Toeplitz ve Hankel matrislerin en küçük singüler değerleri için alt sınırlar

(1)

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

TOEPLITZ VE HANKEL MATRİSLERİN

EN KÜÇÜK SİNGÜLER DEĞERLERİ İÇİN ALT SINIRLAR Mesut KIRICI

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

(2)

(3)

İÇİNDEKİLER

1. GİRİŞ……….………..…...1

2. TOEPLITZ VE HANKEL MATRİSLERİ……… 6

3. MATRİS ÇARPIMLARININ SİNGÜLER DEĞERİ……….... 8

4. MATRİSLERİN SİNGÜLER DEĞERLERİ İÇİN TAHMİNLER…………. 15

5. MATRİSLERİN EN KÜÇÜK SİNGÜLER DEĞERLERİ İÇİN ALT SINIRLAR

5.1. Gersgorin Tipi Alt Sınırlar……….25 5.2. Ostrowski Tipi Alt Sınırlar………....26

5.3. Brauer Tipi Alt Sınırlar………....27

5.4. Gudkov Tipi Alt Sınırlar………...31 6. UYGULAMALAR………....33 7. SONUÇ VE ÖNERİLER………..41 8. KAYNAKLAR………..42

(4)

ÖZET

YÜKSEK LİSANS TEZİ

TOEPLITZ VE HANKEL MATRİSLERİN EN KÜÇÜK SİNGÜLER DEĞERLERİ İÇİN ALT SINIRLAR

Mesut KIRICI

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN 2010, 43 Sayfa

Jüri: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT : Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN

: Doç. Dr. Süleyman SOLAK

Bu çalışmamızda, matris ve matris çarpımlarının Singüler değerleri, matrislerin Singüler değerleri için tahminler ve matrislerin Singüler değerleri için alt sınır belirlemeyi amaç edinen Gersgorin, Ostrowski, Brauer ve Gudkov tipi özel yöntemlerin Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel tipi matrislerde E. E. Tryteskinov

2 1 

g ve =1 özel durumu için en küçük singüler değerlerlerinde alt sınır bulma

yöntemleri uygulanmıştır. Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel tipi matrislerde

h

2 1 

g , =1 ve =3 özel durumu için en yaklaşık sonucu veren yöntem tespit

edilmiştir.

h n

Anahtar Kelimeler: Cauchy-Hankel Matris, Cauchy-Toeplitz Matris, Singüler Değer, En Küçük Singüler Değer İçin Alt Sınır

(5)

ABSTRACT

THE POST GRADUATE THESIS

THE LOWER BOUND FOR SMALLEST SINGULAR VALUES OF TOEPLITZ AND HANKEL MATRICES

Mesut KIRICI

Selçuk Üniversity Graduate School of Natural and Aplied Science Department of Mathematics

Adviser: Assistant Prof. Dr. Ramazan TÜRKMEN 2010, 43 Page

Jury: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT

: Assoc. Prof. Dr. Ramazan TÜRKMEN

: Assoc. Prof. Dr. Süleyman SOLAK

In this study, matrix and matrices multiplication’s Singular values, the guesses for the Singular values of matrices and the special methods of Gersgorin, Ostrowski,Brauer and Gudkow which aimed to determine the lower bounds for singular values of matrices are applied on Couchy-Toeplitz and Couchy-Hankel matrices in the E. E. Tryteskinov’s g 1 2 and h=1 special condition. the method

which gave the closest result for g 12, =1 and h n3 special condition on

Cauchy-Toeplitz and Cauchy-Hankel matrices was determined.

Key words: Cauchy-Hankel Matrix, Cauchy-Toeplitz Matrix, Singular Value, Lower Bound For the Smallest Singular Value.

(6)

ÖNSÖZ

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü öğretim üyesi Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN yönetiminde yapılarak, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ ne Yüksek Lisans tezi olarak sunulmuştur. Bu çalışmamızda matrislerin Singüler değerleri için alt sınır belirlemeyi amaç edinen Gersgorin, Ostrowski, Brauer ve Gudkov tipi özel yöntemlerin Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel matrisleri üzerinde uygulamaların çalışması yapılmıştır.

Bu amaçla öncelikli olarak, Singüler değerin tanımı, Toeplitz, Hankel, Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel matrislerin tanımı ve özellikleri, matrislerin en küçük singüler değerleri için alt sınır bulma yöntemleri olan Gersgorin, Ostrowski, Brauer ve Gudkov özel metodların çıkarımları verilmiştir.

Son olarak ise Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel tipi özel E. E. Trytyshnikov 2

1 

g ve özel durumu için n=3 şartında Gersgorin, Ostrowski, Brauer ve

Gudkov en küçük singüler alt değer bulma özel metodlarının uygulaması yapılmıştır. 1



h

Bu çalışmanın hazırlanmasında hiçbir zaman yardımlarını esirgemeyen tez danışmanım Sayın Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN’ e teşekkürü borç bilirim.

