Fuzzy sayıları ve toplanabilmenin temel kavramları

T.C.

İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

FUZZY SAYILARI VE TOPLANABİLMENİN TEMEL KAVRAMLARI

ÖZER TALO

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

MALATYA 2006

ÖZET

Bu tezin birinci bölümünde; Zadeh [17] tarafından ilk defa ortaya atılan fuzzy cümle tanımı verildi. Basit cümleler için bilinen kesişim, birleşim, tümleme, kon-vekslik gibi tanımlar, fuzzy cümleler için verilip bunların sağladığı özelliklerden bahsedildi.

İkinci bölümde; reel sayılarda aralık tanımı verildi. Daha sonra aralıklar arasın-daki cebirsel işlemler, sıralama bağıntısı ve metrik tanımlandı. Bölümün ikinci kıs-mında ise tezin asıl konusu olan fuzzy sayılarının tanımları verildi. Fuzzy sayılarının özelliklerine dair teoremler ve fuzzy sayıları arasındaki cebirsel işlemler ifade edildi. Üçüncü bölümde bir fuzzy sayı dizisinin tanımı verildi. Fuzzy sayı dizileri için sınırlılık, yakınsaklık, altdizi vb. kavramlar tanımlandı. Reel sayı dizileri için geçerli teoremlerin fuzzy sayı dizileri için karşılıkları verildi. Fuzzy sayılarının çeşitli dizi uzayları tanımlanıp, bunların tam metrik uzay olduğu belirtildi. Yakınsaklık için D-yakınsaklık ve seviye-D-yakınsaklık olmak üzere iki tanım verildi. Bunların birbirleriyle ve düzgün yakınsaklıkla karşılaştırmaları yapıldı.

Dördüncü bölümde, sınırlı bir fuzzy sayı cümlesinin supremum ve infimumunun nasıl bulunduğunu gösteren bir teorem verildi. Sonra supremum ve infimum özellik-leri teorem ve örneklerle ifade edildi. Seviye yakınsaklığın karakterizasyon teoremi verildi.

Beşinci bölümde, bir fuzzy sayı dizisinin istatiksel yakınsaklığının tanımı ve-rildi. Reel sayı dizileri için geçerli olan bazı teoremlerin karşılıkları sunuldu.

ABSTRACT

The present thesis unsist of five chapters. In the first chapter the definition of fuzzy sets which introduced by Zadeh and their some properties such as union, intersection, complement, convexsity, etc. were given.

In the second chapter is devoted to the some properties of a real interval and also the definition of fuzzy number and their algebraic operations.

The third chapter is concerned with sequences of fuzzy numbers. In this chapter the definition of convergence of a sequence of fuzzy numbers is given. The spaces of bounded, convergent and p-summable sequences of fuzzy numbers are introduced and noted that they are complete metric spaces. Additionally, levelwise convergence of a sequence of fuzzy numbers is defined.

In the fourth chapter, the theorem related to the supremum and infimum of a bounded set of fuzzy numbers was given and their some properties were stated.

In the fourth chapter, the statistical convergence of a sequence of fuzzy num-bers and some related theorems were given.

TEŞEKKÜR

Yüksek lisans çalışmamda danışmanlığımı üstlenen, bu tezin hazırlanmasında gerekli maddi ve manevi imkânları sağlayarak bana yardımcı olan, hiç bir zaman yakın ilgi ve alakalarını esirgemeyen, değerli hocam sayın Prof Dr. Feyzi BAŞAR’a ; her türlü problemimde kıymetli fikirleriyle yardımını esirgemeyen ve tezin yazımında yardımcı olan değerli hocalarım sayın Doç. Dr. Bilal Altay’ a , Dr. Celal ÇAKAN’a ve Dr. İsmet ÖZDEMİR’e minnet ve şükranla teşekkür etmeyi bir borç bilirim.

İçindekiler

1.2. KESİŞİM , BİRLEŞİM VE TÜMLEMENİN BAZI ÖZELLİKLERİ 3

1.3. FUZZY CÜMLELERİ ÜZERİNDE CEBİRSEL İŞLEMLER 4

1.4. DÖNÜŞÜMLER TARAFINDAN ÜRETİLEN FUZZY CÜMLELER 5

1.5. KONVEKSLİK 6

Bölüm 2. ARALIK SAYILARI VE FUZZY SAYILARI 7

2.1. ARALIK SAYILARI 7

2.2. FUZZY SAYILARI 9

Bölüm 3. FUZZY SAYI DİZİLERİ 15

3.1. BİR FUZZY SAYI DİZİSİNİN LİMİTİ 15

3.2. FUZZY SAYI DİZİLERİNİN SEVİYE YAKINSAKLIĞI 20

Bölüm 4. FUZZY SAYI CÜMLELERİNİN SUPREMUM VE İNFİMUMU 24 Bölüm 5. FUZZY SAYI DİZİLERİNİN İSTATİKSEL YAKINSAKLIĞI 32

SEMBOLLER

R: Reel sayıların cümlesi N: Doğal sayıların cümlesi

K : Reel sayılar cümlesi üzerindeki kapalı aralıkların cümlesi l∞: Reel terimli sınırlı dizilerin uzayı

c: Reel terimli yakınsak dizilerin uzayı c0: Reel terimli sıfıra yakınsak dizilerin uzayı

lp: p-mutlak yakınsak seri oluşturan dizilerin uzayı

C: Reel terimli Cauchy dizilerinin uzayı

F (X): X cümlesi üzerindeki bütün fuzzy cümlelerinin cümlesi E1_{: Fuzzy sayı uzayı}

w(F ): Bütün fuzzy sayı dizilerinin uzayı c(F ): Yakınsak fuzzy sayı dizilerinin uzayı C(F ): Fuzzy Cauchy sayı dizilerinin uzayı l∞(F ): Sınırlı fuzzy sayı dizilerinin uzayı

lp(F ): p-mutlak yakınsak seri oluşturan fuzzy dizilerinin uzayı

l∞(F, ∆): Sınırlı fuzzy dizlerinin fark uzayı

c(F, ∆): Yakınsak fuzzy dizlerinin fark uzayı c0(F, ∆): Sıfıra yakınsak fuzzy dizlerinin fark uzayı

GİRİŞ

Fuzzy cümle üzerine yapılan araştırmalar ortaya çıktığı günden bu yana hızla büyümüştür. Uygulama alanlarının genişliği ve bu alanların oluşturduğu sonuçların etkisi bakımından fuzzy cümle teorisi bugün bilimsel çalışmalarda önemli bir yer tut-maktadır. Pilav pişirme aletlerinden asansörlere, arabaların motor ve süspansiyon sistemlerinden nükleer reaktörlerdeki soğutma ünitelerine, klimalardan elektirikli süpürgelere kadar fuzzy cümle teorisinin uygulandığı birçok alan bulunmaktadır.

