ANKARA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
DOKTORA TEZĠ
BĠLEġEN SAYILARI ĠKĠ BOYUTLU GEOMETRĠK DAĞILIMLI OLAN ĠÇ ĠÇE PARALEL SĠSTEMĠN GÜVENĠLĠRLĠK ÖZELLĠKLERĠNĠN
ĠNCELENMESĠ
Hüseyin ÜNÖZKAN
ĠSTATĠSTĠK ANABĠLĠM DALI
ANKARA 2020
Her hakkı saklıdır
ii ÖZET
Doktora Tezi
BĠLEġEN SAYILARI ĠKĠ BOYUTLU GEOMETRĠK DAĞILIMLI OLAN ĠÇ ĠÇE PARALEL SĠSTEMĠN GÜVENĠRLĠK ÖZELLĠKLERĠNĠN ĠNCELENMESĠ
Hüseyin ÜNÖZKAN
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Ġstatistik Anabilim Dalı
DanıĢman: Prof. Dr. Mehmet YILMAZ
Günümüzdeki hedeflerden birisi istatistik bilimi için daha baĢarılı sonuçların elde edil- mesi ve gelecekle ilgili tahminlerin daha gerçekçi yapılabilmesidir. Bu sebeple analiz edilecek veri gruplarının daha baĢarılı dağılımlarla modellenmesi ihtiyacı oluĢmuĢtur.
Literatürde uzun zamandır bulunan ve yaygın olarak kullanılan istatistiksel dağılımlara yeni türetilen dağılımlar eklenmiĢtir. Böylece veri gruplarını daha baĢarılı modelleyebi- len ve daha gerçekçi tahminler yapabilen güvenilirliği yüksek modeller hedeflenmiĢtir.
Son yıllarda sıklıkla kullanılan yeni istatistik dağılımı elde etme yöntemleri incelendi- ğinde, teorik olarak istatistiki dağılımın elde edildiği, arkasından yapılan analizlerle gerçek hayattaki yansımalarının gözlendiği çalıĢmalarla karĢılaĢılmaktadır. Bu çalıĢma- da ise öncelikle gerçek hayatta karĢılaĢılabilecek bir sistematik yapı belirlenerek bu yapı tanıtılmıĢ, sonrasında istatistiksel olarak sistem ifade edilmeye çalıĢılmıĢ ve arkasından analizi gerçekleĢtirilmiĢtir. Dağılım istatistiksel olarak değerlendirilmiĢ, yaygın olarak kullanılan parametre tahmin yöntemleri ile parametre tahmini irdelenmiĢtir. Bunun yanı sıra, güvenilirlik analizinin temel kavramlar üzerinden incelenmesi yapılmıĢtır. Litera- türde daha önceden değerlendirilmiĢ verilerden faydalanılarak, dağılımın farklı alanlar- daki uygulanabilirliği incelenmiĢtir.
Mart 2020, 119 sayfa
Anahtar Kelimeler: Ġki Boyutlu Geometrik Dağılım; BileĢik Dağılım; Paralel Sistem;
Güvenirlik; Parametre Tahmini.
iii ABSTRACT
Ph.D. Thesis
INVESTIGATION OF RELIABILITY PROPERTIES OF NESTED PARALLEL SYSTEM COMPOSED OF THE COMPONENTS WHOSE DISTRIBUTION OF THE
NUMBER OF COMPONENTS IS BIVARIATE GEOMETRIC DISTRIBUTION.
Hüseyin ÜNÖZKAN
Ankara University
Graduate School Institute of Natural and Applied Sciences Department of Statistics
Supervisor : Prof.Dr. Mehmet YILMAZ
Nowadays, one core aim is gaining better results for statistics and obtaining more realis- tic estimates for future. Thus, demands for more suitable distributions in analysing data is higher. Some more distributions have been reproduced and added to common distri- butions. So, highly reliable models that can model data groups more successfully and make more realistic predictions are targeted. Once methods about generating new distri- bution are investigated, there seem studies of statistical theory at first. After generating distribution some investigations on reflection of new distribution are made. On the con- trary in this study at first a system which anybody comes across in real life is intro- duced. After this system is expressed with statistics and later analysis of this system are made. The distribution was evaluated statistically and parameter estimation was evalu- ated with commonly used parameter estimation methods. In addition, the analysis of reliability has been made on basic concepts. Using the previously evaluated data in the literature, the applicability of the distribution in different areas was examined.
March 2020, 119 pages
Key Words: Bivariate Geometric Distribution; Compound Distribution; Parallel Sys- tem; Reliability; Parameter estimation.
iv TEġEKKÜR
Öncelikle bana desteğini esirgemeyen saygıdeğer danıĢman hocam Prof. Dr. Mehmet YILMAZ(Ankara Üniversitesi Ġstatistik Anabilim Dalı)‘a, gerek akademik yaĢamımda çalıĢmalarımdaki akademik yeterlilikte gerekse bu çalıĢma esnasındaki zaman gözet- meksizin ihtiyacım olan desteği hiç düĢünmeden vermesi sebebiyle,
Tez izleme komitesinde yer alan Doç.Dr. Sibel AÇIK KEMALOĞLU(Ankara Üniversi- tesi Ġstatistik Anabilim Dalı)‘na tezin her aĢamasında olumlu eleĢtirilerini paylaĢarak çalıĢmanın daha verimli sonuçlar ile ifade edilmesine katkısı sebebiyle,
Tez izleme komitesinde yer alan Yrd. Doç. Dr. Emel KIZILOK KARA(Kırıkkale Üni- versitesi Aktüerya Bilimleri Bölümü)ya tezin içerik ve sunumu hakkındaki değerli kat- kıları sebebiyle,
Sayın Yakup DAĞDELEN‘e tez esnasındaki değerli görüĢleri ve uygulama bölümün- deki katkıları sebebiyle,
ÇalıĢma boyunca desteğini hissettiren eĢim Fahriye, oğlum Göktürk ve kızım Arya‘ya teĢekkür ediyorum.
Hüseyin ÜNÖZKAN Ankara, Mart 2020
v
ĠÇĠNDEKĠLER TEZ ONAY SAYFASI
ETĠK ... i
ÖZET ... ii
ABSTRACT ... iii
TEġEKKÜR ... iv
KISALTMALAR DĠZĠNĠ ... vii
ġEKĠLLER DĠZĠNĠ ... viii
ÇĠZELGELER DĠZĠNĠ ... ix
1. GĠRĠġ ... 1
2. LĠTERATÜR ĠNCELEMESĠ ... 4
3. MATERYAL VE METOT ... 9
3.1 Temel Güvenilirlik Kavramları ... 9
3.2 Üstel Dağılım ... 12
3.2.1 Üstel dağılımın moment çıkaran fonksiyonu ... 14
3.2.2 Poisson sürecinin üstel dağılım ile iliĢkisi ... 15
3.2.3 Üstel dağılımların kullanıldığı alanlar ... 17
3.2.4 Ġki boyutlu üstel dağılım ... 19
3.3 Ġki Boyutlu Geometrik Dağılım ... 23
3.4 Parametre Tahmin Metotları ... 27
3.4.1 En küçük kareler metodu ... 27
3.4.2 En çok olabilirlik tahmini ... 28
3.4.2.1 EM Algoritması ... 30
3.5 Kolmogorov-Smirnov Test Ġstatistiği ... 34
3.6 Anderson-Darling Test Ġstatistiği ... 37
3.7 Cramer-von Mises Test Ġstatistiği... 39
3.8 Akaike Bilgi Kriteri (AIC) ... 39
4. ĠNCELEME ... 41
4.1 Ġncelenecek Sistemin Yapısı ... 41
4.2 Sistemin Ġncelenmesi ... 43
4.2.1 Sistemin yaĢam fonksiyonu ... 43
4.2.2 Sistemin yaĢam dağılımı fonksiyonu ... 44
4.2.3 Sistemin yaĢam zamanının olasılık yoğunluk fonksiyonu ... 45
4.2.4 Sistemin yaĢam zamanının bozulma oranı ... 45
4.2.5 Sistemin beklenen yaĢam süresi ... 48
4.2.6 Sistemin momentleri ... 49
4.2.7 Sistemin yaĢam zamanının varyansı... 50
4.2.8 Sistemin yaĢam zamanının çarpıklık katsayısı ... 53
4.2.9 Sistemin yaĢam zamanının basıklık katsayısı ... 54
4.2.10 Parametre tahmini ... 56
vi
