TÜRKİYE CUMHURİYETİ ANKARA ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ İŞLETME ANABİLİM DALI OYUN TEORİSİNE DAYALI MARKOWITZ PORTFÖY OPTİMİZASYONU:

TÜRKİYE CUMHURİYETİ ANKARA ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ

İŞLETME ANABİLİM DALI

OYUN TEORİSİNE DAYALI MARKOWITZ PORTFÖY OPTİMİZASYONU:

BIST-30 ÜZERİNE BİR UYGULAMA

Yüksek Lisans Tezi

Aykut İPEK

Ankara - 2019

i TÜRKİYE CUMHURİYETİ

ANKARA ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ

İŞLETME ANABİLİM DALI

OYUN TEORİSİNE DAYALI MARKOWITZ PORTFÖY OPTİMİZASYONU:

BIST-30 ÜZERİNE BİR UYGULAMA

Yüksek Lisans Tezi

Aykut İPEK

Tez Danışmanı Doç. Dr. Yetkin ÇINAR

Ankara - 2019

iv İÇİNDEKİLER

İÇİNDEKİLER ... iv

TABLOLAR LİSTESİ ... vi

ŞEKİLLER LİSTESİ ... vii

EKLER LİSTESİ ... viii

GİRİŞ ... 1

1. YATIRIM VE PORTFÖY ... 4

1.1. Yatırım ve Yatırımcı Kavramı ... 4

1.1.1. Yatırım ... 4

1.1.2. Yatırımcı ... 4

1.1.3. Yatırımcıların Riske Karşı Tutumu ... 5

1.2. Portföy Kavramı ... 6

1.3. Portföy Çeşitleri ... 7

1.3.1. Tamamı Hisse Senetlerinden Oluşan Portföyler ... 8

1.3.2. Tamamı Tahvillerden Oluşan Portföyler ... 8

1.3.3. Tahvil ve Hisse Senetlerinden Oluşan Portföyler... 9

1.3.4. Diğer Yatırım Araçlarından Oluşan Portföyler ... 9

1.4. Portföy Yatırımları ile İlgili Riskler ... 10

1.4.1. Sistematik Risk ... 11

1.4.2. Sistematik Olmayan Risk ... 12

1.5. Portföy Yönetim Yaklaşımları... 13

1.5.1. Geleneksel Portföy Yaklaşımı ... 13

1.5.2. Modern Portföy Yaklaşımı ... 13

1.6. Portföy Yönetimi ... 14

1.7. Portföy Oluşturulurken Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar ... 15

2. PORTFÖY OPTİMİZASYON YÖNTEMLERİ ... 16

2.1. Oyun Teorisi………16

2.1.1. İki Kişili Sıfır Toplamlı Oyunlar ... 21

2.1.1.1. Maksimin-Minimaks İlkesi... 23

2.1.1.2. Eyer Noktası ... 25

2.1.1.3. Eyer Noktasız Oyunlar ... 26

2.1.1.4. Eş ve Baskın Stratejiler... 28

2.1.2. Eyer Noktasız Oyunların Çözüm Yöntemleri ... 30

2.1.2.1. 2x2 Oyunların Çözümü ... 30

v

2.1.2.1.1. Cebirsel Yöntem ... 30

2.1.2.1.2. Kısa Çözüm Yöntemi ... 33

2.1.2.2. mxn Oyunların Çözümü ... 35

2.1.2.2.1. Cebirsel Yöntem ... 35

2.1.2.2.2. Doğrusal Programlama ... 37

2.2. Markowitz Modern Portföy Teorisi……….45

2.2.1. Ortalama Varyans Modeli ... 46

2.2.2. Ortalama Varyans Modeli’nin Varsayımları ... 48

2.2.3. Beklenen Getiri ... 49

2.2.4. Risk ... 51

2.2.5. Kovaryans ... 53

2.2.6. Korelasyon ... 53

2.2.7. Etkin Sınır ... 54

2.3. Literatür Araştırması………58

2.3.1. Oyun Teorisi………58

2.3.2. Markowitz Modern Portföy Teorisi……….62

3. UYGULAMA ... 66

3.1. Uygulamanın Amacı ... 69

3.2. Uygulamada Kullanılacak Hisse Senetleri ... 69

3.3. Oyun Teorisi Uygulaması ... 70

3.3.1. Ödemeler Matrisinin Oluşturulması ... 72

3.3.2. Oyun Teorisi ile Analiz ... 72

3.4. Markowitz Modern Portföy Teorisi Uygulaması ... 75

3.5. Performans Analizi………..78

SONUÇ ... 79

KAYNAKÇA ... 83

EKLER ... 88

ÖZET ... 121

ABSTRACT ... 123

vi TABLOLAR LİSTESİ

Tablo 2.1: İki Kişilik Oyunların Matris Gösterimi……….22

Tablo 2.2: İki Kişili Sıfır Toplamlı Oyunların Matris Gösterimi………...23

Tablo 2.3: Minimaks-Maksimin İlkesi Matrisi………...24

Tablo 2.4: Eyer Noktasız Oyunlar Örnek Matris………27

Tablo 2.5: Örnek İndirgenmiş Matris……….30

Tablo 3.1: Oyun Teorisi Sonuçları……….74

Tablo 3.2: Markowitz Modern Portföy Teorisi Sonuçları………..77

Tablo 3.3: Performans Analizi………..………..78

vii ŞEKİLLER LİSTESİ

Şekil 1.1: Risk-Getiri Grafiği………....5 Şekil 1.2: Risk ve Fayda(Getiri) İlişkisi………....6 Şekil 1.3: Riskin Bileşenleri………10 Şekil 2.1: Riskten Yüksek Düzeyde Kaçan Yatırımcıların Kayıtsızlık Eğrileri……….55 Şekil 2.2: Riskten Orta Düzeyde Kaçan Yatırımcıların Kayıtsızlık Eğrileri…………..56 Şekil 2.3: Riskten Düşük Düzeyde Kaçan Yatırımcıların Kayıtsızlık Eğrileri………...56 Şekil 2.4: Etkin Sınır, Kayıtsızlık Eğrileri ve Etkin Portföyler………...57 Şekil 3.1: BIST-30 2008-2012 Yılları Grafiği………68 Şekil 3.2: BIST-30 2013-2017 Yılları Grafiği………68

viii EKLER LİSTESİ

Ek-1: 2008-2018 Getiri Oranları……….88

Ek-2: Aylar Bazında Getiriler……….92

Ek-3: Aylar Bazında Ödemeler Matrisi………..98

Ek-4: Oyun Teorisi Hesaplamaları………...102

Ek-5: Aylar Bazında Varyans-Kovaryans Matrisleri………106

Ek-6: Markowitz Modern Portföy Teorisi Hesaplamaları………118

1 GİRİŞ

Sermaye piyasaları ve borsaların hızlı bir gelişim sürecine girmesiyle birlikte, bu alanlar yatırımcıların ilgisini çekmeyi de başarmıştır. Ancak bu hızlı gelişim süreciyle birlikte yatırım yapmak da bir o kadar zorlaşmıştır; çünkü piyasayı etkileyen birçok etmen ortaya çıkmış ve bu etmenlerin hepsinin birden düşünülerek bir tahmin yapılması oldukça zor olmaya başlamıştır.

Yapmış olduğu tasarruflar ile finansal varlıklara yatırım yapmak isteyen bir birey, yaptığı yatırımın ne yönde ilerleyeceğini tahmin etmek için piyasada yaşanan gelişmelerden haberdar olmalı ve bu gelişmeleri kullanarak tahminini gerçekleştirmelidir. Artık burada yatırımcı ve piyasa karşılıklı hareket eden birer birey haline gelmektedir. Yatırımcı, belirlediği varlıklara yatırım yaparak kazanç elde etmeye çalışırken, piyasa da kendi kazancını düşünmekte ve yatırımcıyı kayba zorlamaya çalışmaktadır. Piyasada yaşanan ekonomik gelişmeler yatırımcının kazanmasını da sağlayabilmekte, onun kaybetmesine de yol açabilmektedir. Ancak piyasada yaşanan gelişmeler bütün varlıkları aynı şekilde etkileyecek gibi bir durum söz konusu değildir.

Örneğin gelişen bir durum, bir varlığı pozitif yönde etkileyebilirken, başka bir varlığı negatif yönde etkileyebilmektedir. İşte bu noktada yatırım yaparken portföy oluşturulmasının önemi ortaya çıkmaktadır. Portföyde bulundurulan bir varlıktan bir gelişme neticesinde zarar edilebilecekken, aynı zamanda portföyde bulunan bir diğer varlıktan kazanç elde edilebilecektir. Bu şekilde de kaybetme risk seviyesi azaltılmış olacak, çünkü katlanılacak olan risk farklı varlıklar üzerine yayılmış olacaktır. Burada farklı varlıklardan oluşan optimum bir portföy oluşturmaya çalışılırken Oyun Teorisi ve Modern Portföy Teorisi kullanılabilecek en önemli yöntemlerden biridir.

