6.SINIF. Toplama işleminin özellikleri. Çarpma işleminin özellikleri. Hazırlayan. Mustafa Yasin ÜSTÜN. Matematik Öğretmeni.

(1)

www.ustunmatematik.com Mustafa Yasin Üstün Sayfa 1

6.SINIF

DOĞAL SAYILARLA İŞLEMLER KONU ANLATIM FÖYÜ-1

KONULAR

 Toplama işleminin özellikleri

 Çarpma işleminin özellikleri

Hazırlayan

Mustafa Yasin ÜSTÜN Matematik Öğretmeni

www.ustunmatematik.com

(2)

www.ustunmatematik.com Mustafa Yasin Üstün Sayfa 2 TOPLAMA VE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Toplama ve çıkarma işlemlerinin işlemlerde bizlere bir çok kolaylık sağlayacağı özellikleri vardır. Aşağıdaki tabloyu inceledikten sonra tek tek bu özelliklerin üzerinde duracağız.

A) TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 1. Değişme Özelliği:

Bu özellik toplama işleminde toplanan sayıların yer değiştirmesinin, işlemin sonucunu değiştirmeyeceği anlamını taşımaktadır. Örneğin 35+15 işleminin sonucu ile 15+35 işleminin sonucu aynıdır. Bu özelliği matematik diliyle yazacak olursak:

Örnek: 1256 + ∆ = 75 + 1256 eşitliğinin sağlanabilmesi için ∆ yerine hangi doğal sayı gelmelidir?

Çözüm: Toplama işleminin değişme özelliği olduğundan,

1256 + ∆ = 75 + 1256 eşitliğinin sağlanabilmesi için ∆ yerine 75 gelmelidir.

 Zihinden işlem yapabilmek için de toplama işleminin değişme özelliğinden faydalanabiliriz. Örneğin;

43 +80 + 17 işlemini yaparken 80 ile 17 sayısının yerini değiştirip kolay toplanan sayıları yan yana getirebiliriz.

43 + 17 + 80 = 60 +80 = 140

(3)

www.ustunmatematik.com Mustafa Yasin Üstün Sayfa 3 2. Birleşme Özelliği:

Bu özellik üç veya daha fazla sayı toplanırken herhangi iki tanesinin paranteze alınıp daha önce toplanmasının, işlemin sonucunu değiştirmeyeceğini ifade etmektedir. Örneğin,

15 + 12 + 20 işlemini (15+12) +20 veya 15 + (12+20) şeklinde yazabiliriz. İki durumda da sonuçlar aynıdır.

Bu özelliği matematik diliyle yazacak olursak:

Örnek:

3250 + ( □ + 245) = ( 3250 + 1240) + 245 eşitliğinin sağlanabilmesi için □ yerine hangi sayı yazılmalıdır?

Çözüm:

Toplama işleminin birleşme özelliği olduğundan □ yerine 1240 yazılmalıdır.

 Toplama işleminin birleşme özelliği yine kolay toplanan sayıların daha önce toplanmasını sağlayarak işlemlerde kolaylıklar sağlayabilir.

3. Etkisiz (Birim) Eleman

Bu özellik 0 sayısının toplama işleminde hiçbir etkisinin olmadığını ifade etmektedir. Toplama işleminin etkisiz elemanı 0' dır ve bir sayıyı 0 ile toplarsak sonuç sayının kendisine eşit olur. Bu özelliği matematik diliyle yazacak olursak:

Örnek: 348 + * = 348 eşitliğinde * yerine hangi sayı yazılmalıdır?

Çözüm:

348 + * = 348 olduğundan * yerine yazılacak sayı işlemin sonucunu etkilememiştir. Bu yüzden * yerine 0 yazılmalıdır.

(4)

www.ustunmatematik.com Mustafa Yasin Üstün Sayfa 4 B) ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

1. Değişme Özelliği:

Bu özellik çarpma işleminde çarpılan sayıların yeri değişirse işlem sonucunun değişmeyeceğini ifade etmektedir. Örneğin, 12 x 5 işlemi ile 5 x 12 işleminin sonuçları aynıdır. Bu durumu matematik diliyle şu şekilde belirtebiliriz:

Örnek:

315 x M = 85 x 315 eşitliğinin sağlanabilmesi için M yerine hangi sayı yazılmalıdır?

Çözüm:

Burada çarpma işleminin değişme özelliği kullanılmıştır. Çarpılan sayılar yer değiştirdiğinden M yerine 85 yazılmalıdır.

2. Birleşme Özelliği:

Bu özellikte üç veya daha fazla sayı çarpılırken herhangi iki tanesinin paranteze alınarak daha önce çarpılmasının işlemin sonucunu etkilemeyeceği ifade edilmektedir. Örneğin,

(5 x 12) x 4 işlemi ile 5 x ( 12 x 4) işleminin sonucu aynıdır. Bu durumu matematik diliyle şu şekilde belirtebiliriz:

(5)

www.ustunmatematik.com Mustafa Yasin Üstün Sayfa 5 Örnek:

45 x ( ∆ x 150) = ( 45 x 90) x 150 eşitliğinin sağlanabilmesi için ∆ yerine hangi sayı yazılmalıdır?

Çözüm:

Burada çarpma işleminin birleşme özelliği kullanılmıştır. Eşitliğin sağlanabilmesi için ∆ yerine 90 yazılmalıdır.

3. Etkisiz (Birim) Eleman:

Bu özellik 1 sayısının çarpma işleminde hiçbir etkisinin olmadığını ifade etmektedir. Çarpma işleminin etkisiz elemanı 1' dir ve bir sayıyı 1 ile çarptığımızda sonuç sayının kendisine eşit olmaktadır. Örneğin, 15 x 1 işleminin sonucu yine 15' tir. Bu durumu matematik diliyle şu şekilde ifade edebiliriz:

Örnek:

a ve b birbirinden farklı iki doğal sayıdır.

