STATİK ve DİNAMİK. Prof.Dr. Ahmet DAĞ Çukurova Üniversitesi Maden Mühendisliği Bölümü. Ders Notları 2015-ADANA

STATİK ve DİNAMİK

Ders Notları

Prof.Dr. Ahmet DAĞ

Çukurova Üniversitesi Maden Mühendisliği Bölümü

2015-ADANA

İÇİNDEKİLER

Sayfa

1. GİRİŞ ... 1

2. DÜZLEMSEL ALANLARIN AĞIRLIK MERKEZİ ... 8

3. RİJİT CİSİMLERİN DENGESİ ... 15

4. KAFES VE ÇERÇEVE SİSTEMLER ... 21

5. SÜRTÜNME ... 27

1. GİRİŞ

Mekanik, kuvvet etkisi altında cisimlerin denge ve hareket şartlarını inceleyen bir bilimdir. Mekanik üç ana bölüme ayrılır. Bu bölümler: Rijit (şekil değiştirmeyen) cisim mekaniği, Elastik (şekil değiştirebilen) cisim mekaniği ve Akışkanlar mekaniğinden oluşmaktadır.

Rijit cisim mekaniği, diyagramdan da görüldüğü üzere statik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Statik dengede bulunan cisimlerle, dinamik hareket halindeki cisimlerle uğraşır. Statikte duran katı cisimler ile kuvvet arasındaki denge şartları incelenir. Yani cismin fiziksel davranışı (uzama, kısalma, eğilme, hareket, hız vb. ) ile uğraşılmaz, dengelenmiş kuvvetler ve bunun geometrisi araştırılır. Gerçekte kuvvet etkisi altında cisimler bir miktar da olsa şekil değiştirirler. Bu şekil değiştirmeler, ya çok küçük olduklarından denge şartlarının incelenmesinde göz önüne alınmaz ya da cismin şekil değiştirmediği farz edilir.

Kuvvet: Etki ettiği cismin konumunu değiştirmeye çalışan fiziksel bir etki olarak tanımlanabilir. Bir kuvvet etki noktası, şiddeti, doğrultusu ve yönü ile ifade edilen vektörel büyüklüktür.

Şekil 1.

- 1 -

Cisim: Uzayda yer kaplayan her şey cisim olarak adlandırılır. Cisimler çeşitli şekillerde (katı, sıvı, gaz vb) olabilir. Davranışları çeşitli şekillerde modellenebilir. Mekanikte cisimler davranışına göre, rijit, elastik, elasto-plastik, vizkoelastik cisim olarak adlandırılır. Rijit cisimler statiğinde cisimlerle ilgili olarak yapılan idealleştirme maddesel nokta (parçacık) ve rijit cisimdir.

Maddesel nokta: boyutları ele alınan problemin boyutları yanında ihmal edilebilecek mertebede küçük olan cisme denir.

Rijit cisim: Boyutları, kuvvetler etkisinde hiç değişmediği kabul edilen ideal bir cisimdir.

1.1. Kuvvetler Sisteminde Bileşke

Şekil 2 deki A maddesel noktasına etki eden F1 ev F2 gibi iki kuvvetin bileşkesi olan R kuvveti paralel kenar ilkesi ile kolaylıkla bulunabilir. Elde edilen üçgenden kosinüs teoremi ile R nin şiddeti şöyle olur.

β F F - F F

R² = ₁²+ ₂² 2 _{1 2}cos α β

α

β =180^o− ⇒cos =−cos α F F F F

R= ₁² + ₂²+2 _{1 2}cos

Elde edilir F1, F2, α açısı belli olduğunda bileşke kuvvet R bulunur.

α β sin

sin = olduğuna göre sinüs teoreminden;

α R Sinθ

F F

sin sin

2

1 = =

φ

Yazılabilir. F1, F2, α açısı yanı sıra R de belli olduğuna göre θ ve φ açıları da bulunur.

- 2 -

1.2. Bir Kuvvetin Bileşenleri

Bir F kuvvetinin yerine aynı etkiyi yapacak başka bir kuvvetler sistemi koymak mümkündür.

Bunlara F kuvvetinin bileşenleri denir. Şekil 3 de görüldüğü gibi Fa ve Fb bileşenleri tamamen keyfi biçimde belirlenebilecek a-a ve b-b gibi doğrultulara bağlı olacaktır. Özel halde bir birine dik herhangi iki doğrultu da seçilebilir. Eğer bu birbirine dik iki doğrultu Şekil 4 deki gibi (x, y) eksen takımı ise F vektörünün bileşenleri;

φ φ sin cos F F

F F

y x

=

=

olur. Dik bileşenler Fx, Fy biliniyor ise F kuvvetinin şiddeti ve φ açısı aşağıdaki şekilde belirlenir.

