Konu özeti BASİT EŞİTSİZLİKLER. matematik hobi bahçesi idris aydın (matematik hobi bahçesi) matematik_hobi_bahcesi

(1)

matematik hobi bahçesi idris aydın (matematik hobi bahçesi) matematik_hobi_bahcesi

Konu özetİ

BASİT EŞİTSİZLİKLER

(2)

mekanik, fotokopi veya herhangi bir kayıt sistemi ile çoğaltılması, yayımlanması ve depolan- ması yasaktır.

MATEMATİK HOBİ BAHÇESİ İdrİs aydın

ofİs ve etüt merkezİ

(3)

ARALIKLAR

1. Kapalı Aralık

a ≤ x ≤ b veya [a, b]

şeklinde gösterilir. sayı doğrusunda ise aşağıdaki gibi gösterilir.

2. Yarı Açık ve Açık Aralık

a ve b reel sayılar ve a < b olmak üzere [a, b] kapalı aralığının;

 Uç noktalarından biri çıkartılırsa yarı açık aralık

 Uç noktalarından ikisi de çıkartılırsa açık aralık denir.

Bunları şekilde gösterelim,

i)

a < x ≤ b veya (a, b]

şeklinde ifade edilen aralık yarı açık aralıktır. Bu aralık soldan açık sağdan kapalıdır.

ii)

a ≤ x < b veya [a, b)

şeklinde ifade edilen aralık da soldan kapalı sağdan açık dolayısıyla yarı açık aralıktır.

iii)

a < x < b veya (a, b)

şeklinde ifade edilen aralık açık aralıktır. Aralığın her iki uç noktaları kümeye dahil değildir.

BASİT EŞİTSİZLİKLER

<, >, ≤, ≥ gibi sembollerin kullanıldığı denklemlere eşitsiz- lik denir. Eşitsizliklerde de aynen denklemlerde olduğu gibi bilinenler ve bilinmeyenler farklı yerlere toplanır.

Fakat burada dikkat edilmesi gereken önemli özellikler var şimdi bunları görelim.

1. özellik

Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya çıkar- tılırsa eşitsizlik bozulmaz.

a < b olmak üzere,

i) a + c < b + c ii) a – c < b – c

Örnek…1

–5 < x < 3 olmak üzere,aşağıdaki aralıkları bulunuz.

a) x + 3 aralığını bulunuz.

b) x – 7 aralığını bulunuz.

c) 2x +1 aralığını bulunuz.

1

(4)

2. özellik

 Bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik bozulmaz.

a < b ve c > 0 olmak üzere, i) a . c < b.c ii) a b

c< c

 Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.

a < b ve c < 0 olmak üzere, i) a . c > b.c ii) a b

c> c

Örnek…2

Aşağıdaki eşitsizliklerde bilinmeyenleri yalnız bırak a) –3x < 21

b) –5m > 25

c) –2y ≤ 16

d) –5a > 2

e) –3k ≥ 45

f) –3 < –x ≤ 4

Örnek…3

1 < x < 5 ise 3x + 2'nin aralığını bulunuz.

–3 ≤ x < 2 ise –3x + 4'nin aralığını bulunuz.

–2 ≤ x < 4 ise 3x 1+

4 nin aralığını bulunuz.

Örnek…4

2x + 5 < 17

eşitsizliğini sağlayan doğal sayıları bulunuz.

cevap: {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Örnek…5

1

x 2

−2 ≤ ≤

olduğuna göre, 2x+1 toplamının alabileceği tamsayı- ların toplamı kaçtır?

cevap: 15

2

(5)

Örnek…6

2x 1 5 3

− ≥

eşitsizliğini sağlayan en küçük x tam sayısı kaçtır?

cevap: 8

Örnek…7

8 ≤ 2x – a

eşitsizliğinde x'in en geniş aralığı [7, ∞) olduğuna göre, a'nın değeri kaçtır?

cevap: 6

Örnek…8

–2 < x < 4

olduğuna göre, 1 – x ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

(2012 YGS) cevap: 2

Örnek…9

5 7

4 x 3

− < <

eşitsizliğini sağlayan x tamsayılarının toplamı kaçtır?

(2010 YGS) cevap: 2

Örnek…10

–5 < x ≤ 3 ve 3x – 2y = 7

olduğuna göre, y'nin değer aralığını bulalım.

cevap: –11<y≤1

Örnek…11

5x 3 7 4

+ ≤

eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?

cevap: x ≤ 5

Örnek…12

2x 1 3 5

− > −

−

eşitsizliğini sağlayan pozitif tamsayıların toplamı kaçtır?

cevap: 28

Örnek…13

x 1 2x 2

3 5

− ≤ −

−

cevap: 1≤x

3

(6)

3. özellik

 Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir fakat çıkartılamaz.

^a ^b a x b y

x y

< ⇒ + < +

< 

 a, b, x, y pozitif reel sayılar olmak üzere aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa çarpılabilir fakat bölünemez.

^a ^b a . x b . y

x y

< ⇒ <

< 

Örnek…14

2 < x < 4 ve –1 < y < 5 olduğuna göre, x+y ve x–y aralığını bulunuz.

