Di˘ger bir deyi¸sle, EEE(ˆk)’nin sadece kx ve ky’nin kx2+ ky2 <
k2 e¸sitsizli˘gini sa˘glayan de˘gerleri için sıfırdan farklı oldu˘gu varsayılmaktadır; k tek renkli optik alanın dalga sayısıdır (wave number).EEE(ˆk) =
Ex(ˆk) Ey(ˆk) Ez(ˆk)
T
∈ C3, elektrik alanın Fourier dönü¸sümüdür ve elektrik alan vektörününz = 0 düzlemindeki de˘gerinden EEEˆk= ∞ −∞ E (ˆr, 0) e−jˆkTˆr dxdy (2)
ili¸skisi ile hesaplanabilir. Buradaˆr = [x y]T 2B koordinatları gösteren vektördür. E˘ger ¸Sekil 1 göz önünde bulundurulursa,
E (ˆr, z), z = 0 düzlemine yerle¸stirilmi¸s ekran aracılı˘gıyla
olu¸sturulan elektrik alanı gösterir.
Ayrıca, Gauss yasasının sonucu olarak, 2B Fourier alanında ve |ˆk|2= k2 oldu˘gu durumlarda Ez ˆk= −kx kzEx ˆk−ky kzEy ˆk (3)
ili¸skisiyle,Ez(r), Ex(r) ve Ey(r) kullanılarak hesaplanabilir.
Denklem (3), iki giri¸s tek çıkı¸slı bir süzgeçleme (filtering) operasyonu belirtmektedir [4].
B. Kısa Uzam Fourier Dönü¸sümü
2B s (ˆr) fonksiyonunun kısa uzam Fourier dönü¸sümü (STFT) Sσ,ˆr0 ˆk= ∞ −∞ s (ˆr) gσ(ˆr − ˆr0) e−jˆkTˆrdˆr (4)
¸seklinde tanımlanmı¸stır [9]. Burada, ˆr0 = [x0y0]T analiz edilen bölgenin merkez noktasını gösteren vektördür. Ayrıca,
gσ(ˆr) = 1
2πσ2e
−|ˆr|2
2σ2 (5)
2B Gauss fonksiyonunu belirtmektedir. σ’nın büyük de˘gerleri için Gauss fonksiyonu uzamda daha geni¸s yer kaplamakta ancak içerdi˘gi bölgesel sıklık aralı˘gı daha dar olmaktadır [9]. Ayrıca, σ, ¸Sekil 1’te gösterilen ve analiz edilmek iste-nen bölgelerin geni¸sli˘gini,ˆr0 da bu bölgelerin merkez nok-tasını göstermektedir. Denklem (4), s (ˆr)’nin uzamda kaymı¸s Gauss pencere fonksiyonuyla çarpıldıktan sonraki Fourier dönü¸sümüdür.
C. Sayıl Dalga ve Hata Miktarı
Optik alanda, herhangi bir C ∈ C katsayısı için, elektik alanın enine (transverse) bile¸senlerinde Ey(r) = CEx(r)
ili¸skisi bulunuyorsa, sayıl dalga s (r) =
1 + |C|2Ex(r) (6)
e¸sitli˘giyle tanımlanabilir. Böylece,Ez(r)’nin ihmal
edilebile-cek kadar küçük oldu˘gu durumlarda, elektrik alanın ye˘ginli˘gi (intensity), sayıl alanın ye˘ginli˘gine yakın olur:
|s (r)|2≈ |E (r)|2 .
(7) Ancak Ez(r)’nin büyük oldu˘gu durumlarda, yani geni¸s açılı
optik alanlarda (7)’deki yakla¸sıklık sa˘glanamaz [4]. Böylece, herhangi birz düzleminde sayıl yakla¸sımda ortaya çıkan hata
z= ∞ −∞ |Ez(ˆr, z)| 2 dˆr ∞ −∞ |Ex(ˆr, z)|2+ |Ey(ˆr, z)|2+ |Ez(ˆr, z)|2 dˆr (8)
e¸sitli˘gi kullanılarak, yaniEz(ˆr, z)’nin gücünün, elektrik alanın gücüne oranı ¸seklinde tanımlanabilir.
