C.Ü. Fen-Edebiyat Fakültesi
Fen Bilimleri Dergisi (2006)Cilt 27 Sayı 2
Bessel Potansiyelli Sturm-Liouville Diferensiyel Denklemlerin Çözümleri İçin İntegral Gösterilimleri
R. Kh. AMİROV ve B. KESKİN
Cumhuriyet Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü 58140 Sivas emirov@cumhuriyet.edu.tr, bkeskin@cumhuriyet.edu.tr
Received: 16.04.2007, Accepted: 07.05.2007
Özet: Bu çalışmada, [1]’de incelenen ve self-adjoint genişlemeleri yazılan Bessel potansiyelli
Sturm-Liouville operatörleri için çevirme operatörü tipinde gösterilimler elde edilmiştir.
Anahtar kelimeler: Çevirme operatörü, İntegral denklemi, Sturm-Liouville operatörü
Integral Representations for Solutions of Sturm-Lıouville Differential Equations With Bessel Potential
Abstract: In this study, representations with transformation operator have been obtained for
Sturm-Liouville operators with bessel potential which have been written self-adjoint extensions and have been considered in [1].
Key Words: Transformation operator, Integral equation, Sturm-Liouville
1. Giriş 2 2 2 0 '' ( 1) ( ) , , (0, ], 2 1 (1) lim ( ) 0, y( )=0 (2) ' l x y l l x y q x y y k x l x y x y y λ λ π π + − → − + + + = = ∈ < = -1 0 ( 0) ( 0), (3) ' 0 y d A d A y α α + = − =
problemini ele alalım. Burada q x reel değerli fonksiyon, ( ) α >0, α ≠1, d∈(0, ]π şeklindedir.
Aralığın iç noktasında süreksizliğe sahip sınır-değer problemleri matematik, mekanik, fizik ve jeofizik gibi bilim dallarında sıklıkla karşımıza çıkar ve böyle problemler materyalin süreksizlik özelliklerine bağlıdır. Süreksizliğe sahip olmayan diferansiyel operatörlerin ters ve düz spektral problemleri [6]-[10] çalışmalarında incelenmiştir. Süreksizliğin varlığı operatörlerin incelenmesinde temel niteliksel gelişmeler sağlamıştır. Süreksizliğe sahip sınır-değer problemleri için düz ve ters problemlerin çeşitli formülasyonları [11]-[12] ve diğer çalışmalarda ele alınmıştır.
Aralığın iç noktasında singüleriteye ve süreksizlik koşullarına sahip diferansiyel operatörler, R. Kh. Amirov, V. A. Yurko[2] tarafından çalışılmıştır. Bu çalışmada x=0 noktasında singüleriteye sahip self-adjoint olmayan Bessel potansiyelli Sturm-Liouville operatörü için sonlu aralığın iç noktasında çözümün süreksizliğe sahip olduğu durumu incelenmiştir ve verilen operatörün spektral özellikleri ve bu spektral özelliklere göre ters problemin konumu ve çözümü için teklik teoremleri ispatlanmıştır.
Benzer şekilde R. Kh. Amirov [3] çalışmasında, self-adjoint olmayan Bessel potansiyelli Sturm-Liouville operatörü için sonlu aralıkta sonlu sayıda süreksizlik noktalarına sahip olduğu durum incelenmiştir. Burada verilen diferansiyel operatörü üreten diferansiyel denklemin çözümlerinin davranışları, operatörün spektral özellikleri, spektrumu basit olduğu durumda yani yalnızca özdeğerlerden oluştuğu durumda, özdeğerlere karşılık gelen özfonksiyon ve koşulmuş fonksiyonlara göre operatörün ayrılışımı, spektral parametrelere göre ters problemin konumu ve bu ters problemlerin çözümü için teklik teoremleri ispatlanmıştır.
R. Kh. Amirov'un [4] çalışmasında, sonlu aralığın iç noktasında süreksizliğe sahip Sturm-Liouville diferansiyel operatörler sınıfı için ve [5] çalışmasında Dirac operatörü için çevirme operatörü, çekirdek fonksiyonunun bazı özellikleri, spektral karakteristiklerin özellikleri ve ters problem için teklik teoremleri öğrenilmiştir.
