• Sonuç bulunamadı

Genişletilmiş modüler grubun H ̅_3,3 alt grubu ve Fibonacci sayıları

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Genişletilmiş modüler grubun H ̅_3,3 alt grubu ve Fibonacci sayıları"

Copied!
7
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)Araştırma Makalesi DOI: 10.25092/baunfbed.485633. BAUN Fen Bil. Enst. Dergisi, 20(2), 460-466, (2018) J. BAUN Inst. Sci. Technol., 20(2), 460-466, (2018). ഥଷ,ଷ alt grubu ve Genişletilmiş modüler grubun ‫ܪ‬ Fibonacci sayıları Furkan BİROL1,*, Özden KORUOĞLU2 , Bilal DEMİR2 1. Balıkesir Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı., Çağış kampüsü, Balıkesir. 2 Balıkesir Üniversitesi Necatibey Eğitim Fakültesi Matematik Eğitimi Anabilim Dalı, Balıkesir. Geliş Tarihi (Recived Date): 23.05.2018 Kabul Tarihi (Accepted Date): 20.09.2018. Özet Bu çalışmada tam katsayılı otomorfizma ve anti-otomorfizmaların grubu olan , alt grubunun elemanları ve Fibonacci sayıları genişletilmiş modüler grubun  , grubu, altı mertebeli iki dihedral grubun iki arasındaki ilişki incelenecektir.  mertebeli devirli grup altında, birleştirilmiş serbest çarpımıdır. Başka bir ifadeyle bu grup üç mertebeli () = −1⁄ − 1, () = −1⁄ + 1 şeklinde iki eleman ve iki mertebeli () = 1⁄̅ bir yansıma dönüşümü tarafından üretilir. Böylece grubun herbir elemanı X, Y ve R nin kuvvetlerinin bir kombinasyonu olarak yazılabilir. Burada bu kombinasyonun içinde katsayıları Fibonacci sayıları olan bloklar elde edilecektir. Anahtar kelimeler: Fibonacci sayıları, modüler grup, genişletilmiş genel Hecke grupları.. ഥ ଷ,ଷ of extended modular group and Fibonacci The subgroup H numbers Abstract. , , subgroup of In this study, relationships between the elements of the group  extended modular group that consists of automorphisms and anti-automorphisms with , is isomorphic integer coefficients, and Fibonacci numbers are studied. The group  to amalgamated free product of two dihedral groups of order six with cyclic group of order two. In other words this group is generated by two elements () = −1⁄ − 1, () = −1⁄ + 1 of order three and a two ordered reflection = 1⁄̅. Hence every *. Furkan BİROL, furkanbirol1010@gmail.com, https://orcid.org/0000-0003-3946-6185 Özden KORUOĞLU, ozdenk@balikesir.edu.tr, https://orcid.org/0000-0002-9622-4847 Bilal DEMİR, bdemir@balikesir.edu.tr, https://orcid.org/0000-0002-6638-6909. 460.

(2) BİROL F., DEMİR B., KORUOĞLU Ö.. , can be written as a combination of powers of , and . Here, it is element of  investigated the blocks in this combination whose coefficients are Fibonacci numbers. Keywords: Fibonacci numbers, modular group, extended generalized Hecke groups.. 1. Giriş. Fibonacci sayıları

(3)  = 0,

(4)  = 1 başlangıç koşulları ile birlikte ∀ ≥ 2 için.