Mesut KIRICI KONYA, 2010

(7)

1. GİRİŞ

Günümüzde elemanter matris cebiri, matematik biliminin yanında elektrik ve bilgisayar mühendisliği gibi çeşitli teknik alanlar içinde kullanılan matematiksel bilginin ayrılmaz parçası haline gelmiştir. İngiliz matematikçi Sylvester, 1850 yılında matris kavramını kullanmıştır. Yine, İngiliz matematikçi Cayley, 1858 yılında Matris Cebirinin modern esaslarını kurmuştur. Daha sonraları ise Alman matematikçi Frobenius, matrislerle ilgili yepyeni kavramlar ve teoremler üzerinde durmuşlardır.

Tanım 1. 1. m,n Zve 1im , 1 jn olmak üzere

 

i,j ikililerin cümlesi M olsun. herhangi bir cisim ve F

 

i j f

 

i j aij F M f    , , : F a_ij  olmak üzere













 mn m m n n

a

n m

.

2 1 2 22 21 1 12 11

şeklinde düzenlenen tabloya matris adı verilir.

Bir matrisi oluşturan değerlere matrisin elemanları denir. Burada matrisin satır (yatay) sayısını de matrisin sütun (dikey) sayısını belirtmektedir. Genel olarak bir matrisin gösterimi m n ij m n A a   

  şekliyle ifade edilir. i ve j indisleri matris elemanının konumunu gösterir. Örneğin; a_ij a₂₃ elemanı matrisin 2. satır ve 3. sütunundaki elemanını göstermektedir.

Eğer matrisin satır sayısı sütun sayısına eşitse, yani mn ise bu matrise kare matris adı verilir.

(8)

A matrisinin kare matris olması durumunda elemanları esas köşegen üzerinde bulunurlar.

nn a a a a₁₁, ₂₂, ₃₃,..., Tanım 1. 2              n A



. . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 3 2 1

tipindeki nnmatrisine köşegen matris denir ve Aköş(₁,₂,...,_n) ile gösterilir. Tanım 1. 3. Esas köşegeni üzerinde elemanları 1 ve diğer bütün elemanları 0 olan köşegen matrise birim matris denir ve veya I_n I şekliyle gösterilir.

Tanım 1.4. A  _{ }a_{ij nxn}, nntipinde bir matris olsun. A.B .BAI olacak şekilde tipinde

n

n B matrisi var ise, 'B ye A matrisinin tersi denir ve _B_{ A}1_şeklinde

gösterilir.

Tanım 1. 5. A  _{ }a_{ij mxn}

nxm

tipinde bir matris olsun. A matrisinin satır ve sütunlarının yer değiştirilmesiyle oluşan ve ile gösterilen matrise matrisinin transpozesi denir. T A A  T A  _{ }a_ji şekliyle gösterilir.

Tanım 1.6. A, n-kare reel matris olmak üzere AT _{ ise A matrisine simetrik}A matris (her i, j için a_ij a_ji ), eğer AT __A_ise_{A matrisine ters simetrik matris} denir. ( her i, j için a_ij a_ji)

Tanım 1.7. . A, n-kare kompleks matris olsun. , A matrisinin elemanlarının kompleks eşleniğini göstermek üzere ise A matrisine hermityen matris denir. _ A A  A AH _₍_₎T

Tanım 1. 8. T : V → V lineer dönüşümü verilsin. x ∈ V , olan sıfırdan farklı bir x vektörü için T(x) = λ.x eşitliğini sağlayan bir λ sayısı varsa, λ sayısına T dönüşümünün özdeğeri, x vektörüne de λ özdeğerine karşılık gelen özvektörü denir.

(9)

Tanım 1.9. tipindeki herhangi bir matrisinin kendisi ile eşlenik transpozunun çarpımının öz değerinin kare köküne matrisinin singüler değeri denir. n m A A Örneğin;         4 1 2 3 5 1 A

matrisinin singüler değerlerini bulmaya çalışalım.

            4 3 1 5 2 1 T A olur ki buradan;       1 4 2 3 5 1 . =            4 3 1 5 2 1       21 9 9 35  T A A.

o halde son elde edilen matrisin öz değerini bulmaya çalışalım, _            21 9 9 35 ) . det(   _I _A_AT = (35).(21)81 = _2 _56__654 buradan devam edecek olursak,

654 56 2 _ __  =0 denkleminin köklerini, 130 28 1    ve ₂ 28 130 olarak buluruz.

O halde A matrisinin singüler değerlerini; 130

28

1  

s ve s₂  28 130 olarak elde etmiş oluruz. Tanım 1. 10. V , cismi üzerinde vektör uzayı olsun. Buna göre; fonksiyonu; F I:VV F ) i xV için (x,x)0,(x,x)0 x0, V y x F a ii)  , ,  için (ax,y)a(x,y),

(10)

V y x F a iii)  , ,  (x,y)(y,x),(x,ay)a(x,y), ( ,a ' nın eşleniği) a V z y x iiii) , ,  için (x y,z)(x,z)(y,z),

şartlarını sağlıyorsa bu fonksiyona iç çarpım fonksiyonu denir.

Tanım 1. 11. Bir vektör uzayı üzerinde iç çarpım tanımlanmışsa bu uzaya iç çarpım uzayı denir. Ayrıca herhangi bir vektörü için uzunluk (veya norm) v v olarak gösterilir.