Örnek…15

–5 < x < 6 ve –2 < y < 9

olduğuna göre, x+y toplamının alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değeri kaçtır?

cevap: –6, 14

Örnek…16

3 < x < 7 –5 < y < 8

olduğuna göre, x – y toplamının alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değeri kaçtır?

cevap: –4, 11

Örnek…17

–6 < a < 5 3 < b < 1

olduğuna göre, a+b toplamının alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değeri kaçtır?

cevap: –2, 5

Örnek…18

3 < a < 10 –2 < b < 7

olduğuna göre, 3a + 2b toplamının en büyük ve en küçük tam sayı değerlerini bulunuz.

cevap: 6, 43

4

(7)

Örnek…19

4 < m < 12 –2 < n < 7

olduğuna göre, 2m – 3n farkının a) En büyük tam sayı değeri kaçtır?

b) En küçük tam sayı değeri kaçtır?

cevap: –12, 29

Örnek…20

–1 < x ≤ 4 –2 ≤ y < 7

olduğuna göre, 2x – 5y farkının a) En küçük tam sayı değeri kaçtır?

b) En büyük tam sayı değeri kaçtır?

cevap: –36, 18

UYARI:

Değişkenlerin tamsayı olduğu belirtiliyorsa kesinlikle aralık çözümü yapılmaz.

Bu sorularda uygun değerler verilerek çözüm yapılır.

Örnek…21

a ve b tam sayıları için 4 < a ≤ 7 –3 ≤ b < 6 olduğuna göre,

4a + 3b toplamı en çok kaçtır?

2a – 6b toplamı en çok kaçtır?

5a + 4b toplamı en az kaçtır?

cevap: 43, 32, 13

Örnek…22

m ve n tam sayıları için –4 ≤ m ≤ 3 –2 < n < 2

olduğuna göre, 5m + 4n toplamının a) En büyük tam sayı değeri kaçtır?

cevap: –24, 19

5

(8)

Örnek…23

a ve b tam sayıları için 4 < a < 7 –2 < b < 2

olduğuna göre, –a – 3b ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

cevap: –9

Örnek…24

x ve y tam sayıları için –1 < x ≤ 4 –2 ≤ y < 7 olduğuna göre,

a) 2x – 5y farkının en küçük değeri kaçtır?

b) 2x – 5y farkının en büyük değeri kaçtır?

cevap: –30, 18

4. özellik

0 ile 1 arasındaki sayıların üssü büyüdükçe küçülür.

x² < x ise 0 < x < 1

Kıl aralık

Örnek…25

x² < x

olduğuna göre, 5x + 2 ifadesinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

cevap: 18

Örnek…26

a² < a olmak üzere, b – a = 3

olduğuna göre, b'nin en geniş değer aralığı nedir?

cevap: 3 < b < 4

6

(9)

5. özellik

x, y, z aynı işaretli sayılar olmak üzere

x < y < z ise ¹ ¹ ¹ x> >y z

aynı işaretli sayılar arasındaki sıralamada sayıların çarp- ma işlemine göre tersleri alındığında eşitsizliğin yönü değişir.

Örnek…27

< ≤ +

1 1 1

8 x 1 3

olduğuna göre, x in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

cevap: 20

Örnek…28

k pozitif tam sayı olmak üzere + <

2k 1 17

k 114

olduğuna göre, k'nın alabileceği en küçük değer kaç- tır?

cevap: 5

6. özellik

Tam kare ve tam küp gibi aralıklar bulunurken,

 Eğer, x pozitif ise hiçbir problem yok

2 < x < 5 ise 4 < x² < 25

 Eğer sınırların ikisi de negatif ise, her tarafın kare- sini aldığımızda eşitsizliğin yönünü kontrol edin

–3 < x ≤ –1 ise 9 > x² ≥ 1

şimdi dikkaaaaaaaaaaaaaaaat...

 Ama sınırlardan biri pozitif diğeri negatif olursa –2 < x < 4 ise 0 ≤ x² < ?

–6 < x < 5 ise 0 ≤ x² < ?

Sol taraf kesinlikle 0 ≤ x²< ... şeklinde olacak. Sağ tara-

fa ise sen karar ver.

–2 < x < 4 ise 0 ≤ x² < 16 dır.

 Her tarafın küpünü alacaksanız sıkıntı yok normal alın

2 < x < 4 ise 2³ < x³ < 4³ tür.

–3 < x ≤ 2 ise –27 < x³ ≤ 8 dir.

7

(10)

Örnek…29

Aşağıda tanım aralıkları verilen değişkenlerin tam kare aralıklarını bulunuz.

1. 3 < m < 6

2. 1 < a < 4

3. 2 < f < 7

4. –5 < k < –2

5. –6 < d ≤ –1

6. –4 < e < 8

Örnek…30

Aşağıda tanım aralıkları verilen değişkenlerin tam küp aralıklarını bulunuz.

1. 1 < n < 3

2. 0 < m < 5

3. 2 ≤ k < 4

4. –4 < f < –3

Örnek…31

–2 < a < 5 –4 < b < 3

olduğuna göre, a²+b³ifadesinin değer aralığı nedir?

cevap: (–64, 52)

Örnek…32 x ve y tam sayıdır.

–7 ≤ x < 3 –5 < y ≤ 4

olduğuna göre, (x² – y³) ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

cevap: 113

Örnek…33

–3 ≤ a ≤ 1 –2 ≤ b ≤ 2

olduğuna göre, a²+b³ ifadesinin değeri hangi aralık- tadır?

