Monopol antenli uçaklarda alan örüntüsünün ve kuplajın kırınımın düzgün teorisi (UTD) ile bulunması

MONOPOL ANTENLİ UÇAKLARDA ALAN

ÖRÜNTÜSÜNÜN VE KUPLAJIN KIRINIMIN

DÜZGÜN TEORİSİ (UTD) İLE BULUNMASI

DOKTORA TEZİ

Elektrik-Elektronik Müh. Ali DAĞDEVİREN

Enstitü Anabilim Dalı : ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜH.

Enstitü Bilim Dalı : ELEKTRONİK MÜH.

Tez Danışmanı : Prof. Dr. Osman Çerezci

Ağustos 2006

MONOPOL ANTENLİ UÇAKLARDA ALAN

ÖRÜNTÜSÜNÜN VE KUPLAJIN KIRINIMIN

DÜZGÜN TEORİSİ (UTD) İLE BULUNMASI

DOKTORA TEZİ

Elektrik-Elektronik Müh. Ali DAĞDEVİREN

Enstitü Anabilim Dalı : ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜH.

Enstitü Bilim Dalı : ELEKTRONİK MÜH.

Bu tez 03 / 08 /2006 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Oybirliği ile kabul edilmiştir.

Prof. Dr.

Osman ÇEREZCİ

Prof Dr.

Abdullah FERİKOĞLU

Prof Dr.

Etem KÖKLÜKAYA

Jüri Başkanı Üye Üye

Y.Doç.Dr. Ahmet ÖZMEN Yrd. Doç. Dr. Şükrü ÖZEN

Üye Üye

ii

Bu tez çalışmamda başta tez danışmanım Prof. Dr. Osman Çerezci olmak üzere, verdikleri derslerle beni destekleyen Prof. Dr. Niyazı Arı’ya ve Dr. Ahmet Teşneli’ye teşekkür ederim.

Tez çalışma aşamasında kıymetli tavsiyelerini esirgemeyen Dr. Fatih Üstüner’e, Dr.

Bahattin Türetken’e ve Dr. Nazlı Candan’a teşekkür ederim.

Ölçümler esnasındaki değerli çalışmalarından dolayı Ekrem Demirel’e ve Ersan Baran’a, modelin hazırlanmasında emeği geçen Emre Aydemir’e, Muharrem Demirbaş’a ve Sefa Ogan’a teşekkür ederim.

Tez çalışmam esnasında bana desteğini esirgemeyen eşim Sümeyye Dağdeviren’e teşekkür ederim.

iii

TEŞEKKÜR... ii

İÇİNDEKİLER... iii

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ... vi

ŞEKİLLER LİSTESİ... viii

TABLOLAR LİSTESİ... xi

ÖZET... xii

SUMMARY... xiiii

BÖLÜM 1. GİRİŞ... 1

BÖLÜM 2. ANALİTİK TEMELLER …………... 4

2.1. Kırınımın Düzgün Teorisine Giriş ve Özellikler... 4

2.1.1. Geometrik optik ışınlarının yörüngesi……... 5

2.1.2. Geometrik optik ışınlarının polarizasyonu...…... 6

2.1.3. Geometrik optik ışınlarının faz değişimi... 6

2.1.4. Geometrik optik ışınlarının genlik değişimi... 6

2.2. Dipol Antenden Çıkan Işınların Oluşturduğu Elektrik Alan…... 7

2.3. Açık Sınırlı Ortamlarda Toplam Alan ve Saçıcı Etkisi... 9

2.4. Düzlem Plakada ve Silindirde Yansıma... 10

2.4.1. Düzlem plakada yansıma... 10

2.4.2.Silindirik ylakada yansıma... 11

2.5. Kırınım ve Kırınımın Düzgün Teorisi... 12

2.6. Dışbükey Geometrilerde Yüzey Kırınımı... 15

2.7.Uçağın Modellenmesi ve Uçakta Saçılma Problemi... 18

iv BÖLÜM 3.

MİNİMUM KUPLAJ ve ANTEN YERLEŞİMİ... 27

3.1.Silindire Monte Bir Antenin Silindir Üzerindeki Herhangi Bir Noktada Oluşturduğu Elektrik Alan... 27 3.2. Kaynak Anten Alıcı Anten Eşdeğer Devresinde Kuplaj İfadesinin Bulunması... 32 3.3. Monopol Anten Eşdeğer Devresinde Açık Devre Geriliminin Bulunması... 34 3.4.Monopol Antenin Giriş Empedansının Bulunması... 35

3.5. Silindire Monte Edilmiş Alıcı ve Verici Anten Arasındaki Kuplaj İfadesinin Bulunması ... 38 3.6.Silindir Üzerinde Minimum Kuplaj ve Anten Yerleşimi... 44

BÖLÜM 4. SAYISAL MODELLER... 46

4.1. MoM Metodu ve MoM Modeli... 46

4.2. UTD Metodu... 49

4.3. MoM/UTD Melez Metodu... 51

4.4.Kuplaj Hesaplama Yöntemi... 53

BÖLÜM 5. ÖLÇÜMLER... 57

5.1.Ölçüm Düzeneği... 58

5.2.Ölçüm Prosedürü... 60

BÖLÜM 6. SONUÇLAR... 62

BÖLÜM 7. TARTIŞMA VE ÖNERİLER... 69

v

EK A – Kırınım Katsayıları Hesaplayan Matlab Kodu ... 77 EK B – Fock Kuplaj Fonksiyonları... 79 EK C – Fock Kuplaj Fonksiyonlarını Hesaplayan Matlab kodu... 82 EK D – Silindir Üzerindeki Antenlerin Kuplajını Hesaplayan Matlab

Kodu... 83 EK E – Silindir Üzerindeki Minimum Kuplaj ve Optimum Anten Yeri

Hesaplayan Matlab Kodu... 86

ÖZGEÇMİŞ... 89

vi

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ

c : Işık hızı

C : Kuplaj

Ci : Kosinüs integrali Cmax : Maksimum kuplaj dpe : Elektrik akım momenti D : Kırınım katsayısı E : Elektrik alan

f : frekans

F : Geçiş fonksiyonu

GTD : Geometrical Theory of Diffraction (Kırınımın Geometrik Teorisi)

h : Monopol antenin uzunluğu H : Manyetik alan

I : Akım

Ig : Kaynağın ürettiği akım k : Dalga sayısı

K : Büyüklük parametresi L : Uzaklık parametreleri le : Vektör efektif uzunluğu

ML : Mismatch Loss (Uyumsuzluk kaybı) MoM : Moment metodu

Pg : Kaynağın iç direncinde harcanan güç miktarı Pin : Antene aktarılan güç miktarı

PL : Alıcıya aktarılan güç miktarı Prad : Toplam ışıyan güç miktarı

Ps : Kaynağın harcadığı toplam güç miktarı

r : Uzaklık

vii RL : Alıcının direnci

Rr : Işınım direnci Sxy : S parametreleri Si : Sinüs integrali

t : Silindir üzerinde katedilen mesafe T : Yüzey kırınım katsayısı

U(ξ) : Fock kuplaj fonksiyonu

UTD : Uniform Theory of Diffraction (Kırınımın Düzgün Teorisi) Vg : Kaynak gerilimi

Voc : Açık devre gerilimi

VSWR Voltage Standing Wave Ratio (Duran dalga oranı) Wav : Ortalama Poynting vektörü

Xr : Işınım reaktansı

Y : admitans

Zin : Antenin terminallerindeki eşdeğer empedans Zmn : MoM matris elemanı

λ : Dalga boyu

ψ : Faz fonksiyonu ρ : Eğiklik yarıçapı η : Ortam empedansı

∆ : Segman uzunluğu

Γ : Yansıma katsayısı θ : Elevasyon açısı

φ : Azimut açısı

ε : Dielektrik sabiti µ : Manyetik geçirgenlik

ω : Açısal hız

viii ŞEKİLLER LİSTESİ

Şekil 2.1. Bir hertz dipolü... 7

Şekil 2.2. Bir dipolden çıkan ışınların açıya göre genlik değişimleri... 8

Şekil 2.3. Bir dipolden çıkan ışınların uzaklığa göre genlik değişimleri... 9 Şekil 2.4. Toplam alana saçıcı etkisi ... 9

