Korovkin yaklaşım teoremleri ve kuvvet serisi metodu

T.C.

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

KOROVKİN YAKLAŞIM TEOREMLERİ VE KUVVET SERİSİ

METODU

YÜKSEK LİSANS TEZİ

EBRU ALTIPARMAK

T.C.

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

KOROVKİN YAKLAŞIM TEOREMLERİ VE KUVVET SERİSİ

METODU

YÜKSEK LİSANS TEZİ

EBRU ALTIPARMAK

i

ÖZET

KOROVKİN TİPLİ YAKLAŞIM TEOREMLERİ VE KUVVET SERİSİ METODU

YÜKSEK LİSANS TEZİ

EBRU ALTIPARMAK

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

(TEZ DANIŞMANI:DOÇ.DR. ÖZLEM GİRGİN ATLIHAN) DENİZLİ, TEMMUZ - 2017

Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde, pozitif lineer operatörler, matris toplanabilme, A-toplam süreci Abel toplanabilme, Kuvvet Serisi metodu ve süreklilik modülüne ilişkin temel tanımlar ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde, ilk olarak Klasik Korovkin teoremi incelenmiştir. Daha sonra sırasıyla A-toplam süreci, Abel toplanabilme ve Kuvvet Serisi metodlarını kullanarak,C ,

 

a b uzayında Korovkin tipli yaklaşım teoremleri verilmiştir. Son bölümde ise öncelikle H uzayı tanıtılıp, daha sonra _ H uzayındaki _ Korovkin tipli yaklaşım teoremi verilmiştir. Bu bölümün son kısmında ise kuvvet serisi metodu yardımıyla çift değişkenli H uzayında tanımlı pozitif lineer operatör _ dizileri için Korovkin tipli yaklaşım teoremi verilmiştir. Aynı zamanda yaklaşım oranı da verilmiştir.

ANAHTAR KELİMELER: Korovkin teoremi, pozitif lineer operatörler, A-toplam süreci, Abel toplanabilme, Kuvvet Serisi metodu, Yakınsaklık oranı

ii

ABSTRACT

KOROVKIN TYPE APPROXIMATION THEOREMS AND POWER SERIES METHOD

MSC THESIS

EBRU ALTIPARMAK

PAMUKKALE UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE MATHEMATICS

(SUPERVISOR:DOÇ.DR. ÖZLEM GİRGİN ATLIHAN) DENİZLİ, JULY 2017

This thesis consists of four chapters. The first chapter has been devoted to the introduction. In the second chapter, some basic concepts of positive linear operators, matrix summability, A-summation process, Abel summability, Power Series method and modulus of continuity have been recalled. In the third chapter, firstly, Classical Korovkin Theorem has been studied. Then, using A-summation process, Abel method and Power Series method respectively, some Korovkin type approximation theorems on C ,

 

a b spaces have been studied. In the last chapter, firstly, the space



H has been considered. Then Korovkin type approximation theorem on H spaces 

has been studied. In the final section of this chapter, we give a Korovkin type approximation theorem by positive linear operators defined on the double variable



H space with the use of the power series method. We also consider the rates of convergence of these operators

KEYWORDS: Korovkin theorem, positive linear operators, A-summation porcess, Abel summability, Power Series method, rate of convergence

iii

İÇİNDEKİLER

Sayfa ÖZET...i ABSTRACT...ii SEMBOL LİSTESİ...iv ÖNSÖZ...v 1. GİRİŞ...1

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER...4

2.1 Pozitif Lineer Operatörler...4

2.2 Temel Toplanabilme Kavramları... 6

2.3 Süreklilik Modülü...8

3. KOROVKİN TİPLİ YAKLAŞIM TEOREMLERİ...10

3.1 Klasik Korovkin Teoremi...10

3.2 A-Toplanabilme ile Korovkin Tipli Yaklaşım Teoremleri...16

3.3 Abel Toplanabilme ile Korovkin Tipli Yaklaşım Teoremleri...21

3.4 Kuvvet Serisi Metodu ile Korovkin Tipli Yaklaşım Teoremleri...27

4. H UZAYI İÇİN VERİLEN KOROVKİN TİPLİ YAKLAŞIM _ TEOREMLERİ...37

4.1 Çift Değişkenli H Uzayında Kuvvet Serisi Metodu Yardımıyla _ Korovkin Tipli Yaklaşım Teoremleri... 43

KAYNAKLAR...54

ÖZGEÇMİŞ...57

iv

SEMBOL LİSTESİ

 





       



k k nk n a x Ax

Ax : x dizisinin A matrisi altındaki dönüşüm dizisi ℝ : reel sayılar kümesi

ℕ : doğal sayılar kümesi

E

 : E kümesinin karakteristik fonksiyonu

 



 f; : f fonksiyonunun süreklilik modülü

 

a b

C , :

 

a,b aralığındaki sürekli fonksiyonların uzayı

 

a b

B , :

 

a,b aralığındaki sınırlı fonksiyonların uzayı

 

a b

L_q , :

 

a,b aralığındaki integrallenebilir fonksiyonların uzayı



0,



B

C :



0,



aralığında sürekli ve sınırlı fonksiyonların uzayı

 

I

C_B :I 



0,







0,



aralığındaki sürekli ve sınırlı fonksiyonların uzayı



;1,2



 f : çift değişkenli f fonksiyonunun süreklilik modülü

 H :

   

_           y y x x x f t f 1 1  koşulunu sağlayan,

 

0, aralığında tanımlı reel değerli fonksiyonların uzayı

 

I H_ :

   

_              y y v v x x u u f y x f v u f 1 1 , 1 1 ; , , 

koşulunu sağlayan I 

   

0,  0, aralığında tanımlı reel değerli fonksiyonların uzayı

v

ÖNSÖZ

Bu tez çalışmasında değerli zamanını ayırarak bana yardım ve eleştirilerini hiç esirgemeyen ve her türlü bilgi ve deneyimlerini benimle paylaşan değerli danışman hocam Sayın Doç. Dr. Özlem Girgin ATLIHAN'a ve tüm hayatım boyunca bana her zaman destek olan canım aileme, arkadaşlarıma en içten teşekkürlerimi sunarım.

