K YAPININ ZEMİN YAPI SİSTEMLERİNİN Dİ

(1)

TOPOGRAFİK YAPININ ZEMİN YAPI SİSTEMLERİNİN DİNAMİK DAVRANIŞI

ÜZERİNDEKİ ETKİLERİ Oğuz Akın DÜZGÜN

Doktora Tezi

İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalı Yrd. Doç. Dr. Ahmet BUDAK

2007

(2)

DOKTORA TEZİ

TOPOGRAFİK YAPININ ZEMİN YAPI SİSTEMLERİNİN DİNAMİK DAVRANIŞI ÜZERİNDEKİ ETKİLERİ

Oğuz Akın DÜZGÜN

İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI

ERZURUM 2007

(3)

Mühendisliği Anabilim Dalı’nda Doktora tezi olarak kabul edilmiştir.

Başkan : Prof. Dr. Adem DOĞANGÜN İmza :

Üye : Prof. Dr. Sadri ŞEN İmza :

Üye : Doç. Dr. Suat AKBULUT İmza :

Üye : Yrd. Doç. Dr. Ahmet BUDAK İmza :

Üye : Yrd. Doç. Dr. Mehmet H. ÖZYAZICIOĞLU İmza :

Yukarıdaki sonucu onaylarım

(imza)

Prof. Dr. Mehmet ERTUĞRUL Enstitü Müdürü

(4)

i

TOPOGRAFİK YAPININ ZEMİN YAPI SİSTEMLERİNİN DİNAMİK DAVRANIŞI ÜZERİNDEKİ ETKİLERİ

Oğuz Akın DÜZGÜN Atatürk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Ahmet BUDAK

Bu çalışmada, yer hareketi etkisi altındaki iki boyutlu bir zemin yapı sisteminde yüzey topografyasındaki değişikliklerin sistemin dinamik davranışı üzerindeki etkileri incelenmektedir. Yapı ve zemin olmak üzere iki ayrı kısımdan oluşan sistem sonlu ve sonsuz elemanlarla modellenerek zemin yapı etkileşimi analizi yapılmıştır. Sistemin modellenmesinde yapı ve yapının yakınındaki zemin bölgesi için sonlu elemanlar, uzak zemin bölgesi için sonsuz elemanlar kullanılmıştır. İncelenen sistemlerin homojen, izotrop ve elastik/viskoelastik olduğu kabul edilmiştir. Çalışmada statik, harmonik ve zamanla keyfi değişen yükleme durumları için FORTRAN programlama dili kullanılarak bilgisayar programları hazırlanmıştır. Hazırlanan programlarda hem düzlem elastisite hem de eksenel simetri durumları göz önüne alınmaktadır. Programlar kullanılarak elde edilen sonuçların öncelikle literatürde verilen sonuçlarla uyumlu olduğu gösterilmiştir. Çalışmanın ikinci aşamasında ise yer hareketi etkisi altındaki bir zemin yapı sisteminde yüzey topografyasındaki değişikliklerin yapının ve zeminin dinamik davranışı üzerindeki etkilerinin incelendiği bir takım parametrik çalışmalar yapılmıştır.

Zemin tabakasının farklı topografyalara sahip olması durumları için yapılan parametrik çalışmalardan elde edilen sonuçlar topografik yapıdaki değişikliklerin tüm sistemin dinamik davranışı üzerinde oldukça etkili olduğunu göstermektedir. Bunun yanı sıra zeminin jeolojik koşullarının da sistemin dinamik davranışı üzerinde etkili olduğu sonucuna varılmıştır. Çalışmadan elde edilen sonuçlar ayrıca şiddetli deprem olaylarında düzgün olmayan geometrilere sahip yamaç ve kanyon gibi topografyaların üst kısımlarında inşa edilen yapılarda alt kısımdaki yapılara göre daha fazla hasar meydana gelebileceğini ve yamaca yakın olan yapıların uzaktaki yapılara göre daha fazla hasar gördüğünü göstermektedir.

2007, 237 sayfa

Anahtar Kelimeler: Zemin yapı dinamik etkileşimi, Topografya, Sonlu elemanlar, Sonsuz elemanlar, Yer hareketi

(5)

ii

EFFECTS OF TOPOGRAPHY ON THE DYNAMIC RESPONSE OF SOIL STRUCTURE SYSTEMS

Oğuz Akın DÜZGÜN Atatürk University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Civil Engineering

Supervisor: Asst. Prof. Dr. Ahmet BUDAK

In this study, the effects of the changes on surface topography for 2-D soil structure interaction system under strong ground motion are investigated. The system, consisting of supporting soil and structure, is modelled by coupling finite and infinite elements.

Finite elements are used to model the structure and the near soil region (near field), infinite elements are used to model the far field. The system is assumed to be homogeneous, isotropic and elastic/viscoelastic. For static, harmonic and transient loading conditions, different computer programs have been coded in FORTRAN for both plane and axisymmetric elasticity. It is shown that the results, obtained from the programs are in a good agreement with those available in the literature. In the second part of the study, a parametric study is carried out to investigate the effects of surface topography, on the response of soil and structure under strong ground motion.

The results obtained from the parametric studies for different topographies show that the differences on the topography and geological conditions of the soil significantly influences the whole system response. The results also show that structures located at the top of irregular topographies, such as ridges and canyons, suffer more considerable damage than those located at the base, moreover, structures standing near the edge of irregular topographies are affected more than those at some distance from the edge, in the event of a strong earthquake.

2007, 237 pages

Keywords: Dynamic soil structure interaction, Topography, Finite elements, Infinite elements, Ground motion

(6)

iii

Bu doktora tez çalışmasının her safhasında çalışmalarıma yön veren, değerli vaktini, bilgisini, teşvik ve yardımlarını esirgemeyerek bana her türlü desteği sağlayan danışman hocam, Sayın Yrd. Doç. Dr. Ahmet BUDAK’a en içten teşekkürlerimi sunarım.

Tez çalışmam boyunca sık sık bir araya gelerek çalışmalarımı takip eden, bilgi ve tecrübelerini benimle paylaşan, karşılaştığım problemlere çözümler öneren tez izleme komitesi üyeleri Sayın Prof. Dr. Sadri ŞEN’e ve Sayın Doç. Dr. Suat AKBULUT’a da içten teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca özellikle Laplace dönüşümleri ile ilgili olmak üzere yardımlarını esirgemeyen Sayın Yrd. Doç. Dr. Mehmet H. ÖZYAZICIOĞLU’na, sonsuz elemanlar ile ilgili çeşitli dokumanlar gönderen Sayın Prof. Peter BETTESS’e, elektronik posta yolu ile sorduğum sorulara içtenlikle cevap veren Çukurova Üniversitesi öğretim üyelerinden Sayın Doç. Dr. Hüseyin R. YERLİ’ye ve Sayın Yrd.

Doç. Dr. Beytullah TEMEL’e, başta mesai arkadaşlarım olmak üzere bu çalışmada emeği geçen herkese çok teşekkür ederim.

Doktora tez çalışmam süresince gösterdikleri anlayış, sabır ve desteklerinden dolayı anneme, babama, aileme ve kardeşlerime de teşekkürlerimi sunarım.

Oğuz Akın DÜZGÜN Ekim 2007

(7)

iv

ÖZET ...i

ABSTRACT...ii

TEŞEKKÜR...iii

İÇİNDEKİLER ...iv

SİMGELER DİZİNİ ...vii

ŞEKİLLER DİZİNİ...x

ÇİZELGELER DİZİNİ ...xxi

1. GİRİŞ ...1

2. KAYNAK ÖZETLERİ ...7

3. MATERYAL ve YÖNTEM...19

3.1. Düzlem Elastisite Durumu İçin Sonlu Eleman Yaklaşımı...21

3.1.1. Düzlem elastisitenin temel kabulleri...21

3.1.2. Yer değiştirme-birim şekil değiştirme bağıntıları ...22

3.1.3. Gerilme-birim şekil değiştirme bağıntıları...23

3.1.4. Düzlem elastisitede denge denklemleri...24

3.1.5. Sınır şartları...26

3.1.6. Denge denklemlerinin integral formda ifadesi...27

3.1.7. Düzlem elastisite bağıntılarının sonlu elemanlara uygulanması...28

3.1.8. Çalışmada kullanılan sonlu eleman...31

3.1.9. Sonlu eleman direngenlik ve kütle matrislerinin hesabı ...32

3.1.10. Eleman yük vektörünün hesabı ...36

3.2. Eksenel Simetri Durumu İçin Sonlu Eleman Yaklaşımı...37

3.2.1. Yer değiştirme-birim şekil değiştirme bağıntıları ...38

3.2.2. Gerilme-birim şekil değiştirme bağıntıları...39

3.2.3. Eksenel simetri bağıntılarının sonlu elemanlara uygulanması...39

3.2.4. Sonlu eleman direngenlik ve kütle matrislerinin hesabı ...40

3.3. Yarı sonsuz ortamda denge denklemleri ve elastik dalgalar...42

3.4. Statik Yükleme Durumu ve Sonsuz Eleman Yaklaşımı ...48

3.4.1. Statik yükleme durumu için sonsuz eleman bağıntıları ...48

(8)

