Compressed sensing on ambiguity function domain for high resolution detection

Y ¨uksek C

¸ ¨oz ¨un ¨url ¨ukl ¨u Tespit ic¸in Belirsizlik Fonksiyonu D ¨uzleminde

Sıkıs¸tırılmıs¸ Algılama

Compressed Sensing on Ambiguity Function Domain for High Resolution

Detection

Mehmet B. G¨uldo˘gan, Mert Pilancı, Orhan Arıkan

Elektrik Elektronik M¨uhendisli˘gi B¨ol¨um¨u

Bilkent ¨

Universitesi, Ankara

{guldogan,pilanci,oarikan}@bilkent.edu.tr

¨

Ozetc¸e

Bu makalede, seyrek (sparse) c¸okyollu kanallarda g¨uvenilir bir s¸ekilde y¨uksek c¸¨oz¨un¨url¨ukl¨u tespit yapabilmek ic¸in sıkıs¸tırılmıs¸ algılama (CS) tekniklerinin kullanıldı˘gı yeni bir yaklas¸ım sunulmus¸tur. Halen kullanılan seyrek geri elde etme teknikleri kablosuz kanal modellemesinde ve radar sinyal is¸lemede do˘grudan uygulandı˘gında iyi sonuc¸lar vermemektedir. Burada, c¸okyollu sinyal birles¸enlerinin zaman-frekans c¸es¸itlili˘ginden verimli bir s¸ekilde istifade etmek ic¸in c¸apraz belirsizlik fonksiyonu (CAF) kullanılarak geri elde etme problemi za-man d¨uzleminden zaza-man-frekans d¨uzlemine transfer edilmis¸tir. Sim¨ulasyon sonuc¸ları, ¨onerilen CAF tabanlı sıkıs¸tırılmıs¸ algılama yaklas¸ımının kazandırdı˘gı performans kazancını ve g¨uvenirli˘gi desteklemektedir.

Abstract

In this paper, by using compressed sensing techniques, a new approach to achieve robust high resolution detection in sparse multipath channels is presented. Currently used sparse recon-struction techniques are not immediately applicable in wireless channel modeling and radar signal processing. Here, we make use of the cross-ambiguity function (CAF) and transformed the reconstruction problem from time to delay-Doppler domain for efficient exploitation of the delay-Doppler diversity of the multi-path components. Simulation results quantify the performance gain and robustness obtained by this new CAF based com-pressed sensing approach.

1. Giris¸

Literat¨urde seyrek sinyal geri elde etme (sparse signal re-covery) veya sıkıs¸tırılmıs¸ ¨ornekleme (Compressive Sampling) olarak da bilinen sıkıs¸tırılmıs¸ algılama (Compressed Sensing) teorisi ilk olarak [1],[2]’de ¨onerilmis¸tir. Sıkıs¸tırılmıs¸ algılama probleminde temel olarak iki tane birles¸enden bahsedilebilir: 1) b¨uy¨uk-boyutlu verideki kritik bilgiyi do˘gru bir s¸ekilde c¸ıkartabilecek algılama vekt¨orlerinin olus¸turulması, 2) sonuc¸ projeksiyonlardan veriyi do˘gru ve d¨us¸¨uk hesaplama maliyeti ile tekrar ¨uretecek y¨ontemlerin gelis¸tirilmesi. Yakın zamanda sıkıs¸tırılmıs¸ algılama fikrinin kablosuz kanal modellemesinde ve radar sistemlerinde kullanımı ¨onerilmis¸tir [3],[4],[5]. Bir-birlerine yakın hedefler ¨ust ¨uste binmis¸ belirsizlik fonksiyon-larına sahiptir. Bu durum zaman-Doppler d¨uzlemi ¨uzerindeki belli bir alan ic¸inde bir hedefin gerc¸ek konumunu ve bu alan ic¸inde kac¸ hedefin bulundu˘gunu belirsiz hale getirir. Sonuc¸

olarak, klasik radar uygulamalarında, hedefler arası gecikme-hız c¸¨oz¨un¨url¨u˘g¨u radar belirsizlik presibiyle sınırlıdır. Herman ve Strohmer tarafından [3]’de, zaman-Doppler alanı ¨uzerinde hedeflerin seyrek konus¸landı˘gı durumda belli kos¸ullar altında uyumlu filtre yapısı yerine sıkıs¸tırılmıs¸ algılama teknikleri kullanılarak y¨uksek c¸¨oz¨un¨url¨ukte hedef tespiti yapılabildi˘gi g¨osterilmis¸tir.