A) [–17, 17] B) [–13, 8] C) [–8, 17]

D) [–7, 7] C) [–7, 1]

(2008 ÖSS) cevap: C

8

(11)

Örnek…34

A şehrinden B şehrine iki farklı yolla gidebilmektedir.

1. yol: 4x – 7 2. yol: 3x + 5

2. yol daha kısa olduğuna göre, x'in en küçük tamsayı değeri kaçtır?

cevap: 13

Örnek…35

Üretilen bir malın maliyeti x, satış fiyatı y dir. Bu malın satış fiyatının hesaplanması için,

I. y = 2x – 160 II. y = x + 90

biçiminde iki bağıntı önerilmiştir.

Üretilen malın tümü satılabildiğine ve satış fiyatının hesaplanmasında I. bağıntıyı kullanmak daha kârlı olduğuna göre, x maliyeti için ne söyleyebiliriz?

cevap: 250<x

Örnek…36

x, y gerçel sayılar olmak üzere –2 < x < 5 –7 < y < 4

olduğuna göre, x.y nin en büyük ve en küçük tam sayı değerlerini bulunuz.

cevap: –34, 19

RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA

Rasyonel sayılar sıralanırken aşağıda göstereceğimiz kurallardan yararlanmak kolaylık sağlar.

1. Kesirlerin pay ve paydaları eşitlenir.

 Paydaları eşit olan kesirlerden payı büyük olan diğer- lerinden daha büyüktür.

< < < <

2 5 8 15 40

7 7 7 7 7 .... dir.

 Payları eşit olan kesirlerden paydası büyük olan diğer- lerinden daha küçüktür.

< < < <

5 5 5 5 5

41 23 18 11 6... dir.

Örnek…37

5

a= 6 1

b= 3 3 c=4 sayılarını sıralayınız.

cevap: b < c < a

Örnek…38

7

x=10 11

y=15 19 z=30

x, y, z sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

cevap: z < x < y

9

(12)

2. Pay ve payda arasındaki farkı eşit olan pozitif kesirlerin pay ve paydasındaki sayılar büyüdükçe

 Basit kesirlerin değeri artar.

 Bileşik kesirlerin değeri azalır.

< < <

3 11 39 101

7 15 43 105

105 43 15 7

101< 39< 11< 3

Örnek…39

7

a=10 21

b=24 =91

c 94

d 105

=108 Sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım.

cevap: a < b < c < d

UYARI

Negatif sayılarda sıralama pozitif sayıların tersidir. Yani sayılar pozitif olarak sıralanır daha sonra eşitsizlik yön değiştirir..

Örnek…40

= −5

a 7 = −10

b 13 = −20

c 23

Sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım.

cevap: c < b < a

Örnek…41

1 < x < 3

olduğuna göre, 3x + 2'nin aralığını bulalım.

cevap: (5, 11)

Örnek…42

–3 ≤ x < 2

olduğuna göre, –3x + 2'nin aralığını bulalım.

cevap: (–4, 11]

Örnek…43

–2 ≤ x < 4 olduğuna göre, 3x 1

2− 'nin aralığını bulalım.

cevap: 7 11 2, 2

− 

 

Örnek…44

–7 < 2x + 1 ≤ 11

olduğuna göre, x'in çözüm aralığı nedir?

cevap: (–4, 5]

10

(13)

Örnek…45

–10 < 2x – 6 < 8

eşitsizliğini sağlayan en küçük ve en büyük x tamsa- yılarının toplamı kaçtır?

cevap: 5

Örnek…46

–4x – 5 > 15

cevap: x < –5

Örnek…47

–4 ≤ x < 4 olduğuna göre, 2x 2

5− 'in aralığını bulalım.

cevap: 6

2 , 5

− 

 

Örnek…48

2x 1 5 3

− ≥

eşitsizliğini sağlayan en küçük x tamsayısı kaçtır?

cevap: 8

Örnek…49

2x 3 x

5 3

− >

cevap: 9 < x

Örnek…50

x 4

1 5

3

− <− + <

olduğuna göre, x'in alabileceği en büyük ve en küçük tam sayının toplamı kaçtır?

cevap: –4

Örnek…51

a + b = 1,2 b + c = 0,8 a + c = 2,3

olduğuna göre, a, b, c yi sıralayınız.

Örnek…52

3(x – 4) < 4(2x + 2)

cevap: –4 < x

11

(14)

Örnek…53

2x – y = 3 ve 1 ≤ y < 5

olduğuna göre, x'in en geniş değişim aralığını bulu- nuz.

cevap: 2 ≤ x < 4

Örnek…54

–5 < a < 3 ve a – b= 3

olduğuna göre, b'nin alabileceği tam sayı değerler toplamı kaçtır?

cevap: –28

Örnek…55 x² < x olmak üzere

x^2a–1 < x^5–a

eşitsizlik sistemini sağlayan en küçük a tamsayısı kaçtır?

cevap: 3

Örnek…56

a + 1 ≤ 2a – 8 < a + 4

eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı nedir?

cevap: 9 ≤ a < 12

Örnek…57

2a – 4 < 3a – 12 ≤ a + 16 eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı nedir?

cevap: 8 < a ≤ 14

Örnek…58

–1 < x < 3 –2 < y < 5

olduğuna göre, 2x + 3y toplamının alabileceği en bü- yük tam sayı değeri kaçtır?