Şekil 2.5. Metalik düzlemde yansıma... 10

Şekil 2.6. Silindir plakada yansıma... 11

Şekil 2.7. Düzgün kamada kırınım... 12

Şekil 2.8. Düzgün kamada dik kırınım... 13

Şekil 2.9. Genel bir kama geometrisinde kırınım... 13

Şekil 2.10. Yüzeye teğet gelen ışın sürünerek enerji kaybeder... 16

Şekil 2.11. Yüzeye teğet gelen ışınların uzak alanda oluşturduğu alan. 16 Şekil 2.12. Silindirin monopol antenin ışımasına etkisi... 18

Şekil 2.13. Bir F-4 savaş uçağı... 19

Şekil 2.14. Bir F-4 savaş uçağı kanonik modeli... 20

Şekil 2.15. Bir antenin F-4 savaş uçağında ışıması... 20

Şekil 2.16. Silindir üzerine monte edilmiş monopol anten... 21

Şekil 2.17. Silindir üzerine monte edilmiş monopol antenin 3 boyutlu ışıma örüntüsü... 22 Şekil 2.18. Silindir üzerine monte edilmiş monopol antenin xz düzlemindeki ışıma örüntüsü... 22 Şekil 2.19 Silindir üzerine monte edilmiş monopol antenin yz düzlemindeki ışıma örüntüsü... 23 Şekil 2.20 Metal düzlem üzerine monte edilmiş alıcı ve verici antenler 23 Şekil 2.21. Düzlem plaka üzerine yerleştirilmiş monopol anten... 24 Şekil 2.22. Düzlem plaka üzerine yerleştirilmiş monopol antenin 3

boyutlu ışıma örüntüsü...

25

ix

Şekil 2.24. Kare düzlem plaka üzerine yerleştirilmiş monopol antenin 3 boyutlu ışıma örüntüsü...

26

Şekil 2.25. Kare düzlem plaka üzerindeki monopol antenin xz

düzlemindeki ışıma örüntüsü...

26

Şekil 3.1. Bir silindir üzerinde ilerleyen bir ışın... 28

Şekil 3.2. Açık silindir... 28

Şekil 3.3. Kaynak-anten eşdeğer devresi... 32

Şekil 3.4. Yük-anten eşdeğer devresi... 33

Şekil 3.5. Silindirik gövdeye yerleştirilmiş alıcı ve verici antenler... 38

Şekil 3.6. 225 MHz’de β=π/3 için alıcı ve verici antenler arasındaki kuplaj... 41 Şekil 3.7. 300 MHz’de β=π/3 için alıcı ve verici antenler arasındaki kuplaj... 42 Şekil 3.8. 400 MHz’de β=π/3 için alıcı ve verici antenler arasındaki kuplaj... 42 Şekil 3.9. 300 MHz’de φ=π için alıcı ve verici antenler arasındaki kuplaj………. 43 Şekil 3.10 300 MHz’de z=0 için alıcı ve verici antenler arasındaki kuplaj……….. 43 Şekil 3.11. Silindirik gövdeye optimum anten yerleşim bölgeleri... 45

Şekil 4.1. MoM modeli... 47

Şekil 4.2. MoM modelinin yandan görünümü ve anten yerleri... 47

Şekil 4.3. MoM modelinin üstten görünümü... 48

Şekil 4.4. MoM modelinin önden görünümü... 48

Şekil 4.5. UTD modeli... 49

Şekil 4.6. UTD modelinin yandan görünümü... 50

Şekil 4.7. UTD modelinin üstten görünümü... 50

Şekil 4.8. UTD modelinin önden görünümü... 50

Şekil 4.9. MoM/UTD melez modeli... 51

Şekil 4.10. MoM/UTD melez modeli yandan görünümü... 52

x

Şekil 4.13. İki antenin iki portlu devre temsili... 53

Şekil 5.1. Ölçüm düzeneği... 58

Şekil 5.2. Yarı yansımasız oda ve ölçüm düzeneği... 59

Şekil 5.3. Ölçekli F-4 modelinin yerleşimi... 60

Şekil 6.1. Sonuçların karşılaştırıldığı düzlem... 62

Şekil 6.2. A1 anteninin 225 MHz’de ışıma örüntüsü... 63

Şekil 6.3. A1 anteninin 400 MHz’de ışıma örüntüsü... 63

Şekil 6.4. A2 anteninin 225 MHz’de ışıma örüntüsü... 64

Şekil 6.5. A2 anteninin 400 MHz’de ışıma örüntüsü... 64

Şekil 6.6. A3 anteninin 225 MHz’de ışıma örüntüsü... 65

Şekil 6.7. A3 anteninin 400 MHz’de ışıma örüntüsü... 65

Şekil 6.8. A1-A2 antenleri arası kuplaj... 66

Şekil 6.9. A2-A3 antenleri arası kuplaj... 66

Şekil A.1 Kırınım katsayıları hesaplama algoritması... 77

Şekil B.1. Fock kuplaj fonksiyonları integral eğrileri... 79

Şekil B.2. u(x) fonksiyonu... 81

Şekil B.3. v(x) fonksiyonu... 81

Şekil D.1 Anten Kuplaj Hesaplama Algoritması... 83

Şekil E.1 Optimum anten yerleşimi hesaplayan algoritma... 86

xi

Tablo 4.1. MoM model kıstasları... 47

Tablo 4.2. VSWR, yansıma katsayısı ve uyumsuzluk kaybı ilişkisi... 56

Tablo 5.1. Elektriksel parametrelerin ölçeklendirilme kuralları... 57

Tablo B.1. Fock kuplaj fonksiyonu katsayıları………. 80

xii

Anahtar Kelimeler: Kuplaj, ışıma örüntüsü, kırınım

Bu çalışmada bir F-4 uçağının üzerine yerleştirilmiş antenlerin ışıma örüntüleri ve antenler arası kuplaj simülasyonlarla ve yazılan kodlarla incelenmiştir. Metod olarak UTD metodu, MoM metodu ve MoM/UTD melez metodları kullanılmıştır.

Sonuçların doğruluğunu kontrol etmek için ölçekli bir modelle deneysel ölçümler gerçekleştirilmiştir. UTD metodunun en az MoM kadar doğru sonuçlar verdiği ve problem çözme süresinin MoM metodundan en az 100 kat daha kısa olduğu gösterilmiştir. Ayrıca MoM/UTD melez metodunun da gerçeğe yakın sonuçlar verdiği gözlemlenmiştir.

Bu çalışmada ayrıca kanat etkisinin ihmal edilebilir olduğu durumlar göz önüne alınarak uçağın ana gövdesi bir silindir gibi düşünülüp, uçak üzerinde anten yerleşiminin en ideal bölgeleri ve en optimum bölgeleri saptanmıştır. Bu saptamada metod olarak tüm çalışma frekans bandında ortalama minimum elektromanyetik girişim hesaplanması kullanılmıştır.

xiii (UTD)

SUMMARY

Keywords: Coupling, radiation pattern, diffraction

In this work, radiation pattern and mutual coupling of antennas mounted on a F-4 aircraft are analyzed via simulations and computer codes. The methods used are, UTD, MoM/UTD hybrid method and MoM. To check the validity of the results the measurements are performed on a scaled model. It was observed that the UTD is as accurate as the MoM method and the MoM/UTD hybrid method gives also quite accurate results. Also, UTD is at least 100 times faster than the MoM method.

In addition, the ideal and optimum antenna placement points are determined by assuming the fuselage of the aircraft as a cylinder. This work is valuable in the region that the wing effects are neglectable. The method used here is computing the average minimum electromagnetic interference in the whole operating frequency range.

Uçak, gemi, helikoper gibi vasıtaların elektronik teçhizatının doğru çalışması kritik öneme sahiptir. Çünkü sistem içi ya da sistemler arası oluşabilecek bir elektromanyetik girişim sonucu çıkacak herhangi bir problem hem insan kaybına hem de yüksek miktarda maddi zarara yol açabilir. Bu nedenle bu gibi yapılarda potansiyel elektromanyetik girişim tehditleri tasarım öncesinde elden geldiğince saptanmalı ve tasarım esnasında geliştirilen uygun çözümler uygulanmalıdır. Bu potansiyel tehlikelerden biri de uçak üzerine monte edilmiş antenlerin çalışması esnasında ışıma yolu ile kuplaj vasıtasıyla sistemler arası etkileşimdir. Bir antenden diğerine aynı band kanal girişimi ile ya da harmonikler vasıtasıyla yan band kanal girişimi ile ulaşan bir elektromanyetik girişim, bu antenin çalışmasını önleyebilir, kritik bir zamanda bu çalışmazlık ciddi sorunlara yol açabilir. Bu nedenle antenler arası kuplajın ve antenlerin ışıma örüntülerinin tasarım ve test öncesi saptanması gereklidir. Uçağın büyüklüğü düşünüldüğünde her tasarım öncesi ölçekli bir model kullanarak kuplaj ve alan örüntüsünü test etmek ise hem pahalı hem de çok zaman alıcıdır. Bu nedenle simülasyonlar yardımı ile bu analizi yapmak daha akıllıcadır.