C¸ okyollu haberles¸me kanallarının modellenmesinde tipik olarak faz kipli zaman-bantgenis¸li˘gi c¸arpımları b¨uy¨uk sinyaller kullanılmaktadır. Bu sinyallerin CAF’leri zaman-frekans d¨uzlemi ¨uzerinde c¸¨oz¨un¨url¨uk h¨ucresi olarak adlandırılan oldukc¸a k¨uc¸¨uk bir alanda yo˘gunlas¸mıs¸tır. [6]’da, c¸okyollu sinyal kaynaklarının zaman-Doppler d¨uzlemindeki k¨umeli da˘gılımdan istifade etmek amacıyla alıcı c¸ıktısı CAF kul-lanılarak zaman-Doppler d¨uzlemine tas¸ınmıs¸tır. Bu tas¸ınma sonucunda zamanda ¨ort¨us¸en sinyal biles¸enleri zaman-Doppler k¨umelerine ayrılmıs¸tır. Bu sayede orijinal kanal kestirim lemi herbir k¨ume ic¸inde yapılması gereken kanal kestirim prob-lemlerine indirgenmis¸tir. Herbir k¨ume ic¸erisinde daha az sayıda sinyal kayna˘gı oldu˘gu ic¸in kanal kestirim probleminin k¨umeler ¨uzerinden c¸¨oz¨ulmesinde b¨uy¨uk avantajlar vardır.

Bu makalede, [3]’de altyapısı anlatılan sıkıs¸tırılmıs¸ algılama tabanlı tekni˘gin, [6]’da bas¸arımı ispatlanan CAF ta-banlı teknikle birles¸tirilerek bas¸arımı y¨uksek bir sıkıs¸tırılmıs¸ algılama tekni˘gi ¨onerilmis¸tir.

2. Sinyal Modeli ve Belirsizlik Fonksiyonu

Bu b¨ol¨umde, c¸okyollu kanallar ic¸in yaygın olarak kullanılan parametrik bir kanal modeli tanıtılacaktır. C¸ okyollu bir or-tamda, g¨onderilen sinyalin zayıflamıs¸, gecikmis¸ ve Doppler kaymasına u˘gramıs¸ kopyaları alıcı anten tarafından algılanır:

y(t) =

d



i=1

ζis(t − τi)ej2πνit+ n(t) , (1)

burada d ortamdaki sinyal kayna˘gı sayısını, ζi i. kayna˘gın

u˘gradı˘gı t¨um zayıflama ve faz kaymalarını ic¸eren kompleks c¸arpanı,s(t) veri sinyalini, τii. kayna˘gın zaman gecikmesini,

νi i. kayna˘gın Doppler kaymasını ve n(t) kompleks

daire-sel simetrik Gauss g¨ur¨ult¨u vekt¨or¨un¨u belirtir. Tipik olarak haberles¸mede kullanılan sinyaller faz ve frekans kipli oldukları ic¸in, bu sinyallere ait c¸apraz belirsizlik fonksiyonları zaman-Doppler alanında, c¸¨oz¨un¨url¨uk h¨ucresi olarak adlandırılan k¨uc¸¨uk bir alanda yo˘gunlas¸mıs¸tır. Literat¨urde de˘gis¸ik versiyonları ol-makla beraber, alıcı sinyaliy(t) ve verici sinyali s(t) arasındaki

65

SIU2010 - IEEE 18.Sinyal isleme ve iletisim uygulamalari kurultayi - Diyarbakir

CAF’in simetrik versiyonu as¸a˘gıdaki gibi yazılabilir [7]:

χ

y,s(τ, ν) =  _∞ −∞y  t +τ 2  s∗t −τ 2  e−j2πνtdt . (2) E˘ger y(t), s(t)’nin zaman gecikmesine ve Doppler kay-masına u˘gramıs¸ hali ise kompleks de˘gerli

χy,s

(τ, ν)’in salt b¨uy¨ukl¨u˘g¨un¨un maksimum zirve kordinatları bu zaman gecikmesi ve Doppler kaymasına kars¸ılık gelmektedir. Sonuc¸ olarak CAF bize zaman gecikmesi-Doppler alanında bir tespit d¨uzlemi yaratmaktadır.