( a + b ) x d = a + b olduğuna göre d yerine hangi doğal sayı yazılmalıdır?

Çözüm:

d yerine yazılacak sayı çarpma işlemini etkilememiştir. Bu yüzden d yerine çarpma işleminin etkisiz elamanı yani 1 yazılmalıdır.

4. Yutan Eleman:

Çarpma işleminde öyle bir doğal sayı vardır ki işlemin sonucunu her zaman kendisine benzetir. Bu sayı 0 dır ve bir doğal sayının 0 ile çarpımı yine 0' dır. Bu yüzden 0 sayısı çarpma işleminin yutan elemanıdır.

(6)

www.ustunmatematik.com Mustafa Yasin Üstün Sayfa 6 ÇARPMA İŞLEMİNİN DAĞILMA VE ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA ÖZELLİĞİ

DAĞILMA ÖZELLİĞİ

Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerinde dağılma özelliği vardır.

Örneğin; 15 x ( 12 + 18 ) = 15 x 12 + 15 x 18 25 x ( 14 - 6 ) = 25 x 14 - 25 x 6 = 180 + 270 = 350 - 150 = 450 = 200

Örnek: 12 x ( 5+7) = 12x5 + 12x7 Örnek: 15 x (10-3) = 15x10 - 15x3 = 60 + 84 = 150-45 = 144 = 105

Örnek: 25 x ( m+n) = (25 x 8) + (25 x 7) eşitliğinde m + n toplamı kaçtır?

A) 33 B) 15 C) 32 D) 50

Çözüm: 25 x ( m+n ) = (25 x m) + (25 x n) şeklinde dağıtılır. Bu durumda m=8, n=7 olur ve m+n = 8+7 = 15 Cevap B şıkkı

Örneğin, 12 x 55 = 12 x ( 50+5 ) = 12x50 + 12x5 = 600+60 = 660 olur

(7)

www.ustunmatematik.com Mustafa Yasin Üstün Sayfa 7 ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA

Ortak çarpan parantezine alma özelliği dağılma özelliğinin tersidir. Dağılmış işlemi tekrar toplu hale getirmek gibi düşünülebilir. Toplama veya çıkarma işlemindeki ortak çarpanlar parantezin başında, diğer çarpanlar parantezin içinde olacak şekilde aşağıdaki gibi yazılır:

Örnek: 35 x 42 - 35 x 22 işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:

35 sayısı önce 42 sonra 22 ile çarpılmıştır. Ortak çarpan 35 tir. Buna göre işlemi, 35 x ( 42-22) şeklinde yazabiliriz.( dağılma özelliğinin tersi)

35 x (42-22) = 35 x 20 = 700 dür.

Örnek:

Şekilde verilen renkli dikdörtgenlerin alanları toplamını ortak çarpan parantezine alma özelliğini kullanarak bulalım.

Çözüm: Sarı bölgenin alanı: 15x4 cm² Yeşil bölgenin alanı: 15x8 cm² Kahverengi bölgenin alanı: 15x2 cm² Toplamları: 15x4 + 15x8 + 15x2 = 15 x (4+8+2) = 15x14 = 210 cm² dir.

(8)

www.ustunmatematik.com Mustafa Yasin ÜSTÜN Sayfa 1

6.SINIF

DOĞAL SAYILARLA İŞLEMLER KONU ANLATIM FÖYÜ-2

KONULAR

 Üslü Nicelikler

 İşlem Önceliği

Hazırlayan

Mustafa Yasin ÜSTÜN Matematik Öğretmeni

www.ustunmatematik.com

(9)

ÜSLÜ NİCELİKLER

Üslü nicelikler aynı sayının yan yana çarpım şeklinde yazılışlarını ve çok büyük ve çok küçük sayıları daha sade şekilde göstermek için kullanılır. Örneğin yan yana çarpım şeklinde 5 tane 3 düşünelim:

3x3x3x3x3 bu ifadeyi 3⁵ şeklinde daha basitçe gösterebiliriz. Burada 3 e taban, 5 e ise üs veya kuvvet denir. Mantığı tabandaki sayının üsteki sayı kadar yan yana yazılıp çarpılmasıdır. Okunuşu ise 3 üzeri 5 veya 3 ün 5.kuvveti şeklindedir.

Anlamı 5 tane 3 ün çarpımı, değeri ise 243 dür.

Yanda görüldüğü gibi n tane a' nın yan yana çarpım şeklinde yazılmasıyla oluşan ifadeler üslü ifadelerdir.

Tabandaki sayı üsteki sayı kadar yan yana yazılıp çarpılarak üslü ifadenin değeri bulunur.

Örnek: Aşağıda verilen üslü ifadelerin tabanını, üssünü, okunuşunu, anlamını ve değerini belirleyelim.

Üslü İfade Taban Üs Okunuşu Anlamı Değeri

5³ 5 3 Beş üzeri üç 3 tane 5 in çarpımı 125

3⁴ 3 4 Üç üssü dört 4 tane 3 ün çarpımı 81

2⁷ 2 7 İkinin yedinci kuvveti 7 tane 2 nin çarpımı 128

4³ 4 3 Dördün üçüncü kuvveti 3 tane 4 ün çarpımı 64

Örnek:

3⁷ ifadesinde üs ile tabanın toplamı kaçtır?

Çözüm:

3⁷ ifadesinde taban 3, üs ise 7 dir. Toplamları da 3+7=10 dur.

Örnek:

5x5x5x5x5x5 = 5^∆ ise ∆ yerine hangi sayı yazılmalıdır?

Çözüm:

5 sayısı yan yana çarpım şeklinde 6 defa yazıldığı için 5⁶ şeklinde yazılır. Bu yüzden ∆ yerine 6 yazılmalıdır.

