ÇAĞDAŞ MATEMATİĞİN DOĞUŞU
Yaklaşık sekiz asırlık bir dönemde Ortadoğu, İran ve Türkistan’da yürütülen bilimsel faaliyetler Eski Yunan
matematiğini işleyerek çok daha ileri konumlara taşımıştır.
Eudoxous’un, Diophantus’un ve Archimedes’in cebiri çok gerilerde kaldı. Harizmi, Abu Kamil, Karkhi ve Hayyam ile
cebirde önemli ilerlemeler oldu, yeni algoritmalar geliştirildi, kübik denklemler sınıflandırıldı, birçoğunun rasyonel
çözümleri bulundu. Ptolemy’nin astronomisi yerinde
durmuyordu. Ebul Vefa, Beyruni ve Uluğ Bey ile astronomi çok ilerlemişti. Artık güneş sistemi biliniyordu ve dünyanın güneşin etrafında döndüğünün ispatı Galile’den çok önce Beyruni tarafından kanıtlanmıştı. Avrupa’nın trigonometriye ekleyeceği fazla bir şey yoktu. Trigonometrik oranlar
biliniyor, açıların trigonometrik değerleri en hassas bir
şekilde hesaplanabiliyordu. Pi sayısının değeri virgülden
sonra dokuzuncu basamağa kadar hesaplanabiliyordu.
Doğudan gelen bu birikim Avrupa’nın çağdaş matematiği kurması için
yeterli alt yapıyı hazırlamıştı.
Sözgelimi, Hayyam’ın çözümlerinden
yararlanarak yeni yöntemler geliştirmek Cardano’ya kalıyordu. Gerçekten, Cardano 1545 yıllarında kübik denklemlerin
çözümünü veren formülü buldu.
Denklem çözümlerinde kökün içi negatif çıkınca çözüm ne olacaktı?
Bunun cevabı Cardano’dan yaklaşık 300 yıl sonra Gauss tarafından verildi. Gauss (1777 – 1855) herhangi bir cebirsel
denklemin köklerinin karmaşık kökler
olabileceğini gösterdi.
Doğuda üretilemeyen fakat çağdaş matematikte dönüm noktası niteliğinde önemli gelişmeler
oldu. Bunlardan biri Descartes’in koordinat
düzlemi diğeri ise Cantor’un küme kavramıdır.
Descartes koordinat düzlemini tanımlamakla belki de çağlar boyu matematiğe getirilmiş en büyük katkılardan birini yapmıştır. Yunan
geleneğinde cebiri geometrikselleştirme vardır bunu Euclid’in ve daha sonra da Harezmi’nin
çalışmalarında görmekteyiz. Descartes ile birlikte geometrik nesne, kavram ve ilişkiler cebirsel
denklemlerle ifade edilerek geometrinin
cebirselleştirilmesi yönünde ilk adımlar atıldı.
Geometrinin cebirselleştirilmesi matematiğin Yunan geleneğinin dışına çıkılması anlamına gelmektedir. Bu hareket ilerde analitik
geometri ve analizin gelişmesi için çok daha elverişli bir alt yapı hazırlamıştır.
Çok sade olan bu tanım yeni bir geometrinin ve analizin doğmasına imkan vermiştir.
Descartes’in koordinat düzlemiyle birlikte
trigonometri, merkezi başlangıç noktası olan
birim çember üzerine taşındı.
Descartes’in keşfinin analizin
gelişmesinde nasıl kullanıldığına bir bakalım.
Descartes’in çağdaşı Fermat analitik geometri yaklaşımını kullanarak eğrinin düzlemdeki
grafiği üzerindeki bir noktadaki limiti ile o
noktadaki teğeti arasındaki ilişkiyi inceledi. Bu çalışmalar daha sonra türev kavramı için
Newton’a ve Leibniz’e ilham verecektir.
Karmaşık sayılar tanımlanırken Descartes’in kartezyen geometrisinden yararlanılmıştır.
Yeni tanımlamada x-ekseni üzerindeki bütün noktalar (x,0) ve y-ekseni üzerindeki noktalar da (0,y) şeklinde ikililerdir.P noktası ise (x,y) ikilisi ile ifade edilir ve bu nokta bir sayıya karşılık gelir.
Y-ekseni üzerinde alınan (0, 1) sayısı yerine i kullanılırsa i^2= -1 olur.
Bu sembolü ilk defa matematik dünyasına Euler
tanıtmıştır. Karmaşık düzlemde herhangi nokta ikililer şeklinde gösterileceği yukarıdaki şekilde de
gösterilmiştir. Bernolli, Leibniz, Euler ve Gauss ile
birlikte analizde sayısız farklı görünümler kazanmıştır.
Şüphesiz koordinat düzleminden sonra modern matematiğin gelişmesinde rol oynayan en önemli keşiflerden birisi de küme kavramıdır.Cantor küme kavramını matematiğe sokarak çeşitli sonsuzluklar tanımladı. Cantor’un bu yaklaşımı matematikte bir devrim niteliğindeydi. Cantor, matematikteki
geleneksel sonsuzluk anlayışının aksine birden
fazla farklı sonsuzlukların olabileceğini söylüyordu.
Ona göre sonsuz tek başına bir anlam içermiyordu.
Anlamlı olan sonsuz küme kavramıdır. Günümüzde
Cantor’un düşünceleri tamamıyla kabul edilmiş ve
küme kavramı geliştirilmiş olsa bile sonsuz küme
kavramını matematik dünyasına kabul ettirmesi
kolay olmamıştır.
Matematiğe yeni bir nesne olarak katılan küme kullanılarak belli aksiyomları
sağlayan grup adıyla yeni bir
matematiksel nesne daha oluşturuldu.
Kısa zamanda bu soyut matematiksel
nesne, denklemlerin çözümünde, sayılar kuramında, diferensiyel geometride
yaygın bir kullanım alanı buldu.
Modern matematiği karakterize eden gelişmelerden biri de Euclid-dışı
geometrilerdir.
Bilindiği gibi Euclid’in 5. postulatından çıkarılan sonucu kendisinden sonra Ömer Hayyam, NasureddinTusi, Lambert,
Lobachevsky, Bolyai gibi birçok
matematikçi tarafından tartışılmıştır.
Özellikle, Lobachevsky’nin hiperbolik
geometri olarak yürüttüğü çalışmaları
Riemann tarafından değerlendirildi.
19 uncu yüzyıl matematiğinin mirasını devralan son yüzyılın matematikçileri yeni kuramlar ve çalışma
alanlarıyla matematik bilimindeki birikimi bir kat daha artırmış oldu. Günümüz matematiği bir önceki yüzyılın matematiğinden daha soyut bir yapıya dönüştü. Farklı matematiksel yapılar ve uzaylar yeni çalışma alanları ortaya çıkardı. Bulanık mantık kuramı elektronikte ve programcılıkta önemli bir uygulama alanı buldu.