2 2

y

x F

F

F= +

x y

F

= F φ tan

1.3. Düzlemde Maddesel Noktanın Dengesi

Bir maddesel noktaya etkiyen kuvvetler sisteminde bileşke kuvvet R=0 ise bu maddesel nokta dengededir. Dolayısıyla;

R = 0 ⇒

∑ =

=

∑ =

=

0 0

y y

x x

F R

F

R olur.

- 3 -

ÖRNEK 1.1: Şekildeki gibi O halkasına bağlı iplere asılan F1=100 kN ve F2=50 kN kuvvetlerine ait bileşke kuvvet R yi ve onun doğrultusunu hesaplayınız (α = β = 30^o).

ÇÖZÜM: Bu problem iki farklı yolla çözülebilir.

1. YOL: Şekildeki kuvvetler üçgenine ait geometriden yararlanarak θ = 30^o bulunur. Kosinüs teoremi yardımıyla bileşke kuvvet R,

θ cos 2 _{1 2}

2 2 2

1 F FF

F

R= + +

= 100² +50²+2x100x50cos30⇒R=145.47 kN bulunur. R nin doğrultusunu bulmak için sinüs teoremi kullanılarak,

150 sin sin

2

1 R

Sin F

F = =

φ ϕ

o

R

F sin150 20.10

47 . 145 150 100 sin

sinϕ= ¹ = ⇒ϕ =

⇒ +

= +

=30 ϕ 30 20.10

δ δ=50.10^o

2.YOL: Kuvvetlerin dik bileşenleri yardımıyla;

Rx=F1x+F2X=F1xsin30+F2xcos30 Rx=100xsin30+50xcos30 Rx=93.30

Ry=F1y+F2y=F1xcos30+F2xsin30 Ry=100xcos30+50xsin30 Ry=111.60

⇒ +

= +

= R_x² R_y² 93.30² 111.60²

R R=145.46 kN

⇒

=

= 93.30 60 . tan 111

x y

R

δ R δ=50.10^o

bulunur. Görüldüğü gibi her iki yoldan da aynı sonuçlar elde edilmektedir.

- 4 -

ÖRNEK 1.2: Şekildeki W ağırlığı AP ve BP kabloları ile tutturulmuştur. AP

kablosunun en fazla 500 kN taşıyabileceği biliniyorsa, P noktasına asılabilecek en büyük W ağırlığını bulunuz(α=30, β=60).

ÇÖZÜM: P noktasının serbest cisim diyagramı çizilir ve yatay ve düşey denge denklemleri yazılırsa,

∑Fx=0 ⇒ TPBxcos60-TPAxcos30=0

⇒ sin30

30 cos

T_PB =500x ⇒TPB=866.03 kN

∑Fy=0 ⇒ TPBxsin60+TPAxsin30-W=0

⇒W=866.03xsin60+500xsin30⇒W=1000 kN

ÖRNEK 1.3: Yandaki makaralı sistemde W=100 kN ağırlığı ile F=20 kN kuvveti b=1 m için bir denge konumu oluştursun isteniyor. Buna göre a mesafesinin alması gereken değeri hesaplayınız (Taşıyıcı

sistemde makaranın sürtünmesiz ve ipin uzamasız olduğunu kabul ediniz).

1.4. Bir Kuvvetin Bir noktaya Göre Momenti

Moment, bir kuvvetin bir nokta üzerinde yaratacağı dönme etkisidir. Bir F kuvvetinin doğrultusuna d dik mesafesinde olan bir nokta üzerinde oluşturacağı momentin şiddeti,

Moment(M)=Kuvvet(F) x Kuvvet kolu(d)

- 5 -

olur. Şekildeki gibi (x, y) noktasına etkiyen bir F=Fx + Fy kuvvetinin o(0,0) noktasına göre momenti,

Mo=F*d veya

Mo=Fy*x – Fx*y Olur.

ÖRNEK 1.4: Şekildeki cisme etki eden kuvvetin O noktasında oluşturduğu döndürme momentinin şiddetini ve yönü belirtiniz.

Mo = (100 N) x (2 m) = 200 N.m

1.5. Kuvvet Çifti ve Bir Kuvvetin Başka Bir Noktaya Taşınması Kuvvet çifti, şiddetleri eşit, etki çizgileri

paralel ama yönleri zıt olan iki kuvvetten (F, -F) oluşan kuvvet sistemine verilen addır. Kuvvet çifti arasındaki dik uzaklık d ise Kuvvet çiftinin(F, -F) momenti,

Mo=Fd

olur. Bir kuvveti doğrultusu değiştirilmeden uygulama noktasından alınıp etki çizgisi dışındaki başka bir noktaya taşımak mümkündür. Bu durum yandaki şekilde ifade edilmeye çalışılmıştır.

