On the Titchmarsh convolution theorem

Analyse harmonique/Harmonic Analysis (Analyse complexe/Complex Analysis)

On the Titchmarsh convolution theorem

Seçil GERGÜN

_{, Iossif OSTROVSKII}

_{, Alexander ULANOVSKII}

E-mail: gergun@fen.bilkent.edu.tr, iossif@fen.bilkent.edu.tr

b_{Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering, 61164 Kharkov, Ukraine} c

Høgskolen i Stavanger, P.O. Box 2557, Ullandhaug, 4004 Stavanger, Norway E-mail: Alexander.Ulanovskii@tn.his.no

(Reçu le 9 mai 2000, accepté le 11 mai 2000)

Abstract. Let M be the set of all finite complex-valued Borel measures µ6≡ 0 on R. Set `(µ) = inf(supp µ). The classical Titchmarsh convolution theorem claims that if: (i) µj∈ M,

(ii) `(µj) >−∞, j = 1, . . . , n, then `(µ1) +· · · + `(µn) = `(µ1∗ · · · ∗ µn). The condition (ii) cannot be omitted. In 80’s, it had been shown that (ii) can be replaced with sufficiently rapid decay of the measures µjat−∞ and the best possible condition of this form had

been found. We show that the last condition can be weakened if we dealing with linearly dependent measures µjand find the best possible condition in this case.2000 Académie

des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Sur le théorème de convolution de Titchmarsh

Abstract. Soit M l’ensemble des mesures de Borel finies à valeurs complexes µ6≡ 0 sur R. Soit

`(µ) = inf(supp µ). Le théorème classique de convolution de Titchmarsh assure que si :

(i) µj∈ M, (ii) `(µj) >−∞, j = 1, . . . , n, alors `(µ1) +· · ·+`(µn) = `(µ1∗· · ·∗µn). La

condition (ii) ne peut pas être omise. Il a été montré dans les années 80 que la condition (ii) peut être remplacée par la décroissance suffisamment rapide des mesures µjen−∞, et

la meilleure hypothèse possible de cette forme a été trouvée. Nous montrons que cette dernière condition peut être affaiblie quand les mesures µjsont linéairement dépendantes,

et nous trouvons la condition optimale dans ce cas.2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Version française abrégée

Soit M l’ensemble des mesures de Borel finies à valeurs complexes µ6≡ 0 sur R. Soit `(µ) =

inf(supp µ). Le théorème classique de convolution de Titchmarsh assure que si : (i) µj∈ M, (ii) `(µj) >

−∞, j = 1, . . ., n, alors l’équation (1) est vraie. Quelques exemples simples montrent que la condition

(ii) ne peut pas être omise. Toutefois, il est montré dans [2,5] que cette condition peut être affaiblie en la remplaçant par une hypothèse de décroissance suffisamment rapide de|µj|((−∞, x)) quand x → −∞.

La meilleure condition possible (2) de cette sorte a été découverte dans [5] ; il est même impossible de

remplacer le symbole «∀ » par « ∃ ». Le but de cette Note est de montrer que (2) peut être considérablement affaiblie si les mesures sont linéairement dépendantes. Notre résultat est optimal, à la fois relativement à la décroissance des mesures et par rapport à la dépendance linéaire des mesures. Ce résultat est motivé par son lien avec la propriété de « quasi-analyticité » des puissances de convolution des mesures de [5] : si

µ1, µ2∈ M vérifient (3), `(µ1) =−∞ et µn1∗|(−∞,0)= µn2∗|(−∞,0)pour un certain n> 3, alors µn1∗≡ µ n_∗ 2 .

Nous commençons par un cas particulier de notre résultat principal.

THÉORÈME 1. – Si les mesures µ1, µ2, . . . , µn−1∈ M, n > 3, sont linéairement indépendantes sur C, vérifient (3), et si µn= µ1+ µ2+· · · + µn₋₁, alors (1) est vraie.

La condition (3) est précise : la conclusion n’est plus vraie si «∀ » dans (3) est remplacé par « ∃ ». En effet, définissons des mesures µ1, µ2, µ3 par leur transformées de Fourier (4). Alors la condition (3) est

verifiée et on a `(µ1) = `(µ2) = `(µ3) =−∞, alors que `(µ1∗ µ2∗ µ3) = 0.

Le théorème 1 est une conséquence d’un nouveau théorème de factorisation pour la classe H∞(C+) des

fonctions analytiques bornées sur le demi-plan supérieurC+:

THÉORÈME 2. – Soit h6≡ 0 une fonction dans H∞(C+). Supposons que h = g1g2· · · gn, où les fonctions

gj, j = 1, 2, . . . , n, n> 3 sont analytiques sur C+, et vérifient la condition (5). Si g1, g2, . . . , gn−1 sont linéairement indépendantes surC et gn= g1+· · · + gn−1, alors il existe des constantes bj∈ R telles que

(6) soit vraie.

