KRİSTAL YAPILARI VE KRİSTAL GEOMETRİSİ

KRİSTAL YAPILARI VE

KRİSTAL GEOMETRİSİ Katı Kristaller

zekeriyadogan@hotmail.com INS211

BRAVAİS KAFES YAPILARI

Uzay kafeslerinin kristal sistemlerine göre sınıflandırılması: Bravais, doğadaki 7 kristal sistemine ait toplam 14 farklı tipte nokta kafesi (Bravais kafesi) bulunduğunu ortaya koymuştur.

 Kübik

 Tetragonal

 Ortorombik

 Rombohedral

 Hekzagonal

Her kafes sisteminin kendi içinde basit atom dizilimi , hacim merkezli atom dizilimi, yüzey merkezli atom dizilimi ve taban merkezli atom dizilimi çeşitleri olabilir.

KAFES PARAMETRELERİ

Birim hücre geometrisi, kenar uzunlukları a, b, c ve iç açıları α, β, γ dan oluşan 6 parametre yardımıyla tanımlanır.

KÜBİK O _h

TETRAGONAL D _4h

ORTOROMBİK D _2h

ROMBOHEDRAL D _3d

HEKZAGONAL D _6h

MONOKLİNİK C _2h

TRİKLİNİK C _İ

METALLERDE KRİSTAL KAFES YAPILARI

Yapı Malzemesi olarak kullanılan metallerin kristal yapıları daha çok kübik ve hekzagonal sisteme uymaktadır.

HACİM MERKEZLİ KÜBİK

Küpün her köşesinde birer atom ve merkezinde de bir atom bulunur ve köşe atomları merkez atoma teğettir.

ATOM ÇAPI – KAFES BAĞINTISI

Atom yarı çapı R ve kristal kafes köşegen uzunluğu arasında

4R = 3𝑎

Bağıntısı vardır. Buradan hücrenin bir kenarı yarı çap cinsinden

𝑎 = ^4𝑅

3 olarak ifade edilir.

HÜCREDEKİ ATOM SAYISI

Gerçekte her köşedeki atom 8 komşu birim hücre arasında paylaşılmaktadır. Bir köşede her birim hücreye ancak 1/8 lik bir dilim düşer. Bu durumda köşe atomlarının toplamı 8 X 1/8 = 1 dir. Küpün merkezinde bulunan bir tam atomla birlikte birim hücredeki toplam atom sayısı 2 olur.

8 × 1

8 + 1 = 2

ATOMİK DOLGU FAKTÖRÜ (ADF)

Atomların diziliş sıklığını ifade etmek için atomik dolgu faktörü (ADF) kullanılır. Bu faktör atomların dolu küreler olduğu varsayılarak bulunan birim hücredeki atomların toplam hacmini birim hücre hacmine bölerek elde edilir.

Buna göre (HMK) nın atomik dolgu faktörü:

𝐴𝐷𝐹 =

ℎü𝑐𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑚𝑖

=

4

3𝜋𝑅³

𝑎³

=

4

3𝜋𝑅³

(4𝑅Τ 3)³

= 0,68

YÜZEY MERKEZLİ KÜBİK

Hacim merkezli kübik yapıdan farklı olarak bu sefer atomlar hücrenin 6 yüzeyinde ve 8 köşesinde bulunmaktadır. Bağıntı sayını (koordinasyon sayısı) 12 dir.

ATOM ÇAPI – KAFES BAĞINTISI

Atom yarı çapı ve kristal kafes kenar uzunluğu arasında

4R = 2𝑎

Bağıntısı vardır. Buradan hücrenin bir kenarı:

𝑎 = ^4𝑅

2 elde edilir.