3. Sıkıs¸tırılmıs¸ Algılama (CS)

Sıkıs¸tırılmıs¸ algılama teknikleri y = Ax s¸eklinde verilen az denklemli (underdetermined) do˘grusal bir ¨olc¸¨um modeli kul-lanarak sadece K tane sıfırdan farklı de˘gere sahip M uzun-luktaki bir x vekt¨or¨un¨un kestirimi ic¸in kullanılabilir. A s¨ozl¨uk (dictionary) matrisinin boyutlarıN × M ise, as¸a˘gıdaki durum sa˘glandı˘gında x vekt¨or¨u garantili olarak bulunabilir [8]:

K < (μ(A)−1+ 1)/2 (3) burada (11)’de tanımlanan μ(A), A matrisinin benzes¸im (co-herence) ¨ozelli˘gini ifade eder. Bu durum sa˘glandı˘gı zaman x vekt¨or¨u as¸a˘gıdaki optimizasyon probleminin c¸¨oz¨um¨u olarak elde edilebilir:

minx0 s.t. y= Ax . (4) Bu problemin hesaplama maliyeti c¸ok y¨uksek oldu˘gu ic¸in, bunun yerine do˘grusal programlama teknikleri kullanılarak c¸¨oz¨ulebilecek as¸a˘gıdaki yaklas¸ım kullanılır:

minx1 s.t. y= Ax . (5)

E˘ger, A matrisi ve x’in seyrek yapısı bazı s¸artları sa˘glar ise (4) ve (5) aynı tekil c¸¨oz¨ume sahip olurlar [1]. Bu s¸artlardan biri kısıtlanmıs¸ isometry ¨ozelli˘gidir (restricted isometry prop-erty, (RIP)) [9]. Bir di˘geri ise A matrisinin kolonlarının yeteri kadar benzes¸imsiz (incoherent) olmasıdır. Bu makalede benzes¸imsizlik ¨ozelli˘gi baz alınmıs¸tır. Literat¨urde c¸es¸itli geri elde etme teknikleri mevcuttur [10]. Bu c¸alıs¸mada geri elde etme metodu olarak hızlı ve bas¸arılı sonuc¸lar veren dik ardıs¸ık es¸leme (orthogonal matching pursuit, (OMP)) kullanılmıs¸tır [8].

4. CS Kullanılarak Kanal Kestirimi

Bilinmeyen haberles¸me kanalının H∈ CN ×N2_{matrisi ile ifade}

edildi˘gini ve (Hi)N

2₋₁

i=0 s¸eklinde bir birim dikgen taban

(or-thonormal basis) oldu˘gunu varsayalım. H matrisini as¸a˘gıdaki gibi betimlemek m¨umk¨und¨ur:

H=

N_2−1 l=0

xlHl. (6)

Temel amac¸xlkatsayılarını belirlemektir. Hlzaman ve frekans

¨oteleme matrisleri cinsinden s¸u s¸ekilde yazılabilir:

Hl= Pl mod NZl/N (7)

burada sırasıylaN × N birim kaydırma ve kipleme matrisleri:

Z= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 1 1 0 . ._. . ._. 0 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦P= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ wN0 0 . ._. 0 wN−1 N ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , (8)

wN = e2πj/N ve . tabana yuvarlama fonksiyonunu ifade

eder.xlkatsayılarını belirlemeye y¨onelik ve A matrisini

yeter-ince benzes¸imsiz hale getirmek ic¸in ¨ozel sec¸ilmis¸ test fonsiyon-ları kullanılmalıdır. Bu fonksiyonlara en g¨uzel ¨orneklerden biri Alltop dizisidir s= (sn)N −1n=0,N asal sayı ve N > 5, [11]:

sn= 1√

Ne

2πjn3_/N

. (9)

Alltop dizileri birc¸ok uygulamada bas¸arı ile kullanılmıs¸lardır. G¨ozlemlenen data vekt¨or¨u bir bas¸ka bic¸imde as¸a˘gıdaki gibi ifade edilebilir: y= Ax = N_2−1 l=0 xlAl= N_2−1 l=0 xlHls , (10)

burada Al ∈ CN s¨ozl¨uk matrisi A’nınl. atomunu ifade eder.