2. İntegral Denklemin Oluşturulması
(1) denkleminin x→0+ iken 1
1( ) [1 (1)], ( )2 ( 1) [1 (1)]
l l
y x =x+ +o y x = +l x +o
koşulunun ürettiği operatörün bu ifadelere benzer değerleri de tanımlı olacak şekilde yeni bir operatör tanımlamamız gerekir. Yeni tanımlanan bu operatör, verilen diferansiyel operatörün self-adjoint operatörü olarak alınabilir.
Amirov ve Guseinov [1] çalışmalarında ( ) : y = y'' l l( 1)x 2 c q x( ))
xα
−
− + + + +
diferansiyel ifadesi ve ayrık sınır koşullarının ürettiği operatörler için sınır koşulları dilinde self-adjoint genişlemeleri vermişlerdir. Bu çalışmalarında şu lemmayı ispatlamışlardır. Burada c∈, 2l <1, 1<α <2, ( )q x ∈L2(0, )π . Lemma 1: * 0 ( ) ( ) y x ∈D L olmak üzere, 2 1 1 2 ( )( ) l ( ), ( )( ) l [ '( ) ( )] y x x y x y x x− − xy x y x Γ = Γ = +
fonksiyonlarının x→0+ iken limitleri vardır. Yani, 0
lim ( i )( ) ( i )(0), i=1,2.
x→ + Γ y x = Γ y
Burada L*0 verilen L0 operatörünün eşlenik operatörüdür. L ise 0 D0' =C0∞(0, )π
kümesinde tanımlı ' ' 0: 0
L =L y=y operatörünün kapanışıdır. Dolayısıyla ' 0
L operatörü 0
L operatörünün minimal operatörüdür. Belli ki L'0 operatörü L2(0, )π uzayında simetrik operatördür.
Şimdi 2
'' ( 1) ( )
y l l x y− q x y λy
− + + + = diferansiyel denklemi için sınır değer problemini yazalım. 2l <1 iken y(0) ve '(0)y değerleri mevcut olmadığından sınır koşullarını ancak (Γ1y x)( ) ve (Γ2y x)( ) fonksiyonları dilinde verebiliriz. Bunun için
denklemi (Γ1y x)( ) ve (Γ2y x)( ) fonksiyonları yardımıyla sisteme indirgeyelim.
2 1 '' ( 1) ( ) l[ l ' l ]' ( ) y l l x y− q x y x x y− lx− − y q x y λy − + + + = − + + = eşitliğinde 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 3 ( )( ) ( ) ( ), ( )( ) ( ) [ '( ) ( )] ( ) 1, ( ) 1, ( ) ( ) l l l l y x y x x y x y x y x x xy x y x u x x u x x y x ky x − − − Γ = = Γ = = + = − = − = alırsak, ' 2 3 1 1 1 1 ' 1 3 2 3 1 ( ) ( ) ( ) l y ky ku x y q x x y k y ky ku x y − + = − + − = sistemini elde ederiz.
' 2 3 1 1 1 1 ' 1 3 2 3 1 ( ) ( ) ( ) l y ky ku x y q x x y k y ky ku x y − + = − + − = (4) 1( ) y ( )=0 1 y x = π (5) -1 0 ( 0) ( 0), ' ' 0 y y d A d A y y α α + = − = (6)
problemini ele alalım. (4) denkleminin 1 3 1 (0) y y i = başlangıç koşullarını ve (6) süreksizlik koşulunu sağlayan çözümü, 1 1 , 1 1
2 2 α α α α α α + = + − = − olmak üzere, iken x<d , 1 1 2 3 0 0 2 1 0 1 3 1 1 2 3 0 0 ( ) ( )sin ( ) ( ) ( ) cos ( ) 1 + ( ) ( ) sin ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) ( ) sin ( ) x x ikx x l x ikx e k u x y x k x t dt k u x y x k x t dt t q t y t k x t dt k y y ie k u x y x k x t dt k u x y x k x t dt − − − + − − = − − + −
∫
∫
∫
∫
2 1 0 1 + ( ) ( ) cos( ) x x l t q t y t x t dt k − − ∫
∫
(7) iken x>d , (2 ) 1 1 1 0 2 3 0 sin ( ) sin ( 2 ) ( ) ( ) + cos ( ) cos ( 2 ) ( ) ( ) 1 + ( d ikx ik d x d y e e k k x t k x t d u t y t dt k k x t k x t d u t y t dt k α α α α α α α + − − + − + − = + − − − + − − + + −∫
∫
2 1 0 1 1 2 3 2 1 sin ( ) sin ( 2 )) ( ) ( ) (sin ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) ( ) 1 + sin( ) ( ) ( ) x l x d x l d k x t k x t d t q t y t dt k k x t u t y t k x t u t y t dt x t t q t y t dt k α + − − − − − + − − − − − −∫
∫
∫
(8)(2 ) 3 1 1 0 2 3 0 cos ( ) cos ( 2 ) ( ) ( ) sin ( ) sin ( 2 ) ( ) ( ) 1 + d ikx ik d x d y i e i e k k x t k x t d u t y t dt k k x t k x t d u t y t dt k α α α α α α + − − + − + − = − − − − + − − − + + −
∫
∫
2 1 0 1 1 2 3 2 1 ( cos ( ) cos ( 2 )) ( ) ( ) (cos ( ) ( ) ( ) sin ( ) ( ) ( ) 1 + cos( ) ( ) ( ) x l x d l k x t k x t d t q t y t dt k k x t u t y t k x t u t y t dt x t t q t y t d k α+ α− − − − − + − − − + − −∫
