Soyut Matematik Çözümlü Soru Bankası

ÖABT

CEBİR

Soyut Matematik

ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

Yasin ŞAHİN

ÖRNEKT

İR

ÖABT

CEBİR / Soyut Matematik

ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

© Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın,

elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi

bir kayıt sistemi ile çoğaltılamaz,

yayınlanamaz, depolanamaz.

Bu kitaptaki bilgilerin her türlü sorumluluğu yazara aittir.

Eser Sahibi

Yasin ŞAHİN

ISBN: 978-605-81399-7-8

İNCİ KAĞITÇILIK – OFSET MATBAA

Fevzi Çakmak Mah. Hacı Bayram Cad. No: 3

Karatay / KONYA

Sertifika No: 14997

Dizgi & Grafik

Mehmet Bilban

KONYA – Mart – 2020

ÖRNEKT

ÇİNDEKİLER

Önermeler ve İspat Yöntemleri

Test 1 ... 1 Çözümler ... 3 Test 2 ... 5 Çözümler ... 7 Test 3 ... 9 Çözümler ... 11 Test 4 ... 13 Çözümler ... 15 Test 5 ... 17 Çözümler ... 19 Test 6 ... 21 Çözümler ... 23 Küme Teorisi Test 1 ... 27 Çözümler ... 29 Test 2 ... 31 Çözümler ... 33 Test 3 ... 35 Çözümler ... 37 Test 4 ... 39 Çözümler ... 41 Test 5 ... 43 Çözümler ... 45 Test 6 ... 47 Çözümler ... 49 Bağıntı Test 1 ... 53 Çözümler ... 55 Test 2 ... 57 Çözümler ... 59 Test 3 ... 61 Çözümler ... 63 Test 4 ... 65 Çözümler ... 67 Test 5 ... 69 Çözümler ... 71 Test 6 ... 73 Çözümler ... 75 Test 7 ... 77 Çözümler ... 79 Test 8 ... 81 Çözümler ... 83

İ

ÖRNEKT

İR

Fonksiyonlar Test 1 ... 87 Çözümler ... 89 Test 2 ... 91 Çözümler ... 93 Test 3 ... 95 Çözümler ... 97 Test 4 ... 99 Çözümler ... 101 Test 5 ... 103 Çözümler ... 105 Test 6 ... 107 Çözümler ... 109

Sayılabilir – Sonlu ve Sonsuz Kümeler Test 1 ... 113 Çözümler ... 115 Test 2 ... 117 Çözümler ... 119

ÖRNEKT

İR

ÖN SÖZ

Sevgili Öğretmen Arkadaşlarım,

Ülkemizde 2013 yılından bu yana uygulanmakta olan Öğetmenlik Alan Bilgisi Testi

(ÖABT) süreç içerisinde belli bir formata oturmuş, soru karakterleri belirginleşmiştir.

Bu sınav, üniversitelerde okutulan akademik müfredatın yanı sıra 2015 yılı öncesi lise

matematik konularını da içermektedir.

Bu sistemde amaca ulaşmak için lisans öğreniminiz süresince öğrendiklerini

pekiştirmeniz sınava uygun tarzda çok sayıda ve sistemli soru çözmeniz ayrıca sık sık tekrar

yapmanız gerekmektedir.

Kaynaklarımız soru sayısı arttırılmış ÖABT sınavı baz alınarak yeniden düzenlenmiş,

her bir soru sınıf ortamında çözülerek hatalı yönleri giderilerek hizmetinize sunulmuştur.

Cebir / Soyut Matematik

Çözümlü Soru Bankası, yukarıdaki belirlemelere uygun

olarak sizleri

ÖABT sınavına en iyi biçimde hazırlamak amacıyla düşünülmüştür.

Çıktığınız bu zorlu yolculukta yayınlarımızın yükünüzü bir nebze olsun hafifletmesi en

büyük dileğimizdir.

Faydalanacak olan

öğretmen arkadaşlara başarılar diler ve bu kitabın hazırlanmasında

desteklerini esirgemeyen başta sevgili eşim olmak üzere, Hatice ARICI, Ahmet ÖZER, Sefa

ARDAHAN, Fatih MARAŞLI, Kürşat KOÇ, Beyza CAN, Abdullah KOCA, Fatma ERTÜRK

hocalarıma teşekkürü bir borç bilirim.