HÜCREDEKİ ATOM SAYISI

Köşelerdeki ve yüzeylerin merkezindeki atomlar diyagonal boyunca birbirleriyle temas halindedirler. Bu tür yapıda her köşedeki atom 8 ayrı hücre tarafından paylaşılır. Yüzeylerdeki atomlar ise 2 ayrı hücre ile paylaşılırlar. Böylece her hücrede 4 atom bulunmuş olur

8 × 1

8 + 6 × 1

2 = 4

ATOMİK DOLGU FAKTÖRÜ (ADF)

Yüzey merkezli kübik yapılarda atomik dolgu faktörü (atomik paketleme):

𝐴𝐷𝐹 =

𝑏𝑖𝑟𝑖𝑚 ℎü𝑐𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑚𝑖

=

4

3𝜋𝑅³

𝑎³

=

4

3𝜋𝑅³

(4𝑅Τ 2)³

= 0,74

Buna göre (HMK) de hacmin %74 i dolu

SIKI DİZİLMİŞ HEKZAGONAL

Hekzagonal yapı içerisinde (altıgen prizma) 12 köşesinde birer atom, alt ve üst yüzey merkezlerinde 2 ve hücre hacminde 3 atom bulunmaktadır.

SDH KAFES YÜKSEKLİĞİNİN BULUNMASI

SDH KAFES YÜKSEKLİĞİNİN BULUNMASI

Mavi üçgenin uzun dik kenarı kristal kafes yüksekliğinin yarısı kadardır.

Hesaplanmaya çalışılan değer c nin R cinsinden karşılığıdır.

SDH KAFES YÜKSEKLİĞİNİN BULUNMASI

Kırmızı üçgen için:

𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎 = 𝑅

𝑥 = 𝟑

𝟐 𝑥 = 2𝑅 3 𝑐

2

2

+ 2𝑅 3

2

= (2𝑅)² 𝑐²

4 +4𝑅²

3 = 4𝑅² 𝑐²

4 = 12𝑅²

3 − 4𝑅² 3 𝑐²

= 8𝑅²

ATOM ÇAPI – KAFES BAĞINTISI

Kristal kenar uzunlukları ve atom yarıçapları arasında:

a=2R ve 𝑐 = 2 × ⁸

3𝑅 bağıntıları vardır.

HÜCREDEKİ ATOM SAYISI

12 × 1

+ 2 × 1

+ 3 = 𝟔

Yapının her köşesinde 6 hücre ile paylaşılan atomlar vardır. Taban ve tabanda yarımşar 2 atom ve merkezde komşu 3 hücreye taşan 3 atom bulunur. Bu taşma payı diğer kafeslerin 3 tanesinden yine bu hücrenin boşluklarına girer.

ATOMİK DOLGU FAKTÖRÜ (ADF)

Yüzey merkezli kübik yapılarda atomik dolgu faktörü:

𝐴𝐷𝐹 =

ℎü𝑐𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑚𝑖

=

4

3𝜋𝑅³

3 3𝑎2

2 ×𝑐

=

4

3𝜋𝑅³

3 3(2𝑅)2

2 ×2× ⁸

3𝑅

= 0,74

Buna göre (HMK) de hacmin %74 i dolu, %26 i boştur.

Sıkı Dizilmiş Hekzagonal yapının paketleme faktörü YMK yapı ile aynıdır.

BİRİM HÜCREDE ATOM YERLERİ, KRİSTAL ÇİZGİ DÜZLEMLERİ VE YÖNLERİ

(hücrede,atom,yerleri) parantez içinde virgülle ayrılmış (kesirli olabilir) [birim hücrede yön] köşeli parantez (tam sayı yapılır)

(birim hücrede düzlem) parantez (tersi alınır)

˂yönsel aile gösterimleri˃ üçgen parantez {düzlemsel aile gösterimi} küme parantezi

KÜBİK BİRİM HÜCRELERDE ATOMLARIN YERLERİ

Kübik birim hücrelerde atom yerlerini belirlemek için birbirine dik x y z eksenlerinden yararlanılır. Atomların yer gösterimi (x,y,z) şeklindedir.

KÜBİK BİRİM HÜCRELERDE YÖNLER

Kübik birim hücrelerde yönlenmeleri belirlemek için yine x y z koordinat sisteminden yararlanılır. Orjinden verilen koordinat noktasına bir vektör düşünülür.

