C 1 MODÜLLER GENELLEMELERİ. Yüksek Lisans Tezi. Matematik Anabilim Dalı. Haziran

C₁−MOD ¨ULLER VE

GENELLEMELER˙I

Ozg¨¨ ur TAS¸DEM˙IR

Y¨uksek Lisans Tezi

Matematik Anabilim Dalı

Haziran - 2010

J ¨UR˙I ve ENST˙IT ¨U ONAYI

Ozg¨¨ ur Ta¸sdemir’in “C₁-Mod¨uller ve Genellemeleri” ba¸slıklı Matematik Anabilim Dalındaki Y¨uksek Lisans tezi 07.06.2010 tarihinde, a¸sa˘gıdaki j¨uri tarafından Anadolu ¨Universitesi Lisans¨ust¨u E˘gitim- ¨O˘gretim ve Sınav Y¨onetmeli˘ginin ilgili maddeleri uyarınca de˘gerlendirilerek kabul edilmi¸stir.

Adı - Soyadı ˙Imza

Uye (Tez Danı¸¨ smanı) Yard. Do¸c. Dr. FAT˙IH KARABACAK ...

Uye¨ Yard. Do¸c. Dr. F˙IGEN TAKIL MUTLU ...

Uye¨ Yard. Do¸c. Dr. AB˙ID˙IN KILIC¸ ...

Anadolu ¨Universitesi Fen Bilimleri Enstit¨us¨u Y¨onetim Kurulu’nun ... tarih ve ... sayılı kararıyla onaylanmı¸stır.

Prof.Dr. Rıdvan SAY Enstit¨u M¨ud¨ur¨u

OZET¨

Y¨uksek Lisans Tezi C1−MOD ¨ULLER

VE

GENELLEMELER˙I Ozg¨¨ ur TAS¸DEM˙IR

Anadolu ¨Universitesi Fen Bilimleri Enstit¨us¨u Matematik Anabilim Dalı

Danı¸sman: Yard. Do¸c. Dr. Fatih KARABACAK 2010, 66 sayfa

R bir halka olmak ¨uzere, R ¨uzerinde tanımlı bir M mod¨ul¨un¨un, her alt mod¨ul¨un¨u essential olarak kapsayan bir dik toplanan varsa bu M mod¨ul¨une C1 (CS ya da extending) mod¨ul denir. C1-mod¨ul tanımına denk olarak her komplement alt mod¨ul¨u bir dik toplanan mod¨ul olarak da ifade edebiliriz.

C1-mod¨ul ailesinin farklı genellemeleri vardır. Bunlardan ikisi C11-mod¨ul ve F I-extending mod¨ul aileleridir. Bir M mod¨ul¨une, her alt mod¨ul¨u bir dik toplanan olan bir komplemente sahip ise C11-mod¨ul denir. Bir M mod¨ul¨u, her fully invariant alt mod¨ul¨u bir dik toplananda essential olarak kapsanıyorsa F I-extending mod¨ul olarak adlandırılır. A¸cık¸ca FI-extending mod¨uller, C11

mod¨ullerin bir genellemesidir. Bu ¸calı¸smada bu ¨u¸c mod¨ul ailesinin temel

¨

ozellikleri incelenmi¸s ve birbirleri arasındaki ili¸skilere bakılmı¸stır.

Anahtar Kelimeler: Komplement Alt Mod¨ul, Diktoplanan, CS-mod¨ul, C₁₁-mod¨ul, F I-extending mod¨ul

ABSTRACT

Master of Science Thesis C1−MODULES

AND

GENERALIZATIONS Ozg¨¨ ur TAS¸DEM˙IR Anadolu University Graduate School of Sciences

Mathematics Program

Supervisor: Yard. Do¸c. Dr. Fatih KARABACAK 2010, 66 pages

R as a ring, a module M defined on R is called C₁ (CS or extending) module if every submodule of M is essential in a direct summand. It can be expressed as equivalence of this definiton that every complement submodule of M is a direct summand of M . There are various generalizations for C₁-module family.

C₁₁-modules and F I-extending modules are two of them. A module M is a C₁₁-module if every submodule has a complement which is a direct summand of M . A module M is called F I-extending if every fully invariant submodule is essential in a direct summand. Clearly, F I-extending modules are one of the generalization of C₁₁-modules. In this study, basic properties of these three module families are examined and the relationship among them is studied.

Keywords: Complement Submodule, Direct Summand, CS-module, C₁₁-module, F I-extending module

TES¸EKK ¨UR

Tez ¸calı¸smamda bilgi ve deneyimleriye her konuda bana yardımcı olan ve sabırla yol g¨osteren de˘gerli hocam Yard. Do¸c. Dr. Fatih KARABACAK’a,

C¸ alı¸smalarım esnasında benden bilgisini, yardımını ve deste˘gini esirgemeyen saygı de˘ger hocam Yard. Do¸c. Dr. Figen TAKIL MUTLU’ya,

Hayatım boyunca maddi ve manevi destekleriyle hep yanımda olan sevgili aileme ve ¨ozellikle Eski¸sehir’de her anlamda bana destek olan sevgili ablam Saniye TAS¸DEM˙IR’e en i¸cten te¸sekk¨urlerimi sunarım.

Ozg¨¨ ur TAS¸DEM˙IR Haziran 2010

˙IC¸ ˙INDEK˙ILER

OZET...¨ i

ABSTRACT... ii

TES¸EKK ¨UR... iii

˙IC¸ ˙INDEK˙ILER... iv

S˙IMGELER VE KISALTMALAR D˙IZ˙IN˙I... v

1. G˙IR˙IS¸ 1 2. ¨ON B˙ILG˙ILER 2 2.1. Ayrı¸stırılamaz (Indecomposable) Mod¨uller . . . 2

2.2. B¨uy¨uk (Essential) Alt Mod¨uller . . . 3

2.3. Komplement Alt Mod¨uller . . . 5

2.4. Yarı Basit (Semisimple) Mod¨uller - Socle . . . 9

2.5. D¨uzg¨un (Uniform) Mod¨uller ve D¨uzg¨un Boyut . . . 12

2.6. Noetherian ve Artinian Mod¨uller . . . 14

2.7. Singular ve Nonsingular Mod¨uller . . . 16

2.8. Mod¨ul Dizileri . . . 17

2.9. Serbest (Free) Mod¨uller . . . 18

2.10. Projektif ve ˙Injektif Mod¨uller . . . 19

3. S ¨UREKL˙I, YARI S ¨UREKL˙I VE CS MOD ¨ULLER 30 4. (C₁₁)-MOD ¨ULLER 39 5. FI-EXTENDING MOD ¨ULLER 52 6. TARTIS¸MA, SONUC¸ VE ¨ONER˙ILER 64 KAYNAKLAR . . . 65

S˙IMGELER VE KISALTMALAR D˙IZ˙IN˙I

= : e¸sit 6= : e¸sit de˘gil

∈ : eleman

∈/ : elemanı de˘gil

⊆ : alt k¨ume

∃ : en az bir

∀ : her

∩ : kesi¸sim

=⇒ : ise

⇐⇒ : ancak ve ancak

∼= : izomorf

kerf : f nin ¸cekirde˘gi Imf : f nin g¨or¨unt¨us¨u

≤ : alt mod¨ul

 : alt mod¨ul de˘gil

 : has alt mod¨ul

≤_e : essential alt mod¨ul

^e : essential alt mod¨ul de˘gil

≤_d : dik toplanan alt mod¨ul

^d : dik toplanan alt mod¨ul de˘gil

≤_c : komplement alt mod¨ul

c : komplement alt mod¨ul de˘gil

≤^`_e : sol ideal ve sol essential

≤^r_e : sa˘g ideal ve sa˘g essential

i∈ΛΠM_i : M_i lerin dik ¸carpımı

⊕

i∈ΛMi : Mi lerin dik toplamı

Soc(M ) : M nin socle’u E(M ) : M nin injektif zarfı

Hom_R(M, N ) : M den N ye R-homomorfizmaların k¨umesi End_R(M ) : M nin R-homomorfizmalar halkası

ACC : Artan Zincir Ko¸sulu DCC : Azalan Zincir Ko¸sulu

udimM : M mod¨ul¨un¨un uniform boyutu Z : Tam sayılar halkası

Q : Rasyonel sayılar halkası Z(M ) : Singular alt mod¨ul Z₂(M ) : 2. singular alt mod¨ul χ(S²) : K¨urenin euler karakteristi˘gi / : fully invariant alt mod¨ul

E : ideal

`(A) : A nın sol sıfırlayıcıları k¨umesi r(A) : A nın sa˘g sıfırlayıcıları k¨umesi

S_`(R) : T¨um sol yarımerkez (semicentral) idempotentlerin k¨umesi S_r(R) : T¨um sa˘g yarımerkez (semicentral) idempotentlerin k¨umesi B(R) : Merkez (central) idempotentlerin k¨umesi

 : Kanıtın sonu

1 G˙IR˙IS¸

Bu ¸calı¸sma boyunca, t¨um halkalar birimli ve birle¸smelidir ve R, bir halkayı g¨osterecektir. Aksi belirtilmedik¸ce t¨um mod¨uller birimsel sa˘g R-mod¨ullerdir.

Bir mod¨ule, her alt mod¨ul¨u bir dik toplananda essential olarak kapsanıyorsa, CS-mod¨ul, extending mod¨ul veya (C₁) ko¸sulunu sa˘glar dendi˘gini hatırlayalım.