∫
x d t∫
(9) şeklindedir. Şimdi (4) denkleminin 1 3 1 (0) y y i = başlangıç koşullarını ve (6) süreksizlik koşulunu sağlayan her bir çözümünün,
iken x<d , 11 12 1 3 21 22 ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) x x
ikx ikx ikt ikt
x x
x x
ikx ikx ikt ikt
x x e a x e K x t e dt i K x t e dt y y ie ia x e K x t e dt i K x t e dt − − − − + + + = + + +
∫
∫
∫
∫
(10) iken x>d , (2 ) 10 11 12 1 3 (2 ) 30 21 22 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) x xikx ik d x ikt ikt
x x
x x
ikx ik d x ikt ikt
x x y a x e b x e K x t e dt i K x t e dt y y y ia x e ib x e K x t e dt i K x t e dt − − − − − − + + + + = + − + +
∫
∫
∫
∫
(11)şeklinde bir integral gösterilime sahip olduğunu ispatlayalım. Burada (2 ) 10 (2 ) 30 ikx ik d x ikx ik d x y e e y i e i e α α α α + − − + − − + = −
, Kij( , ), ,x t i j=1, 2. fonksiyonları reel değerli,
1 2 1 2
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )
a x =a x +ia x b x =b x +ib x olmak üzere a xi( ), ( ), b xi i=1, 2. fonksiyon-ları mutlak sürekli fonksiyonlardır. (10) ve (11) ifadeleri (8) ve (9) çözümünde yerine yazılırsa,
{
(2 ) 11 12 1 0 11 12 ( ) ( ) ( , ) ( , ) sin ( ) sin ( 2 ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) x xikx ik d x ikt ikt
x x d ikt ikt t t iks iks t t a x e b x e K x t e dt i K x t e dt k k x t k x t d u t e a t e K t s e ds i K t s e ds α α − − − + − − − + + + = − − − + − + + +
∫
∫
∫
∫
∫
{
2 0 21 22 2 + cos ( ) cos ( 2 ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) 1 + ( sin ( ) sin ( 2 )) ( ) d ikt ikt t t iks iks t t l i dt k k x t k x t d u t ie ia t e K t s e ds i K t s e ds dt k x t k x t d t q t e k α α α α + − − − + − − − + + − + + + − − + −∫
∫
∫
{
{
0 11 12 (2 ) (2 ) 1 ( ) ( , ) ( , ) (sin ( ) ( ) ( ) ( ) x kt ikt t t iks iks t t x ikt ik d t ikt ik d t d a t e K t s e ds i K t s e ds dt k k x t u t dt α e α e a t e b t e − − + − − − + + + − − + + +∫
∫
∫
∫
{
11 12 (2 ) (2 ) 2 21 22 ( , ) ( , ) cos ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) t t iks iks t t x ikt ik d t ikt ik d t d t iks t K t s e ds i K t s e ds dt k k x t u t i e i e ia t e ib t e K t s e ds i K t s α α − − + − − − − + + + − − + − + +∫
∫
∫
∫
{
2 (2 ) (2 ) 11 12 1 + sin( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) t iks t x l ikt ik d t ikt ik d t d t t iks iks t t e ds dt x t t q t e e a t e b t e k K t s e ds i K t s e ds dt α α − − + − − − − − − + + + + + ∫
∫
∫
∫
ve (2 ) 21 22 1 11 12 0 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) cos ( ) cos ( 2 ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) sin ( ) sin ( 2 ) ( ) x xikx ik d x ikt ikt
x x
d t t
ikt ikt iks iks
t t i ia x e ib x e K x t e dt i K x t e dt k k x t k x t d u t e a t e K t s e ds i K t s e ds dt k k x t k x t d u t ie α α α α − − − + − − − + − − + + = − − − + − + + + − − + + −
∫
∫
∫
∫
∫
21 22 0 ( ) ( , ) ( , ) d t tkt ikt iks iks
t t ia t e K t s e ds i K t s e ds dt − − + + +
∫
∫
∫
2 11 12 0 (2 ) (2 ) 1 11 12 1 + ( cos ( ) cos ( 2 )) ( ) ( ) ( , ) ( , ) (cos ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) x t t
l ikt ikt iks iks
t t
x t
ikt ik d t ikt ik d t iks
d t k x t k x t d t q t e a t e K t s e ds i K t s e ds dt k k k x t u t dt e e a t e b t e K t s e ds i K t s e α α α α + − − − − + − − − − − − + − + + + − − + + + + +
∫
∫
∫
∫
∫
(2 ) (2 ) 2 21 22 2 (2 ) sin ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) 1 + cos( ) ( ) ( ) ( ) t iks t x t tikt ik d t ikt ik d t iks iks