İlk olarak 1965 yılında L. A. ZADEH tarafından yayınlanan makale belirsizlik kavramının değerlendirilmesinde önemli bir nokta olarak kabul edilir. Bu makalede kesin olmayan sınırlara sahip nesnelerin oluşturduğu fuzzy cümle teorisi ortaya kon-muştur. Adi cümlelerde bir eleman için sadece ait olma veya ait olmama durumu varken fuzzy cümlelerde nesneler cümleye kısmen ait olabilmektedir. Bu aitlik üyelik derecesi ile belirlenir. Üyelik derecesi değer cümlesi [0,1] olan üyelik fonksiyonu ile ölçülür. Üyelikten üye olmamaya dereceli bir geçiş vardır. Adi cümlelerde ise üyelik fonksiyonu karakteristik fonksiyondur ve sadece {0, 1} değerlerini alır. 0 ait olmama 1 ait olma anlamındadır.

Bir fuzzy sayısı, reel sayıların altcümlesi olan bir fuzzy cümlesidir. Reel sayılar için geçerli olan bir çok cebirsel işlem fuzzy sayılarına genişletilmiştir. İlk olarak fuzzy sayılarının bir dizisi Matloka [7] tarafından tanımlanmış ve bu dizilerin yakınsaklık özellikleri incelenmiştir. Daha sonra Nanda [9] fuzzy sayılarının Cauchy dizisini ve dizi uzaylarını takdim etmiştir. Daha sonraki yıllarda fuzzy sayı dizileri için birçok çalışma yapılmıştır.

BÖLÜM 1

FUZZY CÜMLELER

Bir fuzzy cümlesi sürekli üyelik derecesine sahip olan objelerin bir sınıfıdır. Bu tür cümleler her bir objeye 0 ile 1 arasında bir üyelik derecesi tahsis eden üyelik fonksiyonu ile karakterize edilir. Gerçek fiziksel dünyada karşılaşılan objelerin üyelik kriterleri tanımlanamamıştır. Meselâ hayvanların sınıfı üye olarak açıkça köpekleri, kuşları,... ihtiva ettiği hâlde; kayalar, bitkiler,... gibi nesneleri içermez. Bununla bir-likte deniz yıldızı, bakteri gibi objeler hayvanlar sınıfına göre belirsiz bir statüye sahiptir. Aynı tür belirsizlik sayı cümleleri için de ortaya çıkar. Meselâ 1’den çok büyük sayıların cümlesi içinde 10’un durumu.

Bu kısımda, fuzzy cümleler için birleşim, kesişim, tümleme ve konvekslik gibi kavramları Zadeh [17]’ye dayanılarak tanımlayacağız.

1.1. TANIMLAR

X, genel elemanı x ile gösterilen bir noktalar cümlesi olsun.

X’de bir A fuzzy cümlesi; X’deki herbir noktayı, [0, 1] aralığının bir noktasına karşılık getiren fA üyelik fonksiyonu ile karakterize edilir. Yani,

fA: X → [0, 1].

Burada fA(x) değeri A’da x’in üyelik derecesini ve fA(x)’in 1’e en yakın değeri de

A’da x’in en yüksek üyelik derecesini göstermektedir.

A adi anlamda bir cümle olduğu zaman üyelik fonksiyonu sadece 0 ve 1 değer-lerini alır. fA(x) = 1, x’in A’ya ait olması ve fA(x) = 0 ise x’in A’ya ait

olma-ması anlamındadır. Bu durumda; fA bir A cümlesinin bilinen karakteristik

üyelik fonksiyonu iki değerli karakteristik fonksiyon olanlar adi cümleler veya basit cümleler olarak değerlendirilebilir.

Meselâ A, 1’den çok büyük olan reel sayıların bir fuzzy cümlesi olsun. Bu durumda, her ne kadar izafi olsa da A’nın karekterizasyonu R’de fA ile verilebilir.

Böyle bir fonksiyonun gösterdiği değerler fA(0) = 0; fA(1) = 0, 05; fA(10) = 0, 2;

fA(100) = 0, 95; fA(500) = 1 olabilir.

Şimdi, fuzzy cümlelere dair birkaç tanım verelim.

Bir fuzzy cümlesinin boş olması için gerek ve yeter şart üyelik fonksiyonunun X üzerinde sıfıra özdeş olmasıdır. Yani,

A = ∅ ⇔ ∀x ∈ X için fA(x) = 0

A ve B gibi iki fuzzy cümlesinin eşit olması için gerek ve yeter şart; ∀x ∈ X için fA(x) = fB(x) olmasıdır. fA(x) = fB(x) yerine, kısaca fA = fB yazacağız.

KAPSAMA: A cümlesinin B’nin bir alt cümlesi olması için gerek ve yeter şart; fA≤ fB olmasıdır.

TÜMLEME: Bir A fuzzy cümlesinin A0 tümleyeni, üyelik fonksiyonu fA0 = 1 − f_A

şeklinde tanımlanan cümledir.

BİRLEŞİM: A ve B gibi iki fuzzy cümlesinin birleşimi C olsun. Bu durumda; C cümlesinin fC üyelik fonksiyonu, ∀x ∈ X için

fC(x) = max{fA(x), fB(x)}

şeklinde tanımlanır. Kısaca, fC = fA∨ fB yazabiliriz.

KESİŞİM: A ve B gibi iki fuzzy cümlesininin kesişimi C olsun. Bu durumda; C cümlesinin fC üyelik fonksiyonu, ∀x ∈ X için

fC(x) = min{fA(x), fB(x)}

şeklinde tanımlanır. Kısaca, fC = fA∧ fB yazabiliriz.

1.2. KESİŞİM , BİRLEŞİM VE TÜMLEMENİN BAZI ÖZELLİKLERİ Bu kısımda; adi cümlelerin sağladığı kesişim, birleşim ve tümleme işlemlerine dair bazı özelliklerin fuzzy cümleleri için karşılıklarını Mizimoto ve Tanaka [8]’e dayanarak vereceğiz.

X uzayındaki A, B ve C fuzzy cümleleri için aşağıdaki özellikler geçerlidir. (i) Eşgüçlülük özelliği.

A ∪ A = A A ∩ A = A (ii) Değişme özelliği.

A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A (iii) Birleşme özelliği.

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (iv) Dağılma özelliği.

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (v) De Morgan kuralları. (A ∪ B)0 = A0∩ B0 (A ∩ B)0 = A0∪ B0 (1.2.1)

(vi) Birim özelliği.

A ∪ ∅ = A , A ∪ X = X A ∩ ∅ = ∅ , A ∩ X = A

(vii) Tümleme özelliği.

(A0)0 = A A ∪ A0 6= X

A ∩ A0 6= ∅ (1.2.2)

Ayrıca (1.2.2)’deki cümlelerin üyelik fonksiyonları için 0, 5 ≤ fA∪A0 ≤ 1

0 ≤ fA∩A0 ≤ 0, 5

eşitsizlikleri geçerlidir. Burada ∅, f∅ = 0 olarak tanımlanmıştır. Yol göstermek

amacıyla (1.2.1)’deki I.eşitliği ispatlayalım. ∀x ∈ X için,

f(A∪B)0(x) = 1 − f_A∪B(x) = 1 − max{f_A(x), f_B(x)}

fA0_∩B0(x) = min{f_A0(x), f_B0(x)} = min{1 − f_A(x), 1 − f_B(x)}

Burada iki durum vardır. fA(x) < fB(x) ise

f(A∪B)0(x) = 1 − f_B(x)

fA0_∩B0(x) = 1 − f_B(x).

