6.İMPULS,MOMENTUMVEKÜTLEMERKEZİ6.1İmpulsveMomentum6.2MomentumKorunumuYasası6.3BirBoyutluÇarpışmalar6.4İkiBoyutluÇarpışmalar6.5KütleMerkezi6.6RoketHareketi 1

1

6. İMPULS, MOMENTUM VE KÜTLE MERKEZİ 6.1 İmpuls ve Momentum

6.2 Momentum Korunumu Yasası 6.3 Bir Boyutlu Çarpışmalar 6.4 İki Boyutlu Çarpışmalar 6.5 Kütle Merkezi

6.6 Roket Hareketi

6.1 İMPULS VE MOMENTUM

İkinci Newton yasasının değişik ifadesi:

~F = m~a = md~v

dt = d(m~v)

dt ^H

Tanım: ~p= m~v momentum vektörü.

~F = d~p dt ^H Bu ifadeyi küçük bir ∆t zamanı için yazarsak,

~F = ∆~p

∆t = ~p⁰−~p

∆t →

~p + ~F ∆t = ~p⁰ veya

m~v+ ~F ∆t = m~v⁰

6.1 İMPULS VE MOMENTUM

İkinci Newton yasasının değişik ifadesi:

~F = m~a = md~v

dt = d(m~v)

dt ^H

Tanım: ~p= m~v momentum vektörü.

~F = d~p dt ^H

Bu ifadeyi küçük bir ∆t zamanı için yazarsak,

~F = ∆~p

∆t = ~p⁰−~p

∆t →

~p + ~F ∆t = ~p⁰ veya

m~v+ ~F ∆t = m~v⁰

6.1 İMPULS VE MOMENTUM

İkinci Newton yasasının değişik ifadesi:

~F = m~a = md~v

dt = d(m~v)

dt ^H

Tanım: ~p= m~v momentum vektörü.

~F = d~p dt ^H Bu ifadeyi küçük bir ∆t zamanı için yazarsak,

Tanım: ~J= ~F ∆t impuls vektörü.^H

Değişken kuvvetin impulsu: ~J=Z t2

t1

~F(t) dt H

O halde, 2. yasanın ifadesi:

m~v+ ~F ∆t = m~v⁰ =⇒ ~p +~J = ~p⁰ (İmpuls-momentum teoremi) H

Cismin ivmesini bilmeye gerek kalmadan, ilk ve son hızlar arasında bir ifade.

Tanım: ~J= ~F ∆t impuls vektörü.^H Değişken kuvvetin impulsu: ~J=Z t2

t1

~F(t) dt H

O halde, 2. yasanın ifadesi:

m~v+ ~F ∆t = m~v⁰ =⇒ ~p +~J = ~p⁰ (İmpuls-momentum teoremi) H

Cismin ivmesini bilmeye gerek kalmadan, ilk ve son hızlar arasında bir ifade.

Tanım: ~J= ~F ∆t impuls vektörü.^H Değişken kuvvetin impulsu: ~J=Z t2

t1

~F(t) dt H

O halde, 2. yasanın ifadesi:

m~v+ ~F ∆t = m~v⁰ =⇒ ~p +~J = ~p⁰ (İmpuls-momentum teoremi) H

Cismin ivmesini bilmeye gerek kalmadan, ilk ve son hızlar arasında bir ifade.

Tanım: ~J= ~F ∆t impuls vektörü.^H Değişken kuvvetin impulsu: ~J=Z t2

t1

~F(t) dt H

O halde, 2. yasanın ifadesi:

m~v+ ~F ∆t = m~v⁰ =⇒ ~p +~J = ~p⁰ (İmpuls-momentum teoremi) H

Cismin ivmesini bilmeye gerek kalmadan, ilk ve son hızlar arasında bir ifade.

6.2 MOMENTUM KORUNUMU YASASI

Başlangıçta momentumları ~p₁= m1~v₁ ve ~p₂= m2~v₂ olan iki kütle.H

Dış kuvvet etkimiyor, sadece birbirleriyle etkileşiyorlar.

Bu etkileşme sonunda yeni momentumlar

~p₁⁰ = m1~v₁⁰ ve ~p₂⁰= m2~v₂⁰ oluyor.H

Her iki kütle için impuls-momentum formülünü yazalım:

~p₁+ ~F21∆t = ~p₁⁰

~p₂+ ~F12∆t = ~p2 0H

Topla:

~p₁+ ~p₂+ (~F21+ ~F12)∆t = ~p₁⁰+ ~p₂⁰

6.2 MOMENTUM KORUNUMU YASASI

Başlangıçta momentumları ~p₁= m1~v₁ ve ~p₂= m2~v₂ olan iki kütle.H

Dış kuvvet etkimiyor, sadece birbirleriyle etkileşiyorlar.

