Kapalı Türev , Değişim Oranları

(1)

DERS 10

Kapalı Türev , Değişim Oranları

10.1. Kapalı Türev. Fonksiyon kavramının ele alındığı ikinci derste kapalı denklemlerin de fonksiyon tanımlayabileceğini görmüştük. F(x,y)=0 denklemi ile tanımlanan f fonk-siyonu (y= f(x) ) için ' f'(x)

dx dy

y= = türevi F(x,y)=0 denklemibden elde edilebilir mi? Daha genel olarak, y= f(x) denklemi ile tanımlanan f fonksiyonu için F(x,y)=0 denklemi sağlanıyorsa, ' f'(x)

dx dy

y= = türevi F(x,y)=0 denkleminden elde edilebilir mi? Aşağıda, örnekler üzerinde de göreceğimiz gibi, bu sorunun yanıtı olumludur ve istenilen türev zincir kuralından yararlanılarak bulunabilir.

'

y yü bulmak için F(x,y)=0 denkleminin her iki yanının da türevi alınır:

(

( , )

)

( )

0 dx d y x F dx d = . Burada,

(

F( yx, )

)

dx d

türevi hesaplanırken y bağımlı değişkenini içeren ifadelerin türevini bulmak için zincir kuralı kullanılır. Örneğin, _y2_{nin türevi,}

( )

2 2 2 ' yy dx dy y y dx d ₌ ₌ olarak hesaplanır.

Bu şekilde türev hesabına kapalı türev hesabı denir. Örnek 1. Eğer y = f (x),

denklemini sağlıyorsa, y′= dx dy

i bulalım. F(x,y)=0 denkleminin her iki yanının x e göre türevini alalım.

Verilen denklemin heriki yanının x e göre türevi alınarak

(

)

( )

y x y y y x dx d y x dx d y x2+ 2−1=0 ⇒ 2+ 2−1 = 0 ⇒ 2 +2 ⋅ '=0 ⇒ '=− olduğunu görüyoruz. 0 1 ) , ( ₌ 2 ₊ 2 ₋ ₌ y x y x F

(2)

Örnek 2. yve x arasında xy3 − yx3 −1= 0 bağıntısı bulunduğuna göre dx dy y'= i bulalım.

(

1

)

0 0 1 3 3 3 3₋ ₋ ₌ _⇒ ₋ ₋ ₌ y x xy dx d y x xy _⇒ 3₊3 2 '₋(3 2 ₊ 3 ')₌0 y x y x y xy y ₍₃ 2 3₎ _' ₃ 2 3 y y x y x xy − = − ⇒ . 3 3 ' ₂ ₃ 3 2 x xy y y x y − − = ⇒

Örnek 3. x ve t , x2text− x3 −1=0 denklemini sağladığına göre

dt dx yi bulalım.

(

1

)

0 0 1 2 3 3 2 ₋ ₋ ₌ _⇒ _x _t_e ₋_x ₋ ₌ dt d x e t x xt xt _⇒ (2 ₊ 2) ₊ 2 ( ( ))₋3 2 ₌0 dt dx x xt dt d e t x e x dt dx xt xt xt _⇒ (2 ₊ 2) ₊ 2 ( ( ₊ ))₋3 2 ₌0 dt dx x x dt dx t e t x e x dt dx xt xt xt x e x t dt dx x e t x xtext 2 2 xt 3 2) 2 xt 3 2 ( + − =− − ⇒ . 2 3 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 xt xt xt xt xt xt e t x xte x t x e x x e t x xte t x e x dt dx − − + = − + − − = ⇒

Bazı maksimum minimum problemlerinin çözümünde kapalı türevlerden yararlanılabilir. Örnek 4. Bir firmanın ürettiği ürüne olan talep piyasaya sürülmesinin t – inci gününde

500 500

)

( = +

=x t t

x birim olarak belirleniyor. Ürettiği ürünün tamamını satabilen bu firmanın x ürün üretmesi durumunda günlük gideri Gi(x)=5000+2x ve günlük geliri

2 ) 001 . 0 ( 10 ) (x x x

Ge = − YTL olarak tespit edilmiştir. Bu firmanın kârının hangi gün maksimum olduğunu ve o gün kaç ürün üretildiğini belirleyiniz.