Yasin ŞAHİN

Mart – 2020

ÖRNEKT

ÖRNEKT

ÖRNEKT

ÖRNEKT

Soyut Matematik Bağıntı Test 8

81

1. Tam sayılar kümesinde tanımlanan

β = {(x, y) | x2 _{+ 4x = y}2 + 4y}

bağıntısı denklik bağıntısı olduğuna göre, hangi x tam sayısı için x tek elemanlıdır?

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

2. Tam sayılar kümesinde tanımlı aşağıdaki

bağıntılardan kaç tanesi denklik bağıntısı belirtir? I.

{

(x,y) x−y≤1

}

II.

{

(x, y) 2 3x

(

+y

)

}

III.

{

(x,y) x2 =y2

}

IV.

{

(x,y) x2+x=y2+y

}

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

3. A = {a, b} olmak üzere,

β = A x A

bağıntısı ile ilgili olarak,

I. Yansıyandır.

II. Simetriktir. III. Ters simetriktir. IV. Geçişkendir.

yargılarından kaç tanesi doğrudur?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

4. Reel sayılarda tanımlanan

{

(x,y) x−y=2

}

=

β

bağıntısı ile ilgili olarak,

I. Yansıyandır.

II. Simetriktir. III. Ters simetriktir. IV. Geçişkendir.

Yargılarından kaç tanesi doğrudur? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

5. Tam sayılar kümesi üzerinde bir



bağıntısı

(

)

a



b⇔a b 1+ bir çift tam sayıdır. biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre



bağıntısıyla ilgili I. Yansıyandır.

II. Simetriktir. III. Geçişkendir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II

D) I ve III E) II ve III

6. A=

{

1,2,3, 4,5,6

}

Kümesi üzerinde bir βbağıntısı her

( )

a,b ∈A için

( )

a,b ∈ β ⇔EKOK a,b

( )

=a veya b biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, β bağıntısıyla ilgili olarak I. Yansıyandır.

II. Simetriktir. III. Geçişkendir.

IV. Eleman sayısı 22 dir.

V.

( )

a,b ∉ β ise EBOB a,b

( )

∉Adır. ifadelerinden kaç tanesi doğrudur?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

ÖRNEKT

Soyut Matematik Bağıntı Test 8

82

7. 3 elemanlı bir küme üzerinde tanımlanan

sıralama bağıntısı en çok kaç elemanlı olabilir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

8. β, A kümesi üzerinde tanımlı bir denklik

bağıntısı ve x, y ∈ A olsun. I. (x, y) ∈ β ⇒ x=y

II. x=y⇒ x∈y

III. x∩ y=∅ ⇒(x,y)∉β

Yargılarından hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve III

D) II ve III E) I, II ve III

9. A = {a, b, c, d, e} kümesi üzerinde tanımlanan

β = {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (a,b), (b,a), (b,c), (c,b), (a,c), (c,a)}

bağıntısında kaç farklı denklik sınıfı vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

10. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinde

A

= {{1}, {2,3}, {4,5,6}}

ayrımının belirlediği denklik bağıntısı kaç elemanlıdır?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

11. A = {a, b, c, d} kümesinde tanımlanan β = {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (a,b), (b,a)} bağıntısının belirlediği ayrım aşağıdakilerden hangisidir? A) {{a,b},{c}, {d}} B) {{a,c}, {b}, {d}} C) {{a},{b,d}, {c}} D){{a}, {b}, {c,d}} E) {{a,b,c}, {d}} 12. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesi üzerinde

{

(x,y) x≤y⇔x y

}

= β

bağıntısı tanımlanıyor. Buna göre, I. β, sıralama bağıntısıdır.

II. A kümesi, β bağıntısına göre tam sıralıdır. III. A kümesi, β bağıntısına göre iyi sıralıdır. Yargılarından hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III

ÖRNEKT

Soyut Matematik Çözümler Test 8 83 1. x=a olsun.