v

3.6. Zamanla Keyfi Değişen Yükleme Durumu ve Sonsuz Eleman Yaklaşımı...59

3.6.1. Zamanla keyfi değişen yükleme durumu için sonsuz eleman bağıntıları ...61

3.7. Sayısal Direkt Laplace ve Ters Laplace Dönüşüm Yöntemleri ...63

3.7.1. Direkt Laplace dönüşüm yöntemleri...64

3.7.1.a. FFT’ye (Fast Fourier Transform) dayalı direkt Laplace dönüşümü...66

3.7.1.b. Analitik Laplace dönüşümü ...66

3.7.2. Sayısal ters Laplace dönüşüm yöntemleri...68

3.7.2.a. Dubner ve Abate’nin ters Laplace dönüşüm yöntemi ...70

3.7.2.b. Durbin’in ters Laplace dönüşüm yöntemi...70

3.8. Yer Hareketi Etkisindeki Sistemlerin Zemin Yapı Etkileşimi Analizi ...72

3.8.1. Denge denklemlerinin ve eleman matrislerinin elde edilmesi ...72

3.8.2. Eleman yük vektörünün hesabı ...75

3.9. Hazırlanan Bilgisayar Programlarının Çalışma Prensibi ...77

4. ARAŞTIRMA BULGULARI ve TARTIŞMA ...79

4.1. Hazırlanan Programların Kontrolü Amacıyla Ele Alınan Problemler ...80

4.1.1. Çizgisel düşey yüklü elastik yarı sonsuz düzlem problemi ...80

4.1.2. Boussinesq problemi ...84

4.1.3. Yüzeyine dik dairesel yayılı yük etkiyen elastik yarı sonsuz uzay problemi ...87

4.1.4. Yarı sonsuz düzlem üzerine oturan tekil yüklü rijit disk problemi...91

4.1.5. Harmonik şerit yük altındaki viskoelastik yarı sonsuz zemin problemi ...92

4.1.6. Yarı sonsuz düzlem içerisinde gömülü harmonik tekil yük problemi ...95

4.1.7. Yarı sonsuz ortam üzerine oturan harmonik tekil yüklü rijit disk problemi ...98

4.1.8. Yarı sonsuz ortam üzerindeki harmonik çizgisel yüklü rijit disk problemi ...99

4.1.9. Yarı sonsuz zemin üzerine oturan şerit yüklü elastik temel problemi ...101

4.1.10. Ortasında kare delik bulunan sonsuz levha problemi ...106

4.1.11. Yüzeydeki açık ve doldurulmuş çukurlarla titreşim izolasyonu problemi....107

4.1.12. Yarı sonsuz zemin içerisindeki tünel problemi...110

4.1.13. Elastik yarı sonsuz zemin ve elastik zemin tabakası problemi ...113

4.2. Yer Hareketi Etkisindeki Zemin Yapı Sistemi...116

(9)

vi

4.3.2. Göz önüne alınan zemin yapı sistemleri ...119

4.3.3. Sonuçların yer değiştirmeler açısından değerlendirilmesi ...124

4.3.4. Sonuçların gerilmeler açısından değerlendirilmesi...168

4.3.5. Sonuçların hızlar açısından değerlendirilmesi ...179

4.3.6. Sonuçların ivmeler açısından değerlendirilmesi ...202

5. SONUÇ ve ÖNERİLER...225

KAYNAKLAR ...229

EKLER...236

EK 1. ...236

ÖZGEÇMİŞ ...238

(10)

vii Ae Elemanın alanı

agx, agy Yer hareketi ivmesinin yatay ve düşey bileşenleri

a0 Boyutsuz frekans

[B] Şekil değiştirme matrisi

[Bi] i. düğüme ait şekil değiştirme matrisi cP, cS, cR Elastik dalga hızları

* * *

P S R

c ,c ,c Viskoelastik dalga hızları [D] Malzeme matrisi

E Elastisite modülü Fk Fejer faktörü

f(t) Zamana bağlı bir fonksiyon

F(s) Zaman bağlı f(t) fonksiyonunun Laplace dönüşümü fx, fy Hacim kuvvetleri

{f} Hacim kuvvetlerinden oluşan eleman yük vektörü

G Kayma modülü

G^* Viskoelastik durumda kayma modülü he Elemanın kalınlığı

Im Kompleks bir sayının sanal kısmı i Kompleks bir sayı (i² = −1) [J] Jacobian dönüşüm matrisi

J Jacobian dönüşüm matrisinin determinantı [k] Düzlem elastisitede eleman direngenlik matrisi [ke] Eksenel simetrik durumda eleman direngenlik matrisi [K] Sistem direngenlik matrisi

[L] Diferansiyel operatör matrisi

L Sonsuz elemanın karakteristik uzunluğu Lk Lanczos faktörü

[m] Düzlem elastisitede eleman kütle matrisi

(11)

viii

Mi Sonsuz elemanların geometrik şekil fonksiyonları N Laplace parametrelerinin sayısı

Ni İnterpolasyon şekil fonksiyonları

[N] İnterpolasyon şekil fonksiyonları matrisi nx, ny Doğrultman kosinüsleri

P(ξ) Statik sonsuz elemanlar için deplasman yayılma fonksiyonu P(ξ,s) Transient sonsuz elemanlar için deplasman yayılma fonksiyonu P(ξ,ω) Harmonik sonsuz elemanlar için deplasman yayılma fonksiyonu {q} Yer hareketinden dolayı oluşan eleman yük vektörü

Re Kompleks bir sayının reel kısmı r, z Kutupsal koordinatlar

s Laplace dönüşüm parametresi

T Çözüm süresi

tx, ty Yüzey gerilmeleri

{t} Yüzey gerilmelerinden oluşan eleman yük vektörü u, v Yer değiştirme bileşenleri

u, v Yer değiştirme bileşenlerinin Laplace uzayındaki ifadesi u, v Yatay ve düşey ivme bileşenleri

ur, vr Rölatif yer değiştirme bileşenleri

ug, vg Yer ivmesinden dolayı oluşan yer değiştirme bileşenleri {u} Eleman yer değiştirme vektörü

{ud} Eleman düğüm yer değiştirme vektörü {Ud} Sistem düğüm yer değiştirme vektörü

{Urd} Rölatif sistem düğüm yer değiştirme vektörü Wm, Wn Sayısal integrasyon ağırlık değerleri

x, y Kartezyen koordinatlar

α Deplasman genlik azaltma parametresi β Dalga sayısı

Δt Zaman artımı

(12)

ix

εx, εy Düzlem elastisite durumunda birim şekil değiştirmeler εr, εz , εθ Eksenel simetri durumunda birim şekil değiştirmeler {ε} Birim şekil değiştirme vektörü

ε Hacimsel birim şekil değiştirme ξ, η Referans eleman koordinatları

ζ Sönüm oranı

λ Lamé sabiti υ Poisson oranı ρ Kütlesel yoğunluk σx, σy Normal gerilmeler {σ} Gerilme vektörü τxy, τyx Kayma gerilmeleri ω Açısal frekans

(13)

x

Şekil 1.1. Yarı sonsuz zemin içerisinden ayrılan sonlu zemin parçası ...3

Şekil 3.1. Zemin yapı etkileşim modeli ...19

Şekil 3.2. Elastisitede (a) düzlem gerilme, (b) düzlem şekil değiştirme durumu ...22

Şekil 3.3. Elemanter bir cismin serbest cisim diyagramı ...24

Şekil 3.4. Sınır Şartları...26

Şekil 3.5. Seçilen sonlu eleman (a) gerçek eleman, (b) referans eleman...32

Şekil 3.6. Elemanın kenarına etki eden teğetsel ve normal yükler ...37

Şekil 3.7. Eksenel simetri durumu ...38

Şekil 3.8. Eksenel simetri durumunda seçilen sonlu eleman ...40

Şekil 3.9. Elemanter bir eleman üzerinde etkiyen gerilmeler ...43

Şekil 3.10. Zeminlerde oluşan basınç (P), kayma (S) ve Rayleigh (R) dalgaları ...47

Şekil 3.11. Beş düğümlü sonsuz eleman (a) gerçek eleman, (b) referans eleman ...49

Şekil 3.12. Yedi düğümlü sonsuz eleman (a) gerçek eleman, (b) referans eleman ...55

Şekil 3.13. f(t) yük fonksiyonunun zamanla değişimi ...67

Şekil 3.14. El-Centro (1940) depremine ait ivmenin Kuzey-Güney bileşeni ...68

Şekil 3.15. Düzlemsel bir sonlu elemanın serbest cisim diyagramı...73

Şekil 3.16. Ana programların genel akış şeması ...78

Şekil 4.1. Yarı sonsuz düzlem şekil değiştirme problemi...80

Şekil 4.2. Problemin sonlu-sonsuz eleman ağı...80

Şekil 4.3. Düşey yer değiştirmelerin yatay mesafe ile değişimi ...82

Şekil 4.4. Düşey yer değiştirmelerin derinlik ile değişimi...82

Şekil 4.5. Düşey gerilmelerin derinlik ile değişimi ...82

Şekil 4.6. Boussinesq problemi...84

Şekil 4.8. Düşey yer değiştirmelerin derinlik ile değişimi...86

Şekil 4.9. Simetri ekseni üzerindeki düşey gerilmeler...86

Şekil 4.10. Üniform yayılı yüklü yarı sonsuz uzay problemi ...87

Şekil 4.12. Simetri ekseni üzerindeki yatay gerilmelerin derinlik ile değişimi ...90

(14)

xi

Şekil 4.15. Harmonik şerit yüklü viskoelastik zeminin sonlu-sonsuz eleman ağı ...93

Şekil 4.16. Harmonik tekil yük etkisindeki yarı sonsuz düzlem...96

Şekil 4.17. Düşey kompleyansın reel kısmı ...97

Şekil 4.18. Düşey kompleyansın sanal kısmı...97

Şekil 4.19. Boyutsuz düşey kompleyansın boyutsuz frekansla değişimi...97

Şekil 4.20. Yarı sonsuz ortam üzerine oturan harmonik tekil yüklü rijit disk ...98

Şekil 4.21. Rijit diskin altındaki düşey kompleyans değerlerinin frekansla değişimi ....99