[xyz] şeklinde gösterilir, tam sayıya yuvarlanır.

UYGULANACAK YÖNTEM

 Koordinat sistemini kullanarak doğrunun başlangıç ve bitiş koordinatlarını belirlenir Bitiş nokta koordinatlarından başlangıç nokta koordinatları çıkarılır.

 Çıkartma işlemi dışında doğrultu orjine taşınmış gibi düşünülebilir.

 Kesirli değerler tüm koordinat değerleri tam sayı haline gelecek şekilde düzenlenir.

 Köşeli parantezleri kullanarak doğrultu düzgün şekilde gösterilir.

 Negatif işaretler varsa sayıların üstüne aksan şeklinde yerleştirilir.

1 1

2 0 → 210 Tam sayıya yuvarlanır.

ത66ത1

ത11 ത1

6 → ത66ത1

Tam sayıya yuvarlanır.

YÖN AİLELERİ

Atomlar arası uzaklıkları aynı olan yönler bir aile olarak sınıflandırılır. Kübik kafeslerde kenar boyları, yüzey köşegenleri ve hacim köşegenleri yön aileleridir.

Kenar ailesi 100 = 100 , 010 , 001 ; ത100 , [0ത10] , [00ത1]

Hacim köşegen ailesi 111 = 111 , ത111 , 1ത11 , ത1ത11 ; 11ത1 , ത11ത1 , 1ത1ത1 , [ത1ത1ത1]

Yüzey köşegen ailesi 110 = 110 , ത110 , ത1ത10 , 1ത10 ; 101 , ത101 , ത10ത1 , 10ത1 ; 011 , 01ത1 , 0ത1ത1 , 0ത11

KRİSTALÇİZGİ DÜZLEMLERİ İÇİN

MİLLER İŞARETLERİ VE DÜZLEMLER

Birim hücredeki düzlemlerin kodlanmasında;

düzlemin eksenler hangi noktalarda kestiği bulunur. Kesim noktaları 1 e bölünmüş olarak yazılır. Bu gösterim miller işareti olarak adlandırılır.

x eksenini kestiği nokta ꚙ y eksenini kestiği nokta ꚙ

z eksenini kestiği nokta 1

Miller Gösterimi

1

∞ 1

∞ 1

1 = 001

(010)

(100)

(110)

BİRİM HÜCREDE DÜZLEM DETAYI

Miller işaretleri düzlemleri tanımlarken ekseni kestiği noktaları tersi olarak yazar. Yani değerin bire bölünmüş halidir. Bu detay kafesi ara yerlerden kesen düzlemler için atlanmamalıdır.

(020)

(120)

(221)

MİLLER İŞERETLERİNDE NEGATİF

Miller işaretlerinde negatif değerler yön belirtir ve ilgili karakterin üstüne konulan eksi işaretle gösterilir.

xതyx

DÜZLEMLERİN VE DÜZLEMLERİ GÖSTEREN MİLLER İNDİSLERİNİN KULLANIMINDA DİKKAT EDİLECEK NOTLAR

1. Düzlemler ve negatifleri aynıdır. Bu özellik doğrultularda bu şekilde değildir.

020 = 0ത20

2. Düzlemler ve düzlemlerin onların katları aynı düzlemi göstermezler.

100 ≠ 200

3. Kübik sistemlerde birbirine dik olan düzlem ve doğrultular aynı indislere sahiptirler.

[100] ⊥ (100)

DÜZLEM AİLELERİ

Kristal örgüde aynı özellikleri taşıyan düzlemler aile olarak sınıflandırılır.

Yüzey düzlem ailesi 100 = 100 010 001

Köşegen düzlem ailesi 110 = 110 101 011 110^ത 101 0^ത 11^ത Diagonal aile 111 = 111 ത111 1ത11 11ത1

HEKZAGONAL BİRİM HÜCREDE YÖNLER

a

a₂ a₃

i h

k

[11ത20]

[0001]

[1ത100]

Hekzagonal kristal örgü için 4 parametreli Miller Bravais koordinat sistemi 3 lü koordinat sisteminden türetilebilir.

