KISALTILMIŞ SİMPLEKS YÖNTEMİ

Öğr. Görv. Dr. Orhan İDİL

(İ.Ü. İ ş l e t m e F a k ü l t e s i ) İ s t a t i s t i k Demografi ve İktisadi

Analizler K ü r s ü s ü

l . l . Doğrusal Programlama Problemleri^:

Doğrusal programlama problemlerinde kullanılan Simpleks Yön­

temi G.B. Dantzig tarafından 1947 yıllarında geliştirilmiştir. Aradan geçen uzun süreye rağmen bu yöntem günümüzde daha yeni olan

«Multipleks», «Duopleks» ve «Tripleks» yöntemlerine ekseriyetle ter­

cih edilmektedir. Zira simpleks doğrusal denklem sistemlerinin mat­

ris cebri yardımıyla çözümünün genelleştirilmesine dayanmakta ve ileri bir matematik nosyonuna hitiyaç göstermemektedir. Bu nedenle öğrenilip tıygulanması kolay olan Simpleks Yönteminin çeşitli kade­

melerde yorumlanabilmesi olanağı da yöntemi çekici hale getirmek­

tedir.

Doğrusal programlamanın amacı belirli sınırlar altında çok sayı­

da faaliyetin (activity) kapsayan bir sistemdeki optimal faaliyet sevi­

yelerini belirlemektir. Böyle bir sistemde önce doğrusal bir gaye fonk­

siyonu bulunur. Bu fonksiyon Z, değişkenler X „

ve de­

ğişkenlerin katsayıları C

C

C

ile gösterildiğinde gaye fonk­

siyonu

şeklini alır. D o ğ r u s a l programlama problemlerinde y u k a r d a k i Z ' y i maksimize veya m i n i m i z e edecek X^d d e ğ e r l e r i a r a n ı r . Minimizasyon problemi a s l ı n d a negatif b i r maksimizasyon o l d u ğ u n d a n bundan son­

r a k i a ç ı k l a m a l a r ı m ı z d a maksimizasyon problemi -üzerinde d u r a c a ğ ı z . Z = C¹X¹- | - C^a- X^a+ ... . + C^JX^j +

Gaye fonksiyonu sınırlayıcı ş a r t l a r b u l u n m a d ı ğ ı takdirde X j —> co o l d u ğ u n d a m a k s i m u m d e ğ e r i n i alır. Pratikte ise problemde bazı sınır­

lamalar v a r d ı r . D o ğ r u s a l programlama problemlerinde b u s ı n ı r l a r da d o ğ r u s a l d ı r . Ş a y e t m tane sınırlayıcı ş a r t varsa b u n l a r ı a ş a ğ ı d a k i eşit­

sizlik sistemiyle g ö s t e r e b i l i r i z :

«n ^xı •+ a^{J 2} x² + + a^1} x^t + + a^la x„ < b, a²¹x¹ + a²².x^2:+ + a²ⁱx^J + + a^iaxⁿ < b^z

• - a^{m l}# ! + + • •+ a^'sCi + ... + < w X <b^m •

. Böyle b i r sistemde < işareti yerine > de bulunabilir. B u takdir­

de .eşitsizliğin her i k i t a r a f ı - ^ 1 ile ç a r p ı l a r a k i l k d u r u m a dönülebilir.

Y u k a r ı d a k i s ı n ı r l a m a l a r . d ı ş ı n d a son olarak d e ğ i ş k e n l e r i n pozitiflik ş a r t ı ; m e v c u t t u r •. , ^; . \

' ^; x ^{l t} x ^s , , xⁿ> o

B ü t ü n bu sınırlayıcı ş a r t l a r sistemi b i r ç ö z ü m meydana getirir. B u alan içindeki her ] X^{J (} X², . . . Xⁿ \ seti b i r alternatif:faaliyet olarak d ü ş ü n ü l ü r s e d o ğ r u s a l programlama probleminin ç ö z ü m ü m ü m k ü n b ü ­ t ü n setler y a n i alternatif faaliyetler a r a s ı n d a n gaye fonksiyonu d e ğ e ­ r i n i maksimize edecek o l a n ı n ı n b u l u n m a s ı şeklinde ifade edilebilir.