Şekil 4.22. Yarı sonsuz ortam üzerinde oturan harmonik yüklü rijit temel ...100

Şekil 4.23. Düşey kompleyansın frekans ile değişimi ...101

Şekil 4.24. Yatay kompleyansın frekans ile değişimi ...101

Şekil 4.25. Elastik yarı sonsuz zemin üzerine oturan şerit yüklü elastik temel ...102

Şekil 4.26. Yarı sonsuz ortamın ve temelin sonlu–sonsuz eleman ağı ...103

Şekil 4.27. Farklı rijitlik durumlarında B noktasındaki düşey yer değiştirmeler...104

Şekil 4.28. EZ/ET=1/4 ve rijit temel durumunda düşey yer değiştirmeler...104

Şekil 4.31. Kütlesiz ve kütleli temel durumlarında düşey yer değiştirme (A noktası) .105 Şekil 4.32. Kütleli temel (MT=1,5) durumunda düşey yer değiştirmeler...105

Şekil 4.33. Ortasında kare delik bulunan sonsuz levha...106

Şekil 4.34. Sonsuz levhanın sonlu-sonsuz eleman ağı...107

Şekil 4.35. A noktasındaki yatay yer değiştirmelerin zamanla değişimi ...107

Şekil 4.36. Yarı sonsuz zeminde çukur problemi ve yükleme durumu ...108

Şekil 4.37. A noktasındaki düşey yer değiştirmenin zamanla değişimi...109

Şekil 4.38. A noktasındaki yatay yer değiştirmenin zamanla değişimi ...109

Şekil 4.39. A noktasındaki düşey yer değiştirmenin zamanla değişimi (H/B=3) ...110

Şekil 4.40. A noktasındaki yatay yer değiştirmenin zamanla değişimi (H/B=3)...110

Şekil 4.41. Yarı sonsuz zeminde tünel problemi ve yükleme durumu...111

Şekil 4.42. A noktasındaki düşey yer değiştirmenin zamanla değişimi...112

Şekil 4.43. B noktasındaki düşey yer değiştirmenin zamanla değişimi...112

(15)

xii

Şekil 4.46. Ricker Wavelet yüklemesi ...114

Şekil 4.47. Düşey yükten dolayı düşey yer değiştirme ...115

Şekil 4.48. Düşey yükten dolayı yatay yer değiştirme...115

Şekil 4.49. Yatay yükten dolayı yatay yer değiştirme ...115

Şekil 4.50. Elastik zemin tabakası üzerine oturan yapı...116

Şekil 4.51. Yatay yer ivmesinin zamanla değişimi ...117

Şekil 4.52. A noktasındaki yatay yer değiştirmelerin zamanla değişimi ...117

Şekil 4.53. B noktasındaki yatay gerilmelerin zamanla değişimi ...118

Şekil 4.54. 01.05.2003 tarihli Bingöl depremi ivmesinin Kuzey–Güney bileşeni...119

Şekil 4.55. Yüzeyi düz bir zemin yapı sistemi...120

Şekil 4.56. Yüzeyde dik bir şev bulunması durumu (L0) ...121

Şekil 4.57. Yüzeyde h/L=2 eğiminde bir şev bulunması durumu (L10)...121

Şekil 4.58. Yüzeyde h/L=1 eğiminde bir şev bulunması durumu (L20)...121

Şekil 4.59. Yüzeyde h/L=0,5 eğiminde bir şev bulunması durumu (L40)...122

Şekil 4.60. Yüzeyde dikdörtgen bir çukur bulunması durumu (V0)...122

Şekil 4.61. Yüzeyde trapez bir çukur bulunması durumu (V10) ...122

Şekil 4.62. Yüzeyde üçgen bir çukur bulunması durumu (V20)...123

Şekil 4.63. Yüzeyde dikdörtgen bir tepe bulunması durumu (Λ0) ...123

Şekil 4.64. Yüzeyde trapez bir tepe bulunması durumu (Λ10)...123

Şekil 4.65. Yüzeyde üçgen bir tepe bulunması durumu (Λ20) ...124

Şekil 4.66. Elastik ve şevsiz durum için A noktasının yatay yer değiştirmesi...124

Şekil 4.67. Viskoelastik ve şevsiz durum için A noktasının yatay yer değiştirmesi...125

Şekil 4.68. Elastik ve şevsiz durum için B noktasının yatay yer değiştirmesi...125

Şekil 4.69. Viskoelastik ve şevsiz durum için B noktasının yatay yer değiştirmesi...125

Şekil 4.70. Elastik ve şevsiz durum için C noktasının yatay yer değiştirmesi...126

Şekil 4.71. Viskoeelastik ve şevsiz durum için C noktasının yatay yer değiştirmesi ...126

Şekil 4.72. Farklı zeminler için A noktasının yer değiştirmesi (Elastik, Şevsiz) ...126

Şekil 4.73. Farklı zeminler için A noktasının yer değiştirmesi (Viskoelastik, Şevsiz).127 Şekil 4.74. Farklı zeminler için B noktasının yer değiştirmesi (Elastik, Şevsiz)...127

(16)

xiii

Şekil 4.77. Farklı zeminler için C noktasının yer değiştirmesi (Viskoelastik, Şevsiz).128

Şekil 4.78. Elastik ve sıkı zemin için A noktasının yer değiştirmesi (L0)...130

Şekil 4.79. Elastik ve orta sıkı zemin için A noktasının yer değiştirmesi (L0)...130

Şekil 4.80. Elastik ve gevşek zemin için A noktasının yer değiştirmesi (L0) ...131

Şekil 4.81. Viskoelastik ve sıkı zemin için A noktasının yer değiştirmesi (L0)...131

Şekil 4.82. Viskoelastik ve orta sıkı zemin için A noktasının yer değiştirmesi (L0)....131

Şekil 4.83. Viskoelastik ve gevşek zemin için A noktasının yer değiştirmesi (L0)...132

Şekil 4.84. Elastik ve sıkı zemin için B noktasının yer değiştirmesi (L0)...132

Şekil 4.85. Elastik ve orta sıkı zemin için B noktasının yer değiştirmesi (L0)...132

Şekil 4.86. Elastik ve gevşek zemin için B noktasının yer değiştirmesi (L0)...133

Şekil 4.87. Viskoelastik ve sıkı zemin için B noktasının yer değiştirmesi (L0) ...133

Şekil 4.88. Viskoelastik ve orta sıkı zemin için B noktasının yer değiştirmesi (L0)....133

Şekil 4.89. Viskoelastik ve gevşek zemin için B noktasının yer değiştirmesi (L0)...134

Şekil 4.90. Elastik ve sıkı zemin için C noktasının yatay yer değiştirmesi (L0) ...134

Şekil 4.91. Elastik ve orta sıkı zemin için C noktasının yatay yer değiştirmesi (L0) ...134

Şekil 4.92. Elastik ve gevşek zemin için C noktasının yatay yer değiştirmesi (L0) ...135

Şekil 4.93. Viskoelastik ve sıkı zemin için C noktasının yer değiştirmesi (L0) ...135

Şekil 4.94. Viskoelastik ve orta sıkı zemin için C noktasının yer değiştirmesi (L0)....135

Şekil 4.95. Viskoelastik ve gevşek zemin için C noktasının yer değiştirmesi (L0)...136

Şekil 4.96. Viskoelastik ve sıkı zemin için D noktasının yatay yer değiştirmesi (L0) .136 Şekil 4.97. L10 durumu için A noktasının yatay yer değiştirmesi...139

Şekil 4.98. L10 durumu için B noktasının yatay yer değiştirmesi ...139

Şekil 4.99. L10 durumu için C noktasının yatay yer değiştirmesi ...139

Şekil 4.100. L10 durumu için D noktasının yatay yer değiştirmesi...140

Şekil 4.101. L20 durumu için A noktasının yatay yer değiştirmesi...140

Şekil 4.102. L20 durumu için B noktasının yatay yer değiştirmesi ...140

Şekil 4.103. L20 durumu için C noktasının yatay yer değiştirmesi ...141

Şekil 4.105. L40 durumu için A noktasının yatay yer değiştirmesi...141

(17)

xiv

Şekil 4.109. Eğimin yer değiştirmeler üzerindeki etkisi (A noktası), (Yapı Üstte)...144

Şekil 4.110. Eğimin yer değiştirmeler üzerindeki etkisi (B noktası), (Yapı Üstte) ...144

Şekil 4.111. Eğimin yer değiştirmeler üzerindeki etkisi (C noktası), (Yapı Üstte) ...145

Şekil 4.112. Eğimin yer değiştirmeler üzerindeki etkisi (D noktası), (Yapı Üstte)...145

Şekil 4.113. Eğimin yer değiştirmeler üzerindeki etkisi (A noktası), (Yapı Altta) ...145

Şekil 4.114. Eğimin yer değiştirmeler üzerindeki etkisi (B noktası), (Yapı Altta)...146

Şekil 4.115. Eğimin yer değiştirmeler üzerindeki etkisi (C noktası), (Yapı Altta)...146

Şekil 4.116. Eğimin yer değiştirmeler üzerindeki etkisi (D noktası), (Yapı Altta) ...146

