On Hermite-Hadamard type integral inequalities for preinvex and log-preinvex functions

T.C.

DÜZCE ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI

PREINVEX VE LOG-PREINVEX FONKSĐYONLAR ĐÇĐN

HERMITE-HADAMARD TĐPLĐ ĐNTEGRAL EŞĐTSĐZLĐKLERĐ

ÜZERĐNE

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ

NECMETTĐN ALP

KABUL VE ONAY BELGESĐ

Necmettin ALP tarafından hazırlanan Preinvex ve Log-Preinvex Fonksiyonlar Đçin Hermite-Hadamard Tipli Đntegral Eşitsizlikleri üzerine isimli Lisansüstü tez çalışması, Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu’nun 03/06/2013 tarih ve 2013/467 sayılı kararı ile oluşturulan jüri tarafından Matematik Ana Bilim Dalı’nda Yüksek Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.

Üye (Tez Danışmanı)

Doç. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA Düzce Üniversitesi

Üye

Prof. Dr. Đsmet YILDIZ Düzce Üniversitesi

Üye

Yrd. Doç. Dr. Mahmut AKYĐĞĐT Sakarya Üniversitesi

Tezin Savunulduğu Tarih : 13/06/2013

ONAY

Bu tez ile Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Necmettin ALP’ın Matematik Anabilim Dalı’nda Yüksek Lisans derecesini almasını onamıştır.

Prof. Dr. Haldun MÜDERRĐSOĞLU Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

BEYAN

Bu tez çalışmasının kendi çalışmam olduğunu, tezin planlanmasından yazımına kadar bütün aşamalarda etik dışı davranışımın olmadığını, bu tezdeki bütün bilgileri akademik ve etik kurallar içinde elde ettiğimi, bu tez çalışmasıyla elde edilmeyen bütün bilgi ve yorumlara kaynak gösterdiğimi ve bu kaynakları da kaynaklar listesine aldığımı, yine bu tezin çalışılması ve yazımı sırasında patent ve telif haklarını ihlal edici bir davranışımın olmadığını beyan ederim.

13 Haziran 2013

TEŞEKKÜR

Yüksek lisans öğrenimim ve bu tezin hazırlanmasında süresince gösterdiği her türlü destek ve yardımdan dolayı çok değerli hocam Doç. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA'ya en içten dileklerimle teşekkür ederim.

Bu çalışma boyunca dualarını ve desteklerini esirgemeyen sevgili aileme ve çalışma arkadaşlarıma sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Đ

ÇĐNDEKĐLER

Sayfa

TEŞEKKÜR SAYFASI ………..………..…….…..i

Đ

ÇĐNDEKĐLER ……….…….….ii

SĐMGELER VE KISALTMALAR LĐSTESĐ ………..…iv

ÖZET ………...……...1

ABSTRACT ……….……...2

EXTENDED ABSTRACT ……...……….……….…………...3

1. GĐRĐŞ ……….………..…....4

2. KURAMSAL KAVRAMLAR..………..……..………..8

2.1. GENEL KAVRAMLAR………...8

3. MATERYAL VE YÖNTEM. ………...………...13

3.1. KONVEX FONKSĐYON ÖZELLĐKLERĐ, LOG-KONVEX VE QUASI-KONVEX FONKĐSYONLAR………...………... 13

3.2. PREINVEX FONKSĐYONLARIN ÖZELLĐKLERĐ………....16

3.3 LOG-PREINVEX VE QUASI-PREINVEX FONKSĐYONLAR ……….…...25

3.4. STONGLY α-PREINVEX FONKSĐYONLAR………..…………....30

4. BULGULAR VE TARTIŞMA………..…..…….….48

4.1. PREINVEX FONKSĐYONLAR ĐÇĐN HERMITE-HADAMARD TĐPLĐ EŞĐTSĐZLĐKLER...…….….48

4.2. LOG-PREINVEX FONKSĐYONLAR ĐÇĐN HERMITE-HADAMARD

TĐPLĐ EŞĐTSĐZLĐKLER...……….……….……53

4.3. ÇOK DEĞĐŞKENLĐ FONKSĐYONLARA GENĐŞLETME………..56

5. SONUÇLAR VE ÖNERĐLER……….……….……...60

6. KAYNAKLAR……….………...………..…………..…....61

7. EKLER………...64

SĐMGELER VE KISALTMALAR

R Reel Sayılar Kümesi

n

R n boyutlu Öklit Uzayı

I R nin içinde bir aralık

o

I I nin içi

f′ f in birinci türevi

f ′′ f in ikinci türevi

f f in mutlak değeri L.O= (.,.)L Logaritmik Ortalama AO= (.,.)A Aritmetik Ortalama GO= (.,.)G Geometrik Ortalama

. . H

ÖZET

PREINVEX VE LOG-PREINVEX FONKSĐYONLAR ĐÇĐN HERMITE-HADAMARD TĐPLĐ ĐNTEGRAL EŞĐTSĐZLĐKLERĐ ÜZERĐNE

Necmettin ALP Düzce Üniversitesi

Fen Bilimler Enstitüsü, Matematik Ana Bilim Dalı Yüksek Lisans Tezi

Danşman: Doç. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA Haziran 2013, 74 sayfa

Konvexlik kavramı ve genelleştirilmiş konvexlik kavramları matematiksel programlamada, mühendislikte, denge problemlerinde, varyasyonel problemlerde ve özellikle optimizasyon teorisinde çok önemli bir yer tutmaktadır. Konvexlik, invexlik ve preinvexlik için tanımlanan Hermite-Hadamard eşitsizliği matematiksel analiz, optimizasyon ve bir çok integral eşitsizliği için önemli bir köşetaşı haline gelmiştir. Son zamanlarda Hermite-Hadamard tipli eşitsizliklerin sağ tarafıyla ilgili bazı çalışmalar yapılmıştır. Bu tezde türevlerinin mutlak değerleri preinvex ve log-preinvex olan fonksiyonlar için Hermite-Hadamart tipli eşitsizliklerin sol tarafıyla ilgili bazı sonuçlar elde edilmiş ve bu sonuçlar çok değişkenli fonksiyonlar için genelleştirilmiştir.

Anahtar sözcükler : Hermite-Hadamard eşitsizliği, konvexlik, invexlik, preinvex fonksiyonlar, log-preinvex fonksiyonlar

ABSTRACT

ON HERMITE-HADAMARD TYPE INTEGRAL INEQUALITIES FOR PREINVEX AND LOG-PREINVEX FUNCTIONS

Necmettin ALP Düzce University

Graduate School of Natural and Applied Science, Department of Mathematics Master of Science Thesis

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. M.Zeki SARIKAYA June 2013, 74 pages

Convexity and the generalization of convexity are one of the most important aspects in mathematical programming, optimization theory, equilibrum problems and variational problems. Hermite-Hadamard type inequality has become an important cornerstone in mathematical analysis and optimization and many other inequalities for convexity, invexity and preinvexity. Recently, it has been establihed some results of the right hand side of a Hermite-Hadamard type inequality. In this thesis, Some results of the left hand side of a Hermite- Hadamard type inequality were obtained for nonconvex functions whose derivatives absolute values are preinvex and log-preinvex, and those ressults were extened to several variables functions.

Keywords : Convexity, invexity, Hermite-Hadamard inequality, preinvex functions, log-preinvex functions.