Bir mod¨ule, her alt mod¨ul¨u dik toplanan olan bir kompelemente sahip ise, (C₁₁) ko¸sulunu sa˘glar veya (C₁₁)-mod¨ul denir. A¸cıktır ki, her CS-mod¨ul bir (C₁₁)-mod¨uld¨ur. Bir mod¨ule, her fully invariant alt mod¨ul¨u bir dik toplananda essential olarak kapsanıyorsa FI-extending mod¨ul denir. Yine a¸cıktır ki, her (C₁₁)-mod¨ul bir FI-extending mod¨uld¨ur.

Bu ¸calı¸smada, (C₁)-mod¨ul ailesinin genellemelerinden olan (C₁₁)-mod¨ul ailesi ve FI-extending mod¨ul ailesinin yapısal ¨ozellikleri incelenmi¸stir.

B¨ol¨um 2’de, bilinmesinde fayda g¨ord¨u˘g¨um¨uz ve ¸calı¸smamız boyunca da kullanaca˘gımız bazı temel tanım ve sonu¸clar kanıtlarıyla birlikte verilmi¸stir.

B¨ol¨um 3’te, (C₁), s¨urekli ve yarı s¨urekli mod¨ullerin tanımları verilmi¸s ve bazı temel ¨ozelliklerine de˘ginilmi¸stir. (C₁)-mod¨ullerin dik toplananlarının bir (C₁)-mod¨ul oldu˘gunu kanıtlayan ¨onerme verilmi¸s ve (C₁)-mod¨ullerin herhangi diktoplamlarının her zaman (C₁)-mod¨ul olmadı˘gına ili¸skin ters ¨ornek verilmi¸stir.

B¨ol¨um¨un sonunda hangi durumlarda bu ¨ozelli˘gin sa˘glanaca˘gına dair ¨onermeler verilmi¸stir.

B¨ol¨um 4’te, (C₁₁)-mod¨ullerin tanımı ve bu tanıma denk ko¸sullar verilmi¸stir.

(C₁)-mod¨ullerin aksine (C₁₁)-mod¨ullerin dik toplamlarının bir (C₁₁)-mod¨ul oldu˘gunu g¨osteren teorem verilmi¸s ve (C₁₁)-mod¨ullerin dik toplananlarının bir (C₁₁)-mod¨ul olmadı˘gına ili¸skin ¨ornek verilmi¸stir. Bu b¨ol¨um¨un sonunda hangi durumlarda bu ¨ozelli˘gin var olaca˘gına ili¸skin ¨onermeler verilmi¸stir.

B¨ol¨um 5’te, FI-extending mod¨ullerin tanımı ve FI-extending mod¨ullerin herhangi diktoplamınında FI-extending oldu˘gunu g¨osteren teorem verilmi¸stir.

Dik toplananlarının FI-exteding olup olmadı˘gı a¸cık bir soru olup ara¸stırmacılar bununla ilgili ¸calı¸smalara halen devam etmektedir.

.

2 ON B˙ILG˙ILER¨

Bu b¨ol¨umde, bilinmesinde fayda g¨ord¨u˘g¨um¨uz ve ¸calı¸smamızda kullandı˘gımız temel tanım ve teoremleri verece˘giz. Daha ayrıntılı bilgi i¸cin [1- 8] ¨onerilir.

2.1 Ayrı¸stırılamaz (Indecomposable) Mod¨uller

Tanım 2.1.1. M bir R-mod¨ul ve A ≤ M olsun. E˘ger ∃ B ≤ M i¸cin A∩B = 0 ve M = A + B ise M ye A ile B nin dik toplamı denir ve M = A ⊕ B ile g¨osterilir. A ve B alt mod¨ullerine de M nin dik toplananları denir. A, B ≤dM

¸seklinde g¨osterilir.

Tanım 2.1.2. Herhangi bir M R-mod¨ul¨un¨un sıfırdan ve kendisinden ba¸ska dik toplananı yoksa MR ye ayrı¸stırılamaz mod¨ul denir.

Tanım 2.1.3. M bir R-mod¨ul ve A, B ≤ M olsun. A ve B alt mod¨ullerinin toplamı

A + B = { a + b | a ∈ A, b ∈ B}

olarak ifade edilir.

Mod¨uler Kuralı: M bir R-mod¨ul, A ≤ M ve C ≤ B ≤ M olsun. Bu durumda

B ∩ (A + C) = C + (A ∩ B) dir.

Kanıt. (A ∩ B) ≤ A ve (A ∩ B) ≤ B oldu˘gundan

C + (A ∩ B) ≤ B ∩ (A + C) (1)

dir. Tersine b ∈ B ∩ (A + C) alalım. Bu durumda b = a + c olacak bi¸cimde a ∈ A ve c ∈ C vardır.

b = a + c =⇒ a = b − c ∈ A ∩ B

=⇒ b = a + c ∈ C + (A ∩ B) oldu˘gundan

B ∩ (A + C) ≤ C + (A ∩ B) (2)

dir. (1) ve (2) den B ∩ (A + C) = C + (A ∩ B) oldu˘gu g¨or¨ul¨ur.  .

.

2.2 B¨uy¨uk (Essential) Alt Mod¨uller

Tanım 2.2.1. M bir R-mod¨ul ve N ≤ M olsun. Her 0 6= K ≤ M i¸cin

N ∩ K 6= 0 ise N ye M de b¨uy¨uk (essential) alt mod¨ul denir. M ye N nin essential geni¸slemesi denir ve N ≤_eM ¸seklinde g¨osterilir.

Onerme 2.2.2. M bir R−mod¨¨ ul olsun. A¸sa˘gıdakidaki ¨ozellikler do˘grudur.

(i) N ≤_eM ⇐⇒ 0 6= m ∈ M i¸cin N ∩ mR 6= 0

(ii) K ≤ N ≤ M i¸cin K ≤_eM dir ⇐⇒ K ≤_e N ve N ≤_e M dir.

(iii) N ≤_eM ve K ≤ M =⇒ N ∩ K ≤_e K dır.

(iv) N_i ≤_eK_i (1 ≤ i ≤ t) =⇒ (N₁∩ ... ∩ N_t) ≤_e (K₁∩ ... ∩ K_t) dir.

(v) Bo¸s k¨umeden farklı bir Λ indis k¨umesi i¸cin N_λ ≤_e M_λ(λ ∈ Λ) ⇐⇒ ⊕

Λ

N_λ ≤_e ⊕

Λ

M_λ dır.

(vi) f : M → N bir homomorfizma ve B ≤_eN ise f⁻¹(B) ≤_eM dir.

Kanıt. (i) N ≤_e M ve 0 6= m ∈ M iken mR 6= 0 oldu˘gundan N ∩ mR 6= 0 dır.

Tersine, 0 6= L ≤ M olsun. ¨Oyleyse 0 6= m ∈ L vardır. mR ≤ L ve kabulden dolayı N ∩ L 6= 0 elde edilir. N ≤_e M dir.

(ii) K ≤ N ≤ M i¸cin K ≤_e M olsun. 0 6= X ≤ N alalım. Bu durumda 0 6= X ≤ M olur. K ≤_e M oldu˘gundan K ∩ X 6= 0 dır. ¨Oyleyse K ≤_e N dir.

S¸imdi 0 6= T ≤ M alalım. Bu durumda 0 6= K ∩ T ≤ N ∩ T dir. Yani N ≤_eM dir.

Tersine, K ≤ N ≤ M i¸cin K ≤_e N ve N ≤_e M olsun. 0 6= Z ≤ M i¸cin 0 6= N ∩ Z ≤ N dir. K ≤_eN oldu˘gundan 0 6= K ∩ (N ∩ Z) = K ∩ Z dir. Yani, K ≤_e M dir.

.

(iii) N ≤_eM , K ≤ M olsun. 0 6= S ≤ K alalım. (N ∩ K) ∩ S = N ∩ S 6= 0 dır. Dolayısıyla, (N ∩ K) ≤_eK dır.

(iv) t = 2 i¸cin N₁ ≤_e K₁ ve N₂ ≤_e K₂ =⇒ (N₁ ∩ N₂) ≤_e (K₁ ∩ K₂) oldu˘gunu g¨orelim. X ≤ K1 ∩ K2 olsun. Kabul edelim ki (N1∩ N2) ∩ X = 0 olsun. Bu durumda

(N₁∩ N₂) ∩ X = N₁∩ (N₂∩ X) = 0 =⇒ N₂∩ X = 0 =⇒ X = 0

bulunur. O halde (N₁ ∩ N₂) ≤_e (K₁∩ K₂) dir. ˙Ind¨uksiyon y¨ontemi ile genel durum elde edilir.

Bu ¨ozellik sonlu olmayan bir indeks k¨umesi i¸cin do˘gru de˘gildir. ¨Orne˘gin;

ZZ mod¨ul¨un¨u g¨oz¨on¨une alalım. ∀ n ∈ Z i¸cin nZ ≤eZ dir. Fakat

∩

n∈ZnZ = 0 e ZZ

dir.

