L.KULA & Y.YAYLI
A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS
L.KULA* & Y.YAYLI*
*Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Matematik Bölümü 06100 Tandoğan-Ankara, Türkiye
ABSTRACT
Pfaff [1] using quaternion product gave some properties of commutative multiplication of number triplets or
IR
3. Yaylı [2] gave a new explanation of multiplication of number triplets by representation matrix. In this paper, we obtain, using dual quaternion product, a commutative multiplication of dual number triplets.Moreover, we investigate some properties of the commutative multiplication.
Keywords: Dual quaternion, dual leaf
TDUAL SAYI ÜÇLÜLERİNİN DEĞİŞMELİ ÇARPIMI
ÖZET
Pfaff [1] kuaterniyon çarpımını kullanarak
IR
3 de sayı üçlülerinin değişmeli çarpımının bazı özelliklerini verdi. Yaylı [2] sayı üçlülerinin çarpımının yeni bir ifadesini matris gösterimi ile elde etmiştir. Biz bu çalışmada, dual kuaterniyonların çarpımını kullanarak, dual sayı üçlülerinin değişmeli çarpımını elde ettik. Ayrıca, bu çarpımın bazı özeliklerini inceledik.Anahtar Kelimeler: Dual kuaterniyon, dual yaprak
1. Giriş
William Rowan Hamilton 1830 lu yıllarında , kompleks sayıların çarpımına benzer bir çarpmayı,
IR
3 deki üçlüler için araştırdı. Fakat normun korunması mümkün olmuyordu.L.KULA & Y.YAYLI 13 yıl sonra bu işin
IR
4 de mümkün olabileceğini gördü ve kuaterniyonları keşfetti.Daha sonraları
IR
8 de Cayley sayıları için kompleks sayıların benzer özelikleri araştırıldı. Cayley sayıları üzerindeki çarpmanın birleşme ve değişme özelliklerinin mevcut olmadığı görüldü.Bu çalışmada,
ID
3 deki orjinden geçen düzlemler üzerinde değişmeli çarpma tanımlandı ve bu çarpmanın özelikleri incelendi.2. DUAL KUATERNİYONLAR
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−
=
=
−
=
=
−
=
+ +
=
=
=
−
= + ∈
+ +
=
=
2 3 1 1 3 1 2 3 3 2 3 1 2 2 1
3 2 1 2
0 2 3
2 1
0 , ,
, , 1 , 1 , , , ,
e e e e e e e e e e e e e e e
Ce Be Ae V D S e e ID D C B Ce A Be Ae De Q
IHID i Q D
SQ: Q nun skalar kısmı, VQ: Q nun vektörel kısmı olmak üzere Q=SQ +VQyazılabilir.
Bu durumda iki dual kuaterniyonun çarpımı
2 1 1 2 2 1 2 1 2
1 ,
2
1Q SQ SQ VQ VQ SQVQ SQ VQ VQ VQ
Q = − + + + ∧
şeklinde verilebilir. Eğer
ID
4 de ile lineer bağımlı iseQ1
V VQ2 0
2
1 ∧ Q =
Q V
V dır. Yani
olup dual kuterniyon çarpımı değişimli olur.
1 2 2
1
Q Q Q
Q =
Şimdi aşağıdaki formda dördüncü bileşeni sıfır olan dual kuaterniyonların kümesini ele alalım;
2 2 1 2 0 2 2
2 1 1 1 0 1 1
e B e A e D Q
e B e A e D Q
+ +
=
+ +
=
Bu şekilde tanımlanan tüm dual kuaterniyonların kümesi dual kuaterniyonlar uzayının 3- boyutlu bir alt uzayıdır. Bu alt uzayı
ID
3 ile göstereceğiz. ve olmak üzere eğer ise ve , Ox eksenini içine alan orijinden geçenQ
1Q
2∈ ID
32 1// Q
Q V
V
Q
1Q
2ID
3 dekidüzlemler içinde bulunurlar. Bu düzlemleri dual yaprak olarak adlandıracağız. Bu durum Şekil 1 de gösterilmiştir.
L.KULA & Y.YAYLI
Şekil 1.