d t t l ikt ik d t ikt i ds dt k k x t u t i e i e ia t e ib t e K t s e ds i K t s e ds dt x t t q t e e a t e b t e k α α α α − + − − − − − − + − − − − − + − + + − + + +
∫
∫
∫
∫
(2 ) 11( , ) 12( , ) x t t k d t iks iks d t t K t s e ds i K t s e ds dt − − − + + ∫
∫
∫
integral denklemleri elde edilir. Gerekli hesaplamalar yapılırsa,
2 2 2 2 11 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) 4 4 4 4 l l l x d x x ikt x x ik x x ik d d x x x d d x ik x x x x x x d d d x k k K x t e dt u a e d u a e d q a e d q a k k ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ α ζ α − ζ α − − − + − + + − − − − − − − − + − + + + − − − − − − = + − −
∫
∫
∫
∫
2 2 2 2 12 1 12 1 2 2 2 12 1 12 2 2 ( , ) ( ) ( , ) ( ) 2 2 ( , 2 ) ( ) ( , 2 2 l x ik x d x d d x d ik ik x x x d x x d ik x x d d e d k k K t t x u t dt e d K t x t u t dt e d k k K t d x t u t dt e d K t x ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ ζ α ζ ζ α ζ ζ α ζ − − − − + + − + − − − − − − − − + − + + − + + − − − + ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 21 2 2 2 ) ( ) 4 4 ( , ) ( ) ( , ) 2 2 d x d ik x x d d x x ik ik x x x x d d x x d d d ik x x t d u t dt e d k k u a e d u a e d k k K t t x u t dt e d K t x t ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ α ζ α ζ ζ α ζ − + − − − + − + + − − − − − − + + − + + − − − + + − + + − ∫ ∫
∫
∫
∫
2∫
2 2 2 21 2 21 2 2 2 2 2 11 0 ( ) ( , 2 ) ( ) ( , 2 ) ( ) 2 2 ( ) ( , ) 2 x d x ik x d x x d d x d ik ik x x x d x d d d t x s l t x s u t dt e d k k K t d x t u t dt e d K t x t d u t dt e d q s s K s d ds ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ ζ α ζ ζ α ζ ζ − − − − − − − + − − − − + − + − − − + + + − − + + + − + ∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
2 2 11 0 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 12 1 2 ( ) ( , ) 2 4 4 ( , ) ( ) 2 x x d t x s d ikt l ikt x x t x s d x d x ik ik x x x x d d d x x x ik x e dt q s s K s d ds e dt k k u a e d u b e d k K t t x u t dt e d ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ ζ ζ ζ ζ ζ + + − − − − − − + − + + − − − − − − − + + − + − − ∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
2 12 1 2 2 12 1 12 1 2 2 ( , ) ( ) 2 ( , ) ( ) ( , ) ( ) 2 2 x d x x ik x x d d d x x x x ik ik x x d d x k K t t x u t dt e d k k K t x t u t dt e d K t x t u t dt e d ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ − − − − + − − + − − + − + + − − ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 21 2 2 2 21 2 4 4 ( , ) ( ) ( , ) ( ) 2 2 ( , ) 2 x d x ik ik x x x x d d d x x x d x x x ik ik x x x d d x d k k u a e d u b e d k k K t t x u t dt e d K t t x u t dt e d k K t x t u ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ − + + + − + − − − − − − − − + + − + + − + + −
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
2 2 21 2 2 2 2 2 11 2 2 2 2 ( ) ( , ) ( ) 2 1 1 ( ) ( , ) 4 2 l d x x x ik ik x x d x x x x t x s ik l ikt x x x d x x d t x s k t dt e d K t x t u t dt e d q a e d q s s K s d ds e dt k ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ − − + − − + − + + + − − − − + + + − − − + ∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
∫
2 2 2 12 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 ( , ) 4 4 4 4 4 l l x d x x ikt x ik x ik d x x x d d x x ik ik x x x x d d x x d x x k k K x t e dt u e d u e d k k u a e d u a e d q a k ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ α ζ α ζ α ζ α − − − + − + − − − − − − + − + + − − − − − − + + + = − − − − +∫