EXTENDED ABSTRACT

ON HERMITE-HADAMARD TYPE INTEGRAL INEQUALITIES FOR PREINVEX AND LOG-PREINVEX FUNCTIONS

Necmettin ALP Düzce Üniversity

Graduate School of Natural and Applied Science, Department of Mathematics Master of Science Thesis

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. M.Zeki SARIKAYA June 2013, 74 pages

Convexity and the generalization of convexity are one of the most important aspects in mathematical programming, optimization theory, equilibrum problems and variational problems. Hermite-Hadamard type inequality has become an important cornerstone in mathematical analysis and optimization and many other inequalities for convexity, invexity and preinvexity. Recently, it has been establihed some results of the right hand side of a Hermite-Hadamard type inequality. In this thesis, first of all we gave the history of convexty and Hermite-Hadamard type inequality with definitions and the basic theorems which are necessary in this work. Then we mentioned properties of convex functions, preinvex functions, quasi functions and log-preinvex functions. At the same time we mentioned strongly α-preinvex functions and gave relations among (pseudo, quasi) α -preinvexity, (strict, strong, pseudo, quasi) α-invexity and (strict, strong, pseudo, quasi)

αη -monotonicity. We obtained some results of the left hand side of a Hermite- Hadamard type inequality for nonconvex functions whose derivatives absolute values are preinvex and log-preinvex by giving solution methods related to these inequalities. Finally we extened results of the left hand side of a Hermite- Hadamard type inequality to several variables functions.

1. GĐRĐŞ

20. yüzyılın ortalarında matematiğin önemli bir alanı olarak görülülen konvex fonksiyonların ilk olarak 19. yüzyılın sonlarında düzenli olarak araştırılmaya başlanmıştır. Konvex kümeler ve konvex fonksiyonlar matematik dünyasında matematik ve geometri konuları arasında artık önemli bir yer teşkil etmektedir. Konvexlik, geometri, analiz, lineer cebir ve topolojide kullanılmakla beraber sayı teorisi, klasik ekstremum problemleri, lineer programlama, oyun teorisi ve eşitsizlikler teorisi (lineer, klasik ve matris) gibi çeşitli konularda önemli rol oynar. Son yüzyılda gelişen disiplini ve artan uygulamalarıyla matematiksel analizin merkezi alanlarından biri olarak yerini almıştır, [Dragomir 2000]. Konvex terimine ilk olarak, 1881 de Ch. Hermite (1822-1901) in Mathesis 3(1883, s.82) dergisine gönderdiği mektupta rastlanmıştır. Mektupta, Sur deux limites d'une intégrale définie. Soit f(x) une fonction qui varie toujours dans le même sens de x=a, á x=b . On aura les relations

(

)

( )

(

) ( ) ( )

2 2 b f a f a b dx x f b a f a b b a + − < <       + −

_∫

ou bien

(

)

( )

(

) ( ) ( )

2 2 b f a f a b dx x f b a f a b b a + − > >       + −

_∫

suivant que la courbe y= f(x) tourne sa convexit´e ou sa concavit´e vers l'axe esabcisses. En faisant dans ces formules f(x)=1/(1+x),a=0,b=x il vient

(

)

₍

₎

, 1 2 1 log 2 2 2 x x x x x x x + − < + < + −

yazılıydı ama maalesef Hermite'in temel çalışmaları sık sık onun orjinal yazar kimliği verilmeden belirtilmiştir. Bu bağlamda temel matematikte ilgi çeken/çekmekte olan Hermite-Hadamard eşitsizliğinin geometrik yorumu ve çoğu uygulamasıyla konvex fonksiyonun ilk temel sonucu olduğu söyleyenebilir. Çoğu matematikçi farklı konvex

fonksiyon sınıflar (quasi-convex fonksiyonlar, fonksiyonların Godunova-Levin sınıfı, log-convex ve r-log-convex fonksiyonlar, p-log-convex fonksiyonlar, vb.) ve özel ortalamalar (p-logarithmic ortalamalar, identric ortalama, Stolarsky ortalamalar, vb.) için onu uygulamaya, genişletmeye, sadeleştirmeye ve genelleştirmeye çalışmaktadır, [Dragomir 2000].

O. Hölder (1889), eğer f ′′

( )

x >0 ise daha sonraları Jensen eşitsizliği olarak bilinen eşitsizliği f in sağladığını ispatladı. O. Stolz (1893), eğer ,f

[ ]

a,b de sürekliyse ve

( ) ( )

[

f x f y

]

y x f ≤ +      ₊ 2 1 2

eşitsizliğini sağlıyorsa, bu takdirde

( )

a,b nin her noktasında sağ ve sol türevlere sahip olduğunu gösterdi. J. Hadamard(1893),

[ ]

a,b de artan türevlere sahip olan fonksiyonlar için temel integral eşitsizlikleri oluşturdu. 20. yüzyılda ilk kez J. L. W. V. Jensen (1905,1906) konvex fonksiyonların sistematik araştırmasının öneminin farkına vardı. Jensen yukarıdaki eşitsizliği kullanarak konvexliği tanımladı ve f in sürekliliğini dolaylı olarak gösteren ve yukarıdaki eşitsizliği de içine alan uzun seriler üretti. AO-GO eşitsizliği, Young eşitsizliği, Hölder eşitsizliği ve Minkowski eşitsizliği gibi önemli eşitsizliklerin çoğu konvex fonksiyonlar için Jensen eşitsizliğinin sonuçlarıdır, [Dragomir 2000].

Hardy, Littlewood ve Polya tarafından 1934 yılında yazılan "Inequalities" adlı eser eşitsizlikler teorisi için temel başvuru kaynağıdır. Okuyucu bu eserde konvex fonksiyonlarla ilgili klasik ve yeni eşitsizlikleri, problemleri, ispat yöntemlerini ve sonuçlar bulabilir. Buna ek olarak Beckenbach ve Bellman'n 1965 de yazdığı "Inequalities" adlı eser ve Mitrinovic'in 1970 de yazdığı "Analytic Inequalities" adlı eser de söylenebilir, [Dragomir 2000].

M. A. Hanson, 1981 yılında konvex fonksiyonların önemli bir genellemesi olarak invex fonksiyonları tanıtmıştır. M. A. Hanson'un bu ilk çalışması sonradan lineer olmayan optimizasyon ve diğer salt ve uygulamalı bilimlerin alt dallarında invexliğin uygulamaları ve rolünün genişletilmesi çalışmalarına büyük bir ilham kaynağı olmuştur, [Hanson 1981]. Daha sonra konvex fonksiyonlar daha kapsamlı bir şekilde A. W. Roberts ve D. E. Varberg tarafından "Convex Functions" adlı eserde kaleme alındı, [Roberts 1973].

Ayrıca okuyucu çeşitli konvex fonksiyon sınıfları için, Hermite-Hadamard eşitsizliğinin detaylı anlatımını S.S. Dragomir ve C.E.M Pearce tarafından "Selected Topics on Hermite -Hadamard Inequalities and Applications" adlı eserde bulabilir.

T. Weir ve B. Mond 1988 yılında yayımladıkları "Preinvex functions in multiobjective optimization" adlı eserde [Weir 1988] ve M. Aslam Noor'un yayımladığı "Variational-like inequalities" [Noor 1994] ile "Invex equalibrium problems" [Noor 2005] adlı eserlerde denge problemlerinde, varyasyonel eşitsizliklerde ve optimizasyonda preinvex fonksiyonların temel özelliklerini ve rollerini incelemişlerdir.

Yine M. A. Noor ve K. L. Noor'un 2006 yılında yayımladıkları "Some characterizations of strongly preinvex functions" [Noor 2006] adlı eserde konvexliği ve monotonluğu daha da genelleştirerek α-preinvexliği, α -invexliği ve αη -monotonluğu tanıtmışlardır. Bundan esinlenerek Liya Fan ve Yunlian Gua "On strongly α-preinvex functions" [Fan 2007] adlı eserde (pseudo, quasi) α -preinvexite, (strict, strong, pseudo, quasi) α-invexite ve (strict, strong, pseudo, quasi) αη -monotonluk arasındaki ilişkiyi incelemişlerdir.