Buradan f(A∪B)0(x) = f_A0_∩B0(x) olduğu görülür. Benzer şekilde, f_A(x) > f_B(x)

olduğunda f(A∪B)0(x) = f_A0_∩B0(x) olduğu gösterilebilir. İki fuzzy cümlesinin eşitliği

tanımından (A ∪ B)0 = A0∩ B0 _{sonucuna ulaşılır.}

1.3. FUZZY CÜMLELERİ ÜZERİNDE CEBİRSEL İŞLEMLER Cebirsel çarpma : A ve B gibi iki fuzzy cümlesinin A · B cebirsel çarpımı, fA·B

üyelik fonksiyonu,

fA·B = fA· fB

olarak tanımlanan cümledir. Açık olarak A · B ⊂ A ∩ B kapsaması geçerlidir. Basit cümlelerde, A · B = A ∩ B eşitliği mevcutur.

Cebirsel toplam : A ve B fuzzy cümlelerinin A+B cebirsel toplamı, fA+B üyelik

fonksiyonu,

olarak tanımlanan cümledir. Cebirsel toplam, sadece fA(x) + fB(x) ≤ 1

olan x’ler için anlamlıdır.

Mutlak Fark : A ve B fuzzy cümlelerinin | A − B | mutlak farkı, f|A−B| üyelik

fonksiyonu

f|A−B| =| fA− fB |

şeklinde tanımlanan cümledir. Basit cümlelerde, | A − B |= (A ∪ B) \ (A ∩ B) eşitliği mevcuttur.

1.4. DÖNÜŞÜMLER TARAFINDAN ÜRETİLEN FUZZY CÜMLELER

T : X → Y bir dönüşüm ve B de üyelik fonksiyonu fB olan Y’deki bir fuzzy

cümlesi olsun . T−1 ters dönüşümü X’de bir A fuzzy cümlesi üretir ki bu A fuzzy cümlesinin üyelik fonksiyonu, T tarafından y’ye dönüştürülen her x için

fA(x) = fB(y) , y ∈ Y

olarak tanımlanır. Yani,

A = T−1(B) = {x ∈ X : T (x) = y, y ∈ Y }

cümlesi bir fuzzy cümlesidir ve bu cümlenin üyelik fonksiyonu x ∈ T−1(y) olan x’ler için

fA(x) = fB(y) , y ∈ Y

şeklindedir. T : X → Y bir dönüşüm ve A da X’deki bir fuzzy cümlesi olsun. Y’de T dönüşümüyle bir B = T (A) fuzzy cümlesi üretilir. Bu fuzzy cümlesinin üyelik fonksiyonu

fB(y) = max

şeklindedir. Yani y ∈ B’nin üyelik derecesi T ile kendisine resmedilen A’daki x’lerin üyelik derecesinin en büyüğüdür.

1.5. KONVEKSLİK

X uzayındaki bir A fuzzy cümlesinin konveks olması için gerek ve yeter şart (0, 1] aralığındaki bütün α’lar için

Γα = {x ∈ X : fA(x) ≥ α}

(1.5.1)

şeklinde tanımlı Γα cümlesinin konveks olmasıdır, [17].

Bir fuzzy cümlesinin konveksliği kavramının doğrudan bir tanımını şu şekilde verebiliriz: Bir A fuzzy cümlesinin konveks olması için gerek ve yeter şart; ∀λ ∈ [0, 1] ve ∀x1, x2 ∈ X için

fA(λx1+ (1 − λ)x2) ≥ min{fA(x1), fA(x2)}

bulunmasıdır. Şimdi, bu iki tanımın denk olduğunu gösterelim.

A, ilk tanımdaki manada konveks olsun. Bu durumda; ∀α ∈ (0, 1] için (1.5.1) cümlesi konvekstir. α = fA(x1) ≤ fA(x2) alalım. Bu durumda x2 ∈ Γα’ dır. Γα’nın

konveksliğinden ∀λ ∈ [0, 1] için λx1+ (1 − λ)x2 ∈ Γα ve dolayısıyla

fA(λx1+ (1 − λ)x2) ≥ α = fA(x1) = min{fA(x1), fA(x2)}

olur.

A cümlesi ikinci tanımdaki manada konveks bir cümle ve α = fA(x1) olsun.

Γα, fA(x2) ≥ fA(x1) şartını sağlayan bütün x2’lerin cümlesi olarak karşımıza çıkar.

O zaman,

fA(λx1+ (1 − λ)x2) ≥ fA(x1)

kalacağından ∀λ ∈ (0, 1] için λx1+ (1 − λ)x2 ∈ Γα olur. Bu da Γα cümlesinin konveks

olduğunu gösterir.

BÖLÜM 2

ARALIK SAYILARI VE FUZZY SAYILARI

2.1. ARALIK SAYILARI Tanım 2.1.1. [7] Bir a, b kapalı aralığı , reel sayıların

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} olarak tanımlanan kapalı ve sınırlı bir alt cümlesidir.

Bir A aralığının uç noktalarını, A ve A ile göstereceğiz. Böylece, A = [A, A] olur. Bir a reel sayısını, [a, a] aralığıyla eş tutacağız. R üzerindeki bütün aralıkların cümlesini K ile gösterelim. Bundan sonraki kısımda aralıkları sayı gibi düşünerek onlar üzerindeki sıralama bağıntısını ve cebirsel işlemleri Matloka [7]’ye dayanarak tanımlayalım.

Reel sayı aralıkları arasındaki sıralama bağıntısı, A ≤ B ⇔ A ≤ B ve A ≤ B şeklinde tanımlıdır.

A ve B gibi iki aralığın C = A + B toplamı, C = A + B ve C = A + B

şeklinde tanımlanır. Başka bir yolla aralık tanımı kullanılarak A ≤ a ≤ A ve B ≤ b ≤ B

A + B ≤ a + b ≤ A + B elde edilir. Böylece,

A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}

Bir A aralığının -A negatifi

−A = −[A , A] = [−A, −A] = {−a : a ∈ A} olarak tanımlanır. A ve B aralıklarının B-A farkı,

B − A = B + (−A) = {b − a : a ∈ A, b ∈ B}

şeklinde tanımlanır. Daha kısa olarak aralıkların toplam ve fark işlemlerini, [A , A] + [B , B] = [A + B , A + B]

[A , A] − [B , B] = [A − B, A − B] yazabiliriz. Sıfırı ihtiva etmeyen bir A aralığının 1/A tersi ise,

1 A =

 1

a : a ∈ A 

şeklinde tanımlanır. O zaman, 1 A =  1 A, 1 A  olur. A ve B Aralıklarının A · B çarpımını, A · B = {a · b : a ∈ A, b ∈ B}

olarak tanımlarız. A · B çarpımının başlangıç ve bitim noktaları, sırasıyla A · B = min{A · B, A · B, A · B, A · B}

ve

A · B = max{A · B, A · B, A · B, A · B} eşitlikleriyle verilir.

A ve B aralıkları arasındaki d(A, B) uzaklığı, d(A, B) = max{|A − B| , |A − B|} (2.1.1)

Teorem 2.1.1. [9] 2.1.1’de tanımlı d dönüşümü ile (K, d) bir tam metrik u-zaydır.