ư𝑢 ư𝑣 ư𝑤 → 𝑢𝑣𝑡𝑤 𝑢 = 1

3 2 ư𝑢 − ư𝑣 𝑣 = 1

3 2 ư𝑣 − ư𝑢 𝑡 = − 𝑢 + 𝑣

𝑤 = ư𝑤

HEKZAGONAL BİRİM HÜCREDE DÜZLEMLER (hkil)

Hekzagonal kristal örgüde düzlemler Miler Bravais Gösterimi için (a₁a₂a₃z) koordinat sistemi kullanılır. Eksenlerin kesişim noktaları 0 kabul edilir ve öncesi için negatif değer kabul edilir.

0001

10ത10

0ത110

ത1100

2ത201

HACİMSEL YOĞUNLUK

Birim hücrenin yoğunluğu hücredeki atomların ağırlığının hücre hacmine bölümüdür. Zaten yoğunluğun tanımı da birim hacim ağırlığıdır.

ℎ𝑎𝑐𝑖𝑚𝑠𝑒𝑙 𝑦𝑜ğ𝑢𝑛𝑙𝑢𝑘 = 𝑏𝑖𝑟𝑖𝑚 ℎü𝑐𝑟𝑒 𝑘ü𝑡𝑙𝑒𝑠𝑖

𝑏𝑖𝑟𝑖𝑚 ℎü𝑐𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑚𝑖 = ℎü𝑐𝑟𝑒𝑑𝑒𝑘𝑖 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑙𝑎𝑟𝚤𝑛 𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 𝑎ğ𝚤𝑟𝑙𝚤ğ𝚤 𝑏𝑖𝑟𝑖𝑚 ℎü𝑐𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑚𝑖

DÜZLEMSEL ATOM YOĞUNLUĞU

Seçilen bir düzlemde düzlemi kesen atom merkezleri sayısıdır.

𝑑ü𝑧𝑙𝑒𝑚𝑠𝑒𝑙 𝑎𝑡𝑜𝑚 𝑦𝑜ğ𝑢𝑛𝑙𝑢ğ𝑢 = 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑙𝑎𝑟𝚤𝑛 𝑘𝑎𝑝𝑙𝑎𝑑𝚤ğ𝚤 𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑠𝑒ç𝑖𝑙𝑒𝑛 𝑑ü𝑧𝑙𝑒𝑚 𝑎𝑙𝑎𝑛𝚤

DOĞRUSAL ATOM YOĞUNLUĞU

𝜌

=

İZOTROPİK VE ANİZOTROPİK YAPILAR

Bazı malzemelerin tek kristallerinde fiziksel özellikler, ölçümün gerçekleştirildiği kristal doğrultulara göre değişir.

Örneğin, elastiklik modülü, elektrik iletkenliği ve kırınım indeksi farklı doğrultularında farklı değerler alabilir. Özelliklerin bu şekilde yöne bağlı olması anizotropi olarak adlandırılır ve kristal doğrultularda atom veya iyon dizilişlerinin (atom ya da iyonlar arası mesafenin) farklı olmasından kaynaklanır.

Özelliklerin yönden bağımsız olduğu, her yöne mekanik, fiziksel, termal ve elektriksel özelliklerin aynı olduğu malzemeler izotropik olarak adlandırılır.

Aşağıdaki tabloda bazı anizotropik metallerin farklı düzlemlerdeki elastik modülleri görülebilir.

Metal [100] [110] [111]

Alüminyum 63,7 GPa 72,6 Gpa 76,1 GPa

Bakır 66,7 GPa 130,3 GPa 191,1 GPa

Demir 125,0 GPa 210,5 GPa 272,7 GPa

ALLOTROPİK DEĞİŞİM

Isı ve basıncın etkisiyle bazı cisimlerin kristal yapılarında değişimler olabilir. Örneğin, demirin 0 - 910°C de hacim merkezli kübik kristal yapısı var iken, 910°C - 1400°C arasında kristal yapısı yüzey merkezli kübik olur. Bu tip kristal yapı değişimine allotropik değişim denir.