Tüm bunlarla birlikte preinvexliğin daha özel durumu saylabilecek log-preinvexlik tanımlanmıştır. M. Aslam Noor bu preinvex ve log-preinvex fonksiyonlar için Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler kurmuştur [Noor 2007]. Benzer biçimde konvex fonksiyonlarn daha özel durmu olan log-konvexlik de tanımlanmıştır. Konvex fonksiyonların daha genel bir durumu olan h -konvex fonksiyonlar için M. Z. Sarikaya "On some Hadamard-type

inequalities for h-convex functions" [Sarikaya 2008] adlı eserde Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikleri tanıtmıştır.

Konvexlik matematik programlamada, mühendislikte ve optimizasyon teorisinde önemli bir role sahiptir. Konvexliğin genellemesi matematiksel programlama ve optimizasyon teorisinin en önemli unsurlarndan biridir. Literatürde konvexlik varsayımlarını zayıflatmak için birçok girişim olmuştur. Pini, invex fonksiyonların bir genellemesi olarak quasi-preinvex fonksiyon kavramını tanıtmıştır [Pini 1991]. Noor quasi-preinvex ve log-quasi-preinvex fonksiyonlar için baz Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler kurmuştur.Yeni makalelerde Barani, Ghazanfari ve Dragomir, bazı preinvex fonksiyonlar içeren bir Hermite-Hadamard

Bu çalışmada preinvex ve log-preinvex fonksiyonlar için Hermite-Hadamard eşitsizliğinin sol tarafıyla ilgili bazı teoremler ve sonuçlar elde edilmiştir. Elde edilen bu teorem ve sonuçlar da çok değişkenli fonksiyonlar için genişletilmiştir, [Sarikaya-Alp 2012].

2. KURAMSAL KAVRAMLAR

2.1. GENEL KAVRAMLAR

Bu bölümde tezimiz için gerekli olan tanım ve teoremler verilerek gerekli görülen bazı önemli teoremlerin ispatları da verilmiştir.

Tanım 2.1.1. (Özel Ortalamalar) α,β reel sayılar ve α ≠β olmak üzere,

{ }

{ }

LogaritmikOrtalama L Ortalama Aritmetik A Ortalama Harmonik G 0 / R , ) , ( R , , ) , ( 0 / R , , ) , ( ln ln 2 ∈ = ∈ = ∈ = − − + β α β α β α β α β α αβ β α α ββ α β α Şeklindedir, [Dragomir 2000].

Teorem 2.1.1. (Jensen Eşitsizliği) f fonksiyonu

( )

a,b aralığında konvex ve x_i∈

( )

a,b

olsun. Bu durumda αi >0 ve ∑=1 i =1 n i α ise, ) ( 1 1 i i n i i i n i x f x f

∑

α

∑

α = = ≤       eşitsizliği geçerlidir, [Jensen 1906].

Đspat. Tümevarım yöntemiyle ispatı yapalım. 2

=

i için f konvex olduğundan

) ( ) ( ) (a₁x₁ a₂x₂ a₁f x₁ a₂f x₂ f + ≤ +

olduğu açıktır.. Şimdi i=n için

) ( ... ) ( ) ( ) ... (a₁x₁ a₂x₂ a_nx_n a₁f x₁ a₂f x₂ a_nf x_n f + + + ≤ + + +

doğru olduğunu kabul edelim. Şimdi i=n+1 için doğru olduğunu gösterelim. α_i >0 için

f in konvexliğinden       − − + ≤       − − + ≤      

∑

∑

∑

+ = + = + = i i n i i i n i i i n i x a a f a x f a x a a a x a f x f 1 1 2 ) 1 1 1 1 1 2 ) 1 1 1 1 1 1 ) 1 ( ) ( 1 ) 1 ( α yazabiliriz. 1 1 ₁ 1 2 = − ∑ + = a ai n

) ( 1 1 i i n i i i n i x f x f

∑

α

∑

α = = ≤      

eşitsizliği gerçeklenir. Böylece ispat tamamlanmış olur.

Teorem 2.1.2. (AO-GO Eşitsizliği) Eğer her i=1,2,...,n için xi≥0, αi >0 ve

1 1 = ∑n_{= i} i α ise i i n i i n i x xαi

∑

α

∏

= = ≤ 1 1

eşitsizliği geçerlidir, [Lin 2012].

Đspat. En az bir i için xi =0 ise ispat aşikardır. xi >0 durumunda, yi =logxi seçilirse,

      =

∑

∏

= = i i n i i n i y xαi α 1 1 exp

olup f

( )

t =et fonksiyonu R ’de konvex olduğundan Jensen eşitsizliğini uygularsak,

( )

i i n i i i n i i i n i i n i x y f y f x i α α α α

∑

∑

∑

∏

= = = = = ≤       = 1 1 1 1

elde edilip ispat tamamlanmış olur. Özel olarak n=2, 1,

1= p α q 1 2 = α , x1=xp ve q y

x2 = seçilirse Young eşitsizliği olarak bilinen

q p y q x p xy≤ 1 +1

eşitsizliği elde edilir.

Teorem 2.1.3. (Hölder Eşitsizliği) x1,...,xn,y1,...,yn >0, p,q>1 öyleki 1

1 1 + = q p olmak üzere q p q i n i p i n i i i n i y x y x 1 1 1 1 1 . _            ≤

∑

∑

∑

= = =

ifadesine Hölder eşitsizliği denir. Özel olarak p=q=2 seçilirse yukarıdaki eşitsizlik Cauchy-Buniakowsky-Schwartz eşitsizliği elde edilir, [Hardy 1934].

Đspat. Yukardaki eşitsizlikte x ve i y lerden ikisinin de sıfırdan farklı olduğunu i düşünebiliriz. O halde

(

p

)

p i n i x u 1 1 ∑ = = ve

(

iq

)

q n i y v 1 1 ∑

= = her ikiside pozitiftir, Young

eşitsizliğinde x=xi/u ve y=yi/v seçersek, q i p i i i v y q u x p v y u x       +       ≤ ⋅ 1 1

elde edilir. Son eşitsizlik 1≤i≤n için düzenlenip taraf tarafa toplanırsa, 1 1 1 1 ≤ + = ∑₌ q p uv y xi i n i

olur. Bu da Hölder eşitsizliğini verir.

Tanım 2.1.2. (Đntegraller Đçin Hölder Eşitsizliği) p>1 ve 1+1 =1

q

p olsun. f ve g ,

[ ]

a,b aralığında tanımlı reel fonksiyonlar, f p ve gq,

[ ]

a,b aralığında integrallenebilir fonksiyonlar ise

( ) ( )

( )

p

( )

q dx x g dx x f dx x g x f b a q b a p b a 1 1                 ≤

_∫

_∫

∫

eşitsizliği geçerlidir, [Hardy 1934].

Tanım 2.1.3. (Üstten Yarısürekli Fonksiyon) f : K →_R reel değerli bir fonksiyon olmak üzere x₀∈K nın komşuluğunda ∀ x∈K ve ∀ε >0 için

ε + ≤ ( ) ) (x f x0 f veya ) ( ) ( sup lim ₀ 0 x f x f x x→ ≤

oluyorsa f ye x0∈K noktasında üstten yarısürekli fonksiyon denir, [Krzysztof 2001].

Tanım 2.1.4. (Alttan Yarısürekli Fonksiyon) f : K →R reel değerli bir fonksiyon olmak üzere x₀∈K nın komşuluğunda ∀ x∈K ve ∀ε >0 için

ε − ≥ ( ) ) (x f x₀ f veya ) ( ) ( inf lim 0 0 x f x x x→ ≥

oluyorsa f ye x₀∈K noktasında üstten yarısürekli fonksiyon denir, [Krzysztof 2001]. Alttan yarısürekli bir fonksiyonu aşağıdaki gibi grafikle gösterilebilir.

