İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
BAZI LİMİTLEME METODLARININ MUHTELİF DİZİ UZAYLARI ÜZERİNDEKİ SPEKTRUMU
ERDİNÇ DÜNDAR
YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI
MALATYA 2006
ÖZET
Üç bölümden oluşan bu çalışma; dizi uzaylarında tanımlı bazı dönüşümlerin spektrumu ile ilgilidir.
Birinci bölümde; sonraki bölümlerde kullanacağımız, bazı kavramlar ve ilgili teoremler verildi.
İkinci bölümde; bazı dizi uzayları üzerinde ağırlıklı ortalama, Cesàro ve fark dönüşümlerinin spektrum ve Goldberg sınıflandırmasına göre ince spektrumları ile ilgili çalışmalar incelendi.
Üçüncü bölümde, c0 ve c uzayında fark matrisinin Goldberg sınıflandırmasına
göre ince spektrumu belirlendi. Ayrıca fark matrisinin transpoze temsiline sahip dönüşümünün c0 uzayı üzerindeki spektrum ve ince spektrumu incelendi.
ABSTRACT
In this study, we deal with spectrum of some operators defined on sequence spaces.
In the first chapter, the fundamental concepts and theorems related on subject which are needed in the next chapters were given.
In the second chapter, spectrum and fine spectrum of weighted mean, Cesàro and difference operators defined on some sequence spaces were examined.
In the last chapter, we determined the fine spectrum of difference operator defined on sequence space c0 and c. Also, fine spectrum of the operator represented
TEŞEKKÜR
Yüksek lisans eğitimimden beri danışmanlığımı üstlenen, bu tezin hazırlan-masında gerekli maddi ve manevi imkânları sağlayarak bana yardımcı olan, hiç bir zaman yakın ilgi ve alakalarını esirgemeyen, değerli hocam sayın Prof Dr. Feyzi BAŞAR’a ; her türlü problemimde kıymetli fikirleriyle yardımını esirgemeyen ve tezin yazımında yardımcı olan değerli hocalarım sayın Doç. Dr. Bilal ALTAY’ a , Dr. Celal ÇAKAN’a ve Dr. İsmet ÖZDEMİR’e minnet ve şükranla teşekkür etmeyi bir borç bilirim.
İçindekiler
ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii GÖSTERİMLER v GİRİŞ 1 Bölüm 1. Temel Kavramlar 3 1.1. Lineer Dönüşümler 31.2. Dizi Uzayları ve Matris Dönüşümleri 7
1.3. Bir Dönüşümün Spektrumu 9
Bölüm 2. Dizi Uzaylarında Spektrum 12
2.1. c Uzayında Ağırlıklı Ortalama Dönüşümünün İnce Spektrumu 13
2.2. Cesàro Dönüşümünün Spektrumu Üzerine 27
2.3. c0 Uzayında Ağırlıklı Ortalama Operatörünün Spektrumu 32
2.4. Fark Dönüşümünün c0 ve c üzerinde Spektrumu 34
Bölüm 3. Fark Dönüşümünün Bazı Uzaylar Üzerindeki İnce Spektrumu 39 3.1. Fark Matrisinin Goldberg Sınıflandırmasına Göre Spektrumu 39 3.2. c0 Dizi Uzayında ∆+ Dönüşümünün Spektrum ve İnce Spektrumu 40
Kaynakça 45
GÖSTERİMLER
R: Reel sayıların cümlesi N: Doğal sayıların cümlesi
K : Reel sayılar cümlesi üzerindeki kapalı aralıkların cümlesi l∞: Reel terimli sınırlı dizilerin uzayı
c: Reel terimli yakınsak dizilerin uzayı c0: Reel terimli sıfıra yakınsak dizilerin uzayı
lp: p-mutlak yakınsak seri oluşturan dizilerin uzayı
w: Tüm reel ve kompleks değerli dizilerin uzayı X∗: X uzayının duali
R(T ): T operatörünün görüntüsü
R(T ): T operatörünün görüntüsünün kapanışı ρ(T ): T operatörünün regüler değerler cümlesi R(λ; A): A operatörünün rezolvantası
Tλ: T operatörünün λ özdeğerine karşılık gelen operatörü
σ(T, X): X uzayında T’ nin spektrum cümlesi
σp(T, X): X uzayında T’nin point (nokta) spektrumu
σc(T, X): X uzayında T’nin countinuos (sürekli) spektrumu
σr(T, X): X uzayında T’nin residual (artan) spektrumu
C1: Cesàro operatörü
k.k(,): Bir dizi uzayında bir operatörün normu
˜
co, ˜c: Cesàro dizi uzayları
∆: Fark operatörü
∆t: Fark operatörünün transpozu
∆∗: Fark operatörünün duali N (T ): T’ nin sıfır uzayı
GİRİŞ
Cnuzayında tanımlı bir T lineer dönüşümünün karakteristik değerleri, det(λI − T ) determinantını sıfır yapan λ kompleks sayılarıdır. Bu tür λ değerlerine T dönüşümünün spektrum cümlesi denir. det(λI −T ), n.dereceden bir polinom olduğundan, spektrum cümlesi en fazla n değerden oluşur. Eğer λ karakteristik kök değil ise det(λI −T ) 6= 0 olacağından λI − T bir terse sahip bulunacaktır.
Sonsuz boyutlu uzaylar üzerindeki dönüşümlerin spektrum tartışmaları oldukça karmaşık, ilginç ve dönüşümleri anlamada çok önemlidir. Dönüşümlerin spektral analizi, matematiksel fizikte önemli bir yere sahiptir. Meselâ; kuantum mekaniğin-deki Hamilton dönüşümü, Hilbert uzayında sınırlı olmayan bir self-adjoint dönüşümdür. Hamilton dönüşümünün nokta spektrumu, sistemin sınır durumundaki enerji seviye-sine karşılık gelir. Diğer spektrum çeşitleri, sistemin dağılım teorisinde önemli rol oynar, [18].
Dizi uzayları üzerindeki dönüşümlerin spektrumu ile ilgili ilk çalışma, 1965 yılında Brown, Halmos ve Shields [6] tarafından birinci mertebeden Cesàro dönüşümünün, `2Hilbert uzayı üzerindeki karakteristik değerlerini ve spektrum cümlesini belirleyen
çalışmasıdır. Daha sonra, Wenger [32], Rhoades [21], Reade [17], Gonzalez [11], Akhmedov ve Başar [1] gibi yazarlar çeşitli dönüşümlerin spektrumu ile ilgilendiler. Bu yazarlardan farklı olarak, Sharma [25] ve [26] künyeli çalışmalarında matris sınıflarıyla ilgilenmiştir.
Son yıllarda fark matrisinin bazı dizi uzayları üzerinde çalışmalar yapılmak-tadır. de Malofesse [14], fark matrisini
kxksr = sup
k∈N
|xk|
normlu dizilerin sr uzayında ele aldı. Altay ve Başar [4] ve Akhmedov ve Başar
[2][3], fark matrisinin sırasıyla c0, c, `p ve Başar ve Altay [5] tarafından inşa edilen
bvp uzayları üzerindeki spektrumu ile ilgilendiler.
Bu çalımamızda, yukarıda zikrettiğimiz bazı makaleleri inceleyerek fark ma-trisinin c0 uzayı üzerindeki ince spektrumu ile ilgileneceğiz.
BÖLÜM 1
Temel Kavramlar
Bu bölümde, sonraki bölümlere temel teşkil edecek olan konu ve kavramlar verilmiştir. Vektör uzayı, normlu uzay, alt uzay, Banach uzayı gibi bazı kavramların bilindiği kabul edilmektedir. Vektör uzaylarının skalar cismi, C kompleks veya R reel sayılar cisim ve doğal sayılar cümlesi, N = {0, 1, 2, 3, . . .} olarak alınmıştır.
1.1. Lineer Dönüşümler
X ve Y , aynı skalar cisim üzerinde iki vektör uzay olsun. T : X → Y dönüşümü; eğer her x, y ∈ X vektörü ve her α, β skaları için
T (αx + βy) = αT x + βT y
eşitliği olması hâlinde bir lineer dönüşüm olarak adlandırılır.
Çalışmamızda, çok kullanılan ve uygulamalarda önemli yere sahip olan, lineer dönüşümlerin karakteristik uzaylarını verelim.
T lineer operatörünün tanım cümlesi D(T ), görüntü cümlesi R(T ) ve çekirdeği N (T ) ile gösterilen uzayları,
D(T ) = {x ∈ X : T x ∈ Y } R(T ) = {y ∈ Y : y = T x, x ∈ X} N (T ) = {x ∈ D(T ) : T x = θ}
şeklinde tanımlanırlar. D(T ) uzayındaki farklı elemanları, R(T ) uzayındaki farklı elemanlara taşıyan T dönüşümüne birebir dönüşüm denir. Bir T lineer dönüşümü, T θ = θ özelliğine sahip olduğundan, aşikârdır ki dönüşümün birebir olması için gerek ve yeter şart N (T ) = {θ} bulunmasıdır.
X ve Y normlu uzaylar olamak üzere T : X → Y lineer dönüşümü için aşağı-daki önermeler denktir.
(a) T , bir noktada süreklidir.
(b) T , X uzayı üzerinde düzgün süreklidir. (c) T sınırlıdır, yani her x ∈ X için
kT xk ≤ M kxk
eşitsizliğini sağlayan pozitif bir M reel sayısı mevcuttur. T dönüşümünün normu, kT k = sup kxk=1 kT xk = sup x6=θ kT xk kxk (1.1.1) ile tanımlanır.
X normlu uzayından Y normlu uzayına tanımlı lineer dönüşümlerinin uzayını L(X, Y ) ve sınırlı lineer dönüşümlerin uzayını B(X, Y ) ile göstereceğiz. X = Y ise B(X, Y ) yerine B(X) yazacağız. B(X, Y ) uzayı, (1.1.1) ile normlu uzaydır. Y uzayı tam yani Banach uzay ise B(X, Y ) uzayı da Banach uzaydır. Y uzayı, X normlu uzayın skalar cismi alınırsa, bu durumda, X uzayı üzerindeki B(X, K) = X0 ile gösterilen sınırlı lineer fonksiyonellerin uzayı (veya sürekli duali ) elde edilir.
Lineer fonksiyoneller konusunda önemli bir yere sahip olan Hahn-Banach Teo-remi ve bir sonucunu verelim.
Teorem 1.1.1. [13, shf. 221] X, bir normlu uzay ve Z ⊂ X altuzay olsun. Bu durumda f ∈ Z0 ise f fonksiyonelinin
f (z) = F (z) (z ∈ Z) ve kf k = kF k eşitliklerini sağlayan bir F ∈ X0 genişlemesi vardır.
Özel olarak Z = {αx0; x0 6= θ, x0 ∈ X} ve f (z) = f (αx0) = αkx0k şeklinde
Teorem 1.1.2. [13, shf. 223] x0 6= θ, X normlu uzayının bir elemanı olsun.
Bu durumda
kF k = 1, F (x0) = kx0k
şartlarını sağlayan bir F ∈ X0 fonksiyoneli vardır.
Bu teoremin, bir cümlenin yoğunluğu tartışmalarında kullanılan sonucu aşağı-daki gibidir.
Sonuç 1.1.3. X normlu uzayı ve S ⊂ X bir altuzay olsun. Her f ∈ X0 için f (S) = {θ} olması f ’nin sıfır fonksiyoneli olmasını gerektiriyorsa S altuzayı X uzayında yoğundur, yani S = X eşitliği mevcuttur.