Simülasyon sonuçları yaklaşık bir sonuç verecektir ama bir ön bilgi vermesi açısından bu oldukça önemlidir.

Bilindiği gibi elektromanyetik teoride bir problemin çözümünde üç değişik yöntem kullanılır: analitik metodlar, sayısal metodlar ve asimtotik metodlar. Analitik metodlar, Maxwell denklemlerinin sınır koşulları kullanılarak matematiksel çözümünü içerir. Bu metod ancak basit geometriler için kullanılabilir ama tam çözüm verir. Kompleks geometriler için, matematiksel ifadelerin çözümünün pratik olarak mümkün olmamasından dolayı analitik metodlar yerine sayısal metodlar kullanılır. Sayısal metodlar, sonlu fark metodu, moment metodu (MoM), sonlu eleman metodu, iletim hattı modellemesi, Monte Carlo metodu gibi metodlardan biriyle veya birkaçının melezlenmesi ile çözüm önerir.

Kompleks geometrilerin modellenmesi kullanılan sayısal metoda göre değişir.

Sayısal metodlar yaklaşık çözümler verir. Bağımsız bir parametrenin değeri artarken doğruluğu artan metodlara asimtotik metodlar denir. Elektromanyetik teoride bu bağımsız parametre frekans veya bir başka deyişle dalga sayısıdır. Bu teoride elektromanyetik enerji ışınlarla düz çizgiler boyunca taşınır.

HF frekansı gibi nispeten düşük frekanslarda, dalga boyu metreler mertebesinde büyük olduğundan yapının elektriksel uzunluğu küçüktür. Bu frekanslarda kuplaj hesabı ve ışınım örüntüsü hesabı MoM metodu gibi sayısal metodlarla gerçekleştirilebilir. Ama UHF bandı ve yukarısındaki frekanslarda yapının elektriksel uzunluğu büyük olacak, problemin çözümü kaçınılmaz olarak asimtotik metodlarla gerçekleştirilecektir. Saçılma problemi incelenecek yapı, hem kompleks hem de elektriksel uzunluğu büyük ise bu durumda asimtotik metodları kullanmaktan başka çare yoktur. Çünkü, analitik metodlar çözülemeyecek kadar karışık, sayısal metodlar ise bu yapılar için çok uzun problem çözme süresi ve yüksek hafıza gereksiniminden dolayı kullanışsızdır.

Asimtotik metodlardan en sık kullanılanı Kırınımın Düzgün Teorisi (UTD – Uniform Theory of Diffraction) veya Kırınımın Geometrik Teorisi (GTD – Geometrical Theory of Diffraction)’dir. Bu metodlara Bölüm 2’de değinilecektir. Burada bilinmesi gereken, her ne kadar UTD metodu GTD metodunun geliştirilmiş hali olsa da, günümüz literatüründe her ikisinin de aynı manada kullanıldığıdır. Ayrıca, MoM metodu gibi sayısal metodları UTD gibi asimtotik metodlarla melezleyen yöntemler de mevcuttur.

Daha önce de değinildiği gibi UTD metodu elektriksel uzunluğu büyük olan kompleks yapılardaki saçılma problemlerinde kullanılır. Pratik olarak 1 GHz’in üstünde ve bir dalga boyundan büyük yapılarda kullanılır. Bir fikir edinmek açısından çeyrek dalga boyunda da analizler yapılabilmektedir ama analiz sonuçlarının doğruluğunun azaldığı göz önüne alınmalıdır.

Bu çalışmada bir F-4 savaş uçağında antenler arası kuplaj ve anten ışıma örüntüsü hesabı UTD metoduyla bulunacak ve sonuçlar MoM metodu, MoM/UTD melez

metodu ve ölçüm sonuçlarıyla karşılaştırılacaktır. Daha önceki çalışmalarda KC-135, F-16 ve Boeing 737 uçaklarının üzerine yerleştirilmiş bir antenin ışıma örüntüsü UTD metodu ile incelenmiştir [1-4]. UHF bandında (225-400 MHz) UTD metodunun MoM metodu kadar sağlıklı sonuçlar verdiği gösterilecek, UTD metodunun problem çözme süresinin kısalığı ve az hafıza gereksinimi ile birlikte ne kadar kullanışlı olduğu görülecektir. Bölüm 2’de analitik temelleri aktarılan metodun, Bölüm 4’te sayısal incelemesi yapılacak, Bölüm 6’da ise elde edilen sayısal sonuçlar Bölüm 5’te anlatılan deney sonuçları ile karşılaştırılacaktır.

Ayrıca bilinmesi gereken noktalardan biri de uçaklarda antenler yerleştirilirken antenler arası etkileşimin en alt seviyede olacak şekilde yerleştirilmesinin gerekliliğidir. UTD analizinde yapılar kanonik yapılar cinsinden ifade edilmek zorundadır. Bu nedenle daha önce Koper ve arkadaşları tarafından tek bir frekansta çalışan sistemler için genetik algoritmalar kullanılarak çözülen uçağın gövdesi üzerindeki minimum kuplaj ve anten yerleşim problemi [5-6], uçağın gövdesi bir silindir gibi düşünülerek, tüm frekans bandında silindir üzerinde anten yerleşiminin optimum bölgeleri geliştilen bir Matlab kodu yardımıyla Bölüm 3’te çözülecektir.

2.1. Kırınımın Düzgün Teorisine Giriş ve Özellikler

Işığın çok yüksek frekansa sahip bir elektromanyetik dalga olduğu bilinmektedir. Bu nedenle ışıkla yapılan çalışmalarda elde edilen sonuçlar, yüksek frekanslı elektromanyetik dalgalar için de geçerlidir.

Fermat, bir ışının kırılma, kırınım veya yansıma gibi maruz kaldığı tüm olaylarda, iki nokta arasında en kısa sürede katedilen yörüngeyi takip ettiğini belirtmiştir. Bu

“Fermat Prensibi” olarak bilinir ve konusu “Klasik Geometrik Optik”’tir. Klasik geometrik optik daha çok matematik tabanlıdır ve ışığın ya da elektromanyetik dalganın faz, polarizasyon, dalga boyu, girişim, kırınım, şiddet gibi özelliklerinden bahsetmez. Modern geometrik optik, ışığın da bir elektromanyetik dalga olarak Maxwell Denklemlerini sağladığını, girişim, faz, polarizasyon, alan şiddeti gibi özelliklerini açıklar.

Daha sonra Keller tarafından kırınım kavramı da geometrik terimlerle ifade edilmiş ve Geometrik Kırınım Kuramı ya da bir başka deyişle Kırınımın Geometrik Teorisi (GTD – Geometrical Theory of Diffraction) geliştirilmiştir. Bu teorinin özellikle, aydınlık bölge-karanlık bölge sınırlarındaki hatalı sonuçları düzeltilerek Kırınımın Düzgün Teorisi (UTD – Uniform Theory of Diffraction) geliştirilmiştir. Günümüz literatüründe bir problemin çözümünün GTD metoduyla gerçekleştirildiği söylendiğinde bundan kasıt UTD metodudur.

Kırınımın Düzgün Teorisi sadece yüksek frekans problemlerinin çözümünde kullanılır. Yüksek frekans kavramıyla kasıt, elektrik ya da manyetik alanın olduğu ortamda saçıcıların geometrisindeki değişmelerin yaklaşık olarak bir dalga boyundan

küçük olmamasıdır. Pratik olarak 1 GHz ve üstünde kullanılır. Yüksek frekanslı elektromanyetik alan analizinde matematik tabanlı asimtotik metodlar kullanılır.

Asimtotik metod, integral ya da diferansiyel ifadeler içeren bir denklemin, bir parametreyi limit değerine ulaştırarak elde edilen yaklaşık çözümleridir [7]. UTD’de dalga sayısı ya da frekans sonsuza yaklaştırılarak Maxwell Denklemlerinin asimtotik çözümü sağlanır.

Kaynaksız, izotropik bir ortamda yüksek frekanslı elektromanyetik alan için aşağıdaki asimtotik eşitlikler önerilmiştir[8-9].

∑^∞

( )

= ω

ψ

−

∼

ω n 0 n

n

j ) r ( )) E r ( jk exp(

) , r (

E (2.1)

∑^∞

( )

= ω

ψ

−

∼

ω n 0 n

n

j ) r ( )) H r ( jk exp(

) , r (

H (2.2)

Burada ψ(r) faz fonksiyonu, ω açısal hız, k ise dalga sayısıdır.