Şekil 4.117. A noktasındaki yer değiştirmeler (y=10 m)...147

Şekil 4.118. B noktasındaki yer değiştirmeler (y=10 m) ...147

Şekil 4.119. V0 durumu için A noktasının yatay yer değiştirmesi ...148

Şekil 4.120. V0 durumu için B noktasının yatay yer değiştirmesi...149

Şekil 4.121. V0 durumu için C noktasının yatay yer değiştirmesi...149

Şekil 4.122. V0 durumu için D noktasının yatay yer değiştirmesi ...149

Şekil 4.124. V10 durumu için B noktasının yatay yer değiştirmesi ...151

Şekil 4.125. V10 durumu için C noktasının yatay yer değiştirmesi ...151

Şekil 4.128. V20 durumu için B noktasının yatay yer değiştirmesi ...153

Şekil 4.129. V20 durumu için C noktasının yatay yer değiştirmesi ...153

Şekil 4.131. Λ0 durumu için A noktasının yatay yer değiştirmesi ...154

Şekil 4.132. Λ0 durumu için B noktasının yatay yer değiştirmesi ...154

Şekil 4.133. Λ0 durumu için C noktasının yatay yer değiştirmesi ...155

Şekil 4.134. Λ0 durumu için D noktasının yatay yer değiştirmesi ...155

Şekil 4.135. Λ10 durumu için A noktasının yatay yer değiştirmesi ...156

(18)

xv

Şekil 4.141. Λ20 durumu için C noktasının yatay yer değiştirmesi ...158

Şekil 4.142. Λ20 durumu için D noktasının yatay yer değiştirmesi ...159

Şekil 4.143. Eğimin A noktasındaki yer değiştirme üzerindeki etkisi...160

Şekil 4.144. Eğimin B noktasındaki yer değiştirme üzerindeki etkisi ...160

Şekil 4.145. Eğimin C noktasındaki yer değiştirme üzerindeki etkisi ...160

Şekil 4.146. Eğimin D noktasındaki yer değiştirme üzerindeki etkisi...161

Şekil 4.147. Eğimin A noktasındaki yer değiştirme üzerindeki etkisi...161

Şekil 4.148. Eğimin B noktasındaki yer değiştirme üzerindeki etkisi ...161

Şekil 4.149. Eğimin C noktasındaki yer değiştirme üzerindeki etkisi ...162

Şekil 4.150. Eğimin D noktasındaki yer değiştirme üzerindeki etkisi...162

Şekil 4.151. Şevsiz durum için yapının yer değiştirmeler üzerindeki etkisi...163

Şekil 4.152. L0 durumu için yapının yer değiştirmeler üzerindeki etkisi...163

Şekil 4.156. V0 durumu için yapının yer değiştirmeler üzerindeki etkisi ...164

Şekil 4.159. Λ0 durumu için yapının yer değiştirmeler üzerindeki etkisi ...165

Şekil 4.160. Λ10 durumu için yapının yer değiştirmeler üzerindeki etkisi ...166

Şekil 4.161. L0 ve V0 için yer değiştirmelerin karşılaştırılması (Yapı Üstte)...166

Şekil 4.162. L0 ve V0 için yer değiştirmelerin karşılaştırılması (Yapı Altta) ...167

Şekil 4.164. L10 ve V10 için yer değiştirmelerin karşılaştırılması (Yapı Altta) ...167

Şekil 4.166. Şevsiz durum için A noktasının yatay gerilmesi...168

Şekil 4.167. Şevsiz durum için B noktasının yatay gerilmesi...169

Şekil 4.168. L0 durumu için A noktasının yatay gerilmesi...169

(19)

xvi

Şekil 4.171. L10 durumu için B noktasının yatay gerilmesi...171

Şekil 4.176. Eğimin A noktasının yatay gerilmesi üzerindeki etkisi ...173

Şekil 4.177. Eğimin B noktasının yatay gerilmesi üzerindeki etkisi ...173

Şekil 4.178. V0 durumu için A noktasının yatay gerilmesi ...174

Şekil 4.181. Λ0 durumu için A noktasının yatay gerilmesi ...175

Şekil 4.184. V0, V10 ve V20 durumları için eğimin etkisi (A noktası), (Yapı Üstte)..177

Şekil 4.185. V0, V10 ve V20 durumları için eğimin etkisi (A noktası), (Yapı Altta)..177

Şekil 4.186. Λ0, Λ10 ve Λ20 durumları için eğimin etkisi (A noktası), (Yapı Altta)..177

Şekil 4.187. Λ0, Λ10 ve Λ20 durumları için eğimin etkisi (A noktası), (Yapı Üstte) .178 Şekil 4.188. V0, V10 ve V20 durumları için eğimin etkisi (B noktası), (Yapı Üstte)..178

Şekil 4.189. V0, V10 ve V20 durumları için eğimin etkisi (B noktası), (Yapı Altta) ..178

Şekil 4.190. Λ0, Λ10 ve Λ20 durumları için eğimin etkisi (B noktası) , (Yapı Altta) .179 Şekil 4.191. Λ0, Λ10 ve Λ20 durumları için eğimin etkisi (B noktası) , (Yapı Üstte).179 Şekil 4.192. Şevsiz durum için A noktasının yatay hızı ...180

Şekil 4.193. Şevsiz durum için B noktasının yatay hızı...180

Şekil 4.194. Şevsiz durum için C noktasının yatay hızı...180

Şekil 4.195. L0 durumu için A noktasının yatay hızı ...182

Şekil 4.196. L0 durumu için B noktasının yatay hızı...182

Şekil 4.197. L0 durumu için C noktasının yatay hızı...182

Şekil 4.198. L0 durumu için D noktasının yatay hızı ...183

(20)

xvii

Şekil 4.211. Eğimin A noktasının yatay hızı üzerindeki etkisi (Yapı Üstte) ...188

Şekil 4.212. Eğimin B noktasının yatay hızı üzerindeki etkisi (Yapı Üstte) ...188

Şekil 4.213. Eğimin C noktasının yatay hızı üzerindeki etkisi (Yapı Üstte) ...188

Şekil 4.214. Eğimin D noktasının yatay hızı üzerindeki etkisi (Yapı Üstte) ...189

Şekil 4.215. V0 durumu için A noktasının yatay hızı...191

Şekil 4.216. V0 durumu için B noktasının yatay hızı ...191

Şekil 4.217. V0 durumu için C noktasının yatay hızı ...191

Şekil 4.218. V0 durumu için D noktasının yatay hızı...192

Şekil 4.227. Λ0 durumu için A noktasının yatay hızı...195

Şekil 4.228. Λ0 durumu için B noktasının yatay hızı ...195

Şekil 4.229. Λ0 durumu için C noktasının yatay hızı ...195

Şekil 4.230. Λ0 durumu için D noktasının yatay hızı...196

(21)

xviii

Şekil 4.235. Λ20 durumu için A noktasının yatay hızı...197

Şekil 4.236. Λ20 durumu için B noktasının yatay hızı ...198

Şekil 4.239. V0, V10 ve V20 durumlarında eğimin etkisi (A noktası), (Yapı Üstte)...199

Şekil 4.240. V0, V10 ve V20 durumlarında eğimin etkisi (B noktası), (Yapı Üstte) ...200

Şekil 4.241. V0, V10 ve V20 durumlarında eğimin etkisi (C noktası), (Yapı Üstte) ...200

Şekil 4.242. V0, V10 ve V20 durumlarında eğimin etkisi (D noktası), (Yapı Üstte)...200

Şekil 4.243. Λ0, Λ10 ve Λ20 durumlarında eğimin etkisi (A noktası), (Yapı Altta) ...201

Şekil 4.244. Λ0, Λ10 ve Λ20 durumlarında eğimin etkisi (B noktası), (Yapı Altta) ...201

Şekil 4.245. Λ0, Λ10 ve Λ20 durumlarında eğimin etkisi (C noktası), (Yapı Altta) ...201

Şekil 4.246. Λ0, Λ10 ve Λ20 durumlarında eğimin etkisi (D noktası), (Yapı Altta) ...202

Şekil 4.247. Şevsiz durum için A noktasının yatay ivmesi...202

Şekil 4.248. Şevsiz durum için B noktasının yatay ivmesi ...203

Şekil 4.249. Şevsiz durum için C noktasının yatay ivmesi ...203

Şekil 4.250. L0 durumu için A noktasının yatay ivmesi...204

Şekil 4.251. L0 durumu için B noktasının yatay ivmesi ...205

Şekil 4.252. L0 durumu için C noktasının yatay ivmesi ...205

Şekil 4.253. L0 durumu için D noktasının yatay ivmesi...205

(22)

xix

Şekil 4.264. L40 durumu için C noktasının yatay ivmesi ...209 Şekil 4.265. L40 durumu için D noktasının yatay ivmesi...209 Şekil 4.266. Eğimin A noktasının ivmesi üzerindeki etkisi (Yapı Üstte) ...210 Şekil 4.267. Eğimin B noktasının ivmesi üzerindeki etkisi (Yapı Üstte) ...210 Şekil 4.268. Eğimin C noktasının ivmesi üzerindeki etkisi (Yapı Üstte) ...211 Şekil 4.269. Eğimin D noktasının ivmesi üzerindeki etkisi (Yapı Üstte) ...211 Şekil 4.270. V0 durumu için A noktasının yatay ivmesi ...212 Şekil 4.271. V0 durumu için B noktasının yatay ivmesi ...212 Şekil 4.272. V0 durumu için C noktasının yatay ivmesi ...213 Şekil 4.273. V0 durumu için D noktasının yatay ivmesi ...213 Şekil 4.274. V10 durumu için A noktasının yatay ivmesi ...213 Şekil 4.275. V10 durumu için B noktasının yatay ivmesi ...214 Şekil 4.276. V10 durumu için C noktasının yatay ivmesi ...214 Şekil 4.277. V10 durumu için D noktasının yatay ivmesi ...214 Şekil 4.278. V20 durumu için A noktasının yatay ivmesi ...215 Şekil 4.279. V20 durumu için B noktasının yatay ivmesi ...215 Şekil 4.280. V20 durumu için C noktasının yatay ivmesi ...215 Şekil 4.281. V20 durumu için D noktasının yatay ivmesi ...216 Şekil 4.282. Λ0 durumu için A noktasının yatay ivmesi ...217 Şekil 4.283. Λ0 durumu için B noktasının yatay ivmesi ...217 Şekil 4.284. Λ0 durumu için C noktasının yatay ivmesi ...217 Şekil 4.285. Λ0 durumu için D noktasının yatay ivmesi ...218 Şekil 4.286. Λ10 durumu için A noktasının yatay ivmesi ...218 Şekil 4.287. Λ10 durumu için B noktasının yatay ivmesi ...218 Şekil 4.288. Λ10 durumu için C noktasının yatay ivmesi ...219 Şekil 4.289. Λ10 durumu için D noktasının yatay ivmesi ...219 Şekil 4.290. Λ20 durumu için A noktasının yatay ivmesi ...219 Şekil 4.291. Λ20 durumu için B noktasının yatay ivmesi ...220 Şekil 4.292. Λ20 durumu için C noktasının yatay ivmesi ...220