- 6 -

1.5. Düzlemde Cismin Dengesi

Kuvvetler sistemi etki eden cismin denge denklemleri

∑F = 0 ve ∑M = 0 dir.

Bir düzlemde(x, y) etkili olan kuvvetler sisteminde rijit bir cismin dengesi için

∑Fx = 0

∑Fy = 0

∑M = 0

Denge denklemleri yazılır.

- 7 -

2. DÜZLEMSEL ALANLARIN AĞIRLIK MERKEZİ

Ağırlık kuvvetlerinin bileşkelerine cismin ağırlığı ve bu kuvvetlerinin bileşkesinin tatbik noktasına cismin ağırlık merkezi denir. Şekildeki gibi bir alanın ağılık merkezinin koordinat değerleri;

A x= ^∫xdA

A y= ^∫ydA

2.1. Bileşik Alanların Ağırlık Merkezi

Bileşik alan öncelikle kendisini meydana getiren Çizelge 1 de verilmiş olan geometrisi bilinen küçük alanlara ayrılır. Her bir alanın ağırlık merkezi koordinat (xi, yi) ve alan(Ai) bilgileri yardımıyla bileşik alanın ağırlık merkezinin koordinatları(x ,y) aşağıdaki şekilde hesaplanılır.

∑

= ∑

i i i

A A x x

∑

= ∑

i i i

A A y y

- 8 -

Çizelge 1. Bazı geometrik alanlara ait ağırlık merkezi ve alan bilgileri

Alan x y Alan(A)

Dikdörtgen b

1 2 h 2

1 bh

Üçgen h

31 bh 2 1

Yarım

daire 0 34r π ²

2 1πr

Dörtte bir

daire 34r π π

34r ²

4 1πr

- 9 -

Şekildeki gibi verilen bileşik alanın belirtilen eksen takımına göre atalet momenti aşağıdaki gibi bir tablo yardımıyla hesaplanabilir.

Alan Ai xi yi xiAi yiAi

① A1 x1 y1 x1A1 y1A1

② A2 x2 y2 x2A2 y2A2

③ A3 x3 y3 x3A3 y3A3

④ -A4 x4 y4 -x4A4 -y4A4

∑ ∑Ai ∑xiAi ∑yiAi

∑

= ∑

i i i

A A x x

∑

= ∑

i i i

A A y y

- 10 -

2.2. Dönel Cisimlerin Hacimleri Pappus-Guldinus teoremleri üç boyutlu dönel cisimlerin hacimlerinin hesabında kullanılır. Dönel cisim

şekildeki gibi bir düzlemsel alanın sabit bir eksen etrafında döndürülmesi ile elde edilen üç boyutlu cisimdir.

TEOREM: Bir dönel cismin hacmi(V), kendisini oluşturmak için kullanılan düzlemsel alan(A) ile bu alanın ağırlık merkezinin (G(x ,y)_{) bu} hacmi oluşturmak için kat edeceği yolun(s) birbiriyle çarpılması sonucu elde edilir.

Şekildeki gibi düzlemsel alan x ekseni

etrafında θ açısı kadar döndürülürse oluşan dönel cismin hacmi:

A y V =θ_x

Benzer düşünce ile eğer A alanı y ekseni etrafında θy radyan kadar döndürülürse oluşacak dönel cismin hacmi;

A x V =θ_y

Burada θx ve θy açısının birimi [radyan] dır. Açı derece olarak biliniyor ise radyana aşağıdaki eşitlik ile çevrilebilir.

] 180

[ = Derece⋅π Radyan

θ

Bir tur yani 360^o döndürülürse bu açı 2µ radyan, 180^o döndürülürse µ radyan olur.

- 11 -

2.3. Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Şekildeki düzlemsel taralı

alanın(belirtilen ölçülerin birimi cm dir);

a) Ağırlık merkezi G(x ,y)nin koordinatlarını belirtilen eksen takımına göre hesaplayınız.

b) x ekseni etrafında 90^o döndürülmesi

sonucu oluşan cismin hacmini hesaplayınız.

c) x ekseni etrafında 180^o döndürülmesi sonucu oluşan cismin hacmini hesaplayınız.

ÇÖZÜM:

a) Şekildeki taralı alan yanda verilen 2 geometrik şeklin birleşiminden oluşur.

Taralı bileşik alan, 1 nolu dikdörtgen ile 2 nolu dikdörtgenin birleşiminden (toplamından) oluşur. Aşağıdaki çizelge ile ağırlık merkezinin koordinatları hesaplanılır.