Çözüm. Kâr fonksiyonu 2 ) 001 . 0 ( 8 5000 ) ( ) ( ) (x Ge x Gi x x x K = − =− + −

(3)

olup karın maksimum olduğu gün 0 )) ( (K x = dt d

olmalıdır. Kapalı türev ya da zincir kuralı ile

. 0 ) 002 . 0 ( 8 )) ( ( = − = dt dx x dt dx x K dx d Diğer yandan, 500 500 500 ) ( = + ⇒ = = dt dx t t x x

olduğundan, yukarıdaki denklemden

0 500 ) 500 500 )( 002 . 0 ( 500 8⋅ − t+ ⋅ =

ve buradan t = 7 elde edilir. O halde, maksimum kâr, ürünün piyasaya sürülmesinin 7 inci gününde gerçekleşir ve o gün x=500⋅7+500=4000 ürün üretilir.

10.2. Kapalı Denklemle Verilmiş Bir Eğrinin Teğetleri. F(x , y) = 0 denkleminin grafiği düzlemde bir eğridir. Bu eğri üzerinde bir (x0 , y0 ) noktası ( yani, F (x0 , y0 ) = 0 olan bir (x0 , y0 ) noktası) için o noktadaki teğetin eğimi, y ′ nün (x0 , y0 ) için değeridir ve teğetin denklemi, y ′ nün (x0 , y0 ) için değeri m olmak üzere

0 0) (x x y m y= − + dır. y ′ nün (x0 , y0 ) için değeri ( 0, 0) ' x y y m= ile gösterilir.

Örnek 1. y - x y2 + x2 + 1 = 0 eğrisinin (1 , -1) noktasındaki teğetinin denklemini bulalım.

(4)

0 1 1 ) 1 ( 1 1₋ _⋅ ₋ 2 ₊ 2₊ ₌ − .

Teğet doğrusunun eğimini belirlemek için kapalı türevle dx dy y'= i bulmalıyız.

(

)

(

)

. 2 1 2 ' 0 2 ' 2 1 0 2 ' 2 ' 0 1 2 2 2 2 2 xy x y y x y y xy x xyy y y x xy y − − = ⇒ = − − − ⇒ = + − − ⇒ = + + − Böylece ( ) 3 1 2 1 2 1 ' ₁_, ₁ =− + − = = y ₋ m

(1 , -1) noktasındaki teğet doğrusunun denklemi

(

)

3 2 3 1 ) 1 ( 1 3 1 − − = ⇒ − + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = x y x y

olarak elde edilir.

Örnek 2. 5 2_{− x}8 4₊3₌0

y denklemi ile verilen eğrinin (1,1) noktasındaki teğetinin eğimini bulalım.

Söz konusu teğetin eğimi m= y' (1,1) dir. Kapalı türevle

y x y x y x yy x y 5 16 10 32 ' 0 32 ' 10 0 3 8 5 3 3 3 4 2 ₋ ₊ ₌ _⇒ ₋ ₌ _⇒ ₌ ₌ _. Böylece, . 5 16 ' ₍₁_,₁₎ = = y m Örnek 3. 2_{+ xy}₊3₌0

y denklemi ile verilen eğrinin x=4 teki teğet(ler)inin denklem(ler)ini yazalım.

Önce bu eğri üzerinde apsisi x=4 olan nokta var ise o noktanın ordinatı ne olacak ona

bakalım. Verilen denklemde x yerine 4 yerleştirilince

. 1 vya 3 0 ) 1 )( 3 ( 0 3 4 2 ₊ ₊ ₌ _⇒ ₊ ₊ ₌ _⇒ ₌₋ ₌₋ y y y y y y

(5)

elde edilir. Demek ki verilen eğri üzerinde apsisi 4 olan iki nokta bulunmaktadır: (4,-3) ve (4,-1).

Teğetlerin eğimlerini belirlemek için kapalı türevle y' yü bullalım.