cevap: 20

Örnek…59

4 ≤ x < 9 5 < y ≤ 11

olduğuna göre, – x – y farkının alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değeri kaçtır?

cevap: –10, –19

Örnek…60

x > –8 y < –4

olduğuna göre, y – x farkının çözüm aralığı nedir?

cevap: (–∞, 4)

12

(15)

Örnek…61

x ve y tam sayıları için –5 < x < 6 –6 < y < 4

olduğuna göre, 3x+4y toplamının alabileceği en kü- çük ve en büyük tam sayı değeri nedir?

cevap: –32, 27

Örnek…62

m ve n tam sayıları için –4 ≤ m ≤ 3 –2 < n < 2

olduğuna göre, 5m+4n toplamının a) En büyük tam sayı değeri kaçtır?

cevap: –24, 19

Örnek…63

a ve b tam sayıları için 4 < a < 8 –3 < b < 2

olduğuna göre, 2a–4b farkının a) En büyük tam sayı değeri kaçtır?

cevap: 6 , 22

Örnek…64

x² < x

olduğuna göre, 5x+2 toplamının alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

cevap: 6

Örnek…65

x² < x ve y + 4x = 3

olduğuna göre, y'nin en büyük tam sayı değeri kaç- tır?

cevap: 2

Örnek…66

x, y, z negatif gerçel sayılar olmak üzere

1

x.y= 6 3

y.z= 5 6

x.z=11 olduğuna göre, x, y, z yi sıralayınız.

cevap: z < y < x

Örnek…67

a²< a ve a . c > c

olduğuna göre, c'nin değişim aralığını bulunuz.

cevap: c < 0

13

(16)

Örnek…68

1 1 5< < a 1

eşitsizliğini sağlayan a tam sayılarının toplamı kaçtır?

cevap: 9

Örnek…69

x tam sayı olmak üzere,

1 4 5≤ x 1<2

−

eşitsizliğini sağlayan en büyük ve en küçük x değer- lerinin toplamı kaçtır?

cevap: 17

Örnek…70

1 1

8< < ve a 4 1

b 2

4< <

olduğuna göre, 1 1

a+ b toplamının en büyük tam sayı değeri kaçtır?

cevap: 11

Örnek…71

1

a 1

5< < ve 1

b 3

2< ≤ olduğuna göre, 1

a+ b toplamı kaç farklı tam sayı de- ğeri alabilir?

cevap: 2

Örnek…72

2 ≤ a ≤ 4 ve –3 ≤ b ≤ 2

olduğuna göre, a²+b³ ifadesinin değer aralığı nedir?

cevap: [–23, 24]

Örnek…73

a, b, c pozitif tam sayılar olmak üzere 3a > 4b ve 2b > 7c

olduğuna göre, a+b+c toplamı en az kaçtır?

cevap: 11

Örnek…74

a ve b gerçel sayıları için b² < a . b < b – a

olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

A) a < 0 < b B) b < 0 < a C) 0 < a < b D) b < a < 0 E) a < b < 0

(2015 YGS) cevap: E

Örnek…75

a = 5! . 9! b = 6! . 8! c = 7! . 7!

A) a < b < c B) a < c < b C) b < c < a D) c < a < b E) c < b < a

(2015 YGS) cevap: E 14

(17)

Örnek…76

a, b, c gerçel sayılar ve 0 < b < 1 olmak üzere, a = b . c ve a + c = b

A) a < b < c B) a < c < b C) b < a < c D) c < a < b E) c < b < a

(2015 LYS) cevap: B

Örnek…77

x ve y gerçel sayıları için,

3 < x < 12 ve ^x ³ y = 2

olduğuna göre, y'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

A) 18 B 21 C) 25 D) 28 E) 32

(2016 YGS) cevap: C

Örnek…78

a ve b tam sayıları,

1 < a < b – a < 5

eşitsizliğini sağlamaktadır. Buna göre, b'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

A) 11 B 14 C) 15 D) 16 E) 18

(2016 YGS) cevap: E

Örnek…79

x gerçel sayısı için,

–3 < 2x < 7

olduğuna göre, 5 – x ifadesinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

A) 5 B 10 C) 15 D) 20 E) 25

(2017 YGS) cevap: D

Örnek…80

Üç basamaklı ADB, ADC, DAA, DAD doğal sayıları ADB < DAA

DAD < ADC

eşitsizliklerini sağlamaktadır. Buna göre, aşağıdaki sıra- lamalardan hangisi doğrudur?

A) A = D < B < C B) C < A = B < D C) D < A = B < C D) B < A = D < C

E) C < A = D < B

(2017 LYS) cevap: D

Örnek…84

a, b gerçel sayılar ve

0 < a < 3a² ve b – 1 = 6a

olduğuna göre, b'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

A) 3 B 4 C) 5 D) 6 E) 7

(2013 LYS) cevap: B

15

(18)

Örnek…81

Sıfırdan farklı x ve y gerçel sayıları için y < x ve x²<y² olduğuna göre,

I. x . y > 0 II. x + y < 0 III. ¹ ¹ 0

x− >y

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II

D) I ve III E) II ve III

(2017 LYS) cevap sende:)

Örnek…82

a, b ve c sıfırdan ve birbirlerinden farklı rakamlar olmak üzere, ondalık gösterimleri

K = a, b L = b, c M = c, a

biçiminde olan üç sayı veriliyor.