ÖRNEK HESAPLAMALAR

Bakırın kristal yapı yoğunluğunu hesaplayın. YMK; atom yarıçapı: 0,1277nm; Ma:

63,5460g/mol

𝜌 = ℎü𝑐𝑟𝑒𝑑𝑒𝑘𝑖 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑙𝑎𝑟ı𝑛 𝑘ü𝑡𝑙𝑒𝑠𝑖

ℎü𝑐𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑚𝑖 = 𝑎𝑡𝑜𝑚 𝑠𝑎𝑦ı𝑠ı ×𝑏𝑖𝑟 𝑎𝑡𝑜𝑚 𝑎ğı𝑟𝑙ığı

ℎü𝑐𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑚𝑖 = 𝑛 × 𝑚

𝑉_𝑘 = 𝑛× 𝑀_𝑎ൗ 𝑁 𝑎³

𝜌 =

4 × 63,5460ൗ

𝑎𝑣𝑎𝑔𝑎𝑑𝑟𝑜 4𝑅

2

3 = 4× 63,5460

4 × 16𝑅³

2 2 ×6,021 × 10²³

𝜌 = 4 ×63,5460

4 × 16 0,1277 ³

2 2 ×6,021 × 10²³

= 254,1840

64 × 2,1 × 10⁻³

2 2 × 6,021 × 10²³

Molibden için kristal yapı yoğunluk hesabı yapınız. HMK, 95,95 g/mol, atom yarıçapı 139pm

𝜌 = ℎü𝑐𝑟𝑒𝑑𝑒𝑘𝑖 𝑎𝑡𝑜𝑚 𝑠𝑎𝑦ı𝑠ı ×𝑏𝑖𝑟 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑢𝑛 𝑎ğı𝑟𝑙ığı

ℎü𝑐𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑚𝑖 = 𝑛 × 𝑚

𝑉_𝑘ü𝑝 =

𝑛× 𝑀𝑎ൗ

𝑎𝑣𝑎𝑔𝑎𝑑𝑟𝑜 𝑎³

𝜌 =

2 × 95,95ൗ

6,021 × 10²³ 4𝑅

3

3 =

2 × 95,95ൗ

6,021 × 10²³ 16 × 4𝑅³

3 3

𝜌 =

191,9ൗ

6,021 × 10²³ 16 × 4 0,139 ³

3 3

=

191,9 6,021 × 10²³

16 × 4 × 2,6856 × 10⁻³ 3 3

𝜌 = 191,9 × 3 3

64 × 2,6856 × 6,023 × 10²⁰ = 997,1416

1035,2236 × 10²⁰ = 0,96321 × 10⁻²⁰𝑔 𝑛𝑚Τ ³ 𝜌 = 0,96321 × 10⁻²⁰ × 10^{7 3} = 9,6321𝑔/𝑐𝑚³

Saf demir 912°C de ısıtılırken HMK yapıdan YMK e çok yapılı bir değişim geçirmektedir. 912°C de HMK birim hücresi a=0,293nm, YMK birim hücresi ise a=0,363nm dir. HMK den YMK kristal yapısına geçişte meydana gelen hacim değişimini hesaplayın. Özkütlesi azalır mı artar mı yorumlayın.

HMK YMK

a=0,293 nm a=0,363 nm

V = a³ = 0,0251 nm³ V = a³ = 0,0478 nm³ 2 atom içeren yapı 4 atom içeren yapı

Yapıda oluşan allotropik değişim esnasında 2 adet HMK yapının atomları (2×2=4 atom) tekrar kristal düzen kurarak 1 adet YMK kafes yapısına bürünmüşlerdir (4 atom). Dolayısıyla hacimsel değişmeyi inceleyebilmek için 2 HMK kafes hacmi ile 1 YMK kafes hacmi kıyaslanmalıdır.