(23)

xx

Şekil 4.295. V0, V10 ve V20 durumlarında eğimin etkisi (B noktası), (Yapı Üstte) ...222 Şekil 4.296. V0, V10 ve V20 durumlarında eğimin etkisi (C noktası), (Yapı Üstte) ...222 Şekil 4.297. V0, V10 ve V20 durumlarında eğimin etkisi (D noktası), (Yapı Üstte)...222 Şekil 4.298. Λ0, Λ10 ve Λ20 durumlarında eğimin etkisi (A noktası), (Yapı Altta) ...223 Şekil 4.299. Λ0, Λ10 ve Λ20 durumlarında eğimin etkisi (B noktası), (Yapı Altta) ...223 Şekil 4.300. Λ0, Λ10 ve Λ20 durumlarında eğimin etkisi (C noktası), (Yapı Altta) ...223 Şekil 4.301. Λ0, Λ10 ve Λ20 durumlarında eğimin etkisi (D noktası), (Yapı Altta) ...224

(24)

xxi

Çizelge 3.1. Bazı fonksiyonların kapalı Laplace dönüşümleri ...65 Çizelge 3.2. El-Centro (1940) depremi ivmesinin K-G bileşeninin Laplace dönüşümü 69 Çizelge 4.1. Düşey yer değiştirmelerin karşılaştırılması ...83 Çizelge 4.2. Simetri ekseni üzerindeki düşey gerilmelerin karşılaştırılması ...83 Çizelge 4.3. Düşey yer değiştirmelerin mesafe ile değişimi...85 Çizelge 4.4. Simetri ekseni üzerindeki düşey gerilmelerin karşılaştırılması ...87 Çizelge 4.5. Yüzeydeki düşey yer değiştirmelerin mesafe ile değişimi ...89 Çizelge 4.6. Simetri ekseni üzerindeki gerilmelerin mesafe ile değişimi ...89 Çizelge 4.7. Rijit diskin altındaki düşey yer değiştirme ...92 Çizelge 4.8. a0 = 0,5 boyutsuz frekansı için yatay ve düşey kompleyans değerleri...94 Çizelge 4.9. a0 = 1,0 boyutsuz frekansı için yatay ve düşey kompleyans değerleri...95 Çizelge 4.10. Yapı ve zemine ait malzeme sabitleri ...120

(25)

1. GİRİŞ

Zemin yapı dinamik etkileşimi problemleri Deprem Mühendisliği’nin önemli bir konusunu oluşturmaktadır. Yapı sistemlerinin analizi için kullanılan klasik yöntemlerde, yapının oturduğu zeminin genellikle şekil değiştirmeyen, rijit bir ortam olduğu kabul edilmekte, dolayısıyla yapı temelinden zemine ankastre bağlı bir sistem, sisteme etki eden yer hareketi de yapının varlığından etkilenmeyen yatay, rijit bir öteleme olarak göz önüne alınmaktadır. Ancak bu yaklaşım, zemin yapı etkileşiminin ihmal edilebilir seviyede olduğu durumlar için geçerlidir. Oysa makine temelleri, hareketli trafik yükleri gibi yeryüzündeki aktiviteler, benzer şekilde yeraltındaki patlamalar ve depremler, zemin içerisinde yayılan çeşitli tipte dalgalar oluşturmaktadır. Dolayısıyla yeryüzünde oluşan titreşimlerden dolayı yeraltında bulunan yapıların, yerin altındaki titreşimlerden dolayı da yeryüzünde bulunan yapıların ne ölçüde etkilendiğinin hesaplanması gereklidir. Özellikle nükleer güç santralleri, barajlar, yüksek binalar, köprüler, viyadükler gibi depreme karşı davranışlarının önemli olduğu bilinen yapı sistemlerinin analizinde, zeminin şekil değiştiren ve yapının davranışına etki eden dinamik bir sistem olarak ele alınması gerekmektedir. Dolayısıyla yarı sonsuz ortamın içinden ve/veya dışından etki eden dinamik yüklere ve sismik dalgalara karşı, yapıların emniyetli bir şekilde tasarlanarak inşa edilmeleri gerekmektedir. Birçok depremde yapılan gözlemler, yapı temeli üzerinde ve zemin yüzeyinde fakat temelden fazla uzakta olmayan bir noktada aynı anda alınan kayıtlar arasında önemli değişiklikler bulunduğunu göstermiştir. Bu değişiklikler, depremin yapıya etkisinin karşılığı olarak yapının da zemini ve dolayısıyla deprem hareketini etkilediğini göstermektedir (Kutaniş 2001).

Zemin yapı etkileşimi olarak isimlendirilen bu iki yönlü oluşum, özellikle nükleer santraller gibi özel yapıların yapılmaya başlanması ile birlikte önem kazanmış ve üzerinde en çok çalışılan konulardan biri olmuştur.

Zemin yapı sistemleri, esas olarak sonlu bir boyuta sahip yapı ve yarı sonsuz zemin olmak üzere iki önemli bileşenden oluşmaktadır. Dolayısıyla zemin ve yapı olmak üzere iki ayrı sistemin birleşmesinden oluşan zemin yapı etkileşimi problemleri, bir birleşik sistem problemidir (Bettess and Zienkiewicz 1977).

(26)

Zemin yapı etkileşimi problemleri, yarı sonsuz zemin ortamında enerjinin yayılması, zeminin sönümlü olması, yapının zeminin davranışını, zeminin de yapının davranışını etkilemesi, deprem yükleri altında zeminin sıvılaşma ihtimali gibi nedenlerden dolayı klasik yapı dinamiği problemlerinden ayrılır. Ayrıca zemindeki süreksizlikler, zeminin yarı sonsuz bir ortam olması, zemindeki tabakalaşma ve bu tabakaların değişkenliği, zeminde suyun bulunması, zeminin çekme gerilmesi almayan bir malzeme olması gibi olgular da zemin yapı etkileşimi problemlerini klasik analiz problemlerinden ayıran özelliklerdir. Sayılan bu zorluklar nedeniyle, zemin yapı etkileşimi problemlerinde tüm sistem, uygun bir matematiksel model ile idealize edilerek gerçeğe yakın sonuçlar elde edilmeye çalışılır (Pala vd 2003).

Zemin yapı etkileşimi problemlerinin çözümünde, sonlu elemanlar yöntemi oldukça yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu yöntem ile homojen ve/veya homojen olmayan ortamlar için lineer ve lineer olmayan problemler rahatlıkla ele alınabilmektedir.

Özellikle statik yükleme durumunda, sadece sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak, bölgenin yeterli uzaklıktaki sınırlarla ayrılması oldukça iyi sonuçlar vermektedir. Ancak dinamik yükleme durumunda, zeminin sonsuza uzanmasından dolayı, analiz sırasında zeminin ne kadarının alınacağı ve alınan bu zemin parçasının sınırları oldukça önemli bir problemdir. Çünkü zemin içerisinde yayılan dalgalar sonsuza gitmektedir. Sonsuza uzanan zemin ortamının belirli bir kısmını göz önüne almakla, zemin için yapay bir sınır belirlenmiş olmaktadır. Yani sonsuza uzanan zemin, sonlu bir zemin bölgesi ile modellenmektedir (Şekil 1.1). Bu da zemin içerisinde yayılan dalgaların sonlu bölgenin sınırlarına çarparak sonlu bölgede kalmasına ve sürekli olarak bu bölgede hareket etmelerine neden olmaktadır. Doğal olarak bu davranış, gerçek dalga hareketini idealize edemediği için, gerçekçi olmayan sonuçların elde edilmesine neden olmaktadır. Çünkü gerçekte dalgalar yayılarak uzaklaşmakta ve sonsuza gitmektedirler. Dolayısıyla seçilen sonlu bölgenin sınırlarında, dalgaların yayılma şartlarını sağlayacak bir model kullanılmalıdır. Zemin içinde hareket eden dalgaların sonlu elemanlarla modellenmiş bölgenin yapay sınırından geçmesi için, dalgaların sınırdan geçme şartının matematiksel modelde sağlanmış olması gerekmektedir. Dolayısıyla, zemin yapı etkileşimi

(27)

problemlerinde, yapay sınırdan enerji geçişi matematiksel olarak gerçekçi bir şekilde ifade edilmelidir (Kaçın 2002).