(5)  =

(6)  +

(7) . (1). indirgeme bağıntısı ile tanımlıdır. (1) bağıntısı çözülerek n. sıradaki Fibonacci sayısı;

(8)  =. . √. .  −.  √ . .  . √ . . (2).  √. elde edilir. Buradaki  sayısı altın oran olarak adlandırılır. Ardışık iki Fibonacci sayısının oranından elde edilen dizinin limiti altın orandır. Fibonacci sayıları; doğada bir çok yerde karşılaşılması ve sayılar teorisinde ilginç özelliklere sahip olması sebebiyle çokça çalışılan bir konudur. Fibonacci sayılarının tanımına benzer olarak Lucas ve Pell sayı dizileri de tanımlanmıştır Fibonacci dizisinin başlangıç koşulları  = 2 ve  = 1 şeklinde seçilerek yine aynı indirgeme bağıntısıyla Lucas sayıları oluşturulmuştur..  ; n. Pell sayısını temsil etmek üzere  = 0 ve  = 1 başlangıç koşulları altında  = 2 +  şeklindedir. Pell ve Lucas sayılarının tanımından Fibonacci sayıları ile ilişkili çeşitli eşitliklere ulaşılabilir. Fibonacci sayılarının modüler grup elemanları ile de ilgisi vardır. Modüler grup.

(9) karmaşık düzlemde , ,  ve  birer tamsayı ve  −  = 1 olmak üzere  → .

(10)   eşleyen Möbius dönüşümlerinin grubudur.  şeklindeki bir dönüşümü ±       şeklinde bir matris ile temsil etmek mümkündür. Bu çalışmada,   matris temsilini    göz önünde bulundurulacaktır.  = − ve  =  + 1 dönüşümleri modüler 0 −1 1 1 grubun üreteçleridir. Bu üreteçlerin matris temsilleri ise  =   ve  =   1 0 0 1  0 −1 şeklindedir. Burada  =  =   alınarak;  = −  elde edilir. Böylelikle 1 1 modüler grubun iki ve üç mertebeli devirli iki devirli grubun serbest çarpımı şeklinde; Γ =< , :   ,   >≅ ℤ ∗ ℤ. (3). Γ =< , , :   ,   ,  ,   ,   >≅  ∗ℤమ . (4). grup sunuşu elde edilir. Modüler gruba yansıma dönüşümü olan  = ̅ dönüşümünün eklenmesiyle;. . 461.

(11) BAUN Fen Bil. Enst. Dergisi, 20(2), 460-466, (2018). genişletilmiş modüler grup elde edilir. Modüler grup ve genişletilmiş modüler grubun alt gruplarının cebirsel yapısı ve çeşitli özellikleri [1,2,3,4,5,6] çalışmalarda incelenmiştir. Lehner [7] nolu çalışmasında  = −  . ೛. , =< , :   ,  >≅ ℤ ∗ ℤ. ve  = −  . ೜. olmak üzere; (5). genel Hecke gruplarını tanıtmıştır. Burada 2 ≤  ≤  ≤ ∞,  +  > 4 olmak üzere    = 2 cos   ,  = 2 cos   şeklindedir. Genel Hecke gruplarında  = 2 ve  = 3 . . alınarak modüler grup elde edileceği görülebilir. Ayrıca [8] çalışmada genel Hecke gruplarına yansıma dönüşümü eklenerek;. , =< , , :   ,  ,  ,   ,   >≅  ∗ℤ   మ. (6). genişletilmiş genel Hecke grupları çalışılmıştır. Yine (6) ifadesinde  = 2 ve  = 3 alınarak genişletilmiş modüler grup elde edilir.. , grubunun elemanları ile Bu çalışmada  =  = 3 halinde elde edilecek olan  Fibonacci sayıları arasındaki ilişki incelenecektir.. 2. Yapılan çalışmalar Literatürde Fibonacci sayıları ve bazı genellemeleri hakkında çok sayıda çalışmaya rastlamak mümkündür. Örneğin; Horadam Fibonacci sayılarının başlangıç koşullarını  ve  keyfi tamsayılar olmak üzere  = ,  =  +  şeklinde alarak bir genelleme elde etmiş ve çeşitli özelliklerini incelemiştir [9]. Miles [10] nolu çalışmasında girdileri ardışık Fibonacci sayıları olan 2 × 2 matrislerin bir dizisini oluşturmuş ve bu dizinin yeterince büyük terimlerinin kötü koşullandırılmış (ill-conditioned) olacağını öne sürmüştür. Ardından k-genelleştirilmiş Fibonacci sayıları için benzer sonuçları × matrisleri yardımıyla elde etmiştir. Matris metodlarının kullanıldığı başka bir çalışma olan [11] de, girdileri Fibonacci sayıları olan alt üçgen matrisler oluşturulmuş ve bu matrislerin çarpımları ile ilgili özellikler elde edilmiştir.. Yılmaz Özgür [12] çalışmasında,  =   ve   = √5

