Sol Ventrikül Anatomisinin ‹ncelenmesinde Yeni Bir Yaklafl›m: Matematik Modelleme
A NEW APPROACH FOR INVESTIGATION OF LEFT VENTRICULAR ANATOMY:
MATHEMATICAL MODELLING
Dr. Nilgün Ulusoy Bozbu¤a, Dr. Esat Ak›nc›, *Dr. Kay›han fiahino¤lu, ** Dr. Lale Akarun, Dr. Cevat Yakut
Kofluyolu Kalp E¤itim ve Araflt›rma Hastanesi, Kalp ve Damar Cerrahisi Klini¤i, ‹stanbul
* ‹stanbul Üniversitesi T›p Fakültesi, Anatomi Ana Bilim Dal›, ‹stanbul
** Bo¤aziçi Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Bilgisayar Mühendisli¤i Bölümü, ‹stanbul
Özet
Amaç: Sol ventrikülün anatomik özelliklerinin matematik modelleme yöntemi kullan›larak incelenmesi ve geometrik yap›s›n›n çözümlenmesi, klinik araflt›rmalara yard›mc› bir yöntem olarak gelifltirilmektedir.
Materyal ve Metod: Bu çal›flmada formol ile fikse edilmifl 18 eriflkin kadavra kalbi kullan›lm›flt›r. Çal›flmaya al›nan kadavra kalplerinin bilgisayarl› tomografi ve manyetik rezonans yöntemleri ile elde edilen görüntülerinden ve silikon kullan›larak al›nan kal›plar›ndan, kalp boflluk ve duvar yap›lar›na ait bilgisayar verileri çözümlenmifl ve bu veriler ile implisit polinomlar kullan›larak 3- boyutlu sol ventrikül matematik modellemesi oluflturulmufltur. Sol ventrikül kitle-hacim iliflkisini belirleyen ölçütler ve sol ventrikül modeli matematiksel olarak saptanm›flt›r.
Bulgular: Dördüncü, alt›nc› ve sekizinci dereceden cebirsel denklemlerle elde edilen matematik modellemelerin sol ventrikül geometrisini yans›tmakta uygun olduklar› görülmüfltür. Onuncu dereceden modelleme ise geometrik yap›n›n yan› s›ra sol ventriküle ait oluflumlar› da (papiller kaslar) göstermekte daha baflar›l› bulunmufltur.
Sonuç: Bu araflt›rmadan elde edilen matematiksel modelleme yönergeleri, sol ventrikül patolojilerine yönelik düzeltim giriflimleri s›ras›nda bilgisayar ortam›nda sol ventrikül konfigürasyonunun oluflturulmas›nda kaynak olarak kullan›labilecektir.
Anahtar kelimeler: Sol ventrikül, matematik modeleme, kardiyak anatomi
Türk Gö¤üs Kalp Damar Cer Derg 2001;9:201-204
Summary
Background: Evaluation and analysis of the geometric structure and anatomical features of the left ventricle using mathematical modelling methods have been being developed as an adjuvant method for clinical experiments.
Methods: In this study, the morphological effects of geometry and dimensions of the left ventricle were examined using of 18 adult hearts from fixed cadavers by formaldehyde who had expired due to noncardiac causes. The computerized tomographic and magnetic resonance images and also silicon molds of the cadaveric hearts included in this study were analysed and a 3-dimentional left ventricular mathematical modelling was constituted using the data analysis with implicit polinomas. The left ventricle mass-volume relations and geometry have been determining mathematically.
Results: The forth, sixth and eigth degree mathematical modellings which were obtained from algebral equations were found to be suitable for reflecting the left ventricular geometry. Whereas the tenth degree modelling was found more successful to demonsrate not only the geometrical features of the left ventricle but also the structures (papillary muscles) relating to the left ventricle.
Conclusion: The obtaining mathematical modelling instructions from this research will be based upon to determine computed data and be adapted to the corrective procedures of left ventricle pathologies and be accepted reference for reconstructing of left ventricular configuration.