∫
∫
∫
∫
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 11 1 11 1 2 2 2 11 4 ( , ) ( ) ( , ) ( ) 2 2 ( , 2 l d x x ik ik x x x x d d d x x d x d d x d ik ik x x x d x e d q a e d k k k K t t x u t dt e d K t x t u t dt e d k K t ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ ζ α ζ ζ α ζ ζ α ζ − − − + − − − − − − − − − + + − + − − − + + + − − + − −∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
1 2 2 2 11 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 ) ( ) ( , 2 ) ( ) 2 4 4 4 x d ik x x d d d x d ik x x d d x x ik ik ik x x x x d x x d d x t u t dt e d k K t x t d u t dt e d k k k u e d u e d u a e d ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ ζ α ζ α ζ α ζ − − − − − + − − − + − + + − − + + − − − + − − + + + − + + +∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
2 2 22 2 2 ( , ) ( ) 2 d x x d x d ik x x k K t x t u t dt e ζd ζ α ζ ζ − − + + − + + − + ∫
∫ ∫
2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 12 2 2 2 0 ( , 2 ) ( ) 2 4 ( ) ( , ) 4 2 l l d x d d x ik x x ik x x d x x x d t x s ik l ik x x d d x d x t x s k K t x t d u t dt e d q e d k q e d q s s K s d ds e k ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ ζ α ζ α ζ α ζ ζ − − − − − + + + + − − − + − − + − − − − − − − − + + + + − + + +
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
∫
2 2 12 0 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 ( ) ( , ) 2 4 4 4 4 t x d t x s d l ikt x t x s d x d x x ik ik ik x x x x d d x x d x ik x x d d dt q s s K s d ds e dt k k k u e d u e d u a e d k u b e ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ ζ α ζ α ζ ζ + + − − − − − − + − + − + − − + + − − − − − − − − − − −∫ ∫
∫
∫
∫
∫
2 2 11 1 2 2 11 1 11 1 2 11 1 2 ( , ) ( ) 2 ( , ) ( ) ( , ) ( ) 2 2 ( , ) ( ) 2 d x x d x ik x x x x x d x x ik ik x d d x d x ik x k d K t x t u t dt e d k k K t x t u t dt e d K t x t u t dt e d k K t x t u t dt e d ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ − − − − − − − + + + − + + + − − + − + − + − ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
2 12 1 2 2 12 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ( , ) ( ) 2 ( , ) ( ) 2 4 4 4 x d x x ik d x x d x x x d x ik x ik x ik d x d x d x x ik x x k K t x t u t dt e d k k k K t x t u t dt e d u e d u e d k u a e d ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α α ζ ζ ζ ζ ζ − − − − + − + + − + − − + + + + − + + + − + + +∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
2 2 2 2 1 2 22 2 2 ( , ) ( ) 4 2 x d x d x x ik ik x x d d x d x x x k k u ζ b ζ e dζ K t t x u t dt e dζ ζ ζ ζ ζ − − + − + − − − − + + + − + ∫
∫
∫ ∫
22 2 2 2 2 22 2 22 2 2 22 2 2 2 ( , 2 ) ( ) 2 ( , ) ( ) ( , ) ( ) 2 2 ( , ) ( ) 2 x d ik x x d d x x d x x ik ik x d d x d x ik x d x k K t d x t u t dt e d k k K t t x u t dt e d K t x t u t dt e d k K t x t u t dt e d ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ − + − − − − − + − + + − − + + − + + − + + − ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 4 4 1 1 4 4 l l l l x x d x ik ik x x x x d d d x x x d x ik ik x x x x x x d d d d x x q e d q e d k k q a e d q b e d k k ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ α ζ ζ ζ − − − − − + − + + + − + − − − + + + + − + − + − − + + + + + +∫
∫
∫
∫
∫
2 12 1 ( ) ( , ) 2 x x t x s l ikt x d t x s q s s K s ζ ζd ds e dt + − − − − + ∫ ∫
∫
2 2 2 21 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ( , ) 4 4 4 4 4 l x d x x d x ikt x ik x ik x x ik d x x x d x x ik x x x x x d d x d k k k K x t e dt u e d u e d u a e d k u a e d q a k ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ α ζ α ζ α ζ α − − − + − + + − − + + − − − − − + − − − − + + + − = − − − + +