Simpleks y ö n t e m i n d e ç ö z ü m a l a n ı n ı n köşeleri sistematik şekilde ince­

lenerek optimal sonuca ulaşılır.

B ü y ü k b o y u t l u d o ğ r u s a l programlama modellerinin ancak kom- p ü t e r y a r d ı m ı y l a çözülebileceği b i r gerçektir. Ancak. ekseriyetle k a r ş ı ­ l a ş ı l a n k ü ç ü k problemlerden elle veya hesap makinesi ile ç ö z ü m ü ge­

rekmektedir. B u gibi hallerde G.B. Dantzig t a r a f ı n d a n geliştirilen i k i f a r k Simpleks Y ö n t e m i her ne kadar y a p ı l a n h e s a p l a r ı n a n l a ş ı l m a s ı n ı k o l a y l a ş t ı r m a k t a y s a da böyle b i r ç ö z ü m ç o k v a k i t k a y b ı n a yol a ç m a k ­ tadır. Ü l k e m i z d e d o ğ r u s a l programlama ile i l g i l i y a y ı n l a r ı İncelediği­

mizde Dantzig y ö n t e m i n i n uygulandığı! g ö r ü l ü r . Diğer taraftan doğ­

rusal programlama i ç i n çeşitli paket programlar mevcuttur. Dolayı­

siyle Dantzig y ö n t e m i n i n d o ğ r u s a l p r o g r a m l a m a n ı n esasını vermeye

y a r a d ı ğ ı /pratikte- karşılaşılan;- -problemlerde - paket- p r o g r a m l a r d a n y a ­ r a r l a n ı l a b i l e c e ğ i i l e r i s ü r ü l e b i l i r . A n c a k a z ^önce' de; b e l i r t i l d i ğ i gibi i ş l e t m e c i l i k h a y a t ı n d a k o m p ü t e r i g e r e k t i r m e y e n problemlerle s ı k s ı k k a r ş ı l a ş ı l a b i l i r ve b u n l a r ı n ç ö z ü l m e s i i ç i n k o m p ü t e r k u l l a n ı l m a s ı m a s ­ r a f ı f a y d a s ı n ı ; a ş a n b i r u y g u l a m a olur. D i ğ e r t a r a f t a n Dantzig.: y ö n t e ­ m i n i n k o m p ü t e r i n u y g u l a n m a s ı z a m a n i s r a f ı n a yol a ç a r . B u nedenle a ş a ğ ı d a S i m p l e k s y ö n t e m i i ç i n k ı s a ve b a s i t b i r hesap ş e m a s ı g e l i ş t i ­ rilecektir.

1.2. Kısaltılmış Simpleks Tablosu

S i m p l e k s y ö n t e m i n i n a ç ı k l a n m a s ı i ç i n basit b i r ö r n e k ele a l a l ı n ı ; B i r f a b r i k a d a i k i m a m û l g ü n d e 8 v e 6 s a a t ç a l ı ş t ı r a b i l e n i k i a y r ı m a ­ k i n e d e y a p ı l m a k t a d ı r . B i r i n c i m a m û l i l k m a k i n e d e i k i saat, i k i n c i m a ­ k i n e d e 1 saat, i k i n c i m a m û l ise h e r m a k i n e d e b i r e r s a a t k a l m a k t a d ı r . M a m u l l e r i n k â r m a r j l a r ı s ı r a s ı y l a 3000 ve 2000 T L . o l d u ğ u n a g ö r e k â ­ r ı m a k s i m i z e edecek g ü n l ü k ü r e t i m p r o g r a m ı ne o l m a l ı d ı r ?