La preuve du théorème 2 est fondée sur le deuxième théorème principal de H. Cartan pour les courbes analytiques et le nouveau théorème suivant sur la représentation d’une fonction harmonique surC+.

THÉORÈME 3. – Soit u une fonction harmonique surC+, à valeurs réelles, qui vérifie (8) et telle qu’il existe une suite{rk}, rk → ∞ pour laquelle (7) est vérifiée. Alors u possède une représentation (9), où

k∈ R est une constante et ν est une mesure de Borel sur R à valeurs réelles qui vérifie (10).

Le théorème 3 est différent des résultats déjà connus ([3], p. 109, [4], p. 233), puisqu’il impose une condition bien plus faible (7) sur la croissance de u pour que la représentation (9) soit vraie. Par exemple, dans [4], p. 233, on suppose que u+(z) = O(|z|), |z| → ∞.

Des exemples simples montrent que la condition (1) n’est pas vraie en général pour des mesures qui vérifient (3). Nous donnons maintenant la condition nécessaire et suffisante sur la forme de la dépendance linéaire pour que (1) reste vraie.

Soient{µ1, . . . , µn}, n > 2, une famille de mesures dans M. Soit Λ l’espace engendré par cette famille,

avec p = dim Λ. Supposons que 16 p 6 n − 1. On peut renuméroter les mesures µj de telle sorte

que µ1, . . . , µp soit une base de Λ. Alors on a des constantes ck,j telles que l’équation (11) soit vraie.

Considérons la matrice (n− p) × p, C, de (12). Nous dirons que la famille {µ1, . . . , µn} est admissible si

C satisfait aux conditions α et β suivantes :

(α) chaque colonne de C contient au moins un élément non nul. Remarquons que dans certains cas il est possible d’effacer certaines lignes de C sans enfreindre (α). Notons eC toute sous-matrice de C possédant

le nombre minimal de lignes et vérifiant toujours la condition (α) ;

(β) toute matrice eC possède une seule ligne ou alors chaque paire{ρ, R} de ses lignes peut être insérée

dans une suite{ρ1, . . . , ρm} de ses lignes telles que ρ1= ρ, ρm= R, et telles que pour tout t, 16 t 6 m−1,

ρtet ρt+1possèdent des éléments non nuls dans la même colonne (dépendants de t).

Notons que si p = 1, alors C possède une seule colonne, et la famille{µ1, . . . , µn}, n > 2, est toujours

admissible. Si les hypothèse du théorème 1 sont vérifiés, alors p = n− 1 et C = eC possèdent une seule

ligne (1, 1, . . . , 1) et donc est admissible. Le théorème 1 est donc un cas particulier du résultat suivant : THÉORÈME 4. – Soient{µ1, µ2, . . . , µn}, n > 3, une famille de mesures de M qui vérifient l’hypothèse

La condition d’admissibilité ne peut pas être affaiblie. En effet, si la matrice (12) ne satisfait pas aux conditions α, β, alors il est possible de définir une famille{µ1, . . . , µn} telle que (3) soit vrai, mais pas (1).

1. Introduction

Let M be the set of all finite complex-valued Borel measures µ6≡ 0 on R. Set `(µ) = inf(supp µ). The classical Titchmarsh convolution theorem claims that if: (i) µj∈ M, (ii) `(µj) >−∞ (j = 1, . . ., n), then

`(µ1∗ µ2∗ · · · ∗ µn) = `(µ1) + `(µ2) +· · · + `(µn). (1)

An example in which the Fourier transformsbµjof the measures µjare given bybµj(t) = exp[(−1)jcos kt],

k > 0, j = 1, 2, shows that condition (ii) cannot be omitted. It seems natural to ask if condition (ii) can be

weakened by replacing it with sufficiently rapid decay of|µj|((−∞, x)) as x → −∞. A positive answer to

this question was given by Y. Domar [2] for a wider class than M . It follows from his result that if there is a number a > 2 such that|µj|((−∞, x)) = O(exp(−|x|a)), x→ −∞, for all j = 1, . . ., n, then (1) holds

true. The best possible condition for M was found by the second author [5]: THEOREMA. – If µj∈ M, j = 1, . . ., n, and

|µj|(−∞, x) = O exp



−c|x| log |x|
, x→ −∞, ∀ c > 0, (2)

then (1) holds true. The restriction (2) cannot be weakened: the statement ceases to be true, if the quantor “∀ ” in (2) is replaced by “ ∃ ”.