2.2. FUZZY SAYILARI

Birinci bölümde belirttiğimiz gibi bir X uzayının A fuzzy alt cümlesi, u üye-lik fonksiyonu ile karakterize edilir. Bu fonksiyon; X’in herbir elemanına, [0, 1] a-ralığında bir değer karşılık getirir. u(x) = 0 ise üyelik yok , 0 < u(x) < 1 ise kısmi üyelik ve u(x) = 1 iken de tam üyelik vardır denir. Çoğu zaman u üyelik fonksiyonu ile fuzzy cümlesi eşanlamlı olarak kullanılır. Meselâ u : R → [0, 1],

u(x) =          0 , x ≤ 1 ise 1 99(x − 1) , 1 < x ≤ 100 ise 1 , 100 < x ise

ile tanımlanan üyelik fonksiyonu, x  1 olan reel sayıların fuzzy cümlesini gösterir, [2, s.1]. Bundan sonraki kısımda fuzzy cümleleri için sadece üyelik fonksiyonlarını kullanacağız.

Tanım 2.2.1. [3] R reel sayılar cümlesini , N pozitif tamsayıların cümlesini ve F (R) de R üzerindeki bütün fuzzy cümlelerinin cümlesini göstersin. u ∈ F (R) için u’nun λ-seviye cümlesi,

[u]λ =    {x ∈ R : u(x) ≥ λ} , 0 < λ ≤ 1 ise {x ∈ R : u(x) > 0} , λ = 0 ise olarak tanımlanır.

Tanım 2.2.2. [3, Tanım 2.1] Aşağıdaki şartları sağlayan R üzerindeki bir u : R → [0, 1] fuzzy cümlesine fuzzy sayısı denir.

(1) u, normaldir. Yani en az bir x0 ∈ R için u(x0) = 1’dir.

(2) u, konvekstir. Yani ∀x, y ∈ R ve ∀λ ∈ [0, 1] için, u(λx + (1 − λ)y) ≥ minu(x), u(y)

(3) u, üstten yarı süreklidir. Yani ∀α ∈ R için,

u−1_{(−∞, α) = {x ∈ R : u(x) < α} cümlesi, R’deki alışılmış topolojiye göre} açıktır.

(4) [u]0 = {x ∈ R : u(x) > 0} kompakt bir cümledir.

Herhangi bir r reel sayısı,

r(t) =    1 , t = r ise 0 , t 6= r ise şeklinde tanımlı bir r fuzzy sayısı gibi düşünülebilir.

R üzerindeki bütün fuzzy sayılarının cümlesini E1ile göstereceğiz ve fuzzy sayı uzayı olarak isimlendireceğiz.

Teorem 2.2.1. [16, Lemma 2.2] u ∈ E1 ve [u]1 = {x ∈ R : u(x) = 1} =

[u−(1), u+_{(1)] olsun. O zaman u(x); (−∞, u}+_{(1)) üzerinde azalmayan, sağdan sürekli}

ve (u−(1), ∞) üzerinde artmayan, soldan sürekli bir fonksiyondur.

Teorem 2.2.2. [2, s. 38, Proposition 6.1.6] u, E1’deki bir fuzzy sayısı olsun. Bu durumda;

(i) Her bir λ ∈ [0, 1] için [u]λ; boş olmayan, kapalı, sınırlı bir aralıktır. Bu

aralığı, [u]λ = [u−(λ), u+(λ)] ile göstereceğiz.

(ii) 0 < λ1 ≤ λ2 için [u]0 ⊇ [u]λ1 ⊇ [u]λ2 ve

[u]0 =

[

λ∈(0,1]

[u]λ

geçerlidir.

(iii) Azalmayan ve λk → λ olan [0, 1] aralığındaki bir dizi için [u]λ =

T∞

k=1[u]λk’dır.

Buna denk olarak [limku−(λk), limku+(λk)] = [u−(λ), u+(λ)] yazılabilir.

Teorem 2.2.3. [2, s. 39, Proposition 6.1.7] C = {Cλ = [α(λ), β(λ)] : λ ∈

[0, 1]}, Teorem 2.2.2’nin (i) , (ii) ve (iii) şartlarını sağlayan R’deki boş olmayan aralıkların bir sınıfı verilsin ve

u : R → [0, 1], u(x) =    sup{λ ∈ I : x ∈ Cλ} , x ∈ C0 ise 0 , aksi durumda

ile tanımlansın. O zaman; u ∈ E1_{, λ ∈ (0, 1] için [u]}

λ = Cλ ve [u]0 = [ λ∈(0,1] Cλ ⊆ C0 olur.

Teorem 2.2.4. [5, Teorem 1.1](Fuzzy Sayılarının Temsil Teoremi) u ∈ E1 ve herbir λ ∈ [0, 1] için [u]λ = [u−(λ), u+(λ)] olsun. O zaman aşağıdaki şartlar sağlanır:

(1) u−(λ); (0, 1] üzerinde sınırlı, soldan sürekli ve azalmayan bir fonksiyondur. (2) u+_{(λ); (0, 1] üzerinde sınırlı, soldan sürekli ve artmayan bir fonksiyondur.}

(3) u−(λ) ve u+_{(λ) fonksiyonları, λ = 0 noktasında sağdan süreklidir.}

(4) u−(1) ≤ u+(1).

Tersine, α ve β (1) − (4) şartlarını sağlayan iki fonksiyon ise o zaman

[u]λ = [α(λ), β(λ)] olacak şekilde bir tek u ∈ E1 vardır. α ve β’ya karşılık gelen u

fuzzy sayısı; u : R → [0, 1],

u(x) = sup{λ : α(λ) ≤ x ≤ β(λ)} olarak tanımlanır.

Bundan sonraki kısımda, fuzzy sayıları için bazı tanımları verip onlar üze-rindeki cebirsel işlemleri tanımlayacağız.

Tanım 2.2.3. [3] E1üzerindeki kısmi sıralama bağıntısı; u, v ∈ E1 olmak üzere, u ≤ v ⇔ ∀λ ∈ [0, 1] için [u]λ ≤ [v]λ ⇔ ∀λ ∈ [0, 1] için u−(λ) ≤ v−(λ) ve u+(λ) ≤ v+(λ)

şeklinde tanımlanır.

Tanım 2.2.4. [3] A ⊂ E1 olsun. Eğer ∀u ∈ A için u ≤ M olacak şekilde bir M fuzzy sayısı bulunabiliyorsa o zaman A üstten sınırlıdır denir. Üst sınırların en küçüğüne ise A’nın supremumu denir.

Benzer şekilde ∀u ∈ A için m ≤ u olacak şekilde bir m fuzzy sayısı bulu-nabiliyor ise A alttan sınırlıdır denir. Alt sınırların en büyüğüne ise A’nın infimumu denir.

A cümlesi hem alttan hemde üstten sınırlı ise sınırlıdır denir.

Tanım 2.2.5. u, v ∈ E1 olsun. Eğer ∀x ∈ R için u(x) = v(x) ise u ile v fuzzy sayıları eşittir denir ve u = v yazılır. Bu tanımı, seviye cümleleri yardımıyla

u = v ⇔ ∀λ ∈ [0, 1] için [u]λ = [v]λ

şeklinde ifade edebiliriz.

