PARAMETREYE BAĞLI MATRİS STURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜ İÇİN TERS PROBLEM
Gamze DOLANBAY Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Doç. Dr. Hikmet KEMALOĞLU TEMMUZ-2013
T.C.
FIRAT ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
PARAMETREYE BAĞLI MATRİS STURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜ İÇİN TERS PROBLEM
YÜKSEK LİSANS TEZİ Gamze DOLANBAY
Anabilim Dalı: Matematik
Programı: Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi
Danışmanı: Doç. Dr. Hikmet KEMALOĞLU
T.C.
FIRAT ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
PARAMETREYE BAĞLI MATRİS STURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜ İÇİN TERS PROBLEM
YÜKSEK LİSANS TEZİ Gamze DOLANBAY
(111121119)
Anabilim Dalı: Matematik
Programı: Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi
Danışmanı: Doç. Dr. Hikmet KEMALOĞLU Tezin Enstitüye Verildiği Tarih: 18 Haziran 2013
II ÖNSÖZ
Bu çalışmanın hazırlanmasında engin ilminden faydalandığım, insani ve ahlaki değerleri ile de örnek edindiğim, yanında çalışmaktan onur duyduğum ve ayrıca tecrübelerinden yararlanırken göstermiş olduğu hoşgörü ve sabırdan dolayı sayın hocam Doç. Dr. Hikmet KEMALOĞLU 'na sonsuz teşekkürlerimi ve saygılarımı sunarım.
Ayrıca hayat boyu yanımda olup, ideallerimi gerçekleştirmem konusunda her zaman beni destekleyen değerli aileme teşekkür eder, saygılar sunarım.
Gamze DOLANBAY ELAZIĞ-2013
III İÇİNDEKİLER Sayfa No ÖNSÖZ ... II İÇİNDEKİLER ... III ÖZET... IV SUMMARY ... V SEMBOLLER LİSTESİ ... VI
1. Temel Tanım ve Teoremler ... 1
2. Sınır koşullarının öz parametreye bağlı olduğu Sturm-Liouville denklemi için Ambarzumyan teoremi ...10
2.1. Karakteristik Denklem ...10
2.2. Teklik Teoremi ...12
3. Sınır koşullarının öz parametreye bağlı olduğu -boyutlu matris değerli Sturm-Liouville denklemi için Ambarzumyan teoremi ...22
3.1. Matris değerli Sturm-Liouville operatörü için teklik teoremi ...23
4. Sonuç...33
KAYNAKLAR ...34 ÖZGEÇMİŞ ...
IV ÖZET Yüksek Lisans Tezi
PARAMETREYE BAĞLI MATRİS STURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜ İÇİN TERS PROBLEM
Gamze DOLANBAY
Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı
2013, Sayfa: 37
Bu tez üç bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölümde, tez içerisinde kullanılacak tanım ve teoremlere yer verilerek, Sturm-Liouville operatörünün bazı temel özellikleri incelenmiştir.
İkinci bölümde, sınır koşullarında öz parametre bulunduran Sturm-Liouville öz değer problemi için Ambarzumyan teoremi ifade ve ispat edilmiştir.
Üçüncü bölümde, sınır koşullarında öz parametre bulunduran n- boyutlu matris Sturm-Liouville denklemi için Ambarzumyan teoremi ifade ve ispat edilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Ambarzumyan Teoremi, Karakteristik Denklem, Sturm-Liouville Operatörü.
V SUMMARY Master's Thesis
PARAMETREYE BAĞLI MATRİS STURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜ İÇİN TERS PROBLEM
Gamze DOLANBAY
Fırat University
Graduate School of Science and Technology Department of Mathematics
2013, Pages: 37
This thesis consists of three chapters.
In chapter one, some concepts which are used in this thesis are given and some fundamental properties of Sturm-Liouville operator are examined.
In chapter two, Ambarzumyan’s theorem for Sturm-Liouville eigenvalue problem with spectral parameter in boundary condition is expressed and proved.
In chapter three, Ambarzumyan’s theorem for n- dimensional matrix valued Sturm-Liouville eigenvalue problem with spectral parameter in boundary condition is given.
Key Words: Ambarzumyan’s Theorem, Characteristic Equation, Sturm-Liouville Operator.
VI
SEMBOLLER LİSTESİ
: Doğal sayılar kümesi : Reel sayılar kümesi : boyutlu Öklid uzay : Kompleks sayılar kümesi : Rasyonel sayılar kümesi
: aralığında integrallenebilen fonksiyonlar uzayı
: aralığında karesel integrallenebilen fonksiyonlar uzayı : aralığında ya göre karesel integrallenebilen fonksiyonlar uzayı : Rezolvent Cümlesi
: Rezolvent operatörü : Potansiyel fonksiyon
: . özdeğer : Spektrum
: Hilbert adjoint operator
: . Mertebeden sürekli türevlere sahip fonksiyonlar uzayı : Sınırlı değerler
1. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
TANIM 1.1. (Metrik Uzay ) bo¸stan farkl¬ bir cümle olsun. A¸sa¼g¬daki özellikleri sa¼glayan, : £ ! R dönü¸sümüne üzerinde bir metrik, ( ) ikilisine ise bir metrik uzay denir. Bu özellikler; 8 2 için
M1) ( ) ¸ 0
M2) ( ) = 0 , = M3) ( ) = ( )
M4) ( ) · ( ) + ( ) ¸seklindedir.
ÖRNEK 1.1. 2[ ] uzay¬n¬n elemanlar¬ () () ¸seklinde [ ] ka-pal¬ aral¬¼g¬nda reel (veya kompleks) de¼gerli, karesel anlamda integrallenebilen fonksiyonlard¬r. () 2 2[ ] olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart
Z
j()j2 1
olmas¬d¬r. 2[ ] uzay¬; 8 () () 2 2[ ] için
( ) = 0 @ Z j () ¡ ()j2 1 A 1 2
metri¼gine göre bir metrik uzayd¬r.
TANIM 1.2. (Normlu Uzay ) , cismi üzerinde tan¬ml¬ bir lineer uzay
olsun.
k¢k : ! R ! kk
dönü¸sümü a¸sa¼g¬daki ¸sartlar¬ sa¼gl¬yorsa bu dönü¸süme üzerinde bir norm, ( k¢k) ikilisine ise bir normlu uzay denir. 8 2 ve 2 skaleri için
N1) kk ¸ 0
N2) kk = 0 , = 0 N3) kk = jj kk N4) k + k · kk + kk ¸seklindedir.
ÖRNEK 1.2. 2[ ] uzay¬ () 2 2[ ] olmak üzere k k = 0 @ Z jj2 1 A 1 2
ile tan¬mlanan norma göre bir normlu uzayd¬r.
TANIM 1.3. (Operatör ) Tan¬m ve de¼ger kümesi vektör uzay¬ olan dönü¸süm-lere operatör denir.