1

1. GİRİŞ

1821 yılında Augustin Louis Cauchy yayınladığı Analyse Algebrique adlı çalışmasında yakınsak bir dizinin aritmetik ortalamasının da yakınsak ve dizi ile aynı limite sahip olduğunu ispatlamakla toplanabilme teorisinin temelini atan ilk matematikçilerden biri olmuştur. Ancak ondan çok daha önce Leibniz, Newton ve çağdaşları sonsuz dizi ve serilerle ilgilenmişlerdir. Özellikle sonsuz serilerle yapılan hesapların doğal bir sonucu gibi görmüşlerdir. Bu görüşün sonucu olarak James Bernoulli 1696 yılında

bağıntısını kullanmıştır. Euler ise hiçbir şeyden kuşkulanmadan bu eşitlikte x1 alarak, Euler paradoksal eşitliği adı verilen

2 1 ... 1 1 1 1    

eşitliğini vermiş ve birçok yerde bunu kullanmıştır. 1828 yılında Abel, ıraksak sonsuz serileri şeytanın icadı olarak adlandırılmıştır. Yakınsaklık kavramının aydınlatılmasından çok önce ve sezgisel olarak bulunan sonuçlar yakınsaklık tanımından ve Cauchy'nin yukarıdaki söz konusu teoreminden sonra anlam kazanmış ve toplanabilme teorisinin temelini oluşturmuştur. 1890 yılında E. Cesaro, C ₁ yakınsaklık kavramını vermiştir. Buna göre bir serinin kismi toplamlar dizisi olan

 

Sn dizisinin aritmetik ortalaması L değerine yakınsak ise

 

Sn dizisi L değerine 1

C yakınsaktır veya serinin kendisi L değerine Cesaro toplanabilirdir denir. Böylece yakınsaklık kavramının genelleştirilmesi görüşü ortaya çıkmıştır. Çünkü,



 



n n

1

serisinin kısmi toplamlar dizisi olan

 



 



      _{ }  n n S 1 1 2 1

dizisi yakınsak olmadığı halde bunun aritmetik ortalaması

2

1 _{değerine yakınsaktır. Bu sonucun yukarıda}

Euler tarafindan verilen sonuç ile aynı olduğu görülmüştür. Bundan sonra ıraksak serilere ilişkin çalışmalar yoğun bir şekilde ele alınmıştır. Buradan anlaşılacağı gibi

x x x      1 1 ... 1 2

2

toplanabilme metodunun temel amacı yakınsak olmayan bir diziyi yakınsak yapmaktır.

Bu yüksek lisans tezinde toplanabilme metodunun yaklaşım teorisinde kullanımı incelenmiştir.

Klasik Yaklaşım Teorisi, 1885 yılında Alman matematikçi Karl Weierstrass'ın sonlu aralıkta sürekli olan her fonksiyona bu aralıkta yakınsayan bir polinomun olacağını ispat etmesiyle başlamıştır. Birçok matematikçi bunun ispatını farklı şekilde ele almıştır. Örneğin Bernstein 1912 yılında Bernstein polinomlarının C

 

0,1 uzayındaki fonksiyonlara düzgün yakınsadığını ispatlamıştır. Daha sonraları pozitif lineer operatör dizilerinin yaklaşım özellikleri üzerine çalışılmıştır. Dolayısıyla

 

Ln

dizisinin sürekli bir fonksiyona düzgün yakınsak olması için gerekli şartlar nelerdir sorusu akla gelmektedir. Bu sorunun cevabını, Bohman (1952) ve Korovkin (1953) birbirinden bağımsız olarak bulmuşlardır. Bu sonuçlar birçok matematikçinin bu yaklaşımları farklı uzaylara genişletmesine kaynak sağlamıştır. Böylelikle Yaklaşım Teorisi'nin özel bir dalı olan Korovkin Tipi Yaklaşım Teorisi ortaya çıkmıştır.

Kompakt bir aralıkta sürekli fonksiyonların yaklaşımı hakkındaki klasik Korovkin teoremi, bir pozitif lineer operatör dizisinin birim operatöre yakınsayıp yakınsamayacağına ilişkin şartları belirler. Süreksizlik noktalarında ise, bu operatörlerin genellikle fonksiyonun sağ ve sol limitlerinin aritmetik ortalamasına yakınsadığı görülür. Fakat süreksizlik noktalarında yakınsak olmayan Hermit-Fejer yaklaşım operatörleri gibi operatörler de vardır (Bojanic ve Cheng, 1983). Böyle durumlarda yakınsaklık kaybını gidermek için Cesaro metodunun sürekli periyodik fonksiyonların Fourier serisini yakınsak yapmada etkili olduğunu göstermiştir. Klasik Korovkin teoremindeki pozitif lineer operatör dizisinin yakınsamaması durumunda ilk yöntem olarak hemen hemen yakınsaklık metodunun kullanımı düşünülmüştür. Bununla ilgili çalışmalar King ve Swetits (1970), Mohapatra (1977) tarafından yapılmıştır. İkinci yöntem olarak ise istatiksel yakınsaklık metodu düşünülmüş ve bu metot yardımıyla Klasik Korovkin teoremi geliştirilmiştir (Gadjiev ve Orhan 2002, Duman, vd. 2003). Matris toplanabilme metodlarının Korovkin tipli yaklaşım teorisinde kullanımı Swetits tarafından yapılmıştır (Swetits 1979).

