Devre ve Sistem Analizi
Özkan Karabacak
Elektronik ve Haberle¸sme Mühendisli ˘gi
˙Istanbul Teknik Üniversitesi
5 Mayıs 2012
Outline
1 ˙Iki Kapılılar
Devre Parametreleri Ba ˘glantı Biçimleri Resiprokluk Teoremi
Özkan Karabacak Devre ve Sistem Analizi
Resiprokluk Teoremi
˙Iki Kapılılar: Empedans ve Admitans Matrisleri
Lineer, zamanla de ˘gi¸smeyen ve kaynak içermeyen iki kapılı bir devre:
+
_
+
_
i1(t) i (t)2
v1(t) v2(t) −→
+
_
+
_ I1(s)
V1(s)
I2(s)
V2(s)
m11 m12
m21 m22
V1
V2
+n11 n12
n21 n22
I1
I2
=0 0
M · V + N · I = 0
M tersinir ise V = −M−1· N · I, yani V = Z · I ¸seklinde yazılabilir ve Z = −M−1· N matrisine açık devre empedans matrisi denir.
N tersinir ise I = −N−1· M · V, yani I = Y · V ¸seklinde yazılabilir ve Y = −N−1· M matrisine kısa devre admitans matrisi denir.
Resiprokluk Teoremi
˙Iki Kapılılar: Hibrid Matrisler
m11 m12
m21 m22
V1
V2
+n11 n12
n21 n22
I1
I2
=0 0
=⇒
m11 n12
m21 n22
V1
I2
+n11 m12
n21 m22
I1
V2
=0 0
m11 n12
m21 n22
tersinir iseV1
I2
= −m11 n12
m21 n22
−1
·n11 m12
n21 m22
· I1
V2
, yaniV1
I2
=H1· I1
V2
¸seklinde yazılabilir ve H1= −m11 n12
m21 n22
−1
·n11 m12
n21 m22
matrisine hibrit-1 matrisi denir.
n11 m12
n21 m22
tersinir ise I1
V2
= −n11 m12
n21 m22
−1
·m11 n12
m21 n22
·V1
I2
, yani I1
V2
=H2·V1
I2
¸seklinde yazılabilir ve H2= −n11 m12
n21 m22
−1
·m11 n12
m21 n22
matrisine hibrit-2 matrisi denir.
Özkan Karabacak Devre ve Sistem Analizi
Resiprokluk Teoremi
˙Iki Kapılılar: Hibrid Matrisleri
H2=H1−1
H1=h11 h12
h21 h22
h11=V1
I1
V2=0
h12=V1
V2
I1=0
h21= I2
I1
V2=0
h22= I2
V2
I1=0
Resiprokluk Teoremi
˙Iki kapılılar: Zincir(Transmisyon) Matrisleri
Hibrit matrislerine benzer ¸sekilde tanımlanır: Zincir-1 Matrisi:
V1
I1
=t11 t12
t21 t22
| {z }
T
V2
−I2
Zincir-2 Matrisi:
V2
−I2
=
˜t11 ˜t12
˜t21 ˜t22
| {z }
T˜
V1
I1
+
_
+
_
I1(s)
V1(s)
I2(s)
V2(s)
+
_
+
_
I (s)
V (s)
I (s)
V (s)
3
3
4
4
Özkan Karabacak Devre ve Sistem Analizi
Resiprokluk Teoremi
˙Iki Kapılılar: Örnek
V1 V2
I2 I1
Vk
+
_ +
_
z2 z1
[
zz1121 zz1222]
Za +_
H2k =VV2
k gerilim transfer fonksiyonunu ve Za=VI1
1 empedans fonksiyonunu z1, z2ve iki kapılıların z parametreleri cinsinden bulunuz.
Cevap:
Za=z11−zz12z21
22+z2, H2k = (z z21z2
11+z1)(z22+z2)−z12z21
Resiprokluk Teoremi
˙Iki Kapılılar: Örnek
I1
V2 +
_ +_
I2
V1 +
_
[
yy1121 yy1222]
N +
_
V kV
y0
y0
Yukarıdaki iki kapılı için H = VV2
1 gerilim transfer fonksiyonunu bulunuz:
Cevap:VV2
1 = y −ky21
22+y0(2−k )
Özkan Karabacak Devre ve Sistem Analizi
Resiprokluk Teoremi
˙Iki Kapılılar: Paralel-Paralel Ba˘glantı
+
_ V1a
I1a
+
_
+
_ I
V
I
V +
_ I
V 2a
2a
1b
1b
2b
2b
N
N
a
b
+
_ I2
V2 I
+
_ V1
1
V1=V1a=V1b
I1=I1a+I1b
V2=V2a=V2b
I2=I2a+I2b
Resiprokluk Teoremi
˙Iki Kapılılar: Paralel-Seri Ba˘glantı
+
_ V1a
I1a
V2
+
_
+
_ I
V
I
V +
_ I
V 2a
2a
1b
1b
2b
2b
N
N
a
b
I2 I
+
_ V1
1
+
_
V1=V1a=V1b
I1=I1a+I1b
V2=V2a+V2b
I2=I2a=I2b
Özkan Karabacak Devre ve Sistem Analizi
Resiprokluk Teoremi
˙Iki Kapılılar: Seri-Paralel Ba˘glantı
I1a
V1
+
_
+
_ I
V
I
V +
_ I
V 2a
2a
1b
1b
2b
2b
N
N
a
b
+
_ I2
V2 I1
+
_ V1a +
_
V1=V1a+V1b
I1=I1a=I1b
V2=V2a=V2b
I2=I2a+I2b
Resiprokluk Teoremi
˙Iki Kapılılar: Seri-Seri Ba˘glantı
I1a
V2 V1
+
_
+
_ I
V
I
V +
_ I
V 2a
2a
1b
1b
2b
2b
N
N
a
b
I2 I1
+
_ V1a +
_
+
_
V1=V1a+V1b
I1=I1a=I1b
V2=V2a+V2b
I2=I2a=I2b
Özkan Karabacak Devre ve Sistem Analizi
Resiprokluk Teoremi
˙Iki Kapılılar: Kaskad Ba˘glantı
N1
+
_ V2 +
_ I
V1
+
_ I
V
−I +
_
V3 N3 4
N2
−I2 3 4
1
V1
I1
=T1 V2
−I2
=T1T2 V3
−I3
=T1T2T3 V4
−I4
V1
I1
=T1T2T3
| {z }
T
V4
−I4
Resiprokluk Teoremi
˙Iki Kapılılar: Resiprokluk Teoremi
Tanım (Resiprok iki kapılı)
SSH’de incelenen (yani ilk ko¸sullar sıfır) lineer ve zamanla de ˘gi¸smeyen bir devre yalnızca direnç, kapasite, endüktans iki uçlularını ve ortak endüktans, ideal transformatör iki kapılılarını içeriyorsa, devreye resiprok devre denir.
Teorem (Resiprokluk Teoremi)
Resiprok bir iki kapılının devre parametreleri a¸sa ˘gıdaki ko¸sulları sa ˘glar:
z12=z21 h12= −h21
y12=y21 h˜12= ˜h21
det(T ) = det( ˜T ) = 1 Zaman tanım bölgesindeki anlamı nedir?
Özkan Karabacak Devre ve Sistem Analizi