Teorem 2.1.4. (Hermite-Hadamard Eşitsizliği) f : I →R konvex fonksiyon olmak üzere, ∀ a,b∈I ve a<b için,

(2.1)

eşitsizliğine Hermite Hadamard eşitsizliği denir. Burada f fonksiyonunun konkav olması eşitsizliği tersine çevirir, [Dragomir 2000].

Đspat. f fonksiyonu sürekli ve sınırlı olduğundan dolayı

[ ]

a,b aralığında integrallenebilirdir. Konvexlik tanımından,

( )

( ) ( )

2 1 2 b f a f dx x f a b b a f b a + ≤ − ≤       ₊

∫

) ( ) 1 ( ) ( ) ) 1 ( (ta t b tf a t f b f + − ≤ + −

eşitsizliği sağlanır. Bu eşitsizliğin her iki tarafının

[ ]

0,1 aralığında t ye göre integrali alınırsa,

(

)

( ) ( )

2 ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( 1 0 1 0 1 0 b f a f dt b f t dt a tf dt b t ta f + − ≤

∫

+

∫

− = +

∫

elde edilip soldaki eşitsizlikte x=ta+(1−t)b, t∈

[ ]

0,1 dönüşümü uygulanırsa H.−H. eşitsizliğinin sağ tarafı elde edilir. Sol tarafını ispat etmek için,

( )

( )

( )

          + − = −

∫

∫

∫

+ + b b a b a a b a dx x f dx x f a b dx x f a b 2 2 1 1

eşitliğinin sağındaki integrallere sırasıyla x=a+t

(

b−a

)

/2 ve x=b−t

(

b−a

)

/2 değişken değişimi uygulanırsa,

( )

(

)

(

)

      + ≥             − − +       − + = −

∫

2

∫

2 2 2 1 1 1 0 b a f dt a b t b f a b t a f dx x f a b b a

elde edilip H.−H. eşitsizliğinin sol tarafı ispatlanmış olur.

Tanım 2.1.5. (Kuvvet Ortalama Eşitsizliği) q≥1 olsun. f ve g , [ ba, ] aralığında tanımlı reel fonksiyonlar, f ve gq, [ ba, ] aralığında integrallenebilir fonksiyonlar ise

q b a q q b a b a dx x g x f dx x f dx x g x f 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( _               ≤

_∫

_∫

∫

− eşitsizliği geçerlidir.

3. MATERYAL VE YÖNTEM

3.1. KONVEX FONKSĐYON ÖZELLĐKLERĐ, LOG-KONVEX VE QUASĐ-KONVEX FONKĐSYONLAR

Bu bölümde konvex, log-konvex ve quasi-konvex fonksiyonların tanım ve özellikleri incelenmiştir.

Tanım 3.1.1. (Konvex Küme) K ⊆Rn boştan farklı bir küme olsun. K kümesinin herhangi iki elemanın birleştiren doğru parçası K kümesine ait ise veya başka bir ifadeyle

K b a ∈ ∀ , ve t∈

[ ]

0,1 için K b t ta+(1− ) ∈

oluyorsa K kümesine konvex küme denir, [Niculescu 2006].

Tanım 3.1.2. (Konvex Fonksiyon) ∀ a,b∈I ve t∈

[ ]

0,1 için, ) ( ) 1 ( ) ( ) ) 1 ( (ta t b tf a t f b f + − ≤ + −

eşitsizliğini sağlayan f : I ⊂R→R fonksiyonuna konvex fonksiyon denir (eşdeğer olarak ,t

( )

0,1 aralığında da seçilebilir). Geometrik olarak bu eşitsizlik, f fonksiyonunun grafiği kirişlerinin altından geçtiği anlamına gelmektedir.

Aşağıdaki kriterler konvex fonksiyon tanımına eşdeğerdir.

a) I aralığı üzerinde f fonksiyonunun konvex olması için gerek ve yeter şart herhangi bir

I

c∈ noktası için, f

( ) ( ) (

x − f c / x−c

)

fonksiyonunun I aralığında artan olmasıdır.

b) f :

( )

a,b →R fonksiyonunun konvex olması için gerek ve yeter şart her c,x∈

( )

a,b

için

( ) ( )

x f c g

( )

t dt f x c

∫

= −

olacak şekilde g :

( )

a,b →R artan fonksiyonun olmasıdır.

c) f diferansiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere, f in konvex olması için gerek ve

d) f ′′,

( )

a,b de mevcut olsun. Bu durumda f nin konvex olması için gerek ve yeter şart

( )

≥0

′′ x

f olmasıdır.

e) f :

( )

a,b →R fonksiyonunun konvex olması için gerek ve yeter şart her x₀∈

( )

a,b için

f fonksiyonun en az bir support doğrusuna sahip olmasıdır. Yani

( ) ( ) (

x f x0 x x0

)

f ≥ +λ −

eşitsizliğini sağlamasıdır. Burada λ, x a bağlıdır ve eğer f₀ ′ varsa o zaman

( )

x0 f′ = λ ya da f

( )

x0 f

( )

x0 ′ + ′ − ≠ ise

[

f

( ) ( )

x0 , f x0

]

′ + ′ − ∈ λ dir.

f) f :

( )

a,b →R fonksiyonunun konvex olması için gerek ve yeter şart P, Q ve R noktaları f fonksiyonun grafiği üzerinde herhangi üç nokta olmak üzere,

imQR g e imPR g e imPQ g e( ≤ ( ≤ (

eşitsizliğinin sağlanmasıdır, [Niculescu 2006].

Konvex Fonksiyonun Özellikleri

i) Kapalı aralıkta tanımlı konvex fonksiyon sınırlıdr.

ii) f : I→R konvex fonksiyon ise, I ( I nın içi) inde herhangi bir 0

[ ]

a,b kapalı aralığında Lipschitz şartını sağlar. Bu nedenle f fonksiyonu

[ ]

a,b aralığında mutlak sürekli ve I de süreklidir. 0

iii) f : I→R konvex fonksiyon ise I de 0 f₋′

( )

x ve f₊′

( )

x vardır ve artandır.

iv) f : I→R fonksiyonu I açık aralığında konvex ise, sayılabilir bir E kümesi haricinde f′ mevcuttur ve süreklidir.

v) k tane fonksiyon Rn →R de konvex fonksiyon olsun. Bu takdirde;

( )

x a f

( )

x a

(

j k

)

f j j j k j ,..., 2 , 1 ; 0 , 1 = > =

∑

= fonksiyonu da konvextir.

vi) g :R→R azalmayan ve konvex fonksiyon ayrıca h :Rn →R konvex olsun. Bu takdirde; f :Rn →R, f

( ) (

x = goh

)( )

x olarak tanımlanan f bileşke fonksiyonu da konvextir.

vii) :Rm →R

g konvex ve ,h h

( )

x =Ax+B formunda :Rn →R

h konvex olmak üzere

( )

x g

( )

h

( )

x f =

fonksiyonu konvex fonksiyondur. Burada A uygun matristir, [Niculescu 2006].

Tanım 3.1.3. (Logaritmik Konvex Fonksiyon) f : I →

[

0,∞

)

fonksiyonu,

i) ∀ a,b∈I ve t∈

[ ]

0,1 için

( )

[

]

t

[ ]

( )

t b f a f b t fta+(1− ) )≤ 1−

ii) log f konvex şartlarından birini sağılyorsa f fonksiyonuna logaritmik konvex fonksiyon denir, [Niculescu 2006].

Teorem 3.1.1. f : I →

[

0,∞

)

fonksiyonu logaritmik konvex ise konvextir.

Đspat. f fonksiyonu logaritmik konvex fonksiyon olduğundan, log f fonksiyonu I aralığında konvextir ve g

( )

x =ex fonksiyonu tüm reel sayılar kümesinde artan ve konvex bir fonksiyon olduğundan, özellik vi. den dolayı,

(

f

)

f =explog olup f fonksiyonu konvex olur, [Niculescu 2006].