Ondalık gösterimi verilen sayılarda sıralama konusunu yanlış öğrenen Alican, bu üç sayının sıralamasının, birler basamağı yerine onda birler basamağındaki değerin bü- yüklüğüne göre yapılacağını düşünerek K < L < M sıra- lamasını elde ediyor.

Buna göre, bu sayıların doğru sıralaması aşağıdaki- lerden hangisidir?

A) K < M < L B) L < K < M C) L < M < K D) M < K < L E) M < L < K

(2018 TYT) cevap: C

Örnek…83

Aşağıda, 12 kalem ve 1'den 9'a kadar birbirinden farklı rakamlarla numaralandırılacak 9 topun görünümü veril- miştir.

Şekilde, her bir kalemin yazan ucunun gösterdiği topun numarası kalemin yazmayan ucunun gösterdiği topun numarasında büyüktür.

Örneğin; yukarıdaki şekilde B sayısı A sayısından bü- yüktür.

Buna göre, A+E+G toplamı kaçtır?

(2018 TYT) cevap: 17

Örnek…85

x, y ve z gerçel sayıları için

x + y < 0 < x < y + z

A) x < y < z B) x < z < y C) y < x < z D) y < z < x E) z < y < x

(2013 YGS) cevap: C

16

(19)

Örnek…86

x, y birer gerçel sayı ve –1 < y < 0 < x olduğuna göre, I. x + y > 0

II. x – y > 1 III. x.(y + 1) > 0

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II

D) I ve III E) II ve III

(2012 LYS) cevap: B

Örnek…87

Verilen a, c pozitif ve b negatif gerçel sayıları için a²b > abc + c²

eşitsizliği sağlandığına göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) a = |b| B) a = c C) c > |b|

D) a < c E) c < a

(2010 LYS) cevap: D

Örnek…88

x, y ve z gerçel sayıları için y > 0

x – y > z

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

A) x > z B) x > y C) z > y

D) x > 0 E) z > 0

(2010 YGS) cevap: A

Örnek…89

0 < x < y

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) ^x ^y 0

y

− < B) y x

x 0

− > C) x y

x 1

− <

D) ^x ^y 1 y

+ > E) x y

x 1 + <

(2001 ÖSS) cevap: E

17

(20)

Örnek…90

a < 0 < c < d olmak üzere

2 2 2 2

5a 2b a b

d c c d

+ < +

− −

olduğuna göre, b

a oranının en küçük tamsayı değeri kaçtır?

cevap: –1

Örnek…91

–2 < x < 3 olmak üzere x² – 2x

ifadesinin alabileceği en küçük ve en büyük tamsayı değerlerini bulunuz.

cevap: –1, 7

Örnek…92

–3 ≤ a < 10 olmak üzere,

−

=

−

a 1

b 1

1 1 b

eşitliğini sağlayan kaç tane b tamsayısı vardır?

cevap: 5

Örnek…93

a³ < a < a²

olmak üzere , a nın değer aralığını bulunuz.

Örnek…94

2 < x < 5 ve –3 < y < – 1 olmak üzere,

^x ^y x . y +

ifadesinin en geniş aralığını bulunuz.

cevap: 4 1 5 6,

− 

 

 

Örnek…95

1 1

x= + 2 5 1 1 1

y= + + = −3 6 7 3 1 + 1

z 5 10 18

olduğuna göre, x, y, z yi büyükten küçüğe doğru sıra- layınız.

cevap: z < y < x

18

(21)

matematik

bölüm 2

testler

(22)

(23)

Örnek...1

olduğuna göre, sıralamayı bulunuz.

cevap: x < y < z

Örnek...2

x = 0,3 y = 0,03 z = 0,003

cevap:z < y < x

Örnek...3

cevap: a > b > c

Örnek...4

cevap: m > n > p

Örnek...5

x – 3 ≤ 5

olduğuna göre, x in aralığını bulunuz.

cevap:x ≤ 8

Örnek...6

eşitsizliğini sağlayan x gerçek sayı değerlerinin reel sayı doğrusu üzerindeki görüntüsünü bulunuz.

cevap:

Örnek...7

2a – 1 > 3 ve 3a + 2 < 17

eşitsizliklerini sağlayan a'nın kaç farklı tamsayı değeri vardır?

cevap:2

Örnek...8

x < 0 < y

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

A) x + y < 0 B) x + y > 0 C) x . y > 0 D) y – x < 0 E) x – y < 0

cevap:E

(24)

Örnek...9

eşitsizliğini sağlayan k'nın en büyük negatif tamsayı değeri kaçtır?

cevap: –3

Örnek...10

3^x > 30

eşitsizliğini sağlayan x'in en küçük doğal sayı değeri kaçtır?

cevap:4

Örnek...11

x > –1 ve –2 ≤ x + 1 ≤ 4

eşitsizliklerini sağlayan x'in kaç farklı tamsayı değeri vardır?

cevap:4

Örnek...12 x ve y sayısı için

x; İki basamaklı asal sayılardan küçük ve negatif sayılar- dan büyüktür.

y; Bir basamaklı en küçük negatif tamsayıdan küçük değil, ancak en büyük rakamdan küçüktür?