Frekans sonsuza gittikçe (2.1) ve (2.2) denklemleri ) r ( E )) r ( jk exp(

) , r (

E ω _ω→∞ ∼ − ψ ₀ (2.3)

) r ( H )) r ( jk exp(

) , r (

H ω _ω→∞ ∼ − ψ ₀ (2.4)

şeklinde sadeleşir. (2.1) ve (2.2) denklemleri şeklinde yazılabilen E elektrik alanı ve H manyetik alanı Işın Optik Alanları, (2.3) ve (2.4) denklemleri şeklinde yazılabilen E elektrik alanı ve H manyetik alanı Geometrik Optik Alanları olarak tanımlanır. Bu durumda her geometrik optik alanının aynı zamanda bir ışın optik alanı olduğu, bunun tersinin ise her zaman doğru olmadığı sonucuna varılır.

2.1.1. Geometrik optik ışınlarının yörüngesi

Bir geometrik optik ışının yörünge denklemi B s A ) s (

r = + (2.5)

şeklinde yazılır[10]. Burada A ve B sabit vektörlerdir. (2.5) denkleminden de anlaşılabileceği üzere, homojen ortamlarda geometrik optik ışınları düz bir çizgi boyunca ilerlerler.

2.1.2. Geometrik optik ışınlarının polarizasyonu

Homojen bir ortamda yayılan bir geometrik optik ışınının polarizasyon vektörü sabittir.

2.1.3. Geometrik optik ışının faz değişimi

Işın yörüngesi boyunca faz değişimi

) jks exp(

)) 0 ( jk exp(

)) s ( jk

exp(− ψ = − ψ − (2.6)

şeklindedir [10]. Buradan anlaşılabileceği üzere faz, yörünge boyunca lineer olarak azalır.

2.1.4. Geometrik optik ışının genlik değişimi

Bir geometrik optik ışının genliği yörünge boyunca

) s )(

s E (

) s ( E

2 1

2 1

0 ρ + ρ +

ρ

= ρ (2.7)

şeklinde değişir[10]. Burada ρ1 ve ρ2 ışının yörünge boyunca sahip olduğu eğiklik yarı çaplarıdır. Mesela bir düzlem dalga ele alındığında

∞

= ρ

=

ρ_{1 2} (2.8)

dır ve

E0

) s (

E = (2.9)

elde edilir. Yani düzlem dalga boyunca ışın genliği sabittir. Bir silindirik dalga için eğiklik yarı çapları

ρ

=

ρ₁ (2.10)

∞

=

ρ₂ (2.11)

yazılırsa bu durumda genlik değişimleri

E s ) s (

E ₀

+ ρ

= ρ (2.12)

haline gelir. Burada çıkarılan sonuç silindirik dalganın mesafenin kareköküyle doğru orantılı bir biçimde zayıfladığıdır. Bir küresel dalga için eğiklik yarı çapları

z

y

x

r

φ θ ρ

= ρ

=

ρ_{1 2} (2.13)

yazılırsa bu durumda genlik değişimleri

E s ) s (

E ₀

+ ρ

= ρ (2.14)

haline gelir. Burada çıkarılan sonuç küresel dalganın mesafeyle doğru orantılı bir biçimde zayıfladığıdır.

2.2. Dipol Antenden Çıkan Işınların Oluşturduğu Elektrik Alan

Daha sonra uçağın üzerine yerleştirilecek anten bir monopol olacağından, aynı özelliklere sahip bir monopol antenden çıkan ışınların (elektromanyetik dalga) hangi özelliklerde olduğunun bilinmesinde fayda vardır. z-ekseni boyunca yerleştirilmiş bir hertz dipolü Şekil 2.1’deki görülmektedir. Bu dipolün oluşturduğu elektrik alan

Şekil 2.1. Bir hertz dipolü

φ θ +φ θ +

=rˆE ˆE ˆE Er _r

(2.15)

şeklinde küresel koordinatlarla ifade edilecek olunursa, r, θ ve φ bileşenleri

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + π

η θ

= ⁻

jkr 1 1 r e

2 cos l

E_r I⁰ ₂ ^jkr (2.16)

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + −

π η θ

= ⁻

θ 2 2

0 jkr

r k

1 jkr 1 1 r e

4 sin l j kI

E (2.17)

0

E_φ = (2.18)

şeklinde olur[11]. Uzak alanda r² ‘li ve daha kuvvetli terimler ihmal edilir ve elektrik alan ifadesi

0 e jkr

r 4

sin l j kI

E ⁻

π η θ

= (2.19)

şeklinde yazılır.

Bu durumda sonlu uzunlukta bir dipolden çıkan ışınların açıya göre genlikleri Şekil 2.2’de ve uzaklığa göre genlikleri Şekil 2.3’te verilmiştir. Şekillerde verilen kesikli oklar o yöndeki veya mesafedeki elektromanyetik alan (ışın) genliğini verir.

1

30

210 60

240

90 270

120

300

150

330

180 0

Şekil 2.2 Bir dipolden çıkan ışınların açıya göre genlik değişimleri

r E

Şekil 2.3 Bir dipolden çıkan ışınların uzaklığa göre genlik değişimleri

2.3. Açık Sınırlı Ortamlarda Toplam Alan ve Saçıcı Etkisi

Bir kaynaktan bir saçıcıya ulaşan bir elektromanyetik dalga saçıcının geometrisine bağlı olarak gelen dalgayı çeşitli yönlerde saçar. Şekil 2.4’teki S noktasında bulunan kaynaktan çıkan ışınlar Q noktasında bir elektrik alan oluşturur.

Şekil 2.4 Toplam alana saçıcı etkisi

Bu elektrik alan, Q noktasına ulaşan tüm ışınların oluşturduğu elektrik alanın süperpozisyonu ile bulunur. Bu ışınlar S’den Q’ya doğrudan giden ışın ile S’den saçıcıya ulaşıp, saçıcıda yansıma veya kırınım yolu ile Q’ya ulaşan tüm ışınlardır. Bu saçıcı geometrisi ele alınacak problemde bir uçak gövdesi olacaktır (ileride değinilecektir).

Saçıcı

Q

S

2.4. Düzlem Plakada ve Silindirde Yansıma

2.4.1. Düzlem plakada yansıma

Yalıtkan ya da iletken bir düzleme gönderilen bir ışının bir kısmı aynı açıyla yansır.

Bu yansıtıcı eğer mükemmel iletken bir düzlem ise gelen ışının tamamı aynı açıyla yansır. Şekil 2.5’te görülen mükemmel iletken metalik bir düzleme gönderilen ışın, Q noktasında plakadan aynı açıyla yansıyacaktır[12].

Şekil 2.5 Metalik düzlemde yansıma

Vektörler arasında

) iˆ nˆ ( nˆ 2 iˆ

rˆ= − ⋅ (2.20)

ilişkisi geçerli olacaktır. Q noktasında, gelen ışının elektrik alanı plakaya teğet ve dik iki bileşenle ifade edilsin:

) Q ( E eˆ ) Q ( E eˆ ) Q (

Er_i = _{⊥ ⊥} + _{// //}

(2.21) Bu durumda yansıyan ışın

) Q ( E eˆ ) Q ( E eˆ ) Q (

Er_r =− _{⊥ ⊥} + _{// //}

(2.22) elektrik alanına sahip olacaktır. Bu ışının A noktasında bulunan ve silindirik dalga önyüzüne sahip bir kaynaktan çıktığı varsayılsın. Bu durumda gelen ışının Q noktasındaki değeri

i i A

i s

) jks E exp(

) Q (

E = − (2.23)

olur. Burada sⁱ, A noktasının Q noktasına olan uzaklığıdır. Benzer şekilde Q noktasında yansıyan dalga ile B noktası arasında

iˆ rˆ

nˆ

Q

A B

r r r

B s

) jks )exp(

Q ( E

E = − (2.24)

ilişkisi mevcuttur. Burada s^r, B noktasının Q noktasına olan uzaklığıdır. A noktasındaki kaynak ile B noktasındaki gözlemci arasındaki ilişki bu durumda

[ ]

r i

r i

s s

) s s ( jk )exp A ( E ) B (

E − +

−

= _⊥

⊥ (2.25)

[ ]

r i

r i //

// s s

) s s ( jk )exp A ( E ) B (

E − +

= (2.26)

olur. Yansıma katsayısı R, elektrik alanı oluşturan iki vektör için

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ 1 - 0

0

R 1 (2.27)

şeklinde yazılır ve (2.25) ve (2.26) denklemleri

[ ]

r i

r i

s s

) s s ( jk )exp A ( E R ) B (

E = ⋅ − + (2.28)

halinde yazılabilir.