Alan Ai xi yi xiAi yiAi

① 1526.0 0 47.0 0.0 71722.0

② 360.0 0 20.0 0.0 7200.0

∑ 1886.0 0.0 78922.0

1886

= 0

x = 0 cm

1886 78922

=

y = 41.85 cm

b)

=

= yA

V θ_x =µ/4 x 41.85 x 1886 = 61990.8 cm³ c)

=

= yA

V θ_x =µ/2 x 41.85 x 1886 = 123981.6 cm³

- 12 -

Örnek 2: Şekildeki düzlemsel taralı

alanın(belirtilen ölçülerin birimi cm dir);

a) Ağırlık merkezi G(x ,y)nin koordinatlarını belirtilen eksen takımına göre hesaplayınız.

b) x ekseni etrafında 360^o döndürülmesi sonucu oluşan cismin hacmini hesaplayınız.

c) y ekseni etrafında 90^o döndürülmesi sonucu oluşan cismin hacmini hesaplayınız.

ÇÖZÜM:

a) Şekildeki taralı alan yanda verilen 3 geometrik şeklin birleşimi veya çıkarımından oluşur. Taralı bileşik alan, 1

nolu dikdörtgenden 2 nolu yarım dairenin ve 3 nolu üçgenin çıkarımından oluşur. Aşağıdaki çizelge ile ağırlık merkezinin koordinatları hesaplanılır.

Alan Ai xi yi xiAi yiAi

① 6650.0 35 47.5 232750.0 315875.0

② -981.7 35 70.6 -34361.2 -69321.5

③ -1125.0 35 45.0 -39375.0 -50625.0

∑ 4543.3 159013.8 195928.5

3 . 4543

8 . 159013

=

x = 35.0 cm

3 . 4543

5 . 195928

=

y = 43.1 cm

b)

=

= yA

V θ_x =2µ x 43.1 x 4543.3 = 28546.1 cm³ c)

=

= xA

V θ_y =µ/2 x 35 x 4543.3 = 249778.3 cm³

- 13 -

Örnek 3: Şekildeki gibi y eksenine göre simetri olan düzlemsel taralı alanın(belirtilen ölçülerin birimi cm dir);

a) Ağırlık merkezi G(x ,y)_nin

koordinatlarını belirtilen eksen takımına göre hesaplayınız.

b) x ekseni etrafında 360^o döndürülmesi sonucu oluşan cismin hacmini

hesaplayınız.

ÇÖZÜM:

a) Şekildeki taralı alan yanda verilen 4 geometrik şekilin birleşimi veya

çıkarımından oluşur. Taralı bileşik alan, 1 nolu dikdörtgen ile 2 nolu yarım dairenin birleşimi ile oluşan alandan 3 ve 4 nolu üçgenin çıkarımından oluşur.

Aşağıdaki çizelge ile ağırlık merkezinin koordinatları hesaplanılır.

Alan Ai xi yi xiAi yiAi

① 20.0 0 2.5 0.0 50.0

② 6.3 0 5.8 0.0 36.7

③ -1.5 -1.5 3.7 2.3 -5.5

④ -1.5 1.5 3.7 -2.3 -5.5

∑ 23.3 0.0 75.7

3 . 23

= 0

x = 0 cm

3 . 23

7 .

= 75

y = 3.25 cm b)

=

= yA

V θ_x =2µ x 3.25 x 23.3 = 475.8 cm³

- 14 -

3. RİJİT CİSİMLERİN DENGESİ

İki boyutlu bir cismin tamamıyla dengede olabilmesi için;

ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣMO = 0

Burada O cisim üstünde keyfi bir noktadır. Bunlar iki boyutlu (düzlem) yapıların statik dengesi için 3 denge denklemi olarak bilinir. Yukarıda denklemlerin sağlanabilmesi için yeterli bağların ve bunlara karşılık gelen mesnet reaksiyonların sağlanması lazımdır. Üç ayrı denklem ile üç bilinmeyenin şiddeti belirlenebilir.

SERBEST CİSİM DİYAGRAMI(SCD): Bir cismin denge durumunu incelemeye başlamadan önce bu cisme ait serbest cisim diyagramı(SCD) çizilir ve bu diyagram üzerinde cisme etki eden bütün kuvvetler ölçeksiz olarak gösterilir.

SCD çizilirken izlenecek yol;

- Cisim bağlardan ve diğer cisimlerden ayrıklaştırılır.

- Bağ(mesnet) kuvvetleri gösterilir.

- Dış kuvvetler, şiddet ve doğrultuları ile gösterilir.