Buna göre, x+y nin aralığını bulunuz.

cevap:–9≤x+y<20

Örnek...13

–1 ≤ x < 4

olduğuna göre, 2x – 1'in alabileceği değerlerin en geniş aralığını bulunuz.

cevap: [–3, 7)

Örnek...14

3 katının 4 eksiği, 8 den küçük olan en büyük pozitif tamsayı kaçtır?

cevap: 3

Örnek...15

–7x + 9 ≥ –5x + 5

eşitsizliğini sağlayan x in en büyük tamsayı değeri için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) En küçük tek sayıdır.

B) En küçük çift doğal sayıdır.

C) En küçük doğal sayıdır.

D) En küçük asal sayıdır.

E) En büyük negatif sayıdır

Örnek...16

x < y < –z < 0

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğru- dur?

A) B) x + y + z < 19

C) z – y < 0 D) x . y . z < 0

E) x . y + z > 0

Cevap sende.)

(25)

Örnek...1

Örnek...2

x > 0 olmak üzere

cevap:a<b<c

Örnek...3

cevap: y < x < z

Örnek...4

cevap:b<a<c

Örnek...5

10 + x > 10 + y 100 + y > 100 + z olduğuna göre, sıralamayı bulunuz.

cevap: x > y > z

Örnek...6

Örnek...7

x > y > 3 olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi en büyüktür?

Örnek...8

cevap: x>4

(26)

Örnek...9

cevap: x>2

Örnek...10

olduğuna göre, x–y farkının alabileceği en büyük tamsayı değeri kaçtır?

cevap: 3

Örnek...11

3x – 4 ≥ x – 2

olduğuna göre, x'in alabileceği en küçük değer kaçtır?

cevap:1

Örnek...12

eşitsizliğini sağlayan x in en küçük tamsayı değeri kaçtır?

cevap: 2

Örnek...13

n² < n

olduğuna göre, n aşağıdakilerden hangisi olamaz?

Örnek...14

x = 3.y ve 6 ≤ x ≤ 20

olduğuna göre, y nin alabileceği kaç farklı tamsayı değeri vardır?

cevap: 5

Örnek...15

y < x < 0 ve

olduğuna göre, c nin aralığını bulunuz.

cevap: 0 < c < 1

Örnek...16

Ali'nin şimdiki yaşı: x + 4 Ayşe'nin şimdiki yaşı: 3x – 8 dir.

Ayşe, Ali'den daha büyük olduğuna göre, x in aralığını bulunuz.

cevap:6 < x

(27)

Örnek...1

cevap: z < y <x

Örnek...2

z=2,32

cevap: z < x < y

Örnek...3

x, y, z birer pozitif gerçek sayılar olmak üzere,

Örnek...4

x < 0 x.y > 0

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

x < y , y < x , x < z , z < y , z < x

Örnek...5

eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x doğal sayı değeri vardır?

cevap: 10

Örnek...6

olduğuna göre, x'in alabileceği kaç farklı tamsayı de- ğeri vardır?

cevap: 6

Örnek...7

a ve b birer tamsayı olmak üzere

ve 6 < a + b < 15

olduğuna göre, a–b farkının alabileceği en büyük de- ğer kaçtır?

cevap:4

Örnek...8

a ve b gerçek sayılar olmak üzere,

a < b , b < a , a < 1 , 1 < b , 0 < b<1

(28)

Örnek...9

x < 0 < y < z

z < y+2 , z < x+y , 0 < x.y.z , x³ < y³ , x² < z²

Örnek...10

x, y, z pozitif gerçek sayılar olmak üzere,

x . y = 10 y . z = 30 x . z = 40

olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğ- rudur?

cevap:y < x < z

Örnek...11

0 < a < b ve

olduğuna göre, x reel sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Örnek...12

m < n < 0

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) m + n < 0 B) m.n > 0 C) m–n < 0

D) E)

cevap: E

Örnek...13

x tamsayı olmak üzere,

1 < x < 5 ve x + y = 7

olduğuna göre, y nin alabileceği değerler toplamı kaç- tır?

cevap:12

Örnek...14

x ve y gerçel sayı olmak üzere, 2 < x < 4 ve –3 < y < 0

olduğuna göre, x – y farkının alabileceği en büyük tamsayı değeri kaçtır?

cevap: 6

Örnek...15

0 < x ≤ 4 ve x = 2y – 5

olduğuna göre, y nin alabileceği tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?

cevap: 7

Örnek...16

a ve b gerçel sayılar olmak üzere, a + 1 < 6 ve b – 2 < 1

olduğuna göre, a+b toplamının alabileceği en büyük tamsayı değeri kaçtır?

cevap:7

(29)

Örnek...1

m < 0 olmak üzere,

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Örnek...2

olduğuna göre, x aşağıdaki kesirlerden hangisi olabi- lir?