3

Daha sonra 2013 yılında Ünver tarafından Abel toplanabilme metodu kullanılarak Korovkin tipli yaklaşım teoremleri verilmiştir.

Son olarak da 2017 yılında Taş ve Atlıhan tarafından Kuvvet Serisi metodu kullanılarak geliştirilen Korovkin tipli yaklaşım teoremleri verilmiştir.

4

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER

Bu bölümde, tez boyunca ihtiyaç duyacağımız temel tanım ve kavramları vereceğiz.

2.1 Pozitif Lineer Operatörler

Tanım 2.1.1 X boştan olmayan bir küme, F reel veya kompleks sayıların bir cismi olsun.

+ :XX X . :FX X

fonksiyonları aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa, X kümesine F cismi üzerinde bir lineer uzay (vektör uzayı) denir.

X z y x   , , ve ,Fiçin ) 1 L xyyz, ) 2 L (xy)zx(yz), ) 3

L x xolacak şekilde x vardır, )

4

L X için x(x)(x)x olacak şekilde bir xX vardır, ) 5 L 1.xx, ) 6 L (xy)xy, ) 7 L ()xxx, ) 8 L (x)()x (Kreyzing 1978).

Tanım 2.1.2 Vektör uzayları üzerinde tanımlı dönüşümlere ''operatör'' denir.

5

Tanım 2.1.3 X ve Y aynı cisim üzerinde tanımlı iki lineer uzay olmak üzere

Y X

L:  operatörü verilmiş olsun. Eğer x,yXve ,Fiçin



x y



L

 

x L

 

y

L   

şartlarını sağlıyorsa L'ye ''lineer operatör'' denir (Maddox 1978).

Tanım 2.1.4 X ve Y reel değerli fonksiyonların uzayı olmak üzere L:XY lineer operatör olsun. L operatörünün x noktasındaki değeri L

   

f;x g x şeklinde gösterilsin. X tanım uzayından alınan f 0 fonksiyonu için L

 

f 0 koşulunu gerçekliyor ise bu durumda Loperatörüne ''pozitif operatör'' denir.

Lineer ve pozitif olan operatörlere ''pozitif lineer operatör'' denir. Pozitif lineer operatörler aşağıdaki özellikleri gerçekler.

1.  f 0L

 

 f L

 

f 0

2. Pozitif lineer operatörler monoton artandır.Yani;

   

f L g L

g

f   

3. L pozitif lineer operatör olmak üzere,

 

f

 

L f

L 

gerçeklenir.

Tanım 2.1.5 X kompleks veya reel vektör uzayı olmak üzere . : X ℝ fonksiyonu

aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa bu fonksiyona X üzerinde bir norm ve



X, .



ikilisine de ''normlu uzay'' denir.x,yX ve Folsun. ) 1 N x 0x , ) 2 N x .x , ) 3 N xy  x  y gerçeklenir.

6

Tanım 2.1.6 X ℝ, f :X ℝ ve x₀X olsun. 0verilsin. Eğer xx0 

koşulunu sağlayan her xX için f

   

x  f x0  olacak şekilde  

 

;x 0

sayısı bulunabiliyorsa f fonksiyonu x0 noktasında süreklidir denir. Ayrıca f

fonksiyonu her xXiçin sürekli ise f ''süreklidir'' denir (Kreyzing 1978).

Tanım 2.1.7 X ℝ ve f :Xℝ fonksiyonu ile 0verilsin. Eğer xx0 

koşulunu sağlayan her x,x₀X için f

   

x  f x0  olacak şekilde  

 

 0

sayısı bulunabiliyorsa f fonksiyonu X de ''düzgün süreklidir'' denir (Kreyzing

1978).

Tanım 2.1.8 Xℝ ve f :X ℝ bir fonksiyon olsun. Her xXiçin f

 

x M

olacak şekilde bir M0 sayısı varsa f fonksiyonuna ''sınırlı fonksiyon'' denir.

2.2 Temel Toplanabilme Kavramları

Bu kısımda tezde ihtiyaç duyacağımız matris toplanabilme metodlarından ve buna ilişkin bazı sonuçlardan söz edeceğiz. Öncelikle klasik matris toplanabilme metodunu hatırlatacağız daha sonra da A-toplanabilme, Abel toplanabilme ve Kuvvet Serisi metodu kavramlarını vereceğiz.

Tanım 2.2.1 A

 

a_nk ,k,n1,2,3,... sonsuz bir matris ve reel yada kompleks terimli bir x

 

x_k dizisi verilsin. x dizisinin A dönüşüm dizisi Ax 



 

Ax n



ile

gösterilir ve

 

k k nk n a x Ax



   1

şeklinde tanımlanır (burada her bir n için seri yakınsak kabul edilmektedir). Eğer,

 

Ax _n L

n 

7

koşulu gerçekleniyor ise x dizisi L değerine ''Atoplanabilirdir '' denir. Eğer her yakınsak

 

x_n dizisi için xn L

n 

lim olduğunda

 

Ax _n L

n 

lim koşulu sağlanırsa A

''regüler matris'' adını alır (Hardy 1949, Wilansky 1984, Boos 2000).