2 Oyun teorisi, bireylerin birbirleriyle etkileşim halinde olduğu çatışma ortamı içerisinde en uygun kararları almasını sağlayacak araçlardan biridir. Oyun teorisi, stratejik düşünce ve karar verme aşamalarında bireylerin optimum kazançlarını elde edebilmeleri yönünde uygulamaları gereken stratejileri araştıran matematiksel bir yöntemdir. Bu yönteme oyun teorisi denmesinin nedeni, bireylerin rekabet durumunun karşılıklı oynanan bir oyun gibi düşünülmesi ve karşılıklı yapabilecekleri hamleleri analiz etmesidir.

Modern Portföy Teorisi sadece kazanç değerlerini değil aynı zamanda risk değerlerini de dikkate alarak bir portföy oluşturmaya çalışmaktadır. Karar verme aşamasında finansal varlıkların birbirleri ile olan etkileşimleri de önemli bir nokta teşkil etmektedir.

Bu yöntemde amaç bir kazanç elde etmeye çalışırken, portföye alınacak varlıkların birbirleri olan etkileşimleri göz önünde bulundurularak minimum riskli bir portföy elde etmektir.

Çalışmanın birinci bölümünde yatırım ve portföy kavramları açıklanmaya çalışılmış, bu yönde yatırım yapılırken ne gibi risklerle karşılaşılacağı, ne tür portföyler oluşturulabileceği, bu portföylerin nasıl yönetilebileceği ve portföylerin oluşturulması aşamasında ne gibi noktalara dikkat edilmesi gerektiğine değinilmiştir.

Çalışmanın ikinci bölümünde kullanılacak olan portföy optimizasyon yöntemleri olan Oyun Teorisi ve Modern Portföy Teorisi ele alınmıştır. Öncelikle Oyun Teorisi ile ne tür oyunlarla karşılaşılabileceği ve bu oyunların hangi yöntemlerle çözülebileceği konuları açıklanmıştır. Daha sonra Modern Portföy Teorisi’nden bahsedilmiş, bu teori için gerekli olan kavramlar açıklanmış ve portföy oluştururken nasıl bir yol izlenmesi

3 gerektiğine değinilmiştir. Ayrıca yöntemlerle ilgili literatür taramalarına da bu bölümde yer verilmiştir.

Uygulamanın yer aldığı çalışmanın üçüncü bölümünde uygulamanın amacı ve uygulamada kullanılacak olan hisse senetleri belirlenmiş, Oyun Teorisi ile portföylere ulaşılmış ve Oyun Teorisi ile elde edilen portföy getirileri Modern Portföy Teorisi için beklenen getiri değerleri olarak kullanılarak Modern Portföy Teorisi ile uygun portföyler oluşturulmuştur. Son olarak Modern Portföy Teorisi ile elde edilen portföyler, BIST-30 endeks getirisi ve seçilen hisse senetlerine eşit yatırım yapılması durumunda elde edilecek getiri durumları ile karşılaştırılarak bir performans analizi yapılmıştır.

4 1. YATIRIM VE PORTFÖY

1.1. Yatırım ve Yatırımcı Kavramı

1.1.1. Yatırım

Yatırım, bir getiri elde etmek amacıyla herhangi bir varlığın satın alınması olarak tanımlanabilmektedir. Burada varlıktan kasıt, ev, arsa, araba, hisse senedi, tahvil, bono, yeni bir tesis kurulması, var olan bir tesisin kapasitesinin arttırılması gibi kavramlardan herhangi biri olabilir. Burada amaç, yapılmış olan tasarrufların hiçbir değer kazanmadan yastık altında durmasındansa, bu tasarruflarla daha fazla gelir elde edilmek istenmesidir.

Burada gelir, temettü, kar payı, faiz geliri, değer artışından sağlanan kazanç, yeni tesisle veya yeni kapasiteyle daha fazla ürün imal edilebilmesi gibi farklı şekillerde karşımıza çıkabilmektedir. En geniş anlamıyla yatırım, gelecekte gerçekleşmesi beklenen karları elde etmek amacıyla kaynak kullanılması olarak tanımlanabilmektedir (Pamukçu, 1999:

99).

1.1.2. Yatırımcı

Yatırımcı ise kısaca yatırım faaliyetinde bulunan kişi veya gruplardır. Yani, yapmış olduğu tasarruflarla gelir etme isteğinde olan bireylerdir. Burada yatırımcılar, bireysel yatırımcılar ve kurumsal yatırımcılar şeklinde ikiye ayrılabilmektedir. Kendisi için, bağımsız bir şekilde hareket eden bireyler bireysel yatırımcılar, değer artışı sağlamak amacıyla hareket eden grup, kurum, vakıf v.s. ise kurumsal yatırımcılar olarak adlandırılmaktadır. Bireysel yatırımcılar, kurumsal yatırımcılara göre hem daha küçük çapta işlem yapmakta hem de daha küçük çapta getiri beklentisinde olmaktadırlar (Rodoplu, 2001: 142).

5 1.1.3. Yatırımcıların Riske Karşı Tutumu

Yatırımcıların riske karşı tutumlarının bilinmesi, portföyün yöntemi açısından önemli bir noktadır. Portföyde bulunacak olan varlıkların seçimi, yatırımcının katlanmak isteyeceği risk düzeyine göre farklılık gösterebilmektedir. Daha fazla gelir elde etme isteği içerisinde olan bir yatırımcı daha fazla risk düzeyine katlanabilecekken, daha düşük gelir elde etme isteği içerisinde olan bir yatırımcı daha küçük bir risk düzeyinde yatırımını gerçekleştirmek isteyecektir. Bunu ise şu şekilde gösterebilmek mümkündür:

Şekil 1.1: Risk-Getiri Grafiği (Özçam, 1997: 35)

Grafikten de görülebileceği gibi, risk ne kadar çok olursa yatırımın getirisi de ona oranla daha yüksek olmaktadır.

Yatırımcıların riske karşı tutumunu, riskten kaçan yatırımcı, risk almayı seven yatırımcı ve riske karşı kayıtsız yatırımcı şeklinde sınıflandırabilmek mümkündür. Riskten kaçan yatırımcılar, adından da anlaşılabileceği üzere, risk almayı sevmeyen, düşük riskli veya

6 risksiz varlıklara yatırım yapmayı tercih eden yatırımcılardır. Bu tür yatırımcılar, yatırım yaparken, beta katsayısı düşük olan varlıkları seçmeye özen göstermektedirler ve aynı şartlar altında bir tercih söz konusu olacaksa riski daha düşük varlığı seçmektedirler. Riski seven yatırımcılar, daha fazla gelir elde edebilmek için daha fazla risk düzeyine katlanabilecek olan yatırımcılardır. Riske karşı kayıtsız yatırımcılar ise riskle ilgilenmeyen yatırımcılardır. Bu tür yatırımcılar riskle ilgilenmedikleri için, bu yatırımcılar için hangi varlığa yatırım yapılacağının seçimi de çok fazla önem teşkil etmemektedir (Asness, 1996: 33).

Yatırımcıların riske karşı tutumuna göre fayda veya getiri fonksiyonları ise şu şekildedir:

Şekil 1.2: Risk ve Fayda(Getiri) İlişkisi (Sayılgan, 2008: 449)

1.2. Portföy Kavramı

Portföy, kelime olarak cüzdan anlamına gelmektedir. Portföy, belirli kişilerce ve gruplarca, kar etmek amacıyla elde bulundurulan, genellikle tahvil ya da hisse senedi gibi kıymetlerden oluşan bileşimdir (Moles ve Terry, 1999: 426). Bireyler veya gruplar,

7 yatırım yapmak istediklerinde, bu yatırımın mümkün olduğu kadar az riskli ve çok getirili olmasını istemektedirler. Bu da yatırımın tek bir tahvile veya hisse senedine değil, bir grup finansal varlığa yapılması gerekliliğini işaret etmektedir. Çünkü elde bulundurulan finansal varlık ne kadar az olursa, buna bağlı olarak kazanç elde etmenin riski de o kadar fazla olmaktadır. Birden fazla finansal varlığa yapıldığında, bu varlıkların bazılarından zarar edilse bile, diğerlerinden kar elde edilerek, toplamda büyük zararlara uğramaktan kaçılabilecektir (Bolak, 1998: 152). Bu noktada da iyi bir portföy oluşturmanın, yani iyi bir çeşitlendirme yapmanın önemi ortaya çıkmaktadır.