Keywords: Left ventricle, mathematical modelling, cardiac anatomy
Turkish J Thorac Cardiovasc Surg 2001;9:201-204 Dr. Bozbu¤a ve Arkadafllar›
Matematik Modelleme
Türk Gö¤üs Kalp Damar Cer Derg 2001;9:201-204
201
Sunuldu¤u Kongre: VI. Gö¤üs Kalp ve Damar Cerrahisi Kongresi, 21-25 Ekim 2000, Antalya Adres: Dr. Nilgün Bozbu¤a, Kofluyolu Kalp E¤itim ve Araflt›rma Hastanesi, 81020, Kad›köy, ‹stanbul e-mail: kosuyolu@superonline.com
Girifl
Bir süreç veya sistemin davran›fl› denklemler arac›l›¤› ile matematiksel olarak modellenebilir [1,2]. Soyut matematik yöntemler bilim dallar›na uyarland›¤›nda somut sonuçlar t ü r e t i l i r. Kardiyak geometri bilgisayar ortam›nda üç boyutlu
modelleme yap›larak gerçe¤e en yak›n biçimde ortaya konulabilir [3,4]. Yapay kalp tasar›mlar›n›n temelinde matematik modellemeler yer almaktad›r. Sol ventrikülün ifllevsel anatomik özelliklerinin matematik modelleme yöntemi kullan›larak incelenmesi ve geometrik yap›s›n›n çözümlenmesi, klinik araflt›rmalara yard›mc› bir yöntem olarak gelifltirilmektedir [5].
Bu çal›flmada amaç, sol ventrikül geometrik anatomisini belirleyen matematik denklemlerden sol ventriküle yönelik cerrahi giriflimlerde yararlan›labilecek matematiksel modellemeler oluflturmakt›r.
Materyal ve Metod
Kofluyolu Kalp E¤itim ve Araflt›rma Hastanesi Kardiyovasküler Cerrahi Klini¤i, Bo¤aziçi Üniversitesi Bilgisayar Mühendisli¤i Bölümü ve ‹stanbul Üniversitesi
‹stanbul T›p Fakültesi Anatomi Anabilim Dal› taraf›ndan yürütülen ortak çal›flmada formol ile fikse edilmifl, kardiyak patolojisi bulunmayan 18 eriflkin kadavra kalbi kullan›lm›flt›r.
Kadavra kalplerinden s›v› silikon ile kal›p ç›kart›larak geometrik modelleri elde edilmifltir. Bu modelden üç boyutlu bir lazer say›sallaflt›r›c› ile veri al›nm›fl ve konik modelleme denemesi için bu veri kullan›lm›flt›r.
Çal›flmaya al›nan kadavra kalpleri bilgisayarl› tomografi (BT) [6] ve manyetik rezonans (MR) görüntüleme yöntemleri ile i n c e l e n m i fl t i r. Kadavra kalpleri üzerinde MR görüntüleme ifllemi 1.5T Siemens (Symphony) MR cihaz› kullan›larak SPGR (Flash T1) sekans ile 5 mm kal›nl›¤›nda kesitler al›narak y a p › l m › fl t › r. Kesitlerden sol ventrikülün kavitesi ve duvar yap›lar›na ait görüntüler JPEG format çözümlenmesi yöntemi ile saklanm›fl ve Silicon Graphics (Virtioza) bilgisayar donan›m› ile IRIX 6.2 yaz›l›m› kullan›larak ifllenmifltir. Elde
edilen verilerden implisit polinomlar ile de¤iflik derecelerde çok bilinmeyenli cebirsel denklemler kurularak 3-boyutlu modelleme oluflturulmufltur.
Matematik modelleme
E¤er yüzey da¤›n›k de¤il ve kapal› ise 3-boyutlu Öklid uzant›lar› kullan›larak düzey setleri oluflturulabilir [7]. Di¤er düzey seti oluflturma teknikleri genellikle üç boyutlu uzayda baflar›l› olamad›klar› için hesaplanmas›n›n karmafl›kl›¤›na ra¤men 3-boyutlu Öklid uzakl›k dönüflümü tercih edilmektedir.
Düzey seti oluflturmada amaç, veri setini oluflturan noktalara ve veri setinden belli bir aç›kl›kta olan düzey seti noktalar›na te¤et bir düzlem oluflturmakt›r [8]. Böylece bu yüzeye dik olan bir
›fl›n takip edilerek veri setinden belirlenen uzakl›kta bulunan düzey seti oluflturulabilir. Bu ifllem karmafl›k oldu¤u için, basit ve içbükey flekiller için daha basit yöntemler kullan›labilir. Bu çal›flmada veri setinin içinde oldu¤u bilinen bir nokta belirlenmifl ve bu referans noktas›n› veri noktalar› ile birlefltiren
›fl›n düzey setini oluflturmak için do¤rultu saptanm›flt›r.