B u Ö r n e ğ i d o ğ r u s a l p r o g r a m l a m a p r o b l e m i h a l i n d e y a z a r a k m a l ­ l a r ı n ü r e t i l e c e k m i k t a r l a r ı X j ve X2 o l d u ğ u n a g ö r e :

"'•••^:-'--Z^İ=i'300Ö'X¹+-"2000X2 '

2 X^x + X² < 8 X , + X2 < B '

• X „ X2 > o

ç ö z ü m ü istenen sistemdir,

S i m p l e k s y ö n t e m i n d e Önce e ş i t s i z l i k l e r g e v ş e k d e ğ i ş k e n l e r (slacfc v a r i a b i e s ) e k l e n m e s i ile denklemlere d ö n ü ş t ü r ü l ü r :

2 X , + X2 + X3 = 8 X ı + X2 + X j = 6

B a z ı p r o b l e m l e r d e g a y e f o n k s i y o n u n u n belirli b i r b a ş l a n g ı ç de­

ğ e r i v a r d ı r . Ö r n e ğ i n , y u k a r d a k i problemde f a b r i k a n ı n 10.000 T L . h k sabit m a l i y e t i b u l u n d u ğ u n d a n v e a n c a k b u n u n ü s t ü n ü n k â r o l a r a k k a l a c a ğ ı n ı v a r s a y s a y d ı k g a y e f o n k s i y o n u

2max = 3000 X j + 2000 X2 — 10000

Ş i m p l e k s t e gaye fonksiyonu d e ğ i ş k e n l e r i n i n hepsi h ı r t a r a f a . g e ç i ­ r i l i r . Sabit maliyetli ö r n e k t e fonksiyon

Z — 3000 X ! — 2000 X2 - ~ 10000 esas problemde ise,

Z — 3000 X1 — 2000 X2 = 0 tabloya konacak gaye fonksiyonudur.

Gaye fonksiyonu ve s ı n ı r l a m a l a r a ş a ğ ı d a k i b a ş l a n g ı ç tablosunu meydana getirirler:

Tablo 1.

X, X² T

—3000 —2000 0

x3 2 1 8

1 1 6

Tabloda T s ü t u n u X³ ve X^d gevşek değişkenler h i z a s ı n d a tahditîi d e ğ e r l e r i n i vermektedir. A y n ı s ü t u n u n gaye fonksiyonu satırı ile ke­

siştiği yerde b u fonksiyonun o andaki d e ğ e r i görülmektedir. Soldaki X³ ve Xi d e ğ i ş k e n l e r i b a ş l a n g ı ç tablosunda temel çözümdedirler.

Simpleks iterasyonlannda önce temel ç ö z ü m d e olmayan s t r ü k t ü ı¹ d e ğ e r l e r i n i vermektedir. A y n ı s ü t u n u n gaye fonksiyonu satırı ile ke­

lemi «pivot s ü t u n u seçimi» olarak adlandırabiliriz. Gaye fonksiyonu­

n u n negatif değerli e l e m a n l a r ı n d a n m u t l a k d e ğ e r i en b ü y ü k o l a n ı n ı n ait o l d u ğ u s ü t u n pivot s ü t u n u sejilir. B u seçime T s ü t u n a dahil edil­

mez. Ö r n e ğ i m i z d e b u —3000 e l e m a n ı n ı n o l d u ğ u X , s ü t u n u d u r . Bun­

dan sonra temelden ç ı k a r ı l a c a k d e ğ i ş k e n belirlenir, yani «pivot satırı»

seçilir. B u seçim için gaye fonksiyonu d ı ş ı n d a T s ü t u n u e l e m a n l a r ı p i ­ vot satırı e l e m a n l a r ı n a b ö l ü n ü r l e r ve en k ü ç ü k pozitif sonucu veren s a t ı r pivot satırı olur. Ö r n e k t e b u bölmelerini 3'aparsak ( V² — 4, V¹ = 6) X³ s a t ı r ı n ı n pivot satırı o l d u ğ u n u ve X ı ile X³ satırının kesiş­

tiği yerde bulunan 2 n i n «pivot elemanı» o l d u ğ u n u anlarız. Pivot ele-

1) Sistemdeki esas d e ğ i ş k e n l e r i g e v ş e k d e ğ i ş k e n l e r d e n a y ı r d e d e b i l m e k i ç i r b u n l a r a genellikle - s t r ü k t ü r d e ğ i ş k e n l e r i » olarak a d l a n d ı r ı l ı r .