Tanım 2.2.6. [4] u ∈ E1 olsun. Eğer x < 0 olan her x için u(x) = 0 ise u fuzzy sayısına negatif olmayan fuzzy sayısı denir. Negatif olmayan fuzzy sayılarının cümlesini G ile göstereceğiz.

Tanım 2.2.7. [2, s. 4](Zadeh Genişleme Prensibi) X 6= ∅ ve F (X) de X üze-rindeki boş olmayan bütün fuzzy cümlelerinin cümlesini göstersin. X1, X2, Y boş

olmayan cümleler ve f : X1× X2 → Y bir fonksiyon olsun. f fonksiyonunun fuzzy

sayıları üzerine genişlemesi

f : F (X1) × F (X1) → F (Y ),

f (u, v)(y) =   

sup_(x1,x2)∈f−1_(y)min{u(x₁), u(x₂)} , f−1(y) 6= ∅ ise

0 , f−1(y) = ∅ ise

biçiminde tanımlı f fonksiyonudur. Burada, f−1(y) = {(x1, x2) ∈ X1× X2 : f (x1, x2) = y}.

Şimdi genişleme prensibinden hareketle [6]’da verilen E1×E1_{üzerindeki toplama,}

fark, çarpma ve bölme işlemlerini tanımlayalım. u, v ∈ E1 _{olsun. Bu durumda;}

(u + v)(t) = sup_t1+t2=tmin{u(t1), v(t2)} = sup_s∈Rmin{u(s), v(t − s)} , t ∈ R

(u − v)(t) = sup_{s∈Rmin{u(s), v(s − t)} , t ∈ R} (u · v)(t) = sup_{s∈R,s6=0min{u(s), v(t/s)} , t ∈ R}

(u/v)(t) = sup_{s∈Rmin{u(t · s), v(s)} , t ∈ R}

Bir u fuzzy sayısının −u negatifi ise −u = 0 − u olarak tanımlanır ve −u(t) = u(−t) eşitliği geçerlidir.

Bir k ∈ R ile u ∈ E1 fuzzy sayısının k · u çarpımı,

(k · u)(t) =    u(t/k) , k 6= 0 ise 0 , k = 0 ise şeklinde tanımlanır.

Bir u fuzzy sayısının |u| mutlak değeri

|u|(t) =   

max{u(t), u(−t)} , t ≥ 0 ise 0 , t < 0 ise şeklinde tanımlanır.

Şimdi de fuzzy sayıları üzerinde tanımlanan işlemlerin λ-seviye cümleleri bakımın-dan karşılıklarını ifade eden teoremi verelim.

Teorem 2.2.5. [6, Lemma 2.1] u, v ∈ E1 , k ∈ R ve her bir λ ∈ [0, 1] için [u]λ = [u−(λ), u+(λ)], [v]λ = [v−(λ), v+(λ)] olsun. O zaman

[u + v]λ = [u]λ+ [v]λ = [u−(λ) + v−(λ), u+(λ) + v+(λ)], [u − v]λ = [u]λ− [v]λ = [u−(λ) − v+(λ), u+(λ) − v−(λ)], [u · v]λ = [u−(λ) · v−(λ), u+(λ) · v+(λ)], (u, v ∈ G için) [¯1/u]λ = [_u+1_(λ), 1 u−_(λ)] (u −_{(λ) > 0 için)}

[|u|]λ = [max{0, u−(λ), −u+(λ)}, max{|u−(λ)|, |u+(λ)|}],

[k · u]λ = k · [u]λ

eşitlikleri geçerlidir.

Dikkat edilirse [−u]λ = [−u+(λ), −u−(λ)] olacağından u − u 6= 0’dır.

Teorem 2.2.6. [4, Proposition 2.4] u, v, w ∈ E1 olsun. O zaman (1) (u + v) − w = u + (v − w) ;

(3) u ≤ v ve w > 0 ise (i) u · w ≤ v · w , (ii) u/w ≤ v/w ; (4) (u · v)/w = u · (v/w) özellikleri vardır.

BÖLÜM 3

FUZZY SAYI DİZİLERİ

3.1. BİR FUZZY SAYI DİZİSİNİN LİMİTİ

Öncelikle E1 üzerindeki metriği tanımlayalım. u, v ∈ E1 ve d, (2.1.1)’deki biçimde olsun. O zaman u ile v arasındaki D(u, v) uzaklığı,

D(u, v) = sup λ∈[0,1] d([u]λ, [v]λ) = sup λ∈[0,1] max{|u−(λ) − v−(λ)|, |u+(λ) − v+(λ)|} şeklinde tanımlanır.

Tanım 3.1.1. [7] Bir fuzzy sayı dizisi ; tanım cümlesi N doğal sayılar ve değer cümlesi E1 _{fuzzy sayı uzayı olan bir fonksiyondur. Meselâ,}

un(x) =              n 2n−1x , x ∈ [0, 2n−1 n ) ise 1 , x ∈ [2n−1_n ,2n+1_n ] ise −n 2n−1(x − 4) , x ∈ ( 2n+1 n , 4] ise 0 , diğer hâllerde (3.1.1)

ile tanımlanan u = (un(x)), bir fuzzy sayı dizisidir.

Tanım 3.1.2. [7] (un) ⊂ E1 bir fuzzy sayı dizisi ve u0 ∈ E1 olsun. Eğer verilen

her ε > 0 ve n > n0 olan bütün n ∈ N’ler için D(un, u0) < ε olacak şekilde en az bir

n0 ∈ N bulunabiliyor ise (un) dizisi u0’a yakınsaktır denir ve limn→∞un= u0 veya

un → u0, (n → ∞) biçiminde gösterilir. Bu tanımı, sembolik olarak

limn→∞un= u0 ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N 3 ∀n ≥ n0 için D(un, u0) < ε

Meselâ, (3.1.1) ile tanımlanan u = (un(x)) fuzzy sayı dizisi, u0(x) =          1 2x , x ∈ [0, 2) ise −1 2(x − 4) , x ∈ [2, 4] ise 0 , diğer hâllerde fuzzy sayısına yakınsaktır.

Tanım 3.1.3. Bir u0 fuzzy sayısının ε yarıçaplı K(u0, ε) komşuluğu

K(u0, ε) = {u ∈ E1 : D(u, u0) < ε}

cümlesi olarak tanımlanır.

Teorem 3.1.1. (un) dizisi yakınsak ise sadece bir limit noktası vardır.

Teorem 3.1.2. [7, Teorem 3.3] n ≥ n0 iken un ≤ wn ≤ vn olacak şekilde bir

n0 ∈ N mevcut ve limnun = limnvn= u0 ise o zaman limnwn = u0’dir.

Tanım 3.1.4. (Sınırlılık) (un) ⊂ E1 bir fuzzy sayı dizisi olsun.

Eğer {un : n ∈ N} fuzzy cümlesi sınırlı ise, (un) dizisi sınırlıdır denir. Yani, ∀n ∈ N

için m ≤ un≤ M eşitsizliklerini sağlayan m ve M fuzzy sayıları mevcutsa (un) dizisi

sınırlıdır.

A ⊂ E1 _{olsun. Bu durumda; {D(u, v) : u, v ∈ A} cümlesinin üst sınırlarının}

en küçüğüne A cümlesinin çapı denir ve δ(A) ile gösterilir. Eğer, δ(A) sonlu ise A cümlesi sınırlıdır.