(

)

2 2 2 2 2 2 a 4a y 4y y 4y a 4a 0 0 16 4.1. a 4a 0 4 a 4a 0 a 2 + = + + − − = ∆ = ⇒ − − − = + + = = − Cevap A

2. ∀ ∈  için x x 1x − ≤ olduğundan yansıyandır. x, y∈  için x y 1− ≤ ⇒ − ≤ olduğundan y x 1 simetriktir.

x, y, z∈  için x y 1 ve y z 1− ≤ − ≤ iken x− ≤ z 1 olmayabilir. O yüzden geçişken değildir.

II, III ve IV. öncüllerde verilen bağıntılar denklik bağıntısıdır.

Cevap D

3. β =AxA=

{

( ) ( ) ( ) ( )

a,a , b,b , a,b , b,a

}

bağıntısı Yansıyan, simetrik ve geçişkendir.

Cevap D 4. Yansıma → − = ⇒x x 2 0≠ – 2 Simetri → − = ⇒ − = + x y 2 y x 2 Geçişme → − =x y 2, y− = ⇒ − = – z 2 x z 2 Ters simetri → − Cevap B

5. ∀ ∈  için a a a 1

(

+

)

bir çift tam sayı olduğundan



bağıntısı yansıyandır.



bağıntısı simetrik değildir.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 3 2 3 1 çift sayı 3 2 3 2 1 tek sayı a b a b 1 çift b c b c 1 çift a c a c 1 çift ⇔ + ⇔ + ⇔ + ⇔ + ⇔ +











olacağından verilen bağıntı geçişkendir. a tek ise b tek a c 1

(

+ çift

)

a çift ise a c 1

(

+ çift

)

Cevap D 6.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1,1 , 2,2 ,... 6,6 , 1,2 , 2,1 , 1,3 , 3,1 , 1, 4 , 4,1 , 1,5 , 5,1 , 1,6 , 6,1 , 2, 4 , 4,2 2,6 , 6,2 , 3,6 , 6,3       β =        

bağıntısı yansıyan ve simetriktir fakat geçişken değildir.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

4,2 ve 2,6 iken 4,6 s 22

a,b iken EBOB a,b A olabilir.

2,3 iken EBOB 2,3 1 A ∈ β ∈ β ∉ β β = ∉ β ∈ ∉ β = ∈ Cevap D

ÖRNEKT

İR

Soyut Matematik Çözümler Test 8

84

7. Üç elemanlı bir küme üzerinde tanımlı bir

sıralama bağıntısı üzerinde en çok 6 elemanlı olabilir.

{

}

A= 1,2,3 olmak üzere, bu küme üzerindeki

sıralama bağıntılarından biri

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

{

1,1 , 2,2 , 3,3 , 1,2 , 1,3 , 2,3

}

biçimindedir.

Cevap C

8. Verilen yargıların üçü de doğrudur (teorem).

Cevap E 9.

{

}

{

}

{

}

{ }

{ }

a a,b,c b b,a,c c c,b,a d d e e = = = = =

olduğundan A kümesi üzerinde 3 farklı denklik sınıfı vardır.

Cevap C

10. { 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 5,5 , 6,6 , 4,5 ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5,4 , 4,6 , 6,4 , 5,6 , 6,5 , 2,3 , 3,2 } olduğundan A kümesinin belirlediği ayrım 14 elemanlıdır. Cevap E 11. a=

{ }

a,b

{ }

{ }

{ }

b b,a c c d d = = =

olduğundan A kümesinin belirlediği ayrım

{ } { } { }

{

a,b , c , d

}

biçimindedir.

Cevap A

12. A=

{

1,2,3, 4,5

}

kümesi üzerinde tanımlı

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1,1 , 2,2 , 3,3 , 4, 4 , 5,5 , 1,2 , 1,3 , 1, 4 , 1,5 , 2, 4     β =       bağıntısı Yansıma Ters simetri Geçişme

özelliklerini sağladığından sıralama

bağıntısıdır.

A kümesinin her eleman çifti bu bağıntı yardı-mıyla karşılaştırılamayacağından A kümesi tam sıralı değildir. O halde iyi sıralı da değildir.

Cevap A

ÖRNEKT