Bu etkileşme sonunda yeni momentumlar

~p₁⁰= m1~v₁⁰ ve ~p₂⁰= m2~v₂⁰ oluyor.H

Her iki kütle için impuls-momentum formülünü yazalım:

~p₁+ ~F21∆t = ~p₁⁰

~p₂+ ~F12∆t = ~p2 0H

Topla:

~p₁+ ~p₂+ (~F21+ ~F12)∆t = ~p₁⁰+ ~p₂⁰

6.2 MOMENTUM KORUNUMU YASASI

Başlangıçta momentumları ~p₁= m1~v₁ ve ~p₂= m2~v₂ olan iki kütle.H

Dış kuvvet etkimiyor, sadece birbirleriyle etkileşiyorlar.

Bu etkileşme sonunda yeni momentumlar

~p₁⁰= m1~v₁⁰ ve ~p₂⁰= m2~v₂⁰ oluyor.H

Her iki kütle için impuls-momentum formülünü yazalım:

~p₁+ ~F21∆t = ~p₁⁰

~p₂+ ~F12∆t = ~p2 0H

Topla:

~p₁+ ~p₂+ (~F21+ ~F12)∆t = ~p₁⁰+ ~p₂⁰

6.2 MOMENTUM KORUNUMU YASASI

Başlangıçta momentumları ~p₁= m1~v₁ ve ~p₂= m2~v₂ olan iki kütle.H

Dış kuvvet etkimiyor, sadece birbirleriyle etkileşiyorlar.

Bu etkileşme sonunda yeni momentumlar

~p₁⁰= m1~v₁⁰ ve ~p₂⁰= m2~v₂⁰ oluyor.H

Her iki kütle için impuls-momentum formülünü yazalım:

~p₁+ ~F21∆t = ~p₁⁰

Etki-tepki yasasına göre, ~F₂₁= −~F12 olduğundan,

~p₁+ ~p₂= ~p₁⁰+ ~p₂⁰ = sabit ^H

Bu sonuç çok genel olup, ikiden fazla cisim için de geçerlidir: Bir sistemin toplam momentumu: ~P = ~p1+ ~p₂+ · · · + ~p_N ^H

Momentum Korunumu Yasası

Bir sisteme etkiyen dış kuvvetler sıfır ise, sistemin toplam momentumu sabit kalır:

X

i

F_i^dış= 0 =⇒ ~P = ~P⁰

~p₁+ ~p₂+ · · · + ~p_N = ~p₁⁰+ ~p₂⁰+ · · · + ~p_N⁰

Etki-tepki yasasına göre, ~F₂₁= −~F12 olduğundan,

~p₁+ ~p₂= ~p₁⁰+ ~p₂⁰ = sabit ^H

Bu sonuç çok genel olup, ikiden fazla cisim için de geçerlidir:

Bir sistemin toplam momentumu: ~P = ~p1+ ~p₂+ · · · + ~p_N ^H

Momentum Korunumu Yasası

Bir sisteme etkiyen dış kuvvetler sıfır ise, sistemin toplam momentumu sabit kalır:

X

i

F_i^dış= 0 =⇒ ~P = ~P⁰

~p₁+ ~p₂+ · · · + ~p_N = ~p₁⁰+ ~p₂⁰+ · · · + ~p_N⁰

Etki-tepki yasasına göre, ~F₂₁= −~F12 olduğundan,

~p₁+ ~p₂= ~p₁⁰+ ~p₂⁰ = sabit ^H

Bu sonuç çok genel olup, ikiden fazla cisim için de geçerlidir:

Bir sistemin toplam momentumu: ~P = ~p1+ ~p₂+ · · · + ~p_N ^H Momentum Korunumu Yasası

Bir sisteme etkiyen dış kuvvetler sıfır ise, sistemin toplam momentumu sabit kalır:

X

i

F_i^dış= 0 =⇒ ~P = ~P⁰

~p₁+ ~p₂+ · · · + ~p_N = ~p₁⁰+ ~p₂⁰+ · · · + ~p_N⁰

Cisimler arasındaki etkileşme kuvvetinin ayrıntılarını bilmeye gerek yoktur. H

Vektör eşitlik: her bileşen için geçerlidir.H

2 cisim için:

m1v1x+ m2v2x = m1v_1x⁰ + m2v_2x⁰ m₁v_1y+ m2v_2y = m1v_1y⁰ + m2v_2y⁰ Çarpışma türü problemlere uygun.