(v) Keyfi 0 6= m ∈ ⊕

Λ

M_λ alalım. m = m_λ1 + m_λ2 + ... + m_λn ; m_λi ∈ M_λi bi¸ciminde yazabiliriz. n ye g¨ore t¨umevarımla; 0 6= mr ∈ ⊕

Λ

N_λ olacak bi¸cimde r ∈ R oldu˘gunu g¨osterelim.

n = 1 i¸cin a¸cıktır. n = i i¸cin

N_λ ≤_e M_λ (1 ≤ λ ≤ i) =⇒ ⊕

Λ

N_λ ≤_e ⊕

Λ

M_λ do˘gru oldu˘gunu varsayarak n = i + 1 i¸cin do˘grulu˘gunu g¨orelim;

m⁰ = m_λ1 + m_λ2 + ... + m_λi i¸cin

0 6= m⁰s ∈ N_λ1 ⊕ ... ⊕ N_λi ≤ ⊕

Λ

N_λ olacak bi¸cimde s ∈ R vardır. E˘ger mλi+1s ∈ Nλi+1 ise

ms ∈ ⊕

Λ

N_λ ve N_λi+1 ∩ (N_λ1 ⊕ ... ⊕ N_λi) = 0

oldu˘gundan ms 6= 0 dır. E˘ger m_λi+1s /∈ N_λi+1 ise N_λi+1 ≤_e M_λi+1 oldu˘gundan 0 6= (m_λi+1s)t ∈ N_λi+1 olacak ¸sekilde bir t ∈ R vardır. O halde r = st ∈ R

i¸cin mr ∈ ⊕

Λ

N_λ ve ⊕

Λ

N_λ dik toplam oldu˘gundan mr 6= 0 dır. Sonu¸c olarak

⊕

Λ

N_λ ≤_e⊕

Λ

M_λ dır.

(vi) f : M → N bir homomorfizma ve B ≤_e N olsun. f⁻¹(B) ∩ U = 0 olacak ¸sekilde bir U ≤ M alalım. x ∈ B ∩ f (U ) i¸cin x = f (u) olacak bi¸cimde u ∈ U vardır. x = f (u) ∈ B oldu˘gundan u ∈ U ∩ f⁻¹(B) = 0 dır. Bu durumda x = f (u) = f (0) = 0 dır. Yani B ∩ f (U ) = 0 dır. B ≤e N oldu˘gundan f (U ) = 0 dır. O halde

U ≤ Kerf = f⁻¹(0) ≤ f⁻¹(B)

oldu˘gundan U = f⁻¹(B) ∩ U = 0 dır. 

2.3 Komplement Alt Mod¨uller

Tanım 2.3.1. M bir R−mod¨ul ve K ≤ M olsun. K nın ¨oz essential geni¸slemesi yoksa (yani K ≤_e N ≤ M =⇒ K = N ) K ya M de kapalı (closed) alt mod¨ul denir.

Tanım 2.3.2. M bir R−mod¨ul ve A ≤ M olsun. A ∩ B = 0 ¨ozelli˘gine g¨ore maksimal olan bir B alt mod¨ul¨une A nın M deki bir komplementi denir ve B ≤_cM ile g¨osterilir.

Onerme 2.3.3. A, B ≤ M olmak ¨¨ uzere A ∩ B = 0 olsun. Bu durumda A nın bir C komplementi vardır ¨oyle ki B ≤ C dir.

Kanıt. ∆ = {X ≤ M | B ≤ X ve A ∩ X = 0} k¨umesini tanımlayalım. B ∈ ∆ oldu˘gundan ∆ 6= ∅. Alt mod¨uller arasında bir sıralama ba˘gıntısı vardır. Zorn Lemma’dan ∆ nın bir maksimal elemanı vardır. Bunu C alısak istenilen sonu¸c

elde edilmi¸s olur. 

A¸cık¸ca herhangi bir M mod¨ul¨unde her alt mod¨ul¨un M de bir komplementi vardır. Ayrıca 0, M ≤_cM oldu˘gu a¸cıktır.

.

Onerme 2.3.4. Herhangi bir M mod¨¨ ul¨un¨un her diktoplananı M nin bir komplement alt mod¨ul¨ud¨ur.

Kanıt. M = A ⊕ B, A ≤ N ≤ M ve N ∩ B = 0 olsun. Mod¨uler Kuralından N = N ∩ M = N ∩ (A ⊕ B) = A ⊕ (N ∩ B) = A

dır. Yani, A, B nin M deki bir komplementi olup A ≤_cM dir.  Ornek 2.3.5.¨ Onerme 2.3.4’¨¨ un tersi herzaman do˘gru de˘gildir. ¨Orne˘gin; F bir cisim ve V de F ¨uzerinde 2 boyutlu bir vekt¨or uzayı olsun. V = v₁F ⊕ v₂F alalım. Bu durumda

R = {_{f v}

0 f | f ∈ F, v ∈ V }

matris i¸slemleri ile birimli, de˘gi¸smeli ve ayrı¸stırılamaz bir halkadır.

I = {_{0 v1f}

0 0  | f ∈ F } ≤ R_R alalım.

J = {_{0 v2f}

0 0  | f ∈ F } ≤ RR

olmak ¨uzere I, J nin komplementidir. Yani I ≤_cR_R dir. Ancak I dR_R dir.

Teorem 2.3.6. M bir R-mod¨ul, A, B ≤ M ve A ∩ B = 0 olsun. B nin M de A nın komplementi olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul

A + B

B ≤_e M B olmasıdır.

Kanıt. B, M de A nın komplementi olsun. ^A+B_B ∩ ^U_B = 0 olacak bi¸cimde bir B ≤ U ≤ M alalım. B¨oylece (A + B) ∩ U = B dir. Mod¨uler kuralından, (A∩U )+B = B dir. Buradan A∩U ≤ B bulunur. B¨oylece A∩U ≤ A∩B = 0 elde edilir. B, M de A ile arakesiti maksimal olan alt mod¨ul oldu˘gundan U = B olup ^A+B_B ≤_e ^M_B bulunur.

Tersine, ^A+B_B ≤_e ^M_B olsun. A ∩ U = 0 ve B ≤ U ≤ M olmak ¨uzere keyfi bir U ve x ∈ (A + B) ∩ U alalım. Bu durumda x = a + b olacak bi¸cimde a ∈ A ve b ∈ B vardır. a = x − b ∈ A ∩ U = 0 olup a = 0 bulunur. B¨oylece x = b ∈ B olup (A + B) ∩ U = B elde edilir. Dolayısıyla ^A+B_B ∩_B^U = 0 olup, varsayımdan

U

B = 0 yani U = B olur. B¨oylece B, M de A nın komplementidir. 

Onerme 2.3.7. M bir R−mod¨¨ ul ve A ≤ M olsun. Bu durumda;

B ≤ M, A nın bir komplementi ise A ⊕ B ≤_e M dir.

Kanıt. A∩B = 0 oldu˘gundan A+B = A⊕B ≤ M dir. C ≤ M ve (A⊕B)∩C = 0 olsun. Bu durumda (A ⊕ B) + C = (A ⊕ B) ⊕ C dir. B¨oylece A ∩ (B ⊕ C) = 0 olur. B, A nın komplementi oldu˘gundan B ⊕C = B olmalıdır. Buradan C = 0

dır. O halde A ⊕ B ≤_eM dir. 

Yardımcı Teorem 2.3.8. N ≤ M ve K ≤d M olsun. Bu durumda, K nın N nin komplementi olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul K ∩N = 0 ve K ⊕N ≤_eM olmasıdır.

Kanıt. (=⇒) : Varsayalım K, N nin komplementi olsun. Buradan,

K ∩ N = 0 dır. 0 6= x ∈ M alalım. E˘ger x ∈ K ise 0 6= xR = xR ∩ K ⊆ xR∩(K ⊕N ) dir. E˘ger x /∈ K ise N ∩(xR+K) 6= 0 ve b¨oylece xR∩(K ⊕N ) 6= 0 dır. Her iki durumda da her 0 6= x ∈ M i¸cin xR ∩ (K ⊕ N ) 6= 0 dır. B¨oylece K ⊕ N ≤_eM dir.

(⇐=) : Tersine, K ∩ N = 0 ve K ⊕ N ≤e M olsun. K ≤d M oldu˘gundan bir K⁰ ≤ M vardır ¨oyle ki M = K ⊕ K⁰ d¨ur. Kabul edelim ki K ⊆ K₁ ve K1∩ N = 0 ko¸sulunu sa˘glayan bir K1 ≤ M olsun. Bu durumda

K₁ = K₁∩ M = K₁∩ (K ⊕ K⁰) = K ⊕ (K₁∩ K⁰)

d¨ur. 0 6= y ∈ (K₁∩ K⁰) alalım. Bu durumda bazı n ∈ N, k ∈ K ve r ∈ R i¸cin 0 6= yr = n + k dır (¸c¨unk¨u N ⊕ K ≤eM ). Buradan yr − k = n ∈ K1∩ N = 0 dır. B¨oylece yr = k ∈ K⁰ ∩ K = 0 dır ki bu da yr 6= 0 olmasıyla ¸celi¸sir. O halde K1∩ K⁰ = 0 ve K = K1 dir. Yani, K, N nin komplementidir.  Onerme 2.3.9. M bir R−mod¨¨ ul ve N ≤ M olsun. Bu durumda bir K ≤ M vardır ¨oyle ki N ≤e K ≤c M dir. Burada, K ya N nin M deki kapanı¸sı (closure) denir.

Kanıt. N⁰, N nin M deki bir komplementi olsun. Bu durumda N⁰ n¨un M de N ≤ K olacak ¸sekilde bir K komplementi vardır. 0 6= L ≤ K olsun.

N⁰ ⊆ L + N⁰ d¨ur. B¨oylece

(L + N⁰) ∩ N 6= 0

dır (¸c¨unk¨u N⁰, N nin komplementi). O halde bir x ∈ L, n⁰ ∈ N⁰ ve 0 6= n ∈ N vardır ki n = x + n⁰ d¨ur.

n⁰ = n − x ∈ N⁰ ∩ K = 0

oldu˘gundan 0 6= n = x ∈ L ∩ N dir. B¨oylece N ≤_e K ≤_cM dir.  Onerme 2.3.10. M bir R−mod¨¨ ul ve K ≤ M olsun.