Daha ¨once de˘ginildi˘gi gibi (10)’daki denklem sisteminde bil-inmeyenlere g¨ore son derece az denklem vardır. B¨oyle bir sistemde x yeterince seyrek ve s¨ozl¨uk matrisi A yeterince benzes¸imsiz olarak hazırlanmıs¸ ise ¨olc¸¨um vekt¨or¨u y’den x geri elde edilebilir. Bu ba˘glamda s¨ozl¨uk matrisi, A, ic¸indeki atom-ların, Al,N boyutlu uzayındaki da˘gılımları kritiktir. Bu durum

atomların birbirleri ile olan ic¸ c¸arpımların genlikleri incelerek nicelenebilir. Benzes¸im,μ(A) as¸a˘gıdaki gibi tanımlanır:

μ(A) = max

l=l |Al, Al

| . (11)

E˘gerAl = 1 es¸itli˘gi sa˘glanırsa benzes¸imin sınırları



M − N

N (M − 1)≤ μ(A) ≤ 1 , (12) olarak belirlenmis¸tir [12]. μ(A) = 1 es¸itli˘ginde iki atom aynı hizada bulunurlar ve bu N -boyutlu uzayı germe s¨oz konusu oldu˘gunda en k¨ot¨u durumdur. Alltop dizilerinin kullanıldı˘gı s¨ozl¨uk matrisinin benzes¸imi1/√N ’dir.

Buradaki kanal belirleme probleminde, s¨ozl¨uk matrisi A N × N2boyutlarında sec¸ilmis¸tir. Dolayısıyla y,N g¨ozlemden olus¸maktadır.N sabit oldu˘gu durumda, CS problemi s¸u s¸ekilde ¨ozetlenir: x ne kadar seyrek olmalıdır ki y’ den geri kazanım sa˘glanabilsin. As¸a˘gıdaki teori,N ×N matrislerin Alltop diziler ile belirlendi˘gi zaman Tablo. 1’de verilen OMP kullanılarak geri elde edilebilece˘gini g¨ostermektedir [3],[8].

Teori 1: H = N_l=02−1xlHlmatrisinin zaman-frekans

or-tanormal bazında K-seyrek veK < (√N + 1)/2 s¸artının da sa˘glandı˘gı bir betimlemesinin oldu˘gunu varsayalım. y = Hs g¨ozlemlenmis¸ olsun. OMP kullanılarak x kesin olarak geri elde edilebilir.

5. CAF d ¨uzleminde CS Kullanılarak

Kestirim

C¸ okyollu ortamlarda, alıcı c¸ıktı sinyali vericiden g¨onderilen sinyalin zayıflamıs¸, gecikmis¸ ve Doppler kaymasına u˘gramıs¸ kopyalarının toplamından olus¸maktadır. Sinyal kaynak sayısının fazla oldu˘gu durumlarda zaman d¨uzleminde belirgin bir ¨ust ¨uste binme s¨oz konusudur. Bu durumlarda sinyal kay-naklarını ayırmak oldukc¸a zor bir problemdir. Bu nedenle kestirim problemini, zaman d¨uzlemindeki ¨ust ¨uste binmenin azaltıldı˘gı, sinyal kaynaklarının etkilerinin yo˘gunlas¸mıs¸ oldu˘gu bir d¨uzlemde c¸¨ozebilmek b¨uy¨uk fayda sa˘glayacaktır. Tipik

66

Tablo 1: Dik ardıs¸ık es¸leme (OMP) - Girdi: sinyal y, s¨ozl¨uk matrisi A

- C¸ ıktı: seyrek katsayı vekt¨or¨u x

1) ˙Ilklendirme: ˙Indis setiΩ0= ∅, kalan r0= y ve sayac¸

k = 1 tanımlanır.

2) Belirleme: Kalan ile en g¨uc¸l¨u kolerasyona sahip A’nın s¨utunuβkbulunur.

βk∈ arg maxβ |rk−1, Aβ| ve Ωk= Ωk−1

 {βk}

3) Kestirim: sec¸ilen s¨utunlarla sinyale yaklas¸mak ic¸in en iyi katsayılar bulunur.

xk= arg minby − AΩkb2

4) Yineleme: Kalan g¨uncellenir. rk= y − AΩkxk

k = k + 1. Durma kriteri gerc¸ekleninceye kadar 2)-4) tekrarlanır.