Portföyde bulunacak olan varlıkların iyi bir şekilde seçilmesi, iyi bir çeşitlendirmenin yapılması, yatırımın sonucunu da olumlu yönde etkileyecektir.

1.3. Portföy Çeşitleri

Farklı varlıklar farklı getirilere ve risklere sahiptirler. Bu nedenle yatırımcının elinde nasıl bir portföy bulunduracağı beklediği getiriye ve katlanabileceği risk düzeyine bağlı olarak farklılık göstermektedir. Piyasada yatırım yapılabilecek birçok farklı finansal varlık bulunmaktadır ve bunlarla birlikte farklı kombinasyonlar yapılarak, çok fazla sayıda portföy çeşidi oluşturabilmek mümkündür.

Portföylerin çoğunlukla hisse senetleri ve tahvillerden oluştuğu varsayımı altında portföyler şu şekilde sınıflandırılabilir (Bekçi, 2001: 4):

 Tamamı Hisse Senetlerinden Oluşan Portföyler

 Tamamı Tahvillerden Oluşan Portföyler

 Hisse Senedi ve Tahvillerden Oluşan Portföyler

 Diğer Yatırım Araçlarından Oluşan Portföyler

8 1.3.1. Tamamı Hisse Senetlerinden Oluşan Portföyler

Hisse senetleri, yatırımcısına sabit bir getiriyi garanti etmeyen, değişken getirili finansal varlıklardır. Bu varlıklar, şirket ortaklığına katılımı ifade eden pay senetleridir. Hisse senetlerine yatırım yapan yatırımcılar, hem şirketin elde edeceği kardan pay elde ederken, hem de bir süre sonra hisse senedini elinden çıkarmak istemesi durumunda, hisse senedinin değerinde meydana gelebilecek olası artışlar neticesinde bir getiri elde edebileceklerdir. Ancak burada yatırımcının karşılaşabileceği şirketin zarar etme durumu ve hisse senedinin değerinde düşüş olma durumu da olabilmektedir. Bu durumlarda yatırımcı bir kazanç elde edemeyecektir. Bu nedenle yapılacak bir yatırımın sonucunda yüksek bir getiri elde edilebilecekken, buna karşın riskleri de yüksek olan varlıklardır (Sayılgan, 2008: 60). Tamamı hisse senetlerinden oluşan portföyler de, içerisinde sadece hisse senetleri barındıran ve risk almayı seven yatırımcılar tarafından tercih edilen portföylerdir. Ancak portföye alınan hisse senetlerinin anlık alım-satım isteklerine karşı duyarlı olması gerekmektedir ve oluşturulan portföyle başarı olasılığının yüksek olması için ekonominin istikrar içerisinde olduğu dönemler tercih edilmelidir (Bekçi, 2001: 5).

1.3.2. Tamamı Tahvillerden Oluşan Portföyler

Tahviller, yatırımcısına uzun vadede sabit bir getiriyi garanti eden finansal varlıklardır.

Bu varlıklar, risk almayı sevmeyen ve yüksek getiri beklentisinde olmayan yatırımcılar tarafından kullanım görmektedir. Böylelikle hem yüksek bir risk düzeyine katlanmamaktadırlar, hem de kısıtlı da olsa bir getiri elde etmektedirler. Tamamı tahvillerden oluşan portföyler de, içerisinde sadece tahvil yatırımları bulunduran ve riskten kaçan yatırımcılar tarafından tercih edilen portföylerdir (Okka, 2006: 296).

9 1.3.3. Tahvil ve Hisse Senetlerinden Oluşan Portföyler

Hem tahvilleri hem de hisse senetlerini içerisinde barındıran portföyler, sadece tahvil ve sadece hisse senetleri barındıran tahvillere göre daha fazla tercih edilmektedirler. Çünkü ekonominin durgun olduğu dönemlerde tahvillerden, ekonominin istikrar içinde olduğu dönemlerde de hisse senetlerinden getiri elde edilebilmektedir. Böylelikle hem riskli hem de risksiz varlıklara yatırım yapılarak, daha dengeli bir risk düzeyine sahip olunmakta ve buna oranla daha iyi bir getiri sağlanabilmektedir (Ceylan ve Korkmaz, 1998: 20).

1.3.4. Diğer Yatırım Araçlarından Oluşan Portföyler

Tahviller ve hisse senetleri dışında kalan varlıklar da portföye dahil edilerek daha farklı portföyler oluşturulabilmektedir. Ancak burada önemli olan nokta ne oranda bir risk düzeyine katlanmak istenildiğidir. Bu risk düzeyine göre seçilebilecek olan varlıklar incelenecek ve buna göre uygun olan varlıklar portföye dahil edilebilecektir.

Portföye dahil edilebilecek diğer varlıklar ise şunlar olabilir (Usta, 2005: 284):

 Varlığa Dayalı Menkul Kıymetler

 Finansman Bonoları

 Hazine Bonoları

 Gelir Ortaklığı Senetleri

 Banka Bonoları

 Mevduat Ürünleri

 Repo

10

 Döviz

 Kar/Zarar Ortaklığı Senetleri

 İmtiyazlı Hisse Senetleri

 Vadeli Sözleşmeler

1.4. Portföy Yatırımları ile İlgili Riskler

Yatırım yapılacağında karşılaşılan risk, sistematik risk ve sistematik olmayan risk olmak üzere iki bileşenden oluşmaktadır. Bu iki bileşenin toplamı ise toplam riski oluşturmaktadır. Sistematik risk, sistematik olmayan risk ve toplam risk bir grafik üzerinde şu şekilde gösterilebilir:

Şekil 1.3: Riskin Bileşenleri (Sayılgan, 2008: 450)

11 1.4.1. Sistematik Risk

Sistematik risk, işletmenin veya portföyün durumuyla bağlantılı olmayan ve durum ne kadar iyi olursa olsan katlanmak zorunda olunan risktir. Çünkü bu risk tüm ekonomiyi ilgilendirmektedir. Ekonominin istikrar içerisinde olduğu dönemlerde bu risk düşük olmaktayken, durgun olduğu dönemlerde ise yüksek olmaktadır. Sistematik risk pazar riski, enflasyon riski ve faiz oranı riski olmak üzere üç başlık altında incelenebilmektedir (Sayılgan, 2008: 450).

Pazar riski genel ekonomik nedenlerden dolayı ortaya çıkmaktadır ve varlıkların beklenen getirileri ile gerçekleşen getirilerinin farklı olması, beklenen getirinin daha az olarak gerçekleşmesi riskidir.

Enflasyon riski, enflasyon oranıyla bağlantılı olarak gerçekleşen risktir. Enflasyon oranı ne kadar yüksek olursa, enflasyon riski de o derece yüksek olmaktadır. Çünkü enflasyonun yüksek olduğu durumlarda yatırımcıların satın alma güçleri az olacak ve yapabilecekleri muhtemel bir yatırımı fiyatı çok fazla derecede arttığı için yapmaları daha zor olacaktır.

Faiz oranı riski, piyasa faiz oranlarının düşme veya yükselme durumunda ortaya çıkan risk türüdür. Bu risk sabit getirili varlıkları ilgilendiren bir risktir. Bir yatırımcı sabit bir getiri ile yatırım yaptığında, bir süre sonra piyasa faiz oranlarının değişmesi durumunda yatırımcı bu yeni faiz oranından etkilenmeyecektir. Eğer ki, bu yeni piyasa faiz oranı varlığın getiri oranından daha yüksek seviyelere çıkarsa bu durumda yatırımcı daha yüksek bir faiz oranından yararlanamayacak ve kaybeden durumunda olacaktır. Tam

12 tersi olması, piyasa faiz oranı varlığın getiri oranından daha düşük seviyelere inmesi durumunda ise piyasaya göre daha yüksek bir getiri elde ediyor olacak ve kazanan durumunda olacaktır.

1.4.2. Sistematik Olmayan Risk

Sistematik olmayan risk ise, işletmelerin veya portföylerin kendi durumlarıyla ilgili olarak ortaya çıkan risktir. Sistematik olmayan risk de işletme riski, yönetim riski ve finansal risk olmak üzere üçe ayrılmaktadır (Sayılgan, 2008: 453).