Hacim merkezli kübik yapı için (100) kesitinin düzlemsel atom yoğunluğunu bulun.

(100) Düzlemi yüzey düzlem ailesi mensubu bir düzlemdir. Yani kristal örgünün bir yüzeyindeki atom yoğunluğu hesaplanacaktır. Düzlem yüzeyde 4 çeyrek atomu kesmektedir.

𝜌 = 4 × 1

4 × 𝜋𝑅²

𝑎² = 𝜋𝑅² 4𝑅

3

2 = 𝜋𝑅² 16𝑅²

3

= 3𝜋

16 = 0,589

Yüzey merkezli kübik bir yapıda (111) düzlemi için yoğunluğu hesaplayınız.

sin 60 = ℎ

𝑎 2 = 3

2 𝑣𝑒 ℎ = 𝑎 3 2 2 𝐴 = 𝑎 2 × ℎ

2 = 𝑎 2 × 𝑎 3 2

2 × 2 = 𝑎 2 × 𝑎 3 2

4 = 2 3𝑎²

4 = 3𝑎² 2

𝐴 = 3 4𝑅/ 2 ²

2 = 3 × 16𝑅²

4 = 4 3𝑅²

Atom sayısı: 3 yarım + 3 tane 1/6 =2 atom ρ = 2𝜋𝑅²

= 𝜋

= 0,9069

SDH kafes örgüsünde (0001) düzlemi için düzlemsel atom yoğunluğunu hesaplayın.

Oluşan altıgen kesitte toplam 3 atom, kesitin alan hesabı için 6 eşkenar üçken sin 60 = ℎ

𝑎 = 3 2 ℎ = 𝑎 3

2 𝐴 = 6 × 𝑎 × ℎ

2 = 6 × 𝑎 × 𝑎 3

2 × 2 = 3 3𝑎² 2 𝑎 = 2𝑅

𝐴 = 3 3 2𝑅 ²

2 = 3 3 × 4𝑅²

2 = 6 3𝑅² 𝜌 = 3 × 𝜋𝑅²

6 3𝑅² = 𝜋

2 3 = 0,9069

HMK α demirinin (110) düzleminin ρ_p düzlemsel atom yoğunluğunu milimetreye düşen atom cinsinden hesaplayınız. α demirinin kafes sabitesi 0,278 nm dir.

Düzlemdeki atom sayısı: 1 tam atom + 4×1/4 atom = 2 atom 𝐷ü𝑧𝑙𝑒𝑚𝑖𝑛 𝑘𝑒𝑠𝑖𝑡 𝑎𝑙𝑎𝑛ı = 𝑎 × 𝑎 2 = 𝑎² 2

ρ = 2

2(0,278)² = 18,2989𝑎𝑡𝑜𝑚/𝑛𝑚² 1mm=1×10⁶nm yani 1mm²=1×10¹²nm²

YMK platinin [100] [110] [111] yönlerindeki çizgisel atom yoğunluğunu bulunuz.

𝑎 = 4𝑅 2

Yön Aile Boy Kaç atom Atom/Boy Atom/Boy Yoğunluk

[100] <100> a 2R 2R/a 2R/4R/ 2 2/2

[110] <110> 𝑎 2 2R+2R 4R/a 2 4R/ 2 ×4R/ 2 1

Bakır atom kafesinde 110 yönünde doğrusal atom yoğunluğunu milimetreye düşen atom cinsinden hesaplayın. YMK kafes sabiti 0,361 nm dir.

𝜌_𝑙 = 2 𝑎𝑡𝑜𝑚 ç𝑎𝑝ı

𝑎 2 = ²

0,361 2 = 3,92 𝑎𝑡𝑜𝑚/nm 3,92 × 10⁶ 𝑎𝑡𝑜𝑚/mm

4 𝑅

X IŞINIM DİFRAKSİYONU

Difraksiyon x ışınları veya elektronların malzeme ile etkileşimidir.

