DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

7. BÖLÜM

DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

Bir V vektör uzayını bir başka W vektör uzayına dönüştüren fonksiyonlar şu şekilde gösterilir:

W V

T : 

Burada kullanılan terminoloji fonksiyonlarla aynıdır. Örneğin, V vektör uzayına T fonksiyonunun tanım kümesi denir. Eğer v vektörü, V vektör uzayının elemanı ve w vektörü de W vektör uzayının elemanı ise

 ^{v  w}

T

w vektörü, T fonksiyonu için v vektörünün görüntüsüdür. V uzayında tanımlı

tüm v vektörlerine T fonksiyonunun tanım kümesi, ^T ^{v  w} şeklinde tanımlanmış w vektörlerine de görüntü kümesi denir.

DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

Örnek: ^2de tanımlı herhangi bir v v v1, 2 vektörü için ^{T:2 2} şu şekilde tanımlanmıştır:

 1, 2  1 2, 1 2 2

T v v  v v v  v

a) ^{v  } ^{1, 2}vektörünün görüntü kümesini

b) ^{w } ^1,11vektörünün tanım kümesini bulunuz.

DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

Çözüm:

a) ^{v  } ^{1, 2} için,

 ^{1, 2}  ^{1 2, 1 2 2} 

T      

^{ } ^3,3

b) Eğer ^{T v v} ₁^, ₂ ^{ v}₁^{v v}₂^, ₁^2v₂ ^{ 1,11}^ise

1 2 1

v   v

1 2 2 11

v  v  olur.

Bu denklem sisteminin tek çözümü v1 3 ve v₂  4‘tür. Bu durumda ^1,11’in R²’deki tanım kümesi  ^{3, 4} ‘tür.

DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

Tanım: Doğrusal Dönüşüm

V ve W birer vektör uzayı olmak üzere,

W V

T: 

fonksiyonu aşağıdaki özellikleri her bir u ve v için sağladığında V vektör uzayını W vektör uzayına dönüştüren bir doğrusal dönüşümü tanımlar:

a. T(u+v)=T(u)+T(v)

b. T(cu)=cT(u) , tüm ^c için.

DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

Yukarıdaki iki koşul birleştirilerek,

T(cu+dv)=cT(u)+dT(v) şeklinde doğrusal olma koşulu olarak ifade edilebilir.

T(u+v)=

T(u)+T(v)

u+v

u v

T(u)

T(v)

T(cu)=cT(u)

T(u)

u cu

cT(u)

DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

Örnek: T, vektörlere u0 ekleyen bir dönüşüm olsun. Bu dönüşüm doğrusal mıdır?

Çözüm:

T(u)=u+ u₀ T(v)=v+ u₀ olup, V uzayında

T(u+v)= u+v+ u₀

ve W uzayında

T(u)+ T(v)= u+ u₀+ v+ u₀ olur ve doğrusallık şartı sağlanmaz.

Sıfır Dö üşü -Biri Dö üşü

Teorem:

İki vektör uzayı V ve W için, ^{T :V W} dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

 

T v  0 , tüm vV _için

Bu durumda T bir doğrusal dönüşümdür ve sıfır dönüşümü olarak adlandırılır.

Teorem:

Bir vektör uzayı V için T V: V dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

 

T v  v_{, tüm} vV _için

Bu durumda T bir doğrusal dönüşümdür ve V uzayının birim dönüşümü olarak adlandırılır

DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

Doğrusal Dönüşümün Özellikleri:

W V

T :  ve u ile v, V’de tanımlı birer vektör olmak üzere, doğrusal dönüşüm T şu özellikleri sağlamaktadır:

1. T ⁰ ⁰

İspat: ^T ^{0 T} ^{00  0T} ^{0 0 T}

 

 

 

2. T(v)  T( )v

İspat:^T

 

  



^{   }

^{ }

3. ^T





 

 

İspat:^{T u}







 



^{ }

^{ }

4. Eğer v c₁v₁ c₂v₂  c_nv_n ise,

 

 

 

 

T v c T v c T v  c T v

Bir Matris ile Ta ı la a Doğrusal Dö üşü

Bir A matrisi, bir x vektörüyle çarpıldığında bu işlem x’i bir başka vektör Ax’e dönüştürür. İşlemin girdisi x vektörü, çıktısı Ax vektörüdür. Bu dönüşüm işleminin mantığı fonksiyonlarla aynıdır. Fakat burada amaç tüm x vektörlerindeki değişimi görmektir. Her bir x vektörü, A matrisi ile çarpılarak aslında x vektörünün tanımlı olduğu tüm uzay dönüştürülmüş olur.