Tanım 1.1.1. [13, shf. 87] X ve Y normlu uzaylar, D(T ) ⊂ X ve R(T ) ⊂ Y olmak üzere T : D(T ) → Y birebir bir lineer dönüşüm olsun. R(T ) uzayından D(T ) uzayına tanımlı ve her T x0 = y0 şeklindeki y0 ∈ R(T ) elemanını D(T ) uzayında x0
elemanına taşıyan T−1 : R(T ) → D(T ) dönüşümüne, T dönüşümünün tersi denir. T−1 dönüşümünün lineerliği aşikârdır.
Teorem 1.1.4. [13, shf. 88] X ve Y normlu uzaylar ve T ∈ L(X, Y ) olsun. T−1 operatörünün mevcut olması için gerek ve yeter şart N (T ) uzayının sıfır vektöründen ibaret bulunmasıdır.
Teorem 1.1.5. [10, shf. 12, Teorem I.3.7] X ve Y normlu uzaylar ve T ∈ B(X, Y ) olsun. T−1 operatörünün mevcut ve sürekli olması için gerek ve yeter şart her x ∈ X için
kT xk ≥ mkxk
Lineer dönüşümler üzerine önemli araştırmalar yapan Goldberg, dönüşümleri sınıflandırmıştır. Goldberg [10, shf. 58], T : X → Y lineer dönüşümü için
I : R(T ) = Y
II : R(T ) 6= R(T ) = Y III : R(T ) 6= Y
1 : T−1 mevcut ve sürekli
2 : T−1 mevcut ve süreksiz(sınırlı değil) 3 : T−1 mevcut değil
durumlarını gözönüne almıştır. Eğer, R(T ) = Y ise bu durumda T , I durumundadır veya örtendir deriz ve T ∈ I şeklinde yazacağız. Benzer şekilde, eğer T hem III ve hem de 2 durumunu sağlıyorsa bunu T ∈ III2 şeklinde yazacağız. Yukarıda
verdiğimiz, lineer dönüşümlerin durumlarını ifade eden sınıflandırma için, literatürde Goldberg sınıflandırması tabiri kullanılır.
Bir lineer dönüşümünün adjointi, dönüşümün tersi ve değer uzayı hakkında verdiği bilgiler bakımından önemlidir.
Tanım 1.1.2. [13, shf. 232] X ve Y normlu uzaylar ve T : X → Y sınırlı lineer dönüşüm olsun. T nin T∗ : Y0 → X0 adjoint dönüşümü her x ∈ X ve her φ ∈ Y0 için
(T∗φ)(x) = φ(T x) ile tanımlanır.
Şimdi, T : X → Y lineer dönüşümü ile T∗ : Y0 → X0 adjoint dönüşümü
arasındaki bazı ilişkileri veren teoremleri sunalım.
Teorem 1.1.6. [10, shf. 54, Teorem II.2.8] T∗ dönüşümünün D(T∗) tanım uzayının Y0 uzayına eşit olması için gerek ve yeter şart, T dönüşümünün sürekli bu-lunmasıdır. Bu durumda, T∗ dönüşümü de sürekli ve kT∗k = kT k eşitliği geçerlidir.
Teorem 1.1.7. [17, Lemma 5] T dönüşümünün yoğun görüntüye sahip olması için gerek ve yeter şart, T∗ dönüşümünün çekirdeğinin aşikâr uzay bulunmasıdır.
İspat. Eğer T∗φ = 0 olacak şekilde φ 6= 0 mevcut ise o zaman her x ∈ X için φ(T x) = 0 olur ve dolayısıyla X uzayının kapalı öz alt uzayı olan φ’nin çekirdeği T dönüşümünün görüntüsünü içerir.
Eğer T dönüşümünün görüntüsü yoğun değilse o zaman Hanh-Banach teore-minden her x ∈ X için φ(T x) = 0 ve φ 6= 0 olan φ ∈ X∗ vardır. Bu sebepten dolayı
T∗φ = 0.
Teorem 1.1.8. [17, Lemma 6] Eğer T∗ yoğun görüntüye sahip ise o zaman T dönüşümünün çekirdeği aşikâr uzaydır.
İspat. Eğer T x = θ ve x 6= θ olacak şekilde x ∈ X mevcut ise o zaman her φ ∈ X∗ için (T∗φ)(x) = φ(T x) = 0 olur. Buradan, X∗ uzayının kapalı özalt uzayı olan x’in sıfırlayıcısı, T∗ dönüşümünün görüntüsünü içerir. Teorem 1.1.9. [10, Teorem II 3.11] T dönüşümünün sınırlı bir terse sahip olması için T∗ dönüşümünün örten bulunması gerek ve yeterdir.
1.2. Dizi Uzayları ve Matris Dönüşümleri
Bütün reel veya kompleks terimli dizilerin cümlesini w ile göstereceğiz. w, dizilerin koordinatsal toplama ve skalarla çarpma işlemleri ile bir vektör uzayı teşkil eder. w uzayının herbir alt uzayı, bir dizi uzayı olarak adlandırılır. Çalışmamızda kul-lanacağımız dizi uzayları, standard dizi uzayları olarak adlandırılan sınırlı dizilerin `∞, yakınsak dizilerin c, sıfıra yakınsak dizilerin c0 ve p-mutlak toplanabilen dizilerin
`p (1 ≤ p < ∞) uzaylarıdır. `∞, c ve c0 uzayları
kxk∞= sup k∈N
|xk|
normu ile ve `p uzayı
kxkp = ∞ X k=0 |xk|p !1/p
normu ile Banach uzaylardır. Bu uzaylardan, literatürde çok kullanılan bazı dizi uzayları türetilmiştir. Meselâ; bs, cs, bv, bvp, cesp, `∞(∆), ... gibi.
c, c0 uzaylarının sürekli duali `1 ve `p uzayının duali de `q uzayına izomorftur.
Tanım 1.2.1. A = (ank) reel veya kompleks terimli bir sonsuz matris ve x =
(xk) herhangi bir dizi olsun. Eğer her n ∈ N için
(Ax)n= ∞
X
k=0
ankxk
serileri yakınsak ise Ax = ((Ax)n) dizisine x dizisinin A matrisi ile elde edilen
dönüşüm dizisi denir. λ ve µ herhangi iki dizi uzayı ve A bir sonsuz matris olsun. Eğer her x ∈ λ için Ax dönüşüm dizisi mevcut ve µ uzayına ait ise A matrisi, λ uzayından µ uzayına bir matris dönüşümü tanımlar denir. λ uzayından µ dizi uzayına tanımlı bütün matris dönüşümlerinin cümlesi, (λ; µ) ile gösterilir.
k > n için ank = 0 ve ann 6= 0 terimlerinden oluşan A = (ank) matrisine üçgen
matris denir. Üçgen matris dönüşümleri birebirdir.
Dizi uzayları arasındaki bir lineer dönüşüme daima bir matris karşılık gelmeye-bilir. Meselâ; lim : c → R lineer dönüşümünün bir matris temsili tanımlı değildir. Fakat, koordinat fonksiyonellerini sürekli kılan norma sahip ve ej ile temsil edilen j.
terimi 1 diğer terimleri sıfır olan standard birim dizilerinin {e0, e1, e2, . . .} cümlesini baz kabul eden uzayda tanımlı lineer dönüşümler, bir matris gösterimine sahiptirler. Dizi uzaylar teorisinde daha çok, matris temsile sahip lineer dönüşümlerle ilgilenilir.
Burada gerekli bazı matris dönüşümlerinin sınıflarını vereceğiz.
Teorem 1.2.1. [27, shf. 218] A = (aij) matrisinin c uzayından yine bu uzaya
tanımlı sınırlı lineer bir T ∈ B(c) dönüşümünü vermesi için gerek ve yeter şartlar; i) A matrisinin bütün satırları `1 uzayında ve `1 normları sınırlı,
ii) A matrisinin bütün sütunları c uzayında,
Bu tür dönüşümlere, yakınsaklığı koruyan dönüşüm ve limiti koruyan dönüşüm-lere de regüler dönüşüm adı verilir. T dönüşümünün normu, satırların `1
norm-larının supremumudur.
Teorem 1.2.2. [27, shf. 217] A = (aij) matrisinin c0 uzayından yine bu uzaya
tanımlı sınırlı lineer bir T ∈ B(c0) dönüşümünü vermesi için gerek ve yeter şartlar;
i) A matrisinin bütün satırları `1 uzayında ve `1 normları sınırlıdır,
ii) A matrisinin bütün sütunları c0 uzayındadır.
T dönüşümünün normu, satırların `1 normlarının supremumudur.
Teorem 1.2.3. [27, shf. 220] A = (aij) matrisinin `1 uzayından yine bu uzaya
tanımlı sınırlı lineer bir T ∈ B(`1) dönüşümüne karşılık gelmesi için gerek ve yeter
şart, A matrisinin bütün sütunları `1 uzayında ve onların `1 normları sınırlı
ol-masıdır.
T dönüşümünün normu, sütunların `1 normlarının supremumudur.
Teorem 1.2.4. [27, shf. 220] A = (aij) matrisinin `∞ uzayından yine bu
uzaya tanımlı sınırlı lineer bir T ∈ B(`∞) dönüşümüne karşılık gelmesi için gerek
ve yeter şart, A matrisinin bütün satırları `1 uzayında ve onların `1 normları sınırlı
olmasıdır.
T dönüşümünün normu, satırların `1 normlarının supremumudur.
1.3. Bir Dönüşümün Spektrumu
Bazı özelliklere sahip dönüşümlerin terslerini, ters dönüşümlerin özellikleri ve dönüşümle olan ilişkilerini inceleyen spektral teori, fonksiyonel analiz ve uygula-malarında temel konulardan biridir. Ters dönüşümler, denklemlerin (meselâ, cebirsel lineer denklem sistemleri, diferansiyel denklemler, integral denklemler) çözüm prob-lemlerinde hemen karşımıza çıkar. Bu alanın gelişmesine, Sturm-Liouville ve Fred-holm’un meşhur integral denklemler teorisinden çıkan sınır değerlerinin araştırılması problemi, önemli katkıda bulunmuştur.
X, n-boyutlu bir normlu uzay ve T : X → X bir lineer dönüşüm olsun. T lineer olduğundan dönüşüme bir n-kare matris karşılık gelir. Dönüşüme dair spek-trum tartışmaları, dönüşüme karşılık gelen matrisin karakteristik köklerinin bulun-ması problemine dönüşür. Sonsuz boyutlu uzaylarda bir dönüşümün spektrum tartış-maları oldukça ilginç ve karmaşıktır.
Şimdi spektrum tatışmalarında kullanacağımız kavramları verelim.
Tanım 1.3.1. [18, shf. 188](Rezolvent ve spektrum cümleleri) X 6= {θ} bir normlu uzay ve T : X → X bir lineer dönüşüm ve I da X üzerindeki birim dönüşüm olsun. λ bir skalar olmak üzere, eğer λI − T dönüşümünün görüntü uzayı yoğun ve sınırlı bir terse sahip ise bu durumda λ skalarına T dönüşümünün bir regüler değeri denir. T dönüşümünün bütün regüler değerlerinin oluşturduğu skalarların cümlesine T ’nin rezolvent cümlesi denir ve ρ(T, X) ile gösterilir. Buna göre;
ρ(T, X) = {λ ∈ C : R(λI − T ) = X ve (λI − T )−1 mevcut ve sürekli}
şeklindedir. Yani, λ ∈ C’nin T lineer dönüşümünün bir regüler değeri olması için gerek ve yeter şart, T − λI ∈ I1∪ II1 bulunmasıdır.