Cisimler arasındaki etkileşme kuvvetinin ayrıntılarını bilmeye gerek yoktur. H

Vektör eşitlik: her bileşen için geçerlidir.H

2 cisim için:

m1v1x+ m2v2x = m1v_1x⁰ + m2v_2x⁰ m₁v_1y+ m2v_2y = m1v_1y⁰ + m2v_2y⁰ Çarpışma türü problemlere uygun.

Cisimler arasındaki etkileşme kuvvetinin ayrıntılarını bilmeye gerek yoktur. H

Vektör eşitlik: her bileşen için geçerlidir.H

2 cisim için:

m₁v1x+ m2v2x = m1v_1x⁰ + m2v_2x⁰ m₁v_1y+ m2v_2y = m1v_1y⁰ + m2v_2y⁰ Çarpışma türü problemlere uygun.

6.3 BİR BOYUTLU ÇARPIŞMALAR

Esnek ve esnek olmayan çarpışmalar. H

Tüm çarpışmalarda momentum korunur:

m1v1+ m2v2= m1v₁⁰+ m2v⁰₂ H

• Elastik (Esnek) Çarpışma: Kinetik enerji de korunur:

1

2m₁v₁²+ ¹₂m₂v₂²= ¹₂m₁v⁰²₁ + ¹₂m₂v₂⁰² Bu iki denklem çözülerek v₁⁰, v₂⁰ bulunur.H

• Özel durum: Başlangıçta m₂ hareketsiz ise,H

v⁰₁ = m₁−m₂ m1+ m2

v₁ v⁰₂ = 2m1

m₁+ m2

v1

6.3 BİR BOYUTLU ÇARPIŞMALAR

Esnek ve esnek olmayan çarpışmalar. H

Tüm çarpışmalarda momentum korunur:

m1v1+ m2v2= m1v₁⁰+ m2v⁰₂ H

• Elastik (Esnek) Çarpışma: Kinetik enerji de korunur:

1

2m₁v₁²+ ¹₂m₂v₂²= ¹₂m₁v⁰²₁ + ¹₂m₂v₂⁰² Bu iki denklem çözülerek v₁⁰, v₂⁰ bulunur.H

• Özel durum: Başlangıçta m₂ hareketsiz ise,H

v⁰₁ = m₁−m₂ m1+ m2

v₁ v⁰₂ = 2m1

m₁+ m2

v1

6.3 BİR BOYUTLU ÇARPIŞMALAR

Esnek ve esnek olmayan çarpışmalar. H

Tüm çarpışmalarda momentum korunur:

m1v1+ m2v2= m1v₁⁰+ m2v⁰₂ H

• Elastik (Esnek) Çarpışma: Kinetik enerji de korunur:

1

2m1v₁²+ ¹₂m2v₂²= ¹₂m1v⁰²₁ + ¹₂m2v₂⁰² Bu iki denklem çözülerek v₁⁰, v₂⁰ bulunur.H

• Özel durum: Başlangıçta m₂ hareketsiz ise,H

v⁰₁ = m₁−m₂ m1+ m2

v₁ v⁰₂ = 2m1

m₁+ m2

v1

6.3 BİR BOYUTLU ÇARPIŞMALAR

Esnek ve esnek olmayan çarpışmalar. H

Tüm çarpışmalarda momentum korunur:

m1v1+ m2v2= m1v₁⁰+ m2v⁰₂ H

• Elastik (Esnek) Çarpışma: Kinetik enerji de korunur:

1

2m1v₁²+ ¹₂m2v₂²= ¹₂m1v⁰²₁ + ¹₂m2v₂⁰² Bu iki denklem çözülerek v₁⁰, v₂⁰ bulunur.H

• Özel durum: Başlangıçta m₂ hareketsiz ise,H

v⁰₁ = m₁−m₂ m1+ m2

v₁ v⁰₂ = 2m1

m₁+ m2

v1

6.3 BİR BOYUTLU ÇARPIŞMALAR

Esnek ve esnek olmayan çarpışmalar. H

Tüm çarpışmalarda momentum korunur:

m1v1+ m2v2= m1v₁⁰+ m2v⁰₂ H

• Elastik (Esnek) Çarpışma: Kinetik enerji de korunur:

1

2m1v₁²+ ¹₂m2v₂²= ¹₂m1v⁰²₁ + ¹₂m2v₂⁰² Bu iki denklem çözülerek v₁⁰, v₂⁰ bulunur.H

• Özel durum: Başlangıçta m₂ hareketsiz ise,H

v⁰₁ = m₁−m₂ m1+ m2

v₁

0 = 2m1

• Plastik (esnek olmayan) çarpışma:

Kinetik enerji korunmaz (ısıya dönüşür).