Teorem 3.1.3. [7, Teorem 3.4] Yakınsak bir fuzzy sayı dizisi sınırlıdır. Tanım 3.1.5. (un) bir fuzzy sayı dizisi ve (nk) da doğal sayıların artan bir

dizisi olsun. O zaman (unk) dizisine (un) dizisinin bir alt dizisi denir.

Teorem 3.1.4. [7, Teorem 3.6] Bir fuzzy sayı dizisi yakınsak ise her alt dizisi de aynı noktaya yakınsaktır.

Teorem 3.1.5. [7, Teorem 4.1] lim un = u0 , lim vn = v0 ve k ∈ R olsun. O

zaman

(1) lim(un+vn) = u0+v0,

(2) lim(kun) = ku0,

(3) lim(un· vn) = u0· v0,

(4) lim(un/vn) = u0/v0, (∀n ∈ N için vn 6= 0, v0 6= 0 için).

İspat:(1) limnun = u0 ve limnvn = v0 olsun. O zaman ∀ε > 0 için bir n0 ∈ N

vardır öyle ki D(un, u0) < ε , D(vn, v0) < ε sup λ∈[0,1] d([un]λ, [u0]λ) < ε , sup λ∈[0,1] d([vn]λ, [v0]λ) < ε.

Buradan herbir λ ∈ [0, 1] için d([u]λ, [u0]λ) = max n |u−_{(λ) − u}− 0(λ)|, |u+(λ) − u + 0(λ)| o < ε d([v]λ, [v0]λ) = max n |v−_{(λ) − v}− 0(λ)|, |v+(λ) − v + 0 (λ)| o < ε elde edilir. d([u]λ+ [v]λ, [u0]λ+ [v0]λ) = max n |u−_{(λ) + v}−_{(λ) − u}− 0(λ) − v − 0(λ)|, |u+_{(λ) + v}+_{(λ) − u}+ 0(λ) − v + 0(λ) o ≤ maxn|u−_{(λ) − u}− 0(λ)| + |v −_{(λ) − v}− 0 (λ)|, |u+_{(λ) − u}+ 0(λ)| + |v+(λ) − v0+(λ)| o ≤ maxn|u−_{(λ) − u}− 0(λ)|, |u+(λ) − u + 0(λ)| o + + maxn|v−_{(λ) − v}− 0(λ)|, |v+(λ) − v + 0(λ)| o = d([u]λ, [u0]λ) + d([v]λ, [v0]λ) < 2ε kalır. Dolayısıyla sup λ∈[0,1] d([u]λ+ [v]λ, [u0]λ+ [v0]λ) = D(u + v, u0+ v0) ≤ 2ε

olur. Buradan lim(un+ vn) = u0+ v0 sonucuna ulaşılır. Benzer şekilde diğer şıklar

Tanım 3.1.6. [9] (Cauchy dizisi) (un), bir fuzzy sayı dizisi olsun. Eğer her

ε > 0 verildiğinde her n, m > n0 iken D(un, um) < ε olacak şekilde en az bir n0 ∈ N

bulunabiliyor ise (un) dizisine bir Cauchy dizisi denir.

Şimdi kullanacağımız bazı sembolleri verelim.

Bütün fuzzy sayı dizilerinin cümlesini w(F ), yakınsak fuzzy sayı dizilerinin cümlesini c(F ), bütün fuzzy Cauchy sayı dizilerinin cümlesini C(F ), sınırlı fuzzy sayı dizilerinin cümlesini l∞(F ) ile göstereceğiz. Açık olarak

c(F ) ⊂ C(F ) ⊂ l∞(F ) ⊂ w(F )

kapsamaları geçerlidir.

Teorem 3.1.6. [14] u, v, w ∈ E1 ve k ∈ R olsun. O zaman aşağıdaki önermeler geçerlidir:

(1) (E1_{, D) tam metrik uzaydır.}

(2) D(ku, kv) = |k|D(u, v). (3) D(u + w, v + w) = D(u, v).

İspat. (1) D’nin E1üzerinde metrik olduğunu görmek kolaydır. Şimdi (E1, D)’nin tam metrik uzay olduğunu gösterelim. (un), E1’de bir Cauchy dizisi olsun. O zaman

her ε > 0 için bir n0 ∈ N vardır öyle ki her n, m > n0 iken

D(un, um) = sup λ∈[0,1]

d([un]λ, [um]λ) < ε

kalır. Buradan herbir λ ∈ [0, 1] için

d([un]λ, [um]λ) < ε

olur. Bu da herbir λ ∈ [0, 1] için [un]λ’nin K’da bir Cauchy dizisi olduğunu gösterir.

K, d metriğine göre tam olduğundan lim[un]λ = [u]λ olan bir [u]λ ∈ K vardır.

Buradan da λ-seviye cümlesi [u]λ olan bir u fonksiyonu tanımlarsak limnun= u ve

u ∈ E1 olduğu görülür.

Teorem 3.1.7. [9, Teorem 1] c(F ) ve l∞(F ) cümleleri, u = (un) ve v = (vn)

yakınsak veya sınırlı birer dizi olmak üzere p(u, v) = sup

n

D(un, vn)

şeklinde tanımlanan metrikle tam metrik uzay teşkil ederler.

Tanım 3.1.7. Fuzzy sayılarının lp(F ) cümlesi 1 ≤ p < ∞ olmak üzere

lp(F ) = ( u = (un) ∈ w(F ) : X n [D(un, 0)]p < ∞ ) şeklinde tanımlanır.

Teorem 3.1.8. [9, Teorem 2] u = (un), v = (vn) ∈ lp(F ) olmak üzere lp(F ),

h(u, v) = ( X n [D(un, vn)]p )1_p

ile tanımlanan h metriği ile tam metrik uzaydır.

İspat: h’ın lp(F ) için bir metrik olduğunu görmek kolaydır. Biz lp(F)’nin h

metriği ile tam olduğunu gösterelim. (ui_{), l}

p(F)’de bir Cauchy dizisi olsun. Bu

durumda; ∀ε > 0 için ∃n0 ∈ N vardır öyleki ∀i, j ≥ n0 için

h(ui, uj) = ( X n [D(ui_n, uj_n)]p )1_p < ε (3.1.2)

kalır. Buradan herhangibir sabit n ∈ N için, D(ui_n, uj_n) < ε olduğu görülür. Bu da sabit bir n ∈ N için (ui

n) dizisinin E1’de bir Cauchy dizisi

olduğunu gösterir. (E1, D) metrik uzayı tam olduğundan limiuin = un olacak şekilde

un ∈ E1 mevcuttur. Şimdi, u = (un) tanımlayalım. (3.1.2)’de j → ∞ için limit

alırsak i ≥ n0 için h(ui, u) = ( X n [D(ui_n, un)]p )1_p < ε (3.1.3)

olur. Yani, limiui = u dir. Şimdi, u ∈ E1 olduğunu gösterelim. (3.1.3)’dan dolayı n X n [D(un, 0)]p o_p1 ≤ n X n [D(un, uin) + D(u i n, 0)] po 1 p ≤ n X n [D(un, uin)]p o1_p +n X n [D(ui_n, 0)]po 1 p < ∞

bulunduğundan u = (un) ∈ lp(F )’dir. Böylece, teoremin ispatı tamamlanır.