m a n ı belirlendikten sonra yeni tabloya geçiş işlemlerine b a ş l a n ı r . Bu­

n u n için tabloya A ve B diye k o d l a n d ı r a c a ğ ı m ı z b i r ek s a t ı r ve bir ek s ü t u n eklenir. Ek s a t ı r ı pivot s a t ı r e l e m a n l a r ı pivota b ö l ü n e r e k yazılır, p i v o t u n s ı r a s ı b o ş bırakılır. Ek s ü t u n a ise pivot h a r i ç pivot s ü t u n e l e m a n l a r ı gelir. A ş a ğ ı d a k i tabloda b u d u r u m g ö r ü l m e k t e d i r .

Tablo 2.

x^t x² T B

7 —3000 —2000 0 —3000

x³ (2) 1 8 —

1 1 6 1

A 0 4

Bundan sonraki işlemler şöyle s ı r a l a n a b i l i r :

i — Pivot s a t ı r Ve s ü t u n u n b a ş ı n d a k i elemanlar (i ve X³) yer değiş­

t i r i r . Y a n i X i i n temel ç ö z ü m e girdiği, X³ ü n çıktığı g ö r ü l ü r . i i — Pivot hanesine pivot e l e m a n ı l'e b ö l ü n e r e k yazılır Wz),

i i i — A s a t ı r ı n ı n d i ğ e r e l e m a n l a r ı aynen a l ı n a r a k pivot satırı yeni ş e k l i n e g e t i r i l i r Vh, ¥2, 4),

i v — Pivot s ü t u n u e l e m a n l a r ı pivota b ö l ü n ü p işaretleri ters çevrile­

rek, y a n i (-—11 ile ç a r p ı l a r a k değiştirilir. B u işlem esasen değiş- 1500

tirilmiş olan pivota uygulanmaz ( ^xk <— pivot d e ğ i ş m e z ) .

—%

v — Son olarak pivot s a t ı r ve s ü t u n u n a ait olmayan elemanlar de­

ğiştirilir. B u n u n için b u elemanlardan h i z a l a r ı n d a k i A satırı ile B s ü t u n u e l e m a n l a r ı n ı n ç a r p ı m ı çıkartılır':

—2000— {%) (—3000) = —500 0 — ( 4 ) (—3000) - 12000

1 — (%) (1) = Vz

6— ( 4 ) (1) = ,2 A ş a ğ ı d a 2. Simpleks tablosu g ö r ü l m e k t e d i r .

Tablo 3.

x³ x²" T

7

Vz 4

x „ ^Vz 2

Tabloya g ö r e 1, maldan 4 b i r i m üretildiği takdirde k â r 12000 TL.

olacaktır. B u tabloda X² temelde değildir, dolayısıyla ü r e t i m söz ko­

nusu değildir. Simpleks tablosunda gaye fonksiyonunda X ' l e r e ait k a t s a y ı l a r ı n hepsi pozitif o l d u ğ u n d a optimal ç ö z ü m e ulaşılmış demek­

t i r . Ö r n e k t e X²' n i n k a t s a y ı s ı negatiftir, y a n i X² temele geçilirse k â r a r t a c a k t ı r . Şimdi daha önce incelediğimiz kriterlere dayanarak yeni b i r pivot seçeriz.

Pivot s ü t u n u ; X², zira y a l n ı z b u s ü t u n d a k i gaye fonksiyonun ele­

m a n ı negatiftir.

Pivot satırı : A/Vz = 8, 2/Vz — 4 o l d u ğ u n d a n X , satırı pivot se­

çilir.