Çözüm için bir bağıntı daha gerekir.H

• Özel durum: Tam plastik çarpışma Çarpışma sonunda iki kütle birbirine yapışır.H

Cisimlerin son hızları ortaktır ve momentum korunumu çözümü verir: v₁⁰ = v⁰2 = v⁰

m1v1+ m2v2 = (m1+ m2)v⁰

→ v⁰ = m₁v₁+ m2v₂ m₁+ m2

• Plastik (esnek olmayan) çarpışma:

Kinetik enerji korunmaz (ısıya dönüşür).

Çözüm için bir bağıntı daha gerekir.H

• Özel durum: Tam plastik çarpışma Çarpışma sonunda iki kütle birbirine yapışır.H

Cisimlerin son hızları ortaktır ve momentum korunumu çözümü verir: v₁⁰ = v⁰2 = v⁰

m1v1+ m2v2 = (m1+ m2)v⁰

→ v⁰ = m₁v₁+ m2v₂ m₁+ m2

• Plastik (esnek olmayan) çarpışma:

Kinetik enerji korunmaz (ısıya dönüşür).

Çözüm için bir bağıntı daha gerekir.H

• Özel durum: Tam plastik çarpışma Çarpışma sonunda iki kütle birbirine yapışır.H

Cisimlerin son hızları ortaktır ve momentum korunumu çözümü verir:

v₁⁰ = v⁰2 = v⁰

m1v1+ m2v2 = (m1+ m2)v⁰

6.4 İKİ-BOYUTLU ÇARPIŞMALAR

Üç-boyutlu uzaydaki çarpışmalar iki boyutta incelenebilirler.

Çünkü iki cismin doğrultusu çarpışma noktasında birleşip bir düzlem oluştururlar (Çarpışma düzlemi).

Momentum korunumu her iki bileşen için geçerlidir:

m1v1x+ m2v2x = m1v_1x⁰ + m2v⁰_2x m₁v_1y+ m2v_2y = m1v_1y⁰ + m2v⁰_2y ^H

2 denklem, 4 bilinmeyen. Ek bilgi olmadan çözümü imkansızdır. H

Çarpışma elastik ise, bir denklem de enerji korunumundan gelir.H

Çözüm için son hızlardan birinin ölçülerek belirlenmesi gerekir (parçacık çarpışmaları).H

Tam plastik çarpışma için bu sorun yoktur:

~v₁⁰= ~v20= ~v⁰ m₁v_1x+ m2v_2x= (m1+ m2)v_x⁰ m1v1y+ m2v2y = (m1+ m2)v_y⁰ 2 denklem, 2 bilinmeyen.

Momentum korunumu her iki bileşen için geçerlidir:

m1v1x+ m2v2x = m1v_1x⁰ + m2v⁰_2x m₁v_1y+ m2v_2y = m1v_1y⁰ + m2v⁰_2y ^H

2 denklem, 4 bilinmeyen. Ek bilgi olmadan çözümü imkansızdır. H

Çarpışma elastik ise, bir denklem de enerji korunumundan gelir.H

Çözüm için son hızlardan birinin ölçülerek belirlenmesi gerekir (parçacık çarpışmaları).H

Tam plastik çarpışma için bu sorun yoktur:

~v₁⁰= ~v20= ~v⁰ m₁v_1x+ m2v_2x= (m1+ m2)v_x⁰ m1v1y+ m2v2y = (m1+ m2)v_y⁰ 2 denklem, 2 bilinmeyen.

Momentum korunumu her iki bileşen için geçerlidir:

m1v1x+ m2v2x = m1v_1x⁰ + m2v⁰_2x m₁v_1y+ m2v_2y = m1v_1y⁰ + m2v⁰_2y ^H

2 denklem, 4 bilinmeyen. Ek bilgi olmadan çözümü imkansızdır. H

Çarpışma elastik ise, bir denklem de enerji korunumundan gelir.H

Çözüm için son hızlardan birinin ölçülerek belirlenmesi gerekir (parçacık çarpışmaları).H

Tam plastik çarpışma için bu sorun yoktur:

~v₁⁰= ~v20= ~v⁰ m₁v_1x+ m2v_2x= (m1+ m2)v_x⁰ m1v1y+ m2v2y = (m1+ m2)v_y⁰ 2 denklem, 2 bilinmeyen.