Yapı

Dalga

Kesim Yüzeyleri Zemin

Şekil 1.1. Yarı sonsuz zemin içerisinden ayrılan sonlu zemin parçası (Pala vd 2003)

Zemin yapı etkileşimi problemlerinde yapay sınırdan enerji geçişini sağlayan ve uygulanan yöntemlerden bir tanesi, zemindeki sonlu bölgenin sınırlarına geçirgen yapay sınırlar kullanılmasıdır. Bu yapay sınırlar dalga geçirimliliği bakımından mükemmel olmamakla beraber belirli durumlarda yeterli bir çözüm sağlayabilmektedir. Geçirgen yapay sınırların kullanıldığı durumlarda, dalgaların sınıra çarpma açısını küçültmek için yapay sınırların yapıdan oldukça uzak bir bölgede tanımlanmasıyla bulunan sonuçların doğru sonuca gittikçe yaklaştığı görülmektedir. Fakat bu durumda özellikle büyük ölçekli problemlerde eleman sayısı artmakta ve bu durum bilinmeyen sayısını arttırarak çözümü güçleştirmekte ve çözüm süresini arttırmaktadır (Yerli 1998; Kaçın 2002).

Literatürde en çok kullanılan geçirgen yapay sınır şartı Viskoz Sınır Şartı (Lysmer and Kuhlemeyer 1969) olarak bilinen sınır şartıdır. Viskoz sınır şartı belirli bir mesafede kesilen zeminin sınır yüzeylerine uygulanmaktadır. Ancak viskoz sınırlar ancak belirli doğrultudaki dalgaları yutabildiği ve sınır boyunca yer değiştirmelerin karşılıklı etkisini göz önüne alamadığı için yetersiz kalmıştır (Kutaniş 2001).

(28)

Uygulanan bir diğer yöntem ise altyapılara ayırma (Substructure Method) yöntemidir.

Aydınoğlu (1981)’de bu yöntemde sistemin üstyapı, etkileşim arakesiti ve zemin ortamı olmak üzere üç alt sisteme ayrıldığı ve ayrı bir alt sistem olarak göz önüne alınan zeminin dinamik rijitlik matrisi ve yük vektörü, yapı–zemin arakesitindeki serbestlik dereceleri cinsinden elde edilerek, yapının dinamik dengesinde göz önüne alınması esasına dayandığı belirtilmektedir. (Kutaniş 2001).

Bir diğer yöntem ise, yapı ve yakınındaki zemin bölgesi için Sonlu Elemanlar Yöntemi, uzaktaki zemin bölgesi için ise yarı analitik bir yöntem olan Sınır Elemanlar Yöntemi’nin birlikte kullanılmasıdır. Sınır Elemanlar Yöntemi, dalga yayılma şartını sağlamak için sonsuza uzanan bölge üzerinde temel çözümü analitik olarak yapan bir yöntemdir. Bu yöntemle çözüm yapıldığında problemin boyutu daha küçük olmakta ve bilinmeyen sayısı azalmaktadır. Bu da özellikle üç boyutlu sistemlerde önemli bir avantaj sağlamaktadır. Bu yöntem ile sistemin analizi hem zaman, hem de frekans tanım alanlarında yapılabilmektedir. Ayrıca, Sınır Elemanlar Yöntemi’nde elde edilen katsayı matrisleri simetrik olmadığından sayısal çözümü daha güç olmaktadır. Fakat Sonlu elemanlar ve Sınır elemanlar yöntemlerinin birbirlerine göre bazı avantajlarının bulunması, yapılan çalışmalarda, bu iki çözüm yönteminin üstün özellikleri birlikte kullanılarak, zemin yapı etkileşimi problemleri etkin bir şekilde ele alınabilmiştir.

Zemin yapı etkileşimi problemlerinde kullanılan etkili bir yöntem ise, sonlu elemanlar ile sonsuz elemanların birlikte kullanılmasıdır. İlk olarak Bettess (1977) tarafından statik ve harmonik yük etkisi altındaki problemlerin çözümü için geliştirilen bu modelde, kullanılan sonsuz elemanlar ortamda yayılan ve sonsuza doğru ilerleyen dalga özelliklerini idealize edecek şekilde seçilmektedir. Ayrıca sonsuz elemanlar için şekil fonksiyonları kullanılarak direngenlik ve kütle matrisleri elde edilmekte ve sonlu elemanlar ile birlikte kolaylıkla uygulanabilmektedir. Burada Sonlu Elemanlar Yönteminin özelliği sayesinde, yarı sonsuz zemin ile sonlu boyuttaki üstyapı birlikte düşünülerek, zemin–yapı sistemlerinin analizi direkt olarak gerçekleştirilmektedir. Bu yöntem uygulandığında, sistemi idare eden denklemin oluşturulmasında, standart sonlu eleman formülasyonu kullanılmakta ve sistem matrislerinin simetri ve bant tipi

(29)

özellikleri korunmaktadır. Böylelikle bellek problemleri azalmakta ve çözüm kolaylaşmaktadır.

İki ve üç boyutlu zemin yapı etkileşimi problemleri zaman uzayında ele alınabildikleri gibi, genellikle dönüşüm teknikleri (Fourier veya Laplace) kullanılarak dönüşmüş uzayda incelenmektedir. Ancak ele alınan sistemler incelenirken, genellikle harmonik yükleme durumu ele alınarak, impedans ve kompleyans analizleri yapılmaktadır. Bunun yanı sıra zamanla keyfi değişen yükleme durumunda ve deprem etkisi altında zemin yapı etkileşimi problemlerinin çözümleri de yapılmaktadır (Yerli 1998).

Bu çalışmada, deprem yükleri etkisindeki iki boyutlu bir zemin yapı sisteminde yüzey topografyasındaki değişikliklerin sistemin davranışı üzerindeki etkilerinin araştırılması amaçlanmıştır. Bu amaç doğrultusunda sistem sonlu ve sonsuz elemanlar birlikte kullanılarak modellenmiş ve zemin yapı etkileşimi analizi gerçekleştirilmiştir. Sistemin modellenmesinde yapı ve yapının etrafındaki zemin bölgesi için sonlu elemanlar, uzak zemin bölgesi için sonsuz elemanlar kullanılmıştır. Çalışmada sonlu eleman olarak sekiz düğümlü izoparametrik, kuadratik sonlu eleman tipi, sonsuz eleman olarak da farklı dalga özelliklerini taşıyan azalan fonksiyonlu sonsuz eleman tipi kullanılmıştır.

Yapı ve zemin malzemesinin ise homojen, izotrop ve lineer elastik/viskoelastik olduğu kabul edilmiştir. Kullanılan sonsuz elemanlar, sonlu elemanlar ile birlikte uygulanabilmekte ve homojen, elastik ve/veya viskoelastik ortamlar kolaylıkla ele alınabilmektedir. Ayrıca sonsuz elemanlara ait sistem matrisleri bant ve simetri özelliklerini koruduklarından hız ve bellek problemleri oldukça azalmaktadır.

Çalışmada öncelikle statik, dinamik yükleme etkisi altındaki zemin yapı sistemlerinin modellenmesi ve analizi için FORTRAN programlama dili kullanılarak hem düzlem gerilme/şekil değiştirme hem de eksenel dönel simetri durumları göz önünde bulundurularak ayrı ayrı bilgisayar programları hazırlanmıştır. Statik yükleme durumunda, sonlu ve sonsuz elemanlar için sadece direngenlik matrisleri ve yük vektörleri elde edilmektedir. Harmonik ve zamanla keyfi değişen yükleme durumu olmak üzere iki kısımda incelenen dinamik yükleme durumunda ise sonlu ve sonsuz

(30)

elemanlar için direngenlik matrisleri ve yük vektörlerinin yanı sıra kütle matrisleri de elde edilmektedir. Hazırlanan programlarda; harmonik yükleme durumu için frekans tanım alanında, zamanla keyfi değişen yükler ve yer hareketi için de Laplace dönüşüm uzayında formülasyon yapılarak sistem hareket denklem takımı lineer cebrik denklem takımına dönüştürülmüş ve Cholesky lineer denklem çözme algoritması kullanılarak aranan büyüklükler elde edilmiştir. Zamanla keyfi değişen yükleme durumu ve yer hareketi için çözüm Laplace uzayında elde edildiği için Durbin (1974) ’in geliştirdiği sayısal ters Laplace yöntemi kullanılarak aranan büyüklükler zaman tanım alanında ifade edilebilmiştir.

Hem statik hem de dinamik yükleme durumunda sonlu elemanlara ait eleman matrislerinin hesabı için gerekli integraller her iki doğrultu için 4 noktalı Gauss- Legendre sayısal integrasyon yöntemi kullanılarak elde edilmiştir. Sonsuz elemanlara ait eleman matrislerinin hesabı için gerekli integraller ise sonlu doğrultuda 4 noktalı Gauss–Legendre sayısal integrasyon yöntemi, sonsuza uzanan doğrultuda ise 12 noktalı Newton–Cotes sayısal integrasyon yöntemi kullanılarak elde edilmiştir.

Statik, harmonik ve zamanla keyfi değişen yükleme durumları için hazırlanan bilgisayar programlarının kontrolü amacıyla literatürde daha önceden çözülmüş çeşitli sayısal örnekler ele alınmıştır. Ele alınan örneklere ait bu çalışmadan elde edilen sonuçlar, literatürde verilen ya analitik sonuçlarla, ya da diğer alternatif yöntemlerle çözülerek elde edilmiş sonuçlarla karşılaştırılmaktadır. Çalışmanın ikinci aşamasında ise deprem yükleri etkisi altındaki bir zemin yapı sisteminde yüzey topografyasındaki değişikliklerin hem yapının hem de zeminin dinamik davranışı üzerindeki etkilerinin araştırıldığı bir takım parametrik çalışmaların sonuçları sunulmaktadır. Parametrik çalışmalarda bir zemin tabakası göz önüne alınarak yüzey topografyasındaki değişikliklerin yapının ve zeminin dinamik davranışı üzerindeki etkileri araştırılmıştır.