There is a close connection between this extension of Titchmarsh convolution theorem and certain “quasi-analytical” properties of the convolutional powers. Theorem A is in fact equivalent to the following statement: suppose measures µ1, µ2 ∈ M satisfy (2). If `(µ1) =−∞ and convolutions µ21∗|(−∞,a) =

µ2∗

2 |(−∞,a) for some a∈ R, then µ12∗= µ22∗. Thus, one may say that the second convolutions µ2∗ of the

measures µ∈ M satisfying `(µ) = −∞ and (2) are uniquely determined by their values on a fixed half-line

(−∞, a). Assumption (2) in this result cannot be weakened in the same sense as in Theorem A. The nth

convolutional power µn∗, n> 3, have the same property. However, as shown in [5], assumption (2) can be weakened:

THEOREMB. – Suppose n> 3 and measures µj∈ M (j = 1, 2) and satisfy

|µj| (−∞, x)

= O exp −c|x|

, x→ −∞, ∀ c > 0. (3)

If `(µ1) =−∞ and µn_∗

1 |(_−∞,a)= µn2∗|(_−∞,a)for some a∈ R, then µn1∗≡ µn2∗. The restriction (3) cannot be weakened: the statement ceases to be true if the quantor “∀ ” in (3) is replaced by “ ∃ ”.

2. Results

The present Note starts from the observation that µn1∗− µn2∗= (µ1− µ2)∗ (µ1− ε1µ2)∗ · · · ∗ (µ1−

εn−1µ2), where εj = e2πij/n. Hence, for n> 3, the difference µn1∗ − µn2∗ can be represented as a

convolution of n linearly dependent measures. It turns out that Theorem B follows from Theorem 4 below which is an extension of Theorem A to linearly dependent measures in which restriction (2) is replaced with a weaker restriction (3). We begin with a special case of Theorem 4:

THEOREM 1. – If the measures µ1, µ2, . . . , µn−1 ∈ M, n > 3, are linearly independent over C, satisfy (3) and µn= µ1+ µ2+· · · + µn−1, then (1) holds true.

The condition (3) is sharp: the statement ceases to be true if “∀ ” in (3) is replaced with “ ∃ ”. Indeed, define the measures µ1, µ2, µ3by their Fourier transforms:

bµ1(t) =

1

1 + it/c, bµ2(t) =

(1 + it/c)2

(1− it/c)4, bµ3(t) =bµ1(t) +bµ2(t), (4)

where c is a positive constant. Then condition (3) is satisfied with the given fixed c > 0, and `(µ1) = `(µ2) =

`(µ3) =−∞. Nevertheless, the product bµ1(t)bµ2(t)bµ3(t) belongs to H2(C+)∩ H∞(C+) and therefore

`(µ1∗ µ2∗ µ3) = 0.

We derive Theorem 1 (and also Theorem 4 below) from the following new factorization theorem for the class H∞(C+).

THEOREM 2. – Let a function h6≡ 0 belong to H∞(C+). Suppose that h = g1g2· · · gn where the functions gj, j = 1, 2, . . . , n, n> 3, are analytic in C+and satisfying the conditions:

(i) there exists H > 0,

sup ( _n X j=1 gj(z) : 0 < Im z < H ) <∞; (5)

(ii) g1, g2, . . . , gn−1are linearly independent overC and gn= g1+ g2+· · · + gn−1. Then there exist constants bj∈ R such that

gj(z) exp{i bjz} ∈ H∞(C+), j = 1, 2, . . . , n. (6)

The proof of Theorem 2 is based on H. Cartan’s Second main theorem for analytic curves [1] and the following new theorem on representation of a function harmonic inC+.

THEOREM 3. – Let u be a real-valued function harmonic inC+which satisfies the conditions:

(i) there exists a sequence{rk}, rk→ ∞, such that

Z π 0

u+ r eiϕ
sin ϕ dϕ6 expo(r), r = rk→ ∞; (7)

(ii) there exists H > 0 such that,

sup 0<y<H Z _∞ −∞ |u(x + iy)| 1 + x2 dx <∞. (8)

Then u admits the representation

u(z) =y π Z _∞ −∞ dν(t) (t− x)2_{+ y}2 + ky, z = x + iy∈ C+, (9) where k∈ R is a constant, ν is a real-valued Borel measure on R such that

Z _∞

−∞

d|ν|(t)

1 + t2 <∞. (10)

Theorem 3 differs from the known results ([3], p. 109, [4], p. 233) since it gives a much weaker condition (7) on the growth of u for the representation (9) to hold. For example, in [4], p. 233, one assumes that

3. Statement of the main result

The equality (1) is not true for arbitrary linearly independent measures µj satisfying (3). Indeed, if n is

even, we define µj, j = 1, 2, . . . , n, by Fourier transforms:bµ2s−1(t) = exp[−e−ist], bµ2s(t) = exp[e−ist],

s = 1, 2, . . . , n/2. Then µ1, . . . , µnsatisfy condition (3) and `(µ1∗ · · · ∗ µn) = 0 while `(µj) =−∞ for all

j = 1, . . . , n. If n is odd, we define µ1, . . . , µn−1as previously and set µn= δ0.