(10)

www.ustunmatematik.com Mustafa Yasin ÜSTÜN Sayfa 3 Örnek:

3³ + 5² - 2⁵ işleminin sonucu kaçtır?

A) 20 B) 9 C) 28 D) 42

Çözüm:

3³ = 3x3x3 = 27 5² = 5x5 = 25

2⁵ = 2x2x2x2x2 = 32 olduğundan 3³ + 5² - 2⁵ = 27+25-32

= 20 Cevap A şıkkı

Örnek:

9⁰ + 4³ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

9⁰ = 1

4³ = 4x4x4 = 64 9⁰ + 4³ = 1+64 = 65

Örnek:

2019¹ - 3¹ + 0¹ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

2019¹ = 2019 3¹ = 3

0¹ = 0 2019 - 3 + 0 = 2016

(11)

www.ustunmatematik.com Mustafa Yasin ÜSTÜN Sayfa 4 Örnek:

1²⁰¹⁹ - 1²⁰¹⁸ + 1²⁰¹⁷ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

1 i yan yana kaç defa yazıp çarparsak çarpalım sonuç yine 1 olacaktır.

1²⁰¹⁹= 1 1²⁰¹⁸ = 1

1²⁰¹⁷ = 1 1-1+1 = 1 olur

Örnek:

2020¹ + 1²⁰²⁰ - 2020⁰ + 0²⁰²⁰ işleminin sonucu kaçtır?

A) 1 B) 2020 C) 2021 D) 2019

Çözüm:

2020¹ = 2020 1²⁰²⁰ = 1 2020⁰ = 1

0²⁰²⁰ = 0 2020¹ + 1²⁰²⁰ - 2020⁰ + 0²⁰²⁰ = 2020 + 1 - 1 + 0

= 2020 Cevap B şıkkı

ÜSLÜ İFADELERDE SIRALAMA

Üslü ifadelerde sıralamayı üç durum halinde inceleyeceğiz. Tabanlar eşitken, üsler eşitken ve taban veya üsler eşit değilse şeklinde bu durumları açıklayalım:

 Örnek:

3⁵ ve 3⁷ ifadelerini karşılaştıralım:

3⁵ = 3x3x3x3x3 = 243 3⁷ = 3x3x3x3x3x3x3 = 2187 Bu durumda 3⁷ > 3⁵ olur.

(12)

www.ustunmatematik.com Mustafa Yasin ÜSTÜN Sayfa 5 SONUÇ : 1 'den büyük üslü ifadelerde tabanlar eşitse üssü büyük olan daha büyüktür.

 Örnek:

4⁵ ve 6⁵ ifadelerini karşılaştıralım:

4⁵ = 4x4x4x4x4 = 1024 6⁵ = 6x6x6x6x6 = 7776 Bu durumda 6⁵ > 4⁵

SONUÇ: 1'den büyük üslü ifadelerde üsler eşitse tabanı büyük olan daha büyüktür.

 Örnek:

2⁷ ve 5³ ifadelerini karşılaştıralım:

2⁷ = 2x2x2x2x2x2x2 = 128

5³ = 5x5x5 = 125 Bu durumda 2⁷ > 5³ olur.

SONUÇ: Taban veya üsler eşit değilse üslü ifadelerin değeri bulunarak sıralama yapılır.

Örnek:

5^∆ < 5¹² < 5^□ sıralamasında ∆ yerine yazılabilecek en büyük doğal sayı ile □ yerine yazılabilecek en küçük doğal sayının toplamı kaçtır?

A) 22 B) 23 C) 24 D) 25

Çözüm:

Tabanlar eşit olduğundan üssü büyük olan daha büyüktür. ∆ yerine yazılacak sayı 12 den küçük, □ yerine yazılacak sayı ise 12 den büyük olmalıdır.

Bu durumda ∆en fazla = 11 □en az = 13 tür. 11+13 = 24 olur.

Cevap C şıkkı

Örnek:

10⁵ , 10¹² , 8 x 10¹⁵ ve 12 x 10²¹ ifadelerinin sonunda kaç tane 0 olduğunu bulalım.

Çözüm:

10⁵ = 10x10x10x10x10 = 100000 → 5 tane 0 vardır.

10¹² = 10x10x...x10 = 100...0 → 12 tane 0 8 x 10¹⁵ = 8 x 10...0 = 80...0 → 15 tane 0 12 x 10²¹ = 12 x 10...0 = 120...0 = 21 tane 0

(13)

www.ustunmatematik.com Mustafa Yasin ÜSTÜN Sayfa 6 İŞLEM ÖNCELİĞİ

 Birden fazla işlemin bulunduğu durumlarda önce hangi işlemin yapılacağı genelde ayraçlarla belirtilir.

 Eğer işlem sırasını belirtmek için ayraç kullanılmamışsa sırası ile şu işlemler yapılır:

 Parantez içleri ve üslü ifadeler,

 çarpma ve bölme işlemleri,

 toplama ve çıkarma işlemleri

 Verilen işlemler aynı önceliğe sahipse ( çarpma ile bölme ve toplama ile çıkarma) soldan sağa doğru sıra ile işlemler yapılır.

Örnek: Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulalım.

1-) 32 - 4 x 5 + 16 = ?

Çözüm: 32 - 4 x 5 + 16 = 32 - 20 + 16 = 12 + 16 = 28

2-) 5 + ( 4³ - 18) = ?

Çözüm: 5 + ( 4³ - 18) = 5 + ( 64 - 18) = 5 + 46 = 51

3-) 45 : 3² + ( 5² - 17 )²= ?

Çözüm: 45 : 3² + ( 5² - 17 )²= 45 : 9 + ( 25 - 17 )² = 5 + 8²

= 5 + 64 = 69

4-) 180 : ( 24 - 3 x 6 + 14 ) = ?