İşletme riski işletmenin faaliyet kolu ile ilgilidir. Bir işletmenin faaliyet kolunda, üretimden kaynaklanan problemler, tüketici beğenilerinin değişmesi, yeni rakiplerle karşılaşılması, rakiplerin azalması gibi ortaya çıkan değişiklikler, işletmenin yapabileceği satışlar ve elde edebileceği gelirler üzerinde etkili olmaktadır.

Yönetim riski işletme yönetiminin performansı ile bağlantılı olan bir risk türüdür.

İşletme yönetiminin performansı düşük ise, yani işletme kötü yönetiliyor ise, çıkan fırsatlar iyi değerlendirilememekte ve bu nedenle işletmenin değeri de kötü yönde etkileniyor olacaktır. İşletmenin başında, işinin ehli profesyonel bir yönetici olması durumunda işletmenin değeri de iyi yönde geliştirilebilecektir. İşletmenin başındaki yöneticinin sürekli olarak değişmesi durumunda da bu riskin ortaya çıkma olasılığı yüksek olmaktadır.

Finansal risk işletmenin borçlanma ile finansman sağladığı durumlarda ortaya çıkmaktadır. İşletmeler finansman ihtiyacı içine girdiklerinde bu ihtiyaçlarını öz

13 kaynakları ile veya borçlanma yolu ile karşılayabilirler. İşte bu ihtiyaçlarını borçlanma ile karşıladıklarında ekonominin istikrar durumuna göre ve işletmenin gelir durumuna göre bu borçlarını ödeyememe gibi bir durum içerisine girebilirler. Finansal risk de bu gibi durumlarda işletmenin borç ödeme yeterliliğinin azalmasını göstermektedir.

1.5. Portföy Yönetim Yaklaşımları

1.5.1. Geleneksel Portföy Yaklaşımı

Geleneksel portföy yaklaşımı, yöneticilerin kendi inisiyatiflerini kullandıkları, kendi sezgileri ile hareket ettikleri bir yaklaşımdır. Bu yaklaşımda optimum portföyün oluşturulması için bilimsel bir şekilde hareket edilmemektedir; optimum portföyün oluşturulması sadece farklı varlıkları portföye dahil ederek sağlanmaya çalışılmaktadır.

Bu noktada farklı sektörler içerisinden iyi olduğuna inanılan, başarılı olunacağına inanılan farklı varlıklar portföye dahil edilerek portföy çeşitlendirilmektedir. Bu şekilde hareket edilerek oluşturulan portföyün riskinin azaltıldığı düşünülmekte ve portföyde bulundurulan varlıkların birbirleriyle olan ilişkileri göz önünde bulundurulmamaktadır (Ceylan ve Korkmaz, 1998: 89).

1.5.2. Modern Portföy Yaklaşımı

Modern portföy yaklaşımı, geleneksel yaklaşımın tersine, portföyde bulundurulan varlıkların birbirleriyle olan ilişkilerini gözeterek bilimsel bir şekilde hareket edilen bir yaklaşımdır. Bu yaklaşıma göre portföyün riski veya başarılı olma olasılığı portföyde bulunan varlıkların birbirleriyle olan ilişkilerine bağlı olarak ortaya çıkmaktadır (Ceylan ve Korkmaz, 1998: 143).

14 1.6. Portföy Yönetimi

Portföy yönetim süreci, portföyde bulundurulan varlıkların zaman içerisinde ekonominin değişken durumuna ve yatırımcının değişen ihtiyaçlarına göre portföye yeni varlıklar alınması, mevcut varlıklardan çıkartılması gerekenlerin portföyden çıkartılması gibi kararların alınmasıdır. Bu süreç ise beş aşamadan oluşmaktadır. Bu aşamalar ise şu şekildedir (Usta, 2005: 291):

 Portföy Planlaması

 Yatırım Analizi

 Portföy Seçimi

 Portföy Değerlendirmesi

 Portföy Revizyonu

Portföy planlaması, yatırımcının ihtiyaçlarının ve yatırım kriterlerinin belirlenerek portföye alınacak olan varlıkların belirlenmesi için bir başlangıç yapılması aşamasıdır.

Bunlar belirlendikten sonra yatırımcının ihtiyaçları doğrultusunda portföye dahil edilebilecek olan varlıklar incelenerek yatırım analizi aşaması da tamamlanmaktadır.

Portföy seçimi aşamasında ise bu aday varlıklar içerisinden en uygun olanlar belirlenerek portföye dahil edilmektedir. Ancak portföy oluşturulduktan sonra, portföydeki varlıkların ne derece başarılı olduklarının incelenmesi ve zaman içerisinde değişebilecek durumlara karşı portföy içerisindeki varlıkların durumun gözetim altında tutulması gerekmektedir. Bu şekilde de portföy değerlendirmesi aşaması tamamlanmaktadır. Son olarak da portföy değerlendirmesi aşamasında varlıkların durumuna bakıldıktan sonra, portföy performansını olumsuz etkileyen ve portföyden çıkartılması gereken varlıklar bulunması halinde bunların portföyden çıkartılması ve

15 piyasada iyi getiri sağlayabilecek yeni varlıkların olması durumunda yani yeni fırsatlar bulunması halinde bu fırsatların değerlendirilerek portföye bu varlıkların dahil edilmesi işlemleri gerçekleştirilmektedir. Bu son aşama da portföy revizyonu olarak adlandırılmaktadır.

1.7. Portföy Oluşturulurken Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar

Yatırımcılar, yapmış oldukları tasarrufları ile bir gelir elde etme isteği içerisinde yatırımlarını gerçekleştirirler. Bu yatırımlarını gerçekleştirirlerken de, daha fazla riske maruz kalmamak amacıyla yatırım yaptıkları varlıkları çeşitlendirmeye, yani bir portföy oluşturmaya çalışmaktadırlar. Ancak bu portföylerini oluştururken rastgele olarak değil, belli noktaları göz önünde bulundurarak hareket etmeleri gerekmektedir. Çünkü yatırımcılar, portföylerinde bulunacak varlıklar hakkında tam bilgi sahibi olmaları ve varlıkları yeterince tanımaları gerekmektedir. Aksi halde yatırımlarını yeterince yakından takip edemeyecek ve bu da bir risk unsuru olarak karşısına çıkabilecektir.

Portföy oluştururken dikkat edilmesi gereken noktalar ise şunlardır (Bekçi, 2001: 55):

 Finansal yapı

 Likidite durumu

 Üstünlük sağlayan haklara sahip olma veya olmama

 Ortak yapısı

 Kar dağıtım politikası

 Endüstri kolundaki pazar payı

 Portföydeki farklı grup sayısı

 Alış-satış zamanlaması

 Portföyün likiditesi

16 2. PORTFÖY OPTİMİZASTON YÖNTEMLERİ

2.1. Oyun Teorisi

Oyun teorisinin ortaya çıkışı M.S. 500’lü yıllarda Babilli Talmud’un evliliklerdeki miras paylaşımlarını ele alışına kadar dayansa da, oyun teorisi ile ilgili yapılan ilk önemli çalışma olan “Theory of Games and Economic Behaviour” (Oyun Teorisi ve Ekonomik Davranış) isimli kitap 1944 yılında matematikçi olan John von Neumann ve

Oskar Morgenstern tarafından yayınlanmıştır. İki matematikçi, oyuncuların birbirlerinin kazanç ve kayıplarının farkında olduğu sıfır toplamlı oyunları ele almışlardır. Bu kitabın yayınlanmasının ardından oyun teorisi hızlı bir şekilde gelişmiş ve sınırları sadece matematik biliminin sınırları olmaktan çok daha öteye genişlemiştir. Sınırların genişlemesi için ise en büyük katkı 1950’li yıllarda John Nash tarafından gelmiştir.

Nash yayınlamış olduğu “Equilibrium in N-Person Games” (N Kişili Oyunlarda Denge Noktası), “Non-cooperative Games” (İşbirliksiz Oyunlar) ve “Bargaining Problem”

(Pazarlama Problemi) adındaki 3 önemli çalışma ile teorinin sıfır toplamlı oyunlardan sıfır toplamlı olmayan oyunlara doğru gelişmesine katkıda bulunmuştur. Fakat stratejik durumların analiz edilmesi şeklinde tanımlanabilecek olan oyun teorisi, ekonomi, politika, uluslararası ilişkiler, işletme, biyoloji, mühendislik gibi bilimlerin kullanım alanına ancak 1970’li yıllarda dahil olabilmiştir. 1996 yılında oyun teorisi, Hutton tarafından, yetersiz bilgi ve farklı amaçlar altında, farklı tarafların, karar alma sürecinde nasıl etkili olabileceklerini inceleyen entelektüel bir çatı şeklinde tanımlanmıştır. Oyun teorisi ile gerçekleştirilen analizlerde farklı tarafların birbirlerine karşı olan ayırt edici özellikleri, oyunların çözümü için belirleyici rol oynamaktadırlar. Bu ayırt edici özellikler, taraflar hamle yapacağı sırada, yapılacak olan hamleler üzerinde etkili olmaktadır. İşte bu şekilde tarafların birbirlerine olan bağlılıkları ve bilgi düzeyleri de oyun teorisinin kritik yönleri olarak karşımıza çıkmaktadır (Carmichael, 2005).