Üç-boyutlu implisit polinomlara, daha önce belirtilen Öklid dönüflümleri uygulanarak implisit polinomlar›n istenen flekilde yönlendirilmeleri sa¤lanm›fl, daha sonra da düzlemlerle kesifltirilerek iki boyutlu kesit polinomlar elde edilmifltir. Bu aflamada implisit polinomlar›n sol ventrikül geometrik anatomisini yans›tmada baflar›l› oldu¤u gözlenmifltir. ‹mplisit polinomlardan elde edilen ifllemler dizgesinden sol ventrikülün üç boyutlu gösterimi elde edilmifltir.
Çal›flman›n bu aflamas›nda, çal›flmaya al›nan kadavra
202
Turkish J Thorac Cardiovasc Surg 2001;9:201-204
Dr. Bozbu¤a ve Arkadafllar›
Matematik Modelleme
fiekil 1. Dördüncü dereceden implisit polinomlarla elde edilen 3-boyutlu sol ventrikül modeli.
fiekil 2. Alt›nc› dereceden implisit polinomlarla elde edilen 3- boyutlu sol ventrikül modeli.
fiekil 3. Sekizinci dereceden implisit polinomlarla elde edilen 3-boyutlu sol ventrikül modeli.
fiekil 4. Onuncu dereceden implisit polinomlarla elde edilen 3- boyutlu sol ventrikül modeli.
203
Dr. Bozbu¤a ve Arkadafllar›
Matematik Modelleme
Türk Gö¤üs Kalp Damar Cer Derg 2001;9:201-204
kalplerinin bilgisayarl› tomografi ve manyetik rezonans yöntemleri ile elde edilen görüntülerinden ve silikon kullan›larak al›nan kal›plar›ndan elde edilen verilerden implisit polinomlar ile dördüncü, alt›nc›, sekizinci ve onuncu derecelerden çok bilinmeyenli cebirsel denklemler kurularak matematik modelleme yap›lm›flt›r (fiekil 1-4). Her dereceden kurulan denklemler dizisinin integral aç›l›m›, sol ventrikül içini yans›tan üç boyutlu bir cisim ortaya koymaktad›r. Bu yöntemle elde edilecek modelin, sol ventriküle yönelik cerrahi tedavinin planlanmas› aflamas›nda yap›lacak giriflimi bilgisayar ortam›nda ekrandaki örnek üzerinde deneme yöntemi olarak kullan›m› için gerekli görüntüleme modülleri oluflturulmaya çal›fl›lm›flt›r.
Bulgular
Dördüncü, alt›nc› ve sekizinci dereceden cebirsel modellemelerin sol ventrikül geometrisini yans›tmakta uygun olduklar› görülmüfltür. Onuncu dereceden modelleme geometrik yap›n›n yan› s›ra sol ventriküle ait oluflumlar› da (papiller kaslar) göstermekte daha baflar›l› bulunmufltur.
Denklemlerin üs dereceleri artt›kça, parametreler de artt›¤› için, üçüncü üs dereceli bir denklemin karfl›l›¤› basit bir koni iken, onuncu üs dereceli bir denklemin karfl›l›¤› sol ventrikül anatomisine yaklafl›k benzerlik gösteren bir konidir. Buna karfl›n bu derecelerdeki modellemeler çok fazla hesaplama g e r e k t i r m e k t e d i r. Onuncu dereceden implisit polinom için denklem 256 bilinmeyen kullan›larak kurgulanmaktad›r.
Tart›flma
Matematik de¤iflmezler, nesnellere göre belirlenen ve koordinat sistemi ile de¤iflmeyen de¤erler olmalar› nedeni ile nesne tan›mada önem tafl›rlar [9,10]. Matematik modellemeler, tüm biyomedikal bilim dallar›nda oldu¤u gibi kardiyovasküler cerrahi teknolojisi alan›nda da son y›llarda baflar› ile u y g u l a n m a k t a d › r. Bu alanda ilk çal›flma, 1990'da üretilen mekanik kalp protezlerinin insanlarda kullan›lmadan önce teknik denetimlerinin matematik modellemeler üzerinde yap›lmas›d›r [11].