T ’nin bir regüler değeri olmayan λ skalarına T dönüşümünün bir spektrum değeri denir. T dönüşümünün bütün spektrum değerlerinin oluşturduğu cümleye T ’nin spektrumu denir ve σ(T, X) ile gösterilir. Buna göre;
σ(T, X) = C \ ρ(T, X)
şeklindedir.
T lineer dönüşümünün spektrum cümlesi; nokta spektrum, artık spektrum ve sürekli spektrum şeklinde ayrık üç alt cümleye ayrılır.
Tanım 1.3.2. [10, shf. 71] T −λI dönüşümünün tersi mevcut olmadığı yani Tλ ∈
3 olduğu λ ∈ C kompleks sayılarının cümlesine, T dönüşümünün nokta spektrum cümlesi denir ve σp(T, X) ile gösterilir.
T − λI dönüşümünün tersi mevcut olduğu fakat görüntü uzayının yoğun ol-madığı λ ∈ C kompleks sayılarının cümlesine, T dönüşümünün artık spektrum cüm-lesi denir ve σr(T, X) ile gösterilir.
T − λI dönüşümünün görüntü uzayının yoğun olduğu ve tersi mevcut fakat sınırlı olmadığı λ ∈ C kompleks sayılarının cümlesine, T dönüşümünün sürekli spek-trum cümlesi denir ve σc(T, X) ile gösterilir.
T : X → X ve T∗ : X0 → X0 dönüşümlerinin spektrumları arasında,
σ(T, X) = σ(T∗, X0) σp(T, X) ⊂ σr(T∗, X0) ∪ σp(T∗, X0) σp(T∗, X0) ⊂ σr(T, X) ∪ σp(T, X) σc(T, X) ⊂ σr(T∗, X0) ∪ σc(T∗, X0) (1.3.1) σc(T∗, X0) ⊂ σc(T, X) σr(T, X) ⊂ σp(T∗, X0) σr(T∗, X0) ⊂ σc(T, X) ∪ σp(T, X) bağıntıları mevcuttur.
BÖLÜM 2
Dizi Uzaylarında Spektrum
Bu bölümde, dizi uzayları arasındaki dönüşümlerin spektrumu ile ilgili yapılmış çalışmalar hakkında bilgi vererek, çalışmalarımıza temel oluşturan bazı makaleleri not edeceğiz.
Dizi uzayları arasındaki dönüşümlerden Cesàro matrisinin spektrumu üzerinde bir çok çalışma yapılmıştır. Bu alanda ilk çalışma, 1965 yılında Brown, Halmos ve Shields [6] tarafından birinci mertebeden Cesàro dönüşümünün, `2 Hilbert uzayı
üz-erindeki karakteristik değerlerini ve spektrum cümlesini belirleyen çalışmasıdır. Daha sonra, 1975 yılında, Wenger [32], c uzayı üzerinde ince spektrumunu ve Reade [17] ve Gonzalez [11] 1985’de sırasıyla c uzayı üzerindeki spektrumu ve `p (1 < p < ∞) uzayı
üzerindeki ince spektrumunu inceledi. Okutoyi [15],[16] künyeli çalışmalarında, bv ve bv0 uzayları üzerindeki spektrumu ile ilgilendi. Sharma [25], [26] konzervatif
ma-tris sınıfındaki koersif üçgen mama-trislerin köşegen elemanlarının spektrum cümlesinin ayrık noktaları olduğunu ve Euler matrisi hakkındaki Mercerian teoremi ile bu ma-trisin spektrum cümlesini veren makalesi bu alanda farklı bir çalışmadır.
Cass ve Rhoades [8] çalışmalarında, ağılıklı ortalama metodlarının spektrumu ve spektrum yardımıyla Mercerian teoremleri ile ilgilendiler. Rhoades [21], [22] ve [23], bir önceki paragrafta zikredilen yazarların Cesàro dönüşümüyle ilgili spektrum tartışmalarını, c, c0 ve `p üzerindeki ağırlıklı ortalama dönüşümlerine genişleterek,
ince spektrumlarını araştırdı.
Rhaly [19], (rn) bir dizi olmak üzere, k ≤ n için ank = rn ve k > n için
ank = 0 ile tanımlı A = (ank) biçiminde matris gösterimine sahip Rhaly
meto-dunun belirli şartlar altında `2 Hilbert uzayı üzerinde sınırlı dönüşüm ve kompakt
oluşu hakkında incelemeler yaparak, matrisin uzay üzerinde spektrumunu ve adjoint dönüşümünün nokta spektrum cümlesini belirledi. Bu çalışmanın ışığında, Yıldırım
[28]- [31], Rhaly matrislerinin c ve c0, `p ve bv0 uzaylarında özelliklerini ve ince
spektrumu ile ilgilendi. Yine Rhaly [20] çalışmasında, terimleri ank = (n + 1)−p
şeklinde olan p-Cesàro matrisinin p > 1 için `2 uzayı üzerindeki özelliklerini ve
spektrumunu inceledi. Buna Parelel olarak Coşkun [9], c0 uzayı üzerinde p-Cesàro
matrisinin spektrum ve ince spektrumunu verdi.
Fark matrisi de dizi uzayları teorisinde önemli bir yere sahiptir. Son zamanlarda bu metod ile ilgili çok sayıda çalışma literatüre girmektedir. Metodun spektrumu ile ilk olarak de Malafosse ilgilendi. de Malafosse [14], fark matrisini,
kxksr = sup
k∈N
|xk|
rk , (r > 0).
normu ile normlu dizilerin sr uzayında ele aldı. Altay ve Başar [4] ve Akhmedov ve
Başar [2][3], fark matrisinin sırasıyla c0, c, `p ve Başar ve Altay [5] tarafından inşa
edilen bvp uzayları üzerindeki spektrumu ile ilgilendiler.
Rhoades ve Yıldırım [24] çalışmalarında, (ak) ve (bk) gibi iki dizinin çarpımı
şeklinde tanımlı ank = anbk terimli üçgen A = (ank) matrisinin belirli şartlar altında
c uzayı üzerindeki özelliklerini ve ince spektrumlarını inceledi. Dizilerin özel seçimiyle daha önce yapılmış olan bazı çalışmaların, meselâ, an=Pnk=0bk alınmasıyla birinci
yazarın üzerinde çalıştığı ağırlıklı ortalama matrisi ve her k ∈ N için bk = 1 ile ikinci
yazarın ilgilendiği Rhaly matrisi, an = (n + 1)−p, bk = 1 ile Coşkun [9] tarafından
incelenen p-Cesaro ve an = (n + 1)−1, bk = 1 ile Reade [17] tarafından çalışılan
Cesaro matrisi gibi, sonuçlarını ihtiva ettiğinden dikkate değer bir çalışmadır. Şimdi, sırasıyla Rhoades [21], Reade [17], Rhaodes [22] ve Altay ve Başar [4] tarafından verilen ağırlıklı ortalama, Cesaro ve fark metodlarının çeşitli dizi uzayları üzerindeki spektrum incelemelerini vereceğiz.
2.1. c Uzayında Ağırlıklı Ortalama Dönüşümünün İnce Spektrumu Bu kısımda, Rhoades [19] tarafından verilen ağırlıklı ortalama dönüşümünün c uzayı üzerindeki ince spektrum çalışmasını vereceğiz.
Bir ağırlıklı ortalama matrisi, p0 > 0 ve n > 0 için pn ≥ 0, Pn=
Pn
k=0pkolmak
üzere terimleri ank = pk/Pn olan bir alt üçgen A = (ank) matrisi ile tanımlanır. A
matrisinin regüler olması için limnPn= ∞ şartının sağlanması gerek ve yeterdir.
δ = lim sup pn/Pn, γ = lim inf pn/Pn ve S = {pn/Pn: n ≥ 0} olmak üzere, bir
regüler ağırlıklı ortalama A = (ank) matrisi için
{λ : |λ−(2−δ)−1| ≤ (1−δ)/(2−δ)}∪S ⊆ σ(A, c) ⊆ {λ : |λ−(2−γ)−1| ≤ (1−γ)/(2−γ)}∪S
kapsamalarının geçerli olduğu Cass ve Rhoades [8] tarafından verildi.
Önce, δ = γ eşitliğini sağlayan regüler ağırlıklı ortalama matrislerini gözönüne alacağız.
Teorem 2.1.1. δ = lim sup pn/Pn mevcut olan regüler ağırlıklı ortalama
ma-trisi A = (ank) olsun. Eğer λ 6∈ S skaları, |λ−(2−δ)−1| < (1−δ)/(2−δ) eşitsizliğini
sağlıyor ise o zaman λ ∈ III1σ(A, c) yani λ, σ(A, c) cümlesinin R(λI − A) 6= X ve
(λI − A)−1 mevcut ve sürekli şartlarını sağlayan değeridir.
İspat. Hipotezdeki şartları sağlayan λ değerleri için λI − A bir üçgen matris olacağından birebir bir dönüşümdür. Bu nedenle, λI − A ∈ 1 ∪ 2 bulunur.
T∗ = λI − A∗ adjoint matrisini gözönüne alalım. A regüler olduğundan e = (1, 1, 1, ...) olmak üzere ; n > 0 için a∗00 = χ(A) = limnAe −
P klimnank = 1, a∗n0 = a∗0n = 0 ve n, k > 0 için a∗nk = ak−1,n−1 ile A∗ = (a∗nk) dönüşümü B(`1) uzayına aittir. T∗x = θ olsun. O zaman (λ − 1)x0 = 0 ve n > 0 için λ − pn−1 Pn−1 xn− ∞ X k=n+1 a∗nkxk = 0 (2.1.1)
eşitliklerini elde ederiz. Buradan x0 = 0, x1 keyfi skalar ve cn = pn/Pn alınmasıyla (2.1.1) eşitliğinden xn = pn−1x1 p0λn−1 n−2 Y j=o (λ − cj) = pn−1 p0 x1 n−2 Y j=0 1 − cj λ (2.1.2) = 1 − 1 λ pn−1x1 Pn−2 n−2 Y j=1 1 + 1 − 1 λ pj Pj−1 bulunur. "−1
λ = α + iβ olmak üzere, yeterince büyük tüm j ’ler için 1 + 1 − 1 λ pj Pj−1 < 1 olması için gerek ve yeter şart
1 + (1 + α) pj Pj−1 2 + β pj Pj−1 2 < 1
bulunmasıdır" önermesinin geçerli olduğunu dikkate alarak aşağıdaki tartışmaları yapalım.
I.Durum: (pk) dizisinin en çok sonlu sayıda terimi sıfır olsun. O zaman üstteki
eşitsizlik, yeterince büyük bütün j ’ler için
2(1 + α) +(1 + α)2+ β2 pj Pj−1
< 0 eşitsizliğine denk olur.
Yine, yukarıdaki eşitsizlik, yeterince büyük bütün j ’ler için, eğer 2(1 + α) +(1 + α)2+ β2 δ
1 − δ < 0 ise doğru olacaktır, ki bu eşitsizlik
|λ − (2 − δ)−1| < 1 − δ 2 − δ ifadesine denktir. zn= Qn−2 j=1 [1 + (1 − 1/λ)pj/Pj−1] alınırsa, o zaman
zn+1 zn = 1 + 1 − 1 λ pn−1 Pn−2 eşitliği geçerli olacaktır.