4.2.10.1 Ġki parametreli BGE dağılımının parametreleri için en küçük kareler
(EKK) tahmini ... 57
4.2.10.2 Üç parametreli BGE dağılımının parametreleri için en küçük kareler (EKK) tahmini ... 58
4.2.10.3 Ġki parametreli BGE dağılımının parametreleri için en çok olabilirlik tahmini ... 60
4.2.10.4 Üç parametreli BGE dağılımının parametreleri için en çok olabilirlik tahmini ... 61
4.2.10.5 BGE dağılımının parametreleri için EM Algoritması tahmini ... 62
4.3 Simülasyon ... 83
4.4 Dağılımın Kullanılabileceği Veri Grupları ... 88
4.4.1 Verilere uygunluğun test edilmesi ... 89
5. SONUÇ VE TARTIġMA ... 112
6. KAYNAKLAR ... 116
vii
KISALTMALAR DĠZĠNĠ
A-D Anderson-Darling Test Ġstatistiği Akaike Information Criterion
( ) Sistemin Dağılımının Basıklık Katsayısı
BGE Bivariate Geometric with Exponential Marginals ( ) Sistemin Dağılımının Çarpıklık Katsayısı
C-v-M Cramer von Mises Test Ġstatistiği
EKK En Küçük Kareler Metodu
EM Expectation Maksimization (Beklenti ve En Büyükleme Algoritması) ( ) Sistemin Bozulma Dağılımı
( ) Sistemin Bozulmasının Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu K-S Kolmogorov-Snirnov Test Ġstatistiği
MLE Maksimum Likelihood Estimation (En Çok Olabilirlik Tahmini) ( ) Üstel Dağılımlı Parçanın Bozulma Dağılımı
( ) Üstel Dağılımlı Parçanın Bozulmasının Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu ( ) Sistemin Bozulma Oranı Fonksiyonu
( ) Sistemin YaĢam Dağılımı ( ) Sistemin Dağılımının Varansı
viii
ġEKĠLLER DĠZĠNĠ
ġekil 3.1 Kolmogorov-Smirnov Test Ġstatistiği örnek grafiği ... 36
ġekil 4.1 Ġncelenecek sistemin Gösterimi ... 42
ġekil 4.2 YaĢam Fonksiyonu Grafiği ... 44
ġekil 4.3 Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Grafiği ... 45
ġekil 4.4 Bozulma Oranı Fonksiyonu Grafiği... 46
ġekil 4.5 Bozulma Oranı Fonksiyonu Grafiği ( ) ... 47
ġekil 4.6 Beklenen YaĢam Süresi Fonksiyonu Grafiği ... 49
ġekil 4.7 Varyans Grafiği ( ) ... 51
ġekil 4.8 Varyans Grafiği ( ) ... 51
ġekil 4.9 Çarpıklık Grafiği ( ( )) ... 54
ġekil 4.10 Çarpıklık Grafiği ( ( )) ... 54
ġekil 4.11 Basıklık Grafikleri ... 56
ġekil 4.12 Bin yedekli fiber karbon histogram grafiği ... 90
ġekil 4.13 Bin yedekli fiber karbon Q-Q grafiği ... 90
ġekil 4.14 Alüminyum plaka histogram grafiği ... 91
ġekil 4.15 Alüminyum plaka Q-Q grafiği ... 92
ġekil 4.16 Bin yedekli fiber karbon histogram grafiği-2 ... 93
ġekil 4.17 Bin yedekli fiber karbon Q-Q grafiği-2 ... 93
ġekil 4.18 Fiber karbon kırılma basıncı histogram grafiği ... 94
ġekil 4.19 Fiber karbon kırılma basıncı Q-Q grafiği ... 95
ġekil 4.20 28-56 gün arasındaki sıvı yüzey dayanıklılık verisi histogram grafiği ... 96
ġekil 4.21 28-56 gün arasındaki sıvı yüzey dayanıklılık verisi Q-Q grafiği ... 96
ġekil 4.22 %70 basınç altında kablo dayanıklılık verisi histogram grafiği... 99
ġekil 4.23 %70 basınç altında kablo dayanıklılık verisi Q-Q grafiği ... 99
ġekil 4.24 Barutların en yüksek yanma oranı verisi histogram grafiği ... 102
ġekil 4.25 Barutların en yüksek yanma oranı verisi Q-Q grafiği ... 103
ġekil 4.26 Barutların ortaya çıkardığı basınç verisi histogram grafiği ... 104
ġekil 4.27 Barutların ortaya çıkardığı basınç verisi Q-Q grafiği ... 104
ix
ÇĠZELGELER DĠZĠNĠ
Çizelge 4.1 Parametrelere ait EM algoritması tahmin değerleri ve RMSE değerleri .... 84 Çizelge 4.2 Parametrelere ait EKK tahmin değerleri ve RMSE değerleri
(2 parametreli) ... 85 Çizelge 4.3 Parametrelere ait MLE tahmin değerleri ve RMSE değerleri ... 86 Çizelge 4.4 Parametrelere ait EKK tahmin değerleri ve RMSE değerleri
(3 parametreli) ... 87 Çizelge 4.5 Üç parametreli modelde tahmin değerlerinin karĢılaĢtırılması ... 88 Çizelge 4.6 Strength (dayanıklılık) verilerine ait test sonuçları ... 89 Çizelge 4.7 Strength (alüminyum plakaların maksimum stres altında dayanıklılığı)
verilerine ait test sonuçları ... 91 Çizelge 4.8 1000 yedekli fiber karbon verilerine ait test sonuçları-2 ... 92 Çizelge 4.9 Fiber karbon kırılma basıncı verilerine ait test sonuçları ... 94 Çizelge 4.10 Sıvıya temas eden yüzeylerin dayanıklılığı verilerine ait test sonuçları .... 95 Çizelge 4.11 Strength (topların dayanıklılığı) verilerine ait test sonuçları ... 97 Çizelge 4.12 Analgesic kullanan 20 hastanın maddeyi sönümleme zamanı verilerine
ait test sonuçları ... 97 Çizelge 4.13 100 Banka müĢterisinin bekleme zamanı (dakika) verilerine ait test
sonuçları ... 98 Çizelge 4.14 Kevlar 49/Epoxy kabloların ömürlerinin %70 basınç altındaki
ömürlerine ait test sonuçları ... 98 Çizelge 4.15 Kevlar 49/Epoxy kabloların ömürlerinin %74 basınç altındaki
ömürlerine ait test sonuçları ... 100 Çizelge 4.16 Barutların kapalı bomba testi en yüksek yanma verilerin test sonuçları . 102 Çizelge 4.17 Barutların kapalı bomba testi sonuçlarına ait verilerin test sonuçları ... 103 Çizelge 4.18 Verilere uygunluk esnasında elde edilen en çok olabilirlik tahmin
değerleri ... 105 Çizelge 4.19 Verilere uygunluk esnasında elde edilen en küçük kareler tahmin
değerleri (2 parametreli) ... 108 Çizelge 4.20 Verilere uygunluk esnasında elde edilen EM Algoritması tahmin
değerleri (2 parametreli) ... 109 Çizelge 4.21 Verilere uygunluk esnasında elde edilen EM Algoritması tahmin
değerleri (3 parametreli) ... 110 Çizelge 4.22 Verilere uygunluk esnasında elde edilen en küçük kareler tahmin
değerleri (3 parametreli) ... 111 Çizelge 5.1 Veri grupları için en iyi tahmin yöntemleri ... 114
1 1. GĠRĠġ
Teknoloji çağı olarak adlandırılan bir dönemde yaĢamaktayız. Bu zaman diliminde tek- nolojinin hızlı geliĢiminden insanoğlu her alanda faydalanarak, hayat kalitesini geliĢtir- meye çalıĢmaktadır. Kaynakların artan nüfus için optimal kullanımının daha da önemli olduğu, insan hayatına verilen değerin arttığı, zamanın en pahalı kaynak olduğu günü- müzde, toplumu oluĢturan bireylerin hatalara ve yanlıĢlara tahammülü azalmıĢtır.
Günümüzde insanlar hayatlarını daha mutlu olacakları hale getirmek için, bilimden ya- rarlanmakta, firmalar kazançlarını arttırmak için, devletler planlamalarını daha doğru yapmak için, bilimden yararlanma yolunu seçmektedir. Bunlar yapılırken de hataların maliyeti yukarıda saydığımız sebeplerle arttığından kararların doğruluğu daha da önem kazanmıĢtır.