III. EKRANA GÖREPARALELB˙IRDÜZLEMDEK˙I
BÖLGEN˙INHATAANAL˙IZ˙I
Bu bölümde, z = 0 düzleminde yer alan bir ekranın kendisine paralel herhangi bir düzlemde olu¸sturdu˘gu optik alanın sayıl yakla¸sım sebebiyle olu¸san bölgesel hatalarının formülasyonunu verece˘giz. Böyle bir bölgeye, ¸Sekil 1’de gös-terilen, z = d1 ve d2 düzlemlerinde düz çizgi ve gözlemci sembolüyle belirtilen bölgeler örnek gösterilebilir. Herhangi birz düzleminde, elektrik alanın x, y ve z bile¸senleri Gauss pencere fonksiyonuyla çarpıldıktan sonra
Ei,σ,ˆr0(ˆr, z) = Ei(ˆr, z) gσ(ˆr − ˆr0) ; (9)
i ∈ {x, y, z}, ¸seklinde yazılmaktadır. Verilen bir z, ˆr0 ve σ için, ilgili Ei,σ,ˆr0(ˆr, z), (8)’de yerine koyularak hata miktarı
hesaplanabilir.
Bu hatanın ilgili STFT ile ili¸skisini bulmak için, ilk olarak Ei,σ,ˆr0(ˆr, z)’nin herhangi bir z düzlemindeki 2B Fourier
dönü¸sümü F2B Ei,σ,ˆr0(ˆr, z) = Ei,σ,ˆr0 ˆk, z= 1 4π2 Ei ˆkejz k2−|ˆk|2 ∗ ∗Gσ ˆke−jˆkTˆr0 (10)
¸seklinde bulunur. Burada F2B{·}, ˆr alanından ˆk alanına 2B Fourier dönü¸sümünü ve ∗∗ 2B evri¸simi (convolution) göster-mektedir. Ayrıca, Gσ ˆk= F2B gσ(ˆr) = e−σ2| ˆ k|2 2 (11)
olarak bilinmektedir [9]. Denklem (10)’da elde edilen, Ei,σ,ˆr0
ˆk, z, verilen birz düzlemindeki elektrik alanın x, y ve z bile¸senlerinin STFT’leridir veEz(ˆk), E{x,y}(ˆk)’den (3)
kullanılarak bulunabilir.
Sonuç olarak, STFT ve Parseval teoremi
kullanılarak, (8)’den z,σ,ˆr0= ∞ −∞ Ez,σ,ˆr0 ˆ k, z2dˆk ∞ −∞ Ex,σ,ˆr0 ˆ k, z2+Ey,σ,ˆr0 ˆ k, z2+Ez,σ,ˆr0 ˆ k, z2 dˆk (12) elde edilir. Dolayısıyla, Ei(ˆr, z)’nin spektrogramları ve (12)
kullanılarak, sayıl yakla¸sım sebebiyle ortaya çıkan hatanın optik alanın farklı bölgelerindeki da˘gılımları bulunabilir.
IV. EKRANA GÖREEG˙IML˙I˘ B˙IRDÜZLEMDEK˙IBÖLGEN˙IN
HATAANAL˙IZ˙I
Bu bölümde, analiz edilmek istenen bölgenin ekrana göre e˘gik bir düzlemde yer aldı˘gı durumu inceleyece˘giz. Ekrana göre e˘gik bir düzlemin koordinatları, 3B uzayın döndürüldük-ten sonra bir z düzleminde kesitinin alınmasıyla bulunur. Böyle bir düzlemdeki bölgelere örnek olarak ¸Sekil 1’dez= d e˘gik düzleminde bulunan düz çizgi ve gözlemcinin bulundu˘gu bölgeler gösterilebilir. Öncelikle, koordinat döndürmesini
Rr = r= [x yz]T (13)
¸seklinde gösteriyoruz. Burada, R e˘gik düzlem için uygun olarak seçilmi¸s 3 × 3 koordinat döndürme matrisini gös-terir [10]. R’nin (i, j) konumundaki elemanı rij’dir. Denk-lem (1)’deki e¸sitlik, döndürülmü¸s koordinatlarda
E(r) = 1 4π2 Y EEEˆkejkTrr13kx+ r23ky+ r33kz kz dˆk (14) olur [11]. Burada, Rk = k = kx kykzT, ˆk = kxkyT, E(r) = ERTr= E x(r) Ey (r) Ez(r) T ,EEE(ˆk) = EEE( ˆRTk) = E x(k) Ey (k) Ez(k) T olmakta ve ˆR, 3 × 2 boyutunda R’nin bir alt matrisi olup, (i, j) konumundaki elemanırij’dir. Burada, elektrik alanınx, y ve z bile¸senlerinin sadece döndürülmü¸s koordinatlarda ayrı ayrı gösterildi˘gine ve bile¸senlerin kendi aralarındaki dönü¸sümleri kullanılarak, döndürülmü¸s koordinatlarda yeni bir elektrik alan vektörü tanımlanmadı˘gına lütfen dikkat ediniz.