Teorem 3.1.2. f : I →R logaritmik konvex fonksiyon, a,b∈I ve a<b olmak üzere,

( )

( ) (

)

(

)

( )

( ) ( )

(

f a f b

)

L dx x f a b dx x b a f x f G a b dx x f a b b a f b a b a b a , 1 , 1 ln 1 exp 2 ≤ − ≤ − + − ≤       − ≤       +

∫

∫

∫

eşitsizlikleri geçerlidir. Burada G ,

( )

a b pozitif reel saylar için geometrik ortalama ve

( )

p q

L , ayrık pozitif reel sayılar için logaritmik ortalama anlamındadır, [Dragomir 2000].

Tanım 3.1.4. (Quasi Konvex Fonksiyon) ∀ a,b∈I ve t∈

[ ]

0,1 için,

( ) ( )

{

f a f b

}

b t ta f( +(1− ) )≤max ,

eşitsizliği sağlanıyorsa f : I →R fonksiyonuna quai-konvex fonksiyon denir, [Niculescu 2006].

AO-GO eşitsizliği kullanılarak

( )

[ ]

[ ]

( )

( ) ( )

{

f a f b

}

b f t a tf b f a f b t ta f t t , max ) ( ) 1 ( ) ( ) ) 1 ( ( 1 ≤ − + ≤ ≤ − + −

eşitsizlikleri elde edilir. Yani quasi-konvex fonksiyon ailesi konvex fonksiyon ailesini, konvex fonksiyon ailesi de log-konvex fonksiyon ailesini kapsar.

Teorem 3.1.3. f : I⊂R→R, I üzerinde diferansiyellenebilir bir fonksiyon olsun. o I

b

a, ∈ ve a<b olmak üzere eğer f′ dönüşümü

[ ]

a,b üzerinde konvex ise,

( )

. 2 ) ( ) ( 4 2 1         ′ ₊ ′ − ≤       + − −

∫

b f a f a b b a f dx x f a b b a Olur, [Kirmaci 2004].

3.2. PREINVEKS FONKSĐYONLARIN ÖZELLĐKLERĐ

K , R de boş olmayan kapalı bir küme olmak üzere n f : K→R ve η(.,.): K×K→R, sürekli fonksiyonlar olmak üzere bu bilgiler kullanılarak aşağıdaki tanımlar ve özellikler verilmiştir.

Tanım 3.2.1. (Inveks Küme) ∀a,b∈K ve t∈

[ ]

0,1 için , ) , (b a K t a+ η ∈

oluyorsa K ya η-e göre invex bir küme denir, [Yang 2001].

Not 3.2.1. Bir invex küme tanımnın net bir geometrik yorumununun olduğunu belirtmek

isteriz. Bu tanım, esasen K 'da yer alan bir a noktasından başlayan bir yol olduğunu söyler. Bu v noktasının yolun uç noktalarndan bir tanesi olması gerekmiyor. Bu gözlem,

bizim analizlerimizde önemli bir rol oynar. Ayrıca ∀a,b∈K noktaları için b yolun uç noktası olmak üzere ve η(b,a)=b−a olarak alırsak, invexlik sonuçta konvexliğe dönüşür.

Bu yüzden η(b,a)=b−a ile ilgili olarak her konvex küme aynıı zamanda bir invex kümedir fakat tersi her zaman doğru değildir, [Noor 2006].

Tanım 3.2.2. (Đnveks Fonksiyon) f türevlenebilir bir fonksiyon olsun. ∀a,b∈K için ) , ( ), ( ) ( ) (b f a f a b a f − ≥ ′ η

oluyorsa f ye K kümesi üzerinde η-e göre invex bir fonksiyon denir, [Yang 2001].

Tanım 3.2.3. (Preinvex Fonksiyon) K , η -e göre bir invex bir küme olmak üzere

K b a ∈ ∀ , ve t∈

[ ]

0,1 için eğer

(

a t b a

) ( ) ( ) ( )

t f a tf b f + η( , ) ≤ 1− +

oluyorsa, f ye K kümesi üzerinde preinvex bir fonksiyon denir. − f preinvex bir fonksiyon ancak ve ancak f prekonkav bir fonksiyondur. Ayrıca her konvex fonksiyon bir preinvex fonksiyondur fakat tersi doğru değildir, [Yang 2001].

Örnek 3.2.1.    < − ≥ − = ise 0 . , ise 0 . , ) , ( b a b a b a a b a b η

η-e göre f(x)=−x fonksiyonu preinvextir fakat konvex değildir. Gerçekten, t∈

[ ]

0,1 olmak üzere a.b<0 için f(a+t(a−b)= f((1+t)a−tb)≠ f((1−t)a+tb) olduğundan konvexlik tanımına aykırı olduğundan konvex değildir. Şimdi t∈

[ ]

0,1 olmak üzere f nin preinvex olduğunu gösterelim.

i) a.b≥0 için iki durum söz konusudur: a) a≥0 ve b≥0 ise

(

(1 )

)

(1 )( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ) 1 ( ) ) 1 (( )) ( ( )) , ( ( b tf a f t b t a t tb a t tb a t tb a t f a b t a f a b t a f + − = − + − − = + − − = + − − = + − = − + = + η eşitliğinden f(a+tη(b,a))≤(1−t)f(a)+tf(b) olur. b) a≤0 ve b≤0 ise

(

(1 )

)

(1 )( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ) 1 ( ) ) 1 (( )) ( ( )) , ( ( b tf a f t b t a t tb a t tb a t tb a t f a b t a f a b t a f + − = − + − − = + − = + − − = + − = − + = + η eşitliğinden f(a+tη(b,a)≤(1−t)f(a)+tf(b) olur.

ii) a.b<0 için iki durum söz konusudur: a) a>0 ve b<0 ise

(

)

(

)

) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) )( 1 ( ) )( 1 ( ) 1 ( ) .( ) 0 ( , ) .( )) .( ( )) , ( ( b tf a f t b t a t tb a t tb a t tb ta a tb ta a b a t a b a b a t a b a t a f a b t a f + − = − + − − = + − − = + − − = + + − ≤ + − − = − + − = > − − + − = − + = + η eşitsizliğinden f(a+tη(b,a))≤(1−t)f(a)+tf(b) olur. b) a<0 ve b>0 ise

(

)

(

)

) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) )( 1 ( ) ( ) 1 ( ) .( ) 0 ( , ) .( )) .( ( )) , ( ( b tf a f t b t a t b t a t tb ta a tb ta a b a t a b a b a t a b a t a f a b t a f + − = − + − − = − + − = − − ≤ − + = − + = < − − + − = − + = + η

eşitsizliğinden f(a+tη(b,a))≤(1−t)f(a)+tf(b) olur. Bu da f nin preinvex fonksiyon olduğunu gösterir.

Tanım 3.2.4. K , η-e göre bir invex küme olmak üzere ∀a,b∈K, ∀t∈

( )

0,1 ve

( ) ( )

a f b

f ≠ için eğer

(

a t b a

) ( ) ( ) ( )

t f a tf b f + η( , ) ≤ 1− +

oluyorsa f ye semistrictly preinvex fonksiyon denir, [Yang 2001].

“On invex set and preinvex” isimli makalesinden yararlanarak Mohan and Neogy η fonksiyonuna ilişkin aşağıdaki koşulu verebiliriz.

Koşul C . K⊆R, η : K×K →R ile ilgili olarak bir açık invex altküme olsun. Herhangi

K b a, ∈ ve herhangi t∈

[ ]

0,1 için

( )

1 ( , ) )) , ( , ( ) , ( )) , ( , ( b a t b a t b a b a t b a t b b η η η η η η − = + − = +

yazılır. Ayrıca her a,b∈K ve her t₁,t₂∈

[ ]

0,1 için C şartından

(

)

( , ) )) , ( ), , ( (b t₂η a b b t₁η a b t₂ t₁ η a b η + + = −

eşitliği yazılabilir.