- Cismin boyutları belirtilir.

- 15 -

ÖRNEK: 200 kg ağırlığındaki bir platform şekildeki gibi petrol kulesine asılmıştır.

Bağlantı noktalardaki reaksiyon(bağ) kuvvetlerinin bulunması için platformun SCD şekildeki gibi çizilir ve denge denklemleri ile istenilen kuvvetler hesaplanılır.

Gerçek yapı İdealleştirilmiş model Serbest Cisim Diyagramı 3.1. Bağ Çeşitleri ve Reaksiyon Kuvvetleri

Dış kuvvetlerin etkisindeki bir cisim eğer dengede duruyorsa, o zaman cisim hareket etmesini engelleyecek biçimde çeşitli bağlarla çevresine tutturulmuş demektir. Bağlar içinde öteleme serbestliği olanlarına genelde kayıcı ve dönme serbestliği olanların hepsine de mafsallı denir. Eğer bir bağda öteleme serbestliği yoksa ona sabit, dönme serbestliği yoksa ankastre denir.

3.2. Taşıyıcı Sistemler

Verilen yükleri güvenlik sınırları içinde taşıyan rijit yada şekildeğiştirebilen cisimlere taşıyıcı sistemler denir.

Çubuk: Tek boyutlu taşıyıcılar olan çubuklar doğru yada eğri eksenli olabilirler. Diğer iki boyutu(enkesiti) L boyu yanında çok küçük olan cisimlerdir.

Levha ve Plak: Bunlar iki boyutlu yüzeysel taşıyıcılardır. Bunlar iki boyutu diğer boyutu yanında daha büyük olan cisimlerdir.

- 16 -

Tablo 3.1. İki boyutlu Cisimler için Bağlar ve Reaksiyon Kuvvetleri

Bağlantı Tipi Reaksiyon

Sabit Mafsal

Kayıcı Mafsal

Kablo

Ankestre Mesnet

Taşıyıcı sisteme etkiyebilecek kuvvetler, tekil kuvvetler, yayılı kuvvetler ve bağ kuvvetleri diye sınıflandırılabilir.

- 17 -

Tablo 3.2. Yayılı Yükler ile Bunlara Eşdeğer Tekil Yükler

ÖRNEK 1: Şekildeki gibi yüklü olan ABCDE çubuğunda (kirişinde) oluşan reaksiyon(mesnet) kuvvetlerini belirleyiniz.

ÇÖZÜM:

A noktasında sabit mafsal olduğu için Ax ve Ay gibi iki reaksiyon kuvveti, D de kayıcı mafsal olduğu için Dy gibi tekbir reaksiyon kuvveti vardır. ABCDE çubuğunun SCD;

- 18 -

olur.

∑Fx=0 ise Ax=0

∑MA=0 ise

Dyx4-10x1-20x3-5x5=0⇒Dy=23.75 kN

∑Fy=0 ise

Ay+Dy-10-20-5=0

Ay+23.75-10-20-5=0 ⇒Ay=11.25 kN

ÖRNEK 2: Şekildeki gibi yüklü olan ABCD çubuğunda (kirişinde) oluşan reaksiyon(mesnet) kuvvetlerini belirleyiniz.

ÇÖZÜM:

ABCD çubuğunun SCD;

∑Fx=0 ise Ax=0

∑MA=0 ise

Cyx4-15x2-2x3x4.5-15x6=0⇒Cy=36.75 kN

∑Fy=0 ise

Ay -15+Cy -2x3-15=0

Ay -15+36.75 -2x3-15=0 ⇒Ay=-0.75 kN

- 19 -

ÖRNEK 3: Şekildeki gibi yüklü olan konsol kirişteki mesnet tepkilerini hesaplayınız.

Yükler q1 = 2 t/m, q2 = 3 t/m, Boyutlar L1 = 3 m, L2 = 6 m dir.

ÇÖZÜM:

Çubuğun SCD;

ΣFx=0⇒Ax=0

ΣFy=0⇒Ay-12-3=0⇒Ay=15 t ΣM=0⇒M-12x6-3x7=0⇒M=93 t.m

q

q

L1 L2

12 t 3 t Ax M

Ay 6 m 7 m

- 20 -

4. KAFES VE ÇERÇEVE SİSTEMLER 4.1. Kafes Sistemler

Kafes sistemler, doğru eksenli çubukların, mafsallar aracılığı ile birbirlerine bağlandığı ve yüklerin sadece mafsal noktalarına etkidiği kabul edilen çok parçalı taşıyıcı sistemlerdir. Çok daha hafif olmaları nedeniyle, köprü, çatı gibi taşıyıcı sistemlerde tercih edilirler. Kafes sistemini oluşturan çubukların birleşim(mafsal) noktaları kaynaklı, bulonlu ya da perçinli olabilirler ve buraya düğüm noktası denir.