Bu amaçla zeminin hem elastik hem de viskoelastik bir malzeme olduğu kabul edilerek sıkı, orta sıkı ve gevşek zemin durumları için ve farklı topografik yapılara sahip zemin yapı sistemlerinin dinamik davranışı incelenmiştir.

(31)

2. KAYNAK ÖZETLERİ

Dinamik zemin yapı etkileşimi konusu, özellikle nükleer santraller gibi özel yapıların yapılmaya başlanması ile birlikte önem kazanmış ve bu alanda günümüze kadar pek çok araştırma yapılmıştır. Zemin yapı etkileşimi konusu ile ilgili yapılan çalışmalara ilk olarak 1950’li yıllarda analitik yöntemlerin kullanılmasıyla başlanmıştır. Ancak zemin yapı etkileşimi problemlerinin analitik olarak ele alınmasındaki bir takım zorluklar 1970’li yıllardan itibaren araştırmacıları sayısal çözüm yöntemlerinin kullanılmasına yöneltmiştir. Yapılan bu çalışmalar da genel olarak, alt yapılara ayırma yöntemi (Substructure Method) ve doğrudan çözüm yöntemi (Direct Method) olmak üzere iki temel yaklaşım çerçevesinde gerçekleşmiştir.

Zemin yapı sistemlerinin analizinde analitik yöntemlerin kullanıldığı ilk çalışmalardan olan Bycroft (1956)’da harmonik yükleme etkisi altında, yarı sonsuz zemin üzerinde rijit, kütlesiz temel sistemleri ele alınıp, zemine ait impedans (rijitlik) sabitlerinin hesaplanmasına çalışılmıştır. Ancak zemin yapı etkileşimi problemlerinin analitik olarak ele alınmasındaki zorluklardan dolayı basit ve düzenli geometriye sahip homojen ve izotrop ortamlar incelenebilmiştir. Rijit ve kütlesiz temel olarak Luco and Westman (1971)’de dairesel, Luco and Westman (1972)’de ise uzun şerit temel tipleri ele alınarak harmonik yükler altında zemine ait impedans sabitleri hesaplanmaya çalışılmıştır.

Veletsos and Verbic (1973)’de yarı sonsuz zemin malzemesinin homojen, lineer elastik ve/veya viskoelastik olması durumu, Luco (1974)’de ise zeminin homojen ve/veya tabakalı olması durumu ele alınarak yine harmonik yükler için analitik zemin yapı etkileşimi analizi yapılmıştır.

Zemin yapı sistemlerinin analizinde sayısal çözüm yöntemlerinin kullanılmaya başlanmasıyla birlikte yapılan çalışmalarda sistem genel olarak ya alt yapılara ayırma yöntemi ile ya da doğrudan çözüm yöntemi kullanılarak ele alınmaktadır. Aydınoğlu (1981)’de alt yapılara ayırma yönteminin, tüm sistem içerisinde zemin ortamının ayrık ya da sürekli bir alt sistem olarak göz önüne alınması esasına dayandığı belirtilmektedir.

(32)

Alt yapılara ayırma yönteminde zemin ortamının bağımsız bir sistem olarak incelenmesiyle, zemin yapı arakesitindeki serbestlik dereceleri cinsinden elde edilen zemin dinamik rijitlik matrisi ve etkin yük vektörü yapının dinamik dengesinde göz önüne alınır (Kutaniş 2001). Bu yönteme ilişkin çeşitli teknikler Wolf (1985)’de verilmektedir. Nükleer santraller ve barajlar gibi büyük kütleli yapılar ile zemin arasındaki etkileşim problemlerinin, yapı ile zeminin birlikte göz önüne alınarak doğrudan analizinin yapılması oldukça zaman alıcı olabilmektedir. Bu nedenle büyük hacimli zemin-yapı etkileşimi problemleri için alt yapılara ayırma yöntemi basit ve ekonomik çözümler sağlamaktadır (Gutierrez and Chopra 1978). Gutierrez and Chopra (1978)’nın çalışmasında, frekans tanım alanında, sistemin lineer elastik davrandığı kabul edilerek, üst yapı iki boyutlu sonlu elemanlarla, zemin ortamı için yarı sonsuz ortam yaklaşımı kullanılarak zemine gömülü temeller için bu yöntem uygulanmıştır.

Sisteme etki eden deprem verisi ise zemin yapı arakesitinde serbest yer hareketi olarak tanımlanmıştır. Bu çalışmadan başka, Gupta and Penzien (1982)’de dinamik yükler etkisi altındaki üç boyutlu zemin yapı sistemleri alt yapılara ayırma yaklaşımı çerçevesinde ele alınmaktadır. Bu amaçla yapı ve yakınındaki sonlu zemin bölgesi sonlu elemanlarla modellenmiştir. Uzak zemin bölgesi ayrı bir sistem olarak incelenmiş ve yakın bölge-uzak bölge arakesitindeki düğüm noktalarında sistem tanımlama yöntemleriyle uzak bölgesinin dinamik rijitlik matrisi ve etkin yük vektörü elde edilerek yakın bölgenin dinamik dengesinde göz önünde bulundurulmuştur. Sonuçta önerilen yaklaşımın zemin yapı sistemlerinin analizinde kullanılabileceği belirtilmiştir. Wolf (1993)’de hem zaman tanım alanında hem de frekans tanım alanında zemin yapı sistemlerinin analizinde kullanılan temel yaklaşımlar karşılaştırılmış, Aydınoğlu (1993)’de ise temel yaklaşımların karşılaştırılmasının yanı sıra bu yaklaşımların gelişiminden bahsedilmiştir. Filho et al. (1997) tarafından frekans tanım alanında yüzeysel ve derin temellerin zeminle dinamik etkileşimi problemleri, Halbritter et al.

(1998)’de nükleer güç santrallerinin dinamik yükler etkisi altında analizi yapılırken sistemin davranışı üzerinde zemin yapı etkileşiminin rolü alt yapılara ayırma yöntemi ile ele alınmıştır. Zhang et al. (1999)’ın çalışmasında ise, üç boyutlu dinamik zemin yapı etkileşimi problemlerinin zaman tanım alanında çözümü için sayısal bir yöntem geliştirilmiştir. Bu yöntemde alt yapılara ayırma yöntemi çerçevesinde, zemin ortamının lineer elastik davrandığı kabul edilerek, zemin ortamı “Ayarlanmış Sınır-Sonlu

(33)

Elemanlar Yöntemi” (Scaled Boundary Finite Element Method) adı verilen sayısal bir yöntemle, üst yapı ise sonlu elemanlar ile modellenmiştir. Wegner and Zhang (2001)’de bir zemin yapı sisteminde yapı sonlu elemanlarla, zemin ise Ayarlanmış Sınır-Sonlu Elemanlar Yöntemi ile modellenerek alt yapılara ayırma yaklaşımı çerçevesinde, doğrusal olmayan bir öz değer problemini de kapsayan, sistemin serbest titreşim analizi için bir yöntem önerilmiştir.

Zemin yapı sistemlerinin dinamik analizinde doğrudan çözüm yönteminin kullanılması alt yapılara ayırma yönteminin kullanılmasıyla hemen hemen eş zamanlı olmuştur.

Ancak bu yöntemde yarı sonsuz zemin belirli yerlerden kesilerek sonlu bir zemin bölgesi ele alınmakta ve böylelikle oluşturulan yapay sınırlardan enerji geçişinin matematiksel olarak gerçekçi bir şekilde ifade edilme zorunluluğu ortaya çıkmaktadır.

Bu zorunluluk araştırmacıları zemindeki sonlu bölgenin sınırlarına geçirgen yapay sınırlar kullanmaya itmiştir. Lysmer and Kuhlemeyer (1969) tarafından geliştirilen ve literatürde viskoz sınır şartı olarak bilinen geçirgen yapay sınır modeli bu problemin çözümünde öncü olmuştur. Geçirgen yapay sınırların kullanıldığı durumlarda, dalgaların sınıra çarpma açısını küçültmek, dolayısıyla dalga yansımasını azaltmak üzere Lysmer and Kuhlemeyer (1969) ve Chow and Smith (1981) gibi araştırmacılar bazı geçirgen sınır modelleri önermişlerdir. Sonlu Elemanlar Yönteminin gelişmesiyle birlikte araştırmacılar geçirgen yapay sınırları dinamik zemin yapı etkileşimi problemlerine uygulamışlardır. Murakami et al. (1981)’de yarı sonsuz zemin ortamında dalga yayılması ve yapay sınırlardan enerji geçişi, geçirgen yapay sınır şartları kullanılarak sağlanmış ve zemindeki geometrik ve malzeme süreksizliklerine rağmen önerilen geçirgen yapay sınır şartlarının dinamik zemin yapı etkileşimi problemlerinde uygulanabileceği belirtilmiştir. Mengi and Tanrıkulu (1993)’de sonlu elemanlarla modellenmiş bölgenin sınırlarında uygulanmak üzere literatürde çok kullanılan geçirgen yapay sınır şartları özetlenmekte ve örnekler üzerinde karşılaştırmalar yapılmaktadır.