K ≤cM ⇐⇒ K ≤eL ≤ M ise K = L dir.

Kanıt. K ≤_c M ve K ≤_e L ≤ M olsun. Bu durumda bir X ≤ M vardır ki K, X in komplementidir. Yani K, K ∩ X = 0 ¨ozelli˘gine g¨ore maksimal alt mod¨uld¨ur.

0 = K ∩ X ≤_e L ∩ X =⇒ L ∩ X = 0 oldu˘gundan K = L dir.

Tersine, K ≤ M oldu˘gundan ¨Onerme 2.3.9’dan bir L ≤ M vardır ve K ≤_e L ≤_c M dir. Varsayımdan K = L dir. Yani K ≤_cM dir.  Teorem 2.3.11. M bir R−mod¨ul olsun. B, A nın M de komplementi, A⁰ de A ≤ A⁰ olmak ¨uzere B nin M de komplementi ise

A ≤eA⁰

ve A⁰, M nin A yı essential alt mod¨ul olarak i¸ceren alt mod¨uller k¨umesinde maksimal elemandır (yani A ≤_eK ve A⁰ ≤ K ≤ M =⇒ A⁰ = K dır).

Kanıt. A ∩ U = 0 olmak ¨uzere keyfi U ≤ A⁰ alalım. a ∈ A ∩ (B + U ) i¸cin a = b + u olacak bi¸cimde b ∈ B ve u ∈ U vardır. b = a − u ∈ B ∩ A⁰ =0 oldu˘gundan a = u ∈ A ∩ U = 0 dır. Buradan A ∩ (B + U ) = 0 bulunur. B, A ile kesi¸simi sıfır olan maksimal alt mod¨ul oldu˘gundan B = B + U dur. O halde U ≤ B dir. Ayrıca U ≤ A⁰ oldu˘gundan U ≤ A⁰ ∩ B = 0 dan U = 0 bulunur. O halde A ≤_e A⁰ d¨ur.

S¸imdi A⁰ n¨un A yı essential olarak kapsayan maksimal alt mod¨ul oldu˘gunu g¨ormek i¸cin A ≤_e K ve A⁰ ≤ K olan bir K ≤ M alalım. A ≤_eK oldu˘gundan

(K ∩ B) ∩ A = 0 =⇒ (K ∩ B) = 0

olur. A⁰, B ile kesi¸simi sıfır olan maksimal alt mod¨ul oldu˘gundan K = A⁰. 

Onerme 2.3.12. M bir R−mod¨¨ ul olsun. K ≤_c N ve N ≤_c M ise K ≤_c M dir.

Kanıt. K ≤_c N ve N ≤_c M oldu˘gundan bir K⁰ ≤ N ve N⁰ ≤ M vardır ki K, K⁰ n¨un bir komplementi ve N de N⁰ n¨un bir komplementidir. Ayrıca K ∩(K⁰+N⁰) = 0 ve K⁰+N⁰ ≤ M dir. Ger¸cekten; bir k ∈ K ∩(K⁰+N⁰) alırsak k = k⁰+ n⁰ olacak bi¸cimde k⁰ ∈ K⁰ ve n⁰ ∈ N⁰ vardır. k − k⁰ = n⁰ ∈ N ∩ N⁰ = 0 oldu˘gundan k = k⁰ ∈ K ∩ K⁰ = 0 dır. O halde k = k⁰ = n⁰ = 0 bulunur.

S¸imdi farzedelim ki K ≤_e L ≤ M olacak ¸sekilde bir L ≤ M olsun. Bu durumda

K ∩ (K⁰ + N⁰) ≤_e L ∩ (K⁰ + N⁰) oldu˘gundan L ∩ (K⁰ + N⁰) = 0 dır. B¨oylece

[N ∩ (L + N⁰)] ∩ K⁰ = [(N ∩ K⁰) ∩ (L + N⁰)] = K⁰ ∩ (L + N⁰) = 0 olur. K ≤ N ∩ (L + N⁰) ≤ (L + N⁰) ve K, K⁰∩ K = 0 ¨ozelli˘gine g¨ore maksimal alt mod¨ul oldu˘gundan K = [N ∩ (L + N⁰)] dır. K = [N ∩ (L + N⁰)] ≤_e L oldu˘gundan

0 = [N ∩ (L + N⁰)] ∩ N⁰ ≤_e L ∩ N⁰ yani L ∩ N⁰ = 0 dır. B¨oylece

(N + L) ∩ N⁰ = L ∩ N⁰ = 0

dır. N ≤ N + L ve N N⁰ n¨un komplementi oldu˘gundan N + L = N dir. O halde L ≤ N dir. Sonu¸c olarak K ≤_eL ≤ N ve K ≤_cN oldu˘gundan ¨Onerme 2.3.10’dan K = L dir. Buradan K ≤_cM oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. 

2.4 Yarı Basit (Semisimple) Mod¨uller - Socle

Tanım 2.4.1. 0 ve kendisinden ba¸ska alt mod¨ul¨u olmayan bir mod¨ule basit (simple) mod¨ul denir.

Tanım 2.4.2. Herhangi bir A mod¨ul¨u i¸cin A nın t¨um sıfır olmayan basit alt mod¨ullerinin toplamına A nın socle’ı denir ve Soc(A) ile g¨osterilir.

Ornek olarak; Soc(Z/4Z) = 2Z/4Z dir.¨ .

Tanım 2.4.3. (T_α)_α∈A, M nin basit alt mod¨ullerinin bir indeks k¨umesi olsun.

E˘ger M , bu k¨umemin dik toplamı ise, M = ⊕_AT_α, M nin bir semisimple ayrı¸sımıdır. Bir M mod¨ul¨u semisimple ayrı¸sıma sahip olması durumunda, M mod¨ul¨une semisimple mod¨ul denir.

A¸cık¸ca, her basit mod¨ul semisimple’dır.

Tanım 2.4.4. Herhangi bir M mod¨ul¨u i¸cin Soc(M ) = M oluyorsa M mod¨ul¨une semisimple denir. Yani; M , onun basit alt mod¨ullerinin toplamıdır.

Bu tanıma g¨ore 0 bir semisimple mod¨uld¨ur ve Soc(2Z/4Z) = 2Z/4Z oldu˘gundan (2Z/4Z) Z-mod¨ul¨u bir semisimple mod¨uld¨ur.

Teorem 2.4.5.

Bir A_R mod¨ul¨un¨un semisimple olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul A nın her alt mod¨ul¨un¨un bir dik toplanan olmasıdır.

Kanıt. (=⇒) : A_R semisimple mod¨ul olsun. B ≤ A alalım.

S = { X ≤ A | B ∩ X = 0}

k¨umesini tanımlayalım. 0 ∈ S oldu˘gundan S 6= ∅ dir. (S, ≤) bir kısmi sıralı k¨umedir. Ayrıca S den alınan her zincirin bir ¨ust sınırı oldu˘gundan Zorn Lemma’dan S de bir maksimal C elemanı vardır. B¨oylece B ∩ C = 0 dır. E˘ger

B ⊕ C  A ise Soc(B ⊕ C) 6= A = Soc(A)

dır. Bu durumda en az bir N ≤ A basit alt mod¨ul¨u vardır ¨oyle ki N  B ⊕ C dir. O halde N ∩ (B ⊕ C) 6= N oldu˘gundan N ∩ (B ⊕ C) = 0 dır. B¨oylece {N, B, C} ba˘gımsız bir ailedir. Buradan, B ∩ (C ⊕ N ) = 0 bulunur ki bu da C nin maksimalli˘gi ile ¸celi¸sir. O halde A = B ⊕ C olur.

(⇐=) : Tersine, A nın her alt mod¨ul¨u bir dik toplanan olsun. ¨Ozellikle; bir B ≤ A i¸cin A = Soc(A) ⊕ B dir. E˘ger B 6= 0 ise bir 0 6= c ∈ B vardır ¨oyle ki cR = C ≤ B dir. S = { X ≤ C | c /∈ X} k¨umesini tanımlayalım. 0 ∈ S oldu˘gundan S 6= ∅ dir. Zorn Lemma’dan S nin bir maksimal T elemanı vardır.

O halde c /∈ T  C dir. S¸imdi; A = T ⊕ N olacak bi¸cimde bir N ≤ A oldu˘gundan

C = C ∩ A = C ∩ (T ⊕ N ) = T ⊕ (C ∩ N )

dir. C/T basit ve C/T ∼= C ∩ N oldu˘gundan C ∩ N ≤ A basit alt mod¨uld¨ur.

B¨oylece C ∩ N ≤ Soc(A) dır. Di˘ger yandan C ∩ N ≤ B oldu˘gundan C ∩ N ≤ Soc(A) ∩ B = 0

olur. Buradan C ∩ N = 0 olup C = T bulunur ki bu da c /∈ T olmasıyla ¸celi¸sir.

Sonu¸c olarak B = 0 yani A = Soc(A) olmalıdır. 

Onerme 2.4.6. M¨ _R bir mod¨ul olsun. Soc(M ) =T { N | N ≤e M } dir.

Kanıt. U , M nin bir basit alt mod¨ul¨u olsun. N ≤_e M alalım. Bu durumda U ∩ N 6= 0 dır. U basit oldu˘gundan U ∩ N = U olur. Buradan U ≤ N dir.

B¨oylece her N ≤_eM i¸cin U ≤ N olur. O halde SocM ⊆\

{ N | N ≤_eM } dir.