Yansıyan/difraksiyona uğrayan ışın yararlı bilgiler içerir.

Bragg kanunu Gönderilen X ışınının dalga boyu ile belirli bir düzlemler arası aralığa

sahip kristallografik düzlemlerden yansıyan ışının açısı arasındaki ilişkidir.

Difraktometrelerde hareketli x-ışını dedektörü açıları kaydederek karakteristik bir difraksiyon paterni oluşturulur.

KIRINIM

Girginlik ve sönümlenme olayı

X IŞINI KIRINIMI

X-ışınları A-A‘ ve B-B‘ atom düzlemleri tarafından kırılır

BRAGG KANUNU

nλ = 𝑑_ℎ𝑘𝑙 sin 𝜃 + 𝑑_ℎ𝑘𝑙 sin 𝜃 nλ = 2𝑑_ℎ𝑘𝑙 sin 𝜃

Bragg Kanunu x-ışını, dalga boyu ve atomlar arası mesafeyi, kırınan ışının açısıyla ilişkilendiren denklemdir.

Denklemin mantığı yansıyan x-ray ışığının girginlik ve sönümleme gerçekleştirmeden dedektörde algılanabilmesi için [SQ]+[QT] mesafesinin dalgaboyunun katı olması gerekmektedir.

KAFES SABİTESİ

𝑑_ℎ𝑘𝑙 = 𝑎

ℎ² + 𝑘² + 𝑙²

Kafes sabiti bir örgü sisteminde birim hücrenin bir kenarının uzunluğudur. Düzlemler arası mesafelerle kafes sabitesi arasında bir bağıntı kurulabilir. İndisleri h, k ve l olan düzlem için düzlemler arası mesafe:

EK BİLGİ

Yağmurlu zemindeki benzin kalıntısı ve gökkuşağı…

reflection ve refraction olayı (yansıma ve kırılma)

X-ışınlarının kullanım sebebi Bragg yasasının sağlanması için kullanılan fotonların dalga boyunun atomlar arası uzaklıklara yakın olması gerekliliğidir. (0,5-2,5 Å)

HMK demirden bir numune λ=0,1514 nm dalga boyunda x-ışınları kullanan bir x-ışını kırınım ölçerine yerleştirilmiştir. {110} düzleminden kırınım 2θ=44,704° elde edilmiştir. HMK demirin a kafes sabitesini hesaplayın. (birinci basamak kırınım olduğunu kabul ediniz n=1)

2𝜃 = 44,704° 𝑣𝑒 𝜃 = 22,35°

𝑑₁₁₀ = 1 × 𝜆

2 sin 𝜃 = 0,1541𝑛𝑚

2(sin 22,35) = 0,1541

2 × 0,3803 = 0,2026𝑛𝑚 𝑑₁₁₀ = 𝑎

ℎ² +𝑘² +𝑙² 𝑎 = 𝑑₁₁₀ 1² +1² +0²

𝑎 = 0,2026𝑛𝑚 × 1,414 = 0,287𝑛𝑚

Bilinmeyen dalgaboylu x-ışınları nikel numunesi üzerinde kırınıma uğramaktadır. 2θ açısı {220} düzlemleri için 102,072° dir. Kullanılan x-ışınlarının dalgaboyu nedir. (Nikelin kafes sabitesi 0,352236nm ve n=1)

𝑑₂₂₀ = 𝑎

ℎ² +𝑘² +𝑙² = 0,352236

2² +2² +0² = 0,124534𝑛𝑚 2𝜃 = 102,072 𝑣𝑒 𝜃 = 51,036

𝑛𝜆 = 𝑑₂₂₀2 sin 𝜃 𝜆 = 2 sin 51,036 × 𝑑₂₂₀ 𝜆 = 2 × 0,77754 × 0,124534

HMK yapılar miller işaret değerler toplamı çift sayı olan düzlemler üzerinden kırınım yaparlar.