Çubuklar genellikle metaldir ancak bazen ahşapta olabilir.

Kafes sistemlerde çubuk kuvvetleri eksenel normal kuvvet olmakta ve üzerlerinde de herhangi bir moment etkisi meydana gelmemektedir. Çubuk üzerinde eksenel kuvvet ya basınç(-) ya da çekme(+) olacaktır.

Kafes sistemlerde çubuk kuvvetlerini bulmak için kullanılan yöntemler düğüm noktası ve kesim yöntemidir.

- 21 -

DÜĞÜM NOKTASI YÖNTEMİ: Yöntemde işlem sırası;

1) Öncelikle kafes sisteminin SCD çizilir ve ∑Fx=0, ∑Fy=0, ∑M=0 denge denklemleri yardımıyla mesnet reaksiyonları hesap edilir.

2) Her bir düğüm noktasının SCD çizilir. Düğümlerde tüm çubuklar yerine düğümden elemana doğru olacak şekilde çekme kuvveti yazılır.

3) Çözüme 2 veya daha az sayıda bilinmeyen bulunan düğümlerden başlanılarak

∑Fx=0, ∑Fy=0 denge denklemleri yardımıyla bilinmeyen çubuk kuvvetleri hesaplanır. Hesaplanan çubuk kuvveti pozitif ise varsayılan yön(çekme) doğrudur, aksi takdirde çubuktaki kuvvet ters yöndedir(basınç).

ÖRNEK: Şekildeki basit kafes sisteminde bütün çubuk kuvvetlerini bulunuz.

Tanθ=2/3 ⇒θ=33.7^o olur

ÇÖZÜM:

1) Kafesin SCD çizilir ve denge denklemleri yardımıyla mesnet tepkilerini aşağıdaki şekilde bulunur;

∑MA=0; Bx*2-100*3=0 ⇒Bx=150 N

∑Fx=0; Ax + Bx =0 ⇒Ax=-150 N

∑Fy=0; Ay – 100 =0 ⇒Ay=100 N 2) Kafes sisteminin düğüm noktalarına ait SCD

çizilir ve denge denklemleri yardımıyla bütün çubuk kuvvetleri aşağıdaki şekilde bulunur;

C düğüm noktası için denge denklemleri yazılırsa;

∑Fy=0; FAC*sin(33.7)-100=0⇒

- 22 -

FAC=180.2 N(çekme)

∑Fx=0; -FBC-FAC*cos(θ)=0 ⇒-FBC-180.2*cos(33.7)=0⇒FBC=-150 N(basınç) B düğüm noktası için denge denklemleri yazılırsa;

∑Fy=0; FAB=0⇒FAB=0

Böylece bütün çubuk kuvvetleri bulunmuş olur.

KESİM YÖNTEMİ: Kafes sistemde sadece bazı çubuk kuvvetlerin bulunması istendiğinde bu yöntem tercih edilir.

Şekildeki(a) gibi bir kafes sistemindeki S1

çubuk kuvveti bu yöntemle hesaplanmak istenirse izlenecek yol;

1) Önce kafes sisteminin SCD şekil b de görüldüğü gibi çizilir ve ∑Fx=0, ∑Fy=0,

∑M=0 denge denklemleri yardımıyla Ay, Bx ile By mesnet reaksiyonları hesap edilir.

2) Hesabı istenen çubuğu kapsayacak biçimde kafes sistemi hayali olarak kesilerek iki parçaya ayrılır. 3 den fazla çubuğun kesilmemesine dikkat edilir.

S1 çubuğunu kapsayan a – a kesimi yapılırsa şekil c deki gibi ortaya iki tane kafes sistemi çıkar. Kesilen çubukların yerlerine çekme kuvvetleri S1, S2, S3

yerleştirilir.

3) Şekil c deki İki kafes sisteminden istenilen kafes sistemi alınıp ∑Fx=0,

∑Fy=0, ∑M=0 denge denklemleri

yardımıyla S1, S2 ile S3 çubuk kuvvetleri hesap edilir.

- 23 -

ÖRNEK 1: Şekildeki gibi yüklü bir kafes sisteminde mesnet tepkilerini ile 1, 2 ve 3 numaralı çubuk kuvvetlerini hesaplayınız.

Tekil yükler P=1 kN olup bütün dar açılar 45^o dir.