(12)   olmak üzere  = √5 −  şeklinde genelleştirilmiş bir sayı dizisi oluşturmuş ve "√5# Hecke grubu ile ilişkilerini incelemiştir.. Koruoğlu ve Şahin,  = 1 ve  =  ile  =   +  genelleştirilmiş , genişletilmiş Hecke grubunda Fibonacci dizini tanımlamışlardır. Ayrıca  0 1  1 ℎ =  = $  % ve & =  = $1  % elemanlarının kuvvetlerinin bu dizinin  1 0 terimleri olacağını belirtmişlerdir. Ayrıca  = 3 halinde genişletilmiş modüler gruptaki her bir elemanın blok formunda ℎ ve & dönüşümlerinin kuvvetleri bulunacağından 462.

(13) BİROL F., DEMİR B., KORUOĞLU Ö.. hareketle gruptaki her bir elemanı girdileri Fibonacci sayıları olan matrislerle temsil etmişlerdir[4].  , grubu ve Fibonacci sayıları 3. '. , grubunun sunuşu (6) eşitliğinde,  =  = 3 alınarak;  , =< , , :   ,  ,  ,   ,   >≅  ∗ℤ   మ. (7). , grubunun tüm elemanları tam katsayılı otomorfizma ve antişeklinde elde edilir.  otomorfizmalardır. Tam katsayılı tüm dönüşümlerin grubu genişletilmiş modüler grup , genişletilmiş modüler grubunun alt grubudur. (7) eşitliğindeki olduğundan,  0 1 0 −1 0 −1 üreteçler;  =  , =   ve =   şeklinde matris temsillerine 1 0 1 −1 1 1 , grubundaki üreteçlerin birbirleriyle ilişkileri sahiptir. Aşağıdaki lemmada  incelenecektir. , grubunda; Lemma 1 : .  =    ,.   =   ,.   =   ,.    = . (8). eşitlikleri sağlanır.. İspat: (7) de verilen grup temsilindeki   =  =  =   =   = ( bağıntılardan kolaylıkla görülebilir. , grubundaki herhangi bir eleman , , ) , * = 1, 0 ≤ Böylelikle  + pozitif tamsayı olmak üzere; " బ బ #. బ. veya. " బ బ #. బ. " భ భ # " భ భ #. భ. భ. … " ೙ ೙ # … " ೙ ೙ #. ೙. ೙. 

(14). ≤ ve (9). 

(15) . (10). şeklinde bir temsile sahiptir. Bu temsiller, indirgenmiş kelime olarak adlandırılır. (9) ve (10) şeklinde indirgenmiş forma sahip olan herhangi bir eleman Lemma 1 de verilen bloklar yardımıyla yazılabilir. Aşağıda Pell sayılarını üreten bloklara yer verilmiştir.   1  için; + = $   %   0     0 1 b) =   =   =   için;  = $  %    1 2  +   1 1 c) , =    =  =   için; ,  = $  % 2  +  2 1. Lemma 2: [13] a) + =   =   = . 2 1. 463.

(16) BAUN Fen Bil. Enst. Dergisi, 20(2), 460-466, (2018). d) - =  =    = . 1 1.  +  2  için; -  = $   1 . 2 %  + . , grubundaki bir eleman, Lemma 2 de verilen bloklar yardımıyla yazarak Böylece  girdileri Pell sayıları olan matrislerin bir kombinasyonu olarak yazılabilir[13]. Şimdi girdileri Fibonacci sayıları olan bloklar incelenecektir. Teorem 1: a)  =  = . 1 1. b)  =    = . c)  =  = . 2 1. −1 1. d)  =    = . İspat: a) Teorem.