2.4.2. Silindirik plakada yansıma

Eğer yansıtıcı yüzey bir silindir ise metalik bir düzlemde olduğu gibi, geln elektromanyetik dalga aynı açıyla yansıyacaktır. Şekil 2.6’da görüldüğü gibi, A

Şekil 2.6 Silindir plakada yansıma

y

A x B

γr iˆ

rˆ

nˆ Q

a b

noktasından gelen ışın silindirik metal plakada Q noktasından yanıyarak B noktasındaki gözlemciye ulaşıyor. Bu durumda B noktasındaki elektrik alan

[ ]

r r

r i

r i

s s

) s s ( jk )exp A ( E R ) B (

E ρ +

+ ρ

⋅ −

= (2.29)

şeklinde ifade edilir.

Burada ρ_ryansıyan ışının Q noktasındaki eğiklik yarıçapıdır ve

) cos(

a 2 cos

ab 2 b a

1 1

r r 2

r 2 + φ−γ

γ

−

= +

ρ (2.30)

denklemiyle ifade edilir.

2.5. Kırınım ve Kırınımın Düzgün Teorisi

Bir saçıcının kenarına ya da köşesine gelen bir ışın, ekseni değişmeyecek şekilde gelme açısıyla eşit bir açı oluşturacak bir koni oluşturarak farklı yönlerde kırınıma uğrar. Şekil 2.7’de görülen cisme, kenarıyla β açısı yapacak şekilde gelen bir ışın, ₀ değme doktasında iç açısı β olan bir koni şeklinde kırınıma uğrar. ₀

Şekil 2.7 Düzgün kamada kırınım

β 90 derece ise, Şekil 2.8’de de görülebileceği gibi bu koni disk halini alır. 0

β₀

β₀

β₀=90°

Şekil 2.8 Düzgün kamada dik kırınım

Mükemmel iletken olan genel bir kama geometrisi için kırınıma uğrayan ışının alan denklemini bulmak gerekir. Şekil 2.9’da genel bir kama geometrisi çizilmiştir.

Şekil 2.9 Genel bir kama geometrisinde kırınım

o-yüzeyiyle n-yüzeyinin kesiştiği Qe noktasına gelen, o yüzeyiyle φ′ açısı yapan ışın, bu köşede kırınıma uğramıştır. o yüzeyiyle φ açısı yapan kırınan ışınlardan herhangi biri için alan ifadesi

s ) jks Dexp(

) Q ( E ) s (

E^d = ⁱ _e − (2.31)

şeklindedir. Burada son ifadede kaynağın silindirik dalga önyüzüne sahip olduğu kabulü vardır. Düzlem dalga, küresel dalga ya da farklı dalga önyüzleri için √s ifadesi değişecektir. D kenar kırınım katsayısıdır ve denklemi aşağıdaki gibidir [13]:

) D D ( R D D

D= ₁ + ₂ + ₃ + ₄ (2.32)

R, (2.27) denkleminde verilmiştir.

Burada D1,2,3,4

[

]

n F cot 2

k 2 n 2

4 ) exp( j

D₁ ⁱ φ−φ′

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡π+φ−φ′

π

− π

= − ⁺ (2.33)

[

]

n F cot 2

k 2 n 2

4) exp( j

D₂ ⎥⎦⎤ ⁱ φ−φ′

⎢⎣⎡π−φ+φ′

π

− π

= − ⁻ (2.34)

[

]

n F cot 2

k 2 n 2

4 ) exp( j

D₃ ⎥⎦⎤ ^rn φ+φ′

⎢⎣⎡π+φ+φ′

π

− π

= − ⁺ (2.35)

[

]

n F cot 2

k 2 n 2

4) exp( j

D₄ ⎥⎦⎤ ^ro φ+φ′

⎢⎣⎡π−φ−φ′

π

− π

−

= ⁻ (2.36)

şeklindedir ve k dalga sayısıdır:

λ

= 2π

k (2.37)

dır. Kamanın iç açısına α denecek olursa, n

π

−α

= 2

n (2.38)

şeklinde tanımlıdır.

L, uzaklık parametreleridir ve aşağıdaki gibidir.

s s

s Lⁱ s

′+

= ′ (2.39)

s L _ro s

ro ro

+ ρ

= ρ (2.40)

s L _rn s

rn rn

+ ρ

= ρ (2.41)

s′ kaynağın kırınım noktasına olan uzaklığı, s ise gözlem noktasının kaynağa olan uzaklığıdır. ao o yüzeyinin, an n yüzeyinin eğiklik yarıçapıdır. ρ^ro ve ρ^rn ise

o o

ro a cos

2 s

1 1

+ θ

= ′

ρ (2.42)

n n

rn a cos

2 s

1 1

+ θ

= ′

ρ (2.43)

şeklinde ifade edilir.

F, geçiş fonksiyonu olarak tanımlanır ve

du ) ju exp(

) jx exp(

x j 2 ) x ( F

x

∫

∞

−

= (2.44)

şeklinde tanımlanır. F fonksiyonunun ve D kırınım katsayılarının hesaplanması için gerekli algoritma ve hazırlanan Matlab kodu Ek A’dadır.

Burada unutulmaması gereken bir nokta vardır. Kırınım denklemleri, asimtotik metodlarla çözüldüğünden, K büyüklük parametresinin daima

1 ) ( sin kL

K= ² β₀ > (2.45)

Koşulunu sağlaması gerekir. Burada L, (2.39-41) eşitliklerinde belirtilen uzaklık parametreleridir. a^± fonksiyonu ise şu şekilde tanımlanır:

2 ) N n ( cos 2 ) (

a ²

± ±

±

± β = π −β (2.46)

Burada

φ′

± φ

=

β^± (2.47)

dır N^± ise aşağıdaki eşitliklerde en yaklaşık değeri veren tam sayılardır.

π

= φ′

± φ

−

πnN⁺ ( )

2 (2.48)

π

−

= φ′

± φ

−

πnN⁻ ( )

2 (2.49)

Burada belirtilmesi gereken nokta kamanın mükemmel iletken bir düzlemin olabileceği gibi [14], yalıtkan bir malzemeden de yapılmış olabileceğidir [15-16].

2.6. Dışbükey Geometrilerde Yüzey Kırınımı

Bir kaynaktan ilerleyen ışın, Şekil 2.10’da görüldüğü gibi dışbükey bir metale teğet değdiğinde, yüzey üzerinde sürünerek ilerler ve ilerlerken her noktada bir miktar ışır.

Işının enerjisi azalır ve sönümleninceye kadar sürünme devam eder. Silindir üzerinde olmayan harici bir kaynak, silindir üzerindeki bir antende elektromanyetik girişim oluşturur [17].

Şekil 2.10 Yüzeye teğet gelen ışın sürünerek enerji kaybeder

Şekil 2.11’de görülen bir kaynaktan çıkan ışının Q1′ ve Q2′ noktalarında silindire teğet değdiği, bir miktar ilerleyerek Q1 ve Q2 noktalarında bu yüzeyi terkedip ışıdığı varsayılsın.

Şekil 2.11 Yüzeye teğet gelen ışınların uzak alanda oluşturduğu alan

t1 ve t2 yüzey üzerinde aldıkları mesafeleri belirtmektedir. Bu durumda toplam kırınan alan,

d d 2

d i d 1

i

d s

) jks Texp(

) Q ( s E

) jks Texp(

) Q ( E ) s (

E = ′ − + ′ − (2.50)

şeklinde ifade edilir. Burada Ei(Q1′) ve Ei(Q2′) kaynağın Q1′ ve Q2′ noktalarında oluşturduğu alandır.

d d

s ) exp(−jks

(2.51)

ifadesi kaynağın silindirik bir dalga önyüzüne sahip olduğunu gösterir. Bu ifade kaynak eğer monopol anten olsaydı

− θ s sin

) jks exp(

d d

(2.52) halini alırdı, ya da θ=π/2 olduğu için sadece

d d

s ) exp(−jks

(2.53)

halini alırdı.