. 2 ' ' ) 2 ( 0 ' ' 2 0 3 2 y x y y y y y x xy y yy xy y + − = ⇒ − = + ⇒ = + + ⇒ = + + (4,-3) noktasında eğim 2 3 6 4 3 '₍₄_, ₃₎ =− − = =y ₋ m , teğet denklemi 1. 2 3 3 ) 4 ( 2 3 − − = ⇒ − − − = x y x y (4,-1) noktasında eğim 2 1 2 4 1 ' ₍₄_, ₁₎ = − = =y ₋ m , teğet denklemi 3. 2 1 1 ) 4 ( 2 1 ₋ ₋ _⇒ ₌ ₋ = x y x y

10.3. Değişim Oranları. Günlük yaşamda en çok karşılaşılan problemlerden biri, her ikisi de zamana göre değişen iki niceliğin birbirlerine göre değişim oranlarını (artış veya azalış oranlarını) belirlemektir. Örnek olarak,

Bir işletme, giderindeki artışın kârını ne oranda etkileyeceğini bilmek ister.

Bir yatırımcı, borsadaki artış oranı ile fert başına milli gelir arasındaki ilişkiyi bilmek isteyebilir.

Bir otomobil satıcısı, faiz oranları arttıkça sattığı otomobil sayısının ne oranda düşeceğini bilmek ister.

Yukarıdaki örneklere benzer soruları içeren problemlere değişim oranı problemleri denir.

Değişik bir örnekle başlayalım.

Örnek 1. Yandaki şekilde görüldüğü gibi, dik bir duvara dayalı 260 cm uzunluğunda bir merdivenin yukarı ucu 20 cm/sn hızla aşağıya kaymağa başlıyor. Merdivenin üst ucu yerden 240 cm yükseklikte iken aşağı ucu duvardan hangi hızla uzaklaşmaktadır?

(6)

Bir değişim oranı problemini çözmek için aşağıdaki adımlar izlenebilir: 1. Yardımcı olacaksa bir şekil çizilir.

2. Bütün değişkenler, bunlardan değişim oranları verilenler ve değişim oranları bulunacak olanlar belirlenir.

3. Verilen ve bulunacak olan tüm değişim oranları türev olarak ifade edilir. 4. İkinci adımda belirlenen değişkenlerin sağladığı bir denklem yazılır.

5. Dördüncü adımda bulunan denkleme kapalı türev uygulanır ve türevde verilen değerler yerleştirilir.

6. Elde edilen denklem çözülerek bilinmeyen değişim oranı bulunur. Merdiven probleminin çözümü. Merdivenin

üst ucunun yerden yüksekliği y , alt ucunun duvara uzaklığı x ile gösterilsin. Merdivenin üst ucu aşağıya doğru kaydığından, y azaklmaktadır. Dolayısıyla sn cm dt dy / 20 − =

dir. x in değişim oranı olan dt dx

yi bulmak için, merdivenin uzunluğunun 260 cm olması

ve şekildeki dik üçgen kullanılarak Pisagor Teoremi ile 2

2

2 _{+ y} ₌₍₂₆₀₎

x

denklemi elde edilir. Bu denklem yardımıyla, y=240 cm olunca x=100 cm olduğu görülür. Diğer yandan, zamanı t ile gösterip yukarıdaki denkleme t ye göre kapalı türev uygulanınca 0 2 2 + = dt dy y dt dx x

elde edilir. Bu denklemde =100, =240, =−20

dt dy y x yerleştirilince

( )

( )(

)

cm sn dt dx dt dx / 48 100 480 0 20 240 2 100 2 + − = ⇒ = =

elde edilir. Merdivenin alt ucu duvardan 48 cm/sn hızla uzaklaşmaktadır.

260

x y

(7)

Ekonomiden örnekler verelim.

Örnek 2. Kilogramı p YTL den satılan bir ürün için x= 5000−10p6 kg talep olacağı tespit ediliyor. Fiyatın talebe göre değişim oranını bulalım.

Fiyat ve talep arasındaki bağıntıyı

2 1 6 6 ₍₅₀₀₀ ₁₀ ₎ 10 5000 p p x= − = −

biçiminde yazalım ve kapalı türev uygulayalım:

dx dp p p ) ( 60 ) 10 5000 ( 2 1 1 2 5 1 6 ₋ − = − . Buradan, 5 6 5 2 1 6 30 10 5000 60 ) 10 5000 ( 2 p p p p dx dp − = − = elde edilir.