{110} {200} {211} gibi

YMK yapılarda ise temel kırınım düzlemlerinin miller işaretleri ya tamamı çift ya tamamı tektir.

{111} {200} {220} gibi

DENEYSEL VERİLERİN YORUMLANMASI

𝑑_ℎ𝑘𝑙 = ^𝑎

ℎ²+𝑘²+𝑙²

λ = 2𝑑_ℎ𝑘𝑙 sin 𝜃

λ = ^{2𝑎sin 𝜃}

ℎ²+𝑘²+𝑙²

sin 𝜃 = ^{λ ℎ2+𝑘2+𝑙2}

2𝑎

d: miler işaretlerinin belirttiği en yakın 2 düzlem arası mesafe

a: kafes sabitesi

h, k, l: ilgili kafesin miller işaretleri λ: dalga boyu

DENEYSEL VERİLERİN YORUMLANMASI

HMK yapı için temel kırınım düzlemlerinin ilk iki takımı {100} {200} düzlemleridir. Bu düzlemlerin miller işaretlerinin eşitlikte yerine konmasıyla 0,5 değeri elde edilir.

YMK yapı için temel kırınım düzlemlerinin ilk iki takımı {111} {200} düzlemleridir. Bu düzlemlerin miller işaretlerinin eşitlikte yerine konmasıyla 0,75 değeri elde edilir.

sin 𝜃 = λ ℎ² + 𝑘² + 𝑙² 2𝑎

𝑠𝑖𝑛² 𝜃 = λ² ℎ² + 𝑘² + 𝑙² 4𝑎²

𝑠𝑖𝑛² 𝜃₁

𝑠𝑖𝑛² 𝜃₂ = ℎ₁² + 𝑘₁² + 𝑙₁² ℎ₂² + 𝑘₂² + 𝑙₂²

DENEYSEL VERİLERİN YORUMLANMASI

𝑠𝑖𝑛² 𝜃₁

𝑠𝑖𝑛² 𝜃₂ = ℎ₁² + 𝑘₁² + 𝑙₁² ℎ₂² + 𝑘₂² + 𝑙₂²

𝑠𝑖𝑛² 𝜃₁

𝑠𝑖𝑛² 𝜃₂ = 1² + 1² + 1²

2² + 0² + 0² = 0,75

YMK için edinilecek eğer 𝑠𝑖𝑛² 𝜃₁

𝑠𝑖𝑛² 𝜃₂ = ℎ₁² + 𝑘₁² + 𝑙₁² ℎ₂² + 𝑘₂² + 𝑙₂² 𝑠𝑖𝑛² 𝜃₁

𝑠𝑖𝑛² 𝜃₂ = 1² + 1² + 0²

2² + 0² + 0² = 0,5 HMK için edinilecek eğer

DENEYSEL VERİLERİN YORUMLANMASI

kübik düzlemler

{hkl} ^h

2+k²+l² Σ(h²+k²+l²) Kırınım olan düzlemler

YMK HMK

{100} 1²+0²+0² 1

{110} 1²+1²+0² 2 … 110

{111} 1²+1²+1² 3 111

{200} 2²+0²+0² 4 200 200

{210} 2²+1²+0² 5

{211} 2²+1²+1² 6 … 211

… 7

{220} 2²+2²+0² 8 220 220

{221} 2²+2²+1² 9

{310} 3²+1²+0² 10 … 310

HMK mi YMK mi olduğu bilinmeyen bir kristal yapısına sahip elementin x-ışınları kırınım ölçüm sonuçları 2θ: 40 58 73 86,8 100,4 kübik yapıyı belirleyiniz.

𝑠𝑖𝑛² 𝜃₁

𝑠𝑖𝑛² 𝜃₂ = 0,117

0,235 = 0,498 ≅ 0,5 Kristal yapı HMK

2θ θ sinθ sin²θ

40 20 0,3420 0,1170

58 29 0,4848 0,2350

73 36,5 0,5948 0,3538

86,8 43,4 0,6871 0,4721

100,4 50,2 0,7683 0,5903