ID
3 de dual yaprak.3. BİR DUAL YAPRAK ÜZERİNDE ÇARPMA
1 1
ve B
A
her ikisi birden sıfır olmayan iki dual sayı olmak üzere( )
( ) (
( D ) U B A D
B A D
e B e A e D Q
+
=
+
=
=
+ +
=
0 , 0 ,
, , 0 0 , 0 ,
, ,
1
1 1 1
1 1 1
2 1 1 1 0 1 1
)
vektörünü ele alalım. Burada
U = ( 0 , A
1, B
1)
, yOz düzleminde sıfırdan farklı bir vektördür. BöyleceQ
1 bir dual yaprak ifade eder.V = ( 0 , A
2, B
2)
olmak üzere bir( D ) ( A B ) ( D ) V
e B e A e D
Q
2=
2 0+
2 1+
2 2=
2, 0 , 0 + 0 ,
2,
2=
2, 0 , 0 +
,L.KULA & Y.YAYLI vektörünün
Q
1 ile aynı dual yaprakta bulunması için gerek ve yeter koşul) . , . , ( ) , ,
(
2 2 2 2 1 12
D A B D M A M B
Q = =
olacak şekilde bir M dual sayısının var olmasıdır. O halde
( )
1( )
20 2
1
0
Ae Be ve P Ee M . A e M . B e
De
Q = + + = + +
olmak üzere Q ve P vektörlerinin kuaterniyon çarpımı, D,A,B,M ∈ID olmak üzere
(
D.E M.A2 M.B2)
e0( (
M.D E)
.A)
e1( (
M.D E)
.B)
e2 PQ
R= × = − − + + + + (1)
şeklindedir.
Aynı Dual Yapraktaki Dual Sayı Üçlülerinin Çarpımı Aşağıdaki Özeliklere Sahiptir:
(1) Aynı yaprakta yer alan Q ve P dual vektörlerinin çarpımı olan R=Q×P dual vektörü de yine aynı yapraktadır. Yani her dual yaprak bu çarpma işlemine göre kapalıdır.
(2) × çarpma işlemi değişmelidir.
(3) çarpma işlemi dual kuaterniyon çarpımının özel bir durumu olduğundan aynı dual yaprak üzerinde birleşme ve dual vektörlerin toplamı üzerine dağılma özeliklerine sahiptir.
×
(4)
Q = De
0+ Ae
1+ Be
2 dual vektörünün eşleniği olan dual vektörü de Q ile aynı yapraktadır ve2 1 0
* De Ae Be
Q = − −
2 2 2 2
* D A B Q
Q
Q× = + + = dir.
(5) Q nun tersi 2
* 1
Q
Q
−= Q
dual vektörü Q ile aynı dual yapraktadır.(6) Aynı dual yaprakta yer alan Q ve R dual vektörleri için, Q×P=R denklemi olacak şeklinde aynı dual yaprakta yer alan bir tek P dual vektör çözümüne sahiptir.
R Q P =
−1×
Sonuç olarak
ID
3 de her bir yaprak×
çarpma işlemine göre bir cisimdir.L.KULA & Y.YAYLI 4 . BİR DUAL YAPRAKTA KOMPLEKS YAPI
B
A ve her ikisi birden sıfır olmayan iki dual sayı olmak üzere
U D
Be Ae
De
Q =
0+
1+
2= ( , 0 , 0 ) +
vektörünü ele alalım. Q ve (0,A,B) bir yaprak belirtir. O halde
(
Φ)
Φ Φ
+
=
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛ +
=
+
=
+
=
+
=
i e
Q
Q i U Q
Q D
i U D
U U U D
B A D
Q
. sin cos
) 0 , 0 , 1 (
. ) 0 , 0 , 1 (
) 0 , 0 , 1 (
) , , 0 ( ) 0 , 0 , (
0
ξ
ξ
yazılabilir. Burada
U
i
Φ= U
vektörü için,i
Φ× i
Φ= − 1
dir. Bu durum Şekil 2 degösterilmiştir.,
Şekil 2. Dual yaprakta kompleks yapı.
L.KULA & Y.YAYLI
Böylece vektörü ve nin gerdiği düzlemde yer
alacaktır. Dolayısıyla
3 2 1
0 Ae Be ID
De
Q= + + ∈
e
0i
Φξ
ξ e ξ i
φe
iΦ= cos .