Bir Matris ile Ta ı la a Doğrusal Dö üşü

Boyutlu m×n olan bir A matrisi ele alınsın. Aşağıdaki gibi tanımlanan bir T fonksiyonu, ^T ^{v  Av}

n’den ^m ’e bir doğrusal dönüşümdür. Burada m×n boyutlu bir matrisle çarpım

kuralı dikkate alınarak ⁿuzayındaki vektörler n×1 boyutlu, ^m uzayındaki vektörler de m×1boyutlu vektörlerle temsil edilmektedir.

m×n boyutlu sıfır matrisi ⁿ’den ^m ’e sıfır dönüşümünü, n×n boyutlu birim matris de

n’den ⁿ’e birim dönüşümü tanımlamaktadır.

DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

Teorem:

Bir A matrisinin boyutu m×n olmak üzere, verilen bir v vektörü için,

1

2 n

n

v v

v

  

  

  

 

v

 

1 2

n

v T v

v

  

   

  

  v Av A

şeklinde tanımlanan bir T dönüşümü ⁿ _’den ^m ’e tanımlı bir doğrusal dönüşümdür.

DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

İspat:

, ⁿ

u v ve c bir skaler olmak üzere, matris çarpımları ile ilgili özellikler kullanılarak;

           

T uv  A u v  A u  A v T u T v ve

       

T cu  A cu  cA u  cT u olur.

Bir Matris ile Ta ı la a Doğrusal Dö üşü























































































n mn m

m

n n

n n

n mn

m m

n n

n a v a v a v

v a v

a v

a

v a v

a v

a

v v v

a a

a

a a

a

a a

a

u u u



























2 2 1

1

2 2

22 1

21

1 2

12 1

11

2 1

2 1

2 22

21

1 12

11

2 1

’de bir vektör

’de bir vektör

Bir Matris ile Ta ı la a Doğrusal Dö üşü

ya da

n mn m

m m

n n

n n

v a v

a v

a u

v a v

a v

a u

v a v

a v

a u



























2 2 1

1

2 2

22 1

21 2

1 2

12 1

11 1

Burada u_i’ler vj’lerin doğrusal birer fonksiyonudur.

DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

Örnek: Bir doğrusal dönüşüm ^{T :n m} , ^T ^{v  Av} şeklinde tanımlanmıştır.

Buna göre aşağıdaki matrisler için doğrusal dönüşümün boyutlarını bulunuz.

a)

0 1 1 2 3 0 4 2 1

  

 

  

 

 

A b)

2 3

5 0 0 2

  

 

  

 

 

A c) 1 0 1 2

3 1 0 0

  

  

 

A

DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

Çözüm:

a) Matrisin boyutu 3×3 olduğu için bu dönüşüm  ³ ‘ten ³’e tanımlıdır.

1 1

2 2

3 3

0 1 1

2 3 0

4 2 1

v u

v u

v u

      

     

      

     

     

Av

R3_’te

bir vektör

R3_’te

bir vektör

b)Matrisin boyutu 3×2 olduğu için bu dönüşüm  ² ‘den ³ ’e tanımlıdır.

c)Matrisin boyutu 2×4 olduğu için bu dönüşüm  ⁴ ‘den ² ’e tanımlıdır.

Örnek: Doğrusal dönüşüm tanımlamayan bazı fonksiyonlar a. ^f

 

Çünkü sin





 









 

sin      

b. ^f

 

Çünkü





c. f

 

Çünkü





Burada

 

  

 



f Böylece





 

 

f    .

Matrislerle Ta ı la a Doğrusal Dö üşü ler

A matrisinin boyutu m×n olsun. Aşağıdaki gibi tanımlanan T fonksiyonu

 

T

 ’den n  ’ye doğrusal bir dönüşümdür. ^m



Aşağıdaki A matrisi ile tanımlanan

: 

 

dönüşümü

 

 



 

  





cos sin

sin

cos

 ’de tanımlı tüm vektörleri, orijine göre saat yönünün tersine

θ açısı kadar döndürme özelliğine sahiptir.

İspat: T doğrusal bir dönüşümdür. v  x,y vektörü de ²’de tanımlı olsun. Kutupsal koordinatlar kullanılarak v vektörü

 ^x,y

 v

rcos,rsin



şeklinde ifade edilebilir. Burada r, v vektörünün uzunluğu ve α ise pozitif x-ekseni ile v vektörü arasındaki saat yönünün tersi olan açıdır. Doğrusal dönüşüm T, v vektörüne uygulanarak,

 v  Av T



 







 



 

 y

x









cos sin

sin cos



 







 



 

 











sin cos cos

sin

sin cos

r r



 







 

















sin cos cos

sin

sin sin cos

cos

r r

r r

 

 ^_^







 







 sin cos r r

elde edilir.