T yüzey kırınım katsayısıdır ve

⎪⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

− +

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

=

π

−

−

a ) 24 exp( jkt 4

t a ) 2 ( k

a ) 2

t a b (k F t 1 k 8 . 2

e a ke

2 2

T ka

2 3 3

/ 1 2

2 2 2 2 3

/ 1

4 / j 3 / 2

jkt 3

/ 1

(2.54)

eşittir [18], [19]. T katsayısı t1 ve t2 için ayrı ayrı hesaplanır.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡φ−π −

= ⁻

b cos a 2 / a

t₁ ¹ (2.55)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π −φ−

= ⁻

b cos a 2

/ 3 a

t₂ ¹ (2.56)

Burada a silindirin yarıçapı, b kaynağın silindirin merkezine olan uzaklığıdır. k dalga sayısıdır. F(x) geçiş fonsiyonudur ve Bölüm 2.5’te tanımlıdır. Şekil 2.11’de gösterilen anten monopol anten olsaydı ışıma örüntüsü Şekil 2.12’deki gibi olur.

Şekil 2.12 Silindirin monopol antenin ışımasına etkisi

2.7. Uçağın Modellenmesi ve Uçakta Saçılma Problemi

Bir uçağın düşük frekanslarda MoM metodu kullanılarak modellenmesi gerçekleştirilebilir [20]. Yüksek frekanslarda UTD metodu ile uçakta saçılma probleminin çözülebilmesi ve anten ışıma örüntüsünün bulunabilmesi için, uçağın kanonik yapılarla modellenmesi gerekir. Kanonik yapılar, düzlem plaka, silindir, eliptik silindir, küre gibi üzerine gelen ışını yansıtma ve kırınım özellikleri bilinen yapılardır. Burada UTD metodunun noktasal değil de lokal çözüm önerdiğini unutmamak gerekir. Burada kasıt şudur: Bir saçıcı üzerindeki herhangi bir noktaya gelen ışının yansıtma ve kırınım özelliklerinin bilinebilmesi için, noktanın bulunduğu yüzeyin yapısı da bilinmelidir. Bu yapı da silindir, düzlem, küre gibi kanonik bir formda olmalıdır. Şekil 2.13’te bir F-4 savaş uçağı görülmektedir.

Şekil 2.13 Bir F-4 savaş uçağı

Daha önceki çalışmalarda KC-135, F-16 ve Boeing 737 uçaklarının üzerine yerleştirilmiş bir antenin ışıma örüntüsü UTD metodu ile incelenmiştir. KC-135 ile yapılan çalışmada [1-2], uçak geometrisi sadece gövdeye temsil eden bir eliptik silindir ve kanatları temsil eden iki düzlem plakadan oluşmaktadır. Bu çalışmada sadece alan örüntüsü hesabı yapılmış ve gövde altında kalan kısımda 5-6 dB’lik hatalar oluşmuştur. F-16 ile yapılan çalışmada da sadece alan örüntüsü hesabı yapılmış ve uçak bir eliptik silindir ile 12 düzlem plakayla modellenmiştir [3].

Boeing 737 ile yapılan çalışma ise yine kanonik modele yerleştirilmiş bir antenin alan örüntüsünü inceler [4].

Bu çalışmada F-4 uçağı analiz edilmiştir [21-22]. Bu uçakta saçılmanın incelenebilmesi için uçak metal düzlem plaka ve metal silindirlerle Şekil 2.14’teki gibi modellenmiş ve hem kuplaj hem de alan örüntüsü hesaplanmıştır. Bu modelleme küre ve düzlem plakalar kullanılarak da gerçekleştirilebilir [23]. Bu şekilde uçağın üzerine monte edilmiş bir antenden çıkan ışınları uçağın geometrisinin nasıl saçtığı görülmektedir. Işıma örüntüsü bulunurken veya kuplaj hesaplanırken bu ışınlardan yararlanılır. Şekil 2.14’te 1 numara ile gösterilen ışın monopol antenden direk ışıyan bir ışını, 2 numara ile gösterilen ışın antenden ışıyarak kanatta yansıyan bir ışını, 3 numara ile gösterilen ışın kanat kenarında kırınan bir ışını, 4 numara ile gösterilen ışın uçağın silindirik gövdesinde süründükten sonra (yüzey kırınımı) ışıyan bir ışını ve 5 numara ile gösterilen ışın uçağın kanadında kırındıktan sonra uçağın alt kısmından yansıyarak ışıyan bir ışını göstermektedir. Uçak üzerindeki tüm ışıma ve saçılma mekanizmaları gözönüne alarak alan örüntüsü ve kuplaj bulunur. Bir kompleks yapı üzerinde birbirini gören iki antenin arasındaki kuplaj, sadece Frii’s

iletim denklemi kullanılarak kaba olarak tahmin edilebilir [24]. Ama daha doğru sonuçlar için muhakkak saçıcı geometrisi göz önüne alınmalıdır.

Şekil 2.14 Bir F-4 savaş uçağı kanonik modeli

Şekil 2.15’te uçağın üzerine yerleştirilmiş monopol antenin ışıması iki boyutlu olarak gösterilmiştir. Şekilden de anlaşılabileceği gibi uçağın kanatlarının kenarlarında oluşan kırınımdan dolayı, bu kanatlarda ikincil kaynaklar oluşur. Şimdi yapılması gereken uçağı oluşturan metal silindir ve düzlem plakaların yansıtma ve kırınım özelliklerinin bilinmesidir

Şekil 2.15 Bir antenin F-4 savaş uçağında ışıması

2.8. Bir Silindir Üzerindeki Monopol Antenin Işıma Örüntüsü

Bir silindir üzerine Şekil 2.16’daki gibi z ekseni boyunca silindirin üzerine yerleştirilmiş bir monopol anten, yüzey kırınımlarından dolayı alan örüntüsü değişir.

Şekil 2.16 Silindir üzerine monte edilmiş monopol anten

Bu monopolün 3 boyutlu ışıma örüntüsü Şekil 2.17’de, xz düzlemindeki ışıma örüntüsü Şekil 2.18’de, yz düzlemindeki ışıma örüntüsü Şekil 2.19’da gösterilmiştir.

İçbükey yapı üzerine yerleştirilmiş bir tel antenin analizi MoM ve UTD metodları melezlenerek de çözülebilir [25]. Bir silindir üzerine monte edilmiş antenin ışıması incelenmiştir [26-28].

x z

y

Şekil 2.17 Silindir üzerine monte edilmiş monopol antenin 3 boyutlu ışıma örüntüsü

Şekil 2.18 Silindir üzerine monte edilmiş monopol antenin xz düzlemindeki ışıma örüntüsü

Şekil 2.19 Silindir üzerine monte edilmiş monopol antenin yz düzlemindeki ışıma örüntüsü

2.9. Düzlem Plaka Üzerinde Bulunan İki Monopol Arasında Kuplaj

Birbirinden d kadar uzaklıkta bulunan iki monopol anten Şekil 2.20’deki gibi yerleştirilmiştir. Plakanın kenarlarındaki kırınımdan dolayı kuplaj değişecektir.

Şekil 2.20 Metal düzlem üzerine monte edilmiş alıcı ve verici antenler

T verici anteninden çıkan ışınlar, R alıcısına ulaşmaktadır. Antenin monopol anten ve θ=π/2 olduğu düşünülürse elektrik alan ifadesi

in

L Z

R 1 d

) jkd 60exp(

j

E +

= −

θ (2.57)

T

R d

halini alır. Eğer toprak düzlem olan metal plaka sonsuz uzunlukta olsaydı bu durumda sadece vericiden alıcıya direk ulaşan ışın dikkate alınırdı. Fakat toprak düzlemi sonlu olduğundan, plakanın her kenar noktasında kırınım olacak ve kırınan ışınlar alıcıya ulaşacaktır. Böylece farklı kuplaj değerleri ortaya çıkacaktır. Bir metal düzlem plaka üzerine yerleştirilmiş olan monopol antenin analizi bu şekilde yapılmış olacaktır [29-30].

2.10. Düzlem Plaka Üzerindeki Monopol Antenin Işıma Örüntüsü

Düz bir plaka üzerine yerleştirilmiş bir monopol anten Şekil 2.21’deki gibi yerleştirilmiştir. Bu antenin ışınım örüntüsü bulunacaktır [31-33].

Şekil 2.21 Düzlem plaka üzerine yerleştirilmiş monopol anten

Bu monopolün yaydığı alan, (2.19) denkleminde sabit terimleri ihmal ederek e jkr

r ˆsin

E=θ θ ⁻ (2.58)

şeklinde yazılır. Problemde simetri olduğundan sadece 0 ≤ θ ≤ π aralığını incelemek yeterli olacaktır. Elektrik alan

PQ QP Q P

m E E E E

E

E= + + + + (2.59)

şeklinde yazılsın. Burada

Em, kaynaktan direk giden ışının oluşturduğu elektrik alandır.