Eğer _{x y}, _{ }n ise bu halde ₍₁__i__n₎_{olmak üzere} _ve olarak alabiliriz. Bu durumda

) ,..., , (x₁ x₂ x_n x ) (

y y₁,y₂,...,y_n x ve y vektörlerinin iç çarpımı

1 1 2 2 1 ( , ) ... _{n n} n _{i i} i x y x y x y x y x y      



şeklinde tanımlanır.

VEKTÖR VE MATRİS NORMLARI 1. 2.1 Normlar

üzerinde tanımlanan mutlak değer fonksiyonu ile sayıların büyüklükleri dizilerin yakınsaklığı, fonksiyonların sürekliliği, limitleri ve verilen bir reel sayı için bu sayıya en yakın asal ve tamsayıyı bulma gibi yaklaşım problemleri çözülebilir. Aynı şeyler bir vektör uzayı üzerinde tanımlanan norm için de geçerlidir. V reel vektör uzayı olmak üzere bu uzayda tanımlanan bir norm ile vektör normlarını karşılaştırabiliriz. Vektör dizilerinin yakınsaklığı irdelenebilir, dönüşümlerin sürekliliği ve limitleri çalışılabilir. Ayrıca, normlar singüler değer ayrışımında probleminin analizinde önemli rol oynar. Bu bölümde öncelikle vektör normları üzerinde daha sonra da matris normları üzerinde duracağız.



b



Ax

Genel olarak norm, . sembolü ile gösterilmektedir.

Tanım 1. 12. F reel ya da kompleks sayılar cismi ve V, F cismi üzerinde tanımlanmış vektör uzayı olmak üzere;

(11)

şeklinde ifade edilen ve

i) Her vV için, a) v0ise v 0 dır

b) =0 olması için gerek ve şart v v 0 olmasıdır, ii) aFve vV için, av  a v dir,

iii)u,vV için uv  u  v dir

aksiyomlarını sağlayan . dönüşümüne, vektör normu denir.

Herhangi bir x vektörünün pozitif bir sayıya dönüştürülmesi işlemine norm denir.

1. 2. 2 Matris Normları

Tanım 1.13. F reel yada kompleks sayılar cismi ve ; bileşenleri F cisminin elemanları olan -kare matrisler kümesi olmak üzere;

) (F M_n n . :M Fn( )   {0} A A

şeklinde ifade edilen ve i) AM_n(F) için, a)A0 ise A >0 dır.

b) A =0 olması için gerek ve yeter şart =0 olmasıdır, A ii) aFve AM_n(F)için, aA  a A dır,

iii) için, A,BM_n(F) AB  A  B dir, iv) A,BM_n(F) için, AB  A B dir,

(12)

2. TOEPLITZ VE HANKEL MATRİSLERİ

Tanım 2. 1. n1 olmak üzere



     1 0 , 1( , ) n j i j i j i n x x h x x H

kuadratik formuna Hankel formu denir. Bu forma uyan matrise de Hankel matrisi denir ve 1 0 , 1 ( )      i j nij n h H olarak gösterilir.

Bir Hankel matrisinin açık gösterimi,

                                  2 2 3 2 1 1 3 2 4 2 1 1 1 2 1 1 1 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n n n n n n n n n n n n n h h h h h h h h h h h h h h h h H

şeklindedir. Buradan görüldüğü gibi Hankel matrisleri simetriktir. Ayrıca sonsuz mertebeden bir Hankel matrisi de

    (hi j)i,j 0 H olarak tanımlanır.

Tanım 2. 2. n1 ve t_i_,_j ler kompleks sayılar olmak üzere

1 1 , 0 ( , ) n n i i j T_ x x  t_ x x  



_j _i _j 0

kuadratik formuna Toeplitz formu denir. Bu forma tekabül eden

1

1 ( ),

n n i j i j

T_  t_ _

(13)

Bir Toeplitz matrisi açık olarak,                                      0 1 2 1 1 0 1 2 3 0 1 1 2 1 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t t t t t t t t t t t t t t t t T n n n n n n n n n

şeklinde yazılır. Buradan görüldüğü üzere bir Toeplitz matrisinin elemanları esas köşegene paralel köşegenler boyunca aynıdır. Dolayısıyla bir Toeplitz matrisini, matrisin ilk satır vektörü ile ilk sütun vektörü temsil eder diyebiliriz.

Tanım 2. 3. g, h herhangi sayılar ve g/h Z  olmak üzere; n j i n jh ih g T 1 , 1          

matrisine Cauchy-Toeplitz matrisi denir.

Bu matris hem Cauchy hem Toeplitz matrisidir. Tanım 2. 4. g,h herhangi sayılar ve g/h Z

n j i n _g _ih _jh H 1 , 1          

matrisine Cauchy-Hankel matrisi denir. Burada matrisi, hem Cauchy hem de Hankel matrisidir.

n H

(14)

3. MATRİS ÇARPIMLARININ SİNGÜLER DEĞERLERİ

_n m , kompleks matrislerin uzayı olsun. _H_{ hermityen matrisinin}n n

özdeğerleri ₁( ) ...H  _n( )H ve _C_n m _{nin singüler değerleri}

1( )C 2( )C ... n( )C     olmak üzere 12(CC) i  ) (C  i  , ( ) dir. ve n i1,2,..., p m