λ üzerindeki şartları dikkate alarak, bundan önceki parağraftaki tartışmadan, yeterince büyük bütün n ’ler için,
1 + 1 − 1 λ pn−1 Pn−2 ≤ ξ < 1 (2.1.3)
ifadesinin doğru ve P |zn| serisinin yakınsak olduğu görülür.
|(1 − 1/λ)pn−1x1/Pn−2| sınırlı olduğundan, (λI − A∗)x = 0 denkleminin aşikâr
olmayan çözüme sahip olduğu, P |xn| serisinin yakınsaklığından elde edilir.
λI −A dönüşümünün yoğun görüntüye sahip olmadığı Teorem 1.1.7’den hemen görülür. Buradan λI − A ∈ III ve böylece λI − A ∈ III1∪ III2 olduğunu söyleriz.
λI−A ∈ III1olduğunu doğrulamak için Teorem 1.1.9’dan λI−A∗dönüşümünün
örten olduğunu göstermek yeterlidir.
x, y ∈ `1 için y = (λI − A∗)x olsun. O zaman (λ − 1)x0 = y0 ve n > 0 için,
(λ − cn−1)xn− ∞ X k=n+1 pn−1xk Pk−1 = yn (2.1.4)
olup x1 = 0 seçerek y ’ye göre x ’i çözersek
−po ∞ X k=2 xk Pk−1 = y1 (2.1.5) ve (λ − cn−1)xn = yn+ pn−1 ∞ X k=n+1 xk Pk−1 (2.1.6)
denklemlerini elde ederiz. Meselâ; n = 2 için (2.1.6)’da (2.1.5)’ i yerine yazarsak (λ − c1)x2 = y2+ p1 ∞ X k=3 xk Pk−1 = y2+ p1 ∞ X k=2 xk Pk−1 − x2 P1 ! elde ederiz ki x2 = y2− p1y1 p0 λ bulunur.
Bu şekilde devam ederek, eğer By = x eşitliğini sağlayan B bir alt üçgen matris ise o zaman B = (bnk) matrisinin terimleri
b00 = 1 λ − 1, bnn = 1 λ, (n > 1), b21 = − p1 λp0 , bn,n−1 = − pn−1 Pn−2λ2 , (n > 2), bn1 = − pn−1 λp0 n−2 Y j=1 1 −cj λ , (n > 2), bnk = − pn−1 λPk−1 n−2 Y j=k 1 −cj λ , (1 < k < n − 1)
ve diğer durumlarda bnk = 0 şeklinde bulunur.
B ∈ B(`) olduğunu göstermek için, k indisinden bağımsız olarak P
n|bnk|
serisinin sonlu olduğunu göstermek yeterdir. B matrisinin ilk sütunu için,
X
n
|bn0| =
1 |λ − 1| olduğu açıktır. Diğer taraftan,
1 − cj λ = 1 − pj λPj = Pj−1 Pj 1 + 1 − 1 λ pj Pj−1
eşitliğini yazabilir ve ayrıca
sup n>1 pn−1 Pn−2 ≤ M < ∞ olduğu dikkate alınırsa,
X n |bn1| ≤ 1 |λ| " M + M ∞ X n=3 n−2 Y j=1 1 + 1 − 1 λ pj Pj−1 # ve k > 1 için X n |bnk| ≤ 1 |λ| + M |λ|2 + M |λ|2 n−2 X n=k+2 1 + 1 − 1 λ pj Pj−1
eşitsizliklerinin geçerli olduğu görülür. k > 1 olduğundan, ilk eşitlikteki diziler, ik-inci eşitlikteki dizilerden daha büyük olduğundan, (2.1.3)’ den mutlak yakınsaktır. Buradan, kBk1 < ∞ bulunur.
(λI − A)−1 sınırlı olduğundan süreklidir ve λ ∈ III1σ(A, c) bulunur.
2.Durum: (pk) dizisinin sonsuz sayıda terimi sıfır olsun. limnPn = ∞
olduğun-dan sıfır olmayan sonsuz sayıda pk terimi vardır. Bunları {pnk} ile gösterelim.
n 6= 1 + nk için (2.1.2)’den xn = 0 olur. Diğer durumda,
x1+nk = 1 − 1 λ pnk Pnk−1 r Y j=1 1 − 1 − 1 λ p nj Pnj−1 dir.
Durum 1’deki gibi tartışmalarlaP
n|zn| serisinin yakınsak ve (λI − A
∗)x = θ
aşikâr olmayan çözümlere sahip olduğu görülür.
pk= 0 olan sonsuz sayıda terimin varlığı sadece B matrisinin sıfır olan
terim-lerini arttırdığından, sıfır olmayan terimler için tartışma 1.Durumdaki gibi
olacağın-dan λI − A∗ dönüşümünün örten olduğu görülür.
Teorem 2.1.2. Köşegen elemanları sonsuz defa tekrarlanmayan, δ = lim pn/Pn
mecut ve δ < 1 özelliğine sahip regüler ağırlıklı ortalama matris A olsun. Eğer λ = δ veya λ = ann , (n = 1, 2, . . .) ve δ/(2 − δ) < λ < 1 ise o zaman λ ∈ III1σ(A, c)’ dir.
İspat. j > 1 ve A matrisinin köşegen elemanları farklı olsun. (ajjIA)x = θ
eşitliğinden, k < j için xk = 0 ve n > j için
(ajj− ann)xn− n−1
X
k=0
ankxk = 0
denklemlerini elde ederiz. Bu sistem xn+1 =
pjPnxn
pjPn+1
(cj − cj+1)
indirgeme denklemine sahip olacağından, xn terimine göre denklemi çözersek,
xj+m = Pjxjcmj Pj+m Qm i=1(cj− cj+i) = xj m Y i=1 1 − cj+i 1 − cj+i/cj (2.1.7)
bulunur. Burada, (1−cj+i)(1−cj+i/cj) = (Pj+i−pj+i)/(Pj+i−pj+i/cj) = Pj+i−1/(Pj+i−1+
(1 − 1/cj)pj+i) = (1 + (1 − 1/cj)pj+i/Pj+i−1)−1 olduğu dikkate alınırsa,
xj+m = xj Qm i=1 h 1 +1 − 1 cj p j+i Pj+i−1 i
elde edilir. 0 < cj < 1 olduğundan, Teorem 2.1.1’deki tartışmalar, yeterince büyük i
için 1 + 1 −c1 j pj+i Pj+i−1 ≤ ξ < 1
eşitsizliğinin geçerliliğini gerektirir. x dizisinin c uzayına ait olması x = θ bulun-masını gerektirdiğinden, ajjI − A dönüşümü birebirdir. Şu hâlde, cjI − A ∈ 1 ∪ 2
bulunur.
cjI −A ∈ III bulunacağı açıktır. Şimdi, cjI −A∗ dönüşümünün örten olduğunu
gösterelim.
x, y ∈ `1 için (λI − A∗)x = y olsun. xj+1= 0 seçerek, x0, x1, . . . , xj terimlerini
y0, y1, . . . , yj+1 terimleri cinsinden ifade edebiliriz. x dizisinin diğer terimleri, Teorem
2.1.1’deki gibi, x = By denkleminden elde ederiz. Bu denklemi sağlayan B = (bnk)
matrisinin sıfır olmayan elemanları bj+m,j+m = 1 cj , (m > 1) (2.1.8) bj+2,j+1= − pj+1 cjpj , bj+m,j+m−1= − pj+m−1 c2 jPj+m−2 , (m > 2), bj+m,j+k = − pj+m−1 c2 jPj+k−1 j+m−2 Y i=j+k 1 − ci cj , (1 < k < m − 1, m > 2) bj+m,j+1= − pj+m−1 cjPj j+m−2 Y i=j+1 1 − ci cj , (m > 2) şeklindedir. (2.1.8)’den ∞ X n=j+1 |bn,j+1| = pj+1 cjpj + 1 cjpj ∞ X n=j+3 pn−1 n−2 Y i=j+1 1 − ci cj (2.1.9)
yazabiliriz. m > 1 için ∞ X n=m+j |bn,m+j| = 1 cj + pj+m c2 jPj+m−1 + 1 c2 j ∞ X n=m+j+2 pn−1 Pj+m−1 n−2 Y i=j+m 1 − ci cj
eşitliği geçerli olup, pj+m/Pj+m−1 sınırlı ve m > 1 için pj/Pj+m−1 ≤ 1 olduğundan
kBk1 < ∞ göstermek için (2.1.9) serisinin yakınsak olduğunu göstermek yeterlidir.
pn−1 pj = Pn−1Pn−2Pn−3· · · Pj Pn−2Pn−3· · · Pjpj 1 (1 − cn−2) · · · (1 − cn−2)cj
eşitliğini (2.1.9) serisinde yerine yazarsak, 1 c2 j ∞ X n=j+3 pn−1 Pn−2 n−2 Y i=j+1 1 − ci/cj 1 − ci bulunur. 1 − ci/cj 1 − ci = Pi− pi/cj Pi− pi = pi Pi−1 + 1 − pi cjPi−1 (2.1.10) = 1 + 1 − 1 cj pi Pi−1
olduğunu dikkate alalım. λ üzerindeki şartlardan, yeterince büyük i’ler için (2.1.3) sağlanır ve (2.1.9) serisi mutlak yakınsaktır.
A matrisinin köşegen elemanları farklı olmasın. λ üzerindeki kısıtlamalar, köşe-gen elemanlarının sıfır olmadığını garanti eder. k ve r sayıları, sırasıyla birden fa-zla köşegende bulunun cj 6= 0 saylarının en küçük ve en büyük indisini göstersin.
(2.1.7)’den n > r ve 0 < n < k için xn = 0 bulunur. Bu durumda, (cjI − A)x = θ
eşitliği (ci − cn)xn− n−1 X i=j anixi = 0, (k < n ≤ r) (2.1.11) hâlini alır.
1.Durum.r = k + 1 ise (2.1.11)’i
(ci− ck+1)xj+1− ak+1,kxk = 0
birtek eşitliğe indirgenir ki bu ise, cj = cr = ck+1 ve pj 6= 0 ifadelerinden xk = 0
2.Durum. r > k+1 ise (2.1.11)’den xn = Pn+1(cj−cn+1)xn+1/cjPn, (k < n < r)
indirgeme formülünü elde ederiz. xr = 0 olduğundan k < n < r için xn = 0 bulunur.
n = k + 1 alınarak (2.1.11)’den xk= 0 elde edilir. Buradan x = θ olduğu görülür.
cjI −A∗dönüşümünün örten olduğunu gösterelim. x, y ∈ `1 için (λI −A∗)x = y
olsun. xj+1 = 0 seçerek x0, x1, . . . , xj terimlerini y0, y1, . . . , yj+1 terimleri cinsinden
çözebiliriz. x dizisinin diğer terimlerini veren Teorem 2.1.1’deki gibi, x = By den-klemindeki B matrisinin terimleri (2.1.8)’deki gibi olup diğer terimleri sıfırdır.
k ≤ j ≤ r olduğundan iki durum sözkonusudur.
1.Durum. j = r ise (2.1.11)’den sonraki tartışmaların aynısı geçerlidir.