TANIM 1.4. (Lineer Operatör ) Bir lineer operatörü; ( ) tan¬m
bölgesi ve ( ) de¼ger bölgesi birer vektör uzay¬ olan ve 8 2 ( ) ve her skaleri için;
( + ) = () + () () = ()
özelliklerine sahip olan bir operatördür. ve normlu uzaylar ve ( ) ½ olmak üzere : ( ) ! ¸seklinde verilen bir lineer operatör olsun. 8 2 ( ) için;
k ()k · kk
olacak ¸sekilde bir 0 say¬s¬ mevcut ise operatörüne s¬n¬rl¬d¬r denir. Bu e¸sitsizli¼gi sa¼glayan sabitlerinin en küçü¼güne operatörünün normu denir ve k k ile gösterilir.
TANIM 1.5. (Hilbert Uzay¬) Bir iç çarp¬m uzay¬ (ya da bir ön-Hilbert uzay¬), üzerinde bir iç çarp¬m tan¬mlanm¬¸s bir vektör uzay¬d¬r. Burada iç çarp¬m £ ! ¸seklinde olan ve 8 2 ve 2 için
1) h i ¸ 0 h i = 0 , = 0 2) h + i = h i + h i 3) h i = h i
4) h i = h i
¸sartlar¬n¬ sa¼glayan, gösterimine sahip olan bir dönü¸sümdür. Bir iç çarp¬m uzay¬ üzerindeki norm; kk = ph i ¸seklinde tan¬mlan¬r. E¼ger; deki tüm Cauchy dizileri yak¬nsak (iç çarp¬m üzerindeki norma göre tam) ise uzay¬na bir soyut Hilbert uzay¬ denir.
ÖRNEK 1.3. = 2[ ] bir Hilbert uzay¬d¬r. () 2 2[ ] ise,
() 0integrallenebilen bir fonksiyon olmak üzere
Z
()j ()j2 1
¸seklinde olur. Bu uzayda iç çarp¬m 8 () () 2 2[ ] için h i = Z () () () olarak tan¬mlan¬r.
ÖRNEK 1.4. = 2[ ] uzay¬ bir Hilbert uzay¬d¬r. Bu uzay¬n ele-manlar¬ () () ¸seklinde [ ] aral¬¼g¬nda tan¬ml¬, reel (veya kompleks) de¼gerli, karesel integrallenebilen fonksiyonlard¬r. Bu uzayda iç çarp¬m ise 8
() ()2 2[ ] için h i = Z ()() ¸seklinde tan¬mlan¬r.
TANIM 1.6.(Rezolvent operatör, Regüler de¼ger, Öz de¼ger, Öz fonksiyon)
Hilbert uzay¬nda lineer bir operatör olsun. 2 C olmak üzere ¡
op-eratörünü gözönüne alal¬m. E¼ger ¡ operatörünün tersi mevcut ve s¬n¬rl¬ ise
( ) rezolvent cümlesininin bir eleman¬d¬r denir. Bu ¸sekildeki lar regüler
de¼ger ad¬n¬ al¬r. Ayr¬ca ( ) = ( ¡ )¡1 operatörüne ise operatörünün
rezolvent operatörü denir. Bu ¸sart¬ sa¼glamayan de¼gerlerine operatörünün bir öz de¼geri, bu öz de¼gere kar¸s¬l¬k gelen s¬f¬rdan farkl¬ çözüm fonksiyonuna ise operatörünün öz fonksiyonu denir.
TANIM 1.7. (Spektrum) Regüler olmayan (singüler) tüm de¼gerlerinin kümesine operatörünün spektrumu denir ve ( ) ile gösterilir. ( ) = C ¡
( ) dir. Bir operatörünün spektrumu üç gruba ayr¬l¬r ve bunlar ¸su ¸sekilde
adland¬r¬l¬r:
1 ( )mevcut de¼gil ise ( )kümesine diskret spektrum
2 ( )s¬n¬rl¬ de¼gil ise ( ) kümesine sürekli spektrum
3 ( ) nin geri kalan noktalar¬n¬n kümesine ise ( )art¬k spektrum (veya
TANIM 1.8. (Ba¸slang¬ç ve S¬n¬r Ko¸sullar¬) Ba¸slang¬çta modellenen
probleme uygun çözümün bulunabilmesi için problem olu¸sturulurken baz¬ yard¬mc¬ ¸sartlar gerekir. Bu ¸sartlar genel olarak iki ba¸sl¬k alt¬nda toplanabilir:
() S¬n¬r ¸sartlar¬: S¬n¬r ¸sartlar¬ k¬smi diferensiyel denklemin sa¼gland¬¼g¬ böl-gesinin ¡ s¬n¬r¬ boyunca sa¼glanmas¬ gereken ¸sartlard¬r. S¬n¬r ¸sartlar¬n¬n üç farkl¬ ¸sekli ve fonksiyonlar¬ ¡ üzerinde tan¬ml¬ fonksiyonlar olmak üzere özel
isimleriyle ¸su ¸sekildedir.
: j¡ = : ¯ ¯ ¯ ¯ ¡ = ( 0) () : + =
() Baslang¬ç ¸sartlar¬: Ba¸slang¬ç ¸sartlar¬ sistemin ba¸slang¬c¬nda bölgesi
boyunca sa¼glamas¬ gereken ¸sartlard¬r. Genel olarak,ba¸slang¬ç ¸sartlar¬ fonksiyon ve bu fonksiyonun zamana göre türevinin kombinasyonu ¸seklindedir.
TANIM 1.9. (Sturm-Liouville Problemleri) () () ve ()
fonksiy-onlar¬ [ ] aral¬¼g¬nda sürekli fonksiyonlar olmak üzere Sturm-Liouville denklemi ¡ · () ¸ + () = () (1.1.1) formuna sahip ikinci mertebeden bir diferensiyel denklemdir. () fonksiyonuna a¼g¬rl¬k veya yo¼gunluk fonksiyonu denir. S¬n¬r ¸sartlar¬n¬ sa¼glayan yukar¬daki den-klemin a¸sikar olmayan çözümleri için de¼gerlerini bulmak, Sturm-Liouville prob-lemi olarak adland¬r¬lan probprob-lemin bir parças¬d¬r. (1.1.1) denkprob-leminde () =
() = 1olarak al¬n¬rsa
¡00+ () = denklemi elde edilir.
Uygulamalarda s¬k s¬k kullan¬lan en temel operatörlerden birisi de () reel de¼gerli ve [ ] aral¬¼g¬nda sürekli bir fonksiyon olmak üzere
´ ¡
2
2 + ()
formundaki Sturm-Liouville operatörüdür. Bu operatör için () çözüm fonksiy-onlar¬ cümlesi diferensiyellenebilir ve [ ] aral¬¼g¬n¬n uç noktalar¬nda verilmi¸s
¸sart-larla belirlenir. operatörü için en önemli s¬n¬r ¸sartlar¬ () cos + 0() sin = 0 () cos + 0() sin = 0 ¸seklindedir. =¡ 2 2 + () = (1.1.2) denklemini ve () cos + 0() sin = 0 () cos + 0() sin = 0 (1.1.3)
s¬n¬r ¸sartlar¬n¬ göz önüne alal¬m. (1.1.2)-(1.1.3) s¬n¬r de¼ger problemi literatürde Sturm-Liouville problemi olarak bilinir. (1.1.3) s¬n¬r ¸sart¬n¬ sin 6= 0 ve sin 6= 0 olmak üzere
() cot + 0() = 0
() cot + 0() = 0 (1.1.4)
biçiminde yazabiliriz. Burada cot = ¡ ve cot = denilirse
0()¡ () = 0
0() + () = 0 (1.1.5)
s¬n¬r ¸sartlar¬ elde edilir. E¼ger () reel de¼gerli ve sürekli fonksiyon; ve say¬lar¬ da sonlu ise (1.1.2)-(1.1.5) problemine regüler Sturm-Liouville problemi bu ¸sart-lardan herhangi biri bozuldu¼gunda bu probleme singüler Sturm-Liouville problemi denir.