Özet olarak, verilen Ex(ˆk) ve Ey(ˆk)’den hareketle,
döndürülmü¸s koordinatlardaki Fourier dönü¸sümü,EEE(ˆk), bu-lunup, sonrasında da (14) kullanılarak döndürülmü¸s koor-dinatlardaki herhangi bir z düzlemindeki elektrik alan bu-lunabilir. Bu düzlem üzerindeki herhangi bir bölgedeki hata miktarının bulunması da, Bölüm III’te anlatılan yöntemdeki parametrelerin döndürülmü¸s koordinatlardaki parametrelerle de˘gi¸stirildikten sonra aynı yöntemin kullanılmasıyla mümkün olmaktadır.
V. AYRIKALANDAKIHESAPLAMALAR VEÖRNEK
BENZET˙IMLER
Bu bölümde, bir düzlem üzerindeki bölgesel hataların ayrık alandaki hesaplama yöntemini ve yayılan optik dalgalar için örnek bir benzetim (simulation) sonucunu verece˘giz. Elektrik alanın z bile¸senenin örneklenmesi (sampling) ve ayrık alan-daki hesabı için [4]’te verilen yöntem kullanılmı¸stır. Ayrıca, ayrık alanda e˘gik düzlemlerdeki sayıl dalga, [12]’deki yöntem kullanılarak hesaplanabilir. Buradaki benzetim, anla¸sılabilirlik açısından 2B uzayda yapılmı¸stır. Yani, sadece x, z eksenleri ve elektrik alanın x, z bile¸senlerinin oldu˘gu varsayılmı¸stır. Ancak hesaplamalar 3B uzaya do˘grudan geni¸sletilebilmektedir. Ayrıca, buradan itibaren benzetimler herhangi bir z veya e˘gikz düzleminde yapılabilece˘gi için, elektrik alan bile¸senini tanımlarken düzlemi belirten bir parametre kullanmayaca˘gız.
Piksel pozisyonlarınx ∈ [0, N − 1] tamsayısı ile
gösteril-mekte olup, N , toplam piksel sayısıdır. Burada, N = 2048 olarak seçilmi¸stir. Bütün uzamsal sıklık bile¸senlerini içerdi˘gi için birçok alanda test sinyali olarak kullanılan ve bizim de sayıl dalga olarak kabul edece˘gimiz ayrık alandakix bile¸seni
ˆ
Ex[nx] = ejNπn2x (15)
olarak, ayrık Gauss pencere fonksiyonu da, σ = 32 için,ˆ
ˆgσˆ[nx− n0] = e−
(nx−n0)2
2ˆσ2 (16)
olarak seçilmi¸stir. Ayrık Gauss fonksiyonundaki kayma mik-tarını ve analiz edilen bölgenin merkezini belirten n0, [0, N − 1] aralı˘gında yer almaktadır. Burada bir önemi ol-madı˘gı için Gauss fonksiyonunun katsayısı 1 olarak alınmı¸stır. Seçilen sayıl dalganın, yanix bile¸seninin gerçek kısmı, ortaya çıkanz bile¸seninin mutlak de˘geri ve n0’ın 1024 oldu˘gu de˘ger için, seçilen ayrık Gauss fonksiyonu ¸Sekil 2’de gösterilmekte-dir.
Ayrık alanda, x ve z bile¸senlerinin spektrogramları ˆ Ei,ˆσ,n0[p] = D2B ˆ Ei[nx] ˆgσˆ[nx− n0] (17) e¸sitli˘giyle hesaplanabilir. Burada D2B
· 2B ayrık Fourier dönü¸sümünü (DFT) ifade etmekte olup p∈ [0, N − 1] ayrık sıklı˘gı gösteren bir tam sayıdır.p kullanılarak normalize sıklık 2πp/N rad/örnek olarak bulunabilir. Ayrık alandaki n0 ile belirtilen bölgedeki hata miktarı da
ˆ = N−1 p=0 ˆEz,ˆσ,n0[p] 2 N−1 p=0 ˆEx,ˆσ,n0[p] 2 + ˆEz,ˆσ,n0[p] 2 (18) biçiminde hesaplanmı¸stır.