Çözüm:

180 : ( 24 - 3 x 6 + 14 ) = 180 : ( 24 - 18 + 14 ) = 180 : ( 6 + 14 ) = 180 : 20 = 9

5-) 48 + ( 2⁵ x 3 ) : 6 = ?

Çözüm:

48 + ( 2⁵ x 3 ) : 6 = 48 + ( 32 x 3 ) : 6 = 48 + 96 : 6 = 48 + 16 = 64

(14)

www.ustunmatematik.com Mustafa Yasin ÜSTÜN Sayfa 7 6-) 28 : 4 + 5³ - 96 : 16 = ?

Çözüm:

28 : 4 + 5³ - 96 : 16 = 28 : 4 + 125 - 96 : 16 = 7 + 125 - 6

= 132 - 6 = 126

7-) 32 + 6 x 10 - 12 : 6 - 1 = ?

Çözüm:

32 + 6 x 10 - 12 : 6 - 1 = 32 + 60 - 2 - 1 = 92 - 2 - 1 = 89

8-) 12 x ( 3³ - 5 x 4 ) - 14 = ?

Çözüm:

12 x ( 3³ - 5 x 4 ) - 14 = 12 x ( 27 - 5 x 4 ) - 14 = 12 x ( 27 - 20 ) - 14 = 12 x 7 - 14

= 84 - 14 = 70

9-) [ 3 + ( 2³ x 4⁷)³ ]⁰ = ?

Çözüm:

Köşeli parantezin üzeri 0 olduğundan parantezin içindeki işlemlerin sonucu ne çıkarsa çıksın ( sıfır hariç) sonuç 1 olacaktır.

10-) [ 48 : ( 3 x 2³ ) + 10 ] - 5 x 2 = ?

Çözüm:

[ 48 : (3x2³) +10]-5x2=[48:(3x8)+10]-5x2 = [ 48 : 24 + 10 ] - 5 x 2 = [ 2 + 10 ] - 10

= 12 - 10 = 2

(15)

6.SINIF

DOĞAL SAYILARLA İŞLEMLER KONU ANLATIM FÖYÜ-3

KONULAR

 Doğal Sayı Problemleri

Hazırlayan Mustafa Yasin ÜSTÜN Matematik Öğretmeni

(16)

DOĞAL SAYI PROBLEMLERİ

Günlük hayatta markete, pazara alış verişe gittiğimizde, okulda yazılılardan aldığımız notları hesaplarken vb bir çok durumda aslında problem çözüyoruz. Problem çözerken ilk yapmamız gereken problemi çok iyi okuyup anlamalıyız. Verilen bilgileri iyi analiz ederek bir çözüm yolu üretmeli ve sonra çözüme geçmeliyiz.

Aşağıdaki problemleri önce kendiniz çözmeye çalışarak daha sonra çözümleri inceleyebilirsiniz.

1-) Mine kütüphaneden aldığı bir kitabı her gün bir önceki gün okuduğu sayfa sayısının 2 katının 5 eksiği kadar sayfa okuyarak 6 günde bitirmiştir. İlk gün 12 sayfa okuyan Mine'nin kütüphaneden aldığı kitap kaç sayfadır?

A) 449 B) 456 C) 471 D) 486

Çözüm:

1.gün 2.gün 3.gün 4.gün 5.gün 6.gün TOPLAM

Okunan Sayfa Sayısı

12 12x2-5=19 19x2-5=33 33x2-5=61 61x2-5=117 117x2-5=229

471

 Problem çözerken tablo ve grafik oluşturmak soruyu daha iyi anlayıp çözüm üretmemize fayda sağlamaktadır.

2-) 6 kişilik bir arkadaş grubu hafta sonu piknik düzenlemeye karar verirler. İhtiyaç duydukları malzemeleri almak için herkes eşit miktar ücret ödeyecektir. Son gün arkadaşlardan biri pikniğe gitmekten vazgeçince geriye kalan arkadaşların her biri 2 şer TL daha fazla ödeme yapmak zorunda kalmıştır. Buna göre piknik için gerekli malzemeler toplam kaç TL tutmuştur?

A) 30 B) 40 C) 50 D) 60

Çözüm:

1 kişi ayrıldığında onun ödemesi gereken ücreti geriye kalan arkadaşları ödeyecektir. Kalan 5 arkadaş her biri 2 'şer TL fazla ödeyerek 5x2=10 TL fazladan öderler. ( gruptan çıkan arkadaşlarının ödemesi gereken tutar)

Demek ki 6 kişi olduklarında her biri 10 TL olmak üzere toplam 10x6= 60 TL ödeyeceklerdir.

Cevap D şıkkı

(17)

3-) Ayşe hanım evde hazırladığı çilek reçellerinin bir kavanozunu 12,50 TL den satmaktadır. 1 kg vişne ile 2 kavanoz reçel yapan Ayşe hanım 15 kg vişne kullanarak hazırladığı tüm kavanozları sattığında kaç TL gelir elde eder?

A) 350 B) 375 C) 400 D) 425

Çözüm:

1 kg vişne → 2 kavanoz ise

15 kg vişne → 15x2= 30 kavanoz reçel yapar. 30 x 12,50 = 375 TL gelir elde edilir.

Cevap B şıkkı

4-) Cep telefonu için A paketi tarifesini kullanan Salih Bey A paketi satıcısı şirket ile 2 yıllığına şöyle bir anlaşma yapmıştır:

 2 yıl boyunca tarifesini değiştirmezse her ay 30 TL sabit ücret ödeyecek

 2 yıl dolmadan tarife değiştirse kalan ay sayısı x 20 TL tazminat ödeyecektir.

Örneğin 15 ay A tarifesini kullanıp sonra tarife değiştirecek olsa 15 x 30 TL = 450 TL fatura ödemesi, 2 yıl olmadan tarife değiştirdiği için de (9 ayı kaldığından) 9x20 TL = 180 TL de tazminat ödemesi yapacaktır.