TANIM 1.10. (Ters Sturm-Liouville Problemi )
¡00+ () = 2 [ ] 2 2[ ]
() cos + 0() sin = 0 2h0 2
´
() cos + 0() sin = 0
¸seklindeki Sturm-Liouville probleminde, öz de¼geri verilip () potansiyel fonksiyonunun bulunmas¬ isteniyorsa böyle bir probleme ters Sturm-Liouville problemi denir.
TANIM 1.11. (Adjoint Operatör) 1 ve 2 Hilbert uzaylar olmak üzere,
: 1 ! 2 s¬n¬rl¬ lineer bir operatör olsun. nin ¤ Hilbert adjoint operatörü
8 2 1 ve 2 2 için
h i = h ¤i
özelli¼gini sa¼glayan ¤ :
2 ! 1 operatörüdür. E¼ger operatörü için ¤ = ise
operatörüne self-adjoint (kendine e¸slenik) operatör denir. Bu durumda tan¬m bölgesindeki tüm ve fonksiyonlar¬ için
h i = h i
¸seklindedir.
TANIM 1.12. (Transpoz Matris) Verilen bir matrisin sat¬rlar¬n¬ sütuna,
sütunlar¬n¬ da sat¬ra yazmak suretiyle elde edilen matrise verilen matrisin trans-pozu denir.
TEOREM 1.1. ·Ikinci mertebeden bir lineer diferensiyel denklem Sturm-Liouville denklemi ¸seklinde yaz¬labilir.
·ISPAT:
0() 00+ 1() 0+ 2() + 3() = 0
ikinci mertebeden diferensiyel denklemi gözönüne al¬n¬r. Bu diferensiyel den-klemin Sturm-Liouville denklemi biçiminde olmas¬ için nin
(0)0 = 00+ 00 = 0() 00+ 1() 0
yani () = 0() 0() = 1() olmas¬ gerekti¼gi aç¬kt¬r. Fakat genellikle
00() 6= 1() oldu¼gundan bu do¼grudan yakla¸s¬m her zaman mümkün de¼gildir. Bu denklemin her iki taraf¬ = () ile çarp¬l¬rsa
() 0() 00+ () 1() 0+ () 2() + () 3() = 0 denkleminin Sturm-Liouville tipi bir denklem olmas¬ için
() = ()0()
olmas¬ gerekir. Buradan için
0() = ()1()
0()
diferensiyel denklemi bulunur. De¼gi¸skenlerine ayr¬labilen bu diferensiyel den-klemin bir çözümü () = Z 1() 0()
dir. Bu çözüm kullan¬larak = () çarpan¬ için
= () 0() = 1 0() Z 1() 0()
formülü elde edilir.
Demek ki, ikinci mertebeden bir diferensiyel denklemin Sturm-Liouville den-klemi haline getirilebilmesi için, 0() ve 1() in aral¬¼g¬nda sürekli ve bu aral¬kta 0()6= 0 olmas¬ gerekir. Bu durumda,
0 B @ Z 1() 0() 0 1 C A 0 +2() 0() Z 1() 0() + 3() 0() Z 1() 0() = 0
diferensiyel denklemi elde edilir ki bu Sturm-Liouville tipinde bir denklemdir.
TEOREM 1.2. Regüler Sturm-Liouville probleminin öz de¼gerleri reeldir. ·ISPAT: ¡ · () ¸ + () = ()
regüler Sturm-Liouville probleminin bir öz de¼geri () ise bu öz de¼gere kar¸s¬l¬k gelen öz fonksiyon olsun. Bu taktirde () fonksiyonu
[ ()] = () () (1.1.6)
denklemi ve
1 () + 20() = 0
s¬n¬r ko¸sullar¬n¬ sa¼glar. (1.1.6) denkleminin ve (1.1.7) s¬n¬r ko¸sullar¬n¬n her iki taraf¬n¬n kompleks e¸sleni¼gi al¬n¬p, ve nin reel fonksiyonlar ve 1 2 1 2 nin reel sabitler oldu¼gu göz önüne al¬n¬rsa
£ ()¤= () () (1.1.8) ve 1 () + 2 ¡ ¢0() = 0 1 () + 2 ¡ ¢0() = 0
elde edilir. Yani öz de¼gerine kar¸s¬l¬k gelen öz fonksiyondur. ¸
Simdi (1.1.6) denkleminin her iki taraf¬ (), (1.1.8) denkleminin her iki taraf¬
()ile çarp¬l¬p taraf tarafa ç¬kar¬l¬r ve daha sonra bu ifadenin dan ye integrali al¬n¬rsa Z © () [ ()]¡ () £ ()¤ª =¡¡ ¢ Z ()j ()j2
bulunur. Bu son bulunan denklemde
Z ( []¡ []) = 0 özde¸sli¼gi kullan¬l¬rsa ¡ ¡ ¢ Z ()j ()j2 = 0 d¬r. Böylece =
elde edilir. Bu n¬n reel oldu¼gunu gösterir.
TEOREM 1.3. (1.1.2)-(1.1.3) Sturm-Liouville probleminin farkl¬ özde¼ gerler-ine kar¸s¬l¬k gelen öz fonksiyonlar¬ ortogonaldir.
·ISPAT: 6= iki farkl¬ özde¼ger ve bu öz de¼gerlere kar¸s¬l¬k gelen öz
fonksiy-onlar s¬ras¬yla ve olsun. h i = 0 oldu¼gu gösterilmelidir.
¡00+ () =
¡00
denklem sisteminde ilk denklem ile ikinci denklem ile çarp¬l¬p taraf tarafa
ç¬kar¬l¬rsa
¡00+ 00= (¡ )
olup, her iki taraf¬n dan ye integrali al¬n¬r ve s¬n¬r ko¸sullar¬ uygulan¬rsa
(¡ )
Z
= 0
2. SINIR KO¸SULLARININ ÖZPARAMETRELERE BA ¼GLI OLDU ¼GU DURUMLARDA AMBARZUMYAN TEOREM·I
Bu çal¬¸smada
¡00 + () = [0 ] (2.1) Sturm-Liouville denklemi
0(0) = 0 0() + ()() = 0 (2.2) s¬n¬r ¸sartlar¬yla gözönüne al¬nacakt¬r. Bu klasik Sturm-Liouville özde¼ger prob-lemi görüntüsünden, s¬n¬r ko¸sulunun deki de¼gerinin özparametresini içermesi yönünden farkl¬d¬r. Bu k¬s¬mda 2 [0 ] ve
() = 1 p + 2 p 2+ 3 p 3+ + p R 6= 0 2 Z+ (2.3)
olarak al¬nacakt¬r. (2.1)-(2.2) s¬n¬r de¼ger problemi = ( ()) ile gösterilirse
problemi için yaln¬zca özde¼gerler () potansiyelini tek olarak belirlemez. nin spektrumu ve normla¸st¬r¬c¬ sabitlerine veya klasik s¬n¬r ko¸sullu iki problemin spektrumuna ihtiyaç duyulur.