Pivot e l e m a n ı : Vz

A ş a ğ ı d a seçilen pivota g ö r e A ve B ile genişletilmiş tablo görül­

mektedir.

Tablo 4.

x³ x³ T B

1500 —500 12000 —500

Vz % 4 Vz

x⁴ —y² iVz) 2 —

A

—1

Bundan sonra i — v işlemleri y a r d ı m ı y l a yeni tablo meydana geti­

rilebilir.

Tablo 5.

x³ x³ T

7

X , 1 1

2

x³ —1

2

Y u k a r d a k i 3. Simpleks tablosunda gaye fonksiyonunun X³ ve X4 s ü t u n l u e l e m a n l a r ı pozitiftir, dolayısıyla optimal ç ö z ü m e ulaşılmıştır.

B u ç ö z ü m e g ö r e b i r i n c i maldan 2, i k i n c i maldan 4 b i r i m ü r e t i l e c e k ve 14000 TL. k â r gerçekleştirilecektir.

İncelediğimiz problemde gaye fonksiyonu maksimize edilmek is­

teniyordu. M i n i m i z a s y o n problemlerinde ise sadece gaye fonksiyonu i—1) ile çarpılır, y a n i e l e m a n l a r ı n i ş a r e t l e r i ters çevrilir. İ t e r a s y o n işlemleri ise değişmez.

1.3. Serbest değişkenler ve denklem şeklindeki sınırlamalar Y u k a r d a ele a l d ı ğ ı m ı z ö r n e k t e d e ğ i ş k e n l e r i n sıfırdan b ü y ü k olma ş a r t ı a r a n ı y o r d u . Bazı problemlerde böyle b i r ş a r t söz konusu değil­

dir, y a n i d e ğ i ş k e n l e r pozitif veya negatif olabilirler. «Serbest Değiş­

kenler» ş e k l i n d e a d l a n d ı r a b i l e c e ğ i m i z b u d e ğ i ş k e n l e r m u t l a k a temel ç ö z ü m d e b u l u n m a l ı d ı r . B u n u n için i l k Simpleks tablosu k u r u l d u k t a n sonra ö n c e b ü t ü n serbest d e ğ i ş k e n l e r temel ç ö z ü m e sokulurlar. B u safhada pivot s ü t u n u olarak herhangi b i r serbest d e ğ i ş k e n i n s ü t u n u alınır, pivot s a t ı r ı olarak da serbest b i r d e ğ i ş k e n e ait olmayan ve p i ­ vot s ü t u n u n d a k i e l e m a n ı sıfırdan farklı b i r s a t ı r seçilir. Serbest b i r d e ğ i ş k e n temel ç ö z ü m e girdikten sonra b i r daha ç ı k a r t ı l m a y a c a ğ ı n ­ dan istenirse b u s a t ı r tablodan çıkartılabilir.

D i ğ e r taraftan b i r ç o k d o ğ r u s a l programlama problemlerinde sı­

n ı r l a y ı c ı ş a r t l a r ı n b a z ı l a r ı eşitlik halinde b u l u n u r . B a ş l a n g ı ç tablo­

sunda temel ç ö z ü m d e daima gevşek d e ğ i ş k e n l e r b u l u n a c a ğ ı n d a n , b u eşitliklere de b i r e r g e v ş e k d e ğ i ş k e n eklenmesi gerekir. B u değişkenle­

r i n d e ğ e r l e r i n i n ise sıfır olacağı m u h a k k a k t ı r . Dolayısıyla b u değiş­

kenlerin iterasyonlar s ı r a s ı n d a tabloda temel ç ö z ü m d e n ç ı k a r t ı l m a s ı lâzımdır. Böyle d e ğ i ş k e n l e r i n temel ç ö z ü m d e n ç ı k a r t ı l m a s ı için b u l u n ­ d u k l a r ı s a t ı r p i v o t satırı, böyle b i r d e ğ i ş k e n i n b u l u n m a d ı ğ ı s ü t u n ise

pivot s ü t u n u seçilir. Bu arada ortaya ç ı k a c a k pivot e l e m a n ı n ı n sıfır o l m a m a s ı n a d i k k a t edilir. Eşitliklere eklenen gevşek b u l u n d u k l a r ı de­