12 ay boyunca A paketi tarifesini kullanan Ahmet Bey daha sonra B paketi tarifesine geçmiş ve 10 ay da bu tarifeyi kullanmıştır. B paketi tarifesine göre ilk 5 ay 15 TL sonraki her ay için 20 TL sabit ücret ödeyen Ahmet Bey iki tarife için fatura ve tazminat olmak üzere toplam kaç TL ödeme yapmıştır?

A) 750 B) 775 C) 800 D) 825

Çözüm:

A tarifesine 12 ay kullanımdan dolayı 12x30 = 360 TL fatura tutarı 12 ay erken vazgeçtiği için 12x20 = 240 TL tazminat öder.

B tarifesinde ilk 5 ay 5x15 = 75 TL sonraki 5 ay için 5x20= 100 TL fatura ödemesi yapar.

Toplamda 360 + 240 + 75 + 100 = 775 TL ödeme yapmış olur.

Cevap B şıkkı

(18)

5-) İki kardeşin 5 yıl sonraki yaşlarının toplamı 32 oluyorsa 6 yıl önceki yaşlarının toplamı kaçtır?

A) 21 B) 20 C) 12 D) 10

Çözüm:

5 yıl sonra → 32

Şimdi → 22 ( 5 yılda ikisi de 5 er yaş değişeceğinden toplamda 10 değişir)

6 yıl önce → 22-12 = 10 olur Cevap D şıkkı

6-)

Tuna' ın almak istediği yandaki bilgisayar 2500 TL tutarındadır. 680 TL si olan Tuna her ay eşit miktarda para biriktirerek 14 ay sonunda bu bilgisayarı almıştır. Buna göre Tuna her ay kaç TL biriktirmiştir?

A) 120 B) 130 C) 140 D) 150

Çözüm:

2500- 680 = 1820 ( biriktirmesi gereken para)

1820 : 14 = 130 ( bir ayda biriktirdiği para) Cevap B şıkkı

7-) Merve 100 soruluk bir sınava katılmıştır. Sınav puanı oluşturulurken doğru sayısından yanlış sayısının üçte biri çıkarılarak neti hesaplanıyor ve net sayısı 5 ile çarpılıyordur. Boş bırakılan sorular puanlamayı etkilememektedir. Örneğin 100 sorudan 60 doğru, 30 yanlış ve 10 boş cevabı olan bir öğrenci için;

Sınav puanı = [ 60 - (30:3) ] x 5 = 50 x 5 = 250 olur.

Merve 100 sorudan 8 tanesini boş bırakmış olup, doğru sayısı yanlış sayısından 44 fazladır. Buna göre Merve' nin sınavdan aldığı puan aşağıdakilerden hangisidir?

A) 280 B) 290 C) 300 D) 310

(19)

Çözüm:

8 boş olduğundan 100-8 = 92 soruya cevap verilmiştir.

Doğru ve yanlış cevapların toplamı 92 dir. Doğru ve yanlışlar eşit olsaydı 46-46 olacaktı fakat doğrular 44 fazla olduğu için doğru sayısını 22 artırıp yanlış sayısını 22 azaltırsak aralarındaki fark 44 olur.

Bu durumda doğru sayısı = 46+22 = 68 yanlış sayısı = 46-22 = 24 olur.

Sınav Puanı = [ 68 - ( 24:3) ] x 5 = [ 68-8 ] x5 = 60 x 5 = 300 dür

8-) Mertcan evindeki oyuncakları 5' erli gruplara ayırdığında 14 grup oluşuyor ve 2 oyuncağı artıyor. Aynı oyuncakları 6' şarlı gruplara ayırsaydı kaç oyuncağı artardı?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Çözüm:

14 x 5 + 2 = 72 parça oyuncak vardır. Bu oyuncakları 6' şarlı gruplara ayırsaydı, 72:6 = 12 grup olurdu ve hiç oyuncak artmazdı. ( 72, 6 ya kalansız bölünür)

Cevap A şıkkı

9-) Aylin öğretmen 128 cm uzunluğundaki bir demir çubuğu demir ustasında küçük parçalar halinde kestirip, bu parçaları birleştirerek farklı karesel levhalar oluşturacaktır. İlk oluşturacağı karesel levhanın kenar uzunluğu 5 cm olup, her defasında kenar uzunluğu bir öncekinin kenar uzunluğundan 2 cm fazla olacak şekilde elindeki parçaların yettiği kadar sayıda karesel levha oluşturuyor.

Demir ustası her kesim için 1 TL ücret aldığına göre Aylin öğretmen bu iş için kaç TL ödemiştir?

A) 12 B) 14 C) 15 D) 17

(20)

Çözüm:

İlk oluşturacağı karenin çevre uzunluğu 5x4= 20 cm olacaktır. Bundan sonra oluşturacağı karelerin çevre uzunlukları her defasında 8 cm artar ( kenar uzunluğu 2 cm arttığı için 4 ile çarpılır)

1.kare için → 20 cm 2.kare için → 28 cm 3.kare için → 36 cm

4.kare için → 44 cm demir parça gerekir ( toplam 20+28+36+44 = 128 cm demirin tamamı kullanılır) En fazla 4 adet karesel levha oluşturacağından toplam 16 parça gerekli ve 16 parça oluşması için demir ustasının 15 kez kesim yapması yeterli olur.

Her kesim işlemi 1 TL olduğundan 15x1= 15 TL harcanmış olur.

10-) Saatteki hızları 100 km ve 70 km olan iki araç aynı anda aynı yöne doğru hareket ediyorlar. Yavaş giden araç harekete ilk başladıklarında bir miktar önde olmasına rağmen 4 saat sonra hızlı olan araç öndekini yakalamaktadır. Buna göre harekete ilk başladıklarında yavaş giden araç kaç km öndedir?

A) 120 B) 110 C) 80 D) 70

Çözüm:

Hızlı araç 1 saatte 100km - 70km = 30 km fark kapatır.