2.Durum. j < r ise (2.1.11)’den en az bir m ≥ r − j + 2 için bj+m,j+k =
bj+m,j+1 = 0 bulunur. Eğer j < n < r için cn = cj olan n değeri varsa, B
ma-trisinin başka terimleri de sıfır olacaktır. Bu sıfır terimleri tartışmanın geçerliliğine etki etmeyeceğinden (2.1.9) serisi yine yakınsak olacaktır.
δ = 0 ise 0, yuvarın içinde bulunmayacağından teoremde gözönüne alınmaz. λ = δ > 0 olsun. Eğer yeterince büyük i’ler ve n ≥ 1 için ann 6= δ ise Teorem
2.1.1’deki tartışmaları uygulamakla, δI − A ∈ III1 elde ederiz. Eğer bazı n indisleri
için ann = δ ise cj yerine δ alınarak Teorem 2.1.2’deki tartışmaları uygulamakla yine
δI − A ∈ III1 elde ederiz.
Böylece, bütün durumlarda, cjI − A ∈ 1 ∪ 2 buluruz.
Teorem 2.1.3. δ = lim pn/Pn mevcut ve yeterince büyük bütün n’ler için
pn/Pn ≥ δ olan regüler ağırlıklı ortalama metodu A olsun. Eğer λ 6∈ {1, δ/(2 −
δ)} skaları |λ − (2 − δ)−1| = (1 − δ)/(2 − δ) eşitliğini sağlıyor ise o zaman λ ∈ II2σ(A, c)’dır.
İspat. λ 6∈ {1, δ/(2 − δ)} skaları |λ − (2 − δ)−1| = (1 − δ)/(2 − δ) eşitliğini sağlasın. Bu durumda, λI − A üçgen ve dolayısıyla birebir dönüşüm olacağından λI −A ∈ 1∪2 elde edilir. (λI −A∗)x = θ eşitliğini gözönüne alalım. Teorem 2.1.1’deki gibi, x0 = 0, x1 keyfi ve n > 0 için (xn) dizisi (2.1.2) ifadesini sağlar. Hipotezden,
Buradan, n ≥ N için 1 + 1 − λ1 pn/Pn−1
≥ 1 bulunur. Böylece, c sabiti, n ≥ N için n’den bağımsız olmak üzere, |xn| ≥ cpn−1/Pn−2 eşitsizliği sağlanır. Şu hâlde,
pn−1 Pn−2 = p 2 n−1 Pn−1Pn−2 ≥ pn−1 Pn−1 eşitsizliğine ulaşırız. P
npn/Pn serisi, [12, shf. 290]’dan ıraksak olup, x = (xn) ∈ `1 ise x = θ
olmasını gerektirir ki bu da λI − A∗ ∈ 1 ∪ 2 olduğunu gösterir. λ 6∈ {1, δ/(2 − δ)} ve
λ ∈ σ(A, c) olduğundan λ ∈ II2σ(A, c) bulunur.
Teorem 2.1.4. A regüler ağırlıklı ortalama metod ise 1 ∈ III3σ(A, c)’dır.
İspat. (λI − A)e = θ olduğundan λI − A dönüşümü, birebir değildir. Şu hâlde, λ − A ∈ 3’dir. z ∈ c ve z0 6= 0 olsun. Bu durumda, her x ∈ c için k(I − A)x − zk ≥
|z0| > |z0|/2 eşitsizliği sağlanacağından, z 6∈ R(I − A) dir. Buradan R(I − A) 6= c
bulunur. Bu ise, 1 ∈ III3σ(A, c) olduğunu gösterir.
Teorem 2.1.5. γ = lim inf pn/Pn ve 0 ≤ cn ≤ γ/(2 − γ) eşitsizliğini sağlayan
cn elemanlara sahip regüler ağırlıklı ortalama metodu A olsun. λ = cn ise λ ∈
III3σ(A, c)’ dir.
İspat. ck, 0 < ck≤ γ/(2−γ) eşitsizliğini sağlayan köşegen eleman ve j de cj = ck
eşitliğini sağlayan en küçük indis olsun. c0 = 1 için j > 0’dır. x0 = 0 ve n > j + 1
için xn= 0 alınarak (cjI − A∗)x = θ sistemi, j + 1 bilinmeyenli j denklemden oluşan
homojen lineer sistemine indirgenir ki bu sistem aşikâr olmayan çözümlere sahip olacağından cjI − A ∈ III bulunur.
Eğer cj = γ/(2 − γ) ise cjI − A ∈ 3 olacağı açıktır. 0 < ck < γ/(2 − γ) ve r de
cr = ck eşitliğini sağlayan en büyük indis olsun. (crI − A)x = θ sistemini çözersek
xr+m = xr m Y i=1 1 − cr+i 1 − cr+i/cr (2.1.12) elde ederiz.
ε = min{γ(1−γ)/(2−γ)2, γ/2−1/(1+1/cj)} alalım. m ≥ N için cj+m+1> γ−ε
olacak şekilde yeterince büyük N seçelim. ε < γ(1 − γ)/(2 − γ) ve cj < γ/(2 − γ)
eşitsizliklerinden cj+m+1 cj− 1 > 2 − γ γ cj+m+1− 1 > 2 − γ γ (γ − ε) − 1 > 0 eşitsizliği elde edilir.
(2.1.12) eşitliği ve ε < γ − 2/(1 + 1/cj) eşitsizliğinden, m ≥ N için,
|xj+m+1| |xj+m| = 1 − cj+m+1 1 −cj+m+1 cj = 1 − ccj+m+1j+m+1 cj − 1 < 1 − γ + εγ−ε cj − 1 < 1
elde edilir. Buradan (xn) ∈ `1 olduğu görülür. Şu hâlde, x = (xn) ∈ c ve cjI − A
dönüşümünün birebir olmadığı anlaşılır.
Köşegen elemanlarından biri sıfır ve γ > 0 olan regüler ağırlıklı ortalama metodu A olsun. cj = 0 olan en büyük indis j olsun. ej standard birim diziler
olmak üzere, Aej = θ ve cjI − A = −A olduğundan cjI − A dönüşümü birebir
değildir. x0 = 0 ve n > j + 1 için xn = 0 alınarak, (cjI − A∗)x = θ sistemi, j + 1
bilinmeyenli j denklemden oluşan homojen lineer sistemine indirgenir.
A matrisinin köşegen elemanları dizisi yakınsak değil ise Cass ve Rhoades [8] gösterdikleri gibi spektrum cümlesi bir yuvarın içinde kalır. Buna örnek olarak, köşegen elemanları, c0 = 1 ve 1 < p < q olmak üzere n > 0 için c2n = 1/p,
c2n−1 = 1/q olan ağırlıklı ortalama metodunu gözönüne alalım. Bu şartlar altında
σ(A, c) = {γ : (p − 1)(q − 1)|λ|2 ≥ |1 − pλ||1 − qλ|}’ dir.
Teorem 2.1.6. Köşegen elemanları, 1 < p < q olmak üzere c0 = 1 ve n > 0
için c2n = 1/p, c2n−1 = 1/q olan regüler ağırlıklı ortalama metodu A olsun. Eğer
λ 6∈ {1, 1/p, 1/q} skaları (p − 1)(q − 1)|λ|2 > |1 − pλ||1 − qλ| eşitsizliğini sağlıyor ise
λ ∈ III1σ(A, c)’dır.
İspat. λ 6∈ {1, 1/p, 1/q} olduğundan, λI − A üçgen olup birebir bir dönüşümdür. O hâlde, λI − A ∈ 1 ∪ 2 olacaktır.
(λI − A∗)x = 0 olsun. Teorem 2.1.1’de kullanılan metod ile x0 = 0, x1 keyfi seçilerek, (2.1.2)’den, x2n = p2n−1 p0 x1(1 − 1 λ)(1 − 1 pλ) n−1 (1 − 1 qλ) n−1 , x2n+1 = p2n p0 x1(1 − 1 λ)(1 − 1 pλ) n−1(1 − 1 qλ) n
eşitlikleri elde edilir. A matrisi üzerindeki şartlardan, p2n = p0pn−1qn (p − 1)n(q − 1)n, p2n−1 = p0(pq)n−1 (p − 1)n−1(q − 1)n olup, buradan |x2n+2| |x2n| = |x2n+1| |x2n−1| = pq (p − 1)(q − 1) 1 − 1 pλ 1 − 1 qλ = pq|1 − pλ||1 − qλ| (p − 1)(q − 1)pq|λ|2 = pq|λ| 2(p − 1)(q − 1) (p − 1)(q − 1)pq|λ|2 = 1
bulunur. Şu hâlde, (λI − A∗)x = θ denklemini sağlayan x ∈ `1 dizisi olmadığından,
λI − A∗ dönüşümü birebir değildir. Şu hâlde λI − A ∈ IIIdir.
Şimdi, λI − A∗ dönüşümünün örten olduğunu gösterelim. x, y ∈ `1 için (λI −
A∗)x = y olsun. Bu durumda, (λ − 1)x0 = y0 ve (2.1.4) eşitlikleri sağlanır. (2.1.4)
denklemini, x dizisini y dizisi cinsinden veren x = By denklemindeki B matrisinin terimleri (2.1.6)’daki gibi olur. Burada P
n|bn0| = 1/|λ − 1| < ∞ ve ∞ X n=1 |bn1| = p1 p0|λ| + ∞ X n=3 pn−1 p0|λ| n−2 Y j=1 1 − cj λ (2.1.13)
olup, serinin sağındaki ifade, X 1 = ∞ X n=1 p2n p0|λ| 2n−1 Y j=1 1 − cj λ , ve X 2 = ∞ X n=2 p2n−1 p0|λ| 2n−2 Y j=1 1 − cj λ
şeklinde iki serinin toplamı olarak yazılabilir. R = |pλ − 1||qλ − 1|/(p − 1)(q − 1)|λ|2 olmak üzere X 1 = 1 p0|λ| ∞ X n=1 p0pn−1qn (p − 1)n(q − 1)n 1 − 1 pλ n−1 1 − 1 qλ n = |qλ − 1| (p − 1)(q − 1)|λ|2 ∞ X n=1 Rn−1 ve benzer şekilde, X 2 = 1 (q − 1)|λ| ∞ X n=2 Rn−1
eşitlikleri mevcuttur. λ üzerindeki şartlar dikkate alındığında, bu iki serinin de yakın-sak geometrik seri teşkil ettiği görülür. k > 1 için
∞ X n=k |bnk| = 1 |λ| 1 + pk |λ|Pk−1 + ∞ X n=k+2 pn−1 Pk−1|λ| n−2 Y j=k 1 − cj λ
serisi (2.1.13) serisindan küçük olduğundan, kBk1 < ∞ bulunur.
Teorem 2.1.7. A metodu, Teorem 2.1.6’daki gibi olsun. Eğer λ = 1/p veya 1/q ise λ ∈ III1σ(A, c)’ dır.
İspat. λ = 1/p olsun. Bu takdirde λI − A dönüşümü x = (x0, x1, x2, . . .) dizisini
{(1/p − 1)x0, −a10x0+ (1/p − 1/q)x1, −a20x0− a21x1, −a30x0− a31x1− a32x2+ (1/p −
1/q)x3, . . .} dizisine taşır. (λI − A)x = θ denklemi x0 = x1 = 0 olmasını gerektirir.