2.1. Karakteristik Denklem ¡00+ () = (0) = 1 0(0) = 0 (2.1.1) probleminin 1( )çözümü 1( ) = cosp + Z 0 ( ) cosp (2.1.2)
olup, ( ), ve e ba¼gl¬ sürekli k¬smi türevlere sahiptir. Benzer olarak 2( ) ¡00+ () =
(0) = 0 0(0) = 1 (2.1.3)
probleminin çözümü olsun. ( ) çekirde¼gi
( ) = 1 2 Z 0 () (2.1.4)
e¸sitli¼gini sa¼glar. ( 2.1.2) ye k¬smi integrasyon uygulanmas¬yla 1( ) = cosp + ( ) sin p p ¡ 1 p Z 0 ( ) sin p 1( ) = cosp + ( ) sin p p ¡ 1 p Z 0 ( ) sin p (2.1.5)
elde edilir. (2.1.2) ye türev uygulanmas¬yla
01( ) = ¡p sinp + ( ) cosp + Z 0 ( ) cos p 01( ) =¡p sinp + ( ) cosp + Z 0 ( ) cos p (2.1.6)
bulunur. 1( ) ve 2( ) (2.1) in temel çözümleridir. Bu yüzden (2.1) denkleminin genel çözümü 1 ve 2 nin key… sabit oldu¼gu yerde
( ) = 11( ) + 22( )
formuna sahiptir. E¼ger ( ), probleminin bir çözümü ise 2= 0 d¬r. Çünkü
( ), probleminin bir çözümü ise 0(0 ) = 0 d¬r. Bu ise
101(0 ) + 202(0 ) = 0
olmas¬ anlam¬na gelir. (2.1.1) den 01(0 ) = 0 oldu¼gundan 2 = 0 d¬r. Böylece
( ) = 11( )
d¬r. (2.2) den n¬n probleminin bir özde¼geri olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart
01( ) + ()1( ) = 0 (2.1.7) olmas¬d¬r. (2.1.5) ve (2.1.6), (2.1.7) de yerine yaz¬l¬rsa
¡p sinp + ( ) cosp + Z 0 ( ) cos p + () 2 4cosp +( ) sin p p ¡ 1 p Z 0 ( ) sin p 3 5 = 0
yani
() = ¡p sinp + () cosp + ( ) cosp +
Z 0 ( ) cos p + () sin p ( ) p ¡ () p Z 0 ( ) sin p = 0 (2.1.8)
elde edilir. Bu yüzden () n¬n s¬f¬rlar¬ probleminin öz de¼gerleridir. 2.2. Teklik Teoremi
probleminin özde¼gerlerinin kümesi ()olsun.
LEMMA 2.1. 1) = 1 ise ! 1 için p = +arctan 1 + Z 0 () 2 + µ 1 2 ¶ (2.2.1) dir. 2) = 2 ise ! 1 için p = + 1 2+ Z 0 ()¡2 2 (2 + 1) + µ 1 2 ¶ (2.2.2) dir. 3) ¸ 3 ise ! 1 için p = + 1 2+ Z 0 () (2 + 1) + µ 1 2 ¶ (2.2.3) dir.
Bu üç durumda da 0 2 (0) d¬r. (Yang ,C. F. ve Yang, X. P. , 2011)
·ISPAT:
(2.1.8) den görülür ki; n¬n, probleminin bir özde¼geri olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart
¡p sinp + () cosp + ( ) cosp +
Z 0 ( ) cos p + () sin p ( ) p ¡ () p Z 0 ( ) sin p = 0 (2.2.4)
olmas¬d¬r. 1) = 1 için (2.2.4) den ¡p sinp + 1 p cosp + ( ) cosp + Z 0 ( ) cos p +1sin p ( )¡ 1 Z 0 ( ) sin p = 0 d¬r. Yani p sinp = 1 p
cosp+( ) cosp+1sin
p ( )+ Ã jImpj p ! d¬r. Böylece tanp = 1+ ( ) p + 1 p tan p ( ) + µ 1 ¶
elde edilir. Bu ise
tanp¡ 1 = (1 + 2 1)( ) p + µ 1 ¶
oldu¼gunu verir. Trigonometrik özde¸sliklerin uygulanmas¬ndan tanp¡ 1 = tan(
p
¡ arctan 1)(1 + 1tan p
)
tan(p¡ arctan 1) = (1 + 1tan p )¡1 µ (1 + 2 1)( ) p + µ 1 ¶¶ = 1 (1 + 2 1) · (1 + 2 1)( ) p + µ 1 ¶¸ = ( )p + µ 1 ¶ bulunur. Buradan arctan h tan³p¡ arctan 1 ´i = arctan · ( ) p + µ 1 ¶¸ p ¡ arctan 1 = + ( ) p + µ 1 ¶ p = + arctan 1 + ( ) p + µ 1 ¶
elde edilir. p = + arctan 1 + ( ) p + µ 1 ¶ p = · 1 + arctan 1 + ( ) p + µ 1 ¶¸ p = · 1 + µ 1 ¶¸ (*) p = 1 + µ 1 ¶ p = 1 + arctan 1 + ( ) p + µ 1 ¶ (*) dan 1 p = 1 £1 + ¡1¢¤ veya 1 1 + ¡1¢ = 1 + µ 1 ¶ oldu¼gundan 1 p = 1 · 1 + µ 1 ¶¸ 1 p = 1 · 1 + arctan 1 + ( ) p + µ 1 ¶¸ = 1 + arctan 1 2 + ( ) p 2 + µ 1 2 ¶ = 1 + µ 1 2 ¶ olup, 1 p = 1 + µ 1 2 ¶ al¬n¬rsa p = + arctan 1 + ( ) + µ 1 2 ¶ = +arctan 1 + Z 0 () 2 + µ 1 2 ¶
bulunur. 2) = 2 için (2.2.4) den cotp = ¡( )p + p ()+ µ 1 ¶ = ¡( )p + p p + µ 1 ¶ = ¡( )p + 1 p ¡1 + µ 1 ¶
olup = 2 oldu¼gundan
cotp = ¡( )p + 1 2 p + µ 1 ¶ = 1 2 ¡ ( ) p + µ 1 ¶ elde edilir. arccot ³ cotp ´ = arccot " 1 2 ¡ ( ) p + µ 1 ¶# p = µ + 1 2 ¶ + ( )¡ 1 2 p + µ 1 ¶ p = + 1 2 + ( )¡ 1 2 p + µ 1 ¶
d¬r. Bir önceki metotla p = µ + 1 2 ¶ " 1 + ( )¡ 1 2 p ¡ + 12¢ + à 1 ¡ + 12¢ !# p = µ + 1 2 ¶ · 1 + µ 1 ¶¸ (**) p + 12 = 1 + µ 1 ¶ p + 1 2 = 1 + ( )¡ 1 2 p ¡ + 12¢ + à 1 ¡ + 12¢ ! (**) dan 1 p = ¡ 1 +12¢ £1 + ¡1¢¤
! 1 için 1 1 + ¡1 ¢ = 1 + µ 1 ¶ oldu¼gundan 1 p = ¡ 1 + 12¢ " 1 + ( )¡ 1 2 p ¡ + 1 2 ¢ + Ã 1 ¡ + 12¢ !# = 1 + 12 + µ 1 2 ¶ olur. Buradan p = + 1 2+ ( )¡ 1 2 ¡ + 12¢ + µ 1 2 ¶ = + 1 2+ Z 0 ()¡ 2 2 (2 + 1) + µ 1 2 ¶ elde edilir.