C qmax

 

p,m n olmak üzere, _q_₁( )C  ... _n( ) 0'C  dır. olacak şekilde tamsayılarını alalım ve aşağıdaki Lemmaları verelim. n  i i  ₁ ₂ 1  ... i ,...,₁ i_n Lemma 3.1: W ,...,₁ W_k, kümeleri n k V V ,...,₁ boyV_t   n i_t 1, , t i t

boyW i 1i₁ ...i_k  ve V₁  ...V_k olmak üzere nin alt uzayı olsun. Bu takdirde bir ortonormal baza sahip bir alt uzay ve

' n 



x1,...,xk



n  W  x_t ve W_t

, olmak üzere diğer ortonormal bazı t

t V

 

olup k n için eşitlik vardır. p n A ,  _B_n m _{olsun. Bu takdirde} 1 2 1 1 ( ) ( t t k k i i t t AB ABB A    )   



(15)

1 2 1 ( ) t k i t A ABB          







(16)

İspat:. olmak üzere A matrisinin özdeğerleri, özdeğerlerine karşılık gelen ortonormal özvektörleri olsun. Yani,

n n A_  ₍ _),..., ₍ ₎ 1 AA n AA  n u u u₁, ₂,..., i i i i i AA u Au u AA  ( )  2( ) _,_i_₁_,₂_,...,_n dir. n ile t

R  R _t



u₁,u₂,...u_i_t



vektörleri tarafından gerilen bir alt uzay ve de S_t



uit,uit1,...,un



, t 1,2,...,k

vektörleri tarafından gerilen alt uzayı verilsin. ₁, ,...₂ n için k x x x 





n k k k x x x C X  ₁, ₂,...,   , k k k diag C I  (1,1,...,1)  olur. Lemma 3.4: _A_n m olsun ve _, _, _{1, 2,...,} t t t t y R z S t k n k k olmak üzere; , ) k y ,..., , ( ₁ ₂ k y y Y  Z_k ( , ,..., )z z₁ ₂ z  olsun. y_tR_t,z_t S_t,t 1,2,...,k olmak üzere;

i) Eğer Y_kY_k I_k ise buradan ₍_Y _A₎ ₍_A₎,

t

i k

t 

   _t _₁_,₂_,...,_k_{' dır,} ii) Eğer Z_kZ_k I_k ise buradan ₍_Z _A₎ ₍_A₎,

t i k t     _t _₁_,₂_,...,_k_{' dır. [Wang ve Xi,} 1997]

İspat: Sabit bir t (1tk) için R_t yi geren



y₁,y₂,...y_t,v_t_₁,...,v_i_t



A ve nın aynı singüler değere sahip olduğunu görmek kolaydır.

1 2

( , ,..., ) '

u u u_t A



t   ( ₁, ₂,... ) _i_t(A)

olur. Benzer şekilde

_t₍Z_kA₎_



₍z_t_,...,y_k₎A



1



k I k X k X t W t k t t t k x k k k i W i i A X A X         max min ( ),...,,..., ( ) ),... ( ₁ dim ,..., 1 1      (3.5)

dir. [Wang ve Xi, 1997]

İspat: t 1,2,...,k boyW_t i_t ile _Cn in herhangi bir alt uzayı olsun. t W boyS_t ni_t 1,t 1,2,...,k ve S₁ S₂ ...S_k' dır. ' de _Cn ve t t W x  z_t  , S_t olmak üzere





ve k ,..., 2 , 1 x ,₁

t  x₂,...,x_k



z₁,z₂,...,z_k



ortonormal tabanlara sahip bir _Cn alt uzayı vardır. Lemma 3.4 (ii) ve _{ artan bir fonksiyon olmadığından}



₁(X_kA),...,,...,_k(X_k)

 

₁(Z_kA),...,,...,_k(Z_k)



 ( ( ),..., ( )) 1 A ik A i    

olur. Dolayısıyla (3.5)' in sol tarafının sağ taraftan daha küçük olmadığı görülür. Diğer taraftan W_t R_t (t 1,2,...,k) ve



y₁,y₂,...,y_k



, olacak şekilde herhangi bir ortonormal bir küme olsun. Lemma 3.4 (i)’ den

t t R y 



1(Y Ak ),..., k(Y Ak )





i1( ),...,A ik( )A



     _  

olur. Buradan (3.5) in sol tarafının sağ taraftan daha büyük olmadığı görülür. '

Teorem 3. 2. _A_,_B__Cnxn, _i _i _n k     , .... 1 ve 0rR olmak üzere ₁ ₁ (3. 6) 1 1 ( ) ( ) ( t k k r r r i n t n t t t AB A B   _{ }  _{ }   



)

(18)

İspat: 



k_ ve t r t k ₁ 1,...., ) (  

     k t r t r t n r i r it GH t G t H 1 1 1( ) ) ( ) (    dır. [Wang ve Xi, 1997]





     k t m r t n r n k t r ti n r m r it A A ikt A  t A   A 

(20)

dir. [Wang ve Xi, 1997]

İspat: (3. 6) ve (3. 4) ' ü kullanarak herhangi _{A B C}, _ nxn için ) ( ) ( ) (AB A r B n r n r i     dir.