T(v) vektörünün uzunluğu v vektörü ile aynıdır. Pozitif x-ekseni ile T(v) arasındaki açı θ+α

olduğu için T(v) dönüşümü aşağıdaki şekilde de görüldüğü gibi v vektörünün θ açısı kadar saat yönünde döndürülmesini sağlar.

 Bir Noktanın İzdüşümü

Aşağıdaki A matrisi ile gösterilen T :³  ³ dönüşümüne



















0 0

0

0 1

0

0 0

1 A

3’te izdüşüm denir. Eğer ^{v }





  



T v  ’dır. Bir başka deyişle, T dönüşümü ³_’te tanımlı her bir vektörün xy-düzlemine dik izdüşümünü almaktadır.

 Matrisin Transpozu

m n n

m M

M

T : _,  _, fonksiyonu, boyutu m×n olan A matrisini transpozuna atayan bir fonksiyon olsun.

 

T A  A

Burada T doğrusal bir dönüşümdür.

İspat: A ve B boyutları m×n olan iki matris olsun.



 



   

T    ^T  ^T  ^T   ve

   

 

 

T  ^T  ^T 

olur. Böylece T, Mm_,n’den Mn_,m’ye doğursal bir dönüşümdür.

Doğrusal Dö üşü ü Çekirdeği ve Görüntüsü

Herhangi bir doğrusal dönüşüm T

:



ifadeyle T

 

 

bulunmadığıdır. Bu yapıdaki tüm bileşenlerin tamamına T’nin çekirdeği denir.

Tanım: Bir Doğrusal Dönüşümün Çekirdeği W

V

T

: 

 

koşulunu sağlayan tüm v vektörleri kümesine T’nin çekirdeği denir ve ker(T) ile gösterilir.

Örnek: Boyutu 3×2 olan bir A matrisini transpozuna atayan

3 , 2 2

,

: M3 M

T  dönüşümünü çekirdeğini bulunuz.

Verilen bu doğrusal dönüşüm için M3,2’de 3×2 boyutlu sıfır matrisi transpozu M_2,3’te yine sıfır matrisi olan yegane

matristir. Böylece T’nin çekirdeği M3,2’de yer alan sıfır matrisidir.

Örnek:

a. T :V W sıfır dönüşümünün çekirdeği V’den

oluşmaktadır. Çünkü V’deki tüm v vektörleri, T

 

b. T :V W birim dönüşümünün çekirdeği sadece sıfır vektöründen oluşmaktadır. ker

   

Örnek: Tx, y,z  x,y,0 ile gösterilen izdüşüm T :³ ³’ün çekirdeğini bulunuz.

Bu doğrusal dönüşüm ³’te bir vektör olan (x,y,z)’yi xy-eksenindeki (x,y,0) vektörüne iz düşürmektedir. Bu durumda çekirdek, z-ekseninde yer alan tüm vektörlerden oluşmaktadır.

  0,0, : bir reelsayidir

ker T  z z

Teorem: Çekirdek V’nin bir alt uzayıdır W

V

T :  doğrusal dönüşümünün çekirdeği, V tanım kümesinin bir alt uzayıdır.

İspat: ker(T)’nin, V’nin boş olmayan bir altkümesi olduğu

bilinmektedir. Bu durumda ker(T)’nin V’nin alt uzayı olduğu, vektörlerin toplamı ve skaler çarpımı altında kapalılığı ile

ispatlanabilir. u ve v, T’nin çekirdeğinde yer alan iki vektör olsun. O halde ^T





   

Aynı zamanda c bir skaler olmak üzere ^T

 

 

’dır. cu da çekirdekte yer almaktadır.

Teorem: T :ⁿ ^m, ^T

 

dönüşüm olsun. Bu durumda T’nin çekirdeği Ax  denklem 0 sisteminin çözüm uzayına eşittir.

Doğrusal Dö üşü ü Görü tüsü

Çekirdek, bir doğrusal dönüşümle alakalı iki kritik alt uzaydan bir tanesidir. Diğeri ise görüntüdür ve range(T) ile gösterilir.

W V

T :  dönüşümünün görüntüsü, V’deki vektörleri görüntüleyen W’daki tüm w vektörlerinin kümesidir.

    



range T  T v v V

Teorem: T’nin görüntüsü W’nun alt uzayıdır.

W V

T :  doğrusal dönüşümünün görüntüsü, W’nun alt uzayıdır.

İspat: T’nin görüntüsü boş küme değildir. Çünkü ^T

 

görüntünün sıfır vektörünü içerdiği anlaşılmaktadır. Vektör toplamı altında kapalılığını göstermek için, T

 

 

   





T

toplamı T’nin görüntüsündedir.