ÇÖZÜM: Kafesin SCD çizilir ve kafes sistemindeki küçük dik üçgenlerin kısa kenarlarına a dersek;

∑MA=0; By*8a-1*a-1*2a-1*3a-1*4a-1*5a- 1*6a-1*7a-1*8a=0

By*8a-36a=0 ⇒By=4.5 kN

∑Fy=0; Ay-1-1-1-1-1-1-1-1-1+By=0 Ay-9+4.5=0⇒Ay=4.5 kN

∑Fx=0;⇒Ax=0

1, 2, 3 çubukları kesilerek elde edilecek olan sağ taraftaki kafes ile kesilen çubukların yerine S1, S2 ve S3 çubuk kuvvetleri yazılması ile oluşan SCD;

∑MD=0;S1*2a+1*a-1*a-1*2a+4.5*2a=0⇒

S1=-3.5 kN

∑Fy=0; S2*cos45-1-1-1-1+4.5=0⇒

S2=-0.707 kN

∑Fx=0; -S1-S2*sin45-S3=0⇒

-(-3.5)-(-0.707)*sin45-S3=0⇒

S3=4 kN

- 24 -

4.2. Çerçeve Sistemler

Kafes sistemlerinden farklı olarak genelde çubuk doğrultusunda olmayan üç ya da daha fazla sayıda kuvvetlerin etki ettiği sistemlerdir. Çerçeveler, yükleri taşımak için dizayn edilmiş taşıyıcı sistemlerdir. Genellikle sabit ve tam bağlıdırlar. Çerçeve sisteminin SCD yada herbir çubuğun SCD çizilerek bağ kuvvetleri hesaplanılır.

ÖRNEK: Şekildeki çerçeve sisteminde; mesnet tepkilerini ve B, D ve E mafsallarda oluşacak bağ kuvvetlerini hesaplayınız. P=200 kN, Q=300 kN olup a=1 m dir.

ÇÖZÜM: Çerçevenin SCD çizilir ve statik denge denklemleri yardımıyla mesnet tepkileri

hesaplanılır;

∑MA=0; Cy*12+200*6-300*7=0⇒Cy=75 kN

∑Fx=0; Cx-200=0⇒Cx=200 kN

∑Fy=0;Ay+Cy-300=0

Ay+75-300=0⇒Ay=225 kN

B, D ve E noktalarındaki bağ kuvvetlerini hesaplayabilmek için her bir çubuk ayrı ayrı incelenir.

AB çubuğunun SCD çizilir ve D noktasında moment denge denklemi yazılırsa;

∑MD=0; Bx*4-By*3- 200*2+225*3=0 4Bx-3By=-275 (1)

- 25 -

CB çubuğunun SCD çizilir ve E noktasında moment denge denklemi yazılırsa;

∑ME=0; Bx*4+By*3+ 200*4+75*3=0 4Bx+3By=-1075 (2)

(1) ve (2) eşitliklerinden;

Bx=-162.5 kN By=-125 kN

Bulunur. Daha sonra CB çubuğunun SCD ile

∑Fx=0; 200-Bx-Ex=0

200-(-162.5)-Ex=0⇒Ex=362.5 kN

∑Fy=0;75-By-Ey=0

75-(-125)-Ey=0⇒Ey=200 kN bulunur.

AB Çubuğunun SCD ve statik denge denklemleri ile

∑Fx=0; Dx+Bx-200=0

Dx+(-162.5)-200=0⇒Dx=362.5 kN

∑Fy=0;Dy+By+225=0

Dy+(-125)+225=0⇒Dy=-100 kN

- 26 -

5. SÜRTÜNME

İki pürüzlü yüzey birbirleriyle temasta ise biri ötekine göre hareket etmek isteyince sürtünme kuvveti denen teğetsel kuvvetler ortaya çıkar.

Bir cismin diğer bir cisim üzerinde kaymaya başladığı ana kadar ki sürtünmeye statik sürtünme denir. Bu sürtünmenin tabiatı tam olarak bilinememektedir. Bir cisim diğer bir cisim üzerinde hareket halindeyken söz konusu olan sürtünmeye kinetik sürtünme denir.

Sürtünme katsayısı(µ) normal kuvvetten(N) bağımsızdır. Fakat sürtünme kuvveti(Fs) normal kuvvetle doğru orantılıdır.

Fs = μN

Kinetik sürtünme katsayısı statik sürtünme katsayısından küçüktür ve yaklaşık 0.75 ine eşittir.

Bazı cisimlerin statik sürtünme katsayıları(µs) şöyledir.