∫
∫
∫
∫
∫
2 2 2 2 2 1 11 1 2 2 2 2 2 2 2 11 1 11 2 ( , ) ( ) 4 2 ( , ) ( ) 2 2 l l l d x ik x x x d ik ik x x x d d d x x d x d d x d ik x x e d k q a e d K t t x u t dt e d k k k K t x t u t dt e d K ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ α ζ ζ α ζ ζ α − − − − − − + − − − − − − − − − − + − + − − − + − − − + − + ∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
1 2 2 2 2 11 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( , 2 ) ( ) ( , 2 ) ( ) 2 4 4 4 x d ik x x d d d x d d x x ik x x ik x ik d x x d x x d x t d x t u t dt e d k k k K t x t d u t dt e d u a e d u e d k u a ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ ζ α ζ α ζ α − − − − − − + − + + − − + − − − − + + + − − + + + + − + − +∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
2 2 1 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 ( , ) ( ) 4 2 ( , ) ( ) ( , 2 ) 2 2 d x x x d ik ik ik x x x d d x x x d x d d x d d ik x x x d k k e d u a e d K t t x u t dt e d k k K t x t u t dt e d K t d x t ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α α ζ ζ ζ ζ α ζ ζ α ζ − − + + − − − − − − − − − + − + − − − − − + − + + − − + − − ∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 11 2 2 2 2 ( ) ( , 2 ) ( ) 2 4 ( , ) 4 2 l l l x ik x d d x d d x ik x x ik x x x d x x ik x x d d x x d u t dt e d k K t x t d u t dt e d q e d k q e d K t t x k k ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ ζ α ζ α ζ α ζ − − − − − − − + + + + − − − − + − − − − − − + + + − + − + + −∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
2 2 2 2 2 11 11 2 2 2 2 11 2 ( ) ( , ) ( ) ( , 2 ) ( ) 2 2 _ ( , 2) ( ) 2 x l ik x d d x d x d l ik l ik x x x x d d d l ik x d q t t dt e d K t x t q t t dt e d K t d x t q t t dt e d k k K t x t q t t dt e k ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ ζ α ζ ζ α ζ − − − + − − − + − − − − − − + − + + − − + − − + + − ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 11 1 2 4 4 4 4 ( , ) ( ) 2 d x x ik x x x d x d x x d x ik ik ik x x x x x d d d x d x x x x k d u a e d k k k u e d u a e d u b e d k K t t x u t dt ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ ζ α ζ ζ ζ ζ − + + + − − − − − + − + + + − + − − − − + − + − + − ∫
∫
∫
∫
∫
∫
2 11 1 2 ( , ) ( ) 2 d x x x ik ik x x d d k e dζ ζ K t ζ t x u t dt e ζdζ − − − − + − ∫
∫ ∫
2 11 1 11 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ( , ) ( ) ( , ) ( ) 2 2 4 4 4 4 d x x x x ik ik x x d d x x d x ik ik x x d d x x x ik x x d x k k K t x t u t dt e d K t x t u t dt e d k k u e d u e d k k u a e d ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ α ζ ζ − + − − − + − + + − − + + − − + − − + − + − + −
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫
2 2 2 1 2 2 22 2 22 2 2 2 2 22 2 22 ( , ) ( ) ( , ) ( ) 2 2 ( , ) ( ) ( , 2 2 d x ik x x d d x x d x x x ik ik x x x d d d x x ik x d u b e d k k K t t x u t dt e d K t t x u t dt e d k k K t x t u t dt e d K t x t ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ − + − + − − − − − − − − + − − + − + + − + + − ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 ) ( ) 4 4 1 1 4 4 l l l l x x ik x d x x d x ik ik x x x x d d d x x x ik x x x x x d d d x u t dt e d q e d q e d k k q a e d q k k ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ α ζ ζ − − − − + − − + − + + + − + − − + + + + − + − − + − + −∫ ∫
∫
∫
∫