Skaler çarpım altında kapalılığı göstermek için ^T

 

görüntüsünde yer alan bir vektör ve c bir skaler olsun. u, V’de yer aldığı için cu da V’de yer alır. Böylece ^cT

 

 

Not:

T : V  W doğrusal dönüşümünün çekirdeği ve görüntüsü sırasıyla V ve W’nun alt uzaylarıdır.

Tanım

Kümesi Çekirdek

Görüntü

Teorem: T :ⁿ ^m, ^T

 

dönüşüm olsun. A matrisinin sütun uzayı, T’nin görüntüsüne eşittir.

Doğrusal Dö üşü ü Ra kı ı ve Boşluğu u Ta ı ı

W V

T

:  bir doğrusal dönüşüm olsun. T’nin çekirdeğinin boyutuna boşluk denir ve

 

ile gösterilir. T’nin

görüntüsünün boyutuna rank denir ve

 

ile gösterilir.

Teorem: Rank ve boşluğun toplamı W

V

T :  ^{, n-}boyutlu vektör uzayı V’den W vektör uzayına tanımlı doğrusal bir dönüşüm olsun. Bu durumda görüntü ve çekirdeğin boyutlarının toplamı, tanım kümesinin boyutuna eşittir.

rank(T) + nullity(T) = n ya da

boyut(görüntü) + boyut(çekirdek) = boyut(tanım kümesi)

İspat: T dönüşümü, boyutu m×n olan bir A matrisi ile tanımlansın. A matrisinin rankı r olmak üzere,

rank(T) = boyut(T’nin görüntüsü) = boyut(sütun uzayı) = rank(A) = r

Aynı zamanda,

nullity(T) = boyut(T’nin çekirdeği) = boyut( Ax  0_{’ın çözüm} uzayı) = n – r

Böylece,

rank(T) + nullity(T) = r + (n – r) = n

Bire Bir ve Örte Doğrusal Dö üşü ler

Bu bölümde cevaplanması gereken ilk soru: doğrusal bir

dönüşümün tanım kümesinde yer alan ne kadar vektörün sıfır vektörüne atandığıdır. Eğer sıfır vektörü sadece ^T

 

v vektörü ise, T bire birdir. T

:



durumlarda bire birdir. Aynı zamanda buna denk olarak, T

sadece ve sadece V’de yer alan tüm u ve v için ^T

 

 

u = v geçerli ise bire birdir.

Bire bir

Bire bir değil

Teorem: Bire bir doğrusal dönüşümler W

V

T :  doğrusal bir dönüşüm olsun. T sadece ve sadece ^ker

   

ise bire birdir.

İspat: T’nin bire bir olduğu varsayılsın. O halde ^T

 

v  ’dır. Bu durumda ^ker

   

   

 

 

T  olsun. T doğrusal bir dönüşüm olduğu için,





   

T

Buna göre u – v, T’nin çekirdeğinde yer almaktadır ve 0’a eşit olmalıdır.

Bu durumda u = v ve T de bire bir olmalıdır.

Bir T :V W fonksiyonu, W’daki her eleman V’de bir ön görüntüye sahip olduğunda örtendir. Bir başka deyişle T, W üzerine W, T’nin görüntüsüne eşit olduğunda örtendir.

Teorem: Örten Doğrusal Dönüşümler W

V

T :  doğrusal bir dönüşüm ve W’nun boyutu sonlu olsun. Bu durumda T, rankı W’nun boyutuna eşit olduğunda örtendir.

Teorem: Bire bir ve Örten Doğrusal Dönüşümler W

V

T :  doğrusal bir dönüşüm, V ve W da n-boyutlu vektör uzayları olsun. Bu durumda T sadece ve sadece örten olduğunda bire birdir.

İspat: Eğer T bire bir ise, ^ker

   



   



boyut(T’nin görüntüsü) = n- boyut



 



 

 

Böylece T bire birdir.

Örnek: T :ⁿ ^m, ^T

 

dönüşüm olsun. Buna göre T’nin boşluğunu ve rankını bularak T’nin bire bir mi örten mi olduğunu belirleyiniz.

a)



















1 0

0

1 1

0

0 2

1

A b)



















0 0

1 0

2 1

A

c) 



 





 

1 1

0

0 2

A 1 d)



















0 0

0

1 1

0

0 2

1 A

m

T :n  ^Boyut(tk) Boyut(görüntü) Rank(T)

Boyut(Çekirdek)

Boşluk(T) Birebir Örten

a)T :³  ³ 3 3 0 Evet Evet

b)T :² ³ 2 2 0 Evet Hayır

c)T :³ ² 3 2 1 Hayır Evet

d)T :³ ³ 3 2 1 Hayır Hayır