S¸imdi, X =T { N | N ≤_eM } diyelim. Y ≤ X alalım. Bu durumda en az bir Z ≤ M vardır ¨oyle ki Y ∩ Z = 0 ve Y ⊕ Z ≤_e M dir. O halde X ≤ Y ⊕ Z dir. Bundan dolayı, her x ∈ X i¸cin x = y + z olacak bi¸cimde y ∈ Y ve z ∈ Z vardır. x − y = z ∈ X ∩ Z oldu˘gundan x ∈ Y ⊕ (X ∩ Z) dir. B¨oylece X ⊆ Y ⊕ (X ∩ Z) ≤ X olup X = Y ⊕ (X ∩ Z) dir. Teorem 2.4.5’ten X_R semisimpledir. O halde X = SocX ≤ SocM bulunur. 

Onerme 2.4.7. M ve N sa˘¨ g R-mod¨uller olsun. f : M −→ N bir R-mod¨ul homomorfizması ise f (Soc(M )) ⊆ Soc(N ) dir.

Kanıt. S ≤ M basit bir alt mod¨ul olsun. Bu durumda f (S) = 0 ya da f (S), basit alt mod¨ul olur. Her iki durumda da f (S) ≤ Soc(N ) dir. Dolayısıyla

f (Soc(M )) ⊆ Soc(N ) dir. 

Onerme 2.4.8. M bir R-mod¨¨ ul ve M = ⊕

i∈I

M_i ise Soc(M ) = ⊕

i∈I

Soc(M_i) dir.

Onerme 2.4.9. M bir R-mod¨¨ ul ve N ≤ M olsun. Bu durumda

Soc(N ) = N ∩ Soc(M ) dir. ¨Ozel olarak; Soc(Soc(M )) = Soc(M ) dir.

Kanıt. Soc(N ) ≤ N ve Soc(N ) ≤ Soc(M ) oldu˘gundan Soc(N ) ≤ N ∩ Soc(M ) dir. S¸imdi, S, M nin bir basit alt mod¨ul¨u ve S ≤ N olsun. Bu durumda S ≤ Soc(N ) oldu˘gundan N ∩Soc(M ) ≤ Soc(N ) bulunur. B¨oylece Soc(N ) = N ∩ Soc(M ) elde edilir. ¨Ozel olarak;

Soc(Soc(M )) = Soc(M ) ∩ Soc(M ) = Soc(M )

olur. 

Sonu¸c 2.4.10. M ve N sa˘g R-mod¨uller olsun. ϕ : M −→ N bir R-mod¨ul homomorfizması ve Im(ϕ) ≤_e N ise ϕ(Soc(M )) = Soc(N ) dir.

Kanıt. K, N nin bir basit alt mod¨ul¨u olsun. Im(ϕ) ≤_e N oldu˘gundan K ≤ Im(ϕ) dir. B¨oylece ϕ⁻¹(K) ≤ Soc(M ) olup ϕ(ϕ⁻¹(K)) ≤ ϕ(Soc(M )) olur. Buradan Soc(N ) ⊆ ϕ(Soc(M )) elde edilir. Ayrıca ¨Onerme 2.4.7’den ϕ(Soc(M )) ⊆ Soc(N ) oldu˘gundan ϕ(Soc(M )) = Soc(N ) bulunur. 

2.5 D¨uzg¨un (Uniform) Mod¨uller ve D¨uzg¨un Boyut

Tanım 2.5.1. M sıfırdan farklı bir R-mod¨ul olsun. M nin sıfırdan farklı her alt mod¨ul¨u bir essential alt mod¨ul ise M ye d¨uzg¨un (uniform) mod¨ul denir.

Orne˘¨ gin; ZZ ve QZ birer uniform mod¨uld¨ur.

Onerme 2.5.2. U , M nin d¨¨ uzg¨un alt mod¨ul¨u olsun.

U ≤_cM dir. ⇐⇒ U , M nin maksimal d¨uzg¨un alt mod¨ul¨ud¨ur.

Kanıt. (=⇒) : U ≤_c M , U ≤ N ≤ M ve N d¨uzg¨un alt mod¨ul olsun. Bu durumda U ≤_eN dir ve U ≤_cM oldu˘gundan ¨Onerme 2.3.10’dan U = N elde edilir. O halde U maksimal d¨uzg¨un alt mod¨uld¨ur.

(⇐=) : Tersine, U , M nin maksimal d¨uzg¨un alt mod¨ul¨u olsun. Onerme¨ 2.3.9’dan U ≤_e K ≤_c M olacak bi¸cimde bir K ≤ M vardır. S¸imdi K nın

.

d¨uzg¨un alt mod¨ul oldu˘gunu g¨orelim. X ≤ K alalım. Y ≤ K i¸cin X ∩ Y = 0 olsun. Bu durumda (U ∩ X) ∩ (U ∩ Y ) = 0 dır. U d¨uzg¨un oldu˘gundan U ∩ Y = 0 ve U ≤e K oldu˘gundan Y = 0 bulunur. Yani K d¨uzg¨un alt mod¨uld¨ur. Varsayımımız olan U nun M de maksimal d¨uzg¨un alt mod¨ul ol- masından dolayı U = K elde edilir. Sonu¸c olarak U ≤cM dir.  Tanım 2.5.3. Bir M mod¨ul¨u sıfırdan farklı alt mod¨ullerin sonsuz bir dik toplamını kapsamıyorsa M ye sonlu uniform (Goldie) boyutlu denir.

Orne˘¨ gin; ZZ mod¨ul sonlu Goldie boyutludur.

Teorem 2.5.4. M_R bir mod¨ul ve i = 1, 2, ..., n i¸cin U_i ≤ M d¨uzg¨un alt mod¨uller olmak ¨uzere U₁⊕ U₂⊕ U₃⊕ ... ⊕ U_n ≤_e M olsun. Bu durumda

(1) M nin sıfırdan farklı alt mod¨ullerinin herhangi bir dik toplamı en fazla n tane dik toplam kapsar.

(2) V_i ≤ M d¨uzg¨un alt mod¨uller olmak ¨uzere, V₁ ⊕ V₂ ⊕ ... ⊕ V_k ≤_e M ise n = k dır.

Kanıt. (1) Her i ∈ I i¸cin 0 6= K_i ≤ M olmak ¨uzere K₁⊕ K₂⊕ ... ⊕ K_n+1 ⊆ M olsun. K₁ ∩ (K₂ ⊕ ... ⊕ K_n+1) = 0 oldu˘gundan K₂ ⊕ ... ⊕ K_n+1 e M dir. O halde en az bir i ≤ n i¸cin U_i ∩ (K₂ ⊕ ... ⊕ K_n+1) = 0 dır. Genelli˘gi bozmadan i = 1 alırsak U₁ ⊕ K₂⊕ ... ⊕ K_n+1 ≤ M olur. Ayrıca K₂ 6= 0 ve K₂ ∩ (U₁ ⊕ K₃ ⊕ ... ⊕ K_n+1) = 0 dır. B¨oylece U₁ ⊕ K₃ ⊕ ... ⊕ K_n+1 e M oldu˘gundan en az bir 1 < i ≤ n i¸cin U_i ∩ (U₁⊕ K₃⊕ ... ⊕ K_n+1) = 0 dır. Bu se¸cim i¸cin genelli˘gi bozmadan i = 2 alırsak U₁ ⊕ U₂ ⊕ K₃⊕ ... ⊕ K_n+1 ≤ M olur. Bir ¨onceki adımdaki gibi i¸slemlere devam edilirse

U₁⊕ U₂⊕ U₃⊕ ... ⊕ U_n⊕ K_n+1 ≤ M elde edilir. Ancak U1⊕ U2⊕ U3⊕ ... ⊕ Un ≤e M oldu˘gundan

K_n+1∩ (U₁⊕ U₂⊕ U₃⊕ ... ⊕ U_n) 6= 0 olur ki bu da dik toplam tanımı ile ¸celi¸sir.

(2) (1)’den a¸cıktır. 

Tanım 2.5.5. Bir ¨onceki teoremdeki n do˘gal sayısı mod¨uller i¸cin bir de˘gi¸smezdir (invariant). Bu n sayısına M nin Goldie boyutu (Goldie rankı) denilir ve udimM ile g¨osterilir.

Ozel olarak; bir M mod¨¨ ul¨un¨un sonlu Goldie boyutu sıfırdır. ⇐⇒ M = 0 Sonlu Goldie boyutu bir olan b¨ut¨un mod¨uller d¨uzg¨und¨ur.

Onerme 2.5.6. A bir R-mod¨¨ ul olsun.

(1) E˘ger B, bir A mod¨ul¨un¨un bir kapalı alt mod¨ul¨u ise udimA = udimB + udimA/B (2) udim(A₁⊕ . . . ⊕ A_n) = udimA₁⊕ . . . ⊕ udimA_n

(3) B ≤ A ve B sonlu Goldie boyutlu olsun. udimA = udimB ⇐⇒ B ≤e A

2.6 Noetherian ve Artinian Mod¨uller

Tanım 2.6.1. Bir M -mod¨ul¨un alt mod¨ulleri ¨uzerinde artan zincir ko¸sulunun (ACC) sa˘glanması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul, alt mod¨ullerin her

A₁ ⊆ A₂ ⊆ A₃ ⊆ ...

zinciri i¸cin A_n+i= A_n(i = 1, 2, 3, ...) olacak bi¸cimde en az bir n ∈ N olmasıdır.