2 1 2 2 2 2 11 11 2 2 2 2 11 11 1 1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) 2 2 1 1 ( , ) ( ) ( , 2 2 d x ik x d x x d x x x l ik l ik x x x d d d x x l ik x d b e d K t t x t q t dt e d K t t x t q t dt e d k k K t x t t q t dt e d K t k k ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ − + − − − − − − − − − − + + − + + − + + − + ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2 2 2 2 12 1 12 1 2 2 2 12 1 12 ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 2 2 ( , ) ( ) ( , 2 2 x x l ik x d x x d x x x ik ik x x x d d d x x ik x d x t t q t dt e d k k K t t x u t dt e d K t t x u t dt e d k k K t x t u t dt e d K t ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ − + − − − − − − − + − − + − − + − − + − − ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ) ( ) 4 4 4 x x ik x d x d x x ik ik x x x x d d x x d x ik x x d x x t u t dt e d k k u a e d u a e d k u a e d ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ α ζ ζ + − − + − + + − − − − − − + + − + − + + +∫ ∫
∫
∫
∫
2 2 2 22 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 12 1 2 2 2 2 ( , ) 4 4 ( , ) ( ) 4 2 l x d x d x ikt x x ik x x ik d d x x x d x d ik x x x d d d x x k k K x t e dt u a e d u a e d k q a e d K t t x u t dt k ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ α ζ α − ζ α ζ − − + − + + − − − − − − − − − + − − − − − − − − = − + − − + −
∫
∫
∫
∫
∫
2 2 12 1 12 1 2 2 2 2 12 1 21 2 ( , ) ( ) ( , 2 ) ( ) 2 2 ( , 2 ) ( ) ( , 2 2 x ik x d d x d x d ik ik x x x x d d d x d ik x x d e d k k K t x t u t dt e d K t d x t u t dt e d k k K t x t d u t dt e d K t ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ ζ α ζ ζ α ζ ζ α ζ − − + − + − − − − − − + + − − − + − + + − − + + + − + + ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2 2 2 2 21 2 21 2 2 2 2 21 2 2 ) ( ) ( , ) ( ) ( , 2 ) ( ) 2 2 ( , 2 ) ( ) 2 x d ik x x d d x d x d ik ik x x x x d d d ik x d t x u t dt e d k k K t x t u t dt e d K t d x t u t dt e d k K t x t d u t dt e d ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ ζ α ζ ζ α ζ ζ − − − + − + − − − − − + − − − + − + + − − − + + − ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
2 2 12 2 2 2 2 2 12 12 2 2 2 12 ( , ) ( ) 2 ( , ) ( ) ( , 2 ) ( ) 2 2 ( , 2 ) 2 d x x d l ik x x x d d x d x d l ik l ik x x x x d d x d K t t x q t t dt e d k K t x t q t t dt e d K t d x t q t t dt e d k k K t x t d k ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ ζ α ζ ζ α ζ ζ α ζ − + − − − − − + − − − + − − − − − − + + − + + − − + − − − + +∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 12 1 2 12 1 ( ) 4 ( , ) ( ) 4 2 ( , ) ( ) 2 d x d x l ik x x ik x d x d x x d x ik ik x x d d x x x x d k q t t dt e d u a e d k k u b e d K t t x u t dt e d k K t t x u t dt ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ − − + + + − − − − + − + − − − − + − + − − + − ∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
∫
2 212 1 2 2 12 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( ) 2 ( , ) ( ) 2 4 4 x d x x ik ik x d x d x x d x ik x x ik x d x x ik x x d d x k e d K t x t u t dt e d k k K t x t u t dt e d u a e d k u a e d ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ α ζ ζ ζ α ζ − − − − + + + + − − − − − − − − − + − − + − + −∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
