Belirli integral kavramını kullanarak bazı problemlerin çözümü kolayca yapılabilir. Örneğin; iki eğriyle sınırlı bölgelerin alanlarını, eğrilerle sınırlı bölgelerin bir eksen etrafında döndürüldüğünde oluşan cisimlerin hacimlerinin veya yüzeylerinin hesabı, bir eğrinin bir aralıktaki yay uzunluğunun hesabı, hız veya ivme denklemleri verilen hareketli cisimlerinin yol denklemleri, bazı cisimlerin ağırlık merkezi veya kütle merkezi vb. Şimdi bu uygulamalardan alan ve hacim hesaplarını inceleyelim.
Teorem: f :[a,b] ok R , f (x) fonksiyonu pozitif ve integrallenebilen bir fonksiyon
olsun. y = f (x) eğrisi, x = a , y = 0 doğruları tarafından sınırlanan bölgenin alanı,
S = tir.
Eğrilerle sınırlı düzlemsel bölgelerin alan hesabını yaparken, aşağıdaki teoremleri kullanacağız.
ba
dx
x
İspat: [a , b] nın bir bölüntüsü P = { a =}olsun. k {1 , 2 , ... , n} ve [ ] olmak üzere, R (f , P ) = Riemann toplamını düşünelim.
x y S = lim R( f , P ) II P II 0 = lim (f (r1) . X1 + ... + f (rn) . Xn ) II P II 0 = lim f (rk) . Xk II P II 0
Bölüntünün II P II normu, sıfıra yakınsarken taralı dikdörtgenlerin alanları eğri altında kalan alana yaklaşır. Belirli integral tanımından bu alan, [a , b] kapalı aralığında f fonksiyonunun belirli integral değerine eşit olur.
n k 1
1. Sonuç : f : [a , b] R , y = f (x) fonksiyonu
[a , b ] aralığında negatif değerler alıyorsa, P bölüntüsünün
[xk-1 , xk-2] alt aralıklarındaki f (rk) değerleri negatif olduğun
dan, bu aralıktaki dikdörtgenlerin alanı - (f (rk) . xk dır.
Buna göre [a , b] aralığında y = f(x) eğrisi ile x ekseni arasında kalan alan;
S = lim ( -f (rk) . Xk ) = - II P II 0 y x f (x) a b
n k 1
b adx
x
f
(
).
2. Sonuç : f : [a , b] R , y = f (x) fonksiyonu, aralığın bir parçasında negatif
değerli, bir parçasında pozitif değerli ise, her iki parçadaki ayrı ayrı toplanır. Bunu
aşağıdaki şekille daha iyi görebiliriz.
S1 =
S2 =
S3 =
O halde, f (x) eğrisi ve x ekseniyle sınırlı alanlar toplamı;
S = S1 + S2 + S3 =
O halde, aranan S alanı için; S = x y S1 S2 S3 a b c d
b adx
x
f
(
).
c bdx
x
f
(
).
d cdx
x
f
(
).
d adx
I
x
If
(
)
.
d adx
I
x
If
(
)
.
Örnek : f (x) = eğrisi ve x ekseniyle sınırlı aşağıda belirtilen aralıklardaki alanları hesaplayalım.
a. [1 , 2]
Çözüm : F (x) in verilen aralıkta pozitif veya negatif değerlikli olup olmadığını araştıralım:
Bunun için, f (x) işaretini incelemeliyiz. F (x) = 0 3x2 - 3 = 0
Buna göre; f (x) 0 olduğundan, bu aralıktaki eğri altında kalan alan; S =
4
)
3
3
(
)
(
2 1 2 1
f
x
dx
x2dx
3. Sonuç : f : [a , b] R , g : [a , b] R integrallenebilen iki fonksiyon olsun.
f (x) ve g (x) fonksiyonlarının her ikisi [a , b] aralığında pozitif, her ikisi de negatif veya biri negatif, diğeri pozitif değerler alabilir. Şekillerde gösterilen üç durumda da iki eğri arasında kalak alanı bulmak için aşağıdaki yol izlenir:
S1 = , S2 = olsun. Bu durumda alan, iki eğri arasında kalan
alan S = S1 - S2 = a b f (x) g(x) f(x) g(x) f(x) g(x)
b adx
x
f ).
(
b adx
x
g ).
(
b adx
x
g
x
f
(
)
(
)).
(
4. Sonuç : eğer iki eğri arasında kapalı bir alan söz konu su ise, önce ortak çözümle eğrilerin kesim noktaları hesap lanır, sonra ardışık kesim noktaları arasındaki alanlar teker teker hesaplanarak toplanır. Örneğin; f (x) ve g (x) in grafikleri yandaki gibi ise, f (x) = g (x) denkleminin çözüm kümesi, { x1, x2, x3 } olsun. [ x1, x2 ] nda f (x) > g (x), [ x2, x3] nda g (x) > f (x) olduğundan; S = S1 + S2 = y x f (x) g (x) x1 x2 x3
2
1 3 2)).
(
)
(
(
)).
(
)
(
(
X X X Xdx
x
f
x
g
dx
x
g
x
f
5. Sonuç : x = g (y) fonksiyonu [c, d] aralığında
negatif değerler alan integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Bu durumda; x = g (y) eğrisi , y = c
y = d ve x = 0 doğruları ile sınırlı bölgenin alanı;
S = x = g (y) d c
d cdy
y
g
(
).
6. Sonuç : Eğer x = g (y) fonksiyonu [c ,d]
aralığında hem negatif hem de pozitif değerler alıyorsa, x = g (y) eğrisi, y = c , y = d ve
x = 0 doğruları ile sınırlı bölgenin alanı,
S = S1 + S2 = S2 S1 x = g (y)
d cdy
y
g
(
).
7. Sonuç : x = g (y) , x = f (y) eğrileri arasında
kalan y = c , y = d doğruları ile sınırlı alanın;
S = d ... c ... x = g (y) x = f (y)