3) = 3 olmas¬ durumunda (2.2.4) yard¬m¬yla p = + 1 2 + Z 0 () (2 + 1) + µ 1 2 ¶ oldu¼gu görülebilir. 4) = 4 olmas¬ durumunda cotp = ¡( )p + p () + µ 1 ¶ = ¡( )p + p 1 p + 2 + 3 p 3+ 42 + µ 1 ¶ = ¡( )p + 1 1+ 2 p + 3 + 4 p 3 + µ 1 ¶ = ¡( )p + Ã 1 p 3 ! + µ 1 ¶ p = µ + 1 2 ¶ + ( )p + µ 1 ¶ p = + 1 2 + ( ) p + µ 1 ¶
p = µ + 1 2 ¶ " 1 + p ( ) ¡ + 12¢ + à 1 ¡ + 1 2 ¢ !# p = µ + 1 2 ¶ · 1 + µ 1 ¶¸ 1 p = 1 + 1 2 · 1 + µ 1 ¶¸ 1 p = 1 +12 " 1 + p ( ) ¡ + 12¢ + à 1 ¡ + 12¢ !# 1 p = 1 + 12 + µ 1 2 ¶ p = + 1 2+ ( ) ¡ + 12¢ + µ 1 2 ¶ = + 1 2+ Z 0 () (2 + 1) + µ 1 2 ¶
olur. Buradan ¸ 3 için
p = + 1 2 + Z 0 () (2 + 1) + µ 1 2 ¶ dir.
LEMMA 2.2. : [ ] üzerinde Riemann anlam¬nda integrallenebilir olsun. Bu durumda lim !§1 Z () cos = 0 lim !§1 Z () sin = 0 lim !§1 Z () = 0 d¬r. (Yang, C. F. ve Yang, X. P. , 2011)
TEOREM 2.3. () = ()e olsun. Bu durumda Z 0 [ ()¡ e()] = 0 d¬r. (Yang, C. F. ve Yang, X. P. ,2011)
·ISPAT: ,()nun bir özde¼geri olsun.() = ()e oldu¼gundan 2 (e)
d¬r. Böylece (2.1.8) den
¡psinp + () cosp + ( ) cosp +
Z 0 ( ) cosp + () sin p ( ) p ¡ (p ) Z 0 ( ) sin p = 0 (2.2.5) ve ¡psin p + () cos p + e ( ) cos p + Z 0 e ( ) cos p + () sin p e ( ) p ¡ (p ) Z 0 e ( ) sin p = 0 (2.2.6)
elde edilir. Son iki e¸sitlik taraf tarafa ç¬kar¬l¬rsa h ( )¡ e ( )icosp + Z 0 h ( )¡ e( ) i cosp + () sin p p h ( )¡ e ( )i¡ (p ) Z 0 h ( )¡ e( ) i sinp = 0 (2.2.7) olup Lemma 2.2 den
h ( )¡ e ( )i µcosp + () p sinp ¶ = 0 d¬r.
I. Durum = 1ise = h ( )¡ e ( )i ³cosp + 1sin p ´ = 0
= h ( )¡ e ( )i[cos ( + arctan 1) + 1sin ( + arctan 1)] = 0 = h ( )¡ e ( )i[cos cos(arctan 1)¡ sin sin(arctan 1)
+1sin cos(arctan 1) + 1cos sin(arctan 1)] = 0
= (¡1)h ( )¡ e ( )i[cos (arctan 1) + 1sin (arctan 1)] = 0 dir. cos (arctan 1) = 1 p 1 + 2 1 sin (arctan 1) = 1 p 1 + 2 1 oldu¼gundan = (¡1)h ( )¡ e ( )i à 1 p 1 + 2 1 + 2 1 p 1 + 2 1 ! = (¡1)h ( )¡ e ( )i q1 + 2 1
dir. ! 1 için ( ) ¡ e ( ) = 0 oldu¼gundan
Z 0 [()¡ e()] = 0 d¬r. II. Durum
1ise (2.2.7) e¸sitli¼ginin her iki taraf¬ p
()
ile çarp¬larak bu e¸sitlik p () cosph ( )¡ e ( )i+ p () Z 0 h ( )¡ e( )icosp + sinp h ( )¡ e ( )i¡ Z 0 h ( )¡ e( ) i sinp = 0 (2.2.8)
olarak yeniden yaz¬labilir. Burada 2. ve 4. ifade Lemma 2.2 den s¬f¬rd¬r.
= 2olsun; p 1 p + 2 cosp h ( )¡ e ( )i+sinp h ( )¡ e ( )i= 0
h ( )¡ e ( )i " p 1 p + 2 cosp + sin p # = 0 h ( )¡ e ( ) i " p 1 p + 2 cos µ + 1 2 ¶ + sin µ + 1 2 ¶ # = 0 h ( )¡ e ( )i h p 1 p +2 ³ cos cos 2 ¡ sin sin 2 ´ + sin cos 2 + cos sin 2 i = 0 (¡1) h ( )¡ e ( ) i = 0
! 1 için ( ) ¡ e( ) = 0oldu¼gundan
Z 0
[()¡ e()] = 0
d¬r.
TEOREM 2.4. () 2 [0 ] ve () = (0) olsun. Bu durumda [0 ]
aral¬¼g¬nda () = 0 d¬r. ·ISPAT: Hipotezden Z 0 () = 0 (2.2.9)
d¬r. 1 0özde¼gerine kar¸s¬l¬k gelen özfonksiyon olsun. (2.1) ve (2.2) den ¡100+ ()1 = 0
10 (0) = 10 () = 0 (2.2.10) olur.1(0)6= 0 ve 1() 6= 0 d¬r. Aksi halde e¼ger 1(0) = 0 =
0
1(0)veya 1() = 0 = 10() ise ba¸slang¬ç de¼ger problemlerinin çözümünün teklik teoreminden
1() = 0 [0 ]elde edilir. Bu ise 1()in 0 özde¼gerine kar¸s¬l¬k gelen özfonksiyon olmas¬yla çeli¸sir. 1() in [0 ] de ço¼gu sonlu birçok ayr¬k s¬f¬ra sahip oldu¼gu
ispatlanacakt¬r. Aksi halde b 1() in s¬f¬rlar¬n¬n bir y¬¼g¬lma noktas¬ olsun. Bu durumda 1(b) = 10(b) do¼gru olur ki bu ba¸slang¬ç de¼ger problemlerinin çözümünün tekli¼gi teoreminden imkans¬zd¬r. Böylece
= f1 2 2 (0 ) 1() = 0g = 0
d¬r. (2.2.10) dan görülür ki e¼ger 1() = 0ise 100() = 0d¬r. Fakat
0 1()6= 0 d¬r. Böylece 00 1 () 1()
fonksiyonunun = deki de¼geri sonludur. (2.2.9) ve (2.2.10)
da k¬smi integrasyon uygulanmas¬yla
Z 0 100() 1() = Z 0 () = 0 d¬r. Yani 01() 1() ¯ ¯ ¯ ¯ 0 + Z 0 · 10() 1() ¸2 = 0
sonucu ç¬kar. Bu ise
Z 0 ¯ ¯ ¯ ¯ 10() 1() ¯ ¯ ¯ ¯ 2 = 0
anlam¬na gelir. Böylece 1() = 6= 0 d¬r. (2.1.1) denkleminde 1() yerine yaz¬l¬rsa
¡00+ () = 0 [0 ] elde edilir. Böylece () = 0 d¬r.