5) C¸ ıktı: β ∈ Ωkic¸inx(β) = xk(β), aksi halde x(β) = 0

haberles¸me sinyalleri faz veya frekans kiplidir ve b¨uy¨uk zaman-band c¸arpımlarına sahiptir. Radar hedef tespitinde de kullanılan b¨oyle sinyallerin CAF’leri zaman-Doppler alanında oldukc¸a k¨uc¸¨uk bir alanda yo˘gunlas¸mıs¸tır. Sonuc¸ olarak alıcı c¸ıktısının CAF alanına d¨on¨us¸¨um¨u, farklı c¸okyollu kanalları kendi ait oldukları zaman-Doppler h¨ucresine yo˘gunlas¸tırır. Sabit yanlıs¸ alarm oranlı (CFAR) bir yaklas¸ımla uyarlanan bir es¸ik kul-lanılarak sinyal kayna˘gı k¨umeleri tespit edilebilir. B¨oyle bir teknik, radar hedef tespitinde yaygın olarak kullanıldı˘gı ic¸in bu-rada detayları verilmemis¸tir [7]. K¨ume tespit fazından sonra, herbir k¨ume merkezi c¸evresinden pencerelenmis¸ bir veri grubu alınır. Bu as¸amaları ¨orneklemek amacıyla, 6 farklı sinyal kayna˘gının bulundu˘gu c¸okyollu sentetik bir kanal oldu˘gunu varsayalım. S¸ekil 1-a)’da g¨or¨uld¨u˘g¨u gibi c¸okyollu sinyaller belirgin bir s¸ekilde zaman d¨uzleminde ¨ust ¨uste binmis¸lerdir. Fakat S¸ekil 1-b)’de (2)’de denklemi verilen, verici ile alıcı sinyali arasında hesaplanan CAF, farklı sinyal kaynaklarının katkılarını dar b¨olgelerde yo˘gunlas¸tırabilmis¸tir. Onerilen¨ y¨ontem temel olarak iki as¸amadan olus¸maktadır. Birinci as¸amada alıcıya ulas¸an sinyaller S¸ekil 1-b)’deki gibi bir zaman-Doppler d¨uzlemine aktarılarak sinyal kayna˘gı k¨umeleri be-lirlenir. ˙Ikinci as¸amada ise CS teknikleri kullanılarak her-bir k¨ume ic¸indeki sinyal kaynakları d¨ong¨usel olarak belir-lenir. Bu b¨ol¨um¨un devamında ¨onerilen d¨ong¨usel teknik detaylandırılmıs¸tır.

D¨us¸¨unelim ki CAF zirve tespiti bize,c. sinyal k¨umesinin ic¸indedcadet sinyal kayna˘gı bulunan toplamdaC, 1 ≤, ..., ≤

C, adet sinyal kayna˘gı k¨umesi sa˘glasın. c. sinyal k¨umesi ic¸indeki sinyaller as¸a˘gıdaki optimizasyon probleminin c¸¨oz¨um¨u olarak kestirilebilir.

minxc1 s.t. ˆzc,η= Acxc , (13)

burada Ac, s¨ozl¨uk matriksi A’nın c. zaman-Doppler k¨umesi

ic¸inde yer alan atomlarından olus¸an bir alt-s¨ozl¨ukt¨ur:

Ac= (Al; l ∈ Sc) , (14)

Sc, c. zaman-Doppler k¨umesi ic¸indeki atomların s¨ozl¨uk

ic¸indeki indislerini ic¸ermektedir. Sc’nin tuttu˘gu atom

indek-sleri sayısı, c. k¨umenin merkezi etrafında ac¸ılan 1.5Δτ ×

0 5 10 15 20 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 t / Δτ genlik a) τ / Δτ ν / Δν 0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 b) küme−2 küme−1 küme−3

S¸ekil 1:Barker-13 kodlu6 adet sinyal kayna˘gı a) zaman alanında ve b) zaman-Doppler alanında3 adet k¨ume ic¸erisinde yo˘gunlamıs¸ durumdalardır.