Bir A(a_nk)matrisinin regüler olması aşağıdaki Silverman-Toeplitz Teoremi ile karakterize edilir.

Teorem 2.2.2 Bir A

 

a_nk matrisinin regüler olması için gerek ve yeter koşul

) i



  1 sup k nk n a , )

ii Her k için k: lim nk 0

n a a    , ) iii lim 1 1 



    k nk n a

koşullarını sağlamasıdır (Hardy 1949, Wilansky 1984, Boos 2000).

Bell (1973) ve Steiglitz (1973) Tanım 2.2.1'deki düşünceyi kullanarak A

 

a_nk matrisi yerine A

 

( )

 

kj(n)

n

a A 

 matris dizisini alarak daha genel olan aşağıdaki tanımı vermişlerdir. Tanım 2.2.3 A

   

( ) (n) kj n a  

 , k,j1,2,3,... sonsuz matrislerin bir dizisi olmak üzere, verilen bir x

 

xj dizisi için,

L x a _j j n kj k



     1 ) (

lim , ( n'ye göre düzgün )

koşulu gerçekleniyorsa

 

xj dizisi L değerine ''A-toplanabilir'' denir (Bell 1973,

Stieglitz 1973 ).

Eğer her n ℕ için  A(n) A ise A-toplanabilme klasik matris toplanabilmeyi verir.

I birim matris olmak üzere her nℕ için A(n)  ise A-toplanabilme klasik yakınsaklığa indirgenir.

8 Tanım 2.2.4 Her y

 

0,1 için k

k ky

x





0

serisi yakınsak olsun. Eğer,



y



x yk L k k y 



    0 1 1 lim

koşulu gerçekleniyorsa x

 

x_k dizisi L değerine ''Abel Yakınsaktır'' veya ''Abel Toplanabilirdir'' denir (Powel ve Shah, 1972).

Tanım 2.2.5

 

pn ,p0 0 ve pn 0,(nℕ) koşullarını sağlayan reel terimli bir dizi

olsun. Ayrıca

 

n n nt p t p



   0 şeklinde tanımlı kuvvet serisi, R yakınsaklık yarıçapına sahip olsun



0R



.

Eğer,

_{ }

x p t L t p n n n n R t



     0 1 lim

koşulu gerçekleniyorsa x

 

x_n dizisi L değerine ''Kuvvet Serisi Metodu Anlamında Yakınsaktır'' denir (Kratz ve Stadtmüller,1989).

2.3 Süreklilik Modülü

Bu kısımda yakınsaklık oranı olarak adlandırılan hesaplamayı yaparken kullanılan süreklilik modülü kavramı ve özellikleri verilecektir.

Tanım 2.3.1 C ,

 

a b uzayı,

 

a,b aralığında tanımlı reel değerli fonsiyonların uzayı olmak üzere, f C

 

a,b olsun. f fonksiyonunun süreklilik modülü 

 

f; şeklinde gösterilir ve

 

f f

   

t f x x t        ; sup

şeklinde tanımlıdır. Burada  pozitif bir sabittir.

9 Özellikler : ) i 

 

f; 0 ) ii ₁₂



f;₁

 

 f;₂



) iii 



f g;

    

 f;  g; ) iv 



f;m



m

 

f; )

v

 

 ,'nın tam değerini göstermek üzere bir 0 sayısı için, 



f;







1

 









f;

 

 1

 

 f;



) vi 



f;tx



 f(t) f(x) ) vii 







 1 ; ) ( ) (t f x t x f f _         

10

3. KOROVKİN TİPLİ YAKLAŞIM TEOREMLERİ

3.1 Klasik Korovkin Teoremi

Bu bölümde yaklaşımlar teorisinde önemli yeri olan, 1953 yılında Korovkin tarafından verilen yaklaşım teoremlerini ve bu teoremlerin ispatlarını vereceğiz. Burada kullanılan C ,

 

a b ve B ,

 

a b uzayları sırasıyla,

 

a,b aralığında tanımlı reel değerli sürekli ve sınırlı fonksiyonların uzayları olup,

 

x f f b a x[ , ] sup  

normuna göre Banach Uzaylarıdır.

Teorem 3.1.1 L_n:C

 

a,b C

 

a,b pozitif lineer operatörlerin bir dizisi olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler denktir :

) i f C

 

a,b için lim _n  _C[a,b] 0 n L f f ) ii

 

 

 

2 2 1 0 t 1, f t t, f t t

f    olmak üzere lim _{n i}  _{i C[a,b]} 0

n L f f , i0,1, 2.

İspat : i)ii) gerçeklendiği açıktır. Çünkü, f C

 

a,b için ii) hipotezi

sağlandığına göre

 

 

 

2

2 1

0 t 1,f t t, f t t

f    fonksiyonları da C ,

 

a b uzayının elemanı olduğundan istenilen elde edilir.

Şimdi ii)i) olduğunu gösterelim .

 

a b

C

f  , alalım. f sürekli bir fonksiyon olduğundan  0için  0vardır 



 x

t koşulunu sağlayan x,t

 

a,b için f

   

t  f x  gerçeklenir. Şimdi

  x t için, 1    x t 



₂



1 2    x t

11

   

 

 

2 .1 2



₂



2  x t M M x f t f x f t f      

gerçeklenir. O halde x,t

 

a,b için,

   





      ₂ 2 2M t x x f t f olduğu görülür.