An example in which µ2s−1= µ1 and µ2s= µ2, where s = 1, . . . , n/2 and µ1, µ2 defined as above

shows that Theorem A is not true for arbitrary collections of linearly dependent measures satisfying (3). We now give necessary and sufficient conditions on the linear dependence of measures µjso that (1) remains

true.

Let{µ1, . . . , µn}, n > 2, be a collection of measures of M. Let Λ be the linear span of the collection,

p = dim Λ. We assume that 16 p 6 n − 1. One may re-numerate µjso that the first p measures µ1, . . . , µp

form a basis of Λ. Then we have

µk= p

X

j=1

ck,jµj, p + 16 k 6 n, (11)

where ck,j’s are constants. Consider the (n− p) × p matrix

C =    cp+1,1 cp+1,2 · · · cp+1,p · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · cn,1 cn,2 · · · cn,p    . (12)

We say that the collection{µ1, . . . , µn} is admissible if C satisfies the following conditions (α) and (β):

(α) each column of C contains at least one non-zero element.

Observe that in some cases it is possible to delete some rows of C without violating condition (α). Let us denote by eC any submatrix of C with the minimal number of rows that still satisfies condition (α).

(β) Any matrix eC either consists of one single row or each pair{ρ, R} of its rows can be embedded in a

net{ρ1, . . . , ρm} of its rows such that ρ1= ρ, ρm= R and, for each t, 16 t 6 m − 1, ρtand ρt+1have

non-zero elements in the same column (depending on t).

Observe that if p = 1, then C consists of one single column and the collection{µ1, . . . , µn}, n > 2, is

always admissible. If the assumptions of Theorem 1 are satisfied, then p = n− 1 and C = eC consists of one

single row (1, 1, . . . , 1) and hence it is admissible. Therefore, Theorem 1 is a special case of the following theorem.

THEOREM 4. – Let{µ1, µ2, . . . , µn}, n > 3, be a collection of measures of M satisfying condition (3). If this collection is admissible, then (1) holds.

One can check that assumptions (α) and (β) hold true when µj= ν1− ν2exp(2πij/n), j = 1, . . . , n,

where ν1and ν2belong to M and satisfy (3). This shows that Theorem B follows from Theorem 4.

The condition of admissibility in Theorem 4 cannot be weakened. Namely, if a (n− p) × n matrix,

C (n> 2, 2 6 p 6 n) does not satisfy at least one of conditions (α), (β), then it is possible to define a

collection{µ1, . . . , µn} having C as the corresponding matrix and such that (3) is satisfied but (1) does not

hold. We restrict ourselves by a typical example.

Example 1. – Let n = 6, p = 4, C =  1 1 0 0 0 0 1 1  , bµ1(z) = 1 +bν1(z)
ecos z,

bµ2(z) = 1 +bν2(z)
ecos z, bµ3(z) = 1 +bν3(z)
e− cos z, bµ4(z) = 1 +bν4(z)
e− cos z,

where νj, j = 1, 2, 3, 4, are linearly independent over C measures such that `(νj) > 0, j = 1, 2, 3, 4,

andbµ5(z) =bµ1(z) +bµ2(z), bµ6(z) =bµ3(z) +bµ4(z). Clearly, all measures satisfy the condition (3) and

`(µ1∗ · · · ∗ µ6) = 0, `(µj) =−∞, j = 1, . . ., 6.

The Note is the succint version of a text on file for five years in the Academy Archives. Copy available upon request.

References

[1] Cartan H., Sur les zéros des combinaisons linéaires de p fonctions holomorphes données, Mathematica (Cluji) 7 (1933) 5–31.

[2] Domar Y., Extension of the Titchmarsh convolution theorem with applications in the theory of invariant subspaces, Proc. London Math. Soc. 46 (1983) 288–300.

[3] Levin B.Ya., Lectures on Entire Functions, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1996.

[4] Levin B.Ya., Distribution of Zeros of Entire Functions, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1980.

[5] Ostrovskii I.V., Generalization of the Titchmarsh convolution theorem and the complex-valued measures uniquely determined by their restriction to a half-line, Lect. Notes in Math. 1155, Springer-Verlag, 1985, pp. 256–283.