3.SINIR KO¸SULLARINDA ÖZ DE ¼GERLER·IN OLDU ¼GU n-BOYUTLU MATR·IS DENKLEMLER·I ·IÇ·IN AMBARZUMYAN TEOREM·I
Bu k¬s¬mda ¡00+ () = , [0 ] (0) = 0(0) = 0 0() + () () = 0 (3.1)
öz de¼ger problemi gözönüne al¬nacakt¬r. Burada
() = 1 + 22+ + , =
p
(); £ tipinde, reel ve simetrik bir matris, (); £ tipinde bir matris,
boyutlu birim matris ve 0 s¬f¬r matrisidir.
¡00+ () = (0) = 0(0) = 0 (3.2) probleminin 1( )çözümü, 1( ) = cosp+ Z 0 ( ) cosp
dir. Burada ( ); £ tipinde,reel ve simetrik bir matris fonksiyonudur. Ben-zer ¸sekilde 2( )
¡00+ () =
(0) = 0
0
(0) = (3.3)
probleminin bir çözümü olsun. 1( )ya k¬smi integrasyon uygulanmas¬yla
1( ) = cosp+ ( ) sinp p ¡ 1 p Z 0 ( ) sin p 1( ) = cosp+ ( )sin p p ¡ 1 p Z 0 ( ) sinp (3.4) 1( ) n¬n türetilmesiyle de 01( ) =¡p sinp+ ( ) cos p + Z 0 ( ) cos p
0 1( ) =¡ p sinp+ ( ) cosp + Z 0 ( ) cosp
elde edilir.1( ) ve 2( ) (3.1) in temel çözümleridir. Bu yüzden (3.1) in genel çözümü 1 ve 2 nin key… sabit oldu¼gu yerde
( ) = 11( ) + 22( )
formuna sahiptir. E¼ger ( ) (3.1) probleminin çözümü ise 2 = 0 d¬r. Çünkü
( ) (3.1) probleminin çözümü ise 0(0 ) = 0
olup 0(0 ) = 101(0 ) +
202(0 ) = 0dir. 01(0 )(3.2) den dolay¬ 0olaca¼g¬ndan 202(0 ) = 0 olup
2 = 0d¬r. Böylece
( ) = 11( )
olur. n¬n (3.1) in bir öz de¼geri olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart
01( ) + ()1( ) = () (3.6) matrisinin singüler olmas¬ veya ba¸ska bir ifadeyle det () = 0 olmas¬d¬r. (3.4) ve (3.5), (3.6) da yerine yaz¬l¬rsa ¡p sinp+ ( ) cos p + Z 0 ( ) cos p + () 2 4cosp+ ( ) sinp p ¡ 1 p Z 0 ( ) sin p 3 5 = 0 (3.7)
elde edilir.Yani (3.7) nin s¬f¬rlar¬ (3.1) probleminin öz de¼gerleridir.
3.1. Matris De¼gerli Sturm-Liouville Operatörü ·Için Teklik Teoremi
() (3.1) probleminin öz de¼gerlerinin bir dizisi olsun.
LEMMA 3.1. E¼ger; 1) = 1 ise ! 1 için p = + arctan 1 + Z 0 () 2 + µ 1 2 ¶ (3.1.1)
2) = 2 ise ! 1 için p = + 1 2 + Z 0 () ¡ 2 2 (2 + 1) + µ 1 2 ¶ 3) ¸ 3 ise ! 1 için p = + 1 2 + Z 0 () (2 + 1) + µ 1 2 ¶ dir. ·ISPAT:
n¬n (3.1) in bir öz de¼geri olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart
¡p sinp+ ( ) cos p + Z 0 ( ) cos p + () 2 4cosp+ ( ) sinp p ¡ 1 p Z 0 ( ) sin p 3 5 = 0 olmas¬d¬r. 1) = 1 olmas¬ halinde ¡p sinp+ ( ) cos p + Z 0 ( ) cos p + 1 p cosp +1 ( ) sin p ¡ 1 Z 0 ( ) sin p = 0 d¬r. Yani p sinp= 1 p cosp+( ) cos p +1( ) sin p + µ 1 ¶
dir. p = oldu¼gundan
sin = 1 cos + ( ) cos + 1 ( ) sin +
µ 1
¶
dir. (Her taraf cos () ye bölünürse) tan = 1+ ( ) + 1 ( ) tan + µ 1 2 ¶
(tan ¡ 1) = ( ) + 1 ( ) tan + µ 1 2 ¶ ! 1 olmas¬ halinde tan() »= 1 oldu¼gundan
(tan ¡ 1) = (1 + 2 1) ( ) + µ 1 2 ¶ 2 6 6 6 6 6 6 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 7 7 7 7 7 7 5 £ (tan ¡1) = (1 + 2 1) 2 6 6 6 6 6 6 4 11( ) 12( ) 1( ) 21( ) 22( ) 2( ) 1( ) 2( ) ( ) 3 7 7 7 7 7 7 5 £
olup n¬n kö¸segen d¬¸s¬ndaki tüm elemanlar¬ 0 ve tan ¡ 1 = (1 + 2 1) 11( ) tan ¡ 1 = (1 + 2 1) 22( ) tan ¡ 1 = (1 + 2 1) ( ) elde edilir. tan ¡ 1 = (1 + 2 1) ( ) + µ 1 2 ¶
dir. Trigonometrik özde¸sliklerin uygulanmas¬ndan
tan ¡ 1 = tan (¡ arctan 1) (1 + 1tan ) = tan ¡ 1
1 + 1tan
(1 + 1tan )
tan (¡ arctan 1) = (1 + 1tan )¡1 · (1 + 2 1) ( ) + µ 1 2 ¶¸ = µ 1 1 + 2 1 ¶ · (1 + 2 1) ( ) + µ 1 2 ¶¸ = ( ) + µ 1 2 ¶
dir. Buradan
arctan [tan (¡ arctan 1)] = arctan · ( ) + µ 1 2 ¶¸ ¡ arctan 1 = + ( ) + µ 1 2 ¶ = + arctan 1 + ( ) + µ 1 2 ¶ ve 1 = 1 + µ 1 2 ¶ oldu¼gundan = + arctan 1 + ( ) + µ 1 2 ¶ =p= + arctan 1 + Z 0 () 2 + µ 1 2 ¶ dir. 2) = 2 için ¡ sin + ( ) cos + Z 0 ( ) cos + () 2 4cos + ( ) sin ¡ 1 Z 0 ( ) sin 3 5 = 0