Örnek 3.2.2. Aşağıdaki fonksiyon Koşul C yi sağlar.

(

)

(

)

(

)

(

)

       > ≤ − ≤ > − − < < − ≥ ≥ − = 0 , 0 , 2 0 , 0 , 2 0 , 0 , 0 , 0 , ) , ( b a b b a b b a b a b a b a b a η

Lemma 3.2.1. f alttan yarısürekli ve ∀x,y∈K için f(y+η(x,y))≤ f(x) sağlansın. Ayrıca η :Rn×Rn →Rn fonksiyonu Koşul C i sağlasn. Bu durumda ∀x,y∈K çifti için

( )

1 ( ) ) ( )) , ( (y t x y tf x t f y f + η ≤ + − (3.1) olacak şekilde t∈

( )

0,1 varsa, ∀x,y∈K için

[ ]

(

)

{

0,1 | ( ( , )) ( ) 1 ( )

}

) , (x y f y x y f x f y A = α∈ +αη ≤α + −α

kümesi

[ ]

0,1 aralığında yoğun bir kümedir, [Yang 2001].

Đspat. x≠ y olmak üzere x,y∈K verilsin. A kümesinin

[ ]

0,1 aralığında yoğun olmadığını kabul edelim.

(

α−ε α+ε

)

=φ ∩ , ) , (x y A

olacak şekilde α∈

( )

0,1 ve ε >0 vardır. f(y+η(x,y))≤ f(x)

(

∀x,y∈K

)

için ) , ( 0∈A x y ve 1∈A(x,y) olur. Şimdi

{

}

{

α α α

}

α α α > ∈ = < ∈ = : ) , ( inf : ) , ( sup y x A v y x A u

olarak tanımlayalım. u1≤u2≤...≤uk ≤... alalım. ∀k için uk∈A(x,y) ve k→∞ için u

u_k → olduğunu kabul edelim. Burdan da

(

u

) ( )

f y x f u y x u y f( + _kη( , ))≤ _k ( )+ 1− _k

(

) ( )

[

u f x u f y

]

y x u y f k k k k

k→∞inf ( + ( , ))≤lim→∞inf ( )+ 1−

lim η (3.2) yazalım. f alttan yarısürekli bir fonksiyon olduğundan

)) , ( ( inf lim )) , ( (y u x y f y u x y f k k η η ≤ + + ∞ → (3.3)

olarak yazılır. Bu son iki eşitsizlikten f(y+uη(x,y))≤uf(x)+

(

1−u

) ( )

f y elde ederiz. Bu yüzden u∈A(x,y) olur. Benzer biçimde v∈A(x,y) olduğunu elde ederiz.

u ve v nin yukardaki tanımlarından 0≤u<α <v≤1 ve

(

1−

)

∉ ( , ),∀ ∈

( )

0,1

+ α α

αu v A x y (3.4) ifadelerini elde ederiz. Şimdi x_u =y+uη(x,y) , y_v =y+vη(x,y) olarak tanımlayalım. Bu durumda (3.1) eşitsizliği altında

( )

1 ( ) ) ( )) , ( (yv t xu yv tf xu t f yv f + η ≤ + − (3.5) olacak şekilde bir t∈

( )

0,1 vardır.

Koşul C den

(

)

( )

[

1

]

( , ) )) , ( ) , ( ), , ( ( ) , ( )) , ( ), , ( ( ) , ( ) , ( y x v t tu y y x v u y x u y y x u y t y x v y y x v y y x u y t y x v y y x t yv u v η η η η η η η η η η η − + + = − − + + + + = + + + + = +

olarak yazabiliriz. Böylece (3.5) ve u,v∈A(x,y) yardımıyla,

( )

[

]

(

)

(

)

( )

( )

[

tu t v

] ( )

f x

[

(

tu

( )

t v

)

] ( )

f y y f t x tf y x t y f y x v t tu y f v u v u v − + − + − + ≤ − + ≤ + = − + + 1 1 1 ) ( 1 ) ( ) , ( ) , ( 1 η η

eşitsizliğini elde ederiz ki bu tu+

( )

1−t v∈A(x,y) olmasını gerektirir ve bu ise (3.4) ile çelişir. Yani kabülümüz yanlış olup A(x,y) kümesi

[ ]

0,1 de yoğundur.

Teorem 3.2.2. f bir alttan yarısürekli bir fonksiyon ve ∀x,y∈K için ) ( )) , ( (y x y f x

f +η ≤ sağlansın ve η :Rn×Rn →Rn fonksiyonu Koşul C i sağlasın. Eğer

K y x ∈

∀ , çifti için (3.1) eşitsizliği sağlanacak şekilde t∈

( )

0,1 varsa bu durumda f fonksiyonu K kümesi üzerinde preinvex bir fonksiyondur, [Yang 2001].

Đspat. Lemma 3.2.1 ile ∀x,y∈K için verilen A(x,y) kümesinin

[ ]

0,1 üzerinde yoğundur. Bu durumda k→∞ iken α_k →α için

∀ α∈

( )

0,1,∃

{ }

α ⊆

( )

0,1 ∩A(x,y) olur.

(

) ( )

f y x f y x y f( +α_kη( , ))≤α_k ( )+ 1−α_k olduğundan,

(

) ( )

[

f x f y

]

y x y f k k k k

k→∞inf ( +α η( , ))≤ lim→∞infα ( )+ 1−α

yazabiliriz. f bir alttan yarısürekli bir fonksiyon olduğundan, )) , ( ( inf lim )) , ( (y x y f y x y f _k k α η η α ≤ + + _→∞ olur. Böylece,

( )

f

( )

y x f y x y f( +αη( , ))≤α ( )+1−α

olduğu görülür. t=0,1 olduğunda f(y+η(x,y))≤ f(x)

(

∀x,y∈K

)

şartından

( ) ( )

t f y x tf y x t y f( + η( , ))≤ ( )+ 1−

yazabiliriz. Bu yüzden K kümesi üzerinde f preinvex bir fonksiyon olur.

Not 3.2.2. Preinvex fonksiyonların bir kriteri Teorem 3.2.2 ile verilebilir.(Yang.2001) ile kıyaslandığında sonuç için basitleştirilmiş başka bir ispat verelim, [Yang 2001].

Teorem 3.2.3. Koşul C yi sağlayan K ⊆Rn, η :Rn×Rn →Rn e göre bir invex küme ve aynıı η-e göre f : K→R preinvex fonksiyon olsun. Eğer tüm x,y∈K için f(x)≠ f(y) olmak üzere

(

) ( )

f y x f y x y f( +αη( , ))<α ( )+ 1−α (3.6) eşitsizliğini sağlayan bir α∈

( )

0,1 varsa, f , η-e göre K kümesi üzerinde semistrictly preinvex fonksiyondur, [Yang 2001].