Tümevarım yoluyla, ardışık gelen
−a2n+1,2nx2n+ (1/p − 1/q)x2n+1 = 0
−a2n+2,2nx2n− a2n+2,2n+1x2n+1 = 0
denklem ikililerinden, katsayılar determinantı p2n/pP2n+2 6= 0 olduğundan, sadece
x2n = x2n+1 = 0 bulunur.
λ = 1/q ise λI−A dönüşümü x = (x0, x1, x2, . . .) dizisini {(1/q−1)x0, −a10x0, −a20x0−
gerektirir. Yine,
−a2n+2,2n+1x2n+1+ (1/q − 1/p)x2n+2 = 0
−a2n+3,2n+1x2n+1− a2n+3,2n+2x2n+2 = 0
ardışık denklem ikililerinden, katsayılar determinantı p2n+1/qP2n+3 6= 0 olduğundan,
sadece x2n+1 = x2n+2 = 0 bulunur. Buradan x = θ elde edilir ki bu ise λI − A
dönüşümünün birebir olduğunu gösterir. λI − A ∈ III olduğu açıktır ve geriye λI − A∗ dönüşümünün örten olduğunu göstermek kalır.
x, y ∈ `1 için (λI − A∗)x = y olsun. Teorem 2.1.2’deki gibi xj+1 = 0 seçerek,
x0, x1, . . . , xj terimlerini y0, y1, . . . , yj+1 terimleri cinsinden çözebilir ve x dizisinin
diğer terimleri, B matrisi Teorem 2.1.2’deki gibi olmak üzere, x = By denleminden elde edilir. Herbir j > 0 için cj+2 = cj olduğundan, k ≥ 3 ve m ≥ 4 için bj+m,j+m−k =
bj+m,j+1 = 0 ve çift m sayıları için bj+m,j+m−2 = 0 bulunur. Şu hâlde B matrisinin
sıfır olmayan en fazla üç köşegen elemanı vardır. Bu ise B ∈ B(`1) olduğunu gösterir.
Teorem 2.1.8. A metodu, Teorem 2.1.6’daki gibi olsun. Eğer λ skaları (p − 1)(q −1)|λ|2 = |1−pλ||1−qλ| eşitliğini sağlıyor ve λ 6= 1 ise o zaman λ ∈ II
2σ(A, c)’
dır.
İspat. λI − A üçgen olduğundan birebir dönüşümdür. Dolayısıyla λI − A ∈ 1 ∪ 2’dir. (λI − A∗)x = θ denklemi Teorem 2.1.1’deki gibi çözülürse, x0 = 0 ve n > 0
için xn terimleri (2.1.2)’yi sağlar. Böylece
|x2n| = |x1| q − 1 1 − 1 λ ve |x2n+1| = |x1||λ − 1| |pλ − 1|
bulunur. x dizisinin `1 uzayına ait bulunması için x = θ olması gerektiğinden λI −
A∗ ∈ 1 ∪ 2’dir. Bu ise, λ ∈ II2σ(A, c) olduğunu gösterir.
Cartlidge [7], p ≥ 1 için bazı ağırlıklı ortalama metodların B(`p) uzayına ait
0 ise o zaman A ∈ B(`p) ve σ(A) = {λ : |λ − (2 − δ)−1| ≤ (1 − δ)/(2 − δ)} ∪ S
olduğunu gösterdi.
Teorem 2.1.1-2.1.5’in bu tür A matrisleri için doğru olduğu gösterilebilir. Bu çalışmanın sonuçlarına dayanarak aşağıda vereceğimiz ifade makul bir bek-lentidir.
1 ≤ p ≤ ∞ eşitsizliğini sağlayan bazı p sayıları için B(`p) uzayına ait ağırlıklı
ortalama metodu A olsun. Bu durumda σ(A, `p) cümlesinin bütün iç noktaları III1’e,
1 ve belki γ/(2−γ) hariç bütün sınır noktalar II2’ye, 1 ve bütün ayrık noktalar III3’e
aittir. Eğer γ/(2 − γ), A’ nın bir köşegen elemanı ise o zaman γ/(2 − γ) ∈ III3’tür.
Aksi halde, γ/(2 − γ) ∈ II2’dir.
2.2. Cesàro Dönüşümünün Spektrumu Üzerine Burada, J. B. Reade [17] çalışmasının bazı sonuçlarını vereceğiz.
1965 yılında Brown, Holmes ve Shields [6], `2 Hilbert uzayı üzerinde bir (xn)
dizisini {(x1+x2+· · ·+xn)/n} dizisine taşıyan C1 Cesàro sınırlı lineer dönüşümünün
spektrumunu ve karakteristik köklerini hesapladılar. C1 dönüşümünün matris temsili, 1 0 0 . . . 1 2 1 2 0 . . . 1 3 1 3 1 3 . . . . . . . şeklindedir. C1 dönüşümünün C1∗ adjointi de 1 12 13 . . . 0 12 13 . . . 0 0 13 . . . .. . ...
şeklinde matris gösterimine sahip ve D köşegen matris olmak üzere, C1dönüşümünün
Buradan k C1 − I k=1 ve |λ − 1| < 1 eşitsizliğini sağlayan λ değerlerinin C1∗
dönüşümünün karakteristik kökleri olduğunu göstermek kolaydır. Dolayısıyla σ(C1, c0) = {λ : |λ − 1| ≤ 1}.
Bu makalede, C1 dönüşümünü, sıfır dizilerinin c0 Banach uzayı üzerideki bir
dönüşüm alarak spekturumunu belirleyeceğiz. C1∗ adjoint dönüşümü c0 dual uzayının
izometrik izomorf olduğu
k x k1= ∞
X
1
|xn|
normuyla Banach uzayı teşkil eden mutlak yakınsak seri oluşturan dizilerin `1 uzayı
üzerinde bir dönüşümdür. C1∗ matrisi C1 matrisinin transpozudur. C1 dönüşümünün
ikinci C1∗∗ adjointi yine C1 dönüşümü olup fakat bu dönüşüm `1 dual uzayının
izometrik izomorf olduğu
k x k∞= sup n≥1
|xn|
normuyla Banach uzayı teşkil eden sınırlı dizilerin `∞uzayı üzerinde bir dönüşümdür.
C1 dönüşümünün c0uzayı üzerindeki spekturumunu |λ −12| ≤ 12 eşitsizliğini sağlayan
λ skalarları olduğunu gösterdik. Öncelikle Browm, Holmes ve Shields’i [6] takip ed-erek benzer tartışmalarla C1’nin hiçbir karakteristik köke sahip olmadığını ve C1∗
dönüşümünün bütün karakteristik köklerinin |λ − 12| < 1
2 eşitsizliğini sağlayan λ
skalarları olduğunu göstereceğiz. Raabe testini kullanan Rhaly’nin [19, shf. 557] tekniğini kullanacağız. k C1 − 12I k= 32 gerçeği bizi, C1 dönüşümünün kalan
spek-trumlarını belirlememiz için farklı bir yöntem aramağa zorlar. Aslında, doğrudan doğruya |λ − 12| > 1
2 eşitsizliğini sağlayan λ skalarları için C1 − λI dönüşümünün
tersinin mevcut olduğunu gösterdik. Şimdi C1, C1∗ ve C
∗∗
1 dönüşümlerinin sırasıyla c0, `1 ve `∞ uzayları üzarinde
sınırlı lineer dönüşümler olduğunu veren ve normlarını belirleyen yardımcı teoremleri verelim.
Teorem 2.2.2. C1∗ ∈ B(`1) ve k C1∗ k= 1.
Teorem 2.2.3. C1∗∗∈ B(`∞) ve k C ∗∗ 1 k= 1.
C1 dönüşümünün spektrum cümlesini karakterize edecek olan ilk teoremi
vere-lim.
Theorem 2.2.4. C1 ∈ B(c0) karakteristik köklere sahip değildir.
İspat. [6, sf. 130] Kabul edelim ki c0 uzayındaki x 6= θ elemanı için C1x = λx
olsun. Bu durumda x1 = λx1 1 2(x1+ x2) = λx2 .. .
denklem sisteminden, eğer x dizisinin ilk sıfır olmayan bileşeni xN ise o zaman λ =
1/N bulunur. Bu durumda her n ≥ N için xn+1
xn
= n
n + 1 − N ≥ 1
elde edilir ki, bu ise, x = (xn) dizisinin sıfıra yakınsamadığını gösteririr. Şu hâlde,
C1x = λx eşitliğini sağlayacak x 6= θ dizisi c0 da mevcut değildir.
Bununla beraber, C1∗∗ ∈ B(`∞) dönüşümü, sabit dizileri ihtiva eden
karakter-istik uzaya ilişkin λ = 1 karakterkarakter-istik köke sahip olduğunu müşahade edebiliyoruz.
Teorem 2.2.5. Teorem 1.1.8 ’nın tersi daima doğru değildir.
İspat. Teorem 1.1.7’den C1− I dönüşümünün çekirdeği aşikâr olmasına rağmen
C1∗− I yoğun olmayan görüntüye sahiptir.
Theorem 2.2.6. C1∗ ∈ B(`1) dönüşümünün karakteristik kökleri, |λ − 12| < 12
İspat. Kabul edelim ki `1 uzayındaki x 6= θ elemanı için C1∗x = λx olsun. Bu durumda x1+ 1 2x2+ · · · = λx1 1 2x2+ · · · = λx2 .. . denklem sisteminden xN = N −1 Y 1 1 − 1 nλx1
elde ederiz. Raabe testinden, x ∈ `1 olması için gerek ve yeter şart Re 1/λ > 1
olduğundan |λ − 12| < 1
2 buluruz.(veya aşağıdaki Teorem 2.2.9 kullanılabilir.)
Teorem 2.2.7. C1 ∈ B(c0) yoğun görüntüye sahiptir.
İspat. Teorem 1.1.7 kullanılarak gösterilir.
Teorem 2.2.8. σ(C1, c0) = {λ : |λ −12| ≤ 12}.
İspat. Teorem 2.2.6 ve (1.3.1) eşitliğinden |λ − 12| > 12 eşitsizliğini sağlayan λ skalarları için (C1 − λI)−1 ∈ B(c0) olduğunu ispatlamak yeterlidir.
(C1 − λI)x = y sistemini x’e göre çözersek (C1 − λI)−1 matrisini verecektir.
N. satırın M < N için M. yerde
− 1 N λ2QN M(1 − 1 nλ) ve N. yerde N 1 − N λ
olup diğer durumlarda sıfır olacaktır. Diğer taraftan önce 1 + |1 − λ1| + · · · +QN −1 1 |1 − 1 nλ| N λ2QN M |1 − 1 nλ| + | N 1 − N λ|
ifadesinin N üzerinden sınırlı ve daha sonra herbir M için − 1 N λ2QN M(1 − 1 nλ)
ifadesinin N → ∞ için sıfıra yakınsadığını, |λ − 12| > 1
2 kabulu altında göstereceğiz.
Bu sonuçlar aşağıdaki Teoremden kolaylıkla elde edilir:
Teorem 2.2.9. Eğer Re 1/λ = α < 1 ise N → ∞ için
N Y n=1 |1 − 1 nλ| ∼ 1 Nα
olur. Burada an∼ bn notasyonunu, (an/bn) ve (bn/an) dizilerinin her ikisi de sınırlı
anlamında kullanıyoruz.