Bireylerin hayat kalitelerini arttırmak için aldığı kararların bazıları; müĢteri hizmetlerine ulaĢmanın kolay olduğu veya kuyrukta beklemenin az olduğu firmaların tercihi, doğal afet riskinin az olduğu Ģehirlerde veya ilçelerde ikamet etmenin tercih edilmesi, hasta iken daha erken ve daha etkili iyileĢme sağlayan ilacın kullanılması, daha kısa sürede veya daha konforlu vasıtalarla yolculukların tercih edilmesi olarak sıralanabilir. Firma- ların kazançlarını arttırmak için, müĢterilerinin sayısını arttırmak veya mevcut müĢteri- leri kaybetmemek için aldığı kararlar ise; daha güvenilir tedarikçi ile çalıĢmak, daha güvenilir fonlara yatırım yapmak, daha öngörülebilir müĢteri risk oranı ile prim hesabı yapmak olarak sayılabilir. Devletlerin optimal kaynak kullanımı maksadıyla aldığı ka- rarların bazıları ise: daha doğru planlamalar yaparak vatandaĢlarının güvenliğini sağla- mak ve daha ucuz ve güvenilir kaynak sağlamak olarak sayılabilir.
Bu beklentiler sonucunda istatistiksel olarak daha baĢarılı sonuçlara ulaĢılmaya çalıĢıl- ması, incelenecek verilerin uygun dağılımlarla modellenip gelecekle ilgili tahminlerin daha gerçekçi olması hedeflenmiĢtir. Bunun neticesinde uzun zamandır kullanılan ve yaygın olan istatistiksel dağılımlara yenileri eklenmiĢtir. Böylece veri gruplarını daha baĢarılı modelleyebilen ve daha gerçekçi tahminler yapabilen güvenilirliği yüksek mo-
2
deller hedeflenmiĢtir. Burada da genel olarak Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling ve Cramer-von Mises uyum testleri ile verilerin dağılıma uygunluğu test edilirken, Aka- ike Bilgi Kriteri (Akaike Information Criterion-AIC) ile de uygun olan dağılımlar ara- sında hangisinin daha iyi uyum sağladığı belirlenmeye çalıĢılmıĢtır.
Son yıllarda sıklıkla kullanılan yeni istatistik dağılımı elde etme yöntemleri incelendi- ğinde, teorik olarak istatistiki dağılımın elde edildiği, arkasından yapılan analizlerle gerçek hayattaki yansımalarının gözlendiği çalıĢmalarla karĢılaĢılmaktadır. Bu çalıĢma- da ise öncelikle gerçek hayatta karĢılaĢılabilecek bir sistematik yapı belirlenerek bu yapı tanıtılmıĢ, sonrasında istatistiksel olarak sistem ifade edilmeye çalıĢılmıĢ ve arkasından analizi gerçekleĢtirilmiĢtir.
Mühendislikte, özellikle de sistem mühendisliğinde karmaĢık sistemlerin güvenirliği ve yaĢam zamanları özel bir öneme sahiptir. Bu çalıĢmada amaç bileĢen sayıları geometrik dağılıma sahip olan iç içe paralel sistemin güvenilirlik özelliklerinin incelenmesidir.
ÇalıĢmamızda, yaĢamda herhangi bir zaman ve durumda karĢımıza çıkabilecek bir sis- tem tanıtılarak istatistiksel ifadesinin bir dağılım fonksiyonu özelliği göstermesi ile yeni bir dağılım türetilmiĢtir. Bu dağılımın özellikleri incelenip, yaĢam fonksiyonu ve bo- zulma oranı elde edilmiĢ ve dağılımın karakteristikleri incelenmiĢtir. Bu incelemeler esnasında dağılımın bir parametresinin belirli bir aralıkta değer alması halinde, parça sayısının ve olasılık yoğunluk fonksiyonunun Ģeklinin değiĢtiği ve böylece bazı veri gruplarının modellenmesinde kullanılabilecek bir yapının elde edilebildiği sonucuna ulaĢılmıĢtır.
ÇalıĢmaya ikinci bölümde literatür incelemesi ile baĢlandı. Üçüncü bölümde öncelikle temel güvenilirlik kavramları hakkında bilgi verildi. Parçaların yaĢam sürelerinin Üstel olmasından dolayı Üstel dağılım tanıtıldı. Bu bölümde gelecek bölümde kullanılabile- cek Üstel dağılımın bazı özellikleri belirtildi. Arkasından iki boyutlu geometrik dağılım hakkında bilgi verildi ve nasıl kullanıldığına ait bazı örnekler gösterildi.
3
Üçüncü bölümde çalıĢmanın ilerleyen safhalarında kullanılacak yöntemler hakkında bilgiler verildi. Ayrıca, çalıĢmanın bu bölümünde çalıĢmada kullanılacak parametre tahmin yöntemleri tanıtıldı.
Dördüncü bölümde sistem tanıtılarak istatistiksel ifadesine yer verildi. Yeni tek boyutlu dağılım her bir parça ömrü Üstel dağılımlı olacak Ģekilde iki boyutlu geometrik dağılım vasıtasıyla elde edildi. Bu bölümde elde edilen dağılımın yaĢam fonksiyonu bulundu ve grafikler yardımı ile inceleme yapıldı. Arkasından elde edilen yeni dağılımın dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonu ve bozulma oranı fonksiyonları elde edilerek, grafikler yardımıyla incelendi. Yine dördüncü bölümde dağılımın karakteristikleri ince- lenmeye çalıĢıldı. Burada dağılımın beklenen yaĢam süresi fonksiyonu, varyansı, çar- pıklık ve basıklık katsayısı fonksiyonları momentler yardımı ile elde edildi. Bu incele- melerde grafiklerden yararlanıldı ve çeĢitli parametre değerlerine göre fonksiyonların değiĢimi belirlendi. Arkasından parametre tahmin metotlarından en küçük kareler tah- mini, en çok olabilirlik tahmini ve Expectation Maximization (EM) Algoritması yön- temleri kullanılarak nümerik metotlar yardımıyla parametre tahmini yapıldı. Bu tahmin metotlarının sonuçları birbirleriyle karĢılaĢtırıldı.
4 2. LĠTERATÜR ĠNCELEMESĠ
Bu zamana kadar parçalardan oluĢan sistemlerin güvenilirliği ile ilgili birçok çalıĢma yapılmıĢtır. Bu çalıĢmalardaki amaçlardan biri sistemlere ait güvenilirliği daha basit iĢlemler ile daha gerçeğe yakın tahmin etmek, diğeri de elde edilen güvenilirlik hesabı- nın anlaĢılabilir bir halde ve kolay ulaĢılabilir olduğunu gösterebilmektir.
Ġstatistik ve olasılık teorisi uygulamalarında rasgele değiĢkenlere ait karakteristikler büyük oranda kullanılmaktadır. Bu durum güvenilirlik, aktüerya bilimleri ve kuyruk sistemleri gibi birçok alanda gözlenebilmektedir.
Parçalardan oluĢan sistemlerin güvenilirliği genellikle parça sayısının kesikli bir dağılım ile parçaların yaĢam ömürlerinin ise sürekli bir dağılım ile modellenmesi Ģeklinde çalı- Ģılmaktadır. Çoğunlukla da parçaların birbirinden bağımsız aynı dağılımlı olduğu varsa- yımı yapılarak çalıĢmalar gerçekleĢtirilmektedir.
Bu tarzdaki çalıĢmalarda da genellikle esas problem bir kesikli ve bir sürekli dağılım ile karakterize edilen karma rasgele değiĢkenin dağılımının özelliklerinin belirlenmesi ola- rak tanımlanmaktadır.
Bazı karakteristik özellikleri nedeniyle kesikli dağılım ile parça sayılarının modellen- mesinde genellikle geometrik dağılım, binom veya multinomial dağılım ve negatif bi- nom dağılım kullanılmaktadır. Bunun en önemli sebeplerinden birisi de çalıĢmaların bir süreç olarak düĢünülmesi durumunda geçiĢler için gerekli matrisin oluĢturulmasında bu dağılımların kolaylık sağlamasıdır.
Bu çalıĢmalardan bir tanesinde Eryılmaz (2017) yutma süreçli Markov zincirine ait da- ğılım fonksiyonunu,
* +
5
olarak ifade etmiĢtir. Burada ( ) geçiĢ olasılıklarını içeren geçiĢ matrisidir ve d adet geçiĢ durumu bulunmaktadır. ( ) geçiĢ durumlarından yutulma du- rumuna geçiĢ olasılıklarını içeren matristir. ( ) baĢlangıç olasılık vektörü olup, yutulma durumu burada elenmiĢtir. ∑ birim matris ve ( ) dir.
Burada kesikli faz tipi dağılım olarak adlandırılmaktadır. tekil olmayan matris olmak durumundadır. yukarıdaki esaslar dahilinde dağılıyorsa, olasılık çıkaran fonk- siyonu,
( ) ( )
olarak ifade edilebilir. Yine benzer Ģekilde, faz tipi dağılım aĢağıdaki Ģekilde rasgele değiĢkeni ifade edebilir.