Son eşitsizliğin her iki tarafına L pozitif lineer operatörü uygulanırsa, _n









_      _    f x x L M t x x t f L_n ( ) ( ); _n 2 ₂ ; 2   L_n

 

;x 2M₂ L_n





t x



2;x



    L_n

 

;x  2M₂



L_n

 

t2;x 2xL_n

 

t;x    x2Ln

 

1;x 2x2



 



L_n

 

1;x 1



2M₂





L_n

 

t2,x x2



   2x



Ln

 

t;x x



x2



Ln

 

1;x 1





   





 



 

2 2 2 ; 2 1 ; 1 ;x L x M L t x x x f t f L_n    _n   _n     2x.L_n

 

t;x x  x2.L_n

 

1;x 1



(3.1) eşitsizliği elde edilir. Diğer yandan



f(t);x



f(x) L



f(t);x



L



f(x);x



L



f(x);x



f(x)

Ln   n  n  n 

 L_n



f(t);x



L_n



f(x);x



 L_n



f(x);x



 f(x)

12

yazılabilir. Bu son eşitsizlikte (3.1) eşitsizliği dikkate alınırsa,

 





 

 



 

2 2 2 2 ; 1; 1 ; n n n M L f t x f x   L x L t x x        2x.L_n

 

t;x x  x2.L_n

 

1;x x



+ f(x).L_n

 

1;x 1 elde edilir.

Son eşitsizliğin her iki tarafının x

 

a,b için supremumu alınıp norma geçilirse,



L f2 f2 L f1 f1 L f0 f0



H f f Ln    n   n   n  bulunur. Burada       _         2 , 2 , 2 , sup 2 , 2 sup 2 , sup M x M x H b a x b a x b a x   

şeklindedir. Şimdi niçin limit alınırsa )ii hipotezinden lim _n  _{C a,b} 0

n L f f

olduğu görülür.■

Şimdi periyodik fonksiyonlar için verilen Korovkin tipli yaklaşım teoremini verelim. Burada C



0,2



{ f : f



0,2



ℝ,2 periyotlu sürekli fonksiyon } vektör uzayı  olup,   _{ } f

 

x f x C  _ 2 , 0 2 , 0  _sup

normuna göre Banach Uzayıdır.

Teorem 3.1.2 L_n:C



0,2



C



0,2



pozitif lineer operatörlerinin bir dizisi olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler denktir :

)

i f C



0,2



için lim _n  _{C0,2} 0

13 )

ii f₀

 

t 1,f₁

 

t sint,f₂

 

t costolmak üzere lim n i  i _{C0,2} 0

n L f f , i0,1, 2.

İspat : i)ii) gerçeklendiği açıktır. Çünkü f C



0,2



için ii) hipotezi sağlandığına göre f0

 

t 1,f1

 

t sint,f2

 

t cost fonksiyonları da C



0,2



uzayının elemanı olduğundan istenilen elde edilir.

Şimdi ii)i) olduğunu gösterelim.



0,2



C

f  alalım. f sürekli bir fonksiyon olduğundan  0için  0vardır 



 x

t koşulunu sağlayan x,t

 

a,b için f

   

t  f x  gerçeklenir. f ,



0,2



'de sınırlı olduğundan,

   

 

 

2 .1 2



₂



2  x t M M x f t f x f t f      

gerçeklenir. Şimdi t



x,2x



aralığını alalım. Bu aralığın boyu 2 olup  x t2x

 tx2 eşitsizliğinden tx  bulunur. Ayrıca tx için f

   

t  f x  olduğu biliniyor.

Son olarak t



x,2 x



aralığını alalım. Buradan,

        t x x 2    tx2  2 2 2 2    _tx_  





2 sin 2 sin tx  





1 2 sin 2 sin    _ x t 





1 2 sin 2 sin 2 2    x t

14

   





2 sin 2 sin 2 2 2   x t M x f t f     olduğu görülür.

Bu son eşitsizliğin her iki tarafına L pozitif lineer operatörü uygulanırsa, _n

   









              f x x L M t x x t f L_{n n} ; 2 sin 2 sin 2 ; 2 2 

 

2





2 2 , sin ; 2 sin 2 n n t x M L  x _ L   x   _{ }  

 





         L_n x M L_n t x ;x 2 2 cos 1 2 1 . 2 sin 2 ; 2  L_n

 

x M



L_n

 

1;x cosxL_n



cost;x



2 sin ; 2       _ sinxL_n



sint;x

 

1



 







 

1; 1



2 sin 1 ; 1 2      L_n x M_ L_n x

cosx



L_n



cost;x



cosx



sinx



L_n



sint;x



sinx





   



 



 

1; 1 2 sin 1 ; 1 ; 2       f x x L x M L x t f L_n   _{n  n}

cosx.L_n



cost;x



cosx sinx.L_n



sint;x



sinx



(3.2) eşitsizliği elde edilir.

15



f(t);x



f(x) L



f(t);x



L



f(x);x



L



f(x);x



f(x)

Ln   n  n  n 

 L_n



f(t);x



L_n



f(x);x



 L_n



f(x);x



 f(x)

L_n



f(t) f(x);x



 f(x) L_n

 

1;x 1

Bu eşitsizlikte (3.2) eşitsizliği dikkate alınırsa,

 



  

 



 

1; 1 2 sin 1 ; 1 ; 2       f x L x M L x x t f L_n   _{n  n}

cosx.Ln



cost;x



cosxsinx.Ln



sint;x



sinx



 f(x) L_n

 

1;x 1

bulunur.

Son eşitsizliğin her iki tarafının x



0,2



için supremumu alınıp norma geçilirse,



L f2 f2 L f1 f1 L f0 f0



H f f L_n   _n   _n   _n  bulunur. Burada       _              x M x M H x x x sin sup 2 sin 2 , cos sup 2 sin 2 , sup 2 , 0 2 2 , 0 2 2 , 0       şeklindedir.