17 Oyun teorisi, bir karar alma sürecinde, iki veya daha fazla belirleyici tarafın yer aldığı, ancak tarafların alacakları kararlarda sadece kendi isteklerinin değil bulunan diğer taraflarında etkisinin olduğu durumların analizi için kullanılan bir tekniktir ve kişilerin alacakları kararlar, diğer tarafların neler yapacakları beklentisiyle ilişkili olmaktadır.

Yani kişi, karar alırken tek başına izole bir şekilde değil, karşılıklı bağımlılık esası gözetilerek hareket etmektedir. Genel olarak stratejik oyun veya sadece oyun olarak bilinen bu gibi durumlarda, taraflar oyuncular olarak anılmakta, taraflar arasındaki durum da stratejik bağımlılık olarak adlandırılmaktadır. Stratejik oyun veya oyunlarda oyuncuların hareketleri birbirlerinin hareketleri üzerinde etkili olmakta ve bütün oyuncular da bu durumdan haberdar olmaktadır. Bu nedenle de oyuncuların karar alırken diğer oyuncuların yapabilecekleri karşı hamleleri de göz önünde bulundurmaları gerekmektedir. Ancak, oyuncuların elinde yetersiz bilgi bulunması halinde, diğerlerinin neler yapabilecekleri hakkında tahminler yürütülmesi gerekmektedir.

Oyun teorisi için gerçekleşebilecek bazı örnek durumlar şunlar olabilir (Carmichael, 2005: 25):

 Belirli bir sanayi kolunda faaliyet gösteren iki firmanın fiyatlama kararları,

 İki ülkenin birbirine savaş açma konusundaki kararları,

 Bir firmanın yeni bir pazara girme konusundaki kararları,

 Bir futbol maçında bir takımın penaltı yaparken diğerinin penaltı kazanma durumu,

 Bir tenis maçında bir oyuncunun servisi nereye atacağı kararı,

 Aile üyelerinin ev işlerini paylaşma konusundaki kararları.

18 Bu gibi durumlarda oyuncular kendi stratejilerini belirlemek amacıyla stratejik düşünme içerisine girmektedirler. Stratejik düşünme, oyuncuların aynı anda aynı durum için, kendileriyle benzer düşünceler içerisinde olan diğer oyuncularla olan etkileşimlerinin göz önünde bulundurulmasını kapsamaktadır.

Oyun teorisinin uygulanabilmesi için ilk adım stratejik oyunların sınırlarının belirlenmesidir. Bir oyunun kuralları, oyuncuların kimlikleri, oyun hakkındaki bilgi düzeyleri, olası hamle veya hareketleri ve kazançları hakkındaki bilgileri kapsamaktadır. Bir oyunun kuralları, bir oyuncunun davranışlarının diğer oyuncuların kazançları üzerinde nasıl bir etkisinin olduğunu detaylı bir şekilde açıklamaktadır.

Oyuncular, bir birey, bir çift, bir aile, bir firma veya bir devlet olabilir; kısaca rasyonel tutum içerisinde olabilecek ve her tür düşünce organı oyunlar için bir oyuncu olabilir.

Bir oyuncunun ortaya çıkabilecek sonuçlar karşısında iyi tanımlanmış amaç ya da tercihleri bulunuyorsa ve bunları elde edebilmek için elindeki stratejilerden en iyi sonucu verecek olan stratejiyi uyguluyorsa bu oyuncu rasyoneldir (Koçkesen, 2008: 2).

Oyuncuların kazançları ilgili duruma göre para, zaman, yiyecek, içecek gibi durumlar olabilmektedir. Ancak genel olarak, kazançların tatmin veya fayda düzeyi olarak belirlenmesi çok daha yararlı olacaktır. Fayda, soyut ve hayali bir kavramdır ve ekonomi alanında çok yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Stratejik bir durumun oyun olarak modellenmesi ve kazançların fayda şeklinde ölçülmesi durumunda, bu faydaların oyuncuların perspektifinden bakıldığında değer yaratacak şekilde belirlenmesi gerekmektedir.

19 Rasyonel bireylerin kendilerine daha fazla fayda sağlayacak durumları daha az fayda sağlayacak olan durumlara tercih ettikleri kabul edilmektedir ve bu nedenle bir birey bir oyunda kendisine daha fazla fayda sağlayacak olan kazanç değerini kendisine daha az fayda sağlayacak olan değerlere tercih edecektir. Ancak oyun teorisi bireylerin her zaman kazanmalarını garanti etmemektedir; çünkü bireyin elindeki stratejilerin hepsinin sonucunda da kazanç sağlaması mümkün olmayabilir. Bu durumda ise oyun teorisi bireyin içinde bulunduğu durumdan en az zararla çıkması için çalışacaktır. Kısaca oyun teorisi, fayda söz konusu ise mümkün olan en yüksek fayda ile zarar söz konusu ise de mümkün olan en az zarar ile oyunun tamamlanmasını sağlayacaktır.

Tüm bu bilgiler ışığında oyun teorisini, bireylerin başka bireylerle etkileşim halinde olduğu, kazanç veya kayıplarının diğer bireylerin tercihlerine de bağlı olduğu çelişen durumlar karşısında en doğru stratejiyi belirleme yöntemi olarak tanımlamak mümkündür.

Bir oyunda olmazsa olmaz olan şu kavramların bulunması gerekmektedir:

 Oyuncular

 Kurallar

 Stratejiler

 Kazançlar/Kayıplar

 Ödemeler Matrisi

20 Oyuncular, oyun içerisinde taraf olan, elde edecekleri kazancı en büyüklemeye veya katlanacakları kaybı en küçüklemeye çalışan ve bu yönde kararlar alan birimlerdir.

Kurallar, oyun sırasında bireylerin ne şekilde davranabileceklerini gösteren, kararlar alınırken bireylerin neler yapıp neler yapamayacağı hakkında oyuncuların fikir sahibi olmasını sağlayan bilgilerdir.

Stratejiler, oyuncuların kendi amaçlarına ulaşmak amacıyla belirlemiş oldukları davranışlarıdır. Oyuncular, oyunun kuralları çerçevesinde rakiplerinin yapabileceği hamlelere karşı kendi stratejilerini belirlerler ve rakiplerinin her hareketine karşı kendi hamleleri ile cevap verirler.

Kazançlar veya kayıplar, oyuncuların uygulayacakları stratejilere karşılık elde edecekleri fayda veya katlanacakları zararlardır. Ancak bir oyuncunun oyunu kazanması veya kaybetmesi durumunda elde edeceği kazanç veya katlanacağı zarar değerlerinin birbirlerine karşılık gelebilecek anlamlı değerler olması gerekmektedir.

Ödemeler matrisi, oyuncuların birbirlerine karşılık olarak ellerinde bulunan stratejileri ve bu stratejilerin kendilerine kazandıracağı veya kaybettireceği değerleri gösteren matristir.

Bir oyunun oynanabilmesi için, kendi menfaatlerini gözeten oyuncuların, oyunun sınırlarını belirleyen kuralların, oyuncuların kendi menfaatleri doğrultusunda seçmiş oldukları stratejilerin, bu stratejilerle elde edilecek kazanç/kayıpların ve tüm bunları içinde barındıran ödemeler matrisinin oyun içerisinde barındırılması zorunludur.

21 Oyunlar genellikle şu varsayımlar altında modellenmekte ve oynanmaktadır (Esin, 2003: 322):

 Oyuna dahil olan oyuncular sonlu sayıdadır.

 Oyuncuların ellerinde bulundurdukları stratejiler sonlu sayıdadır.

 Tüm oyuncular kendilerinin ve rakiplerinin sahip olduğu stratejileri bilmektedir;

ancak rakiplerinin hangi durumda hangi stratejiyi uygulayacaklarını bilmemektedirler.

 Oyuncular hangi stratejiyi seçerse seçsin her birinin karı veya zararı sınırlıdır.

 Oyuncuların elde edecekleri kazançlar veya katlanmak zorunda kalacakları zararlar, kendi seçecekleri strateji kadar rakiplerinin seçeceği stratejiyle de bağlantılıdır.