( )
Bu durumda da, Q‘nun karakteristik matrisinin katsayıları ve bu katsayılar yardımı ile hesaplanan durumlara ait olasılık değerleridir. Bunun arkasından baĢlangıç değer matrisi ve geçiĢ matrisi belirlenerek bir stokastik sürecin tanımlanması sağlanabilir.
Eryılmaz (2017) çalıĢmasında, iki bağımlı rasgele değiĢkenin tanımlanması ile yeni bir dağılım sınıfı elde ettiğini ifade etmiĢtir. Burada iki adet kendi içinde seri sistem paralel olarak birbirine bağlanmıĢtır. Seri sistemleri oluĢturan parçaların sayısı birbirine bağım- lı, ancak parçalar birbirinden bağımsız aynı dağılımlıdır.
ÇalıĢmadaki esas iki parçadan oluĢan bir sistemde her bir parçaya yenileme süreci içeri- sinde rasgele değiĢken olan birer parametre dâhilinde sayıya sahip Ģok gelmektedir. Seri
6
parçalar da bu Ģoklar arasındaki süreyi modellemede kullanılmaktadır. Böylece mini- mumlardan oluĢan iki parça elde edilmiĢ olunacak ve bunların maksimumu alınacaktır.
ÇalıĢmada belirgin zaman dilimlerinde Ģokların geldiği varsayılarak her iki parçaya ge- len Ģoklar iki boyutlu bir dağılım ile modellenmiĢ, ayrıca parça sayıları da iki boyutlu geometrik dağılımlı olarak varsayılmıĢtır.
Her iki parçaya da en az bir Ģokun geleceği varsayımı bulunan sistematik yapıda, Ģokla- rın sayısı, aldıkları değerden de bağımsız olarak tanımlanmıĢtır. BaĢlangıç durum matri- si, geçiĢ olasılıkları matrisi ve tanımlanmıĢ varsayımlar altında her bir parçanın çalıĢ- maya devam etmesi veya ikisinin birden bozulması ele alınarak kapalı formda ve yine- lemeli bir yapı oluĢturulmaktadır.
Ġki boyutlu üstel faz tipi dağılım için kullanılan yöntemde yine Ģok sayıları iki boyutlu geometrik olup her bir parçanın güvenilirliği üstel olarak ele alınmıĢtır. Bu durumu ifa- de etmek için aĢağıdaki eĢitlik önerilmiĢtir.
* +
∑
∑
Bir baĢka çalıĢmada ise Asadi ve Bayramoğlu (2005) paralel sistemlerde ortalama kalan ömür fonksiyonunu incelemiĢtir. Bu çalıĢmada paralel sistemlerin öneminden bahsedile- rek, ‘de ‘lı sistem tanımı yapılarak incelenmiĢtir.
ÇalıĢmada yedek parçaların önemine değinilmiĢtir. Tanımı yapılan ve incelenen siste- matik yapıda parçalar birbirinden bağımsız ve aynı dağılımlı olarak tanımlanmıĢtır. Bu sistematik yapıdaki ortalama kalan yaĢam süresi fonksiyonu incelenmiĢtir.
Bir faz tipi geometrik süreç için uç Ģok modellerde optimal yenileme politikası baĢlıklı çalıĢmada, belirli bir değerin üzerindeki Ģokların sistemde parçaların değiĢmesine sebep olduğu, değiĢen parçaların sayısı arttıkça sistemin Ģoklara mukavemet kabiliyetinin
7
azaldığı ve tamir süresinin uzadığı, belli bir parça yenileme sonrasında sistemin tama- mının yenilendiği bir sistemde optimal yenileme politikası, belirlenmiĢ maliyet değerleri üzerinden tanımlanmaya çalıĢılmıĢtır (Yu vd. 2014).
Bu çalıĢmada yine ‘de ‘lı sistem tanımı yapılmıĢ, arkasından geometrik stokastik süreç aĢağıdaki gibi ifade edilmiĢtir.
Bir stokastik süreç, * + geometrik süreçtir, eğer gerçek bir sayısı, varsa Ģöyle ki; * + yenileme süreci formunda ise.
Bu durumda aĢağıdaki üç sonuca ulaĢılabilir.
- Eğer ise * + geometrik süreci stokastik azalandır.
- Eğer ise * + geometrik süreci stokastik artandır.
- Eğer ise * + geometrik süreci yenileme sürecidir.
Burada uzun dönem hesapları üzerinden birim baĢına uzun dönem ortalama maliyet hesaplanır. Bu değerin minimal olması hedeflenmektedir. Ortalama maliyet aĢağıdaki eĢitlik ile elde edilmiĢtir (Lam ve Zhang 2003).
Vektör durumlu Markov sürecine ―matris geometrik metodu‖ adı verilmektedir (Nelsen 1995). Matris geometrik metodunun yinelemeli yapıya ihtiyaç duyduğu durum- lara bilgisayar sistemlerinde sıklıkla karĢılaĢılmaktadır. BaĢlangıç oranları (olasılıkları), kuyruk oluĢana kadar durum değiĢikliklerine göre güncellenmektedir. Matris geometrik metodu hem sürekli hem de kesikli zamanlı Markov süreçlerinde kullanılabilmektedir.
Bu durumlarda geçiĢ olasılık matrisi oluĢturularak olasılık çıkaran matris olarak kulla- nılmaktadır. Böylece geometrik dağılım olasılıkları geçiĢ olasılıkları olmakta ve durum- lar arası geçiĢlerin olasılık hesapları bu değerler ile hesaplanmaktadır.
8
Kesikli parça maliyetine sahip paralel ve seri sistemlerde optimal güvenilirlik tahsisi baĢlıklı çalıĢmada güvenilirliğin maliyete göre artan bir fonksiyona sahip olduğu belirti- lerek maliyet ile güvenilirlik arasında belirgin bir iliĢki tanımlanmaya çalıĢılmıĢtır (Ma- jety vd. 1996).
Çok durumlu uyumlu sistemlerde dinamik güvenilirlik analizi baĢlıklı çalıĢmada iki durumlu güvenilirlik karakteristikleri tanımlanmıĢ, bu karakteristikler üzerinden hesap- lamalar yapılarak çok durumlu sistem önce iki durumlu hale getirilmiĢ, ardından Mar- kov süreci yardımıyla güvenilirlik hesaplanmıĢtır (Xue ve Yang 1995).
Li (2003) tarafından yapılan, Ģok modellerdeki uygulamalar ile çok değiĢkenli faz tipi dağılımların birleĢtirilmesi baĢlıklı çalıĢmada, sonlu değerli kapalı kümelerde tanımlı değiĢkelerin bulunduğu Markov zinciri yardımı ile hesaplamalar gerçekleĢtirilmektedir.
ÇalıĢmada çok boyutlu faz tipi dağılımlar ile Ģok modellerin birbiri ile olan bağımlılığı- na değinilerek bazı koĢullar sağlandığında pozitif bağımlılık değerlendirmesinde bulu- nulmuĢtur.
ÇalıĢmada Ģokların olduğu bir ortamda parçaların yaĢam zamanlarına ait özellikler elde edilmiĢtir. ġokların Poisson süreci ile geldiği varsayılmıĢ ve süreç ise Markov zinciri ile tanımlanarak geometrik matris geçiĢleri belirlenmiĢtir. Bu matrisler üzerinden de olası- lık hesapları elde edilmiĢtir.
Binom parçalara sahip seri sistemlerde bayesci güvenilirlik analizi baĢlıklı çalıĢmada ise seri sistemdeki bağımsız parçaların binom dağılımlı olduğu varsayılarak güvenilirlik analizindeki tahmin bayes prosedürü ile elde edilmiĢtir (Martz vd. 1988).
ÇalıĢmada önsel dağılım olarak beta dağılımı belirlenmiĢtir. ÇalıĢma havadan havaya ısı güdümlü füze sistemlerinin modellenmesinde kullanılan yapının tahmininde değerlendi- rilmiĢtir. Sistemde 5 alt sistem bulunmakta, her alt sistemde 9 parçaya kadar parça bu- lunmaktadır. ÇalıĢmada sonsal dağılım farklı parametreli beta dağılımı olarak elde edilmiĢtir.
9 3. MATERYAL VE METOT
Bu bölümde çalıĢmada kullanılan teknikler, yöntemler ve çalıĢmanın sonraki bölümün- de uygulamaların nasıl yapılacağı hakkında bilgiler verilecektir. Bölümde ilk olarak temel güvenilirlik kavramları hakkında kısa anlatım yapılacak, ardından çalıĢmada kul- lanılacak marjinal dağılımlar üstel olduğundan üstel dağılım hakkında da bilgi verile- cek, son olarak da parça sayısının modellenmesinde kullanılan iki boyutlu geometrik dağılım incelenecektir.