Daha sonra n için limit alınırsa ii hipotezinden )

  0

lim _n  _C0,2 

n L f f

16

3.2 A -Toplanabilme ile Korovkin Tipli Yaklaşım Teoremi

Bu bölümde 1981 yılında Bell tarafından A-toplanabilme metodu kullanılarak geliştirilen Korovkin tipli yaklaşım teoremleri ve bu teoremlerin ispatları incelenmiştir. Ayrıca süreklilik modülü kullanılarak bu yaklaşımın oranı incelenecektir. Tanım 3.2.1 A

   

( ) (n) kj n a  

 , k,j1,2,3,... reel terimli sonsuz matris dizisi olmak üzere her j için L_j:C

 

a,b B

 

a,b pozitif lineer operatör olsun. Eğer her

 

a b C

f  , için



Lj

 

f



dizisi f fonksiyonuna A-toplanabilir ise yani her

 

a b C f  , için

 

0 lim 1 ) (  



  j j n kj k a L f f , ( n'ye göre düzgün )

koşulu gerçekleniyorsa

 

Lj dizisine ''A-toplam süreci'' adı verilir.

 

a b B

 

a b C L_j: ,  , her n,kℕ için,



 

   1 1 ) ( j j n kj L a (3.3)

koşulunu sağlayan pozitif lineer operatörlerinin bir dizisi olsun. Bu durumda her bir

 k n, ℕ ve f C

 

a,b için, B

 

f x a L_j



f

 

t x



j n kj n k ; ; 1 ) ( ) (



   , n,k 1,2,3,... ile tanımlı (n) k

B operatörünü ele alalım. O halde,

 

_{ }  B

 

f x f B _kn b a x b a C n k sup ; ) ( , , ) (    





 



    1 ) ( , ; sup j j n kj b a x x t f L a  j a Lj



f

 

t x



n kj b a x ; sup 1 ) ( ,



   

17   a Lj



f x



j n kj b a x ; sup 1 ) ( ,



      a L

 

x f _j j n kj b a x ; 1 sup 1 ) ( ,



    ( )

 

1 1 n kj j j f a L   



elde edilir. Şimdi (3.3) gözönüne alınırsa (n) k

B operatörü her bir n, için anlamlı k olup B ,

 

a b uzayına aittir. Dolayısıyla

   

 

  _{ }





 



      1 0 ) ( , , ) ( , , ) ( ; sup 1 j j n kj b a x b a B n k b a B b a C n k B a L f t x B şeklinde yazabiliriz.

Şimdi toplam süreci yardımıyla geliştirilen Korovkin tipli yaklaşım teoremleri ve bu teoremlerin ispatlarını verelim (Bell 1981).

Teorem 3.2.2 A

   

( ) kj(n) n

a  

 terimleri negatif olmayan reel terimli matrislerin bir dizisi olsun. L_j:C

 

a,b B

 

a,b ve (3.3) koşulunu sağlayan pozitif lineer operatör dizisi olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler denktir :

)

i Her f C

 

a,b için lim Bk(n)f  f 0

k , ( n'ye göre düzgün )

)

ii f_i

 

t ti,i0,1,2 olmak üzere lim _k(n)

 

_i  _i 0

k B f f , ( n'ye göre düzgün )

İspat : i)ii) gerçeklendiği açıktır. Çünkü, her f C

 

a,b için ii hipotezi )

sağlandığına göre

 

 

 

2

2 1

0 t 1, f t t, f t t

f    fonksiyonları da C ,

 

a b uzayının elemanı olduğundan istenilen elde edilir.

Şimdi ii)i)olduğunu gösterelim.

 

a b

C

18



 x

t koşulunu sağlayan x,t

 

a,b için f

   

t  f x  gerçeklenir. Buradan, f ,

 

a,b 'de sınırlı olduğundan,

   

 

 



2



2 2 1 . 2  x t M M x f t f x f t f      

gerçeklenir. O halde x,t

 

a,b için

   





      ₂ 2 2M t x x f t f olduğu görülür.

Bu son eşitsizliğin her iki tarafına (n) k

B pozitif lineer operatörü uygulanırsa ,

   









      _{ }   f x x B M t x x t f B_k(n) ; _k(n) 2 ₂ 2;   B_k( )n

 

;x 2M₂ B_k( )n





t x



2;x



    B

 

x M



B n

 

t x k n k ; 2 ; ( ) 2 2 ) (       ( )

 

2 ( )

 

2



2 ; 1 ; 2xB t x x Bkn x x n k     



B_k(n)

 

1;x 1



 2M₂





B_k(n)

 

t2;x x2



   2x



B_k(n)

 

t;x x



x2



B_k(n)

 

1;x 1



   



f t f x x



B

 

x M



B

 

t x x B_k(n)  ;   _k(n)1; 12 _{2 k}(n) 2;     2x.B( )

 

t;x x x2.Bk(n)

 

1;x 1



n k (3.4)

eşitsizliği elde edilir. Ayrıca

 



f t x

  

f x B



f

 

t x



B



f

 

x x



B



f

 

x x

  

f x B_k(n) ;   _k(n) ;  _k(n) ;  _k(n) ; 

19

 B_k(n)



f

 

t ;x



B_k(n)



f

 

x;x



 B_k(n)



f

 

x;x

  

 f x

B_k(n)



f

   

t  f x ;x



 f

 

x .B_k(n)

 

1;x 1 bulunur. Bu eşitsizlikte (3.4) eşitsizliği dikkate alınırsa,

 



  

 



( )

 

2 2 2 ) ( ) ( ; 2 1 ; 1 ;x f x B x M B t x x t f B_kn    _kn   _kn     2x.B( )

 

t;x x  x2.Bk(n)

 

1;x 1



n k  f

 

x .B_k(n)

 

1;x 1 elde edilir.