0+ sin .
olmak üzere
Q = Q e
iΦξ ve argQ=ξ
yazılabilir. Şayet P=( VE, ), Q ile aynı yaprakta bir diğer vektör iseP = P e
iΦη yazılabilir. Bu durumda) (ξ η
η ξ
Φ +
Φ Φ
=
=
×
i i i
e P Q
e e P Q P Q
ve
P Q
P
Q ) arg arg
arg( × = +
dir. Ayrıca
Φξ
−
= e
−iQ
1Q 1
ile verilebilir.
Böylece,
i
Φyardımıyla herhangi bir dual yaprak üzerinde kompleks yapı ifade edilmiş olur.5. FARKLI DUAL YAPRAKLAR ÜZERİNDEKİ DUAL SAYI ÜÇLÜLERİNİN ÇARPMASI
ve P ID
3Q ∈
farklı yapraklar üzerinde bulunsun.Sp { } Q , P = N
orijinden geçen bir düzlemdir. ; N düzlemi ile xOy düzleminin arakesiti olan ve x- ekseni ileΘ
açısı yapan doğruyu göstermek üzere, N üzerindeki çarpmayı,) 0 , sin , (cosΘ Θ
= L
( ) ( ) [ Q ( ) P P
Q P
Q
N N N
Θ Α
× Θ Α Θ Α
=
⊗
→
→
×
⊗
)
−1, ( :
]
(2) şeklinde verebiliriz. Bu durum Şekil 3 de gösterilmiştir. BuradaΑ ( ) Θ
z-ekseni etrafındaL.KULA & Y.YAYLI dönme yaptıran matristir. (2) ile ifade edilen Q⊗P işlemi
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) (
[ ]
( ) ( ) ( )
[ ] )
P Q L P Q L
e G A
D F B
E B
e G B
F A
D E A
D
e G B
F A
D E A
D P Q R
, )
(
} sin
cos sin
cos
sin sin
cos cos
sin
cos cos
sin sin
cos {
2
1 0
+
∧
∧
=
Θ +
Θ +
Θ +
Θ
+ Θ
− Θ +
Θ +
Θ
− Θ
−
+ Θ
− Θ
− Θ +
Θ + Θ
=
⊗
=
(3)
veya matris formunda
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
Θ +
Θ Θ
Θ
Θ
− Θ
+ Θ Θ
+ Θ
−
Θ
− Θ
− Θ Θ
+ Θ
= Α
=
G F E
A D
B B
B A
D A
D
B A
D A
D P R Q
sin cos
sin cos
sin sin
cos cos
sin
cos cos
sin sin
cos
(4)
olarak elde edilir. (3) denkleminde ki ∧ ve
,
, sırasıyla,ID
3 deki vektörel ve iç çarpım operatörleridir.
Şekil 3. Farklı dual yapraklardaki elemanların çarpımı.
L.KULA & Y.YAYLI Şimdi dual kuaterniyonların skalar kısmı sıfır alınarak elde edilen dual sayı üçlülerini kullanarak orijinden geçen herhangi bir düzlem üzerindeki
⊗
işleminin geometrik yorumunu vereceğiz.6.
⊗
ÇARPMASININ GEOMETRİK YORUMUID
3 de orijinden geçen herhangi bir düzlem N olsun. Q,P∈N için( L Q L P L Q ) P
Q P Q
×
∧ +
=
×
×
=
⊗
∗,
veya
( e S ) P
P
Q ⊗ = Θ + Θ r × sin .
cos
0 ,Q = 1
.P Q P
Q ⊗ =
L×
yazılabilir. Bu durumda
P P
Q ⊗ =
olduğundanS e
Q
Lr
Θ + Θ
= cos .
0sin
birim dual kuaterniyonu, P dual vektörünü N düzleminde
S r
ekseni etrafında kadar döndürüyor diyebiliriz. Burada
Θ ve Θ = θ + θ
*∧
= ∧
Q L
Q S r L
dır.
KAYNAKLAR
[1] Frank R. Pfaff, A Commutative Multiplication of Number Triplets, Amer. Math.
Montly. 107 (2000) , 156-162.
[2] Yayli Y, Hacısalihoğlu H.H and Kula L, Quaternions and Lie Groups on S2, Kragujevac J. Math. 25, (2003), 201-208.