(21)

4. MATRİSLERİN SİNGÜLER DEĞERLERİ İÇİN TAHMİNLER

Teorem 4. 1. , . mertebeden bir kompleks matris olsun.

matrisi, dan büyük olsun. Yani, ) (a_ij A A ' n ( ) nxn ij B b   i,j için b_ij 

 

a_ij olsun. Buradan A' nın bütün öz değerleri; { : ( ) } 1 ii n i ii B b a z C z     



(4. 1) nin içindedir.

Singüler değerlerin tahmini, pratikte önemlidir. A ' nın singüler değerleri için tahminler elde etmek maksadıyla matrisi yukardaki teoremde kullanılır. Bu yaklaşım bizi aşağıdaki teoreme götürür. [Li, 1999]

* A A Teorem 4. 2. nxn olsun. ij C a A( )



    i j j i ji i ij i a c a r , u_ max(0,u),s_i max(r_i,c_i) ve a_i  a_ii,i 1,2...n (4. 2)

olmak üzere ' nın bütün singüler değerleri, A

_

B B_i, _i [(a_i s_i) ,_ a_is_i]  (4. 3) içindedir. [Li, 1999]

Teorem 4. 3. ve olacak şekilde negatif olmayan

matris olsun. nxn ij C a A( ) ( ) nxn ij B b   0 ) ( }, , max{a a i j b_ij  _ij _ji  

(22)

ise A ' nın bütün singüler değerleri; 1 { : ( ) } n i ii i z z a  B b       



(4. 4) birleşimi içindedir. Burada; B ' nin spektral yarıçapı ve (i1,2....,n) için a_i  a_ii

ve _, pozitif reel sayılardır. [Li, 1999]

İspat: ,A' nın bir Singüler değeri olmak üzere

x A y * ,yAx (4. 5)

olacak şekilde T ve vektörleri vardır.

n x x x x( ₁, ₂,..., ) T n y y y y( ₁, ₂,..., )

Farz edelim ki; ve Teorem 4. 3 ü sağlasın. İlk olarak ı alalım. Bu durumda aşağıdaki teorem verilebilir.

0 )

( 

 b_ij

B ' B0'

Lemma 4. 1. c,, 1 ve _{  olsun. Buradan;}

 c max{ c, c} (4. 6) dır. [Li, 1999] İspat: i)   c ise; c c c          ii)  c ise;   c   c  c olup ispat tamamdır.

Teorem 4. 4. nxn olsun. ij C

a

(23)

     a z a s s R z z _j _i _j n j i j i i. , } : { 1 ,



(4. 7) içerisindedir. [Li, 1999]

İspat: u (u₁,u₂,...,u )T,u 0 olmak üzere n

u₁ 0,(i) ve Bu(B)u şartını sağlayan bir u vektörü vardır.

i i i i u y y u x xˆ ,ˆ  olsun. (4. 5) den; '



     n j n j i j j ij i j j ji i i n u u x a y u u y a x 1 1 ... 2 , 1 , ˆ ˆ , ˆ ˆ   olup i j i j ji j ji i u u y a y a xˆ ˆ ˆ 1



    (4. 8) i j j j ij i ii i u u x a x a yˆ ˆ ˆ 1



    (4. 9)

dır. z_i max{xˆ_i, yˆ_i} dır. }z_p max{z_j :1 jn ise olduğu açıktır. Genelliği bozmadan 0  p z p p  xˆ p y

z  ˆ olsun. (z_p  yˆ_p  xˆ_p olduğu zaman benzer



     p j p pp p j pj j p j jpu b u B u b u a ( ) (4. 12)

dir. (4. 10) ve (4. 12) eşitsizlikleri gereği;

aˆ_pp (B)b_pp (4. 13)

elde edilir. Benzer şekilde; a_pj b_pj ve (4. 11)’ den

 a_pp (B)b_pp (4. 14)

elde edilir.  1 idi. (4. 6), (4. 13) ve (4. 14) ile

 a_p (B)b_pp (4. 15)

(25)

Son olarak B0 ve benzer durumları sağlasın.  0 keyfi sayısı için

) ( )

(  b_ij 

B pozitif ve diğer kabulleri sağlasın. )B( ' a yukardaki durumları

uygularsak; ) 0 ( ) ( ) ( )) ( (         B b_ii B b_ii

olur. Bu ise ispatı tamamlar.

Teorem 4. 5. Teorem 4. 3' teki kabulleri alalım. max{0, },d_  d d olmak üzere R

ii i B B b l ( )( ) ve V_i [(a_i l_i(B))_,a_i l_i(B)] (4. 16) olsun. buradan, a) Bütün Singüler değerler



n i i dedir. i V V 1 : _

b) Eğer, V aralığının n bileşeni varsa ve n-k intervallerinden bağımsız ise,V ' de A' _i nın Singüler değeri vardır. [Li, 1999]

İspat: (a)' nın ispatı, Teorem 4. 3' ten görülür. (b)’ nin ispatı aşağıdaki gözleme dayanır.