Momentum korunumu her iki bileşen için geçerlidir:

m1v1x+ m2v2x = m1v_1x⁰ + m2v⁰_2x m₁v_1y+ m2v_2y = m1v_1y⁰ + m2v⁰_2y ^H

2 denklem, 4 bilinmeyen. Ek bilgi olmadan çözümü imkansızdır. H

Çarpışma elastik ise, bir denklem de enerji korunumundan gelir.H

Çözüm için son hızlardan birinin ölçülerek belirlenmesi gerekir (parçacık çarpışmaları).H

Tam plastik çarpışma için bu sorun yoktur:

~v₁⁰= ~v20= ~v⁰ m₁v_1x+ m2v_2x= (m1+ m2)v_x⁰ m1v1y+ m2v2y = (m1+ m2)v_y⁰ 2 denklem, 2 bilinmeyen.

Momentum korunumu her iki bileşen için geçerlidir:

m1v1x+ m2v2x = m1v_1x⁰ + m2v⁰_2x m₁v_1y+ m2v_2y = m1v_1y⁰ + m2v⁰_2y ^H

2 denklem, 4 bilinmeyen. Ek bilgi olmadan çözümü imkansızdır. H

Çarpışma elastik ise, bir denklem de enerji korunumundan gelir.H

Çözüm için son hızlardan birinin ölçülerek belirlenmesi gerekir (parçacık çarpışmaları).H

Tam plastik çarpışma için bu sorun yoktur:

~v₁⁰= ~v20= ~v⁰

6.5 KÜTLE MERKEZİ

Kütle merkezi: Bir sistemi oluşturan kütle konumlarının “ağırlıklı"

ortalaması.H

Örnek: 2 kütleli sistem: x_KM= m₁x₁+ m2x₂

m1+ m2

H

N sayıda kütle için:

x_KM= m₁x₁+ m2x₂+ · · · + mNx_N m1+ m2+ · · · + mN =

PN i=1m_ix_i PN

i=1mi

H

3-boyutlu uzayda y - ve z - koordinatları da benzer şekilde tanımlanır: y_KM=

P

im_iy_i

M , z_KM= P

im_iz_i M

6.5 KÜTLE MERKEZİ

Kütle merkezi: Bir sistemi oluşturan kütle konumlarının “ağırlıklı"

ortalaması.H

Örnek: 2 kütleli sistem:

x_KM= m₁x₁+ m2x₂ m1+ m2

H

N sayıda kütle için:

x_KM= m₁x₁+ m2x₂+ · · · + mNx_N m1+ m2+ · · · + mN =

PN i=1m_ix_i PN

i=1mi

H

3-boyutlu uzayda y - ve z - koordinatları da benzer şekilde tanımlanır: y_KM=

P

im_iy_i

M , z_KM= P

im_iz_i M

6.5 KÜTLE MERKEZİ

Kütle merkezi: Bir sistemi oluşturan kütle konumlarının “ağırlıklı"

ortalaması.H

Örnek: 2 kütleli sistem:

x_KM= m₁x₁+ m2x₂ m1+ m2

H

N sayıda kütle için:

x_KM= m₁x₁+ m2x₂+ · · · + mNx_N m1+ m2+ · · · + mN =

PN i=1m_ix_i PN

i=1mi

H

3-boyutlu uzayda y - ve z - koordinatları da benzer şekilde tanımlanır: y_KM=

P

im_iy_i

M , z_KM= P

im_iz_i M

6.5 KÜTLE MERKEZİ

Kütle merkezi: Bir sistemi oluşturan kütle konumlarının “ağırlıklı"

ortalaması.H

Örnek: 2 kütleli sistem:

x_KM= m₁x₁+ m2x₂ m1+ m2

H

N sayıda kütle için:

x_KM= m₁x₁+ m2x₂+ · · · + mNx_N m1+ m2+ · · · + mN =

PN i=1m_ix_i PN

i=1mi

H

Sürekli Dağılmış Kütlenin Merkezi

Simetrik cisimler: Cismin yoğunluğu homojen dağılmışsa, kütle merkezi geometrik simetri merkezinde olur.

H

Simetrik parçalara ayırma:

Sürekli Dağılmış Kütlenin Merkezi

Simetrik cisimler: Cismin yoğunluğu homojen dağılmışsa, kütle merkezi geometrik simetri merkezinde olur.

H

Simetrik parçalara ayırma:

İntegral tekniği. Yoğunluk dağılımı ρ(~r) olarak verilmiş olsun.