Sonsuza uzanan zemini modellemek için Wolf and Song (1996a) tarafından geliştirilen

“Tutarlı Küçük Hücre Yöntemi” (Consistent Infinitesimal Finite Element Cell Method) ise diğer bir geçirgen yapay sınır modeli olarak, zemin yapı etkileşimi problemlerinde kullanılmaktadır. Bu yöntemde hem zaman tanım alanında, hem de frekans tanım

(34)

alanında Sonlu Elemanlar Yöntemine dayalı bir formülasyon yapılmaktadır. Wolf and Song (1996b)’de ise zaman tanım alanında zemin yapı etkileşimi problemlerinin çözümünde yine “Tutarlı Küçük Hücre Yöntemi” kullanılmaktadır. Genes and Kocak (2002)’de harmonik ve zamanla keyfi değişen yükler etkisi altındaki büyük ölçekli yapıların dinamik analizi, Sonlu Elemanlar Yöntemi ve Tutarlı Küçük Hücre Yöntemi birlikte kullanılarak ele alınmıştır. Çalışmada büyük ölçekli yapıların analizini kolaylaştırmak ve analiz süresini kısaltmak amacıyla bir paralel programlama tekniği kullanılmış ve olumlu sonuçlar elde edilmiştir. Halabian and Naggar (2002) tarafından yapılan benzer bir çalışmada ise yine Sonlu Elemanlar Yöntemi ve Tutarlı Küçük Hücre Yöntemi birlikte kullanılarak, ayrıca yapı ve zeminin doğrusal davranmadığı kabul edilerek, yüksek narin yapıların dinamik davranışları üzerinde zemin yapı etkileşiminin etkileri araştırılmıştır. Homojen ve tabakalı iki boyutlu yarı sonsuz ortamlarda zamanla keyfi değişen yükler altında, dalga yayılmasının ele alındığı Zhao and Liu (2002)’nin çalışmasında ise fiziksel olarak yay, sönüm ve enerji yutucu sistemiyle tanımlanan geçirgen yapay sınır şartları kullanılarak matematiksel modelde sonlu bölgeden enerji geçişi sağlanmıştır.

Doğrudan çözüm yaklaşımı çerçevesinde, sonsuza uzanan zeminlerin davranışını idealize etmek için, geçirgen yapay sınırlardan daha gerçekçi bir yaklaşım olarak ve yapay sınırı yapıdan çok uzakta tanımlamaya ihtiyaç bırakmayan sonsuz elemanlar modeli ilk olarak Bettess (1977) tarafından ortaya atılmıştır. Bettess and Zienkiewicz (1977)’de genel bir dalga problemi ortaya atılmış ve bu tip problemler için sonlu ve sonsuz elemanların kullanıldığı bir model önerilmiştir. Önerilen sonsuz elemanların sonlu elemanlarla birlikte yarı sonsuz ortamların modellenmesinde kullanılabileceği ve sistem matrislerinin bant ve simetri özelliklerini korudukları belirtilmiştir. Çalışmada ayrıca sonsuz elemanların sonsuza uzanan doğrultusu için sayısal integrasyon yapılmasında Newton-Cotes yönteminin kullanılmasının daha uygun olduğu sonucuna varılmıştır. Bettess (1980)’de azalan fonksiyonlu sonsuz eleman tipleri geliştirilmiş, izoparametrik sonsuz elemanlar tanımlanmıştır. Medina and Penzien (1982)’de ise frekans tanım alanında yarı sonsuz ortamda ilerleyen Rayleigh, kayma ve basınç dalgalarının özelliklerini taşıyan, hem üç boyutlu hem de eksenel dönel simetrik

(35)

durumlar için sonsuz eleman modeli geliştirilmiştir. Medina and Taylor (1983)’de yapı ve yakınındaki zemin bölgesi sonlu elemanlarla, uzaktaki zemin bölgesi ise sonsuz elemanlarla modellenerek hem statik hem de dinamik yükler altında zemin yapı etkileşimi analizi yapılmaktadır. Çalışmada statik ve dinamik yükler için sonsuz eleman modelleri önerilmekte ve elastik zemin üzerine oturan, ortasından düşey yüklü dairesel rijit plak örneği üzerinde modelin doğruluğu kontrol edilmektedir. Bettess and Bettess (1984)’de ise statik yükleme durumu için sonsuz elemanların tarihsel gelişiminden bahsedilmektedir. Çalışmada sonsuz elemanlar için iki temel sınıflandırma olan azalan fonksiyonlu sonsuz elemanlar ve tasvir edilebilir sonsuz elemanlar detaylı bir şekilde ele alınmaktadır. Kumar (1985)’de de statik yükleme durumunda farklı azalma fonksiyonları için sonsuz eleman modelleri geliştirilmiş ve önerilen sonsuz elemanların hem düzlem elastisite hem de eksenel dönel simetri problemleri için uygun olduğu sonucuna varılmıştır. Chuhan and Chongbin (1987)’nin yaptığı çalışmada ise elastik veya viskoelastik zemin üzerinde oturan temel sistemlerinin harmonik yükler altındaki davranışı iki boyutlu sonlu ve sonsuz elemanlar kullanılarak ele alınmaktadır. Chongbin et al. (1989)’da ise yine harmonik yükler altındaki temel zemin sistemlerinin davranışı üç boyutlu sonlu ve sonsuz elemanlar kullanılarak belirlenmektedir. Godbole et al.

(1990)’da farklı azalma fonksiyonlarına sahip sonsuz elemanlar kullanılarak doğrusal olmayan davranış gösteren zemin üzerine oturan farklı rijitliklerdeki şerit temellerin davranışı incelenmektedir. Viladkar et al. (1991)’de ise doğrusal olmayan davranış gösteren zemin üzerine oturan düzlem çerçevenin iki boyutlu analizi yapılmaktadır.

Çalışmada düzlem çerçeve izoparametrik çubuk elemanlarla, sonlu zemin bölgesi izoparametrik düzlem elemanlarla, sonlu zemin bölgesinin sınırları ise sonsuz elemanlar kullanılarak modellenmektedir. Bettess and Bettess (1991a, 1991b)’de ise dinamik yükleme etkisi altındaki zemin yapı sistemlerinin analizinde uzak zemin bölgesinde kullanılacak sonsuz eleman modelleri çeşitli problem türleri için detaylı bir şekilde ele alınmaktadır. Yang and Yun (1992)’de harmonik yükler altındaki zemin yapı sistemlerinin analizi, yapı ve yakın zemin bölgesi sonlu elemanlar, uzak zemin bölgesi ise farklı dalga tipleri için geliştirilen eksenel dönel simetrik sonsuz elemanlar kullanılarak yapılmaktadır. Çalışmada kullanılan sonlu-sonsuz eleman modeli elastik yarı sonsuz ortam üzerine oturan rijit, dairesel temel sisteminde uygulanmış ve elde edilen sonuçlar analitik sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Üç boyutlu sistemlerin ele alındığı

(36)

Chongbin and Valliappan (1993)’nın çalışmasında ise yarı sonsuz ortamda bir veya daha fazla dalga tipinin aynı anda bulunup bulunmamasına göre sonsuz elemanların şekil fonksiyonlarında kullanılmak üzere deplasman yayılma fonksiyonları geliştirilmiş ve harmonik yükler etkisi altındaki elastik veya viskoelastik zemin yapı sistemlerinin analizinde kullanılmıştır. Yang et al. (1996)’ın çalışmasında ise uzak zemin bölgesinde kullanılan sonsuz elemanların hem azaltma parametresinin kesin hesabında hem de sonlu-sonsuz eleman ağının frekansa bağımlı bir karakteristiği olmasının önemli bir dezavantaj olduğu belirtilmektedir. Bu amaçla yarı sonsuz ortamlarda dalga yayılma özelliklerine dayanarak frekanstan bağımsız yeni bir sonsuz eleman modeli önerilmekte ve harmonik yükler altındaki zemin yapı sistemlerinin analizinde kullanılmaktadır.

Cheng (1996)’da zemin yapı sistemlerinin analizinde yerçekiminden kaynaklanan kütle kuvvetleri göz önüne alındığında daha önce Bettess (1992) ve Marques and Owen (1984) tarafından ileri sürülen sonsuz eleman modellerinin iyi sonuç vermediği, bu problemin bu sonsuz elemanlara iki tane daha interpolasyon şekil fonksiyonu eklenerek giderildiği belirtilmiştir. Zamanla keyfi değişen yükleme etkisindeki iki boyutlu zemin yapı sistemlerinin analizinde sonlu ve sonsuz elemanların kullanıldığı Yerli et al.

(1998)’nin çalışmasında ise Laplace dönüşüm uzayında formülasyon yapılarak birden fazla dalga tipini içeren sonsuz elemanlar geliştirilmiştir. Çalışmada aranan büyüklükler Laplace uzayında elde edilip, sayısal ters Laplace dönüşüm yöntemiyle zaman uzayında çözüm elde edilmektedir. Yerli et al. (1999)’un yaptığı benzer bir çalışmada ise iki boyutlu zemin yapı sistemlerinin analizinde yine sonlu elemanlarla, harmonik ve zamanla keyfi değişen yükleme durumları için birden fazla dalga tipini içeren sonsuz elemanlar birlikte kullanılmaktadır. Khalili et al. (1999)’da tamamen suya doygun yarı sonsuz ortamların frekans tanım alanında iki boyutlu analizi sonlu ve sonsuz elemanlar kullanılarak yapılmıştır. Çalışmada sonsuz elemanın dalga yayılma fonksiyonu, doygun ortamlarda dalga yayılma denkleminin analitik çözümünden türetilmiştir. Elde edilen sonuçlar doygun yarı sonsuz ortamların modellenmesinde sonlu ve sonsuz elemanların birlikte kullanılması gerektiğini göstermiştir. Zaman tanım alanında hem harmonik hem de zamanla keyfi değişen yükler için Kim and Yun (2000) ve frekans tanım alanında harmonik yükler için Yun et al. (2000) tarafından yapılan çalışmalarda ise iki boyutlu zemin yapı sistemlerinin analizi, sonlu ve frekansa bağımlı sonsuz elemanlar birlikte kullanılarak yapılmaktadır. Sadecka (2000)’de tabakalı yarı sonsuz zemin üzerine