2 21 2 2 2 2 21 2 21 2 2 21 2 2 2 ( , ) ( ) 2 ( , ) ( ) ( , ) ( ) 2 2 ( , ) ( ) 2 x x d x ik x d x x x d x x ik ik x d d x d x x ik x d x k K t t x u t dt e d k k K t t x u t dt e d K t x t u t dt e d k K t x t u t dt e d ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ − − − − − − + − + + − + + − − + − − + − ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2 22 2 2 ( , ) ( ) 2 ( , ) ( ) x d x ik x x x x ik k K t t x u t dt e d k K t t x u t dt e d ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ − − − − + − − + − ∫ ∫
∫ ∫
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 12 2 1 1 4 4 1 1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) 2 2 l l l x d x ik ik x x x x x x d d d d x x x d x x l ik l x x d q a e d q b e d k k K t t x t q t dt e d K t t x t q t dt k k ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ − − − − + + + + − + − + − − − − − − − + − + + − + + −
∫
∫
∫ ∫
∫
2 2 2 2 12 12 2 2 1 1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) 2 2 x ik x d d x x x x l ik l ik x x d d x e d K t x t t q t dt e d K t x t t q t dt e d k k ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ − − − − + − − + + − + + − ∫
∫ ∫
∫ ∫
2 1 2 2 1 2 2 2 2 0 2 1 2 2 0 0 2 2 1 2 2 1 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 d x x x l d d d d d l d d d d l k k k a x u t a t dt u t a t dt u t a t dt t q t a t dt k k u t a t dt t q t a t dt k k k k a x u t dt u t dt u t a t dt t q t dt k α α α α α α α + − + + − + + + + − = − − − + − + = + + −∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 0 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 x d x x x x x l l d d d d d x d x x l l d d d k u t dt k k k u t a t dt u t dt u t a t dt t q t dt t q t a t dt k k k k k u t a t dt t q t a t dt u t a t dt u t a t dt t q t a k k α α α α α + + + − − + + − − + + + + − − + − − − +∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
2 1 2 2 0 0 2 1 2 2 1 2 2 2 2 0 2 1 2 2 0 0 2 1 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 x d d d l d x x x l d d d d d l d t dt k u t a t dt t q t a t dt k k k k b x u t a t dt u t b t dt u t b t dt t q t b t dt k k u t a t dt t q t a t dt k k b x u t dt α α α α α α α + + − − − − − − − − − − = − + + − − + = +∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
2 2 2 1 1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 d d d x l d x x x x x l l d d d d d x d l d k k k u t dt u t a t dt t q t dt u t dt k k k k u t b t dt u t dt u t b t dt t q t dt t q t b t dt k k k u t a t dt t q t a t dt k α α α α α α α − + − − − − − − − − − + − − − − − + + + −∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Şimdi 1-) 2 , 2 2 2-) 2 , 2 3-) 2 , 2 2 4-) 2 , - 2 5-) 2 , 2 6-) 2 , 2 d x d x t x d d x d x x t d x d x d x d t d x d x x t x d d x d x t x d x d x d t x < < − < < − < − < − < < − < < − < < − < < < − < − < < < < − < <
bölgelerinde K x tij( , ), ( ,i j=1, 2) fonksiyonlarının ifadelerini alıp ardışık yaklaşımlar yöntemini uygularsak; 1-) d < <x 2 , d − < < −x t x 2d <2d−x aralığı için, 2 2 (0) 11 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) 4 4 4 4 4 4 l l x t x t x t x t x t x t x t d d x t x t x t x t x t x d d d d k k K x t u a u a q a k k k q a u a u k α α α α α α − − + − + + + − − − − + + + − + − − − − − − − + + − = + − − − − 2 2 2 t x t d a − − − ( ) ( 1) ( 1) 11 12 1 12 1 2 2 ( 1) ( 1) 12 1 12 1 2 2 ( 1) 21 2 2 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 2 2 ( , 2 ) ( ) ( , 2 ) ( ) 2 2 ( , ) ( ) 2 d d n n n x t x t d d n n x t x t d d d n x t k k K x t K t x u d K t x u d k k K t d x u d K t x d u d k K t x u d α ζ ζ ζ ζ α ζ ζ ζ ζ α ζ ζ ζ ζ α ζ ζ ζ ζ α ζ ζ ζ ζ α + + − − − + − − − − − + − − + + − − = − + − + + − + + − − − + + − + + − +