CisimN sayıda küçük ∆mi kütleleri- nin toplamı olarak ele alınır. Bu küçük parçaların toplamı için,

xKM≈ P

ixi∆mi

P

i∆mi

H

∆mi →0 limitinde bu toplamlar integral olur. y - ve z - koordinatları için de benzer ifadeler bulunur:

xKM=

R x dm

M , yKM=

R y dm

M , zKM=

R z dm M

Kütle elemanı yoğunluk cinsinden dm= ρ(r) dr şeklinde ifade edilir.

İntegral tekniği. Yoğunluk dağılımı ρ(~r) olarak verilmiş olsun.

CisimN sayıda küçük ∆mi kütleleri- nin toplamı olarak ele alınır. Bu küçük parçaların toplamı için,

xKM≈ P

ixi∆mi

P

i∆mi

H

∆mi →0 limitinde bu toplamlar integral olur.

y - ve z - koordinatları için de benzer ifadeler bulunur:

R R R

Kütle Merkezinin Dinamiği İki parçacıktan oluşan bir sistem.H

Sisteme etkiyen kuvvetleri iç ve dış kuvvetler olarak ayıralım. 2. yasayı herbir cisim için yazıp toplayalım:H

m₁için : ~F₁^dış+ ~F21 = m1~a₁= d² dt²(m₁~r₁) m₂için : ~F^dış₂ + ~F12 = m2~a₂= d²

dt²(m₂~r₂)^H

~F₁^dış+ ~F^dış₂
+ ~F21+ ~F12
= d²

dt²(m₁~r₁+ m2~r₂) H

Etki-tepki yasasına göre ~F₂₁= −~F12 ve ikinci parantez sıfır olur.H

Sağ taraf M = m1+ m2 toplam kütlesiyle çarpıp bölünerek, kütle merkezi oluşturulur:

~F₁^dış+ ~F2^dış

= M d² dt²

m₁~r₁+ m2~r₂

M  = M d²~r_KM

dt² = M ~aKM

Kütle Merkezinin Dinamiği İki parçacıktan oluşan bir sistem.H

Sisteme etkiyen kuvvetleri iç ve dış kuvvetler olarak ayıralım.

2. yasayı herbir cisim için yazıp toplayalım:H

m₁için : ~F₁^dış+ ~F21 = m1~a₁= d² dt²(m₁~r₁) m₂için : ~F^dış₂ + ~F12 = m2~a₂= d²

dt²(m₂~r₂)^H

~F₁^dış+ ~F^dış₂
+ ~F21+ ~F12
= d²

dt²(m₁~r₁+ m2~r₂) H

Etki-tepki yasasına göre ~F₂₁= −~F12 ve ikinci parantez sıfır olur.H

Sağ taraf M = m1+ m2 toplam kütlesiyle çarpıp bölünerek, kütle merkezi oluşturulur:

~F₁^dış+ ~F2^dış

= M d² dt²

m₁~r₁+ m2~r₂

M  = M d²~r_KM

dt² = M ~aKM

Kütle Merkezinin Dinamiği İki parçacıktan oluşan bir sistem.H

Sisteme etkiyen kuvvetleri iç ve dış kuvvetler olarak ayıralım.

2. yasayı herbir cisim için yazıp toplayalım:H

m₁için : ~F₁^dış+ ~F21 = m1~a₁= d² dt²(m₁~r₁) m₂için : ~F^dış₂ + ~F12 = m2~a₂= d²

dt²(m₂~r₂)^H

~F₁^dış+ ~F^dış₂
+ ~F21+ ~F12
= d²

dt²(m₁~r₁+ m2~r₂) H

Etki-tepki yasasına göre ~F₂₁= −~F12 ve ikinci parantez sıfır olur.H

Sağ taraf M = m1+ m2 toplam kütlesiyle çarpıp bölünerek, kütle merkezi oluşturulur:

~F₁^dış+ ~F2^dış

= M d² dt²

m₁~r₁+ m2~r₂

M  = M d²~r_KM

dt² = M ~aKM

Kütle Merkezinin Dinamiği İki parçacıktan oluşan bir sistem.H

Sisteme etkiyen kuvvetleri iç ve dış kuvvetler olarak ayıralım.

2. yasayı herbir cisim için yazıp toplayalım:H

m₁için : ~F₁^dış+ ~F21 = m1~a₁= d² dt²(m₁~r₁) m₂için : ~F^dış₂ + ~F12 = m2~a₂= d²

dt²(m₂~r₂)^H

~F₁^dış+ ~F^dış₂
+ ~F21+ ~F12
= d²

dt²(m₁~r₁+ m2~r₂) H

Etki-tepki yasasına göre ~F₂₁= −~F12 ve ikinci parantez sıfır olur.H

Sağ taraf M = m1+ m2 toplam kütlesiyle çarpıp bölünerek, kütle merkezi oluşturulur:

~F₁^dış+ ~F2^dış

= M d² dt²

m₁~r₁+ m2~r₂

M  = M d²~r_KM

dt² = M ~aKM

Kütle Merkezinin Dinamiği İki parçacıktan oluşan bir sistem.H

Sisteme etkiyen kuvvetleri iç ve dış kuvvetler olarak ayıralım.