Tanım 2.6.2. Bir M -mod¨ul¨un alt mod¨ulleri ¨uzerinde azalan zincir ko¸sulunun (DCC) sa˘glanması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul, alt mod¨ullerin her

B₁ ⊇ B₂ ⊇ B₃ ⊇ ...

zinciri i¸cin B_n+i = B_n (i = 1, 2, 3, ...) olacak bi¸cimde en az bir n ∈ N olmasıdır.

Tanım 2.6.3. Herhangi bir M mod¨ul¨un¨un alt mod¨ullerinin bo¸stan farklı her alt k¨umesinin kapsama sıralamasına g¨ore bir maksimal elemanı varsa ya da denk olarak t¨um alt mod¨ullerinin k¨umesi artan zincir ko¸sulunu (ACC) sa˘glarsa M mod¨ul¨une Noetherian denir. Bir R halkası, sa˘g R-mod¨ul olarak Noether ise sa˘g Noether halka denir. ¨Orne˘gin, ZZ mod¨ul¨u Noetherdir.

.

Tanım 2.6.4. Herhangi bir M mod¨ul¨un¨un alt mod¨ullerinin bo¸stan farklı her alt k¨umesinin kapsama sıralamasına g¨ore bir minimal elemanı varsa ya da denk olarak t¨um alt mod¨ullerinin k¨umesi azalan zincir ko¸sulunu (DCC) sa˘glarsa M mod¨ul¨une Artinian denir. Bir R halkası, sa˘g R-mod¨ul olarak Artin ise sa˘g Artin halka denir.

Teorem 2.6.5. B bir A_R mod¨ul¨un¨un alt mod¨ul¨u olsun. A mod¨ul¨un¨un Noethe- rian (Artinian) olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul B ve A/B nin Noetherian (Artinian) olmasıdır.

Kanıt. Kanıtı Noetherian i¸cin yapaca˘gız. Artinian i¸cin benzer ¸sekildedir.

(=⇒) : A Noetherian olsun. B nin her alt mod¨ul¨u A nın alt mod¨ul¨u oldu˘gundan, B nin kesin artan her zinciri A nın kesin artan zinciridir ve buradan sonludur.

B Noetherian’ dır. S¸imdi,

A⁰₁ ⊆ A⁰₂ ⊆ A⁰₃ ⊆ . . .

A/B nin alt mod¨ullerinin sonsuz artan bir zinciri olsun. A nın ∃ A₁, A₂, . . . alt mod¨ulleri vardır, herbiri B yi i¸cerir. A_i/B = A⁰_i, (i ∈ N) ve A i¸cinde artan zincir ko¸sulundan, ∃n ∈ N 3 An = A_n+1 = . . . bundan dolayı A/B Noetherian dır.

(⇐=) : B ve A/B Noetherian olsun. A nın alt mod¨ullerinin sonsuz artan A₁ ⊆ A₂ ⊆ A₃ ⊆ . . .

zincirini g¨oz ¨on¨une alalım.

A₁∩ B ⊆ A₂∩ B ⊆ A₃ ∩ B ⊆ . . . ve

A₁+ B

B ⊆ A₂+ B

B ⊆ A₃+ B B ⊆ . . .

sırasıyla B ve A/B nin alt mod¨ullerinin sonsuz artan zinciridir. Buradan

∃k, l ∈ N 3

A_k∩ B = A_k+1∩ B = . . .

A_`+ B

B = A<sub>`+1</sub>+ B B = . . . n = min{k, `} alalım. O zaman

A_n∩ B = A_n+1∩ B = . . . An+ B

B = An+1+ B B = . . .

Bunlardan ikincisinden,

A_n+ B = A_n+1+ B = . . .

a_n∈ A_nolsun. Bu durumda a_n∈ A_n+B = A_n+1+B ve buradan ∃a_n+1∈ A_n+1 ve b ∈ B 3 a_n = a_n+1+ b dir. a_n ∈ A_n ⊂ A_n+1 oldu˘gundan a_n ∈ A_n+1 ve buradan b = a_n− a_n+1 ∈ A_n+1∩ B = A_n∩ B.

Ozellikle b ∈ A¨ _n dir. B¨oylece a_n+1 = a_n+ b ∈ A_n bundan dolayı A_n+1 ⊂ A_n ve buradan

A_n= A_n+1 Benzer ¸sekilde,

A_n+1= A_n+2 = . . .

Buradan A Noetherian’dır. 

Teorem 2.6.6. (Hilbert Taban Teoremi) R bir sa˘g Noether halka olsun. Bu durumda R[x₁, ..., x_n] polinomlar halkası da sa˘g Noether’dir.

2.7 Singular ve Nonsingular Mod¨uller Tanım 2.7.1. M bir R-mod¨ul olsun.

Z(M ) = { m ∈ M | mE = 0, ∀ E ≤e RR} = { m ∈ M | r(m) ≤e R}

k¨umesine (alt mod¨ul¨une) M nin singular (tekil) alt mod¨ul¨u denir. E˘ger Z(M ) = M ise M ye singular, Z(M ) = 0 ise M ye nonsingular mod¨ul denir.

Orne˘¨ gin; U bir d¨uzg¨un mod¨ul olmak ¨uzere, Z(ZZ) = Z(QZ) = Z(UR) = 0

.

Onerme 2.7.2. M ve A R-mod¨¨ uller olsun.

(i) M nonsinguler’dir.(Yani Z(M ) = 0) ⇐⇒ t¨um singular A_R mod¨ulleri i¸cin Hom(AR, MR) = 0

(ii) A ≤_eM =⇒ M/A singuler’dir. (Z(M/A) = M/A)

(iii) M singular ve A ≤ M olsun. M/A singuler’dir. ⇐⇒ A ≤e M dir.

Tanım 2.7.3. M bir R-mod¨ul olsun. M/Z(M ) nin singuler alt mod¨ul¨u olan Z(M/Z(M )) = Z₂(M )

Z(M )

b¨ol¨um mod¨ul¨undeki Z₂(M )’ye 2. singular (Goldie Torsion) alt mod¨ul denir.

Onerme 2.7.4. Bir M mod¨¨ ul¨u i¸cin, (i) Z(M ) ≤_e Z₂(M ) ≤_c M

(ii) Z₂(⊕

I

M_i) = ⊕

I

Z₂(M_i) ve Z(⊕

I

M_i) = ⊕

I

Z(M_i) (iii) Z(M/Z₂(M )) = 0 dir.

2.8 Mod¨ul Dizileri

Tanım 2.8.1. R bir halka olsun.

. . .−→ A^αi−2 _i−1 −→ A^αi−1 _i −→ A^αi _i+1−→ . . .^αi+1

A_i −→ A^αi _i+1 sa˘g R-mod¨ullerinin sonlu yada sonsuz bir dizisi olsun.

(a) Her A_i−1−→ A^αi−1 _i −→ A^αi _i+1 alt dizisi i¸cin Imα_i−1≤ Kerα_i sa˘glanıyorsa bu diziye kompleks dizi denir.

(b) Her A_i−1−→ A^αi−1 _i −→ A^αi _i+1 alt dizisi i¸cin Imα_i−1= Kerα_i sa˘glanıyorsa bu diziye (yada komplekse) tam dizi denir.

(c) Her A_i−1 −→ A^αi−1 _i −→ A^αi _i+1 alt dizisi i¸cin Imα_i−1= Kerα_i , A_i nin bir diktoplananı ise bu tam diziye split tam dizi denir.

Tanım 2.8.2. 0 −→ A −→ M −→ B −→ 0 ¸seklindeki tam diziye kısa tam dizi adı verilir.

.

2.9 Serbest (Free) Mod¨uller

Teorem 2.9.1. F = FR ve X = { xi | i ∈ I} de F nin bir alt k¨umesi olsun.

Bu durumda a¸sa˘gıdakiler denktir:

i) Her 0 6= a ∈ F elemanı sadece sonlu sayıda ri ∈ R sıfırdan farklı olmak

¨

uzere, tek t¨url¨u olarak a =X

i∈I

x_ir_i ¸seklinde yazılır.

ii) Her i ∈ I i¸cin f_i(r) = x_ir ¸seklinde tanımlanan f_i : R −→ x_iR fonksiyonu bir izomorfizma olup F = ⊕

i∈I

x_iR ∼= ⊕

i∈I

R_i, R_i = R dir.

Kanıt. i) ⇒ ii) f_i fonksiyonunun ¨orten oldu˘gu a¸cıktır. E˘ger r, s ∈ R ol- mak ¨uzere f_i(r) = f_i(s) ise x_ir = x_is dır. Kabul¨um¨uzden r = s olur. O halde f_i bire-bir bir fonksiyondur. S¸imdi i ∈ I olmak ¨uzere f_i nın bir mod¨ul homomorfizma oldu˘gunu g¨orelim. r, s ∈ R olmak ¨uzere

f_i(r + s) = x_i(r + s) = x_ir + x_is = f_i(r) + f_i(s) ve

f_i(rs) = x_i(rs) = (x_ir)s = f_i(r)s

oldu˘gundan fi bir izomorfizmadır. O halde her i ∈ I i¸cin R ∼= Rxi dır. Ayrıca her bir a ∈ F elemanı tek t¨url¨u olarak Rx_i mod¨ullerinin r_ix_i elemanlarının sonlu toplamı ¸seklinde yazılabildi˘ginden F = ⊕

i∈IRxi dir.

ii) ⇒ i) F = ⊕

i∈I

Rx_i oldu˘gundan her a ∈ F elemanı, r_i ∈ R olmak ¨uzere a =X

i∈I

xiri sonlu toplamı ¸seklinde g¨osterilebilir ve

a =X

i∈I

x_ir⁰_i =X

i∈I

x_ir_i

ise her i ∈ I i¸cin x_ir_i⁰ = x_ir_i dır. f_i bir monomorfizma oldu˘gundan r_i = r⁰_i

olup, yazılı¸s tektir. 