(b. 1) [0,1], Ddiag(a₁₁,a₂₂,...,a_nn) , A()DC ve C=A-D olmak üzere , ) ,...,b_nn B G F , (b₁₁ b₂₂ diag

G ()  olsun, F=B-G olmak üzere;

B B A A G B D A(0) , (0) , (1) , (1)

(26)

dir. B(),A()' a göre daha geniş bir spektral yarıçapa sahiptir. (a) dan A()' nun bütün Singüler değerleri,



n i i i i i i i a l B a l B V V 1 ) ( : ))] ( ( ))) ( ( [( ) (          aralığındadır. s t, [0,1], s t için; )) ( ( )) ( (B s  B t  

dır. ye göre daha geniş bir spektral yarıçapa sahip olduğundan B(t),B(s)' )) ( ( )) ( (B s l B t l_i  _i ve V_i(s)V_i(t)V_i(1)V_i dır.

(b. 2) A' nın Singüler değerleri sürekli fonksiyonlardır. A(0) ' ın Singüler değerleri, örneğin ) ,..., 2 , 1 ( ), ,..., 2 , 1 (i n a V i n a_i  _i  _i  sağlanır.

(b. 3) , 0' dan 1 e değiştiği zaman, sürekli olarak, ' A() ' un _i() Singüler değeri, a den _ji  (1) ' e değişir.

Teorem 4.4. ün farklı bir ispatı:  , ' nın bir Singüler değeri ve (4. 7)' yi sağlasın. A , ) ,..., , ( , ) ,..., , ( ₁ ₂ ₁ ₂ T n T n y y y y x x x x  _i max{x_i, y_i} ve i n i p      1

max ise _p 0 olduğu açıktır _i p i

q 





 max olsun. (4.5) ' de p . denklem;

 

olur. Lemma 4.1 i uygularsak; '

p q p p s a     (4.19)

elde edilir. Eğer _q 0 ise  a_p ve  , (4.6) ' de verilen küme içindedir. _q 0 olsun. Benzer argümanlarla (4.19) ' da

q p p q s a      (4.20) olur. Sonuçta: q p q p a s s a     

elde edilir. Böylece Teorem 4.4 ispat edilmiş olur.

Örnek 4.1.         2 1 1 6

A ise ₁(A)6.1231, ₂ 2.1231 olur. negatif olmayan matris ve        2 1 1 6 B 2361 . 6 ) B (

 , matrisinden daha geniş bir spektral yarıçapa sahiptir. Teorem 4.2 uygulanırsa; A ' nın bütün singüler değerleri

A



0,6.2361



aralığında olur. Diğer taraftan 2361 . 6 ) ( max A   dir. Bu ise 7 ) ( 1 max A  A A _  

(28)

Teorem 4.2 ' yi uygulayarak _ ise, bütün singüler değerlerin

 

      6 1 1 6 1 B 1,3 

 

5,7 '

de olduğunu biliyoruz. Buradan; _min 1' dir. Bu ise;

         2 min ) ( min i i i c r a A 

ile aynıdır. Buradan



  i j i r a_ij ,



  i j ji a i

c dir. Şart sayısı için bir üst sınır

_





_

2 / ) ( min ) ( ) ( 12 1 min max i i i r c a A A A A K        (4.21) olarak verilir.

Sonuç olarak; A ' nın şart sayısı için üst sınır ( ) 6.2361K A  olarak bulunur. Bu ise; (4.21) ile verilen sınırdan daha iyidir.

Örnek 4.2.            3 1 0 1 10 1 0 0 6

A ise, A nın singüler değerleri 10.2137, 5.9588 ve 2.8590 dır. ' '

3649 . 10 ) (            3 1 0 1 10 1 0 1 6

B negatif olmayan matris ve p B  olup A ' ya göre daha

geniş bir spektral yarıçapa sahiptir. Teorem 4.3' ten biliyoruz ki; A ' nın bütün singüler değerleri



0, 10.3649



aralığındadır. Buradan Teorem 4.3 ' ü uygulayarak

           12 1 0 1 10 1 0 1 9 1 B 4605 . 12 ) (B₁  p

matrisi daha geniş bir spektral yarıçapa sahip bir matris ise;

(Perron köktür) tir.

Bu durumda A ' nın bütün singüler değerleri;



2.5395, 12.4605



aralığındadır. Son olarak 4.5 i '

(29)

           10 1 0 1 10 1 0 1 10 2

B negatif olmayan matrisine uygularsak (Perron

kök) olur. Bu durumda bütün singüler değerler

ve 8742 . 3 ) (A  K

dir. A' nın şart sayısının daha dar bir alt sınırı elde edilir. Bizim nümerik deneylerimizden; Teorem 4.4' ün Teorem 4.3 ' ten daha iyi bir sınır verdiği görülür. Fakat bu durumda Kuadratik eşitsizlikleri çözmek için çaba sarf etmek gerekir. Örnek 4.3.         1 0 1 1 ) (a_ij

A olsun. A' nın en küçük singüler değeri;





2( )A 5 1 / 2 0.6180

   

dir. (4.3) veya (4.4) ten '



( )



/2 0.5 min ) ( 2 A  ai  ri ci  

elde edilir. Ancak Teorem 4.4 ten ' ₂(A) için 0' ın alt sınır olduğu açıktır. Teorem 4.3 ve daha geniş spektral yarıçaplı negatif olmayan matristen;

(30)