İspat. Eğer 1/λ = α+iβ ise bu durumda x reel sayıları için ex ≥ 1+x eşitsizliğini kullanarak N Y n=1 1 − 1 nλ = N Y n=1 1 − 2α n + α2+ β2 n2 1/2 ≤ ePNn=1[− α n+O( 1 n2)] ≤ e(−α log N +O(1)) = O(1) Nα . Ayrıca N Y n=1 1 − 1 nλ −1 = N Y n=1 1 −2α n + α2+ β2 n2 −1/2 = N Y n=1 1 + α n + O( 1 n2) ≤ ePNn=1[ α n+O( 1 n2)] ≤ e(α log N +O(1)) = O(1)Nα.
2.3. c0 Uzayında Ağırlıklı Ortalama Operatörünün Spektrumu
Şimdi de, Rhoades’in [22] künyeli ağırlıklı ortamala metodlarının c0 uzayı
üz-erindeki ince spektrumunu inceleyen çalışmasını vereceğiz.
Teorem 2.3.1. A = (ank) regüler ağırlıklı ortalama metodu için
σ(A, c0) ⊂ λ : |λ − 1 2| ≤ 1 2 kapsaması geçerlidir.
Teorem 2.3.2. A = (ank), bir regüler ağırlıklı ortalama metodu ise S =
{pn Pn : n ≥ 0} olmak üzere ; σ(A, c0) ⊃ λ : |λ − (2 − δ)−1| ≤ (1 − δ) (2 − δ) ∪ S kapsaması geçerlidir.
Teorem 2.3.3. A = (ank) regüler ağılıklı ortalama metodunda δ = 0 ise
σ(A, c0) = λ : |λ − 1 2| ≤ 1 2 eşitliği mevcuttur.
İspat. Teorem 2.3.1 ve Teorem 2.3.2’nin birleştirilmesiyle eşitlik elde edilir. Teorem 2.3.4. [17, Teorem 3 ] Cesàro dönüşümünün c0 uzayı üzerindeki
spek-trum cümlesi σ(C1, c0) = λ : |λ − 1 2| ≤ 1 2 şeklindedir.
İspat. Her bir pn= 1 için C1 bir ağırlıklı ortalama matrisidir.
Aşağıda vereceğimiz teoremler, [21]’de c için verilen teoremlerin benzeri olup c0 uzayında benzer olarak elde edilebileceğinden, sadece ifade edileceklerdir.
Teorem 2.3.5. Regüler A ağırlıklı ortalama metodunda γ > 0 ise σ(A) ⊆λ : |λ − (2 − γ)−1| ≤ (1 − γ)/(2 − γ) ∪ S
kapsaması geçerlidir.
Teorem 2.3.6. Regüler A ağırlıklı ortalama metodunda δ = γ > 0 ise E = {pn/Pn: pn/Pn < γ/(2 − γ)} olmak üzere;
σ(A) = {λ : |λ − (2 − γ)−1| ≤ (1 − γ)/(2 − γ)} ∪ E eşitliği geçerlidir.
Teorem 2.3.7. Regüler ağırlıklı ortalama metod A olsun. Bu takdirde, c0A = c0
olması için θ = limpn+1/Pn> 0 bulunması gerek ve yeterdir.
Teorem 2.3.8. γ = δ olan regüler ağırlıklı ortalama matrisi A = (ank) olsun.
Eğer λ 6∈ S skaları, |λ − (2 − δ)−1| < (1 − δ)/(2 − δ) eşitsizliğini sağlıyor ise o zaman λ ∈ III1σ(A, c0), yani λ, σ(A, c0) cümlesinin R(λI − A) 6= X ve (λI − A)−1 var ve
sürekli şartlarını sağlayan değeridir.
Teorem 2.3.9. Köşegen elemanları sonsuz defa tekrarlanmayan, δ = lim pn/Pn
mecut ve γ = δ < 1 özelliğine sahip regüler ağırlıklı ortalama matris A olsun. Eğer λ = δ veya λ = ann , (n = 1, 2, . . .) ve δ/(2 − δ) < λ < 1 ise o zaman
λ ∈ III1σ(A, c0)’dir.
Teorem 2.3.10. δ = lim pn/Pn mevcut ve yeterince büyük bütün n’ler için
pn/Pn ≥ δ olan regüler ağırlıklı ortalama metodu A olsun. Eğer λ 6∈ {1, δ/(2 −
δ)} skaları, |λ − (2 − δ)−1| = (1 − δ)/(2 − δ) eşitliğini sağlıyor ise o zaman λ ∈ II2σ(A, c0)’dır.
Teorem 2.3.11. A regüler ağırlıklı ortalama metod ise 1 ∈ III3σ(A, c0)’dır.
Teorem 2.3.12. γ = lim inf pn/Pn ve 0 ≤ cn ≤ γ/(2 − γ) eşitsizliğini sağlayan
cn elemanlara sahip regüler ağırlıklı ortalama metodu A olsun. λ = cn ise λ ∈
Teorem 2.3.13. Köşegen elemanları, 1 < p < q olmak üzere c0 = 1 ve n > 0
için c2n = 1/p, c2n−1 = 1/q olan regüler ağırlıklı ortalama metodu A olsun. Eğer
λ 6∈ {1, 1/p, 1/q} skaları (p − 1)(q − 1)|λ|2 > |1 − pλ||1 − qλ| eşitsizliğini sağlıyor ise λ ∈ III1σ(A, c0)’dır.
Teorem 2.3.14. A metodu, Teorem 2.3.13’deki gibi olsun. Eğer λ ∈ {1/p, 1/q} ise λ ∈ III1σ(A, c0)’dır.
Teorem 2.3.15. A metodu, Teorem 2.3.13’deki gibi olsun. Eğer λ skaları (p − 1)(q − 1)|λ|2 = |1 − pλ||1 − qλ| eşitliğini sağlıyor ve λ 6= 1 ise o zaman
λ ∈ II2σ(A, c0)’dır.
Bu teoremin ispatında, Teorem 2.3.11’deki karşılığından farklı bir ispat yapılır. T = I − A olsun. O zaman T bir terse sahip değildir. Ayrıca, ei standard birim
diziler olmak üzere, R(T ) ⊆ {e1, e2, ...} ve buradan R(T ) 6= c
0 ve 1 ∈ III3σ(A) elde
edilir.
2.4. Fark Dönüşümünün c0 ve c üzerinde Spektrumu
Son olarak Altay ve Başar [4] tarafından verilen c0 ve c üzerindeki ∆ fark
dönüşümünün spektrumunu inceleyeceğiz.
Teorem 2.4.1. ∆, c0 ve c uzayları üzerinde sınırlı bir lineer dönüşüm olup
k∆k(c0;c0)= k∆k(c;c) = 2.
Teorem 2.4.2. σ(∆, c0) = {λ ∈ C : |λ − 1| ≤ 1}.
İspat. Bunu için, D = {λ ∈ C : |λ − 1| > 1} olmak üzere, λ ∈ D için (∆ − λI)−1 dönüşümünün mevcut ve (c0 : c0) sınıfına ait ve λ 6∈ D için (∆ − λI)−1 6∈ (c0 : c0)
olduğunu göstermek yeterdir.
λ ∈ D olsun. ∆ − λI üçgen olduğundan (∆ − λI)−1 mevcut ve (∆ − λI)x = y denkleminden, x dizisinin terimlerini y dizisinin terimleri cinsinden veren x = By
denklemindeki B = (bnk) matrisinin terimleri, bnk = (1 − λ)k−n−1 , k ≤ n 0 , k > n şeklindedir. Buradan, k(∆ − λI)−1k(c0:c0) = sup n∈N n X k=0 |1 − λ|k |1 − λ|n+1 = sup n∈N n X k=0 1 |1 − λ|k+1 < ∞ (2.4.1)
elde ederiz. Bu ise, (∆ − λI)−1 ∈ (c0 : c0) olduğunu gösterir. Ayrıca (2.4.1)
eşitliğin-den λ 6∈ D için
k(∆ − λI)−1k(c0:c0)= ∞
olduğunu görebiliriz. Bu da ispatı tamamlar.
Teorem 2.4.3. σp(∆, c0) = ∅.
İspat. c0 uzayında x 6= θ = (0, 0, 0, ...) için ∆x = λx denklemini gözönüne
alalım. Bu denklemden, x0 = λx0 x1− x0 = λx1 x2− x1 = λx2 .. .
denklem sistemini elde ederiz. Sistemin çözümü olacak x dizisinin sıfır olmayan ilk terimi xn0 olsun. Bu durumda λ = 1 bulunur. n0 + 1.denklemde bu veriler dikkate
alınırsa xn0 = 0 bulunur ki bu xn0 6= 0 oluşu ile çelişir. Şu hâlde, x 6= θ için ∆x = λx
denklemini sağlayan λ değeri mevcut değildir.
T : c0 → c0 sınırlı linner dönüşümünün matris temsili A = (ank) ise T∗ : c∗0 →
c∗0 adjoint dönüşümünün matris temsili A matrisinin tranpozudur. Teorem 2.4.4. σp(∆∗, c∗0) = {λ ∈ C : |λ − 1| < 1}.
İspat. `1 uzayında x 6= θ = (0, 0, 0, ...) için ∆∗x = λx denklemini gözönüne alalım. Bu denklemden, x0− x1 = λx0 x1− x2 = λx1 x2− x3 = λx2 .. .
denklem sistemini elde ederiz. Bu sistemi sağlayacak x dizisinin genel terimi xn= (1 − λ)nx0, (n > 0)
şeklindedir. Bu durumda, x ∈ `1 olması için |1 − λ| < 1 bulunması gerek ve yeter
olduğu görülür.
Teorem 2.4.5. σr(∆, c0) = {λ ∈ C : |λ − 1| < 1}.
İspat. |λ − 1| < 1 için λI − ∆ dönüşümü birebir olduğundan tersi mevcuttur. Teorem 2.4.4 ’den λI − ∆∗ birebir olmadığından ve Lemma 1.1.7 ’den R(λI − ∆) 6=
c0 elde edilir.
Teorem 2.4.6. σc(∆, c0) = {λ ∈ C : |λ − 1| = 1}.
İspat. λ 6= 1 olduğundan λI − ∆ dönüşümü birebirdir, dolayısıyla tersi mevcut-tur. Yine Teorem 2.4.4 ’den λI − ∆∗ birebir olup ve Lemma 1.1.7 ’den R(λI − ∆) =
c0 elde edilir.
Fark matrisinin c uzayı üzerindeki spektrum tartışmaları, Teorem 2.4.2-2.4.6’dekilere benzer olup, farklı olan tartışmayı vererek diğerlerini ispatsız olarak not edelim.
T : c → c sınırlı lineer dönüşümünün matris temsili A = (ank) ise ise C ⊕ `1
üz-erinde T∗ : c∗ → c∗dönüşümünün matris temsili, χ = limnP ∞
k=0ank−
P∞
k=0limnank,
bk= limnank olmak üzere,
χ 0 b At
şeklindedir, [33, shf.267]. A = ∆ için ∆∗, 0 0 0 0 0 . . . 0 1 −1 0 0 . . . 0 0 1 −1 0 . . . 0 0 0 1 −1 . . . . . . . matrisidir. Teorem 2.4.7. σp(∆∗, c∗) = {λ ∈ C : |λ − 1| < 1} ∪ {0}.
