IST3002 Deney Tasarımı Bir Y¨onl¨u (One-way) ANOVA Varsayımları Fatih Kızılaslan

IST3002 Deney Tasarımı

Bir Y¨onl¨u (One-way) ANOVA Varsayımları

Fatih Kızılaslan

Marmara ¨Universitesi

2019-2020 Bahar

Artıklar

y_ij = µ + τ_i+ ε_ij, i = 1, ...a, j = 1, ..., n bir y¨onl¨u ANOVA modeli i¸cin µ ve τi i¸cin EKK (en k¨u¸c¨uk kareler) ve en ¸cok olabilirlik tahmin edicileri aynıdır ve

µ = yb _.. vebτ_i = y_{i .}− y_.., i = 1, ..., a olarak bulunur.

Artıklar

eij = yij −ybij = yij− (µ +b bτi) = yij − y_{i .}, i = 1, ...a, j = 1, ..., n bi¸ciminde olur.

Normallik Varsayımı

e_ij, i = 1, ...a, j = 1, ..., n artıkları kullanarak normallik varsayımını kontrol ederiz.

1

2 Q-Q (quantile-quantile) grafi˘gi: Standart normal da˘gılımın y¨uzdelikleri ile verinin y¨uzdeliklerini kar¸sıla¸stıran bir y¨ontemdir. E˘ger olu¸san grafikte noktalar d¨uz bir do˘gru etrafında yayılım g¨ostermi¸sse ilgili verinin normal da˘gılıma sahip oldu˘gu sonucuna varılır. (R: qqnorm(veri))

3 Kolmogorov-Smirnov Test: Bir verinin herhangi bir da˘gılıma

uygunlu˘gunu kontrol etmek i¸cin kullanılna bir testtir. F (x ) ¨orneklememizin bilinmeyen birikimli da˘gılım fonksiyonu ve F0(x ) ¨orneklemin oldu˘gunu d¨u¸s¨und¨u˘g¨um¨uz da˘gılımının birikimli da˘gılım fonksiyonu olmak ¨uzere

H0 : F (x ) = F0(x ), H1: F (x ) 6= F0(x )

hipotezleri test edilir. E˘ger p-de˘geri> α ise H0 hipotezi (veri normal

3.1 Lilliefors Test: Normal da˘gılıma uygunluk testinde da˘gılımım

parametreleri bilinmiyorsa ve bunlar yerine ¨orneklemden elde edilen tahmin ediciler kullanılıyorsa Lilliefors Testi kullanılmalıdır.

E˘ger p-de˘geri> α ise H₀ hipotezi (veri normal da˘gılır) kabul edilir.

R: (”nortest” paketi)

https://cran.r-project.org/web/packages/nortest/nortest.pdf lillie.test(veri) ile ks.test(veri, ”pnorm”,mean(veri), sd(veri)) test istatistikleri aynı olmasına ra˘gmen, bilinmeyen parametreler tahmin edildi˘ginde da˘gılım fonksiyonları farklı olur ve dolayısıyla p−de˘gerleri farklı olur.

4.1 Shapiro-Wilk Test: Normalli˘gi test etmek i¸cin kullanılan en g¨u¸cl¨u testlerden biridir. E˘ger p-de˘geri> α ise H0 hipotezi (veri normal da˘gılır) kabul edilir.

R: (”stats” paketi) shapiro.test(veri)

5. Ayrıca, Anderson-Darling testi ve Cramer-von Mises testleri de kullanılabilir.

R: (”nortest” paketi) ad.test(veri) ve cvm.test(veri)

Varyansların homojenli˘ gi i¸cin testler

Fakt¨or d¨uzeylerinin varyansları σ²₁, σ²₂, ..., σ²_a olmak ¨uzere homojenliklerini H₀ : σ²₁ = σ²₂ = ... = σ²_a

H₁ : σ²_i 6= σ²_j en az bir (i , j ) i¸cin hipotezleri ile test ederiz.

Homoscedasticity: Homojen varyanslılık Heteroscedasticity: De˘gi¸sen varyanslılık

1

2 Modelden tahmin edilen yanıt de˘gerleri (yb_ij) ile modelin artıklarının (e_ij) grafi˘gi ¸cizilerek yorumlanır.

3 Bartlett Test: Verideki ¨orneklemlerin normal da˘gılıma sahip olan kitlelerden alındı˘gı bilindi˘ginde varyansların homojenli˘gini test etmek i¸cin kullanılır. E˘ger veriler normal da˘gılımıyorsa testin g¨uc¨u azalır. Bu durumda tercih edilmemelidir.

p-de˘geri> α ise H0 hipotezi (homojen varyanslılık) kabul edilir.

R: (”stats” paketi) bartlett.test(veri˜fakt¨or)

3.1 Levene Test: Bartlett testine alternatiftir. Normallik varsayımı

sa˘glanmadı˘gında varyansların homojenli˘gini test etmek i¸cin kullanılır. Test istatisti˘gi

W = (N − a)Pa

i =1n_i(z_{i .}− z_..)² (a − 1)Pa

i =1

Pni

j =1(zij − z_{i .})² olmak ¨uzere zij nin tanımına g¨ore ¨u¸c farklı versiyonu vardır.

W > F_{a−1,N−a,α}ise H₀ hipotezi red edilir. p-de˘geri> α ise H₀ hipotezi (homojen varyanslılık) kabul edilir.

z_ij = |y_ij − y_{i .}| ortalama kullanarak ⇒Levene testi

zij = |yij −yei .| medyan kullanarak (yei .: i . d¨uzeyin medyanı) ⇒Robust Brown-Forusythe Levene testi

z_ij = |y_ij − y^∗_{i .}| medyan kullanarak (y^∗_{i .}: kesilmi¸s (trimmed) ortalama, verinin alttan ve ¨ustten %5 lik kısımları ¸cıkarılarak hesaplanan ortalama)

⇒Robust Levene type test

1

2 R: (”car” paketi) leveneTest(x, factor(fakt¨or), center=median or mean) ve leveneTest(x, factor(fakt¨or),center=mean, trim=0.1)

D¨ on¨ u¸s¨ umler

Varsayımlar sa˘glanmadı˘gında veri ¨uzerinde bazı d¨on¨u¸s¨umler ile varsayımlar sa˘glatılabilir.

G¨ozlemler Poisson da˘gılımına (¨orne˘gin meydana gelen olayların sayısı) sahip ise y_ij^∗ =√

y_ij veya y_ij^∗ =p1 + y_ij

G¨ozlemler log-normal da˘gılıma sahip ise (fakt¨or d¨uzeylerinin ortalamaları ve standart sapmaları orantılı σ_y ∝ µ veya de˘gi¸sim katsayısı=σ/µ sabit ) y_ij^∗= ln(yij)

Fakt¨or d¨uzeylerinin ortalamalarının karesi standart sapmaları ile orantılı (σy ∝ µ²) ise y_ij^∗ = 1/yij

G¨ozlemler Binom da˘gılımına sahip ise y_ij^∗ = arcsin√ yij

d¨on¨u¸s¨umleri kullanılır.