(17) 1  için   = $  −

(18)  −2. 2 −1.

(19)  %

(20) . −

(21)  %

(22)  .

(23) −1  için  = $   −

(24)  1. −

(25)  %

(26) . 1 1.

(27) 1 =$ 

(28)  2.

(29)  % olduğu açıktır.

(30) . − 1 e kadar tüm tamsayılar için geçerli olduğu varsayımıyla;.  =  .  = $.

(31) 

(32) . = 1 için;.

(33)  1 %

(34)  1. =$.

(35)  +

(36) 

(37)  +

(38) . =$.

(39) 

(40) . =$. b).

(41) 1  için  = $  

(42)  1.

(43)  %

(44)  . üzerinden tümevarım ile ispatanabilir.. = 1 için;  =  = . İdianın.

(45) 1  için  = $ 

(46)  2.

(47) 

(48) .  =    = . 2 1.  =  .  = $.

(49) 

(50) . =$.

(51)  + 2

(52)  %

(53)  + 2

(54) .

(55)  +

(56)  %

(57)  +

(58) 

(59)  %

(60)  .

(61) 1 =$ 

(62)  1. olduğu görülür. İdianın. 1  2.

(63)  %

(64) . − 1 e kadar tüm tamsayılar için geçerli olduğu varsayımıyla;.

(65)  2 %

(66)  1. 2

(67)  +

(68)  2

(69)  +

(70) . 1  1.

(71)  +

(72)  %

(73)  +

(74) . 464.

(75) BİROL F., DEMİR B., KORUOĞLU Ö.. =$ =$.

(76)  +

(77) 

(78)  +

(79) .

(80)  

(81) .

(82)  %

(83) .

(84)  %

(85) . Teoremdeki c ve d önermeleri de benzer metodla ispatlanabilir. Yukarıda verilen Lemma 2 ve Teorem 1 ile aşağıdaki sonuç kolaylıkla elde edilebilir.. , grubundaki herhangi bir eleman girdileri Pell ve Fibonacci sayılarından Sonuç 1:  oluşan blokların bir kombinasyonu olarak yazılabilir.. , grubunda              elemanı için Teorem 1 deki Örnek:  bloklar göz önüne alınırsa;.              =      2 1  −1 =   1 1 1 =$. , grubunda; Örnek: .

(86) 

(87) .

(88) 

(89) %$ 

(90)  −

(91) . 1  1   −2 1. −

(92) 

(93)  %$

(94) 

(95) . 1  2   2 −1. −1   1.

(96) 

(97) %$ 

(98)  −

(99) . −

(100)  %

(101) .   .      .          .      .       . elemanını Lemma 1 de verilen özellikler yardımıyla;.                         . indirgenmiş blok formunu yazmak mümkündür. Buradan, Lemma 2 ve Teorem 1 den +     -     olduğu görülür. +     ,  -      = . 2 1. =.   ଷ ଶ. 1  0   0 1. ଶ ଶ  ଵ ଷ. 1  1   2 1. ଷ ହ  ସ ଺. 1  2   2 −1. ଺ ଵଵ  ଻ −ଵ଴. −1  1   1 2. 1  1   1 1. 2  2   1 1. −ଵ଴ ଵ + ଶ ଶ  + ଶ   ଵ ଽ 2ଶ ଵ + ଶ ଶ. yazılabilir.. .. 465. 1  −1   1 1.  2ଶ  ଽ ଵ + ଶ ଼. 1   −2. ଼ ହ  ଻ −଺. −଺  ଻.