İspat. `1 uzayında x 6= θ = (0, 0, 0, ...) için ∆∗x = λx denklemini gözönüne
alalım. Bu denklemden, 0 = λx0 x1− x2 = λx1 x2− x3 = λx2 .. .
denklem sistemini elde ederiz. Bu sistemi sağlayacak x dizisinin genel terimi xn= (1 − λ)nx1, (n > 1)
(2.4.2)
şeklindedir. x0 6= 0 ise λ = 0 ve bu karakteristik köke karşılık x = (x0, 0, 0, . . .) ∈ `1
karkakteristik vektörüne sahip oluruz. x0 = 0 ise (2.4.2) ifadesinden x ∈ `1 olması
için |1 − λ| < 1 bulunması gerek ve yeter olduğu görülür. Şimdi, c üzerindeki fark matrisinin spektrumları ile ilgili teoremleri ispatsız verelim.
Teorem 2.4.8. (a) σ(∆, c) = {λ ∈ C : |λ − 1| ≤ 1}, (b) σp(∆, c0) = ∅.
(c) σr(∆, c) = σp(∆∗, c∗).
Teorem 2.4.9. σ(∆, `∞) = {λ ∈ C : |λ − 1| ≤ 1} dir.
İspat. Carlidge [7], tarafından verilen B(c) uzayındaki bir A = (ank) dönüşümü
için σ(A, c) = σ(A, `∞) eşitliğinden istenilen sonuca ulaşılır.
Fark dönüşümü için Mercerian teoremi ile spektrum arasındaki ilişkiyi gösteren teoremi verelim.
Teorem 2.4.10. |λ−1| < 1 olsun. O zaman A = λI +(1−λ)∆’ nın yakınsaklık alanı c dir.
İspat. Eğer λ = 1 ise A = I olacağından ispat için bir şey gerekmez. λ 6= 1, |λ−1| < 1 eşitsizliğini sağlasın. Bu durumda, Teorem 2.4.8(a) gereğince, ∆− λ
λ−1I bir
terse sahip ve ters dönüşüm B(c) uzayına aittir. Şu hâlde, cA= c eşitliği geçerlidir,
BÖLÜM 3
Fark Dönüşümünün Bazı Uzaylar Üzerindeki İnce Spektrumu
Bu bölümde, fark matrisi ve transpozesinin c0ve c uzayları üzerindeki Goldberg
sınıflandırmasına göre ince spektrumunu inceleyeceğiz.
3.1. Fark Matrisinin Goldberg Sınıflandırmasına Göre Spektrumu Kısım 2.4’de fark matrisinin c0 ve c uzayları üzerindeki spektrumu verilmişti.
Bu kısımda, Fark dönüşümünün c0 ve c uzayları üzerindeki Goldberg
sınıflandır-masına göre ince spektrumunu inceleyeceğiz.
Teorem 3.1.1. |λ − 1| < 1 eşitsizliğini sağlayan λ 6= 1 skaları için λI − ∆ ∈ III2σ(∆, c0).
İspat. Teorem 2.4.5 gereğince λI − ∆ ∈ III1∪2. (2.4.1) ifadesinden (λI − ∆)−1
dönüşümünün sınırlı olmadığı görülür. Şu hâlde, |λ − 1| < 1 eşitsizliğini sağlayan λ 6= 1 skaları için λI − ∆ ∈ III2σ(∆, c0) elde edilir.
Teorem 3.1.2. I − ∆ ∈ III1σ(∆, c0).
İspat. λ = 1 için λI − ∆ = I − ∆ olup matris temsili
λI − ∆ = 0 0 0 0 . . . 1 0 0 0 . . . 0 1 0 0 . . . . . . .
I −∆ ∈ 1 olduğunu göstermek için Teorem 1.1.9 gereğince I −∆∗dönüşümünün örtenliğini araştıralım. x, y ∈ `1 için (I − ∆∗)x = y denkleminden
x0 = y1
x1 = y2
x2 = y3
. . .
elde edilir ki bu, her y ∈ `1için bir x ∈ `1 dizisinin varlığını yani I −∆∗dönüşümünün
örtenliğini gösterir. Bu da istenendir.
Teorem 3.1.3. |λ−1| = 1 eşitliğini sağlayan λ skaları için λI−∆ ∈ II2σ(∆, c0).
İspat. |λ − 1| = 1 olsun. Teorem 2.4.3 gereğince λI − ∆ dönüşümünün tersi mevcut, Teorem 2.4.2’den (λI − ∆)−1 dönüşümü süreksiz ve Teorem 2.4.6 gereğince R(λI − ∆) = c0 olduğundan λI − ∆ ∈ I2∪ II2σ(∆, c0). Şimdi, λI − ∆ dönüşümünün
örten olmadığını gösterelim. e0 ∈ c
0 dizisi için, (λI − ∆)x = e0 eşitliğinden
xn =
1
(1 − λ)n+1 (n ∈ N)
elde edilir. Bulunan x = (xn) dizisi c0 uzayının bir elemanı değildir. O hâlde, λI − ∆
dönüşümü örten değildir. Bu ise istenendir.
c0 uzayındaki tartışmalara benzer olarak, c uzayı üzerinde fark dönüşümünün
Golberg sınıflandırmasına göre spektrumu, aşağıda ispatsız vereceğimiz teorem elde edilebilir.
Teorem 3.1.4. (a) 1 ∈ III1σ(∆, c).
(b) |λ − 1| < 1 ve λ 6= 1 ise λI − ∆ ∈ III2σ(∆, c).
(c) |λ − 1| = 1 ise λI − ∆ ∈ II2σ(∆, c).
3.2. c0 Dizi Uzayında ∆+ Dönüşümünün Spektrum ve İnce Spektrumu
Bu kısımda, fark matrisinin transpoze temsiline sahip ∆+ dönüşümünün c 0
Önce ∆+−λI dönşümünün c
0uzayındaki N (∆+−λI) çekirdek uzayını bulalım.
∆+x = λx denklemini gözönüne alalım. Bu denklemden,
x0− x1 = λx0
x1− x2 = λx1
x2− x3 = λx2
.. .
denklem sistemini elde ederiz. Sistemin x çözüm dizisinin sıfır olmayan ilk terimi xn0 olsun. Bu durumda
xn = (1 − λ)n−n0xn0, (n > n0)
bulunur. Buna göre
N (∆+− λI) = {x = (xn) ∈ c0 : xn = (1 − λ)n−n0xn0, (n > n0)}
elde edilir. Burada, ∆+− λI dönşümünün c
0 uzayındaki N (∆+− λI) çekirdek
uza-yının, |λ − 1| ≥ 1 için aşikar olduğu aksi takdirde aşikâr uzaydan farklı olduğu görülür.
Teorem 3.2.1. σ(∆+, c0) = {λ ∈ C : |λ − 1| ≤ 1}.
İspat. Bunu için, D = {λ ∈ C : |λ−1| > 1} olmak üzere, λ ∈ D için (∆+−λI)−1 dönüşümünün mevcut ve (c0 : c0) sınıfına ait ve λ 6∈ D için (∆+− λI)−1 6∈ (c0 : c0)
olduğunu göstermek yeterdir.
λ ∈ D olsun. Bu durumda, ∆+ − λI dönüşümünün çekirdeği aşikâr uzay
olduğundan (∆+ − λI)−1 mevcut ve (∆+ − λI)x = y denkleminden, x dizisinin
terimlerini y dizisinin terimleri cinsinden veren x = By denklemindeki B = (bnk)
matrisinin terimleri, bnk = (1 − λ)n−k−1 , k ≥ n 0 , k < n
şeklinde bulunur. Buradan, k(∆+− λI)−1k (c0:c0) = sup n∈N ∞ X k=n |1 − λ|n |1 − λ|k+1 = sup n∈N ∞ X k=0 1 |1 − λ|k+1 < ∞ (3.2.1)
elde ederiz. Bu ise, (∆+−λI)−1∈ (c
0 : c0) olduğunu gösterir. Ayrıca (3.2.1)
eşitliğin-den λ 6∈ D için
k(∆+− λI)−1k
(c0:c0) = ∞
olduğunu görebiliriz. Bu da ispatı tamamlar.
Teorem 3.2.2. σp(∆+, c0) = {λ ∈ C : |λ − 1| < 1}.
İspat. c0 uzayında x 6= θ = (0, 0, 0, ...) için ∆+x = λx denklemini gözönüne
alalım. Bu denklemden, x0− x1 = λx0 x1− x2 = λx1 x2− x3 = λx2 .. .
denklem sistemini elde ederiz. Sistemin x çözüm dizisinin sıfır olmayan ilk terimi xn0 olsun. Bu durumda
xn = (1 − λ)n−n0xn0, (n > n0)
bulunur. Bu durumda x ∈ c0 olması için |1 − λ| < 1 bulunması gerek ve yeter olduğu
görülür.
c0 uzayı üzerindeki matris dönüşümünün, adjoint dönüşümü matrisin
trans-pozu olduğundan; Teorem 2.4.4 gereğince Teorem 3.2.3. σp(∆+
∗
, c∗0) = ∅.
İspat. Teorem 3.2.2’den, λ 6∈ σp(∆+, c0) olduğundan λI − ∆+ dönüşümü
bire-birdir, dolayısıyla tersi mevcuttur. Yine Teorem 3.2.3 ’den λI − ∆+∗ birebir olup ve Lemma 1.1.7 ’den R(λI − ∆+) = c
0 elde edilir.
Teorem 3.2.5. σr(∆+, c0) = ∅.
İspat. Spektrum cümlesi, ayrık olan nokta, sürekli ve artık spektrum cüm-lelerinin birleşimi olduğu dikkate alındığında, Teorem 3.2.1, 3.2.2 ve Teorem 3.2.4’den artık spektrum cümlesinin boş cümle olduğu görülür. Teorem 3.2.6. |λ − 1| < 1 eşitsizliğini sağlayan λ 6= 1 skaları için λI − ∆+ ∈ II3σ(∆+, c0).
İspat. Teorem 3.2.2 gereğince λI − ∆+∈ II3∪ I3. Şimdi, λI − ∆+dönüşümünün
örten olmadığını gösterelim. y = {(1 − λ)n} ∈ c0 dizisi için, (λI − ∆+)x = y eşitliğini
sağlayan x ∈ c0 mevcut olmadığından, λI − ∆ dönüşümü örten değildir. Bu ise
istenendir.
Teorem 3.2.7. I − ∆ ∈ I3σ(∆+, c0).
İspat. λ = 1 için λI − ∆+= I − ∆+ olup matris temsili
λI − ∆+= 0 1 0 0 . . . 0 0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . . . . . şeklindedir. Teorem 3.2.2 gereğince I − ∆ ∈ 3 olduğu açıktır.
I −∆ ∈ I olduğunu göstermek için I −∆+dönüşümünün örtenliğini araştıralım.
x, y ∈ c0 için (I − ∆∗)x = y denkleminden
x1 = y0
x2 = y1
x3 = y2
elde edilir ki bu, her y ∈ c0için bir x ∈ c0dizisinin varlığını yani I−∆+dönüşümünün
örtenliğini gösterir. Bu da istenendir.
Teorem 3.2.8. |λ−1| = 1 eşitliğini sağlayan λ skaları için λI−∆ ∈ II2σ(∆, c0).
İspat. |λ − 1| = 1 olsun. Teorem 3.2.2 gereğince λI − ∆+ dönüşümünün tersi mevcut, Teorem 3.2.1’den (λI −∆+)−1 dönüşümü süreksiz ve Teorem 2.4.6 gereğince R(λI − ∆+) = c
0 olduğundan λI − ∆+∈ I2∪ II2σ(∆+, c0). λI − ∆+ dönüşümünün