ifadesinde (her taraf () sin () ye bölünürse) ¡ () +( ) cot () + cot + ( ) + µ 1 2 ¶ = 0 cot =¡ ( ) + + µ 1 2 ¶
elde edilir. = 2 al¬n¬rsa
cot = ¡ ( ) + 22 + µ 1 2 ¶ = ¡ ( ) + 2 + µ 1 2 ¶ = 2 ¡ ( ) + µ 1 2 ¶
2 6 6 6 6 6 6 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 7 7 7 7 7 7 5 £ cot = 2 6 6 6 6 6 6 4 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 2 3 7 7 7 7 7 7 5 £ ¡ 2 6 6 6 6 6 6 4 11() 12() 1() 21() 22() 2() 1() 2() () 3 7 7 7 7 7 7 5 cot = 1 2 ¡ 11( ) cot = 1 2 ¡ 22( ) cot = 1 2 ¡ ( ) olup sonuçta cot = 1 2 ¡ ( ) + µ 1 2 ¶
arccot (cot ) = arccot à 1 2 ¡ ( ) ! + µ 1 2 ¶ = µ + 1 2 ¶ + ( )¡ 1 2 + µ 1 2 ¶ = +1 2 + ( )¡ 1 2 + µ 1 2 ¶ 1 = 1 + 12 + µ 1 2 ¶ oldu¼gundan = + 1 2+ ( )¡ 1 2 ¡ + 12¢ + µ 1 2 ¶ = + 1 2+ Z 0 ()¡ 2 2 (2 + 1) + µ 1 2 ¶
elde edilir. 3) = 3 olmas¬ durumunda cot = ¡ ( ) + + µ 1 2 ¶ = ¡ ( ) + 33 + µ 1 2 ¶ = ¡ ( ) + µ 1 2 ¶ 2 6 6 6 6 6 6 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 7 7 7 7 7 7 5 £ cot =¡ 2 6 6 6 6 6 6 4 11() 12() 1() 21() 22() 2() 1() 2() () 3 7 7 7 7 7 7 5 £ cot = ¡11( ) cot = ¡22( ) cot = ¡( ) olup cot = ¡ ( ) + µ 1 2 ¶
arccot (cot ) = arccot · ¡ ( ) + µ 1 2 ¶¸ = µ + 1 2 ¶ + ( ) + µ 1 2 ¶ = + 1 2+ ( ) + µ 1 2 ¶ 1 = 1 + 1 2 + µ 1 2 ¶
oldu¼gundan = + 1 2 + ( ) + µ 1 2 ¶ = + 1 2 + ( ) ¡ + 12¢ + µ 1 2 ¶ = + 1 2 + Z 0 () (2 + 1) + µ 1 2 ¶ bulunur. TEOREM 3.2. () = ³ e ´ olsun. Z 0 h ()¡ e ()i = 0 dir. ·ISPAT:
() nun bir öz de¼geri olsun. () =
³ e ´oldu¼gundan 2 ³ e ´ d¬r. Böylece (3.7) den ¡psin p + () cos p + ( ) cos p + Z 0 ( ) cos p + () ( ) sin p p ¡ (p ) Z 0 ( ) sin p = 0 (3.1.2) ve ¡psin p + ()cos p + e ( ) cos p + Z 0 e ( ) cos p + () e( ) sin p p ¡ (p ) Z 0 e ( ) sin p = 0 (3.1.3)
elde edilir. (3.1.2) den (3.1.3) ün ç¬kar¬lmas¬yla h ( )¡ e ( ) i cosp + Z 0 h ( )¡ e( ) i cosp + () sin p p h ( )¡ e ( )i¡ (p ) Z 0 h ( )¡ e( ) i sinp = 0 (3.1.4) bulunur.
I. Durum
(3.1.4) de 2. ve 4. ifade Riemann Lebesque lemmas¬ndan dolay¬ s¬f¬rd¬r. Dolay¬s¬yla h ( )¡ e( )i ·cosp + () p sinp ¸ = 0 dir. = 1için h ( )¡ e ( )i hcosp + 1sinpi= 0 h
( )¡ e ( )i[cos ( + arctan 1) + 1sin ( + arctan 1)] = 0
h
( )¡ e ( )i[cos cos (arctan 1)¡ sin sin(arctan 1) +1sin cos(arctan 1) + 1cos sin(arctan 1)] = 0
cos = (¡1) oldu¼gundan bu ifade
(¡1)h( )¡ e ( )i[cos(arctan 1) + 1sin(arctan 1)] = 0 cos (arctan 1) = 1 p 1 + 2 1 sin (arctan 1) = 1 p 1 + 2 1 olup (¡1)h( )¡ e( )i à 1 p 1 + 2 1 + 2 1 p 1 + 2 1 ! = 0 (¡1) h ( )¡ e ( ) i q 1 + 21 = 0
! 1 için ( ) ¡ e ( ) = 0 oldu¼gundan Z 0 h ()¡ e ()i = 0 dir.
II. Durum. (3.1.4) e¸sitli¼gi p () ile çarp¬larak p () h ( )¡ e ( )icosp + p () Z 0 h ( )¡ e( ) i cosp +h ( )¡ e ( )isinp¡ Z 0 h ( )¡ e( ) i sinp = 0
olarak yaz¬labilir. 1 için = 2 olsun: p 1 p + 2 h ( )¡ e ( )icosp + p 1 p + 2 Z 0 h ( )¡ e( ) i cosp +h ( )¡ e ( )isinp¡ Z 0 h ( )¡ e( ) i sinp = 0 h ( )¡ e ( )i " p 1 p + 2 cosp + sin p # = 0 h ( )¡ e ( )i " p 1 p + 2 cos µ + 1 2 ¶ + sin µ + 1 2 ¶ # = 0 h ( )¡ e ( )i 2 4 p 1 p +2 ¡
cos cos2 ¡ sin sin2¢ + sin cos2 + cos sin2
3 5 = 0
(¡1)h( )¡ e( )i= 0
! 1 için ( ) ¡ e ( ) = 0 oldu¼gundan Z 0 h ()¡ e ()i = 0 dir.
TEOREM 3.3. () 2 [0 ] ve () = (0) olsun. Bu durumda
·ISPAT: Teorem 2.3 yard¬m¬yla Z 0 [ ¡ 0] = 0 1· · yani Z 0 () = 0
dir. Lemma 2.1 den 0 2 (0) = ()oldu¼gu görülür.