Matematik modelleme kalp biyomekani¤i ve geometrik yap›s›n›n temsil edilmesinde de kullan›labilir. Kalbin 3-boyutlu görüntüleme çal›flmalar›ndan elde edilen matematik modellemeler, kalp cerrahisi giriflimlerine uyarlanabilir. Sol ventrikülün boyut ve eksenlerindeki patolojik de¤iflimler kateterizasyon ve anjiyografi, ekokardiyografi ve MR görüntüleme yöntemleri ile de¤erlendirilir. Dinamik bir organ olan kalbin de¤erlendirilmesinde 3-boyutlu görünümüne zaman de¤iflkeni de eklenmektedir. Bu aç›dan sol ventrikül geometrisini belirlemekte kadavra üzerinde yap›lan çal›flmalar, de¤iflkenleri zamandan ba¤›ms›z olarak verebilme flans› yarat›r.
Sol ventrikül fonksiyonlar›n›n de¤erlendirilmesinde temel noktalardan biri geometrik özelliklerinin belirlenmesidir [12].
Laplace Yasas› T = P x R / 2H eflitli¤ini simgeler (T = duvar gerilimi, P = kavite bas›nc›, H = duvar kal›nl›¤›). Laplace yasas› gere¤i sol ventrikül çap art›fl›, kavite bas›nc›n›n sabitlenebilmesi için duvar geriliminin art›fl›na, dolay›s› ile miyokardiyal O2tüketiminin artmas›na yol açacakt›r. Kardiyak kitle ve çap iliflkisi bozuldu¤unda kardiyak dilatasyon ve sonras›nda da kalp yetmezli¤i geliflecektir [13]. Frank-Starling e¤risi sol ventrikül geometrisinin normal oldu¤u koflullarda
geçerli olmaktad›r. Sol ventrikül çaplar›nda geniflleme ve sferik distansiyon kardiyak dekompanzasyona yol açmaktad›r [14].
Dilate kardiyomiyopati (KMP) geliflti¤inde kardiyak transplantasyon d›fl›nda tedavi seçenekleri aras›nda, vazodilatör tedavi ile duvar gerilimini veya sol ventrikül çap›n›
azaltmak bulunmaktad›r. Sol ventrikülün eliptik modellemesi ile fonksiyonel düzelme sa¤lanabilmesi deneysel olarak gösterilmifltir [15]. Konik form, sol ventrikül fonksiyonlar›
aç›s›ndan temel niteliklerden biridir [16,17]. Sol ventrikülün geometrik anatomisinin konik formunu yeniden oluflturmaya yönelik olarak modellenmesi ile sistol sonu esneklik ve diyastolik kompliyans de¤erlerinin düzeldi¤i, sol ventrikül diyastol sonu volümünün azald›¤›, at›m volümünün artt›¤›
simülasyon çal›flmalar› ile kan›tlanm›flt›r [18,19]. Frank- Starling yasas› gere¤i sol ventrikül geometrisini yeniden oluflturmaya yönelik anatomik düzeltme giriflimi (parsiyel sol ventrikül rezeksiyonu) görüflü savunulmaktad›r. Sol ventrikül diyastol sonu çap› 70 mm’yi geçen, NYHA IV fonksiyonel kapasitedeki KMP'lerde Laplace yasas› mant›¤› ile ventrikül boyutlar›n›n ifllevsel düzeyde küçültülmesi için parsiyel sol ventrikülektomi (PSV) yap›lmaktad›r. Parsiyel sol ventrikülotomi ilk kez Batista taraf›ndan uygulanm›flt›r [20].
Batista ve arkadafllar› ejeksiyon fraksiyonu %20'nin alt›nda olan 120 olgudan oluflan PSV serilerinde, %22 oran›nda mortalite ve %55 oran›nda 2 y›ll›k sa¤-kal›m oran›
yay›nlam›fllard›r. Preoperatif NYHAIVfonksiyonel kapasitede olan hastalar›n PSV sonras›nda NYHA I (%57) ve II (%33) fonksiyonel kapasitede yer ald›klar› bildirilmifltir.