 Oyuncuların seçebilecekleri tüm stratejiler hem aynı ölçü biriminde hem de hesaplanabilir nitelikte olmalıdır.

2.1.1. İki Kişili Sıfır Toplamlı Oyunlar

İki kişili bir oyunda, bir oyuncunun m tane, diğer oyuncunun ise n tane stratejisinin bulunduğu varsayımı altında, oyunun matris gösterimi şu şekilde olacaktır:

22

B Oyuncusu

B1 B2 B3 B4 . . . Bm

A Oyuncusu

A1 (a1,b1) (a1,b2) (a1,b3) (a1,b4) . . . (a1,bm) A2 (a2,b1) (a2,b2) (a2,b3) (a2,b4) . . . (a2,bm) A3 (a3,b1) (a3,b2) (a3,b3) (a3,b4) . . . (a3,bm) A4 (a4,b1) (a4,b2) (a4,b3) (a4,b4) . . . (a4,bm)

. . . .

. . . .

. . . .

An (an,b1) (an,b2) (an,b3) (an,b4) . . . (an,bm) Tablo 2.1: İki Kişilik Oyunların Matris Gösterimi

Matriste oyuncuların stratejilerine karşılık gelen (ai,bj) sıralı ikilileri, oyuncuların kazançlarını ve kayıplarını temsil etmektedir. ai değeri A oyuncusunun uygulayacağı stratejilerden elde edeceği kazanç veya kayıpları gösterirken, bj değeri ise B oyuncusunun elde edeceği kazanç veya kayıpları göstermektedir. Eğer ki bir oyun, sıfır toplamlı bir oyun ise, oyuncuların elde edeceği kazanç ve kayıpların toplamı sıfıra eşit olacağı için, ai değeri bj değerinin ters işaretlisi olacaktır. Yani A oyuncusu bir stratejisinden 3 birim kazanç elde edecek ise, B oyuncusu buna karşılık gelen stratejisi ile 3 birim kayba uğrayacaktır. Bu durumda oyunun matrisi, sıralı ikililer yerine sadece sıralı ikililerin ilk elemanından oluşan bir matris şeklinde gösterilebilir.

23

B Oyuncusu

B1 B2 B3 B4 . . . Bm

A Oyuncusu

A1 a11 a12 a13 a14 . . . a1m

A2 a21 a22 a23 a24 . . . a2m

A3 a31 a32 a33 a34 . . . a3m

A4 a41 a42 a43 a44 . . . a4m

. . . .

. . . .

. . . .

An an1 an2 an3 an4 . . . anm

Tablo 2.2: İki Kişili Sıfır Toplamlı Oyunların Matris Gösterimi

Bu bölümde, bu matristen oyunun çözümüne ulaşılabilmesi için kullanılabilecek olan yöntemlerden bahsedilecektir.

2.1.1.1. Maksimin-Minimaks İlkesi

Maksimin-minimaks ilkesi, oyun teorisinde oyuncuların stratejilerini belirlerken kullanabilecekleri yöntemlerden biridir. Bu yönteme göre oyuncular, elde edebilecekleri en küçük kazanç değerini veya uğrayacakları en büyük kayıp değerini düşünerek, yani en kötü ihtimali göz önünde bulundurarak hareket etmektedirler. Satır oyuncusu elde edebileceği en küçük kazanç değerini mümkün olduğu kadar arttırmaya çalışırken, sütun oyuncusu ise satır oyuncusunun kazanç değerini mümkün olduğu kadar düşürmek için uğraş vermektedir.

24 Bu noktada Tablo 2.2’deki matrisi ele alacak olursak, A oyuncusu elindeki n adet stratejiyi inceleyecek ve bu stratejilerle elde edebileceği en küçük kazanç değerlerini belirleyecektir. B oyuncusu da benzer şekilde elindeki m adet stratejiyi inceleyecek ve uğrayabileceği en büyük kayıp değerlerini belirleyecektir. Bu durumda matris şu şekilde bir hal alacaktır:

B Oyuncusu

B1 B2 B3 B4 . . . Bm

A Oyuncusu

A1 a11 a12 a13 a14 . . . a1m

A2 a21 a22 a23 a24 . . . a2m A3 a31 a32 a33 a34 . . . a3m A4 a41 a42 a43 a44 . . . a4m

. . . .

. . . .

. . . .

An an1 an2 an3 an4 . . . anm

. . .

Tablo 2.3: Minimaks-Maksimin İlkesi Matrisi

Matriste yer alanv_n değerleri ilgili satırlarda yer alan değerlerin en küçük değerini,v_m değerleri de ilgili sütunlarda yer alan değerlerin en büyük değerini temsil etmektedir.

Satır oyuncusuv_n değerlerini belirledikten sonra bu değerlerin en büyük olanına karşılık

gelen stratejiyi kendi stratejisi olarak belirleyecektir. Sütun oyuncusu ise v_mdeğerlerini belirledikten sonra bu değerlerin en küçük olanına karşılık gelen stratejiyi kendi

v1

v2

v3

v4

vn

v1 v₂ v₃ v₄ v_m

25 stratejisi olarak belirleyecektir. Burada satır oyuncusu için

v

, sütun oyuncusu için ise

v

ifadelerini kullanmak mümkündür.

Bu ifadelerin değeri ise kısaca şu şekilde gösterilebilir:

m nm

n a

vmaxmin _nm

n

m a

vmin max

v

değeri satır oyuncusunun maksimin değeriyken,

v

değeri de sütun oyuncusunun minimaks değeridir; ve bu değerler ilgili oyuncuların optimum stratejilerini temsil etmektedirler. Oyunun değeri ise bu değerler arasında bir noktada ortaya çıkacaktır.

2.1.1.2. Eyer Noktası

Oyunun değeri, oyunun sonucunda hangi tarafın kazanıp hangi tarafın kaybettiğini ve kazanç/kayıp miktarlarının ne kadar olacağını göstermektedir. Bir oyunda oyunun değeri, oyuncuların belirlemiş olduğu maksimin ve minimaks değerler arasında yer almaktadır. Ancak bu değerlerin birbirine eşit olduğu durumlar da ortaya çıkabilmektedir. Böyle bir durumun ortaya çıkması, oyunun eyer noktası olduğu anlamına gelmektedir (Taha, 1997: 557).

Oyunun eyer noktasının bulunması, o oyunun dengede olduğunu göstermektedir. Bu denge noktası oyunda yer alan her iki oyuncunun da en iyi kazanç veya kayıp değerini alabilecekleri noktadır. Oyuncuların bu noktadan farklı bir strateji uygulamaları halinde ise, elde edecekleri sonuç mevcut durumdan daha kötü bir değere doğru kayma

26 yapacaktır. Bu durum da oyuncuların farklı bir stratejiye kaymamaları gerektiğini, denge durumunu veren stratejiyi uygulamaları gerektiğini göstermektedir (Karayalçın, 1993: 176).

Bazı durumlarda ise oyunun sonucunda birden fazla eyer noktası ortaya çıkabilmektedir. Bir oyunda birden fazla eyer noktası bulunması, oyunun sonucunu değiştirmeden farklı stratejilerin uygulanabileceği anlamına gelmektedir.

Uygulanabilecek bu farklı stratejiler ise alternatif stratejiler olarak adlandırılmaktadır (Esin, 2003: 331).

2.1.1.3. Eyer Noktasız Oyunlar

Maksimin-minimaks ilkesi uygulandıktan sonra, iki oyuncu için optimum olan stratejilerin birbiriyle kesişmemesi durumunda, oyuna ait bir eyer noktası bulunamamaktadır. Eyer noktası bulunmayan oyunlar, denge durumunda olmayan, kararsız durumda olan oyunlardır (Ventsell, 1965: 8).

27 Örnek olarak aşağıdaki matrisi inceleyelim:

B Oyuncusu

B1 B2 B3 B4 B5

A Oyuncusu

A1 4 3 -1 5 5 -1

maksimin --> 1

A2 1 4 3 2 2 1

A3 3 2 -4 -2 -2 -4

A4 1 -1 -2 1 1 -2

A5 4 3 -1 5 5 -1

4 4 3 5 5

minimaks --> 3

Tablo 2.4: Eyer Noktasız Oyunlar Örnek Matris

Matriste satır oyuncusunun maksimin ilkesini uyguladığında seçebileceği en iyi strateji olarak A2 elde edeceği kazanç 1 birim, sütun oyuncusunun ise minimaks ilkesini uyguladığında seçebileceği en iyi strateji olarak B3 ve katlanacağı kayıp 3 birim olduğu görülebilmektedir. Maksimin-minimaks ilkesi sonrasında kazanç ve kayıp değerlerinin birbirine eşit olmadığı, yani oyuna ait bir eyer noktası bulunmadığı açıktır. Böyle durumlarda oyuncular, daha iyi sonuç elde edebilecekleri stratejileri araştırmaya başlarlar ve ortak bir noktada buluşabilmeleri zor olacaktır. Oyuncuların bu şekilde araştırma içine girmesi, sabit bir stratejiye bağlı kalamayacakları anlamına gelmektedir.