Đspat. Tersine olarak, f(x)≠ f(y) ve

( ) ( )

t f y x tf y x t y f( + η( , ))≥ ( )+ 1− (3.7) olacak şekilde x,y∈K, t∈

( )

0,1 olduğunu kabul edelim. Genelliği bozmadan

) ( ) (x f y f < ve z= y+tη(x,y) olsun. (3.7) eşitsizliğinden

( ) ( )

1 ( ) ) ( ) (z tf x t f y f x f ≥ + − > (3.8) yazılır. f preinvex fonksiyon olduğu için

( ) ( )

t f y x

tf z

f( )≤ ( )+ 1− olur. Buradan da (3.8) eşitsizliği ile birlikte

( ) ( )

t f y x tf z f x f( )< ( )= ( )+ 1− (3.9) elde ederiz. Şimdi

N k z z z z z z z z z x z z k k = + ∀ ∈ + = + = −, ), ( ... ) , ( ) , ( 1 1 2 1 αη αη αη

olsun. (3.6) ve (3.9) eşitsizlikleri yardımıyla

(

)

( ) (

)

( ) (

( , )

)

( ) ... ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( 1 1 2 1 z f z z z f z f z f z z z f z f z f z x z f z f k k = + < < + = < + = − αη αη αη (3.10)

yazabiliriz. Koşul C den

[

(1 )

]

( , ) ) , (x z y t t x y z zk = +αkη = + +αk − η elde edilir. t t k − < − 1 1 1 α α

olacak şekilde k1∈N olsun. 1 t 1(1 t)

k − + = α β , 2 ₁ (1 ) 1 1 t t− k − = − + α α β , x= y+β1η(x,y), ) , ( 2 x y y y= +βη olsun. Bu durumda 2 1 1 2 1, (1 ) 0≤β ≤t≤β ≤ t =αβ + −α β

yazabiliriz. Böylece Koşul C den

[

]

. ) , ( ) , ( ) 1 ( )) , ( , ( ) , ( ) , ( 1 1 1 1 x y x y y x t t y y x t y x y x t y z x z k k k = + = − + + = + + + = + η β η α η η α η η α (3.11)

olur. Dolayısyla (3.10) ve (3.11) den

) ( ) ( )) , ( ( ) ( 1 1 _{x z f z f z} z f x f k k = < + = α η (3.12) elde ederiz. Burada dikkate alınması gereken iki durum vardır.

i) f(x)≥ f(y) olduğunda Koşul C den şu eşitliği yazabiliriz,

(

)

(

)

[

]

x y y t x y z y y x y x y y x y y x y y x y y x y = + = − + + = − + + = + + + + = + ) , ( ) , ( 1 ) , ( ) , ( )) , ( ), , ( ( ) , ( ) , ( 2 1 2 1 2 2 1 2 η η β α αβ η β β α η β η β η β αη η β αη

yazılır. f preinvex fonksiyon olduğundan

olur ki bu da (3.12) ile çelişir.

ii) f(x)< f(y) olun. y+αη(x,y)=y+tη(x,y)=z olduğundan (3.6) yardımıyla

( )

z f(x)

(

1

)

f(y)

f <α + −α (3.13) elde edilir. Yine x= y+β1η(x,y), y=y+β2η(x,y) ve f preinvex fonksiyon olduğundan

) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( 2 2 1 1 y f x f y f y f x f x f β β β β − + ≤ − + ≤ (3.14) yazabiliriz. (3.13) ve (3.14) e göre ) ( ) 1 ( ) ( ) (z tf x t f y f < + −

yazabiliriz ve bu da (3.9) ile çelişir böylece ispat tamamlanır.

K

x∈ ya f(x) in minimum problemi olarak (P) diye isimlendirelim. Şimdi (P) problemi için preinvex fonksiyonlarn bir uygulamasını gösterelim.

Teorem 3.2.4. n K ⊆R , n n n R R R : × →

η ile ilgili boş olmayan bir invex küme ve

η

, R : K →

f -e göre bir preinvex fonksiyon olsun. Eğer x , (P) probleminin bir yerel minimumu ise x mutlak minimum olur, [Yang 2001].

Đspat. Eğer x , (P) probleminin bir yerel minimumu ise x∈U ⊂Rn nun bir komşuluğu vardır ve U K x x f x f( )≤ ( ),∀ ∈ ∩ (3.15) yazabiliriz. x in (P) nin mutlak minimumu olmadığını varsayalım. O zaman

) ( ) ˆ (x f x f <

olacak şekilde xˆ∈K vardır. K ⊆Rn, n n n

R R R

: × →

η ile ilgili boş olmayan bir invex küme ve f : K →R, η-e göre bir preinvex fonksiyon olduğundan ∀t∈(0,1) için

) ( ) ( ) 1 ( ) ˆ ( )) , ˆ ( (x t x x tf x t f x f x f + η ≤ + − < olur. ∀t∈(0,1) için ) ( )) , ˆ ( (x t x x f x f + η <

yazılır. Buradan da x t x x x t→ ( + ( ˆ, ) = lim 0 η bu yüzden x+tη(xˆ,x)∈K∩U ile tüm

( )

0,δ ∈

t için bir δ

(

0<δ <1

)

vardır ve bu (3.15) ile çelişir ve ispat tamamlanır.

Not 3.2.3. Teorem 3.2.4 den matematik programlamada preinvex fonksiyonların, konvex

fonksiyonların önemli bir genellemesini teşkil ettiğini söyleyebiliriz.

Aşağıdaki teoremde Noor, preinvex fonksiyonlar için Hermite-Hadamard eşitsizliğini ispatlamıştır.

Teorem 3.2.5. a,b∈K0 ve a<a+η( ab, ) olmak üzere K ( K nın içi) reel sayı aralığı 0

üzerinde f : K=

[

a,a+η(b,a)

]

→

( )

0,∞ bir preinvex fonksiyon olsun. O zaman aşağıdaki eşitsizlik sağlanır

( )

( ) ( )

2 2 )) , ( ( ) ( ) , ( 1 2 ) , ( 2 ( , ) f a f a b a f a f b dx x f a b a b a f a b a a + ≤ + + ≤ ≤       +

∫

+ η η η η (3.16) ,[Noor 2009]. Đspat. ∀ 0 ,b K

a ∈ için preinvex tanımından

(

)

(

(

)

)

( ) ( ) (

1 ( , )

)

) , ( ) 1 ( ) , ( a b a tf a f t a b a t a t f a b t a f η η η + + − ≤ + + − = +

eşitsizliğin iki tarafı da t∈

[ ]

0,1 e göre integre edilirse,

(

a t b a

)

dt

(

( ) ( ) (

t f a tf a b a

)

)

dt f ( , ) 1 ( , ) 1 0 1 0 η η ≤ − + + +

_∫

∫

dt a b dx a b t a x= + η( , )⇒ =η( , ) dönüşümü yapılırsa,

( )

( ) ( )

(

)

( )

(

)

( ) (

)

2 ) , ( 2 1 ) , ( 2 1 ) , ( 1 ) , ( 1 1 0 1 0 ) , ( a b a f a f a b a f a f tdt a b a f dt t a f dx x f a b a b a a η η η η η + + = + + = + + − ≤

_∫

_∫

∫

+

elde edilir. Ayrıca f

(

a+tη(b,a)

) ( ) ( ) ( )

≤ 1−t f a +tf b eşitsizliğinde t=1 alınırsa

(

a b a

) ( )

f b f +η( , ) ≤ olur buradan da

( ) ( )

2 2 )) , ( ( ) (a f a b a f a f b f + +η _≤ +

sağ taraf elde edilir. Şimdi Jensen eşitsizliği kullanılırsa

(

)

(

)

( )

x dx f a b a b a f dt a b t a f dt a b t a f a b a a

∫

∫

∫

+ ≤       + + ≤         + ) , ( 1 0 1 0 ) , ( 1 2 ) , ( 2 ) , ( ) , ( η η η η η

sol taraf elde edilir ve ispat tamamlanmış olur.

3.3. LOG-PREINVEX VE QUASI-PREINVEX FONKSĐYONLAR

Bu bölümde log-invex, log-preinvex ve quasi-preinvex fonksiyonlarına ait tanım ve teoremler verilmiştir.

Tanım 3.3.1. (Logaritmik Preinvex Fonksiyon) K , η ile ilgili olarak bir invex bir küme ve f

()

. >0 olmak üzere

(

a+t (b,a)

)

≤

(

f

( )

a

)

1−

(

f

( )

b

)

, a,b∈K,t∈

[ ]

0,1

f η t t

oluyorsa f ye K kümesi üzerinde logaritmik preinvex bir fonksiyon denir, [Mohan 1995].