Son eşitsizliğin her iki tarafının x

 

a,b için supremumu alınıp norma geçilirse,







0 0



) ( 1 1 ) ( 2 2 ) ( ) ( ;x H B f f B f f B f f f B kn n k n k n k        bulunur. Burada,       _         2 , 2 , 2 , sup 2 , 2 sup 2 , sup M x M x H b a x b a x b a x    şeklindedir.

Daha sonra k için limit alınırsa ve ii hipoteziden )

  0 lim , ) (   b a C n k k B f f , ( n’e göre düzgün ) olduğu görülür.■

Şimdi Teorem 3.2.2 'de verilen pozitif lineer operatör dizisi için yaklaşım oranını elde edeceğiz.

Yaklaşım oranı n 0



n



olmak üzere Ln

   

f;x  f x c n olacak

20

oranı olarak adlandırılan bu hesaplamayı yapmak için birçok araç kullanılabilir. Bunlardan biri de süreklilik modülüdür.

Teorem 3.2.3 A

   

( ) kj(n) n

a

A 

 terimleri negatif olmayan reel terimli sonsuz matrislerin bir dizisi olsun. Lj:C

 

a,b B

 

a,b ve (3.3) koşulunu sağlayan pozitif

lineer operatörlerin bir dizisi olsun. Bu takdirde k n, için,

 

. ( )

 

1 1

 

. ( )

 

1 1 ) (     n  k k n k n k f f f B B B  

eşitsizliği gerçeklenir. Burada,





2 ) ( 2 x t Bn k k    şeklindedir.

İspat : x,t

 

a,b ve  pozitif bir sayı olmak üzere süreklilik modülünün özelliği nedeniyle,

   









    ; 1 ₂ ; 2 f x t x t f x f t f         _           

gerçeklenir. Eşitsizliğin her iki tarafına (n) k

B pozitif lineer operatörünü uygulanırsa,

   







 

  

_             _    f x x B f t x f x t f B_kn ; _kn ; ₂ ; ; 2 ) ( ) (      B_k(n)





f;



;x

 

 f₂;



B_k(n)





tx



2;x



     B_k(n)





f;



;x

 

 f₂;



B_k(n)





tx



2



     B_k(n)





f;



;x

 

f₂;



_k2       

21



   





   



2 2 ) ( ) ( . ; ; 1 ; ; k k k n k k n k f x B f x x f t f B         



   





 





k



n k n k f t f x x B x f B( )  ;  ( )1; 1 ; (3.5) eşitsizliği elde edilir. Ayrıca

 



f t x

  

f x B



f

 

t x



B



f

 

x x



B



f

 

x x

  

f x B kn n k n k n k ;   ;  ;  ;  ) ( ) ( ) ( ) ( B( )



f(t);x



B( )



f(x);x



Bk(n)



f(x);x



f(x) n k n k     B_k(n)



f

   

t  f x ;x



 f

 

x .B_k(n)

 

1;x 1 elde edilir. Bu eşitsizlikte (3.5) eşitsizliği dikkate alınırsa,

 



;

  



( )

 

1; 1



.



;



 

. ( )

 

1; 1 ) ( _{    } x B x f f x B x f x t f B_kn _kn  _{k k}n bulunur. Buradan,

 

 

 

 

( ) ( ) ;( ) 1 1 . . 1 1 n n n k k k k B f  f  B     f B 

olduğu görülür. Bu ise ispatı tamamlar.■

3.3 Abel Toplanabilme ile Korovkin Tipli Yaklaşım Teoremleri

Bu bölümde, 2013 yılında Ünver tarafından Abel yakınsaklık metodu kullanarak geliştirilen Korovkin tipli yaklaşım teoremleri ve bu teoremlerin ispatları incelenmiştir.

 

ab B

 

ab C L_n: ,  , her y

 

0,1 için,



 

   n n n y L 0 1 (3.6)

koşulunu sağlayan pozitif lineer operatörlerin bir dizisi olsun. Her y

 

0,1 ve

 

a b

C

22

 







 





 



n n n f t x y L y y x t f U ; ; 1 ; 0



   

ile tanımlı U operatörünü ele alalım. O halde,

 

 

_{ }  U





f

 

t x



y



f U b a x b a B sup ; ; , ,    









 



     0 , ; 1 sup n n n b a x y x t f L y  







 



n n n b a x y x t f L y ; 1 sup 0 ,



      









n n n b a x y x f L y ; 1 sup 0 ,



    





 

n n n y L y f



    0 1 1

elde edilir. Şimdi (3.6) gözönüne alınırsa U operatörü her y

 

0,1 ve f C

 

a,b için anlamlı olup B ,

 

a b uzayına aittir. Dolayısıyla

   

 

  _{ }









 



       0 0 , , , , 1 sup 1 ; n n n b a x b a B b a B b a C U y L f t x y U

şeklinde yazabiliriz. Ayrıca







_{   }

 

n n n b a B b a C L f y y U



    0 0 , , ; . (3.7) elde edilir.

Şimdi Abel Yakınsaklık yardımıyla Korovkin tipli yaklaşım teoremini verelim. Teorem 3.3.1 L_n:C

 

a,b B

 

a,b ve (3.6) koşulunu sağlayan pozitif lineer operatör dizisi olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler denktir :

)

i Herhangi bir f C

 

a,b için,



1







 

;

  



0 lim 0 1   



   n n n y y x f x t f L y

23 ) ii f

 

t ti,i0,1,2 i olmak üzere,



1







 

;



 



0 lim 0 1 



     n n i i n y y x f x t f L y (Ünver 2013).