EP, P noktasında kırınan ışının oluşturduğu elektrik alan EQ, Q noktasında kırınan ışının oluşturduğu elektrik alan

EPQ, P noktasında kırınan ışının Q noktasında tekrar kırınarak oluşturduğu elektrik alan

EQP, Q noktasında kırınan ışının P noktasında tekrar kırınarak oluşturduğu elektrik alandır.

Bu durumda toplam elektrik alanın 3 boyutlu ışıma örüntüsü Şekil 2.22’de, xz düzlemindeki ışıma örüntüsü Şekil 2.23’teki gibi olur.

Şekil 2.22 Düzlem plaka üzerine yerleştirilmiş monopol antenin 3 boyutlu ışıma örüntüsü

,

Şekil 2.23 Düzlem plaka üzerine yerleştirilmiş monopol antenin xz düzlemindeki ışıma örüntüsü

Şekil 2.21’deki plaka daire şeklinde değil de kare şeklinde olsaydı, bu durumda elektrik alanın 3 boyutlu ışıma örüntüsü Şekil 2.24’te, xz düzlemindeki ışıma örüntüsü Şekil 2.25’teki gibi olurdu.

Şekil 2.24 Kare düzlem plaka üzerine yerleştirilmiş monopol antenin 3 boyutlu ışıma örüntüsü

Şekil 2.25 Kare düzlem plaka üzerindeki monopol antenin xz düzlemindeki ışıma örüntüsü

Daha önce de değinildiği gibi antenler arası kuplajın, dolayısıyla da elektromanyetik girişimin minimum olabilmesi, uçaklarda anten yerleşiminde dikkat edilmesi gereken hususların başında gelir. Uçağın gövdesini çeşitli simülasyon araçlarıyla modelleyip gövdedeki değişik noktalara anten yerleştirmek ve minimum kuplaj seviyelerinin olduğu noktaları tespit etmek oldukça zor ve zahmetli bir yoldur. Çünkü uçağa yerleştirilecek antenlerin yerleştirilebilecekleri her nokta için çeşitli kombinasyonlarla kuplajının hesaplanması gerekir. Bu nedenle, UTD analizinde yapıların kanonik yapılar cinsinden ifade edilmek zorunluluğunu da hatırda tutarak, uçağın elden geldiğince basit bir şekilde modellenmesi gerekir. Bundan dolayı uçağın gövdesi bir silindir gibi düşünülerek ve kanat etkisinin ihmal edilebilir olduğu uçağın ön gövde kısmında anten yerleşim analizi yapmak akıllıcadır. Bu sebeple burada daha önce Koper ve arkadaşları tarafından tek bir frekansta çalışan sistemler için genetik algoritmalar kullanılarak çözülen uçağın gövdesi üzerindeki minimum kuplaj ve anten yerleşim problemi tüm frekans bandında analitik olarak çözülmeye çalışılacaktır. Uçak üzerinde anten yerleşiminin en ideal bölgeleri ve en optimum bölgeleri saptanacaktır. Bu saptamada metod olarak tüm çalışma frekans bandında toplam minimum kuplaj hesaplanması kullanılacaktır.

3.1. Silindire Monte Bir Antenin Silindir Üzerindeki Herhangi Bir Noktada Oluşturduğu Elektrik Alan

Daha önce de belirtildiği gibi içbükey bir yapıya teğen gelen bir ışın, bu yapı üzerinde sürünerek ilerler. Şekil 3.1’de silindirin üzerindeki Q′ noktasında bulunan nˆ′ yönündeki monopolden dolayı, yine silindir üzerinde herhangi bir Q gözlem noktasında bir yüzey alanı oluşur.

Q

Q

x

y z

t₁ n′ˆ

nˆ a

δ

Şekil 3.1 Bir silindir üzerinde ilerleyen bir ışın

Q′ noktasından çıkan ışınlar Q noktasına iki yoldan ulaşır. Birincisi, şekilde belirtilen t1 jeodezik yoludur. Burada t1 jeodezik yolu bu iki nokta arasındaki en kısa mesafedir. İkinci ışın, t1 jeodezik yolunun ters yönünde, yani t1 ile 180 derecelik bir açı yaparak t2 yoluyla ulaşır. Şekil 3.2’de silindir açılarak düzlem haline dönüştürülmüş ve bu iki ışın gösterilmiştir. Düz çizgiyle gösterilen yol birinci ışına, kesikli çizgiyle gösterilen yol ikinci ışına aittir.

Şekil 3.2 Açık silindir

Q

Q

y z

t₁

δ t2

t2

Bu iki ışının Q noktasında oluşturduğu toplam elektrik alan bulunacaktır.

Şekil 3.1’de nˆ′ yönündeki monopol üzerindeki herhangi bir l′ noktasındaki bölünemeyecek kadar küçük dp_e(l′ elektrik akım momenti şu şekilde tanımlanır: )

l d nˆ ) l ( I ) l ( p

d _e ′ = ′ ′ ′ (3.1)

Burada I(l′), l′ deki dl′ artım uzunluğunda akan akım miktarını tanımlar. dp_e(l′ ) elektrik akım momentinden dolayı Q noktasında dE_e(Q|l′ elektrik alanı oluşur. Q ) noktasında oluşan toplam elektrik alan ise dE_e(Q|l′ alanının h uzunluğundaki ) monopol boyunca integralinin alınmasıyla bulunur:

∫ ′

=^h

0 e

e(Q) dE (Q|l)

E (3.2)

Gözlem noktası, kaynak noktasına yeterince uzaksa

∫ ′

′

≈ ′

>

h

0 e

e e t

e t dp (l)

) Q ( dp

) Q

| Q ( E ) d

Q ( E

0

(3.3) olur [34].

Yeterince uzak olmasından kasıt, t>t0 koşulunun sağlanmasıdır. Burada t0

h) ) Q (

) Q ( (

cos ) Q ( t

g 1 g g

0 ρ ′ +

ρ ′ ρ ′

= ⁻ (3.4)

dır [34]. ρ_g(Q′), Q′ noktasındaki yüzey eğiklik yarıçapıdır ve bir silindir için

= δ

ρ_g ′ ₂

sin ) a Q

( (3.5)

şeklinde ifade edilir.

Burada dp_e(Q′ , )) dp_e(l′ in monopolün tabanında, yani l′=0 (Q′) noktasında aldığı değerdir.

l d ) l ( I ) l (

dp_e ′ = ′ ′ (3.6)

olduğundan

l d ) Q ( I ) Q (

dp_e ′ = ′ ′ (3.7)

olur. Burada I(Q′ monopolün tabanındaki (yani l) ′=0 ya da Q′) akım miktarıdır.

Q′ noktasındaki d kaynağının Q noktasında oluşturduğu p_e dE_e alanı

[ ]

⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

ξ

− ξ

+

⎟ ξ

⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛ ξ

−

′ ξ

′ ⋅ π

= −

′

) ( V ) ( kt U T j

) ( kt U ) j ( ktV ) j ( V nˆ nˆ ) Q ( p d ) kt ( DG Z 4 2 ) jk Q

| Q ( E d

2 0

2

e 0

0

e (3.8)

[ ]

⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

ξ

− ξ

+

⎟ ξ

⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛ ξ

−

′ ξ π

= −

′

) ( V ) ( kt U T j

) ( kt U ) j ( ktV ) j ( V ) Q ( dp ) kt ( DG Z 4 2 nˆ jk ) Q

| Q ( E d

2 0

2

e 0

0

e (3.9)

dır [34]. (3.3) ve (3.9) eşitlikleri kullanılarak ve t>t0 koşulu ile birlikte

[ ] ∫

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

ξ

− ξ

+

⎟ ξ

⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛ ξ

− ξ π

≈ − ^h

0 e 2

0

2

0 0

e dp (l)

) ( V ) ( kt U T j

) ( kt U ) j ( ktV ) j ( V ) kt ( DG nˆ Z 4 2 ) jk Q (

E (3.10)

[ ]

′

′

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

ξ

− ξ

+

⎟ ξ

⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛ ξ

− ξ π

≈ − ^h

2 0 0

2

0 0

e I(l)dl

) ( V ) ( kt U T j

) ( kt U ) j ( ktV ) j ( V ) kt ( DG nˆ Z 4 2 ) jk Q (

E (3.11)

yazılır.

Yukarıdaki ifade de U(ξ) ve V(ξ), Fock kuplaj fonsiyonlarıdır ve Ek B’de anlatılmıştır. Fock kuplaj fonksiyonlarını hesaplayan Matlab kodu Ek C’dedir.