3.1 Temel Güvenilirlik Kavramları
Güvenilirlik, bir sistem, bileĢen yada ürünün belli koĢullar altında bir zaman periyodu süresince iĢlevini istenilen performans seviyesinde yerine getirmesinin olasılığı olarak tanımlanabilir.
Güvenilirlik;
- Sistem, bileĢen ya da ürünün kullanım amacına, - Kullanım tarzı ve çevresel faktörlere,
- Kabul edilebilir performans seviyesinin tanımına, - Zamana bağlıdır.
Sistem ve yapı fonksiyonu kavramları:
n bileĢenden oluĢan bir sistemi göz önüne alalım. değiĢkeni ile bileĢenin durumu ifade edilsin ve,
{
Ģeklinde gösterilsin. bileĢenleri göstersin ve ( ) bileĢen vektörü olsun.
yapı fonksiyonu olmak üzere,
10
( ) {
Ģeklinde tanımlanan fonksiyon sistemin durumunu ifade etsin. Bu durumda, ( ) iki- lisine bileĢenli bir sistem denir.
Paralel sistemde parçalar birbirine paralel Ģekilde bağlanmıĢ olmakta ve yapı fonksiyo- nu aĢağıdaki Ģekilde ifade edilmektedir.
( ) ( )
Seri sistemde parçalar birbirine seri Ģekilde bağlanmıĢ olmakta ve yapı fonksiyonu aĢa- ğıdaki Ģekilde ifade edilmektedir.
( ) ( ) Uyumlu sistemler:
Sistemi oluĢturan parçalardan herhangi birisi düĢünüldüğünde, parçanın çalıĢıp çalıĢ- maması sistemin çalıĢmasına yada çalıĢmamasına etki etmiyorsa bu parçaya iliĢkisiz parça denir. ĠliĢkisiz parçası bulunmayan sistemlere uyumlu sistemler denir.
Uyumlu sistemlerde;
- azalmayandır. ( ) . / - Tüm bileĢenler sistemle iliĢkilidir.
Aynı anda çalıĢtığında sistemin çalıĢmasını sağlayan bileĢenlerin oluĢturduğu küme, yol kümesi (path set) olarak adlandırılır. Aynı anda bozulduğunda sistemin bozulmasına neden olan bileĢenlerin oluĢturduğu küme kesme kümesi (cut set) olarak adlandırılır.
Teorem:
( ) uyumlu bir sistemin yapı fonksiyonu olmak üzere, bileĢenli seri sistemin yapı fonksiyonu ile paralel sistemin yapı fonksiyonu arasında yer alır.
∏
( ) ∐
Sistemlerin yapı fonksiyonları minimal yol kümelerinin oluĢturduğu paralel sitemler olarak ifade edilebilmektedir.
11
Güvenilirliğin hesaplanmasında parçalar birbirinden bağımsız veya bağımlı olsun, kul- lanılan yöntemlerin baĢında, ekleme çıkarma yöntemi gelmektedir.
bileĢenli bir sitem ve adet minimal yol olsun.
‘nci minimal yol kümesinde bulunan tüm parçaların çalıĢması olasılığı.
Sistemin çalıĢması için en az bir yolun çalıĢması gerekecektir.
. / (⋃
+
Ekleme çıkarma ilkesi gereği,
. / (⋃
+ ∑ ( )
∑ ∑ ( )
( ) ( )
olur.
Birçok güvenilirlik analizinde, parçaların birbirinden bağımsız yaĢam dağılımlarına sahip oldukları varsayılır. Ancak; birçok güvenilirlik durumunda parçalar arası pozitif bağımlılık olduğunu varsaymak daha gerçekçidir. Bu parçaların yaĢam uzunluklarına olan pozitif bağımlılık, gerek çevresel stres veya Ģoklar, gerek de güç kaynakları ve benzer durumlara göre artıĢ gösterebilir.
Marjinalleri ( ) ve ( ) olan ( )‘nin ortak dağılım fonksiyonu ( ) aĢağı- daki özellikleri sağlar.
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( )
( ) , - , - üzerinde tanımlı negatif olmayan dikdörtgendir. Yani;
) , - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) her noktada kısmi türevlenebilir ise, iki boyutlu dağılım için ( ) olasılık yoğunluk fonksiyonu,
) ( ) ( )
( )
12
olarak gösterilir. Bu durumda ―( ) vardır ancak ve ancak ( ) iken‖ sonucuna ulaĢılabilir. ( ) ( ) ve ( ) koĢulları ( ) ve ( ) marjinal dağılım fonksiyon- larının iki boyutlu dağılımının ( ) olması için gerek ve yeter koĢuldur (Barlow ve Proschan 1981).
( ) bağımsız ise,
( ) ( ) ( ) ( ) Ortak yaĢam fonksiyonu,
[ ] ̅( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Eğer ( ) ( ) ve ( ) koĢulları sağlanırsa, iki boyutlu olasılık fonksiyonu marjinal dağılımlar tarafından tek olarak belirlenemez. Aksine Frechet (1951) göstermiĢtir ki marjinaller ile olasılığı elde etmek için sonsuz çözüm kümesi bulunmaktadır. Ferchet‘in elde ettiği koĢul;
, ( ) ( ) - ( ) , ( ) ( )- ( ) olup üst ve alt limitler iki boyutlu dağılım ve marjinaller ile elde edilmiĢtir ve problemin çözümünü oluĢturmaktadır.
Bir parçanın güvenilirliği belirli bir aralıkta bozulmaması olup, aĢağıdaki Ģekilde ifade edilebilir.
( ) ( ) ( ) ( ) Bunu ifade eden fonksiyona yaĢam zamanı fonksiyonu denir.
Bozulma oranı, zamanında çalıĢan bir yapının ile arasında bozulmasının oranı olup, koĢullu bir olasılık yardımı ile hesaplanabilir (Epstein ve Weissman 2008).
( )
( | )
( ) ( )
( ) ( ) 3.2 Üstel Dağılım
Üstel dağılım aileleri mühendislik ve bilim alanlarında çok yoğun bir Ģekilde kullanılan olasılık modelleri sunar. ‘in aĢağıdaki gibi bir olasılık dağımı olması halinde para- metreli Üstel dağılıma sahip olduğu söylenir.
13 ( ) {
Bazı kaynaklarda Üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak verilir, böylece ve olmaktadır. Üstel dağılan rasgele değiĢkeninin beklenen değeri ve varyansı , integrasyon ile bulunduğunda, ⁄ ⁄ ola- rak elde edilir. Bu da Üstel dağılımın ortalaması ve standart sapmasının ⁄ olarak eĢit olduğu anlamına gelmektedir.
Üstel dağılım, baĢarılar arası zamanların dağılımına iliĢkin modellemelerde sıklıkla kul- lanılmaktadır. Örnek olarak müĢterilerin servise geliĢleri arası zaman, herhangi bir hiz- mete iliĢkin telefon aramalarının zamanı, hastaneye gelen hastalar arası zaman, bankaya gelen müĢteriler arası zaman, müĢterilerin aldığı hizmetin verilme süresi, iki afet arası zaman, trafikteki kazalar arası zaman, kasko Ģirketinden para isteyen müĢteriler arası zaman verilebilir. Üstel dağılım sadece zamana ait modellemelerde değil baĢka veri gruplarına ait modellemelerde de etkili olarak kullanılmaktadır. Buna örnek verecek olunursa, herhangi bir tedavide iyileĢen hastadaki bakteri ya da virüs yoğunluğu gösteri- lebilir.
Üstel dağılımın bir diğer önemli kullanımı da parçaların yaĢam sürelerinin modellenme- sinde gözlenmektedir. Bunun bir sebebi de Üstel dağılımın hafızasızlık özelliğidir. Par- çaların yaĢam zamanının parametreli Üstel dağılıma sahip olduğunu varsayılırsa, par- çayı hizmete soktuktan sonra belli bir süre bekleyip daha sonra parçanın hala çalıĢıyor olduğu gözlendiğinde, parçanın ilave bir t süresi kadar daha çalıĢacağının olasılığı aĢa- ğıdaki gibidir.
( | ) ,* + * +- ( )
14
Burada gereksiz bir hal almaktadır; çünkü gerçekleĢtiğinde zaten iki olayda gerçekleĢmiĢ olacaktır. Dolayısıyla,
( | ) ( ) ( )
( )
( )
olarak elde edilir.
Bu koĢullu olasılık baĢlangıçtaki bir parçanın t süre kadar çalıĢması ile aynı olarak bu- lundu. Böylece ilave ek yaĢam süresi baĢlangıçtaki yaĢam süresi dağılımı ile aynıdır ve zamana bağlı olarak parça herhangi bir değiĢiklik göstermez. Diğer bir ifade ile kalan zamana iliĢkin dağılım Ģimdiki zamandan bağımsızdır. Bu hafızasızlık özelliği birçok alanda kullanılmaktadır (Devore 2004).