Metal ile metal 0,15 – 0,60 arası Metal ile tahta 0,20 – 0,60 arası Tahta ile tahta 0,25 – 0,50 arası Lastik ile beton 0,60 – 0,80 arası Lastik ile buz 0,05 – 0,20 arası

Çelik ile buz 0,03

Lastik ile asfalt 0,80

SÜRTÜNMEDE DENGE DURUMLARI:Bir cisme, onu harekete zorlayacak bir kuvvet etkidiği zaman sürtünme kuvveti oluşur. Şekil (a) daki W ağırlığındaki cisme

yatayla θ açısıyla etkiyen P kuvvetinin dik bileşenleri;

Px=Pcosθ ve Py=Psinθ

dir. Cismin SCD Şekil (b) de görüldüğü gibi olur. Px in şiddetine bağlı olarak dört farklı durum söz konusu olur;

-Px=0: Bu durumda θ=90^o dir. Şekil (c) deki SCD ve denge denklemlerinden;

- 27 -

∑Fy=0; N-Py-W=0⇒N=W+Py

∑Fx=0; Fs=0

bulunur. Cisim hareket etmez.

-Px<(Fs)max: Bu durumda cisim hareket etmez.

∑Fy=0; N-Py-W=0⇒N=W+Py

∑Fx=0; Fs=Px<(Fs)max (Fs)max=µsN

-Px=(Fs)max: Bu durum cismin harekete başlangıç anıdır.

∑Fy=0; N-Py-W=0⇒N=W+Py

∑Fx=0; Fs=Px=(Fs)max (Fs)max=µsN

-Px>(Fs)max: Bu durum cismin harekete başladığı andır.

∑Fy=0; N-Py-W=0⇒N=W+Py

∑Fx=max ve ; Fk=µkN<(Fs)max (Fs)max=µsN

ÖRNEK: Şekildeki rijit cismin yukarıya doğru harekete başlayabilmesi için gerekli en küçük P kuvvetini bulunuz. Cisim ile yüzey arasındaki statik sürtünme katsayısı µ=0.176, eğik yüzeyin yatayla yaptığı açı θ=20^o ve cismin ağırlığı W=86.6 kN dur.

ÇÖZÜM: Cismin SCD çizilirse;

∑Fy=0; N*cosθ-Fs*sinθ-W=0 N*cosθ-(µsN)*sinθ-W=0

N*cos20-(0.176*N)*sin20-86.6=0⇒

N=98.47 kN

∑Fx=0; P-Fs*cosθ-N*sinθ=0

- 28 -

P-(µsN)*cosθ-N*sinθ=0

P-(0.176*98.47)*cos20-98.47*sin20=0⇒

P=50 kN

Kayış Sürtünmesi

Mühendislik uygulamaları içinde kayış ya da halat gibi bükülebilen taşıyıcı elemanlar ile makara ya da kasnak arasında karşılaşılan sürtünme olayıdır ve buna kayış sürtünmesi denir.

Şekildeki kayış kasnak sisteminde kayışın kasnağa temas ettiği yüzey B radyan açısı ile ifade edilirse, T2 kuvveti T1 kuvvetinin yanı sıra kayışın ya da halatın kasnak üstündeki sürtünmesini de karşılaması gerekir o nedenle T2>T1 olmalıdır. T1 ile T2

arasındaki ilişki;

eµβ

T T₂ = ₁

olur. Burada, µ halat ile kasnak arasındaki sürtünme katsayısı, β radyan cinsinden sarım açısı olup β>2π olabilir. Örneğin halat direğe n kere sarılı ise β=2πn olur.

ÖRNEK: Yanda verilen sistemde A makarası sabit ve sürtünmesiz olup, sabit B ve C millerinin

yüzeyindeki sürtünme katsayısı µ=0.20 dir. θ=50^o, α=75^o, kablonun en fazla 500 KN(T=500

KN)taşıyabileceği bilindiğine göre; T kuvveti ile çekilerek hareket ettirilmek istenen W ağırlığının alabileceği en büyük değeri bulunuz.

- 29 -

ÇÖZÜM: Sürtünmeli B ce C millerinin SCD şekildeki gibi olur.

B milin kayış sürtünmesi denkleminden, eµβ

T

T₂ = ₁ ⇒500=T₁e^µβ

olur. Kablonun mile sürtündüğü yüzey açısı(βB) ve sürtünme katsayısı(µ);

βB=140/180*π=0.78π ve µ=0.2 değerleri ile

2 . 0 78 . 1 0

500 e π

T = ⇒ T1=306.3 kN

olur. C milin kayış sürtünme denkleminden, eµβ

T T₁= _o

Kablonun C miline sürtündüğü yüzey açısı(βC);

βC=165/180*π=0.93π ile

2 . 0 93 . 0

3 . 306 e π

T_o = ⇒ To=170.8 kN

olur. To=W ⇒ W=170.8 kN

- 30 -