Örnek 3. Ürettiği ürünün tamamını satabilen bir firmanın günde x birim ürün üretmesi durumunda sağladığı gelir

50 50 ) ( 2 x x x Ge = −

YTL oluyor. Bu firma günde 375 birim ürün üretirken üretimini günde 5 birim artırmaya karar veriyor. Firmanın gelirindeki günlük artış oranı ne olur?

Çözüm. Zamanı t ile göstererek gelirdeki değişim oranı

dt dx x dt dx x dt dx x Ge dt d ) 25 50 ( 50 2 50 )) ( ( = − = − olur. Bu ifadede x=375 ve =5 dt dx _{yerleştirilirse} 175 5 35 5 ) 25 375 50 ( − ⋅ = ⋅ = = dt dGe YTL/gün

(8)

Örnek 4. Haftada x radyo üreten bir firmanın toplam gideri

Gi(x) = 5000 + 2x ve toplam geliri

Ge(x) = 10x – (0.001) x2

YTL olarak veriliyor. Bu firma 2000 radyo üretmekte iken, üretimini her hafta 500 radyo artırmağa karar veriyor. Bu durumda firmanın gider, gelir ve kârında meydana gelecek değişiklikleri bulunuz.

Çözüm. x = 2000 iken =500

dt dx

olacaktır. Giderin zamana göre değişimi

dt dx x Gi x Gi dt d 2 ) ( ' )) ( ( = = ,

gelirin zamana göre değişimi

(

)

dt dx x dt dx x Ge x Ge dt d 002 . 0 10 ) ( ' )) ( ( = = − ve kâr fonksiyonu 2 ) 001 . 0 ( 8 000 5 ) ( ) ( ) (x Ge x Gi x x x K = − =− + −

olduğundan kârın zamana göre değişimi

(

)

dt dx x dt dx x K '( )=8 − 0.002 olur. x = 2000 iken ( =500 dt dx

olacağını da anımsayarak), gider, gelir ve kârdaki haftalık değişim oranları, sırsıyla

1000 500 2 ) 2000 ( ' = ⋅ = Gi ,

(

0.002

)

2000 500 3000 500 10 ) 2000 ( ' = ⋅ − ⋅ ⋅ = Ge ,

(

0.002

)

2000 500 2000 500 8 ) 2000 ( ' = ⋅ − ⋅ ⋅ = K

YTL olur. Diğer bir ifade ile, 2 000 radyo üretilmekte iken gider haftada 1 000 YTL, gelir haftada 3 000 YTL ve kâr haftada 2 000 YTL artar.

(9)

Örnek 5. Kilogramı p YTL den satılan bir ürün için talep edilen miktar x ile gösterilirse, 0 000 80 50 5

2_x2₊ _xp₊ _p2₋ ₌ _{denkleminin sağlandığı tespit ediliyor.}

a) Fiyat 30 YTL iken her ay 2 YTL artırılırsa, talepteki değişim oranı ne olur?

b) Talep 150 kilogram iken ayda 6 kilogram azalırsa fiyattaki değişim oranı ne olur?

Çözüm. Değişim zamana göre olmaktadır. t ye göre kapalı türev uygulayalım.

0 100 5 5 4 0 000 80 50 5 2 2₊ ₊ 2₋ ₌ _⇒ ₊ ₊ ₊ ₌ dt dp p dt dp x dt dx p dt dx x p xp x . a) p=30 YTL olunca 500 17 75 0 000 80 ) 30 ( 50 ) 30 ( 5 2_x2₊ _x ₊ 2₋ ₌ _⇒_x2 ₊ _x₋

ve buradan x=100 elde edilir. Ayrıca =2

dt dp _alınarak 0 2 30 100 2 500 150 400 0 100 5 5 4 + + + = ⇒ + + ⋅ + ⋅ ⋅ = dt dx dt dx dt dp p dt dp x dt dx p dt dx x 55 700 7000 550 =− ⇒ =− ⇒ dt dx dt dx