Örnek...3

–8 < 4 – 2x ≤ 6

olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı tamsayı de- ğeri vardır?

cevap: 7

Örnek...4

x + 3 < 2x – 2 ≤ x + 7

olduğuna göre, x in alabileceği tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?

cevap: 30

Örnek...5

a ve b birer gerçel sayı olmak üzere,

ve 0,1 < b < 0,8 olduğuna göre, a nın aralığını bulunuz.

cevap:5 < a < 40

Örnek...6

x ve y birer tamsayı olmak üzere –1 < x ≤ 6

–4 < y ≤ 2

olduğuna göre, 3x – y ifadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır?

cevap:–2

Örnek...7

2 ≤ x < 5 ve –1 ≤ y < 3

olduğuna göre, x+2y nin alabileceği kaç farklı tamsayı değeri vardır?

cevap:11

Örnek...8

–7 < x < 6

olduğuna göre, x² nin alabileceği en büyük tamsayı değeri kaçtır?

cevap:48

(30)

Örnek...9

olduğuna göre, ifadesinin alabileceği en büyük tamsayı değeri kaçtır? ^cevap:5

Örnek...10

2 < x < 3

olduğuna göre, 3x – 1 ifadesinin alabileceği kaç farklı tamsayı değeri vardır? ^cevap: 2

Örnek...11

x ve y gerçel sayı olmak üzere, 1 < x < 7 2 < y < 9

olduğuna göre, x+y toplamının alabileceği en büyük tamsayı değeri en küçük tamsayı değerinden kaç fazladır?

cevap: 11

Örnek...12

x, y, z birer negatif gerçel sayılar olmak üzere, x = 2y , 4y = 3z

cevap:x < z < y

Örnek...13

x, y, z pozitif gerçel sayılar olmak üzere, 3x = 5y = 4z

cevap:y < z < x

Örnek...14

x.y ≥ 0 ve x > y şartlarını sağlayan noktaların analitik düzlemdeki görüntüleri aşağıdakilerden hangisidir?

cevap:A

(31)

Örnek...1

a, b, c negatif reel sayılardır.

2a = 9b = 4c

cevap: b > c > a

Örnek...2

a + b > a + c > b + c olduğuna göre, sıralamayı bulunuz.

cevap: a > b > c

Örnek...3

a > b > 0 ve a.c < b.c

a+c > b+c , a - b > c , a+b+c > 0 , a.c > c² , c² > a

Örnek...4

a, b, c pozitif gerçek sayılardır.

b < a b < c a < b c < a a < c

Örnek...5

0 < x < 1 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğ- rudur?

A) x² > 1 B) x² < x³ C) x > x²

D) x² ≤ 0 E)

cevap:C

Örnek...6

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

A) x < 0 B) 0 < x < 1 C) x > 0

D) x² < x E) x² < x³

cevap:C

Örnek...7

eşitsizliğini sağlayan x'in farklı iki tamsayı değerinin toplamı en az kaçtır?

cevap: 1

Örnek...8

olduğuna göre, x'in alabileceği tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?

cevap: 12

(32)

Örnek...9

2 ≤ x < 3 4 < y ≤ 5

olduğuna göre, x.y çarpımının alabileceği kaç farklı tamsayı değeri vardır?

cevap: 6

Örnek...10

–2 < a < 4 ve 1 < b < 5

olduğuna göre, a – b farkının alabileceği kaç farklı tamsayı değeri vardır?

cevap: 9

Örnek...11

a ve b tamsayı olmak üzere,

–4 < a < 3 ve 2 ≤ b < 6

olduğuna göre, 2b – a ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

cevap: 13

Örnek...12

2 < x < 3 ve 3x – y = 1

olduğuna göre, y nin alabileceği değerlerin en geniş aralığını bulunuz.

cevap: 5 < y < 8

Örnek...13

a² < a ve

olduğuna göre, b'nin alabileceği tamsayı değerlerinin topla- mı kaçtır?

cevap: 3

Örnek...14 x ve y tamsayıdır.

–7 ≤ x < 3 ve –5 < y ≤ 4

olduğuna göre, x² – y³ ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

cevap: 113

Örnek...15

a > b > 3 olmak üzere,

z = a.b

cevap: y < x < z

Örnek...16

1 < a < 2 ve

olduğuna göre, ifadesinin alabileceği en büyük tamsayı değeri kaçtır?

cevap: 4

(33)

Örnek...1

x, y, z pozitif tam sayılardır.

cevap:x < z < y

Örnek...2

a² < a olmak üzere,

x = a³, , z = a² olduğuna göre, sıralamayı bulunuz.

cevap:y > z > x

Örnek...3

a, b, c negatif gerçel sayılardır,

cevap: c < a < b

Örnek...4

a² < a.b ve a > b

olduğuna göre, a için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

0 < a < 1 , a < 0 , 1 < a , 0 < a , a < 1

Örnek...5

x² < x ve x + 2y = 5

olduğuna göre, y nin değer aralığını bulunuz.

cevap:

Örnek...6

a, b, c pozitif gerçel sayılardır, ve

olduğuna göre, nin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır?

cevap: 2

Örnek...7

x > 0 olmak üzere,

cevap: b > a > c

Örnek...8

eşitsizliğini sağlayan x in değer aralığını bulunuz.

cevap: x≥1

(34)

Örnek...9

0 < a + b < 4 ve –6 < a – b < –2 olduğuna göre, b nin değer aralığını bulunuz.

cevap:1 < b < 5

Örnek...10

eşitsizliğini sağlayan x in tamsayı değerlerinin çarpımı kaçtır?

cevap:9!