_ (4.22)        y x b B _ij 1 1 ) ( alarak. p(B)=



_x_ _y_ (_x__y)2 _4



/2 elde edilir. )' ( 2 A

 nın keyfi bir alt sınırını elde etmek için;

a₁₁  p(B)x , a₂₂  p(B)y (4.23) elde edilmelidir. Fakat bu (4.23) ile çelişir; x ve y y olur. x

Teorem 4.6. n n, indirgenemez ve C(A), açık olmayan ij C

a

A_₍ ₎_  __(A₎

çemberinin kümesi  olsun. Buradan A ' nın bütün özdeğerleri, ) ( : A C pi ii pi i r a z C z           



 (4.24)

bölgesi içindedir. [Li, 1999] Örnek 4.4.            0 0 1 . 0 1 . 0 0 0 0 1 0

A indirgenemez bir matris olsun. Teorem 4.2, Teorem 4.3 ve

Teorem 4.5 ' i alalım. A ' nın bütün singüler değerleri



z0: z03 s₁s₂s₃







0,0.4642



(4.25) kümesi içindedir. Ancak A' nın singüler değerleri, ₁ 1, 1₂ ₃ 0. ' dir ve (4.25),  ' i içermez. ₁

(31)

5. MATRİSLERİN EN KÜÇÜK SİNGÜLER DEĞERLERİ İÇİN ALT SINIRLAR

A(a_ij) biçiminde nn tipinde kompleks bir matris olsun, k 1,...,n için



  k j kj k A a P ( ) ve



  k j jk k A a Q ( ) şeklinde tanımlayalım.

A ' nın en küçük singüler değerini )_n(A ile göstereceğiz. Gersgorin Teoremi kullanılarak ;

[ ( ) ( )]} 2 1 { min ) ( 1 a P A Q A A _kk _k _k n k n  _ _    (5.1) olduğu gösterilmiştir. [4]

Burada, Gersgorin Teoreminin yerine Ostrowski ([2] , Teorem 6.4.1), Brauer ([2] , Teorem 6.4.7) ve Gudkov ([1]) metotları kullanılarak )_n(A için yeni sınırlar elde edilmiştir.

Yeni sınırlar daha karmaşık ifadeler içerebilir, ancak genellikle daha büyük, daha iyi sınırlar vermektedir ve karşılıklı olarak karşılaştırılamazlar. Gersgorin Teoremi' nin Singüler olmama göstergesinin optimumluğuna rağmen bunun gibi benzer durumlarda değişimlerin olmasının hiçbir önemi yoktur.

Bu sonuçlar kare matrislerin elemanları için gösterilmiştir, fakat [3]` ün 3. 7 bölümündeki metot ise dikdörtgen matrisler içinde genelleştirilebilir.

Burada Ostrowski ve Brauer Teoremi kadar bilindik olmayan Gudkov` un Singülerlik testini inceleyeceğiz.

Teorem 5. 1. R₁(A)P₁(A) olsun ve i2,...,n için



      n i k ik kk k i k ik i a a A R a A R 1 1 1 ) ( ) (

(32)

tanımlansın. Eğer; i1,...,n için a_ii R_i(A) ise Singüler değildir. [Horn ve A Johnson, 1985]

5. 2. _n(A) İçin Ostrowski Tipi Alt Sınırlar

Teorem 5. 2 :

A

' nın en küçük Singüler değeri, )_n(A ise;

({4 [ ( ) ( )] } [ ( ) ( )])} 2 1 { min ) ( 2 1 2 2 1 a P A Q A P A Q A A _kk _k _k _k _k n k n  _ _      (5.2)

şeklinde bir alt sınır elde edilmiştir. [Horn ve Johnson, 1985]

İspat : Öncelikli olarak, [2] deki Teorem 7. 3. 7 kullanılarak         I A A A I A n n ) ( ) ( * _ 

singüler olduğu görülür ve buradan;

_ (5.3)        I A A A I A n n ) ( ) ( * _                 * ) ( ) ( 0 0 A I A I A A I I n n   matrisi de singülerdir.

Ostrowski Teoremi ile matrisin singülerliliğini birleştirerek en az bir için ( ); i n i  1 a_ii 2 [P_i(A)_n(A)][Q_i(A)_n(A)] (5.4) eşitsizliği elde edilir. (5.2) yardımıyla (5.4) düzenlenirse ;

2 2 ) ( ). ( ) ( )] ( ) ( [ ) ( 0_n A  P_i A Q_i A _n A P_i A Q_i A  a_ii

olduğu görülür. (5.2) ile (5.1) sınırları arasında ilişki aşağıdaki gibi doğrudan görülür.

Sonuç 5. 1 : (5.2) sınırı her zaman (5.1) sınırından büyüktür. Üstelik P_r(A)Q_r(A) olmak üzere için ; A

)] ( ) ( [ 2 1 )]} ( ) ( [ 2 1 { min 0 1 k n akk  Pk A Qk A  arr  Pr A Qr A   

(33)

5. 3. _n(A) İçin Brauer Tipi Alt Sınırlar

Önceki bölümde, [2] deki Teorem 6. 4. 7 (Brauer Teoremi) ile Ostrowski Teoremini değiştirirsek ;              )]) ~ ( ) ~ ( [ } )] ~ ( ) ~ ( [ ~ . ~ 4 ({ 2 1 min ) ( 2 1 2 2 , 1 a a P A P A P A P A A _ii _jj _i _j _i _j n j i n j i  (5.5)

olmak üzere (5.5) sınırı elde edilebilir.