‹diyopatik dilate KMP'lerde PSV endikasyonu için kriterler klinik (preoperatif fonksiyonel kapasite, mitral yetmezlik), histolojik (miyosit boyutu, miyokardiyal fibrozisin derecesi, ventrikül elastik yap›s›) ve geometrik (sol ventrikül sistolik ve diyastolik ölçüm de¤erleri) parametrelerden oluflur. Hasta seçiminde, hücresel düzeyde fonksiyon kayb› geliflmeden önce giriflimin yap›lmas› önerilmektedir [21]. Semi-kantitif inceleme sonucu miyokardiyal fibrozis ve ileri miyokardiyal hipertrofi geliflen olgularda PSV sonras› daha kötü bir prognoz beklenmektedir.
Multivaryant analiz sonucu, PSV sonras› erken postoperatif dönemde makroanatomik kriterler aras›nda sol ventrikülün sistolik geometrisi majör prognostik faktör olarak belirlenmifltir [22]. Sol ventrikül sistolik geometrisi, majör/minör çap oran› ve sistol sonu çevresel gerilim ile ba¤lant›l› bulunmufltur. PSV sonuçlar› üzerinde etkili olan di¤er özellikler septumun, papiller kaslar›n, mitral kapak ve sa¤ ventrikülün durumudur [23]. Papiller kaslar›n konumu PSV giriflimini s›n›rlar [24,25].
Mitral yetmezlik geliflme riskinden dolay› papiller kaslar›n aras›nda uzanan sol ventrikül duvar›n›n rezeksiyonundan ve papiller kaslar›n reimplantasyonundan kaç›n›lmal›d›r [20,26].
Matematik modelleme sol ventriküle yönelik rekonstrüktif cerrahi giriflimler için uyarlanabilir. Kalbin 3-boyutlu görüntüleme çal›flmalar›ndan elde edilen verilerle oluflturulan bu yöntem ile sol ventrikülü etkileyen patolojilerde, normal geometrik yap›dan sapmalar cebirsel de¤iflimler olarak ifade e d i l e b i l e c e k t i r. Bu araflt›rmadan elde edilecek matematik modelleme yönergeleri, sol ventrikül patolojilerine yönelik düzeltim giriflimleri için bilgisayar ortam›nda konfigürasyon oluflturulmas›nda kriter al›nabilir. Matematiksel çözümleme ile sol ventrikül parsiyel rezeksiyonlar›ndan sonra fonksiyonal düzelme ve erken postoperatif yetmezlik mekanizmalar›n›n daha iyi anlafl›lmas› sa¤lanabilir.
Aç›klama
Bo¤aziçi Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Endüstri Mühendisli¤i Bölümü ö¤retim üyelerine ve Dr. Taner Eskil'e matematik modelleme ifllemlerinin gerçeklefltirilmesinde de¤erli katk›lar› ve Sonomed T›bbi Görüntüleme Merkezi ve Laboratuvar›'na kadavra kalplerinin MR görüntülemesi iflleminde yard›mlar› için teflekkürlerimizi sunar›z.
Kaynaklar
1. McLean AR. Mathematical modelling of effectiveness.
Dev Biol Stand 1998;95:225-33.
2. Aszodi A, Munro RE, Taylor WR. Distance geometry based comperative modelling. Fold Des 1997;2:S3-6.
3. Nielsen PMF, Le Grice IJ, Smaill BH, Hunter PJ.
Mathematical model of geometry and fibrous structure of the heart. Am J Physiol 1991;260:H1365-78.
4. Czegledy FP, Katz J. A new geometric description of the right ventricle. J Biomed Eng 1993;15:387-91.
5. Bozbu¤a NU, Akarun L, Ak›nc› E, fiahino¤lu K, Öztürk A, Yakut C. Kalp-damar cerrahisinde matematik modellemenin yeri. Klinik Geliflim 1999;12:776-9.
6. Mochizuki T, Murase K, Higashino H, et al. Two and three dimensional CT ventriculography: A new application of helical CT. Am J Roentgenol 2000;174:203-8.
7. Lei Z, Cooper DB. Linear programming fitting of implicit polynomials. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 1996;20:212-7.
8. Keren D. Using Symbolic Computation to Find Algebraic Invariants. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 1994;16:1143-9.
9. Taubin G, Cuikerman S, Sullivan J, Ponce J, Kiergman DJ.
Parametrized families of polynomials for bounded algebraic curve and surface fitting. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligance 1994;16:287-303.