İspat : i)ii) gerçeklediği açıktır. )

) i

ii  olduğunu gösterelim. f C

 

a,b alalım. f sürekli bir fonksiyon olduğundan  0 için  0 vardır  tx  koşulunu sağlayan x,t

 

a,b için f

   

t  f x  gerçeklenir. O halde Teorem 3.2.2'ye benzer olarak x,t

 

a,b için,

   





       ₂ 2 2M t x x f t f elde edilir.

Son eşitsizliğin her iki tarafına U pozitif lineer operatörü uygulanırsa,

   













_            _{ }   f x x y U M t x x y t f U ; ; 2 ₂ 2; ;   U



 

;x ;y



2M₂ U







t x



2;x



;y



   

   











 







 

2



2 2 ; ; 2 1 ; ; 1 ; ;x y U x y M U t x y x x f t f U          2x.U



 

t;x;y



x x2.U



 

1;x;y



1



(3.8) eşitsizliği elde edilir. Daha sonra



y





L



f

 

t x

  

f x



y U





f

 

t x



y

  

f x n n n    



  ; ; ; 1 0

 







f t x



y U





f

 

x x



y



U





f

 

x x



y

  

f x U     ; ; ; ; ; ;

 







f t x y



U





f

 

x x



y



U





f

 

x x



y

  

f x U     ; ; ; ; ; ;

24

U





f

   

t  f x ;x



;y



 f

   

x .U



1;x;y



1

bulunur. Son eşitsizlikte (3.8) eşitsizliği dikkate alınırsa,









 

  





 







 

2



2 2 0 ; ; 2 1 ; ; 1 ; 1 y L f t x f x y U x y M U t x y x n n n       



     2 .



 

; ;



  2.



 

1; ;



1



y x U x x y x t U x  f

   

x .U



1;x;y



1

gerçeklenir. y

 

0,1 için csup

 

a,b olmak üzere,

 







; ;

  

2 ₂ 2



 

1; ;



1      _{ }   f x M M c U x y y x t f U   4M₂ cU



 

t;x;y



x2M₂ U



 

t2;x;y



x2   elde edilir.

Son eşitsizliğin her iki tarafının x

 

a,b için supremumu alınıp norma geçilirse,









 

  









 



       





    n n n n n n f t x f x y H y L t x x y L y 0 2 2 0 ; 1 ; 1









 



     0 ; 1 n n n t x x y L y







 



     



 0 1 ; 1 1 n n n x y L y bulunur. Burada,   _     _{ }   2 2 2 2 , 2 , 4 , 2 sup     M M c M c M H b a x şeklindedir.

Daha sonra y1 için limit alınırsa ii hipotezinden )



1







 

;

  



0 lim 0 1   



   n n n y y x f x t f L y

25 olduğu görülür.■

Şimdi süreklilik modülü yardımıyla Teorem 3.3.1 'in yakınsaklık oranını verelim. Teorem 3.3.2 L_n:C

 

a,b B

 

a,b şeklinde tanımlı (3.6) ve

 







     _  Cab Bab y y U K _{, ,} 1 , 0 ; .

sup koşullarını sağlayan pozitif lineer operatörlerin bir

dizisi olsun. Bu takdirde,

) i lim



 

1; ;



1 0 1    U x y y ) ii lim



;

 



0 1   f y y  

koşulları sağlanıyorsa her f C

 

a,b için,



1







 

;

  



0 lim 0 1   



   n n n y y x f x t f L y gerçeklenir. Burada,

 

y U







t x



2;x



;y



2    şeklindedir (Ünver 2013).

İspat : Her y

 

0,1 ve  pozitif bir sayı olmak üzere süreklilik modülünün özelliği nedeniyle,

   









    f;t x. 1 t x f; x f t f _                  







 ; 1 t x _ f                  







 ; 1 ₂ 2 f x t         _   gerçeklenir.

26

Eşitsizliğin her iki tarafına U pozitif lineer operatörünü uygulanırsa,

   











 

  

_             _    f x x y U f t x f x y t f U ; ; ; ₂ ; ; ; 2      U







f;



;x



;y

 

f;

  

U





t x 2;x



;y



2         U







f;



;x



;y

 

 f₂;

  

U



tx 2;x



;y      U







f;



;x



;y

 

f₂;

  

2 y       

elde edilir. Burada 

 

y 0olduğundan  

 

y alınırsa,

U





f

   

t  f x ;x



;y







U



 

1;x;y



1

 

 f;(y)



(3.9) eşitsizliği elde edilir. Burada,

 







f t ;x;y

  

 f x U





f

   

t  f x ;x



;y



 f

   

x .U



1;x;y



1

U

olup, bu eşitsizlikte (3.9) eşitsizliği dikkate alınırsa,

 







f t ;x,y

  

 f x 



U



 

1;x ;y



1





f;

 

y



MU



 

1;x;y



1

U  

elde edilir.

Son eşitsizliğin her iki tarafının x

 

a,b için supremumu alınıp norma geçilirse,

 







f t ;x;y

  

 f x 



U



 

1;x ,y



1





f; (y)



M U



 

1;x;y



1 U   



K1







f;

 

y



M U



 

1;x;y



1 H







f;

 

y



 U{

 

1;x;y}1



bulunur. Burada,  



K M



H b a x , 1 sup ,   