Tanım 3.3.2. (Quasi-preinvex Fonksiyon) K , η ile ilgili olarak bir invex bir küme olmak üzere eğer

(

a t (b,a)

)

max

{

f

( ) ( )

a, f b

}

, a,b K,

f + η ≤ ∈

[ ]

0,1.

∈

t oluyorsa f ye K kümesi üzerinde quasi-preinvex bir fonksiyon denir, [Mohan 1995].

Yukardaki tanımlardan şunu elde ederiz,

(

)

(

( )

)

(

( )

)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

{

,

}

. max 1 ) , ( 1 b f a f b tf a f t b f a f a b t a f t t ≤ + − ≤ ≤ + _η −

O halde her log-preinvex fonksiyon aynıı zamanda preinvex fonksiyon ve her preinvex fonksiyon aynıı zamanda quasi-preinvex fonksiyondur.

Tanım 3.3.3. (Log-invex Fonksiyon) f , K invex kümesi üzerinde türevlenebilir olmak üzere ∀a,b∈K eğer,

(

)

) , ( , ) ( ) ( ) , ( , ) ( log ) ( log ) ( log a b a f a f a b a f dt d a f b f η η ′ = ≥ −

oluyorsa f ye η-e göre log-invex fonksiyon denir, [Noor 2007].

Yukardaki eşitsizliğin doğruluğunu gösterelim. Log-preinvex fonksiyon tanımından

(

)

(

( )

)

(

( )

)

(

)

(

(

( )

)

(

( )

)

)

(

)

t a f t b f t t a f a b t a f b f t u tf a f b f t a f t b f a f a b t a f b f a f a b t a f t t t t ) ( log ) ( log ) ( log ) , ( log ) ( log ) ( ) ( log ) ( log ) ( log ) 1 ( log ) , ( log ) , ( 1 1 − ≤ − + + − = + − = ≤ + ≤ + − − η η η

(

)

[

]

(

)

(

)

) ( log ) ( log ) , ( , ) ( ) ( ) ( log ) ( log ) , ( , ) ( log ) ( log ) ( log ) ( log ) , ( ) ( log ) ( log ) , ( ) ( log ) , ( log lim ) , ( 0 a f b f a b a f a f a f b f a b a f a f b f a f a b a f b f a b t a f a b t a f a b t − ≤ ′ − ≤ − ≤ − ≤ − + ′ ′ → η η η η η η

eşitsizliğin doğru olduğunu göstermiş oluruz.

Her türevlenebilir log-preinvex aynı zamanda log-invex fonksiyon olur. Fakat bunun tersi doğru değildir. η(b,a)=b−a olarak seçersek preinvex, invex ve log-preinvex fonksiyonlar konvex ve log-konvex fonksiyonlara dönüşür.

Lemma 3.3.1. _{f : I}o ⊂R→R_{, I üzerinde diferansiyellenebilir bir fonksiyon olsun.} o o

I b

a, ∈ ( Io, I kümesinin iç kümesi) a<b olmak üzere eğer f′∈L

(

[ ]

a,b

)

ise

(

)

( (1 ) )

( )

1 ( (1 ) ) . 2 ) ( 1 1 2 1 2 1 0           − + ′ − + − + ′ − =       + − −

∫

b a

∫

tf ta t b dt

∫

t f ta t b dt b a f dx x f a b b a

eşitliğini elde edilir, [Kirmaci 2004].

Teorem 3.3.1. η : A×A→R ile ilgili olarak A⊆R açık bir invex küme olsun. Farzedelim ki f : A→R diferansiyellenebilir bir fonksiyon olsun. p∈R ve p>1 olmak üzere eğer ′p−1

p

f , A kümesi üzerinde bir quasi-preinvex fonksiyon ise ∀a,b∈A

için

( )

( )

( )

1 1 1 1 sup , ) 1 ( 2 ) , ( ) , ( 1 2 )) , ( ( ) ( ( , ) − − −           _{′ ′} + ≤ − + +

∫

+ _pp p p p p p b f a f p a b dx x f b a a b a f a f a ba a η η η η

eşitsizliği sağlanır, [Barani,Dragomir 2011].

Teorem 3.3.2. η : A×A→R ile ilgili olarak A⊆R açık bir invex küme

olsun.Farzedelim ki f : A→Rdiferansiyellenebilir bir fonksiyon olsun. Eğer A kümesi üzerinde f′ bir quasi-preinvex fonksiyon ise ∀a,b∈A için

( )

x dx b a

{

f

( ) ( )

a f b

}

f b a a b a f a f a ba a ′ ′ ≤ − + +

∫

+ , max 4 ) , ( ) , ( 1 2 )) , ( ( ) ( ( , ) η η η η

eşitsizliği sağlanır, [Barani,Dragomir 2011].

M. A. Noor’ un preinvex ve log-invex ile ilgili elde ettiği teoremler aşağıda verilmiştir

Teorem 3.3.3. f ,

[

a,a+η(b,a)

]

aralığında log-preinvex olsun. L

( )

.,. logaritmik ortalama olmak üzere

( )

( ( ), ( )) ) ( log ) ( log ) ( ) ( ) , ( 1 ( , ) b f a f L b f a f b f a f dx x f a b a b a a = − − ≤

∫

+η η

eşitsizliği vardır, [Noor 2007].

Đspat. ∀a,b∈K, için

(

)

(

( )

)

t

(

( )

)

t b f a f a b t a f + η( , ) ≤ 1− eşitsizliğinin iki tarafını t∈

[ ]

0,1 için integralini alırsak

(

)

(

(

( )

)

(

( )

)

)

( )

_{( )}

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) )) ( ), ( ( ) ( log ) ( log ) ( ) ( ) log( ) ( ) ( ) , ( 1 ) , ( 1 0 1 0 ) , ( 1 0 1 1 0 b f a f L b f a f b f a f a f dt a f b f a f dx x f a b dt b f a f dt a b t a f a f b f t a f b f t a b a a t t = − − =         =       ≤ ≤ +

∫

∫

∫

∫

+ − η η η

ispat tamamlanmış olur.

Teorem 3.3.4. 0

,b K

a ∈ ve a<a+η( ab, ) olmak üzere 0

K ( K nın içi) reel sayı aralığı

üzerinde f,g : K =

[

a,a+η(b,a)

] ( )

→ 0,∞ preinvex fonksiyonlar olsun. O zaman

( )

( )

[

( ) ( )

] (

( ), ( )

)

[

( ) ( )

] (

( ), ( )

)

. ) , ( 4 ( , ) b g a g L b g a g b f a f L b f a f dx x g x f a b a b a a + + + ≤

∫

+η η

eşitsizliği sağlanır, [Noor 2007].

Đspat. f ve g preinvex fonksiyonlar olsun. O halde

( )

(

)

(

( )

)

( )

(

)

t

(

( )

)

t t t b g a g a b t a g b f a f a b t a f − − ≤ + ≤ + 1 1 )) , ( ( )) , ( ( η η yazılabilir. Bu eşitsizlikler ve AO-GO yardımıyla

( )

{

} {

}

[

]

( )

(

)

(

( )

)

[

]

[

(

( )

)

(

( )

)

]

[

]

[

]

( )

_{( )}

[

]

( )

_{( )}

[

]

( )

_{( )}

[

]

( )

_{( )}

              +       =               +       = + ≤ + + + ≤ + + =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

− − + 1 0 2 1 0 2 1 0 2 2 1 0 2 2 1 0 2 1 2 1 1 0 2 2 1 0 ) , ( ) ( ) ( 4 ) , ( ) ( ) ( 2 ) , ( 2 ) , ( )) , ( ( )) , ( ( 2 ) , ( )) , ( ( )) , ( ( ) , ( ) ( dw a g b g a g dw a f b f a f a b dt a g b g a g dt a f b f a f a b dt b g a g b f a f a b dt a b t a g a b t a f a b dt a b t a g a b t a f a b dx x g x f w w t t t t t t a b a a η η η η η η η η η η