(102) BAUN Fen Bil. Enst. Dergisi, 20(2), 460-466, (2018). Kaynaklar [1]. [2]. [3] [4]. [5]. [6] [7] [8]. [9] [10] [11]. [12] [13]. Jones, G.A. ve Thornton, J.S., Automorphisms and congruence Subgroups of the extended modular group, Jornal of the London Mathematical Society, 2, 34, 26-40, (1986). Şahin, R., İkikardeş, S. ve Koruoğlu, Ö., On the power Subgroups of the extended modular group, Turkish Journal of Mathematics, 28, 143-151, (2004). Koruoğlu, Ö., Şahin, R. ve İkikardeş, S., Trace classes and fixed points fort he extended modular group, Turkish Journal of Mathematics, 32, 11-19, (2008). Koruoğlu, Ö. ve Şahin, R., Generalized Fibonacci sequences related to the extended Hecke groups and an application to the extended modular group, Turkish Journal of Mathematics, 34, 325-332, (2010). Mushtaq, Q. ve Hayat, U., Horadam generalized Fibonacci numbers and the modular group, Indian Journal of Pure and Applied Mathematics, 38(5), 343-352, (2007). Mushtaq, Q. ve Hayat, U., Pell numbers, Pell-Lucas numbers and modular group, Algebra Colloquium, 14(1), 97-102, (2007). Lehner, J., Uniqueness of a class of Fuchsian groups, Illinois Journal of Mathematics, 19, 308-315, (1975). Demir, B., Koruoğlu, Ö. ve Şahin, R., Conjugacy classes of extended generalized Hecke groups, Revista De La Union Mathematica Argentina, 57(1), 49-56, (2016). Horadam, A.F., A generalized Fibonacci sequence, The American Mathematical Monthly, 48(5), 455-459, (1961). Miles, E.P.Jr., Generalized Fibonacci numbers and associated Matrices, The American Mathematical Monthly, 67, 8, 745-752, (1960). Lee, G.Y., Kim, J.S. ve Lee, S.G., Factorizations and eigenvalues of Fibonacci and symmetric Fibonacci Matrices, The Fibonacci Quaterly, 40(3), 203-211, (2002). Yılmaz Özgür, N., Generalizations of Fibonacci and Lucas sequences, Note Di Matematica, 21(1), 113-125, (2002). Birol, F., Koruoğlu,Ö., Şahin, R. ve Demir, B., Generalized Pell sequences , and an application to the related to the extended generalized Hecke groups  , , Yayına sunuldu. group . 466.

(103)

Referanslar

Benzer Belgeler

Keywords: Arnold Van Gennep, death, death as ritual process, revenants, rites of passage, ritual failure, stagnated presence, the walking dead, Walter Map, William of

As discussed above, in our experiments, under both the newsvendor and the rev- enue management problems, we observed decision makers ordering/allocating too few units compared to

The same is true of Turkish academics who, more or less, have adopted the official Armenian discourse, but have nothing to say about the millions of Muslims who died in this war and

Tokat İli Merkez İlçede Toptancı Halindeki Komisyoncuların Yeni Hal Yasası Hakkındaki Görüşleri kurallarına uygun olarak ve serbest rekabet.. sistemi içinde

Bu katıldığınız çalışma bilimsel bir araştırma olup, araştırmanın adı ‘14-16 Yaş Grubu Erkek Basketbolcularda Uygulanan 8 Haftalık Direnç

1 Şubat 1944 tarihinde, sabah saat 06.23’de 7.4 şiddetinde meydana gelen deprem, başta Gerede olmak üzere, Bolu’nun bütün ilçelerinde, Ankara’nın bir bölümünde,

• Analiz sonuçlarına göre, bilgi yönetiminin alt boyutlarından olan bilginin korunması ve paylaşılması Ar-Ge Merkezlerinin inovasyon yeteneği alt boyutlarından

Sonuç olarak, parasetamol yan etki ve toksik etkileri iyi bilinen bir ilaç olmakla birlikte, hepatik ve renal yetmezlik dışında kanama ve trombosit fonksiyonları ile