Örnek...11

x, y, z negatif gerçel sayılardır,

cevap:z < y < x

Örnek...12

a ve b gerçel sayılardır.

ve

olduğuna göre, ifadesinin alabileceği kaç farklı tamsayı değeri vardır?

cevap: 5

Örnek...13

eşitsizliğinin çözüm kümesi (–8, 2) olduğuna göre, a kaçır?

cevap: 1

Örnek...14

eşitsizliğini sağlayan x in tamsayı değerleri kaç tane- dir?

cevap: 3

Örnek...15

ve c + 1 < a

0 < b < 1 , 2 < b , a < c , b < - 2 , b < 2

Örnek...16

x < y ve x . z > y.z

A) y(x – y)⁵ < 0 B) x – y > y – z C) x³ > y³ D) E) x².z y².z

cevap: D

(35)

Örnek...1

a bir doğal sayı olmak üzere,

Örnek...2

c < 0 olmak üzere,

8a = 3b ve 6b = 11c olduğuna göre, sıralamayı bulunuz.

Örnek...3

m + n = 0 ve m – n < 0 olmak üzere,

cevap: a < b < c

Örnek...4

x, y, z pozitif gerçel sayılardır,

2xy – y + z – 2xz < 0 ve y < z olduğuna göre, x için ne söylenebilir?

cevap:

Örnek...5

eşitsizliğini sağlayan x in en büyük tamsayı değeri ile en küçük tamsayı değerinin toplamı kaçtır?

cevap: 7

Örnek...6

x ve y doğal sayılardır,

5 < x + y ≤ 7 , ,

olduğuna göre, kaç farklı (x, y) ikilisi vardır?

cevap: 3

Örnek...7

ve

olduğuna göre, x'in alabileceği tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?

cevap:22

Örnek...8

olduğuna göre, x in değer aralığını bulunuz.

cevap: x ≤ 2

(36)

Örnek...9

x pozitif bir gerçel sayı olmak üzere 3x+7 ye sayı doğrusu üzerinde karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığı 12 birimden küçük değildir.

Buna göre, x in farklı üç tamsayı değerinin toplamı en az kaç olabilir? cevap: 9

Örnek...10

ve 0 < 2x < 3 ≤ y

olduğuna göre, in alabileceği değerlerin en geniş

aralığını bulunuz. cevap:

Örnek...11

eşitsizliğini sağlayan x in tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?

cevap: 10

Örnek...12

a, b, c gerçel sayılardır,

a² < a , , olduğuna göre, sıralamayı bulunuz.

cevap: c < a < b

Örnek...13

a, b, c birer tamsayıdır.

a.b.c < 0 , a = 2b , b = 3c olduğuna göre, a+b+c toplamı en çok kaçtır?

cevap: –10

Örnek...14

ve x³ . y² < 0

A) x > y B) x < y C) x > 1

D) y < –8 E) x.y < 0

cevap: B

Örnek...15

a liraya alınan bir mal b liraya satılmaktadır.

b = 3a – 1440

olduğuna göre, satıştan kâr edilebilmesi için a'nın ala- bileceği en küçük tamsayı değeri kaç olmalıdır?

cevap: 721

Örnek...16

Bir a doğal sayısı 'ü kadar arttırıldıktan sonra elde edilen

sayı 'ü kadar azaltılıyor. Bulunan değer b olduğuna

göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

a ≤ b , a < b , a = b , a+4 = b+3 , a+3 = b+4

(37)

Örnek...1

cevap:c < b < a

Örnek...2

x, y, z negatif gerçek sayılar olmak üzere,

cevap: x < z < y

Örnek...3

6 < a < b < c olmak üzere,

Örnek...4

a³ < a⁵ < a²

olduğuna göre ,a sayısı aşağıdakilerden hangisi olabi- lir?

A) B) C)

D) E)

cevap: C

Örnek...5

a = 101 . 100 . 99 b = 100 . (101)² c = (100)³ d = 100 . (99)² olduğuna göre, sıralamayı bulunuz.

cevap: b > c > a > d

Örnek...6

x, y, z birbirlerinden farklı tamsayılardır.

x² – y < 0 , x . y < 0 , x . z > y . z

olduğuna göre, x – y + z ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

cevap:–5

Örnek...7

x, y ve z negatif sayılardır.

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğ- rudur?

y < x , x < z , z < x , x < y , z < y

Örnek...8

x < 0 ve

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır?

, , y – x > y + x , y > 0 , x.y < 0

(38)

Örnek...9

–1 < x ≤ 3 ve

olduğuna göre, y nin alabileceği tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?

cevap: 6

Örnek...10

a < a² < |a| ve b < | b | < b²

olmak üzere aşağıdakilerden hangisi her zaman doğ-

rudur?

a.b < 0 , a.b < b , a + b < -1 , a.b > 1 , a – b > 1

Örnek...11

–4 < x < 3 ve –2 < y < 1

olduğuna göre, x² – y³ ifadesinin en büyük tamsayı değeri kaçtır?

cevap: 23

Örnek...12

a³ < a < a² ve b² – b < 0

, - 2 < a.b , a + b > 0 , a .b > 0 , a² – b < 0

Örnek...13

a ∈ [–2, 3) ve b ∈ (–3, 2]

olduğuna göre, ifadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır?

cevap: –7

Örnek...14

x² < x ve x² – x.y < y – x

, x < y , x > y , 0 < y < 1 , y < 0

Örnek...15

A ve B pozitif gerçel sayılardır.

x² – y² ≤ A B – y ≤ x

olduğuna göre, x – y farkı en çok kaç olabilir?

cevap:

Örnek...16

x < 0 < y olduğuna göre

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşit olamaz?