4 saatte ise 4x30= 120 km fark kapatmış olur. Bu da demek oluyor ki yavaş olan araç harekete başladıklarında 120 km öndeydi.

Cevap A şıkkı

(21)

Fİ MATEMATİK

MATEMATİĞİN ALTIN ORANI

1

MATEMATİK

KONU ANLATIM FÖYÜ

KÜMELER

Fimatematik.com OrtaokulMatematik.org Mustafa AK | Sefa TUNCAY | Mehmet Can AZİZOĞLU

6

Özell kler y tanımlanmış çeş tl nesneler n oluşturduğu topluluğa küme den r.

B r topluluğun küme bel rtmes ç n nesneler n bel rl olması ve herkes tarafından aynı şek lde kabul ed lmes gerek r.

SINIF

KÜME

SIRA SENDE Yapabilirsin!

Aşağıdak fadeler n küme bel rt p-bel rtmed ğ n yazınız.

‘’Yılın 30 gün çeken ayları’’ kümes n n elemanlarını yazınız.

Çözümlü ÖRNEK

‘’Ç ft rakamlar’’ kümes n oluşturan nesneler 0,2,4,6,8'd r. Yan

‘’Ç ft rakamlar’’ kümes n n elemanları 0,2,4,6,8'd r.

‘’Haftanın P harﬁ le başlayan günler ’’ kümes n n elemanları Pazar, Pazartes , Perşembe’d r.

6'dan küçük doğal sayılar 24'ün asal çarpanları

...

En güzel meyveler

Yılın ‘’A’’ le başlayan ayları

...

Haftanın bazı günler Kısa boylu nsanlar

...

Okulumuzun çalışkan öğrenc ler Ç ft rakamlar

...

Çözümlü ÖRNEK

Türk ye’n n ller , b r küme bel rt r. Çünkü Türk ye’n n 81 l herkes tarafından aynı şek lde bel rlen r.

Türk ye’n n en güzel ller , küme bel rtmez. Çünkü en güzel l k ş den k ş ye göre değ şeb l r. B r k ş ye göre güzel olan b r l başka b r k ş ye göre güzel olmayab l r.

Eleman: Kümey oluşturan nesneler n her b r ne, oluşturduğu kümen n elemanı den r.

‘’Alfabem zdek sesl harﬂer’’ kümes n n elemanlarını yazınız.

HAP BİLGİ Unutma!

Kümeler s mlend r l rken A,B,C,K,L,M g b büyük harﬂer kullanılır.

B r nesnen n o kümes n n elemanı olduğunu göstermek ç n sembolü kullanılır.

Örneğ n A kümes 0,1,2,3 elemanlarından oluşsun.

Elemanların A kümes ne a t olduğu aşağıdak g b göster l r.

Î

0 A 1 A 2 A 3 A

Î Î

‘’0, A kümes n n elemanıdır.’’ şekl nde okunur.

Çözümlü ÖRNEK

Sınıfımızdak gözlüklü öğrenc ler, b r küme bel rt r. Çünkü sınıftak gözlüklü öğrenc ler herkes tarafından aynı şek lde bel rlen r.

Sınıfımızdak y öğrenc ler, küme bel rtmez. Çünkü sınıfımızdak y öğrenc ler k ş den k ş ye göre değ şeb l r. B r k ş ye göre y olan b r öğrenc başka b r k ş ye göre y olmayab l r.

(22)

Fİ MATEMATİK

2

MATEMATİK

KONU ANLATIM FÖYÜ

KÜMELER

6

^SINIF

Aşağıdak fadelerde ver len noktalı yerler veya le doldurunuz.

‘’asal rakamlar’’ kümes A le s mlend r ld ğ ne göre;

Eleman sayısı, b r kümen n kaç tane elemanı olduğunu göster r.

B r A kümes n n eleman sayısı sembol olarak s(A) le göster l r.

HAP BİLGİ Unutma!

B r nesnen n o kümes n n elemanı olmadığını göstermek ç n sembolü kullanılır.

Örneğ n A kümes 0,1,2,3 elemanlarından oluşsun.

Ï

0 A

1 A

4 A

12 A Î

Î

Ï

‘’4, A kümes n n elemanı değ ld r.’’ şekl nde okunur.

‘’12, A kümes n n elemanı değ ld r.’’ şekl nde okunur.

Ï Î

2 ...A 4 ...A 6 ...A 7 ...A 9 ...A 11 ...A

‘ ’ t r a b z o n k e l m e s n n h a r ﬂ e r ’ ’ k ü m e s T l e s mlend r ld ğ ne göre;

t ...T r ...T e ...T p ...T z ...T m ...T UYGULUYORUM - ÇÖZÜYORUM

‘’Güneydoğu Anadolu Bölges ndek İller m z’’ kümes G le s mlend r ld ğ ne göre;

Gaz antep ...G İstanbul ...G Konya ...G İzm r ...G Gümüşhane ...G D yarbakır ...G

KÜMENİN ELEMAN SAYISI

Örneğ n elemanları a,b,c,1,2 olan b r B kümes n n eleman sayısı;

s(B) = 5'd r.

‘’rakamlar’’ kümes n n elemanlarını yazarak eleman sayısını göster n z.

Elemanı olmayan kümeye boş küme den r. Boş kümen n eleman sayısı 0'dır. Çünkü h ç elemanı yoktur.

‘’ k basamaklı rakamlar ‘’ fades b r küme bel rt r (k ş den k ş ye göre değ şmez) ve k basamaklı rakam olmadığı ç n boş kümed r.

‘’uçan ﬁller’’ fades b r küme bel rt r ve uçan ﬁl olmadığı ç n bu küme boş kümed r.

‘’En güzel renk’’ fades b r küme bel rtmed ğ ç n bu kümeye boş küme d yemey z!