Tanım 2.9.2. Teorem 2.9.1’deki ko¸sullardan birini sa˘glayan F_R mod¨ul¨une serbest mod¨ul denir ve X = { x_i | i ∈ I} k¨umesine de F nin Tabanı denir.

Orne˘¨ gin, ZZ bir serbest mod¨uld¨ur ancak QZ bir serbest mod¨ul de˘gildir.

.

2.10 Projektif ve ˙Injektif Mod¨uller

Tanım 2.10.1. R bir halka ve P bir R-mod¨ul olsun. Her β : M −→ N epimorfizması ve α : P −→ N homomorfizması i¸cin β ◦ α⁰ = α olacak bi¸cimde bir α⁰ : P −→ M homomorfizması varsa P ye Projektif mod¨ul denir. Di˘ger bir deyi¸sle

P

α

α⁰

~~M _β ^//N

diyagramı de˘gi¸smeli (yani β ◦ α⁰ = α) olacak ¸sekilde bir α⁰ homomorfizması varsa P ye Projektif mod¨ul denir.

Tanım 2.10.2. A bir R-mod¨ul X ≤ A olsun. Herhangi ϕ : N −→ A/X

homomorfizması, ω : N −→ A homomorfizmasına geni¸sliyorsa N ye A−projektif mod¨ul denir ve her A mod¨ul¨u A−projektif ise A ya quasi projektif mod¨ul denir.

Tanım 2.10.3. R bir halka ve I bir R-mod¨ul olsun. Her α : K −→ L monomorfizması ve β : K −→ I homomorfizması i¸cin γ ◦ α = β olacak bi¸cimde bir γ : L −→ I homomorfizması varsa I ya ˙Injektif mod¨ul denir. Di˘ger bir deyi¸sle

K ^{α //}

β

L

 γ

I

diyagramı de˘gi¸smeli (yani γ ◦ α = β) olacak ¸sekilde bir γ homomorfizması varsa I ya ˙Injektif mod¨ul denir.

Tanım 2.10.4. A bir R-mod¨ul X ≤ A olsun. Herhangi ϕ : X −→ N

homomorfizması, γ : A −→ N homomorfizmasına geni¸sliyorsa N ye A−injektif mod¨ul denir.

Teorem 2.10.5. {Iλ | λ ∈ Λ} bir R-mod¨uller ailesi olsun.

I = Y

λ∈Λ

Iλ injektif mod¨uld¨ur ⇐⇒ Her λ ∈ Λ i¸cin Iλ injektif mod¨uld¨ur.

Kanıt. (=⇒) : I = Q

λ∈Λ

I_λ injektif mod¨ul olsun.

f : A −→ B bir monomorfizma ve g : A −→ I_λ bir homomorfizma olsun. I .

injektif mod¨ul oldu˘gundan, i_λ : I_λ −→ Q

λ∈Λ

I_λ g¨omme homomorfizması olmak

¨

uzere i_λ◦ g : A −→ I = Q

λ∈Λ

I_λ homomorfizması i¸cin i_λ◦ g = h ◦ f olacak ¸sekilde bir h : B −→ I homomorfizması bulunur. Yani

A ^{f //}

g

B

h



I_λ

πλ



I

i_λ

OO

diyagramı de˘gi¸smelidir. O halde π_λ : I −→ I_λ λ .ncı izd¨u¸s¨um d¨on¨u¸s¨um¨u olmak ¨uzere π_λ◦ h : B −→ I_λ homomorfizması i¸cin, a ∈ A olmak ¨uzere

((πλ◦ h) ◦ f )(a) = (πλ◦ iλ◦ g)(a) = g(a) dır. O halde ∀λ ∈ Λ i¸cin I_λ injektif mod¨uld¨ur.

(⇐=) : I_λ(λ ∈ Λ) injektif mod¨ul, ψ : A −→ B bir monomorfizma ve

f : A −→ I bir homomorfizma olsun. Her λ ∈ Λ i¸cin I_λ injektif mod¨ul oldu˘gundan bir g_λ : B → I_λ homomorfizması vardır ki ¨oyle ki a¸sa˘gıdaki diya- gramı de˘gi¸smeli yapar, yani g_λ◦ ψ = π_λ◦ f dir.

A ^{ψ //}

f

B

gλ



I

πλ

I_λ

S¸imdi g : B → I, g(b) = {gλ(b)}λ∈Λ (b ∈ B) fonkiyonunu tanımlayalım. g bir mod¨ul homomorfizmasıdır. b ∈ B i¸cin

(π_λ◦ g)(b) = π_λ(g(b)) = g_λ(b) oldu˘gundan

(π_λ◦ g) = g_λ dır. O halde

π_λ◦ f = g_λ◦ ψ = π_λ◦ g ◦ ψ

oldu˘gundan f = g ◦ ψ dır. Yani I injektif mod¨uld¨ur. 

Teorem 2.10.6. (Baer Kriteri) I bir R-mod¨ul olsun. I mod¨ul¨un¨un injek- tif olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul her U (sa˘g) ideali i¸cin her k : U −→ I_R mod¨ul homomorfizmasının bir m : R −→ IR mod¨ul homomorfizmasına geni¸sle- tilebilmesidir (yani m|U = k olmasıdır).

Teorem 2.10.7. Bir M Z-mod¨ul¨un¨un injektif olması i¸cin gerek ve yeter ¸sart M nin b¨ol¨unebilir (yani, her x ∈ M ve her n ∈ Z i¸cin x = na olacak bi¸cimde bir a ∈ M vardır) olmasıdır.

Kanıt. (=⇒) : M_Z injektif olsun. x ∈ M ve n > 0, n ∈ Z alalım. Her m ∈ Z i¸cin f (m) = nm olmak ¨uzere f : Z −→ Z ve her m ∈ Z i¸cin g(m) = mx olmak

¨uzere g : Z −→ M fonksiyonlarını tanımlayalım. f nin bir monomorfizma , g nin bir homomorfizma oldu˘gu a¸cıktır. M_Z injektif oldu˘gundan

0 ^//Z

f //

g



Z

~~ h

M

diyagramını de˘gi¸smeli yapacak bi¸cimde bir h : Z −→ M homomorfizması vardır. Bu durumda

x = g(1) = (h ◦ f )(1) = h(f (1)) = h(n) = h(n.1) = nh(1) olup M_Z b¨ol¨unebilirdir.

(⇐=) : M_Z b¨ol¨unebilir olsun. Baer Kriterinden M nin injektif oldu˘gunu g¨osterelim:

Z nin herhangi bir 0 6= I idealinden M ye keyfi bir f : I −→ M homomorfiz- masını alalım. n > 0, n ∈ Z olmak ¨uzere I = nZ dir. M divisible oldu˘gundan f (n) = nx olacak bi¸cimde bir x ∈ M vardır. Her m ∈ Z i¸cin g(m) = mx olmak ¨uzere g : Z −→ M fonsiyonunu tanımlayalım. g bir homomorfizmadır.

Her nk ∈ nZ = I i¸cin

g(nk) = nkx = knx = kf (n) = f (nk)

oldu˘gundan g_|I = f olur. B¨oylece Baer Kriterinden M_Z injektiftir. 

Teorem 2.10.8. R bir Noether halka ve {I_i | i ∈ Λ} keyfi injektif R- mod¨ullerin bir ailesi olsun. Bu durumda ⊕

i∈Λ

I_i injektiftir.

Kanıt. ⊕

i∈Λ

I_i nin injektif oldu˘gunu Baer Kriterini kullanarak g¨osterelim. L, R nin bir sa˘g ideali ve h : L → ⊕

i∈Λ

I_i bir homomorfizma olsun. R Noether halka oldu˘gundan L sonlu ¨uretilmi¸stir. Dolayısıyla Imh de sonlu ¨uretilmi¸stir. Bu durumda I index k¨umesinin sonlu bir F altk¨umesi vardır ki Imh ⊆ ⊕

i∈F

I_i dir.

{I_i | i ∈ F } injektif mod¨ullerin sonlu bir ailesi oldu˘gundan ⊕

i∈F

I_i injektiftir.

O halde bir g : R → ⊕

i∈F

I_i homomorfizması vardır ki a¸sa˘gıdaki diyagramı de˘gi¸smeli yapar, yani g_|L = h dir.

L ^{i //}

h

R

~~ g

⊕

i∈FIi

B¨oylece ⊕

i∈Λ

I_i mod¨ul¨u injektif olur. 

Teorem 2.10.9. Her mod¨ul bir injektif mod¨ulde alt mod¨ul olarak kapsanır.

Teorem 2.10.10. A bir R-mod¨ul olsun. Bu durumda A mod¨ul¨un¨un injektif olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul A nın A yı kapsayan her R-mod¨ul¨un bir dik toplananı olmasıdır.

Kanıt. (=⇒) : A injektif bir R-mod¨ul ve A ≤ A⁰_R olsun. O halde A ^{i //}

1A



A⁰

 φ

A

diyagramı de˘gi¸smeli olacak ¸sekilde bir φ : A⁰ −→ A homomorfizması vardır.

Bir a⁰ ∈ A⁰ alalım.