3.2.1 Üstel dağılımın moment çıkaran fonksiyonu
( ) ∫ ( ) ∫ ( )
( )
için elde edilir.
Daha önceden Üstel dağılımın birinci momentinin ⁄ olduğu söylenmiĢti. Ġkinci mo- ment ve varyans da moment çıkaran fonksiyon yardımı ile bulunabilir. t=0 için,
( )|
olarak bulunur. Buradan varyans;
( ) ( ) ( ) ( *
olarak elde edilir.
15 3.2.2 Poisson sürecinin üstel dağılım ile iliĢkisi
Olayların rasgele zaman noktalarında olduğu varsayılsın ve ( ) , - aralığında ger- çekleĢen olay sayısını göstersin. Bu olaylar aĢağıdaki kuralları sağlıyorsa poisson süre- cine sahip olduğu söylenebilir.
a. ( )
b. Ayrık zaman aralıklarında gerçekleĢen olay sayıları bağımsızdır.
c. VerilmiĢ bir zaman aralığında gerçekleĢen olay sayısının dağılımı sadece aralı- ğın uzunluğuna bağlıdır ve zamanın yerine bağlı değildir.
d. ( ( ) ) e. ( ( ) )
Böylece (a) maddesi sürecin 0 zamanında baĢladığını belirtmektedir. (b) maddesi ise bağımsız artıĢı belirtmekte olup, örnek verilirse; t zamanındaki olay sayısının, t ile t+s arasındaki olay sayısından bağımsız olduğu belirtilebilir. (c) maddesi durağan artıĢı be- lirtmekte olup, ( ) ( ) nin olasılık dağılımının t nin her değeri için aynı oldu- ğunu ifade eder. (d) ve (e) maddeleri ise uzunluğundaki küçük bir zaman aralığında bir olayın gerçekleĢme olasılığının neredeyse olduğunu iki ve daha çok olay gerçek- leĢme ihtimalinin ise neredeyse olmadığını anlatır.
ġimdi bu varsayımların, t zaman aralığında gerçekleĢen olay sayısının parametreli bir Poisson rasgele değiĢkeni olduğunu ifade ettiği gösterilmek istensin. Belirgin olması açısından aralığın , - olduğu ve ( ) nin bu aralıkta gerçekleĢen olay sayısı olduğu düĢünülürse, ( ( ) ) için bir ifade elde edebilmek maksadıyla, , - aralığı ⁄ aralığa sahip n eĢit parçaya bölünsün ve bu aralıklar üst üste gelmeyen alt aralıklar ol- sun. ġimdi, , - aralığında k tane olay gerçekleĢecektir, eğer;
a. ( ) k ya eĢit ve her bir alt aralıkta en çok bir olay gerçekleĢmiĢ ise;
b. ( ) k ya eĢit ve an az bir alt aralıkta iki veya daha fazla olay gerçekleĢmiĢ ise;
16
Bu iki olasılık ayrık olduğundan ve (a) koĢulu n alt aralıktan k tanesinde 1 olay, ve diğer n-k tane alt aralıkta 0 olay içermesi olduğundan
( ( ) )
(
*
( ( ) ) Daha önceki (e) koĢuluna göre;
( ( ) ) eğer
Yine (d) ve (e) koĢuluna göre
( )
( )
Böylece, farklı alt aralıklarda gerçekleĢen olay sayıları birbirinden bağımsız olduğundan (b) koĢuluna göre,
(
*
. / (
* (
*
Burada n ve ya eĢit olduğu parametrelere sahip bir Binomial rasgele değiĢ- kenin olasılığı elde edilmiĢ oldu. Böylece n büyüdükçe, olasılığı ortalaması ⁄ olarak k ya eĢit olan Poisson rasgele değiĢkenine yaklaĢır. n sonsuza yaklaĢırken;
( ( ) ) ( ) oranlı bir Poisson sürecinde;
17 ( ( ) ) ( )
olup, herhangi bir t aralığında gerçekleĢen olay sayısının ortalamalı Poisson dağılı- mına sahip olduğunu belirtir. Bir Poisson süreci için, ilk olayın gerçekleĢme zamanı olsun. Bununla birlikte, için ( )‘inci ile n‘inci olaylar arası geçen zama- nı göstersin. * + dizisi, geliĢler arası zaman dizisi olarak adlandırılsın.
Mesela, olduğu düĢünülürse Poisson sürecinin ilk olayı 5 zamanında, ikinci olay ise 15 zamanında gerçekleĢmiĢ demektir.
ġimdi ‘in dağılımı değerlendirilsin. Bunun için önce ( ) olayının gerçekleĢmesi için , - aralığında hiçbir olayın gerçekleĢmemesi gerekmektedir. Böylece
( ) ( ( ) )
Görüldüğü gibi , ⁄ ortalamalı Üstel dağılıma sahip oldu. nin dağılımını elde etmek için aĢağıdaki iĢlemler yapılabilir.
( | ) ( ( - | ) ( ( - )
Böylece de ⁄ ortalamalı Üstel dağılıma sahip oldu. Bağımsız ve durağan artıĢlılı- ğın sonucu olarak bu durum elde edildi (Ross 2003).
3.2.3 Üstel dağılımların kullanıldığı alanlar
Üstel dağılıma ait bazı özelliklerden yukarıda bahsedilmiĢti. Üstel dağılımın kullanılma- sı ile ilgili Üstel dağılımı cazip hale getiren özelliklerden bazıları aĢağıdaki gibi sırala- nabilir.
a. Hafızasızlık Özelliği
( | ) ( )
18
b. ‘ ler birbirinden bağımsız aynı Üstel dağılımlı rasgele değiĢkenler olsun, ortalaması ⁄ olsun, o zaman
( ) ( ) ( )
olarak elde edilir. Dağılım ( ) dağılımıdır.
c. ve birbirinden bağımsız Üstel dağılıma sahip rasgele değiĢkenler olsun.
Ortalamaları ⁄ ve ⁄ olsun. Bu durumda ( )
olarak elde edilir.
Üstel dağılım ile modellenen veri türlerine bakıldığında; sel felaketlerinde taĢma verile- ri, bireylerin yaĢam zamanları, kanser hastalarına uygulanan tedavi süreci, hastaların hastanede kalma süreleri, banka müĢterilerinin bekleme süreleri, banka müĢterilerinin iĢlemleri esnasında geçen süreler, kan kanseri hastalarının yaĢam zamanları, parçaların ilk bozuluncaya kadar sistemde geçirdikleri yaĢam zamanları, sistemlerin müdahaleye gerek duymadan çalıĢtıkları süre gibi verilerin var olduğu gözlenebilir. Kullanıldığı alanlara göre ayrılırsa aĢağıdaki Ģekilde gruplama yapılabilir.
Bir Poisson sürecinde, geliĢ zamanları arasındaki geçen zaman için, Üstel dağılımın kullanılması gündeme gelebilir. Üstel dağılım kesikli dağılım olan geometrik dağılımın, sürekli dağılım karĢılığı olarak görülebilir.
Kuyruk teorisinde Üstel dağılım, hizmet zamanını temsil eden bir rasgele değiĢkenin olasılık dağılımını modellemek için kullanılabilir. Örneğin, bir mağazadaki müĢterilerin geliĢleri arasında geçen zaman, bir diĢ polikliniğinde hastaların muayeneleri arasındaki zaman, bilet kontrolleri arasındaki zaman, kuyruk teorisinde müĢterilerin geliĢleri ara- sındaki zaman gibi.
Güvenilirlik uygulamalarında, Üstel dağılım, bozulan parçaların kullanım ömürlerini modellemek için kullanılabilir. Buna örnek olarak, her türlü parçaya ait ömürler, batar- yaların ömürleri, aletlerin ve anahtarların ömürleri gibi birçok örnek verilebilir. Yine
19
fizikte, bir yerçekimi sahasında sabit bir sıcaklık ve basınçta bir gaz gözlendiğinde, çe- Ģitli moleküllerin yükseklikleri yaklaĢık Üstel dağılım gösterir.
3.2.4 Ġki boyutlu üstel dağılım
Öncelikle iki boyutlu üstel dağılım iki bağımlı parçanın yaĢam uzunluğu için değerlen- dirilsin. 3 bağımsız Ģok kaynağının çevrede var olduğu varsayılsın. Birinci kaynaktaki Ģok birinci parçayı yok etsin. zamanda gerçekleĢsin, , - olsun.