Bu nedenle de oyuncular için karma stratejiler söz konusu olacaktır (Cinemre, 2004:

398).

28 2.1.1.4. Eş ve Baskın Stratejiler

Eyer noktasının bulunmadığı durumlarda, oyunun çözümünü daha kolay bir hale getirebilmek için, öncelikle eş veya baskın stratejilerin olup olmadığının kontrolünün yapılması gerekmektedir.

Eş stratejiler, oyunun matrisinde bir satırın veya sütunun, diğer bir satır veya sütundaki değerlerin tamamıyla aynı değerlere sahip olduğu stratejilerdir. Bu stratejilerde, satır oyuncusunun elde edeceği kazanç değerleri veya sütun oyuncusunun katlanacağı kayıp değerleri birbirlerinden farklı olmadığından dolayı aralarında bir tercih yapma durumu söz konusu olamamaktadır ve bu stratejilerden sadece bir tanesi matriste yer alacak şekilde diğerleri elenerek matrisin boyutu küçültülür. Böylece matrisin incelenmesi daha kolay bir şekilde yapılabilecektir.

Baskın stratejiler, oyunun matrisinde, satırlardaki değerler göz önünde bulundurulduğunda bir satırdaki değerlerin tamamının diğer bir satırdaki değerlerden daha büyük olduğu, sütunlardaki değerler göz önünde bulundurulduğunda ise bir sütundaki değerlerin tamamının diğer bir sütundaki değerlerden daha küçük olduğu stratejilerdir. Ancak burada, satırdaki ve sütundaki değerlerin sadece bir tanesi dışında aynı olduğunu ve o bir tane değerinde diğer bir stratejideki değere baskın olduğunu düşünürsek, stratejinin baskın olabilmesi için o bir değer de yeterli olacaktır.

Bir oyunda satır oyuncusu kazancını arttırma isteğinde olduğu için, ne olursa olsun seçeceği bir strateji ile diğer bir strateji ile elde edebileceği kazanç değerlerinden hiçbir zaman daha yüksek bir değer elde edemiyor ise, o stratejiyi seçme girişiminde

29 bulunmayacaktır. Benzer şekilde sütun oyuncusu da kaybını azaltma isteğinde olduğu için, ne olursa olsun seçeceği bir strateji ile diğer bir strateji ile katlanacağı kayıp değerlerinden hiçbir zaman daha az bir değer elde edemiyor ise, o stratejiyi seçme girişiminde bulunmayacaktır. Oyuncuların böyle bir durumla karşılaşmaları halinde ise baskın stratejiler ortaya çıkmaktadır ve oyuncuların seçme girişiminde bulunmayacakları stratejiler elenerek matrisin boyutu küçültülür. Böylece de eş stratejiler de olduğu gibi, matrisin incelenmesi yine daha kolay bir hal alacaktır.

Tablo 2.4’deki matrisi inceleyecek olursak, buradan eş ve baskın stratejilerin varlığını görebiliriz. Öncelikle satır oyuncusunun stratejilerini inceleyelim. Satır oyuncusunun A1

ve A5 stratejilerinin birbirinin aynı, yani eş stratejiler olduğunu görebiliriz. Bu durumu şu şekilde açıklayalım ve rastgele olarak A5 stratejisinin matristen çıkartılacağını varsayalım:

A11=A51=4, A12=A52=3, A13=A53=-1, A14=A54=5, A15=A55=5

Daha sonra ise baskın stratejilerin durumuna bakacak olursak, A1 stratejisinin tüm değerlerinin hem A3 hem de A4 stratejilerinin değerlerinden daha büyük veya eşit olduğunu görebiliriz ve A3 ve A4 stratejilerini matristen çıkartabiliriz.

A11=4 > A31=3 A11=4 > A41=1 A12=3 > A32=2 A12=3 > A42=-1 A13=-1 > A33=-4 A13=-1 > A43=-2 A14=5 > A34=-2 A14=5 > A44=1 A15=5 > A35=-2 A15=5 > A45=1

30 Satır oyuncusundan sonra da sütun oyuncusunun stratejilerini incelersek, benzer şekilde B4 ve B5 stratejilerinin eş stratejiler olduğunu ve B3 stratejisinin B2 stratejisine baskın olduğunu görebiliriz ve B5 ve B2 stratejilerini matristen çıkartabiliriz.

Sonuç olarak elimizde kalan stratejiler şu şekilde olacaktır ve oyunun çözümüne bu matris üzerinde devam edilecektir:

B Oyuncusu

B1 B3 B4

A Oyuncusu

A1 4 -1 5

A2 1 3 2

Tablo 2.5: Örnek İndirgenmiş Matris

2.1.2. Eyer Noktasız Oyunların Çözüm Yöntemleri

2.1.2.1. 2x2 Oyunların Çözümü

2.1.2.1.1. Cebirsel Yöntem



 





22 12 21 11

a a a

a şeklindeki iki oyuncunun olduğu ve oyuncuların uygulayabileceği ikişer

stratejilerinin olduğu oyunların çözümü için oyuncuların uygulayabileceği stratejilerin olasılıkları bulunmaya çalışılabilir. İlk olarak satır oyuncusunu düşünürsek, oyuncunun elinde uygulayabileceği iki adet stratejisi bulunduğu için, eğer ki oyuncu birinci stratejisini p olasılıkla oynayabilirse, olasılıklar toplamının sıfıra eşit olması gerekliliğinden yola çıkılarak, ikinci stratejisini de (1-p) olasılıkla oynayabileceği sonucuna varılabilir. Oyuncunun iki stratejisine karşılık elde edebileceği ikişer farklı

31 kazanç değeri bulunmaktadır ve bu değerlerle birlikte bu değerlerin ortaya çıkabileceği olasılık değerleri çarpılarak, iki stratejinin uygulanma durumuna göre iki farklı beklenen değer hesaplanabilir. Aynı şekilde sütun oyuncusunun da elinde iki adet stratejisi bulunmaktadır ve oyuncu birinci stratejisini q olasılıkla oynayabilirse, ikici stratejisini de (1-q) olasılıkla oynayabilecektir. Sütun oyuncusu için de stratejilere göre iki farklı beklenen değer hesaplanabilir (Winston, 2004: 808).

Satır oyuncusunun birinci stratejisini uygulaması halindeki beklenen kazancı;

E11 = p*a11 + (1-p)*a21

ikinci stratejisini uygulaması halinde ise beklenen kazancı;

E12 = p*a12 + (1-p)*a22

şeklinde olacaktır.

Sütun oyuncusunun ise birinci stratejisini uygulaması halindeki beklenen kaybı;

E21 = q*a11 + (1-q)*a12

ikinci stratejisini uygulaması halinde ise beklenen kaybı;

E22 = q*a21 + (1-q)*a22

şeklinde olacaktır.

Ancak bu beklenen kazanç ve kayıp değerleri farklı değerler değildir; satır oyuncusu için yazılan denklemlerin ikisi de oyunun sonucunda satır oyuncusunun kazancını, sütun oyuncusu için yazılan denklemlerin ikisi de oyunun sonucunda sütun oyuncusunun

32 kaybını veren denklemlerdir. Yani bu denklemlerin ikisinin sonucunda da aynı değerler elde edilecektir; bu denklemler birbirine eşittir. Denklemlerin birlikte çözülmesiyle birlikte de p ve q değerleri hesaplanabilecektir. Bu değerlerin bulunmasının ardından satır oyuncusu için oyunun en iyi değeri olan

v

değeri ve sütun oyuncusu için oyunun en iyi değeri olan

v

değeri şu şekilde bulunabilecektir (Kara, 1986: 309):

v

_{= p*a}

1m + (1-p)*a2m

v

_{= q*an1 + (1-q)*an2}

Bu yöntem bir örnek üzerinde incelenecek olursa, şu şekilde bir matris verilmiş olsun:

B Oyuncusu

B1 B2

A Oyuncusu

A1 3 1

A2 -4 5

Oyuncuların stratejilerini uygulama olasılıkları ile birlikte matris şu şekilde olacaktır:

q 1-q

B1 B2

p A1 3 1

1-p A2 -4 5

33 Olasılıklarla birlikte oyuncuların stratejilerine göre bekledikleri kazanç ve kayıp değerleri yazılabilir.

E11 = p*3 + (1-p)*(-4) = 7p - 4 E12 = p*1 + (1-p)*5 = 5 – 4p

E21 = q*3 + (1-q)*1 = 2q + 1 E22 = q*(-4) + (1-q)*5 = 5 – 9q

Denklemler birlikte çözülürse:

E11 = E12

7p – 4 = 5 – 4p  p = 9 / 11 E21 = E22

2q + 1 = 5 – 9q  q = 4 / 11

Bu değerlerin ilgili denklemlerde yerine konulmasıyla birlikte de oyunun değeri olan v değeri (19 / 11) olarak bulunabilecektir. Denklemlerin dördünün sonucunda da bu değere ulaşılmaktadır.