0 (2.1) öz de¼ger probleminin ilk öz de¼geri oldu¼gundan = 1 2 3 ile
gösterilen ve ayn¬ 0 öz de¼gerine kar¸s¬l¬k gelen tane lineer ba¼g¬ms¬z sabit vektör bulunabilir. Bunlar esas diferensiyel denklemi sa¼glad¬¼g¬ndan
¡00+ () = , = 0
() = 0, = 1 2 3 0 · ·
elde edilir. Böylece
()´ 0
4.SONUÇ
2011 y¬l¬nda Yang C.F ve Yang X.P s¬n¬r ko¸sullar¬n¬n özparametrelere ba¼gl¬ oldu¼gu Sturm-Liouville özde¼ger problemi için Ambarzumyan teoremini incelemi¸slerdir. Burada Yang ve Yang’¬n çal¬¸smas¬ esas al¬nm¬¸st¬r.
Birinci bölümde tez içerisinde kullan¬lan tan¬m ve teoremlere yer verilerek Sturm-Liouville operatörü tan¬t¬lm¬¸s ve bu operatörün baz¬ temel özellikleri ince-lenmi¸stir.
·Ikinci bölümde s¬n¬r ko¸sullar¬nda özparametre bulunduran Sturm-Liouville özde¼ger problemi için Ambarzumyan teoremi ifade ve ispat edilmi¸s , böyle prob-lemler için Teklik teoremi ispatlanm¬¸s ve özde¼gerlerin bulunmas¬na ili¸skin karek-teristik denklem incelenmi¸stir..
Üçüncü bölümde s¬n¬r ko¸sullar¬nda özparametre bulunduran boyutlu matris Sturm-Liouville denklemi için Ambarzumyan teoremi ve Teklik teoremi ifade ve ispat edilmi¸stir.
34 KAYNAKLAR
Ambartsumyan, V. A., 1929. Über eine Frage der Eigenwerttheorie, Zeitschrift für
Physik, 53, 690-695
Bayraktar, M., 2006. Fonksiyonel Analiz, Fersa Matbaacılık.
Carlson, R. and Pvovarchik, V. N., 2007. Ambarzumian's theorem for trees,
Electronic Journal of Differential Equations, 142, 1-9.
Chakravarty, N. K. and Acharyya, S. K., 1988. On an extension of the theorem of V. A. Ambarzumyan, Proceeding of the Royal Society of Edinburg, 110A, 79-84.
Chern, H. H. and Shen, C. L., 1997. On the -dimensional Ambarzumyan's theorem, Inverse Problems, 13, 15-18.
Chern, H. H., Law, C. K. and Wang, H. J., 2001. Extension of Ambarzumyans theorem to general boundary conditions, Journal of Mathematical
Analysis and Applications, 263, 333-342.
Freiling, G. and Yurko, V. A., 2001. Inverse Sturm-Liouville problems and their applications, Nova Science Publishers.
Gasymov, M. G. and Guseinov, G. Sh., 1981.The determination of a diffusion operator from the spectral data, Doklady Akademic Nauk Azerbaijan SSR, 37(2), 19-23
Gel'fand, I. M. and Levitan, B. M., 1951. On the determination of a differential equation from its spectral function, Izvestiya Akademii Nauk SSSR Seriya
Matematicheskaya, 15, 4 309-360; 1955 translated in American
Mathemetical Society Translate, 1, 253.
Guseinov, G. Sh., 1985. On spectral analysis of a quadratic pencil of Sturm-Liouville operators, Soviet Mathematic Doklady, 32, 859-862
35
Horvath, M., 2001. On a theorem of Ambarzumyan, Proceedings of the Royal
Society of Edinburgh, 131(A), 899-907 .
Hoschtadt, H. and Lieberman, B., 1978. An Inverse Sturm-Liouville problem with mixed given data, SIAM Journal on Applie Mathematics, 34, 4 676-680. Hryniv, R. and Pronska, N., 2012. Inverse spectral problems for energy dependent
Sturm-Liouville equations, Inverse Problems, 28, 085008 .
Jaulent, M. and Jean, C., 1972. The inverse s-wave scattering problem for a class of potentials depending on energy, Communications in Mathematic
Physics, 28, 177-220 .
Koyunbakan, H., 2006. A new inverse problem for the diffusion operator, Applied
Mathematics Letters, 19(10), 995-999
Koyunbakan, H. and Panakhov, E. S., 2007. Half inverse problem for diffusion operators on the finite interval, Journal of Mathematical Analysis and
Applications, 326, 1024-1030
Koyunbakan, H., Lesnic, D. and Panakhov, E. S., 2012. Ambarzumyan type theorem for a quadratic Sturm-Liouville operator, Turkish Journal of
Science and Technology.
Levitan, B. M., 1964. Determination of a Sturm-Liouville differential equation in terms of the two spectra, Izvestiya Akademii Nauk SSSR Seriya
Matematicheskaya, 28, 1 63-78.
Levitan, B. M and Sargsjan, I. S., 1975. Introduction to Spectral Theory: Self Adjoint Ordinary Differential Operators, American Mathematical
Society, Providence, Rhode Island.
Nabiev, I. M., 2007. The inverse quasiperiodic problem for a diffusion operator,
Doklady Mathematics, 76, 527-529 .
Pöschel, J. and Trubowitz, E., 1987. Inverse Spectral Theory, volume 130 of Pure
36
Shen, C. L., 2007. On some inverse spectral problems related to the Ambarzumyan problem and the dual string of the string equation, Inverse Problems, 23, 2417--2436 .
Shieh, C. T., Buterin, S. A. and Ignatiev, M., 2011. On Hoschtadt-Lieberman theorem for Sturm Liouville operators, Far East Journal of Applied
Mathematics, 52 2 131-146.
Soykan, Y., 2008. Fonksiyonel Analiz, Nobel Yayın Dağıtım, Ankara. Şuhubi, E. S., 2001. Fonksiyonel Analiz, İTÜ Vakfı Yayınları, İstanbul.
Uluçay, C., 1978. Fonksiyonlar teorisi ve Riemann yüzeyleri, Türkiye Cumhuriyeti
Karadeniz Teknik Üniversitesi, Temel Bilimler Fakültesi Yayınları,
Trabzon.
Wang, Y. P., 2012. Borg-type theorem for the missing eigenvalue problem, Applied
Mathematic Letters, 26(4), 452-456.
Yang, C. F. and Yang, X. P., 2009. Some Ambarzumyan type theorems for Dirac operators, Inverse Problems, 25(9) 1-12 .
Yang, C. F., Huang, Z. Y. and Yang, X.P., 2010. Ambarzumyan's theorems for vectorial Sturm-Liouville systems with coupled boundary conditions,
Taiwanese Journal of Mathematics, 14(4), 1429-1437.
Yang, C. F. and Yang, X. P., 2011. Ambarzumyan's theorem with eigenparameter in the boundary conditions, Acta Mathematica Scientia, 31(4) 1561-1568 Yang, C. F., 2012. Trace formulae for the matrix Schrödinger equation with energy-dependent potential, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 393,526-533
ÖZGEÇMİŞ
1987 yılında Malatya'da doğdum ilk, orta ve lise öğrenimimi Malatya'da tamamladım. 2007 yılında Kahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümünde başladığım lisans öğrenimimi, bir yıl Fırat Üniversitesi'nde devam ettikten sonra 2011 yılında İnönü Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümünde tamamladım. Aynı yıl Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim dalında tezli yüksek lisansa başladım. Halen aynı anabilim dalında tezli yüksek lisans yapmaktayım.