∆u = (un − un+1) olmak üzere fuzzy sayılarının fark dizi uzayları aşağıdaki

gibi tanımlanır:

l∞(F, ∆) = {u = (un) ∈ w(F ) : ∆u ∈ l∞(F )}

c(F, ∆) = {u = (un) ∈ w(F ) : ∆u ∈ c(F )}

c0(F, ∆) = {u = (un) ∈ w(F ) : ∆u ∈ c0(F )}

Açık olarak, c(F ) ⊂ c(F, ∆), c0(F ) ⊂ c0(F, ∆), l∞(F ) ⊂ l∞(F, ∆) kapsamaları

geçerlidir.

Teorem 3.1.9. [1, Teorem 2.1] l∞(F, ∆), c(F, ∆) ve c0(F, ∆) cümlelerinin her

biri

k(u, v) = sup

n

D(∆un, ∆vn)

şeklinde tanımlanan k metriği ile bir tam metrik uzaydır. Burada u = (un),

v = (vn) ∈ c(F, ∆) ( veya l∞(F, ∆), c0(F, ∆))’dir.

3.2. FUZZY SAYI DİZİLERİNİN SEVİYE YAKINSAKLIĞI İlk kısımda bir fuzzy dizisinin yakınsaklığını D metriğine göre tanımlamıştık. Burada ise fuzzy sayı dizilerinin yakınsaklığının ikinci bir tanımını vereceğiz.

Tanım 3.2.1. [3, Tanım 2.2] (un), E1’de bir dizi ve u ∈ E1 olsun.

(1) Eğer limn→∞D(un, u) = 0 ise (un), D metriğine göre u’ya yakınsaktır denir

(2) Eğer bütün λ ∈ [0, 1] için limn→∞u−n(λ) = u

−

(λ) ve limn→∞u+n(λ) = u +_(λ)

ise (un), u’ya seviye-yakınsaktır denir ve (l) − limn→∞un= u ile gösterilir.

D metriğinin tanımından (un) fuzzy sayı dizisi u’ya D-yakınsak ise o zaman

(u−_n(λ)) ve (u+_n(λ)) fonksiyon dizileri sırasıyla u−(λ) ve u+(λ)’ya [0, 1] aralığı üzerinde düzgün yakınsaktır. Gerçekten de (D) − limn→∞un= u olsun. O zaman,

limnD(un, u) = 0 olur. D’nin tanımından

lim n _λ∈[0,1]sup max{|u − n(λ) − u − (λ)|, |u+_n(λ) − u+(λ)|} = 0

elde edilir. Maksimumun özelliğinden lim n _λ∈[0,1]sup |u − n(λ) − u − (λ)| = 0 ve limn sup λ∈[0,1] |u+ n(λ) − u +_{(λ)| = 0}

olur. Bu da (u−_n(λ)) ve (u+_n(λ)) fonksiyon dizilerinin sırasıyla (u−(λ)) ve (u+(λ))’ya [0, 1] aralığı üzerinde düzgün yakınsak olduğunu gösterir. Bu durumun tersi de doğrudur.

Bununla birlikte seviye-yakınsaklık [0, 1] üzerinde düzgün yakınsaklığı gerek-tirmez; bunun sonucu olarak bir fuzzy sayı dizisinin D-yakınsak olması seviye-yakınsak olmasını gerektirirken tersi geçerli değildir. Yani, seviye-yakınsaklık D-yakınsaklığı gerektirmez. Bununla ilgili iki örneği aşağıda veriyoruz.

Örnek 3.2.1. [11]. un(x) =    (1 − x)n _{, 0 ≤ x ≤ 1 ise} 0 , diğer hâllerde ile tanımlanan u = (un(x)) fuzzy sayı dizisi ile

u(x) =    1 , x = 0 ise 0 , diğer hâllerde

ile tanımlanan u(x) fuzzy sayısını gözönüne alalım. Herbir λ ∈ [0, 1] için [un]λ =

[0, 1 − √n

λ] ve [u]λ = [0, 0] olur. Herbir λ ∈ [0, 1] için

lim n u − n(λ) = 0 ve lim_n u + n(λ) = 0

olduğundan (l) − lim un = u’dur. Diğer taraftan limnD(un, u) = 1 olduğundan

(un), u’ya D-yakınsak değildir.

Örnek 3.2.2. [13]. u+(λ) = 1 , u−_n(λ) =    (λ − 1₂)1/n _, 1 2 < λ ≤ 1 ise 0 , 0 ≤ λ ≤ 1₂ ise ve u+₀(λ) = 1 , u−₀(λ) =    1 , 1₂ < λ ≤ 1 ise 0 , 0 ≤ λ ≤ 1₂ ise fonksiyonları tanımlansın. Açık olarak u−_n(λ), u+

n(λ), u −

0(λ) ve u +

0(λ) fonksiyonları,

fuzzy sayılarının Temsil Teoremi’nin şartlarını sağlarlar. Dolayısıyla herbir λ ∈ [0, 1] için [un]λ = [u−n(λ), u+n(λ)] ve [u0]λ = [u−0(λ), u+0(λ)] olacak şekilde bir tek un ∈ E1

ve u0 ∈ E1 mevcuttur. Açık olarak herhangi bir λ ∈ [0, 1] için

limn→∞u−n(λ) = u −

0(λ) ve limn→∞u+n(λ) = u + 0(λ)

olduğundan (l)−limn→∞un= u0’dır. Diğer taraftan herhangi bir sabit n doğal sayısı

için, D(un, u0) = sup 1 2<λ≤1  1 − λ − 1 2
1/n  = 1 olacağından (un) dizisi u0’a D-yakınsak değildir.

Bir fuzzy sayı dizisi, fonksiyon dizilerinin özel bir hâlidir. Dolayısıyla fonksiyon dizileri için geçerli olan klâsik anlamdaki düzgün yakınsaklık ile fuzzy sayı dizileri için tanımladığımız yakınsaklık tanımlarının karşılaştırılması gerekir. Şimdi bu karşılaş-tırma için iki örnek verelim.

Örnek 3.2.3. [11]. un(x) =    x n+ 1 − 1 n , 0 ≤ x ≤ 1 ise 0 , diğer hallerde ve u(x) =    1 , 0 ≤ x ≤ 1 ise 0 , diğer hâllerde verilsin. Bu durumda; pn = sup x∈R |un(x) − u(x)| = sup 0≤x≤1    x n + 1 − 1 n − 1   = 1 n

olacağından limnpn = 0 olur. Yani (un), u’ya düzgün yakınsaktır. Bununla birlikte

(un) dizisi, u’ya seviye yakınsak değildir.

Örnek 3.2.4. [11]. un(x) =    (1 − nx) , 0 ≤ x ≤ _n1 ise 0 , diğer hâllerde ve u(x) =    1 , x = 0 ise 0 , diğer hâllerde

verilsin. Bu durumda; (un) dizisi, u’ya D-yakınsaktır fakat düzgün yakınsak değildir.

Sonuç olarak; düzgün yakınsaklık kavramıyla, fuzzy sayı dizileri için tanım-lanan D-yakınsaklık ve seviye-yakınsaklık kavramları kaşılaştırılamaz.