2.1.2.1.2. Kısa Çözüm Yöntemi

Bu yöntemin uygulanabilmesi için de cebirsel yöntem de olduğu gibi iki oyuncu ve bu oyuncuların ikişer stratejilerinin bulunması gerekmektedir. Cebirsel yöntemde anlatıldığı gibi satır oyuncusunun stratejilerini uygulayabilme olasılıkları p ve (1-p)

34 şeklinde olmaktadır. Satır oyuncusunun amacı kazancını en büyüklemektir ve elde edeceği kazanç oyunun değerine eşit veya oyunun değerinden daha iyi bir değer olacaktır. Bu durum da şu şekilde açıklanabilir:

p*a11 + (1-p)*a21 ≥ v p*a12 + (1-p)*a22 ≥ v

Elde edilecek olan kazanç en az oyunun değeri kadar olacağı için bu denklemler eşitlik şeklinde yazılabilir ve p değerini bulabilmek için bu iki denklem birlikte çözülebilir.

p*a11 + (1-p)*a21 = v p*a12 + (1-p)*a22 = v

p*a11 + (1-p)*a21 = p*a12 + (1-p)*a22 p =

21 22 12 11

21 22

a a a a

a a









Daha sonra da p değeri, eşitlik şeklinde yazılan denklemlerde yerine konularak v değeri hesaplanabilir (Kara, 1986: 315).

 v =

21 22 12 11

21 12 22 11

a a a a

a a a a









Yine bu yöntem de cebirsel yöntemde verilen aynı örnek matris üzerinden incelenecek olursa:

35

B Oyuncusu

B1 B2

A Oyuncusu

A1 3 1

A2 -4 5

p =

21 22 12 11

21 22

a a a a

a a









= 3 1 5 ( 4) ) 4 ( 5













= 11 9

v =

21 22 12 11

21 12 22 11

a a a a

a a a a









= 3 1 5 ( 4) ) 4 (

* 1 5

* 3













= 11 19

Çözümden görülebildiği üzere kısa yöntemin uygulanmasıyla birlikte de yine cebirsel yöntemde ulaşılan sonuçların aynısına ulaşılabilmektedir.

2.1.2.2. mxn Oyunların Çözümü

2.1.2.2.1. Cebirsel Yöntem

















33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

şeklindeki iki oyuncunun olduğu ve oyunculardan herhangi birinin

elinde uygulayabileceği ikiden fazla stratejisinin bulunduğu oyunlarda yine oyuncuların stratejilerini uygulama olasılıkları incelenmeye çalışılacaktır. Burada oyuncuların ikiden fazla stratejileri bulunduğu için olasılıklar p ve (1-p) şeklinde gösterilemeyecektir. Bu nedenle oyuncuların strateji uygulama olasılıkları, satır oyuncusu için p1, p2, p3

şeklinde, sütun oyuncusu için de q1, q2, q3 şeklinde gösterilecektir. Satır oyuncusunun

36 elde edeceği kazanç oyunun değerine eşit veya oyunun değerinden daha büyük bir değer olması gerekirken, sütun oyuncusunun katlanacağı kayıp da oyunun değerine eşit veya oyunun değerinden daha küçük bir değer olacaktır (Winston, 2004: 832).

Satır oyuncusu için: p1*a11 + p2*a21 + p3*a31≥ v

p1*a12 + p2*a22+ p3*a32≥ v

p1*a13 + p2*a23 + p3*a33 ≥ v p1 + p2 + p3 = 1

Sütun oyuncusu için: q1*a11 + q2*a12 + q3*a13 ≤ v

q1*a21 + q2*a22 + q3*a23 ≤ v q1*a31 + q2*a32 + q3*a33 ≤ v

q1 + q2 + q3 = 1

Bu durumda denklemler yine eşitlik şeklinde yazılabilir ve p1, p2, p3 ve q1, q2, q3

değerlerini bulabilmek için denklemler birlikte çözülecektir. Bu değerler bulunduktan sonra, bulunan değerlerin denklemlerde yerine konulmasıyla birlikte oyunun değeri de bulunabilecektir ve oyunun çözümü tamamlanmış olacaktır.

37 2.1.2.2.2. Doğrusal Programlama

Bir oyun için, minimaks-maksimin yöntemi uygulandıktan sonra oyunun eyer noktası araştırılmaktadır. Eyer noktasının bulunamaması halinde oyuncuların stratejileri araştırılarak, oyuncuların ellerindeki stratejiler içerisinde birbirine eş veya birbirinden üstün stratejilerin olup olmadığına bakılmaktadır. Bu araştırma yapıldıktan sonra da oyunun çözümüne ulaşılamıyor ise, yani oyuna ait bir eyer noktası bulunamıyor ise, cebirsel yöntem ile oyunun çözümü bulunmaya çalışılmaktadır. Oyunun boyutunun, cebirsel yöntem ile çözebilmek için de çok büyük olması halinde en son olarak doğrusal programlama ile çözüm yöntemine başvurulabilmektedir.

Doğrusal programlama ile çözüm ise şu varsayımlar altında yapılmaktadır:

 Oyuna ait bir eyer noktası bulunmamaktadır.

 Oyunun değeri olan v değeri pozitiftir.

Bu varsayımlar altında öncelikle oyuna ait ödemeler matrisinde negatif bir değerin olup olmadığına bakılmaktadır. Matriste herhangi bir negatif değer bulunması halinde uygun bir değer matristeki tüm değerlere eklenerek, matristeki tüm elemanların pozitif olması sağlanmaktadır. Bu aşamadan sonra doğrusal programlama ile oyunun çözümü yapılmakta ve matristeki elemanları pozitif yapmak için eklenen değer çözüm sonucunda bulunan değerden çıkartılarak oyunun gerçek değeri bulunmaktadır.

Satır oyuncusu için amaç maksimin ilkesi gereği tüm stratejilerinden elde edebileceği en küçük kazançlar içerisinden en büyüğünü seçmektir. Sütun oyuncusu için amaç ise minimaks ilkesi gereği tüm stratejilerinde maruz kalacağı en büyük kayıplar içerisinden

38 en küçüğünü seçmektir. Satır oyuncusunun stratejilerini pi olasılıkla ve sütun oyuncusunun da stratejilerini qj olasılıkla seçecek olması durumunda oyuncular için amaç fonksiyonları şu şekilde olacaktır (Winston, 2004: 816):

max Z = _









 



 m

j ij i n

j i pa

1 1

min =

v

 Satır oyuncusu için amaç fonksiyonu

min Z = _









 



 n

i ij j m

i j qa

1 1

max =

v

 Sütun oyuncusu için amaç fonksiyonu

Bunlarla birlikte satır oyuncusu için m adet, sütun oyuncusu için ise n adet kısıt bulunmaktadır.





  m

j ij i n

i

a p

1 1

≥

v

 Satır oyuncusu için kısıtlar





  n

i ij j m

j

a q

1 1

≤

v

 Sütun oyuncusu için kısıtlar

Bu noktada dikkat edilmesi gereken önemli bir nokta bulunmaktadır. Bir modelin çözülebilmesi için eşitsizliklerin sağ taraf değerlerinin sabit bir sayı olması gerekmektedir. Bu nedenle satır oyuncusuna ait kısıtlar

v

’ye bölünerek ve sütun oyuncusuna ait kısıtlar

v

’ye bölünerek model standart forma dönüştürülür. Bununla

birlikte pi = xi*

v

_{ve qj = yj*}

v

olarak kabul edilirse oyunculara ait kısıtlar şu şekilde yazılabilir:





  m

j ij i n

i

a x

1 1

≥ 1  Satır oyuncusu için kısıtlar





  n

i ij j m

j

a y

1 1

≤ 1  Sütun oyuncusu için kısıtlar