Ġkinci kaynaktaki Ģok ikinci parçayı yok etsin. zamanda gerçekleĢsin, , -
olsun. Son olarak üçüncü kaynaktaki Ģok iki parçayı birden yok etsin. zaman- da gerçekleĢsin, , - olsun.
Böylece birinci parçanın rasgele yaĢam süresi olan , ( ) olur.
Ġkinci parçanın rasgele yaĢam süresi olan ,
( ) olur.
Böylece ortak yaĢam olasılığı fonksiyonu,
̅( ) [ ] ( ) ( ) olarak elde edilebilir.
Ortak dağılım olan ( ), ( ) ile verilen yaĢam olasılığı ile iki boyutlu iki boyutlu üstel dağılım olarak adlandırılır. Bunun aksine, eğer iki boyutlu yaĢam olasılığına sahip ise ,( ) - o zaman gibi bağımsız üstel rasgele değiĢkenler vardır, öyle ki;
( ) ve ( ) dir.
Ġki boyutlu üstel dağılımın üstel marjinalleri vardır ve aĢağıdaki yaĢam olasılıklarına sahiptirler.
̅̅̅( ) , - ( )
̅̅̅( ) , - ( ) } ( ) ve bağımlı rasgele değiĢkenlerdir, böylece ‗nin artan fonksiyonlarıdır.
20 ̅( ) ̅̅̅( ) ̅̅̅( )
( ) ( ) ( )} ( ) Bu durum ( ) ve ( ) un sunucudur.
Tek boyutlu üstel dağılım bir özellik ile karakterize edilir ki bu özellik güvenilirlik teo- risinde büyük bir ilgiye sahiptir. Eğer bir parçanın yaĢam uzunluğu ve üstel yaĢam dağılımına sahip ise, o zaman
, | - , - her için, olarak ifade edilebilir. (Hafızasız- lık)
Bu demektir ki ilave bir birim zaman daha bir parçanın yaĢaması olasılığı, yeni bir parçanın aynı süre yaĢaması olasılığına eĢdeğerdir.
Bu aĢamada iki boyutlu üstel dağılımın ( ) ile verilen durumu sağladığı gösterilmeli- dir.
, | - , - her için ( ) ( ) eĢitliği bir çift parçanın ortak yaĢam olasılığının yeni iki parçanınki ile eĢdeğer olduğunu iddia eder. ( ) ile bu eĢitlik aĢağıdaki gibi yazılabilir.
̅( ) ̅( ) ̅( ) her için. ( ) Böylece eğer iki boyutlu yaĢam olasılığı ̅ ( ) ü sağlayan üstel marjinallere sahip ise, o zaman ( ) ile verilen formda olmalıdır.
Önerme:
( ) sağlanıyor olsun, o zaman;
̅( ) { ̅̅̅( )
̅̅̅( ) ( ) bazı için öyle ki, ( ) ( ) ve ( ) ( ) marjinaller dağılımlar olsun.
Gösterim:
( ) geçerliyken için ̅( ) ̅( ) ̅( ) bu da ̅( ) bazı için olarak ifade edilebilir.
( ) geçerliyken için, ̅( ) ̅( ) ̅( ) ̅̅̅( ) olarak ifade edilebilir.
21
Son olarak ( ) geçerliyken için, ̅( ) ̅̅̅( ) için, olarak ifade edilebilir.
Benzer durumda, ̅( ) ̅̅̅( ) için, olarak ifade edilebilir.
Teorem:
Ġki boyutlu üstel dağılım ( ) ü sağlayan marjinalleri üstel olan tek dağılımdır.
Gösterim:
̅̅̅( ) ve ̅̅̅( ) , olsun.
Yukarıdaki önerme ile,
̅( ) { ( )
( ) ( ) ̅( ) ‘ye göre azalan olduğundan, ‘dir. Böylece ve sağ- lanmaktadır. ̅( ) ‘e göre azalan olduğundan, olur. Yine ve
sağlanmaktadır.
olsun. için, olduğunu göstermeliyiz. Tek bo- yutlu dağılımı düĢünelim.
( ) ( ) için olasılık yoğunluk fonksiyonu, ( )
Bu durumda ‘i ‘a yaklaĢtırdığımızda, olduğunu görürüz.
, ve için,
ve elde edilir. Bu değerler ( )‘te yerine koyulduğunda, iki boyutlu üstel dağılımı ( ) u vermektedir.
Önerme:
Fonksiyonel eĢitlik ( ) ün farklı bir yorumu olarak aĢağıdaki eĢitlik elde edilebilir.
̅( )
̅( ) ̅( ) ( ) EĢitlik ( ) ile ve ömürlere sahip iki seri parçaya sahip sistemin yaĢam olasılı- ğını yeni bir sistem olarak ifade edilebilir. Böylece yapı bağımsız sürelere sahip iki kul-
22
lanılmıĢ parçayı içerir (her bir parça üstel dağılımlı yaĢama sahip) ancak ve ancak ortak dağılım iki boyutlu üstel olursa.
Teorem:
iki boyutlu üstel yaĢam olasılığına sahip olsun ve ( ) verilmiĢ olsun. O zaman, , ( ) - , için, iken.
( ) her bir olaydan bağımsızdır. , - , - ve , - için.
( ), | | ( ) ( )‘den bağımsızdır.
Gösterim:
( ) ( )‘dır. ‘lar 3 kaynaktan gelen Ģoklar olduğundan a Ģıkkı sağlanır.
( ) olsun, ( )‘nin olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak ( ) ve ( ) ifadesi kullanıldığında (yüksek sıralar ihmal edildiğinde);
( | ) , - , -
, ( )- , ( )- ( ⁄ )
payda üstel dağılım özelliği olarak yukarıda belirtildiğinden, ( | ) ( ) olarak elde edilebilir.
Sonuç olarak yüksek sıralar ihmal edildiğinde,
( | ) , ( )- , ( )-
( )
⁄
olarak ifade edilebilir. Böylece, ( | ) ( ) olur.
, ( ) | | - , - , -
, ( ) - , ( ) -
23
∫ ( )( ) ∫ ( )( )
( ) [ ( ) ( ) ] , ( ) -
* , - , | - , - , | -+
, ( ) - ,| | -
Bir DeğiĢkenin Diğerine Bağımlılığı
iki boyutlu üstel dağılsın, o zaman koĢullu yaĢam olasılığı , | - için
, | - {
için
( ) için ( ) elde edilir. Bu koĢullu yaĢam olasılığı ‘e göre artandır. O zaman ‘de stokastik artandır denir. ( ) den hareketle , | - hesaplanabilir.
, | -
( )( ) ( )
‘in artan bir fonksiyonu olarak elde edilir.
3.3 Ġki Boyutlu Geometrik Dağılım
Ġki boyutlu geometrik dağılım Jayakumar ve Mundassery (2007) tarafından yapılan ça- lıĢmada aĢağıdaki Ģekilde ifade edilmiĢtir.
( ) ( ) n,m= 0,1,2,…
Burada;
: ek olarak Ģok gelmemesi,
: birinci gruba (üst grup) Ģok gelmesi,
: ikinci gruba (alt grup) Ģok gelmesinin olasılıklarıdır.
24
Simülasyon yardımı elde edilen sisteme ilave edilecek parça sayısını bulmak için marji- nal olasılık fonksiyonları gerekmektedir. Marjinal olasılık fonksiyonları aĢağıdaki gibi elde edilebilir.
( ) ∑ ( )
( ) ∑( )
( )
Negatif binom dağılım özelliği kullanılarak toplamın 1 olduğu açıkça görülmektedir.
Dolayısıyla n‘ e ait marjinal olasılık fonksiyonu aĢağıdaki gibidir.
( )
( )
BaĢarı olasılığı olan geometrik dağılım elde edilmiĢtir. Aynı Ģekilde m‘ ye ait mar- jinal olasılık fonksiyonu da aĢağıdaki gibidir.
( )
( )
BaĢarı olasılığı olan geometrik dağılım elde edilmiĢtir. Parçaların geliĢleri bağımlı olduğundan koĢullu olasılık fonksiyonuna da ihtiyaç duyulmaktadır. Burada önce n için üst gruba gelen parçaların sayısı üretilip daha sonra N=n verilmiĢken m için alt gruba gelen parçaların sayısı üretilebilir.
( | ) ( )
( )
BaĢarısız deneme sayısı m, ulaĢılmak istenen baĢarı sayısı n+1 olan negatif binom dağı- lım elde edildi.
Bu aĢamadan sonra basit bir simülasyon uygulaması için önce ( ) ile sayı üreti- lip, arkasından ( | ) ile sayı üretilerek n,m çifti elde edilebilir.