Şimdi (3.11) denkleminin sağında kalan integral ifadesi bulunması gerekir.

Monopol antenin üzerinde sinüzoidal dağılımlı bir akım oluşur.

[

]

sin I nˆ ) l (

I ′ = ′ _g − ′ , 0≤l′≤h (3.12)

İntegralin değeri

[

]

sin I l d ) l ( I

h

0 g h

0

′

− ′

′=

′

∫

∫

[

]

k l I d ) l (

I ^g

h

0

−

′=

∫

dir. Bu durumda (3.11) denklemi

[ ]

[ ]

⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

ξ

− ξ

+

⎟ ξ

⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛ ξ

− ξ π −

≈ −

) ( V ) ( kt U T j

) ( kt U ) j ( ktV ) j ( V ) kh cos(

1 ) kt ( DG nˆ I 2 Z ) j Q ( E

2 0

2

0 g 0

e (3.15)

halini alır.

Burada;

D=1 (3.16)

t = t1 veya t2

2 2

1 (a ) z

t = φ + (3.17)

) 2 1 ( t

t_{2 1} −

φ

= π (3.18)

t ) jkt ) exp(

kt (

G₀ −

= (3.19)

δ = δ1 veya δ2

z ) (a tan ¹

1

= φ

δ ⁻ (3.20)

1 2 =π−δ

δ (3.21)

2 2 1

g 2

sin a sin

a

= δ

= δ

ρ (3.22)

3 / 1 g

2 m k ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛ ρ (3.23)

g

mt

= ρ

ξ (3.24)

δ

= cot

T₀ (3.25)

dır [34].

Q noktasındaki toplam elektrik alan her iki ışının oluşturduğu elektrik alanın toplamıdır:

) 2 , Q ( E ) 1 , Q ( E ) Q (

E_e = _e + _e

∑ (3.26)

BuradaE_e(Q,1), (3.15) denkleminin t1 ve δ1 için değeri;E_e(Q,2) ise aynı denklemin t2 ve δ2 için değeridir.

3.2. Kaynak Anten Alıcı Anten Eşdeğer Devresinde Kuplaj İfadesinin Bulunması

Verici antenden alıcı antene ulaşan ışın, bu antenin terminallerinde bir açık devre gerilimi oluşturur. Silindir üzerindeki iki anten arasındaki kuplaj ifadesini elde etmek için, kaynaktan başlayarak yüke doğru adım adım ilerlemek ve kaynak antenin gücüyle alıcı antende elde edilen gücü oranlamak gerekir. Bunun için öncelikle kaynak anten tarafı ele alınacaktır. Şekil 3.3’te kaynak-anten eşdeğer devresinde, devreden akan eşdeğer akım

in g

g

g R Z

I V

= + (3.27)

dır.

Şekil 3.3 Kaynak-anten eşdeğer devresi

Kaynağın reaktansının 0 olduğu ve antenin kayıpsız olduğu varsayılmıştır. Burada Rg

kaynağın direnci, Zin antenin terminallerindeki eşdeğer empedanstır. Kaynak sinüzoidaldır ve maksimum şiddeti Vg kadardır.

Kaynağın iç direncinde harcanan güç miktarı

g 2 g

g I R

2

P =1 (3.28)

dır. Antene aktarılan güç miktarı ise

in 2 g

in I R

2

P =1 (3.29)

Rg

Zin

Anten Ig

Vg

2 in g

in 2 g

in R Z

R V 2 P 1

= + (3.30)

2 in 2 in g

in 2 g

in (R R ) X

R V 2

P 1

+

= + (3.31)

kadardır. Kaynağın harcadığı toplama güç miktarı ise

g in

s P P

P = + (3.32)

2 in 2 in g

g in 2 g

s (R R ) X

) R R ( V 2 P 1

+ +

= + (3.33)

kadardır.

Antenden ışıyan elektromanyetik dalga diğer bir anten tarafından alınır ve Şekil 3.4’te görüldüğü gibi antenin terminallerinde Voc kadar bir açık devre gerilimi oluşturur.

Alıcıya aktarılan güç miktarı

Şekil 3.4 Yük-anten eşdeğer devresi

L 2 L

L I R

2

P = 1 (3.34)

kadardır. IL akımı

in L

oc

L R Z

I V

= + (3.35)

dır. Buradaki Zin’in verici devresindeki Zin’den farklı olduğu, fakat aynı tip anten için aynı değerde olduğu unutulmamalıdır. İncelenecek modelde aynı tip antenler kullanılacağı için Zin’ler aynıdır. Bu durumda

RL

Zin

Anten IL

Voc

2 in 2 in L

L 2 oc

L (R R ) X

R V 2

P 1

+

= + (3.36)

şeklinde yazılabilir.

Kuplaj bir antenden iletilen gücün, diğer bir antende oluşturduğu güç miktarı olarak tanımlanır:

(3.37)

Burada kuplaj ifadesi olarak, antenlerin verimliliği de işin içine katılıp alıcıda oluşan güç miktarının kaynağın harcadığı güce oranı kullanılacaktır.

S L

P

C= P (3.38)

(3.33), (3.36) ve (3.38) denklemleri kullanılarak kuplaj ifadesi

) R R ( V

X ) R R ( X ) R R (

R C V

g in 2 g

2 in 2 in g 2 in 2 in L

L 2 oc

+ + +

+

= + (3.39)

şeklinde yazılır. Kaynağın ve alıcının 50 ohmluk sistem olduğu ve antenlerin aynı tip olduğu düşünüldüğünde:

) R R ( V

R C V

g in 2 g

L 2 oc

= + (3.40)

kuplaj ifadesi olur. Yukarıdaki ifadede RL, Rg ve Vg bilinen değerlerdir. Voc ve Rin

değerlerine ulaşıldığı takdirde kuplaj değeri bulunmuş olur.

3.1. Monopol Anten Eşdeğer Devresinde Açık Devre Geriliminin Bulunması

Vektör efektif uzunluğu, bir antenin üzerine çarpan elektromanyetik dalganın, antenin terminallerinde oluşturduğu açık devre gerilimini ifade etmekte kullanılan bir terimdir. Efektif yükseklik olarak da bilinir ve uzak alan ifadelerinde kullanılır [11]:

) , ( ˆl ) , ( ˆl ) , (

l_e θ φ =θ _θ θ φ +φ _φ θ φ (3.41)

Terminallerinde Ig akımı akan bir antenden çıkan elektrik alanın uzak alan ifadesi

φ θ +φ θ

= ˆE ˆE

E (3.42)

olsun. Bu durumda

Alıcıya Ulaşan Güç Kaynaktan Çıkan Güç C =

) jkr exp(

) , ( rl 4 j kI ˆE

ˆE

E ^g _e θ φ −

η π

−

= φ + θ

= _{θ φ} (3.43)

yazılır [11]. Alıcı antenin terminallerinde oluşan açık devre gerilimi ise

e i

oc E l

V = ⋅ (3.44)

şeklinde yazılır. Eⁱ antene çarpan elektrik alandır. Sonlu uzunluktaki dipol için uzak alanda elektrik alan

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

θ

− θ π

η −

θ =

sin

2 ) cos(kh ) 2 cos

h cos(k

r 2

) jkr exp(

j I

E ^g (3.45)

şeklindedir [11]. (3.43) ve (3.45) eşitlikleri kullanılarak

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

θ

− θ

−

=

θ sin

2 ) cos(kh ) 2 cos

h cos(k

k ) 2 (

l_e (3.46)

yazılır. Burada θ, z ekseni boyunca yerleştirilmiş bir monopol için geçerlidir. Şekil 3.1’deki problem düşünüldüğünde θ=π/2 olur ve (3.46) denklemi

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=

θ ) 1

2 cos(kh k ) 2 (

l_e (3.47)

haline dönüşür. Burada verilen vektör efektif uzunluğu dipol anten içindir. Monopol anten, imaj teorisine göre dipol anten gibi davranır ve vektör efektif uzunluğu aynıdır. Bu durumda eğer monopolün uzunluğuna h denecek olursa (3.47) denklemi

[

]

k ) 2 (

l_e θ = − (3.48)

halini alır. Bu durumda alıcıda antende oluşan açık devre gerilimi

[

]

= cos(kh) 1 E (Q) k

V_oc 2 _e (3.50)

dir.

3.2. Monopol Antenin Giriş Empedansının Bulunması

Sonlu uzunluktaki dipol anten için uzak alan elektrik alan ve manyetik alan formulü