ğ i ş k e n l e r i b i r kere temel ç ö z ü m d e n ç ı k a r ı l d ı k t a n sonra b u n l a r ı n sü­

t u n l a r ı yeniden pivot- seçimi İçin k u l l a n ı l a m a y a c a k l a r ı n d a n tablodan ç ı k a r ı l a b i l i r l e r .

1.4. Mümkün ilk çözümün bulunmadığı haller

D o ğ r u s a l p r o g r a m l a r ı n problemlerinin b a z ı l a r ı n d a koordinat sis­

t e m i Orijini m ü m k ü n ç ö z ü m a l a n ı n ı n b i r köşesini meydana getirir. Bu nedenle s t r ü k t ü r d e ğ i ş k e n l e r i n hepsi sıfır o l d u ğ u vakit orijin m ü m ­ k ü n ç ö z ü m a l a n ı n a dahil olur ve iterasyona b u k ö ş e d e n hareket edi­

lerek b a ş l a n ı r . Ancak b i r ç o k problemde böyle b i r h â l söz konusu de­

ğildir. Bu gibi d u r u m l a r d a ö n c e m ü m k ü n çözüm setine u l a ş ı l m a y a ça­

lışılır ve daha sonra optimal ç ö z ü m a r a n ı r . .

İlk Simpleks' tablosunda T s ü t u n u n d a g ö r ü l e n her negatif d e ğ e r negatif olmama ş a r t ı n ı zedeleyen b i r d e ğ i ş k e n i n v a r l ı ğ ı n a işarettir.

B u d e ğ i ş k e n l e r i iterasyonlarla temel ç ö z ü m d e n ç ı k a r t ı p m ü m k ü n çö­

z ü m a l a n ı n a girebilmek için b u l u n d u k l a r ı s a t ı r ı n pivot satırı seçilme­

si gerekir. Bu s a t ı r d a k i her negatif eleman pivot olarak seçilebilir. Gö­

r ü l d ü ğ ü gibi b u safhada d i ğ e r s a f h a l a r ı n aksine; i) Önce pivot s a t ı n s e ç i l m e k t e d i r ve ii) Pivot e l e m a n ı negatif o l m a k t a d ı r . Şayet pivot ele­

m a n ı olarak pozitif b i r eleman seçilirse iterasyon sonucunda T s ü t u ­ n u n d a yine negatif b i r elemanla k a r ş ı l a ş ı l a c a ğ ı kolaylıkla anlaşılabi­

lir-. Y u k a r d a k i kriterlere d a y a n ı l a r a k y a p ı l a n i t e r a s y o n î a r T s ü t u n u n ­ da h i ç b i r negatif eleman kalmaymcaya kadar devam eder.

1.5. Kısaltılmış Simpleks Yöntemi

Simpleks y ö n t e m i n d e karşılaşılabilecek, çeşitli d u r u m l a r ı tek tek inceledikten sonra b u n l a r ı topluca a ş a ğ ı d a k i şekilde g ö s t e r e b i l i r i z :

1. Safha: Serbest değişkenli herhangi bir s ü t u n pivot s ü t u n u se­

çilir. Ş a y e t serbest b i r değişken yoksa 2. safhaya geçi­

l i r . Pivot satırı olarak serbest b i r değişkeni olmayan ve . pivot e l e m a n ı sıfırdan f a r k l ı herhangi b i r s a t ı r ..seçilir.

2. Safha: Bir eşitlik halinde olan herhangi, bir" tahdidin satırı p.i- . v o t satırı olarak seçilir. Böyle b i r d u r u m söz k o n u s u de­

ğilse 3. safhaya geçilir.