* 0 0 ~ A A A

(5.5) ve (5.2) karşılaştırıldığında, önceki sınırın sağ tarafı en fazla yeni sınırın sağ tarafı kadar büyük olabilir.

Bu nedenle biz, (5.1) ' in uygun sınırları arasına (5.5) ' yi ilave etmeyeceğiz. Bununla birlikte [3] ' deki 3. 7 bölümü ve Ostrowski ve Brauer öz değer bölgesi arasındaki ilişki, en azından (5.1) ' den daha büyük ve (5.2) ile kıyaslanamayan “Brauer-Tipi” türü bir sınır belirtir.

Bu fikri doğrulamak için;

      _ _ _ _ _ _    ₂[Re Re (Re Re ) ( ) ( )] 1 min ) ( 2 * * , 1 a a a a P A A P A A A _kk _jj _kk _jj _k _j n j k n j k 

ile tanımlı _n(A) değeri ile A' yı ilişkilendirmek uygun olacaktır. Bir lemma ile başlayalım.

Lemma 5. 1 C(c_ij), nn tipinde bir hermityen matris olsun. O halde I

C

(34)

İspat :C_n(C)I hermityen olduğunu biliyoruz. Bu yüzden bütün öz değerler reeldir. Öz değerlerin negatif olmadığını göstermek için Brauer teoremini uygulayalım.( [2] , 6. 4. 11 )

Bunu takiben C_n(C)I için yukarda bahsedilen spektral özelik olan bir yeter koşul c_qq _n(C)0 (q1,...,n) (5.6) ve [c_ss _n(C)][c_rr _n(C)]P_s(C)P_r(C) (s,r 1,...,n;sr) (5.7) elde edilecektir. n q 

1 olmak üzere C_n(C)I ' nın köşegen elemanını düşünerek q.





_    _ _ _ _          ₂ ( ) 4 ( ) ( ) 1 min ] ) ( ) ( 4 ) ( [ 2 1 ) ( 2 , 1 2 _P _C_P _C _c _c _c _c _P _C_P _C c c c c C c _kk _ij _kk _jj _k _j n j k r q rr qq rr qq n qq j k 





0 2 1 ) ( 2 1 ) ( ) ( 4 ) ( 2 1 _ _ _ 2 _ _ _ _ _ _  c_qq c_rr c_qq c_rr P_q C P_r C c_qq c_rr c_qq c_rr

elde edilir. (5.7) yi elde ederken, ' _a2 _{ b}4 _0 için _f₍_₎_{reel fonksiyonunun} )

2 ,

( a aralığında kesin azalan ve f(₎2 ab olduğuna dikkat edelim.

Böylece herhangi bir ( 4 ) 2

1 _a_ _a2 _ _b



 değeri için f()0 olur. Bu ifadeye dayanarak (5.7) elde edilir.

Artık, lemma yardımıyla önerilen sınırları elde edebiliriz.

Teorem 5. 3. A ` nın en küçük singüler değeri için ) ( ) (A _n A n   

sağlanır. [Horn ve Johnson, 1985]

İspat: [4]' de Teorem (1) ' in ispatındaki yol izlenerek sadece B A_n(A)I için

*

B

B öz değerlerinin negatif olmadığını göstereceğiz. ) ( ) ( ) (_A _A* _A _A* n n n     dikkate alınarak;

(35)



A A



I A A A A I A

A B

B_ * _ _ *_ __n( )___n( *) _ _ * ___n( _ *) elde edilir. Kabul edilen spektral özelik Lemma 2. 1 den görülür. '

Teorem 2. 2 ' nin gelecek sonucu _n(A) için (1) ve (2) dekilerin karışımı olan bir sınırı verir.

Sonuç 5. 2. A ' nın en küçük Singüler değeri

 _



     



_   ₂ ( ) [ ( ) ( )][ ( ) ( ) 1 min ) ( 2 , 1 a a a a P A Q A P A Q A A _kk _jj _kk _jj _k _k _j _j j k n j k n  (5.8) dır. [Horn ve Johnson, 1985]

İspat : [3], 3. 7. 17 ' nın Sonuç 2. 1 İspatı, bu ispatla benzerdir ve bu sebepten dahil edilmemiştir.

(5.8) sınırı ve (5.1) sınırı arasındaki ilişkiyi açıklayarak bu bölümü kapatalım.

Sonuç 5. 3. (5.8) sınırı her zaman (en azından) , (5.1) sınırı kadar büyüktür. Üstelik A için;



( ) ( )



} 2 1 { min 0 1 k n akk  Pk A Qk A    [ ( ) ( )] 2 1 A Q A P a_rr  _r  _r  [ ( ) ( )] 2 1 A Q A P a_jj  _j  _j  (5.9) eşitsizliği herhangi bir \ için sağlanır. Önceki sınır açık değildir ve bir sonrakinden daha iyidir. [Horn ve Johnson, 1985]

} ,..., 1 { n j {r} İspat :