φ(a⁰) ∈ A =⇒ φ(a⁰) = φ(φ(a⁰))

=⇒ φ(a⁰ − φ(a⁰)) = 0

=⇒ a⁰ − φ(a⁰) ∈ Kerφ

=⇒ a⁰ ∈ Kerφ + A

=⇒ A⁰ = A + Kerφ

dır. S¸imdi bir x ∈ Kerφ ∩ A alalım. x ∈ A ve φ(x) = x = 0 oldu˘gundan Kerφ ∩ A = 0 dır. O halde A⁰ = A ⊕ Kerφ dir. Yani A ≤_dA⁰ d¨ur.

(⇐=) : Teorem 2.10.9’dan A ≤ I olacak bi¸cimde bir I injektif mod¨ul¨u vardır.

Kabul¨um¨uzden I = A ⊕ X olacak bi¸cimde bir X ≤ I vardır. O halde A

injektiftir. 

Onerme 2.10.11. Bir 0 6= M¨ _R mod¨ul¨un¨un injektif olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul M nin hi¸c bir essential geni¸slemesinin olmamasıdır (yani M ≤_e N ise M = N dir).

Kanıt. (=⇒) : M_R injektif bir mod¨ul ve V de M nin bir essential geni¸slemesi olsun. Teorem 2.10.10’dan V = M ⊕ T olacak ¸sekilde bir T ≤ V vardır.

M ∩ T = 0 ve M ≤_eV oldu˘gundan T = 0 dır. O halde V = M dir.

(⇐=) : M nin has essential geni¸slemesi olmasın. E de M yi i¸ceren bir injektif mod¨ul olsun. M nin E de M ∩T = 0 olacak bi¸cimde bir T komplementi vardır.

Teorem 2.3.6’dan

M ∼= M ⊕ T T ≤_e E

T dir. M nin has essential geni¸slemesi olmadı˘gından

M ⊕ T

T = E

T veya M ⊕ T = E

dir. B¨oylece M, E injektif mod¨ul¨un¨un bir dik toplananı oldu˘gundan Teorem

2.10.10’dan injektiftir. 

Onerme 2.10.12. A bir R-mod¨¨ ul ve E, A yı essential olarak kapsayan bir mod¨ul ve N de A yı kapsayan bir injektif mod¨ul olsun. Bu durumda i : A → N i¸cerme monomorfizması olmak ¨uzere, bir g : E → N monomorfizması vardır ki g|A = i dir.

Kanıt. N injektif mod¨ul oldu˘gundan bir g : E → N homomorfizması vardır ki a¸sa˘gıdaki diyagramı de˘gi¸smeli yapar, yani g|A= i dir.

A ^{i //}

i

E

~~ g

N

Bundan dolayı A ∩ Kerg = 0 dır. Ger¸cekten;

herhangi bir a ∈ A ∩ Kerg alırsak,

a ∈ A ve g(a) = a = 0 dır. A ≤_e E ve Kerg ≤ E oldu˘gundan

Kerg = 0

dır. O halde g bir monomorfizmadır. 

Onerme 2.10.13. A bir R-mod¨¨ ul ve N de A yı kapsayan bir injektif mod¨ul olsun. Bu durumda N nin bir E alt mod¨ul¨u vardır ki E, A nın maksimal essential geni¸slemesidir.

Kanıt. Ω = {N⁰ | A ≤_e N⁰ ≤ N } olsun. A ∈ Ω oldu˘gundan Ω 6= ∅ dır. Ω kapsama ba˘gıntısıyla bir kısmen sıralı k¨umedir. O halde Zorn Lemma’dan Ω nın bir maksimal E elemanı vardır. S¸imdi E nin A nın maksimal essential geni¸slemesi oldu˘gunu g¨osterelim. Farzedelim ki E ≤_e E⁰ olsun. Bu durumda Onerme 2.10.12’den, i : E → N i¸cerme monomorfizması olmak ¨¨ uzere, bir θ : E⁰ → N monomorfizması vardır ki a¸sa˘gıdaki diyagramı de˘gi¸smeli yapar, yani θ|E = i dir.

E ^{i //}

i

E⁰

~~ θ

N

Buradan E = θ(E) ≤ θ(E⁰) ≤ N ve E ≤_e N oldu˘gundan θ(E⁰) ≤_e N dir, yani θ(E⁰) ∈ Ω dır. E, Ω nın maksimal elemanı oldu˘gundan θ(E⁰) = E dir, yani

E = E⁰ d¨ur. 

Onerme 2.10.14. A bir R-mod¨¨ ul ve A ≤ E olsun. A¸sa˘gıdaki ifadeler denktir;

(a) E, A yı kapsayan essential injektif mod¨uld¨ur.

(b) E, A yı kapsayan maksimal essential mod¨uld¨ur.

(c) E, A yı kapsayan minimal injektif mod¨uld¨ur.

Kanıt. (a) ve (b) nin denkli˘gi ¨Onerme 2.10.11’den a¸cıktır.

(b) =⇒ (c) ¨Onerme 2.10.11’den E injektiftir. Varsayalım E⁰ injektif olmak

¨

uzere A ≤ E⁰ ≤ E olsun. A ≤_e E oldu˘gundan E⁰ ≤_e E dir. Onerme¨

2.10.11’den E⁰ = E olmalıdır. B¨oylece E, A yı kapsayan minimal injektif mod¨uld¨ur.

(c) =⇒ (b) ¨Onerme 2.10.13’ten E nin bir E⁰⁰ alt mod¨ul¨u vardır ki E⁰⁰, A nın maksimal essential geni¸slemesidir ve b¨oylece ¨Onerme 2.10.11’den injektiftir. O halde varsayımdan E = E⁰⁰ d¨ur. B¨oylece (b) ko¸sulu sa˘glanır.  Tanım 2.10.15. A bir R-mod¨ul olsun. A¸sa˘gıdaki Teoremdeki ko¸sullardan birini sa˘glayan bir E R−mod¨ul¨une A mod¨ul¨un¨un injektif zarfı (hull) denir ve

E(A) = E ile g¨osterilir.

Teorem 2.10.16. A bir R-mod¨ul olsun. Bu durumda bir E R−mod¨ul¨u vardır ki a¸sa˘gıdaki ko¸sullar sa˘glanır;

(a) E, A yı kapsayan essential injektif mod¨uld¨ur.

(b) E, A yı kapsayan maksimal essential mod¨uld¨ur.

(c) E, A yı kapsayan minimal injektif mod¨uld¨ur.

Ayrica E₁ ve E₂, A yı essential olarak kapsayan iki injektif mod¨ul ise bir θ : E₁ → E₂ izomorfizması vardır ki a¸sa˘gıdaki diyagramı de˘gi¸smeli yapar.

A ^{i //}

i

E₁

~~ θ

E₂

Kanıt. Teorem 2.10.9, ¨Onerme 2.10.13 ve ¨Onerme 2.10.14’ten bu ko¸sulları sa˘glayan bir E mod¨ul¨u vardır. S¸imdi E₁ ve E₂, A yı essential olarak kapsayan iki injektif mod¨ul olsun. ¨Onerme 2.10.12’den, i : A → E₂ i¸cerme monomor- fizması olmak ¨uzere, bir θ : E₁ → E₂ monomorfizması vardır ki θ|A = i dir.

O halde E₁ ∼= θ(E1) dir. E₁ injektif mod¨ul oldu˘gundan θ(E₁) de injektiftir.

A ≤_eE₂ ve A = θ(A) ≤ θ(E₁) ≤ E₂ oldu˘gundan θ(E₁) ≤_e E₂

dir. θ(E₁) injektif oldu˘gundan ¨Onerme 2.10.11’den θ(E₁) = E₂ dir. Sonu¸c olarak θ ¨orten monomorfizma oldu˘gundan izomorfizmadır.  Tanım 2.10.17. M ve X R-mod¨uller ve N ≤ M olsun. Her φ : N → X homomorfizması bir ψ : M −→ X homomorfizmasına geni¸slerse X mod¨ul¨une M -injektif mod¨ul denir.

Teorem 2.10.18. M bir R-mod¨ul ve K ≤ M olsun.

Bir X mod¨ul¨u M − injektiftir ⇐⇒ A¸sa˘gıdaki ¨u¸c ko¸sul sa˘glanır;

1. X mod¨ul¨u K−injektiftir.

2. X mod¨ul¨u ^M_K−injektiftir.

3. Herhangi bir φ : K −→ X homomorfizması ϕ : M −→ X homomorfizmasına geni¸sler.

Onerme 2.10.19.¨ R bir halka, M = ⊕

λ∈Λ

M_λ (M_λ ≤ M ) ve X R−mod¨ul olsun.

X mod¨ul¨u M − injektiftir ⇐⇒ X mod¨ul¨u M_λ− injektiftir (λ ∈ Λ).

Onerme 2.10.20. R bir halka, M =¨ Q

α∈Λ

Mα ve A R−mod¨ul olsun.

Y

α∈Λ

M_α A − injektiftir ⇐⇒ Her α ∈ Λ i¸cin M_α A − injektiftir.

Teorem 2.10.21. R bir halka ve M bir R−mod¨ul olsun. Bir X R−mod¨ul¨un¨un M −injektif olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul her ϕ ∈ Hom(E(M ), E(X)) i¸cin ϕ(M ) ≤ X olmasıdır.

Kanıt. E(X) injektif oldu˘gundan, ϕ ∈ Hom(M, E(X)) i g¨oz¨on¨une almak yeterlidir.

(⇐=) : N ≤ M ve α ∈ Hom(N, X) olsun. E(X) injektif oldu˘gundan bir ϕ ∈ Hom(M, E(X)) vardır ki a¸sa˘gıdaki diyagramı de˘gi¸smeli yapar, yani ϕ_|N = α dır.

N ^{i //}

α

M

ϕ



X

i

E(X)