Pivot s ü t u n u olarak b i r eşitliğe ait olmayan ve pivot e l e m a n ı sıfırdan farklı herhangi b i r s ü t u n seçilir.

3. Safha: Pivot satırı olarak serbest b i r d e ğ i ş k e n e ait olmayan ve T s ü t u n u n d a k i e l e m a n ı s ı f ı r d a n k ü ç ü k b i r s a t ı r se­

çilir. Böyle b i r s a t ı r yoksa 4. safhaya geçilir.

Pivot s ü t u n u olarak b i r eşitliğe ait olmayan ve pivot ele­

m a n ı negatif herhangi b i r s ü t u n seçilir.

4. Safha: B i r eşitliğe ait olmayan ve gaye fonksiyonu e l e m a n ı m u t l a k olarak en b ü y ü k negatif s a y ı y a sahip s ü t u n pi»

vot s ü t u n u seçilir. Böyle b i r g ü t u n yoksa optimum so­

nuca ulaşılmıştır. Pivot satırı olarak serbest b i r değiş­

kene ait olmayan s a t ı r l a r d a n T s ü t u n u e l e m a n l a r ı n ı n pivot s ü t u n u e l e m a n l a r ı n a b ö l ü n m e l e r i n d e n en k ü ç ü k pozitif sayıyı veren s a t ı r seçilir.

Kısaltılmış Simpleks y ö n t e m i n i uygularken y u k a r ı d a k i sırayı ta­

kip etmelidir. Birçok hallerde d ö r t s a f h a n ı n hepsini uygulamak ge­

rekmeyebilir, zira bazen b u n l a r d a n b a z ı l a r ı söz konusu değildir, ba­

zen ise herhangi b i r safhada y a p ı l a n hesaplar daha sonraki safha­

l a r a da içerir. Ş a y e t s a f h a l a r ı n herhangi birinde a r a n ı l a n ş a r t l a r a haiz s a t ı r veya s ü t u n bulunmazsa h e s a p l a r ı kesmek gerekir, zira op­

t i m u m a u l a ş m a k o l a n a ğ ı yoktur.

1.6. Sonuç

Simpleks y ö n t e m i n i n y u k a r d a incelediğimiz ele alış biçimi özel­

likle b i r i m m a t r i s i n hesaplara girmeyişi a ç ı s ı n d a n ç a b u k b i r sonuca g ö t ü r ü r . Diğer taraftan b u y ö n t e m karşılaşılabilecek çeşitli d u r u m l a r için faydalı olacaktır. Ö r n e ğ i n , serbest d e ğ i ş k e n l e r başlığı a l t m d a k i b ö l ü m d o ğ r u d a n d o ğ r u y a denklem sistemlerini ç ö z m e k t e k u l l a n ı l a b i ­ lir. Teklif edilen y ö n t e m y a r d ı m ı y l a b i r ç o k d o ğ r u s a l programlama problemini k o m p ü t e r e gerek duymadan b i r sonuca u l a ş t ı r m a k m ü m ­ k ü n d ü r .

incelediğimiz modeli tamamlamak için d e ğ i ş k e n l e r i n alt ve ü s t h u d u t l a r ı n ı n b u l u n d u ğ u halleri de g ö z ö n ü n d e t u t m a k gerekir. Her ne kadar alt ve ü s t h u d u t l a r birer eşitsizlik şeklinde de ele alınabilirse de böyle b i r h â l t a r z ı h e s a p l a r ı zorlaştırabilir. B u d u r u m d a ö r n e ğ i n X i d e ğ i ş k e n i 50 y i asamayacaksa yeni b i r X ' ı = X ı — 60 değişkeni g ö z ö n ü n d e t u t u l u p iterasyonlar 3'apılır, bu s ı r a d a sadece T s ü t u n u e l e m a n l a r ı yeni d e ğ i ş k e n e uygun şekilde b i r transformasyona u ğ r a r . H e s a p l a r ı n sonucunda tekrardan X ı d e ğ i ş k e n i n e d ö n ü l ü r .