bulunur. Talepteki değişim oranı

55 700

− kg/ay dır. Talep ayda

55 700 kg azalmaktadır. b) x=150 kilogram olunca 700 15 0 000 80 50 150 5 ) 150 ( 2 2₊ _⋅ ₊ 2 ₋ ₌ _⇒ 2 ₊ ₋ p p p p

ve buradan p=20 elde edilir. Ayrıca, talep azaldığından, =−6

dt dx alınarak 0 20 100 150 5 ) 6 ( 20 5 ) 6 ( 150 4 0 100 5 5 4 + + + = ⇒ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = dt dp dt dp dt dp p dt dp x dt dx p dt dx x 55 84 4200 2750 = ⇒ = ⇒ dt dp dt dp

bulunur. Fiyattaki değişim oranı

55 84

YTL/ay dır. Fiyat ayda

55 84

(10)

Örnek 6. Bir ürün üzerinde yeni üretime başlayan bir firma ilk dört ay, t-inci haftada

x = x(t) = t2 + 400t + 175

ürün üretmeyi planlıyor. Üretilen ürün sayısıyla bağlantılı olarak, bir ürünün satış fiyatı da p = 10 – (0.001)x(t) YTL

olarak belirlenecektir. Bu firmanın haftalık sabit gideri 5 000 YTL ve bir ürün için gideri 2 YTL olduğuna göre, 5-inci hafta itibariyle, gider, gelir ve kârdaki haftalık değişim oranlarını bulunuz.

Çözüm. Firma, haftada x ürün üretmesi durumunda haftalık gideri

Gi(x)= 5 000 + 2x YTL ve haftalık geliri

Ge(x)=(10- (0.001)x )x) = 10 x - (0.001)x2 YTL olacaktır ve böylece haftalık kâr

K(x) = Ge(x) - Gi(x) = 10x – (0.001)x2-(5 000 + 2x)= 8x – (0.001)x2 - 5 000 YTL dir. Değişim oranlarına gelince

410( )₌ 2₊400 ₊175 _⇒ '( )₌2 ₊400 _⇒ '(5)₌2_⋅5₊400₌ x t t x t t t x 820 410 2 ) ( 2 ) ( 2 5000 ) ( = + ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ = dt dGi t x' dt dGi t x t Gi 2296 410 200 2 002 . 0 410 10 ) ( ' ) ( 002 . 0 ) ( ' 10 ) ( ) 001 . 0 ( ) ( 10 ) ( ₌ ₋ 2_⇒ ₌ _⋅ ₋ _⋅ _⋅ _⇒ ₌ _⋅ ₋ _⋅ _⋅ ₌ dt dGe t x t x t x dt dGe t x t x t Ge 1476 410 200 2 002 . 0 410 8 ) ( ' ) ( 002 . 0 ) ( ' 8 5000 ) 001 . 0 ( ) ( 8 ) ( ₌ ₋ 2₋ _⇒ ₌ _⋅ ₋ _⋅ _⋅ _⇒ ₌ _⋅ ₋ _⋅ _⋅ ₌ dt dK t x t x t x dt dK x t x t K

5-inci hafta itibariyle x'(5)=410 birim/hafta,

820 = dt dGi , ==2296 dt dGe ve =1476 dt dK YTL/hafta dır.

Başka bir deyimle, gider 820 YTL/hafta, gelir 2 296 YTL/hafta ve kâr 1 476 YTL/hafta artmaktadır.

(11)

Problemler 10 1. a) 1+ ln − =0 , =? dx dy ye y x x b) ln − +1=0 , =? dt dx xe x t t c) 2₋2 ₋ ₊500₌0 , ₌? dx dp x p p ç) ( −2)4 − 3 −8=0 , =? dt dx x t x

2. Her bir denklemden y´ yü ve verilen noktadaki teğetin eğimini bulunuz, sonra da teğet

denklemini yazınız.

a) x3

- 3xy + 4y2 = 21 , (-1,2) b) x – y 2 = ey , (1,0) c) y = x2

– y2 , (0,-1) ç) 2y2 – 3x3 =5 , (-1,1)

3. İki tane motorlu kayık, biri kuzey diğeri de doğu yönünde olmak üzere aynı yerden, aynı anda

hareket ediyorlar. Kuzeye gidenin hızı, saatte 15 mil, doğuya gidenin hızı ise saatte 20 mil olduğuna göre, hareketlerinden 2 saat sonra kayıklar arasındaki uzaklığın (zamana göre) değişim oranını bulunuz.