1.5Δν boyutundaki pencerenin ic¸inde kalan zaman gecikmesi Doppler kayması c¸iftleri kadardır. CAF alanı ¨uzerindeki za-man gecikmesi ve Doppler kayması c¸¨oz¨un¨url¨ukleri sırasıyla Δτ = 1/BwveΔν = 1/Tcoh’dır [7]. BuradaBw,s(t)’nin

band genis¸li˘gi,Tcohises(t)’nin s¨uresidir. ˆzc,η,η. iterasyonda

c. k¨umeye ait kestirilen ¨olc¸¨um verisini ifade eder: ˆzc,η= y −

C



γ=1,γ=c

Acˆxc . (15)

Birinci iterasyonda, η = 1, birinci zaman-Doppler k¨umesi ic¸inˆzc,η = y olarak alınır. c. zaman-Doppler k¨umesi ic¸inde

yer alan herbir sinyal kayna˘gının zaman gecikmesi ve Doppler kaymasını (13) kullanarak kestirdikten sonra, bu sinyal kay-naklarının etkileri, di˘ger zaman-Doppler k¨umelerinde daha iyi kestirim yapabilmek amacı ile (15)’deki gibi alıcı c¸ıktısından c¸ıkarılır.

6. Sim ¨ulasyon Sonuc¸ları

Bu b¨ol¨umde ¨onerilen yeni metodun sa˘gladı˘gı performans artıs¸ı sim¨ulasyonlarla betimlenecektir. Seyrek yaklas¸ım prob-lemini c¸¨ozmek ic¸in adımları Tablo 1.’de verilen OMP al-goritmasından yararlanılmıs¸tır. [3]’deki benzer problem taban es¸leme (BP) kullanılarak c¸¨oz¨ulm¨us¸t¨ur [13]. BP genel olarak daha bas¸arılı bir algoritma olmasına ra˘gmen, OMP daha hızlı ve kolay gerc¸eklenebilen bir tekniktir [8]. Kanalı incelemek amac¸lı (9)’da form¨ul¨u verilen N = 57 uzunlu˘gunda Alltop dizisi kullanılmıs¸tır. Or-tamdaτ = Δτ[4, 6, 5, 8, 8, 9, 19, 19, 21, 22, 22, 23] ve ν = Δν[5, 4, 8, 5, 8, 9, 19, 22, 19, 23, 25, 20] parametrelerine sahip 12 adet zaman-Doppler alanı ¨uzerinde iki k¨ume ic¸erisinde lokalize olmus¸ sinyal kayna˘gı mevcuttur. Zaman-frekans

67

0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 τ / Δ τ ν / Δν dogru noktalar CS kestirimleri kümeli CS kestirimleri

S¸ekil 2:Zaman-frekans d¨uzlemi ¨uzerinde12 adet sinyal kayna˘gı (kırmızı daire) 2 tane k¨ume ic¸erisinde yo˘gunlas¸mıs¸lardır. Siyah kare ve mavi artı is¸aretli noktalar sırasıyla ¨onerilen k¨umeli ve standard CS c¸¨oz¨um¨u ile elde edilen kestirimlerdir.

d¨uzlemi es¸it aralıklarla dizilmis¸ N2 adet zaman-frekans c¸iftinden olus¸maktadır. Hedef sayısı d  N2 oldu˘gu ic¸in, vekt¨orize olmus¸ zaman-frekans d¨uzlemini, seyrek vekt¨or x olarak d¨us¸¨unebiliriz. Sim¨ulasyonlarda sinyal g¨ur¨ult¨u oranı (SNR) E[|y|2]/E[|n|2] s¸eklinde tanımlanmıs¸tır. S¸ekil. 2’de ¨onerilen k¨umeli ve standard OMP c¸¨oz¨um¨u ile30dB g¨ur¨ult¨u altında elde edilen sinyal kaynaklarının zaman gecikmesi ve Doppler kestirimleri g¨or¨ulmektedir. d = 12 seyreklik se-viyesinde k¨umelenme yapılmadan seyrek yaklas¸ım problemi c¸¨oz¨ulmeye c¸alıs¸ıldı˘gında, sinyal kaynaklarından 4 tanesinin zaman gecikmesi ve Doppler parametreleri do˘gru bir s¸ekilde kestirilememis¸tir. Fakat herbir k¨ume ic¸erisindeki seyreklik se-viyesi d = 6’ya d¨us¸t¨u˘g¨u zaman, hatasız bir s¸ekilde sinyal kaynaklarının parametreleri kestirilmis¸tir. S¸ekil. 3’de g¨ur¨ult¨u olmadı˘gı durumda ve30 dB g¨ur¨ult¨u altında de˘gis¸ik seyreklik seviyelerindeki geri elde etme y¨uzdeleri verilmis¸tir. Ac¸ık bir s¸ekilde g¨or¨ulmektedir ki, ¨onerilen k¨umeli yapı, geri elde edim y¨uzdesini ciddi manada artırmaktadır.