( ) e karĢılık gelen . / değeri ile üste eklenecek par- çaların sayısı ve bu sayıdan faydalanarak ( | ) Negatif Binom( ) ile de alta eklenecek parçaların sayısı üretilebilir. Daha sonra bu sayıdaki her bir parça için
25
⁄ ortalamalı üstel dağılımdan yaĢam ömrü üretilerek, sistemin yaĢam fonksiyonuna göre maksimumların maksimumu alınarak sistemin yaĢam süresi bulunabilir (Yılmaz ve Ünözkan 2015).
Simülasyon çalıĢması için matlab programı kullanılmak istenirse, önce matlab daki ge- ometrik dağılıma elde edilen dağılımı uyarlamak gerekmektedir. Matlab da geometrik dağılım aĢağıdaki gibidir.
( ) ve bu dağılımdan sayı üretilirken sadece baĢarı olasılığı olan p isten- mektedir, dolayısıyla bu değer yerine elde edilen dağılımdaki olasılık değeri olan değeri girilebilir. Böylece üst gruba gelecek parça sayısı elde edilebilir.
Daha sonra koĢullu olasılık fonksiyonu yardımıyla alt sıra için matlab daki negatif bi- nom dağılım ile sayı üretilebilir ve bu iĢ için yine elde edilen koĢullu dağılımın matlab da tanımlı negatif binom dağılıma uyarlamak gerekmektedir. Matlab da negatif binom dağılım aĢağıdaki gibidir.
( ) (
*
BaĢarı olasılığı
BaĢarılı deneme sayısı BaĢarısız deneme sayısı
Sayı üretirken istenen parametreler sırasıyla r ve p olduğundan bu değerler yerine ve girilmelidir. Böylece alt sıra için de gerekli olan sayı üretilebilir.
Basit bir örnek ile bir sayı üretme ve sistemin ömrü tahmin edilmeye çalıĢılırsa;
için önce n için sayı üretilir ve 2 elde edilmiĢ ol- sun. Daha sonra bu koĢulda m için sayı üretilir ve 1 elde edilmiĢ olsun. Yani N=2, M=1 olsun. Dolayısıyla üst grupta 3, alt grupta 2 parça olacaktır. Daha sonra her bir parça için ⁄ ortalamalı üstel dağılımdan sayı üretilmiĢ ve değerler aĢağıdaki gibi elde edil- miĢ olsun.
Üst grup 1.1, 1.5, 0.35 Alt grup: 2.7, 0.15
Daha sonra sistemin yaĢam zamanını aĢağıdaki gibi elde edilebilir.
26
* * + * ++
* * + * ++
* +
Bunun dıĢında iki boyutlu geometrik dağılım ile ilgili birçok çalıĢma yapılmıĢ, iki bo- yutlu geometrik dağılım özellikle son dönemlerde Ģok modellerinde sıklıkla kullanılmıĢ- tır.
Ġki boyutlu yaĢam dağılımlarına yeni bir sınıf isimli çalıĢmasında Eryılmaz (2017) faz tipi dağılımlar (phase type distributions) ailesinden bir dağılım olarak iki boyutlu geo- metrik dağılımı değerlendirmiĢ, kesikli faz tipi dağılım olan iki boyutlu geometrik dağı- lımın bu özelliğinin geçiĢ matrislerindeki üstünlüğü tanıtılmıĢtır.
Krishna ve Singh (2009) çalıĢmasında iki boyutlu geometrik dağılımın güvenilirlik üze- rine uygulamalarını değerlendirmiĢ ve dağılımın karakteristiklerini ortaya koymuĢtur.
ÇalıĢma esnasında iki boyutlu geometrik dağılımın moment çıkaran fonksiyonu ve ka- rakteristikleri aĢağıdaki gibi verilmiĢtir.
( ) ∑ ∑ ( * ( ) ( )
∑ ∑ ( * ( ) ( ) ( )
( ) (
*|
( ) ( )
( )
(
*|
27 ( )
(
)|
(
*
( )
(
)|
(
*
Ayrıca çalıĢmada iki boyutlu geometrik dağılımın parametreleri için bayes tahmini de yapılmıĢtır.
Miaomiao vd. (2004) tarafından yapılan çalıĢmada ise sınır Ģok modellerinde kullanılan faz tipi geometrik dağılımda optimal parça değiĢim politikasını belirlemeye çalıĢmıĢlar- dır. ÇalıĢmada önce belirlenmiĢ Ģok modeline ait kurallar ortaya konulmuĢ, arkasından da faz tipi dağılım özelliği kullanılarak optimallik için hesaplamalar yapılmıĢtır.
Haijun (2003), çok boyutlu faz tipi dağılımların Ģok modellerinde uygulanabilirliği ile ilgili çalıĢmasında, çok boyutlu poisson sürecinden elde edilen Ģokları faz tipi dağılım ailesine uyumu sebebiyle Markov süreci ile değerlendirmiĢ ve çok boyutlu stokastik süreci faz tipi dağılım ile birleĢtirmiĢtir.
Bordbar ve Nematollahi (2016) yaptıkları çalıĢmada dönüĢtürülmüĢ üstel geometrik dağılımı tanıtmıĢ, artan ve azalan bozulma oranına sahip, üç parametreli bir dağılımın özelliklerini incelemiĢtir.
3.4 Parametre Tahmin Metotları
3.4.1 En küçük kareler metodu
Bu yöntem gözlem alınan noktalarına bağlı olarak elde edilen ampirik da- ğılım ile ( ) dağılım fonksiyonu arasındaki iliĢkiye dayanır. Öyle ki; ( ) ( ) ( ) ( ) ―.‖ Sıra istatistiğini göstermek üzere, gözlemler küçükten büyüğe sıra- lanır. Buna karĢı gelen ampirik dağılım fonksiyonu ̂( ) olmak üzere;
28
̂( ( ))
Ģeklindedir. Ancak örneklem değerleri ile karĢılaĢtırılan dağılım değerleri uç değerlerde . / gibi en küçük kareler yöntemi için sıkıntı yaratacağından, yerine [ ( ( ))] olduğundan, alınması ile daha iyi sonuçlar elde edilir. Buradan;
̂( ( )) ( ( ) )
olarak elde edilen denklemde amaç ile ifade edilen hata terimini minimum yapan, daha doğrusu ̂ ile arasındaki mesafeyi en küçük yapan doğruyu (eğriyi) bulmaktır.
3.4.2 En çok olabilirlik tahmini
Bu yöntem elde edilen gözleme göre parametrenin değer kümesini tarar, olasılığı en yükseğe çıkaran parametre en çok olabilirlik tahminidir. Bu yöntem Fisher (1925) tara- fından ortaya atılmıĢtır. Bir olabilirlik fonksiyonu tanımlanarak, bu fonksiyonun en yüksek değeri bulunur ve çözüm elde edilir. Bu yapılırken genellikle tanımlanan olabi- lirlik fonksiyonunun türevi alınır ve sıfıra eĢitlenir. Aynı Ģekilde ikinci türev alınarak bu noktanın en büyük değer noktası olduğu kontrol edilir ve tahmin edici elde edilir.
rasgele örneklemi { ( ) ( ) } olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip kitleden alınmıĢ olsun. Bu örnekleme dayalı olabilirlik fonksiyonu,
( ) ( ) ∏ ( )
olarak elde edilir. Bu fonksiyonu maksimum yapan değeri en çok olabilirlik tahmini- dir.
( )
Denklem sistemi çözülüp, kritik noktası elde edilir.
için elde edilen matriste minörlerin iĢareti tek minörlerde negatif, çift minörler- de pozitif ise yi maksimum yapan değerdir. Eğer olabilirlik fonksiyonunun türevi alınırken zorlukla karĢılaĢılırsa, doğal logaritması alınarak kolaylık sağlanır ve bu fonk-
29
siyon üzerinden iĢlemler yapılarak yukarıda anlatıldığı gibi tahmin edici elde edilir. Bu- nun nedeni logaritmik fonksiyonun monoton artan olmasıdır. Bu durumda yukarıdaki denklem sisteminin çözümü
. ( )/
denklem sisteminin çözümüne eĢittir. Çok değiĢkenli durumda, çözümü elde edilen kri- tik noktanın bir maksimum noktası olup olmadığı veya maksimum nokta ise parametre uzayında global maksimum olup olmadığı, Hessian matrisinin asal minörlerine bakıla- rak kontrol edilir. Buna göre,
[
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ]
Burada matrise ait
| , -| ( )| ̂ ̂ ̂
( )
| , -| ||
[
( )
( ) ( )
( ) ]
||
|
|
̂ ̂ ̂
( )
| , -|
|
|
|
[
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ]
|
|
|
|
|
|
̂ ̂ ̂
( )