Boş küme semboller nden b r le göster l r. Æ veya { }

HAP BİLGİ Unutma!

{0} kümes boş küme değ ld r. Çünkü kümen n ç nde 0 elemanı vardır. Bu kümen n eleman sayısı 1'd r.

{ } kümes boş kümed r. Çünkü kümen n elemanı yoktur.

s( )Æ =0 BOS KÜMEŞ

(23)

Fİ MATEMATİK

3

MATEMATİK

KONU ANLATIM FÖYÜ

KÜMELER

6

^SINIF

Kümeler üç farklı şek lde göster leb l rler.

1- L ste Yöntem 2- Venn Şeması 3- Ortak Özell k Yöntem

B r eleman kümeye yalnızca b r kere yazılır.

KÜMELERİN FARKLI GÖSTERİMLERİ

L ste Yöntem 1

Kümen n elemanlarının arasına v rgül konularak { } sembolünün ç nde göster lmes d r.

Örneğ n ‘’tek rakamlar’’ kümes n l ste yöntem yle gösterel m.

Kümen n adı T olsun.

T { 1,3,5,7,9}=

HAP BİLGİ Unutma!

‘’ankara’’ kel mes n n harﬂer nden oluşan kümey l ste yöntem yle gösterel m.

ÇÖZÜM Çözümlü ÖRNEK

’ankara’’ kel mes n n harﬂer nden oluşan kümey A le s mlend rel m.

A = { a,n,k,r}

Kel mede ‘’a’’ harﬁ tekrar etmes ne rağmen kümeye 1 tane ‘’a’’

elemanı yazılır.

A = { a,n,k,a,r,a} göster m yanlıştır.

‘’matemat k’’ kel mes n n harﬂer nden oluşan kümey l ste yöntem yle göster n z.

HAP BİLGİ Unutma!

L ste yöntem yle göster mde, kümen n elemanları arasında v rgül kullanılmalıdır.

Venn Şeması 2

Kümen n elemanlarının yanına nokta konularak, elemanların kapalı b r şek l çer s nde göster lmes d r.

Örneğ n 12'n n doğal sayı çarpanları kümes n venn şemasıyla gösterel m.

Kümen n adı A olsun.

‘’Alfabem zdek sesl harﬂer’’ kümes n venn şeması yöntem yle gösterel m.

Alfabem zdek sesl harﬂer kümes n n elemanları a, e, ı, , o, ö, u, ü’dür.

Kümen n adı B olsun.

K = {G, A, L, T, S, R, Y, F, E, N, B, H, Ç} kümes nde s(K) = 13'tür.

L = {GALATA, SARAY, FENER, BAHÇE} kümes nde s(L) = 4'tür.

M = { G A L ATA S A R AY, F E N E R B A H Ç E } k ü m e s n d e s(M) = 2'd r.

N = { G A L ATA S A R AY F E N E R B A H Ç E } k ü m e s n d e s(N) = 1'd r.

Örneğ n;

A 1

2 3

4 6 12

a ı o u

e ö ü B

(24)

Fİ MATEMATİK

4

MATEMATİK

KONU ANLATIM FÖYÜ

KÜMELER

6

^SINIF

‘’ﬁmatemat k’’ kel mes n n harﬂer nden oluşan kümey venn şeması kullanarak göster n z.

‘’89'dan büyük k basamaklı 3'ün katları’’ kümes n venn şeması kullanarak göster n z.

‘’Yaz mevs m n n ayları’’ kümes n venn şeması kullanarak göster n z.

Ortak Özell k Yöntem 3

Kümen n elemanlarının tek tek yazılması yer ne elemanların tümünün ortak özell ğ n n { } çer s ne yazılarak göster l- mes d r.

Her küme ortak özell k yöntem le göster lmeyeb l r. Ortak özell k yöntem n kullanab lmek ç n elemanların tümünün b r ortak özell ğ olması gerek r.

Örneğ n b r A kümes n n elemanları 10,20,30,40,50 olsun. A kümes n n ortak özell k yöntem yle göster m ;

A = { 10'un 60'dan küçük doğal sayı katları}

S = {b,c,ç,d,f,g,h,j,k,l,m,n,p,r,s,ş,t,v,y,z} kümes n ortak özell k yöntem le göster m.

S kümes n n elemanlarının ortak özell ğ , alfabem zdek sess z harﬂer olmasıdır. Bu nedenle;

S = { alfabem zdek sess z harﬂer }

L = {Eylül, Ek m, Kasım} kümes n ortak özell k yöntem le göster n z.

M = {Pazartes , Salı, Çarşamba, Perşembe, Cuma} kümes n ortak özell k yöntem le göster n z.

(25)

Fİ MATEMATİK

5

MATEMATİK

KONU ANLATIM FÖYÜ

KÜMELER

6

^SINIF

N = {2, 3, 5,7} kümes n ortak özell k yöntem le göster n z.

K = { 1, 2, 24, a, b, ce, {d} , {m,n}, } kümes le lg l aşağıdak fadelerden hang ler doğru olanların yanındak kutucuğa D yazınız.

2ÎK

4ÎK

24ÎK

aÎK

cÏK

ceÎK

dÏK

{d}ÎK

mÏK

m,nÎK

{m,n}ÎK

12ÏK

s(K)=12

s(K)=9 K Ï { }

ÎK

B = { 12'n n k basamaklı katları} kümes le lg l ; I.

II.

III.

IV.

fadeler nden hang ler doğrudur?

36ÎB 80ÏB

s(B)=9 96ÎB

Yanda b r C kümes n n venn şeması le göster m ver lm şt r.

Buna göre aşağıdak noktalı yerler semboller yle doldurunuz.

C elma

portakal manda l na

l m 10 veya

Î Ï

elma ... C portakal ... C

mandal na ... C l m ... C

l mon ... C on ... C

1 ... C el ... C

Aşağıdak fadelerden boş küme olanları bel rleyerek, boş küme olanların yanındak noktalı yere ‘’boş küme’’ yazınız.