Bu parametreler kullanılarak yapılan ayrık alandaki ben-zetim sonuçları ¸Sekil 3’te gösterilmektedir. ¸Sekil 3b’de görüldü˘gü üzere, z bile¸seninin n0 = 0 ve n0 = 2047 noktalarına yakın bölgelerinin dı¸sında genelde iki adet sık-lık bile¸seni bulunmaktadır. ¸Sekil 3a’da görülebilece˘gi üzere, bunların dü¸sük sıklık de˘gerine sahip olanı, sayıl dalga olarak kabul etti˘gimizx bile¸seninde de aynı bölgelerde baskın olarak bulunmaktadır. Yüksek sıklık bile¸seni ise,x bile¸seninde baskın
olarak bulunmasa bile, (3)’te verilen süzgeçleme formülün-deki kx/kz çarpanı nedeniyle, genli˘ginin bu bölgelerde
yük-sek miktarda artması sonucunda olu¸smaktadır [4]. Ayrıca, z bile¸senininn0= 0 ve n0= 2047 noktalarına yakın bölgelerde bir sıklık bile¸seninin bulunmaması da yine aynı ¸sekilde (3)’e göre dü¸sük sıklıklarda süzgeçlerin geçirgenliklerinin çok az olmasından kaynaklanmaktadır. ¸Sekil 3c’de de, hata miktarının farklı bölgelere göre yüzde olarak miktarı görülmektedir. Bizim seçti˘gimiz parametrelere göre, sayıl yakla¸sım sadece n0 = 0 ve n0 = 2047 kom¸suluklarında sıfıra yakın hataya sebep olmakta, bunların dı¸sında hata miktarı yükselmekte ve hatta yüksek sıklı˘gın oldu˘gu bölgelerde %100’e yakla¸smak-tadır; bu da kullanılan test sinyali için beklenen bir sonuçtur.
VI. SONUÇ
Bu bildiride, geni¸s alanlarda sayıl yakla¸sımın sonucunda ortaya çıkan bölgesel hatanın analizi için, ekrana göre paralel ve e˘gik düzlemlerde kullanılabilecek bir uzam-sıklık analiz yöntemi önerilmi¸stir. Ayrıca, tüm sıklık bile¸senlerini içeren bir test sinyali üzerinde de yöntemin geçerli oldu˘gu gösterilmi¸stir. Dolayısıyla, olu¸sturulacak geni¸s optik alan için sayıl yakla¸sım kullanılmak isteniyorsa, farklı bölgelerde ortaya çıkan hata miktarını bulmak için bu yöntem kullanılabilir.
B˙ILG˙ILEND˙IRME
Onur Kulce, TÜB˙ITAK tarafından doktora bursu ile destek-lenmektedir.
KAYNAKÇA
[1] J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, 2nd ed. McGraw-Hill, 1996.
[2] L. Onural, A. Gotchev, H. M. Ozaktas, and E. Stoykova, “A survey of signal processing problems and tools in holographic three-dimensional television,” IEEE Transactions on Circuits and Systems for Video
Technology, vol. 17, no. 11, pp. 1631–1646, Nov 2007.
[3] M. Born and E. Wolf, Principles of Optics: Electromagnetic Theory of
Propagation, Interference and Diffraction of Light, 7th ed. Cambridge
University Press, 1999.
[4] O. Kulce, L. Onural, and H. M. Ozaktas, “Evaluation of the validity of the scalar approximation in optical wave propagation using a systems approach and an accurate digital electromagnetic model,” Journal of
Modern Optics, vol. 63, no. 21, pp. 2382–2391, July 2016.
[5] B. Javidi and F. Okano, Three-Dimensional Television, Video, and
Display Technologies. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2002. [6] H. Ozaktas and L. Onural, Three-Dimensional Television: Capture,
Transmission, Display. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008. [7] J. Geng, “Three-dimensional display technologies,” Advances in Optics
and Photonics, vol. 5, no. 4, pp. 456–535, Dec 2013.
[8] O. Kulce and L. Onural, “Analysis of the longitudinal component of the electric field generated by flat and pixelated liquid crystal displays,” in
2016 3DTV-Conference: The True Vision - Capture, Transmission and Display of 3D Video (3DTV-CON), Hamburg, Germany, July 2016, pp.
1–4.
[9] A. D. Poularikas, Transforms and Applications Handbook, 3rd ed. CRC Press, 2010.
[10] H. Goldstein, Classical mechanics. Reading (Mass.), Menlo Park (Calif.), Amsterdam: Addison-Wesley, 1980.
[11] T. Tommasi and B. Bianco, “Frequency analysis of light diffraction between rotated planes,” Optics Letters, vol. 17, no. 8, pp. 556–558, Apr 1992.
[12] G. B. Esmer and L. Onural, “Simulation of scalar optical diffraction be-tween arbitrarily oriented planes,” in First International Symposium on
Control, Communications and Signal Processing, Hammamet, Tunisia,
March 2004, pp. 225–228.
(a) Denklem (15)’in sonucu olan sayıl dalganın gerçek kısmı.
(b) Denklem (15)’in sonucu olan sayıl dalga nedeniyle ortaya çıkan
z bile¸seninin mutlak de˘geri.
(c) Denklem (16)’nın sonucu olan ayrık Gauss fonksiyonunun n0 =
1024 için grafi˘gi.
¸Sekil 2: Benzetimde kullanılan örnek sinyaller.
(a) Denklem (17) ile hesap-lanan x bile¸seneninin spek-trogramı.
(b) Denklem (17) ile hesap-lanan z bile¸seneninin spek-trogramı.
(c) Denklem (18) ile hesaplanan bölgesel hata miktarı