10. Umasuthan M, Wallace A. A comparative analysis of algorithms for fitting planar curves and surfaces defined by implicit polynomials. In: Fisher R, ed. Design and Application of Curves and Surfaces, Oxford: Clarendon Press, 1994.
11. Idelsohn S, Costa L, Ponso R. A comperative computational study of blood flows through prosthetic heart valves using the finete element method. J Biomed Eng 1990;12:419-24.
12. Markhasin VS, Katsnelson LB, Nikitina LV, Protsenko P.
Mathematical modelling of the contribution of mechanical inhomogenenity in the myocardium to contractile function.
Gen Physiol Biophys 1997;16:101-37.
13. Guccione JM, Moonly SM, Moustakidis P, et al.
Mechanism underlying mechanical dysfunction in the border zone of ventricular aneurysm: A finite element model study. Ann Thorac Surg 2001;71:654-62.
14. Costa KD, Hunter PJ, Wayne JS, Waldman LK, Guccione JM, McCulloch AD. A three-dimensional finite element method for large elastic deformation of ventricular myocardium: II. Prolate spheroidal coordinates. J Biomech Eng 1996;118:464-72.
15. Baretti R, Mizuno A, Buckberg, GD, Child JS. Batista procedure: Elliptical modeling against spherical distention.
Eur J Cardiothorac Surg 2000;17:52-7.
16. Bozbu¤a N, fiahino¤lu K, Öztürk A, ve ark. Sol ventrikül fonksiyonel anatomisi ile geometrisinin iliflkilendirilmesi.
Morfoloji Dergisi 1999;6:40-3.
17. Guccione JM, McCulloch AD, Waldman LK. Passive material properties of intact ventricular myocardium determined from a cylindrical model. J Biomech Eng 1991;113:42-55.
18. Ratcliffe MB, Hong J, Salahieh A, Ruch S, Wallace AW.
The effect of ventricular volume reduction surg e r y in dilated, poorly contractile left ventricle: A s i m p l e finite element analysis. J Thorac Cardiovasc Surg 1998;116:566-77.
19. Popovic Z, Miric M, Gradinac S, Neskovic AN, Bojic M, Popovic AD. Partial left ventriculectomy improves left ventricular end systolic elastance in patients with idiopathic dilated cariomyopathy. Heart 2000;83:316-9.
20. Batista RJ, Verde J, Nery P, et al. Partial left ventriculectomy to treat end-stage heart disease. Ann Thorac Surg 1997;64:634-8.
21. Frazier OH, Gradinac S, Segura AM, et al. Partial left ventriculectomy: Which patients can be expected to benefit? Ann Thorac Surg 2000;69:1836-41.
22. Popovic Z, Miric M, Neskovic AN, et al. Fonctional capacity late after partial left ventriculectomy: Relation to ventricular geometry and performance. Eur J Cardiothoracic Surg 2001;19:61-7.
23. Gorcsan J, Feldman AM, Kormos RL, Mandarino WA, Demetris AJ, Batista RJ. Heterogeneous immediate effects of partial left ventriculectomy on cardiac performance.
Circulation 1998;97:839-42.
24. Bozbu¤a N, fiahino¤lu K, Ar› Z, et al. Importance of the subvalvular apparatus for left ventricular functional a n a t o m y. Okajimas Folia Anatomica Japonicum 1999;75:323-8.
25. Gradinac S. Functional capacity late after partial left ventriculectomy: Relation to ventricular geometry and performance. Eur J Cardiothorac Surg 2001;19: 61-7.
26. Cury PM, Higuchi MdL, Gutierrez PS, et al. Autopsy findings in early and late postoperative death after partial left ventriculectomy. Ann Thorac Surg 2000;69:769-73.
204
Turkish J Thorac Cardiovasc Surg 2001;9:201-204
Dr. Bozbu¤a ve Arkadafllar›
Matematik Modelleme
Ek 1. 3 boyutta n'inci dereceden implisit polinom ifadesi.
fn(x, y, z) = ai j kxiyjzk
i + j + k ≤ n
= a000 + a0 0 0x + a0 0 0y + a0 0 0z
H0 H1
+ a0 0 0x2 + a0 0 0xy + a0 0 0xz + a0 0 0y2 + a0 0 0yz + a0 0 0z2
H2
+...+ a0 0 0xn +...+ a0 0 0yn +...+ a0 0 0zn
Hn n
= Hr(x, y, z) = 0
r= 0