2. yasayı herbir cisim için yazıp toplayalım:H

m₁için : ~F₁^dış+ ~F21 = m1~a₁= d² dt²(m₁~r₁) m₂için : ~F^dış₂ + ~F12 = m2~a₂= d²

dt²(m₂~r₂)^H

~F₁^dış+ ~F^dış₂
+ ~F21+ ~F12
= d²

dt²(m₁~r₁+ m2~r₂) H

Etki-tepki yasasına göre ~F₂₁= −~F12 ve ikinci parantez sıfır olur.H

Sağ taraf M = m1+ m2 toplam kütlesiyle çarpıp bölünerek, kütle merkezi oluşturulur:

~F₁^dış+ ~F2^dış

= M d² dt²

m₁~r₁+ m2~r₂

M  = M d²~r_KM

dt² = M ~aKM

Kütle Merkezinin Dinamiği İki parçacıktan oluşan bir sistem.H

Sisteme etkiyen kuvvetleri iç ve dış kuvvetler olarak ayıralım.

2. yasayı herbir cisim için yazıp toplayalım:H

m₁için : ~F₁^dış+ ~F21 = m1~a₁= d² dt²(m₁~r₁) m₂için : ~F^dış₂ + ~F12 = m2~a₂= d²

dt²(m₂~r₂)^H

~F₁^dış+ ~F^dış₂
+ ~F21+ ~F12
= d²

dt²(m₁~r₁+ m2~r₂) H

Etki-tepki yasasına göre ~F₂₁= −~F12 ve ikinci parantez sıfır olur.H

Sağ taraf M = m1+ m2 toplam kütlesiyle çarpıp bölünerek, kütle merkezi

Bu sonuçN sayıda cisim için de geçerlidir:

X

i

~F_i^dış= M ~aKM (kütle merkezinin hareketi)

H

Çok parçacıklı sistemlerde kütle merkezi, sadece dış kuvvetler varmış gibi hareket eder. H

Cismin kütle merkezinin çizdiği parabol.

Bu sonuçN sayıda cisim için de geçerlidir:

X

i

~F_i^dış= M ~aKM (kütle merkezinin hareketi)

H

Çok parçacıklı sistemlerde kütle merkezi, sadece dış kuvvetler varmış gibi hareket eder. H

Cismin kütle merkezinin çizdiği parabol.

Bu sonuçN sayıda cisim için de geçerlidir:

X

i

~F_i^dış= M ~aKM (kütle merkezinin hareketi)

H

Çok parçacıklı sistemlerde kütle merkezi, sadece dış kuvvetler varmış gibi hareket eder. H

Cismin kütle merkezinin çizdiği parabol.

6.6 ROKET HAREKETİ

Uzay boşluğunda araçlar yakıtlarını yüksek hızla geri yönde fırlatarak kazandıkları momentumla hareket ederler. H

Yerçekimi olmayan bir ortamda, herhangi birt anında roketin yakıtıyla beraber toplam kütlesi m ve hızı v olsun.

t+ dt anında roketin kütlesi m + dm (dm negatif !) ve hızı v + dv olsun. Roketten geri yönde (−dm) kadar bir yakıt rokete göre v_ekz ekzos hızıyla atılmış olsun. Bu hızı yerdeki gözlemci v − v_ekz olarak ölçecektir. H

(Roket+yakıt) sistemi için momentum korunumu yazılır: mv= (m + dm)(v + dv) + (−dm) (v − vekz)

6.6 ROKET HAREKETİ

Uzay boşluğunda araçlar yakıtlarını yüksek hızla geri yönde fırlatarak kazandıkları momentumla hareket ederler. H

Yerçekimi olmayan bir ortamda, herhangi birt anında roketin yakıtıyla beraber toplam kütlesi m ve hızı v olsun.

t+ dt anında roketin kütlesi m + dm (dm negatif !) ve hızı v + dv olsun.