4. Durgun bir havuza atılan bir taş dairesel dalgacıklar meydana getiriyor. Bu şekilde oluşan bir

dalgacığın yarıçapı saniyede 0.5 metre arttığına göre, dalgacığın yarıçapı 10 metre iken içine aldığı alanın hangi hızla değiştiğini bulunuz.

5. Dik bir duvara dayanmış olan 10 ft. uzunluğundaki bir merdivenin alt ucu kayarak duvardan

saniyede 3 ft. hızla uzaklaşmağa başlıyor. Kayma devam ederken, merdivenin alt ucu duvar dibine 6 ft. uzaklıkta olduğu anda, üst ucunun (aşağıya doğru) hangi hızla kaydığını bulunuz.

6. 20 m. lik bir direğin tepesinde bulunan bir sokak lambası ile aydınlanan bir sokakta, 180 cm

boyunda bir öğrenci saniyede 5 m. hızla lambanın bulunduğu direkten uzaklaşmaktadır. Öğrenci direkten 20 m. uzaktayken, gölgesinin ucunun direğe olan uzaklığı hangi hızla değişmektedir?

7. Bir nokta, y2 – 4x2 = 12 eğrisinin üzerinde hareket ediyor. Nokta (1 , 4) de iken

x-koordinatı (apsisi) saniyede 2 birim azalıyor. y-x-koordinatının (ordinatının) değişim oranını bulunuz.

8. Bir su ısıtıcısından yer halısına su sızmağa başlıyor ve halı üzerinde dairesel bir alan ıslanıyor.

Islanan alan saniyede 50 cm2_{arttığına göre, ıslanan alanın yarıçapı 10 cm. olduğu anda bu}

(12)

9. Bir firmanın ürettiği ürüne olan talep piyasaya sürülmesinin t – inci gününde 76 200 ) ( = 2+ + =xt t t x

birim olarak belirleniyor. Ürettiği ürünün tamamını satabilen bu firmanın x ürün üretmesi durumunda günlük gideri x x Gi( )=5000+2 ve günlük geliri 2 ) 001 . 0 ( 10 ) (x x x Ge = −

YTL olarak tespit edilmiştir. Bu firmanın kârının hangi gün maksimum olduğunu ve o gün kaç ürün üretildiğini belirleyiniz.

10. Kilogramı p YTL den satılan bir ürün için _x₌ ₁₀₀₀₋₁₀_p4 _{kg talep olacağı tespit}

ediliyor. Fiyatın talebe göre değişim oranını bulunuz.

11. Ürettiği ürünün tamamını satabilen bir firmanın günde x birim ürün üretmesi durumunda

sağladığı gelir 100 100 ) ( 2 x x x Ge = −

YTL oluyor. Bu firma günde 200 birim ürün üretirken üretimini günde 8 birim artırmaya karar veriyor. Firmanın gelirindeki günlük artış oranı ne olur?

12. Haftada x adet hesap makinesi üretip satan bir firmanın gider fonksiyonu ve fiyat fonksiyonu Gi(x) = 8000 + 5x , p(x) = 14 – (x / 4000) , 0 ≤ x ≤ 2500

YTL olarak veriliyor. Bu firma 2000 hesap makinesi üretmekte iken, üretimini her hafta 50 hesap makinesi artırmağa karar veriyor. Bu durumda firmanın gider, gelir ve kârında meydana gelecek değişiklikleri bulunuz.

13. Kilogramı p YTL den satılan bir ürün için talep edilen miktar x ile gösterilirse,

0 500 74 25 2 2 2 ₊ ₊ ₋ ₌ p xp

x denkleminin sağlandığı tespit ediliyor.

a) Fiyat 30 YTL iken her ay 2 YTL artırılırsa, talepteki değişim oranı ne olur?