A = {Haftanın D le başlayan günler }

B = {En güzel dersler}

C = {Yürüyen balıklar}

D = {0'dan küçük doğal sayılar}

K = { }

L = 0

M = Æ

Æ SIRA SENDE

Yapabilirsin!

(26)

Fİ MATEMATİK

6

MATEMATİK

KONU ANLATIM FÖYÜ

KESİŞİM KÜMESİ VE BİRLEŞİM KÜMESİ

6

İk veya daha fazla kümen n ortak elemanlarının oluşturduğu kümeye kes ş m kümes den r.

Kes ş m, sembolü le göster l r.

SINIF

Çözümlü ÖRNEK

A = { 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9} ve B = { 1, 2, 3, 4, 6, 8,9} kümeler ver l yor.

Buna göre kümes n bulalım.

KESİŞİM KÜMESİ

Ç

AÇB

ÇÖZÜM

, A kümes le B kümes n n ortak elemanlarının kümes d r.

A = { , , 5, , 7, , } 1 3 6 8 9 B = { , 2, , 4, 6, , } 1 3 8 9 AÇB

AÇB={ 1, 3, 6, 8, 9}

Çözümlü ÖRNEK

K = { 1, 2, 3, a, b, c, d} ve L = { 1, 4, 5, a, b, d,e} kümeler ver l yor.

Buna göre kümes n bularak K ve L kümeler n venn şemasında gösterel m.

ÇÖZÜM KÇL

kümes K ve L kümeler n n ortak elemanlarından oluşur.

KÇL

KÇL= {1, a, b, d}

K 2 3

c

L 4

5 d e

1

a b

KÇL

kümes K ve L kümeler n n ortak bölges d r.

KÇL

kümeler ne göre kaçtır? s(AÇB)

A = { 24'ün doğal sayı çarpanları}

B = { 18' n doğal sayı çarpanları}

kümeler ne göre kümes n l ste yöntem yle göster n z. KÇL K = {Yılın lk beş ayı}

L = {İlkbahar mevs m n n ayları}

olduğuna göre s(L) en az kaçtır?

KÇL={12, m, 16}

K = {10, 12, k, m, 16,}

(27)

Fİ MATEMATİK

7

MATEMATİK

KONU ANLATIM FÖYÜ

6

İk veya daha fazla kümen n tüm elemanlarının b rleşt r l- mes yle oluşturulan kümeye b rleş m kümes den r.

B rleş m, sembolü le göster l r.

B rleş m kümes yazılırken, kümeler n ortak elemanları varsa ortak elemanlar b rleş m kümes ne b rer kez yazılır.

SINIF

Çözümlü ÖRNEK

A = { 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9} ve B = { 1, 2, 3, 4, 6, 8,9} kümeler ver l yor.

Buna göre kümes n bulalım.

BİRLEŞİM KÜMESİ

È

AÈB

ÇÖZÜM

, A kümes le B kümes n n tüm elemanlarının b rleşt r l- mes yle oluşan kümes d r.

A = { 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9} B = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9}

AÈB={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

K = { 0, 2, 4, k, m, n} ve L = { 0, 1, 4, k, mn, d, e} kümeler ver l yor. Buna göre K ve L kümeler n venn şemasında gösterek kümeler n n eleman sayılarını bel r- leyel m.

KÇL ve KÈL

kümeler ne göre kümes n l ste yöntem yle göster n z.(AÈB) A = {1, a, b, 3, 5, f}

B = {a, b, c, {5}, 6, 7, 8, 9}

olduğuna göre kaçtır?

K = {Ç ft rakamlar}

Bu örnekte görüldüğü g b k kümen n eleman sayılarının toplamı, kümeler n b rleş m kümes n n eleman sayısına her zaman eş t değ ld r.

s(A) = 7 ve s(B) = 7 olup toplamları 14'tür.

Aynı zamanda olup kümeler n eleman sayıları toplamından farklıdır.

s(AÈB)=9

HAP BİLGİ Unutma!

İk kümen n eleman sayılarının toplamı, kümeler n b rleş m kümes n n eleman sayısına eş t olması ç n kümeler n ortak elemanlarının bulunmaması gerek r.

Yan ;

s(AÈB)=0 ise s(A)+s(B)=s(AÈB)

L = {Tek rakamlar}

s(KÈL) SIRA SENDE

Yapabilirsin!

(28)

Fİ MATEMATİK

8

MATEMATİK

KONU ANLATIM FÖYÜ

6

^SINIF

A = { 1, 2, 3, a, b} ve B = {2, 3, b} kümeler ver l yor. Buna göre;

l.

ll.

lll.

fadeler nden hang s veya hang ler doğrudur?

B r K kümes n n 6 elemanı, b r L kümes n n 4 elemanı ve kümes n n 3 elemanı olduğuna göre kümes n n kaç elemanı vardır?

Yukarıda ver len venn şemasına göre;

l.

ll.

lll.

lV.

fadeler nden hang s veya hang ler doğrudur?

Yukarıda F kümes ve İ kümes venn şemasında göster lm şt r.

Ver lenlere göre aşağıdak venn şemasını doldurunuz.

F

ı n r

f

y a

l

İ

t e

f

m a

k

F İ

Yukarıda ver len venn şemasına göre aşağı stenen kümeler yazınız.

A B

a b c

5 4

0 1 2

d 3

A = C =

e C

AÇB

AÇC

AÈB

AÈC BÇC

AÇBÇC

=

KÇL KÈL

s(AÇB)=3 s(A)+s(B)=8

s(AÈB)=5

A

a B

C

1 b

c 2

3 E

s(A)=4 s(B)=0

s(AÈC)=6 s(E)=6 SIRA SENDE

Yapabilirsin!