Roketten geri yönde (−dm) kadar bir yakıt rokete göre v_ekz ekzos hızıyla atılmış olsun. Bu hızı yerdeki gözlemci v − vekz olarak ölçecektir. H

(Roket+yakıt) sistemi için momentum korunumu yazılır: mv= (m + dm)(v + dv) + (−dm) (v − vekz)

6.6 ROKET HAREKETİ

Uzay boşluğunda araçlar yakıtlarını yüksek hızla geri yönde fırlatarak kazandıkları momentumla hareket ederler. H

Yerçekimi olmayan bir ortamda, herhangi birt anında roketin yakıtıyla beraber toplam kütlesi m ve hızı v olsun.

t+ dt anında roketin kütlesi m + dm (dm negatif !) ve hızı v + dv olsun.

Roketten geri yönde (−dm) kadar bir yakıt rokete göre v_ekz ekzos hızıyla atılmış olsun. Bu hızı yerdeki gözlemci v − vekz olarak ölçecektir. H

Sadeleştirme yapılır (çok küçük olan dm dv çarpımı ihmal edilir):

−vekzdm= m dv ^H

Her iki taraf dt ile bölünerek türevler oluşturulur:

−vekz

dm dt

| {z } F (itici kuvvet)

= mdv

dt = ma (roket denklemi)

H

Soldaki terim bir kuvvet boyutundadır. Buna itici kuvvet denir.H

Roketin kazandığı ivme, birim zamanda atılan yakıt miktarı (dm/dt ) ve yakıtın ekzos hızı (v_ekz) çarpımıyla orantılı olur.H

Dünya yüzeyinden dikey kalkışta, sol tarafa −mg kuvveti de eklenmelidir.

∗ ∗ ∗ 6. Bölümün Sonu ∗ ∗ ∗

Sadeleştirme yapılır (çok küçük olan dm dv çarpımı ihmal edilir):

−vekzdm= m dv ^H Her iki taraf dt ile bölünerek türevler oluşturulur:

−v_ekzdm dt

| {z } F (itici kuvvet)

= mdv

dt = ma (roket denklemi)

H

Soldaki terim bir kuvvet boyutundadır. Buna itici kuvvet denir.H

Roketin kazandığı ivme, birim zamanda atılan yakıt miktarı (dm/dt ) ve yakıtın ekzos hızı (v_ekz) çarpımıyla orantılı olur.H

Dünya yüzeyinden dikey kalkışta, sol tarafa −mg kuvveti de eklenmelidir.

∗ ∗ ∗ 6. Bölümün Sonu ∗ ∗ ∗

Sadeleştirme yapılır (çok küçük olan dm dv çarpımı ihmal edilir):

−vekzdm= m dv ^H Her iki taraf dt ile bölünerek türevler oluşturulur:

−v_ekzdm dt

| {z } F (itici kuvvet)

= mdv

dt = ma (roket denklemi)

H

Soldaki terim bir kuvvet boyutundadır. Buna itici kuvvet denir.H

Roketin kazandığı ivme, birim zamanda atılan yakıt miktarı (dm/dt ) ve yakıtın ekzos hızı (v_ekz) çarpımıyla orantılı olur.H

Dünya yüzeyinden dikey kalkışta, sol tarafa −mg kuvveti de eklenmelidir.

∗ ∗ ∗ 6. Bölümün Sonu ∗ ∗ ∗

Sadeleştirme yapılır (çok küçük olan dm dv çarpımı ihmal edilir):

−vekzdm= m dv ^H Her iki taraf dt ile bölünerek türevler oluşturulur:

−v_ekzdm dt

| {z } F (itici kuvvet)

= mdv

dt = ma (roket denklemi)

H

Soldaki terim bir kuvvet boyutundadır. Buna itici kuvvet denir.H

Roketin kazandığı ivme, birim zamanda atılan yakıt miktarı (dm/dt ) ve yakıtın ekzos hızı (v_ekz) çarpımıyla orantılı olur.H

Dünya yüzeyinden dikey kalkışta, sol tarafa −mg kuvveti de eklenmelidir.

∗ ∗ ∗ 6. Bölümün Sonu ∗ ∗ ∗

Sadeleştirme yapılır (çok küçük olan dm dv çarpımı ihmal edilir):

−vekzdm= m dv ^H Her iki taraf dt ile bölünerek türevler oluşturulur:

−v_ekzdm dt

| {z } F (itici kuvvet)

= mdv

dt = ma (roket denklemi)

H

Soldaki terim bir kuvvet boyutundadır. Buna itici kuvvet denir.H

Roketin kazandığı ivme, birim zamanda atılan yakıt miktarı (dm/dt ) ve yakıtın ekzos hızı (v_ekz) çarpımıyla orantılı olur.H

Dünya yüzeyinden dikey kalkışta, sol tarafa −mg kuvveti de eklenmelidir.