7. Sonuc¸

Sıkıs¸tırılmıs¸ algılama teknikleri kullanılarak, seyrek c¸okyollu kanallarda g¨uvenilir ve y¨uksek c¸¨oz¨un¨url¨ukl¨u sinyal kayna˘gı tespiti yapabilmek ic¸in yeni bir y¨ontem sunulmus¸tur. Zaman-doppler c¸es¸itlili˘ginden verimli bir s¸ekilde faydalan-abilmek amacıyla c¸a˘graz belirsizlik fonksiyonundan (CAF) yararlanılmıs¸tır. ¨Onerilen CAF tabanlı tekni˘gin sa˘gladı˘gı per-formans kazancı ve g¨uvenirli˘gi sim¨ulasyonlarla ispatlanmıs¸tır.

8. Kaynakc¸a

[1] D. Donoho, “Compressed sensing”, IEEE Tran. On Info. Theory, Vol. 52(4):1289-1306, Apr. 2006.

[2] E. Candes and T. Tao, “Near-optimal signal recovery from random projections: Universal encoding strategies”, IEEE Tran. On Info. Theory, Vol. 52(12):5406-5425, Dec. 2006. [3] M. A. Herman, and T. Strohmer, “High-Resolution Radar via Compressed Sensing”, IEEE Tran. On Signal Process-ing, Vol. 57(6):2275-2284, June 2009.

[4] A. C. G¨urb¨uz, J. H. McClellan, and W.R. Scott, “A Com-pressive Sensing Data Acquisition and Imaging Method for Stepped-Frequency GPRs”, IEEE Tran. On Signal Pro-cessing, Vol. 57(7):2640-2650, July 2009.

2 4 6 8 10 12 20 40 60 80 100 Seyreklik seviyesi (K)

Geri elde etme yüzdesi CS

kümeli CS a) 2 4 6 8 10 12 0 20 40 60 80 100 Seyreklik seviyesi (K)

Geri elde etme yüzdesi

b)

S¸ekil 3: De˘gis¸ik seyreklik seviyeleri ic¸in geri elde etme y¨uzdeleri: a)g¨ur¨ult¨u yok b)30dB g¨ur¨ult¨u altında.

[5] W. U. Bajwa, J. Haupt, G. Raz, R. Nowak, “Compressed Channel Sensing”, 42nd Annu. Conf. Inf. Sciences and Sys. (CISS’08).

[6] M. B. Guldogan, O. Arikan, “Particle Swarm Optimiza-tion Based Channel IdentificaOptimiza-tion in Cross-Ambiguity Domain”, Proc. of ICASSP’10, March 2010.

[7] M. I. Skolnik, “Introduction to Radar Systems”, McGraw-Hill, 2001.

[8] J. A. Tropp, “Greed is good: Algorithmic results for sparse approximation”, IEEE Tran. On Info. Theory, Vol. 50(10):2231-2242, Oct. 2004

[9] E. Candes, J. Romberg, and T. Tao, “Robust uncertainty principles Exact signal reconstruction from highly incom-plete frequency information”, IEEE Tran. On Info. The-ory, Vol. 52(2):489-509, Feb. 2006.

[10] J. A. Tropp, and S. J. Wright “Computational methods for sparse solution of linear inverse problems”, ACM Report 2009-01, Caltech, Apr. 2009.

[11] W. O. Alltop, “Complex sequences with low periodic cor-relations”, IEEE Tran. On Info. Theory, Vol. 26(3):350-354, May. 1980.

[12] L. R. Welch, “Lower bounds on the maximum cross-correlation of signals”, IEEE Tran. On Info. Theory, Vol. 20(3):397-399, 1974.

[13] S. S. Chen, D. L. Donoho, and M. A. Saunders, “Atomic decomposition by Basis Pursuit”, SIAM Rev., Vol. 43(1):129–159, 2001.

68