Örnek 3.2.5. [6]. c, |c| < 1 olan bir reel sayı olmak üzere (un) = (cn) fuzzy

sayı dizisini gözönüne alalım. Bu dizi, her x ∈ R için ∅(x) = 0 olarak tanımlanan fuzzy boş cümlesine noktasal yakınsaktır. Bununla birliklte 0 fuzzy sayısına seviye yakınsaktır. Görüldüğü gibi seviye yakınsaklık, noktasal yakınsaklığı gerektirmez.

BÖLÜM 4

FUZZY SAYI CÜMLELERİNİN SUPREMUM VE

İNFİMUMU

Bu kısımda, fuzzy sayılarının sınırlı bir cümlesinin bir supremuma ve infimuma sahip olduğunu gösterip, bunların fuzzy sayılarının Temsil Teoremi yardımıyla nasıl hesaplandığını göstereceğiz.

Teorem 4.0.1. [14, Teorem 2.1] A fuzzy sayılarının sınırlı bir cümlesi olsun. O zaman sup A ve inf A mevcut olup [0, 1] üzerinde λ’nın iki fonksiyon çiftiyle aşğıdaki gibi tanımlanır:

[u−_s,A(λ), u+_s,A(λ)] , [u−_I,A(λ), u+_I,A(λ)]

u−_s,A(λ) =    u−_s(λ) , λ ∈ (0, 1] ise u−_s(0 + 0) , λ = 0 ise u+_s,A(λ) =    u+ s(λ) , λ ∈ [0, 1]\{λsm} ise u+ s(λsm− 0) , λ = λsm (m = 1, 2, 3..) ise u−_I,A(λ) =    u−_I(λ) , λ ∈ [0, 1]\{λI m} ise u+_I(λI m− 0) , λ = λIm (m = 1, 2, 3...) ise u+_I,A(λ) =    u+_I(λ) , λ ∈ (0, 1] ise u+_I(0 + 0) , λ = 0 ise u−_s(λ) = sup u∈A u−(λ) , u+_s(λ) = sup u∈A u+(λ) u−_I(λ) = inf u∈Au − (λ) , u+_I(λ) = inf u∈Au + (λ) Burada λs m ve λIm, sırasıyla u+s(λ) ve u − I(λ) fonksiyonlarının [0, 1] üzerindeki süreksizlik noktalarıdır.

Teorem 4.0.2. [14, Corollary 2.1] A ⊂ E1 sınırlı bir cümle olsun. Eğer u−_s(λ) = sup_u∈Au−(λ) ve u+

s(λ) = supu∈Au+(λ) fonksiyon çifti, [0, 1] üzerinde bir

fuzzy sayısı tanımlıyorsa us = supu∈Au’dır. Benzer durum, infimumu için de

geçer-lidir.

Burada dikkat edilmesi gereken nokta, u−_s(λ) ve u+_s(λ) her zaman bir fuzzy sayısı tanımlamayabilir. Örnek 4.0.6. [14]: (un(x)), un(x) =          1 , x ∈ [0,1₂] ise n−1 2n , x ∈ ( 1 2, 1] ise 0 , diğer hâllerde ile tanımlanan fuzzy sayılarının bir dizisi olsun. O zaman,

u−_n(λ) = 0 , u+_n(λ) =    1 , λ ∈ [0,n−1_2n ] ise 1 2 , λ ∈ ( n−1 2n , 1] ise {un : n ∈ N} ⊂ E1 cümlesi sınırlıdır; fakat sup n u+_n(λ) =    1 , λ ∈ [0,1₂) ise 1 2 , λ ∈ [ 1 2, 1] ise olduğundan sup_nu+ n(λ) fonksiyonu λ = 1

2 noktasında soldan sürekli değildir. Dolayısıyla

sup_nu−_n(λ), sup_nu+_n(λ) fonksiyon çifti bir fuzzy sayısı tanımlamaz. Teoremi kulla-narak λ = 1₂ noktasındaki değerini soldan sürekli olacak şekilde

u−(λ) = 0 , u+(λ) =    1 , λ ∈ [0,1₂] ise 1 2 , λ ∈ ( 1 2, 1] ise

ile tanımlarsak o zaman [u]λ = [u−(λ), u+(λ)] fuzzy sayısı olur ve u = supnun’dir.

Şimdi de hangi şartlar altında sup_nun’nin bir fuzzy sayısı tanımlayacağını ifade

eden teoremi verelim. Tanım 4.0.2. fm(λ)

∞

m=1 fonksiyon dizisinin f (λ) fonksiyonuna

bir λ0 ∈ (0, 1] (λ0 = 0), ε > 0 için enaz bir δ > 0 ve m0 ∈ N mevcuttur öyleki

λ ∈ (λ0 − δ, λ0](λ ∈ [0, δ)) ve m ≥ m0 iken |fm(λ) − f (λ)| < ε kalır.

Teorem 4.0.3. [15, Teorem 1] {un} ⊂ E1 sınırlı bir cümle olsun. O zaman

sup_nu−_n(λ), sup_nu+

n(λ) fonksiyon çifti, bir u ∈ E1 fuzzy sayısı tanımlar ancak ve

ancak sup_1≤n≤mu−_n(λ) ve sup_1≤n≤mu+_n(λ) fonksiyon dizileri sarasıyla sup_nu−_n(λ), sup_nu+

n(λ) fonksiyonlarına soldan yarı-düzgün yakınsak ise. Benzer durum infimum

için de geçerlidir.

Teorem 4.0.4. [15, Corollary 1] {un} ⊂ E1 sınırlı bir cümle ve n = 1, 2, 3, ...

için un ≤ un+1 olsun. O zaman u−n(λ) ve u+n(λ) fonksiyon çifti, bir u ∈ E1 fuzzy

sayısı tanımlar ancak ve ancak u−_n(λ) ve u+

n(λ) fonksiyon dizileri sırasıyla supnu−n(λ)

, sup_nu+

n(λ) fonksiyonlarına soldan yarı-düzgün yakınsak ise. Benzer durum

infi-mum için de geçerlidir.

Şimdi de bir örnekle sup_nun(x) 6= (supnu)(x) olabileceğini gösterelim.

Örnek 4.0.7. [15]. un(x) =          1 + x , x ∈ [−1₂, 0] ise x/n + (1 + 1/n)/2 , x ∈ [−1, −1₂) ise 0 , diğer hâllerde

olan (un(x)) dizisini göz önüne alalım. λ ∈ [0, 1] için u+n(λ) = 0 ve

u−_n(λ) =          −1 , λ ∈ [0, (1 − 1/n)/2) ise n(λ − 1/2) − 1/2 , λ ∈ [(1 − 1/n)/2, 1/2) ise λ − 1 , λ ∈ [1/2, 1] ise

olur. Böylece sup_nu+_n(λ) = 0 ve sup_nu−_n(λ) = λ − 1 elde edilir. Bu iki fonksiyon çifti bir us = supnun fuzzy sayısını tanımlar. us fuzzy sayısının üyelik fonksiyonu ise

us(x) = (sup n un)(x) =    x + 1 , x ∈ [−1, 0] ise 0 , diğer hâllerde

şeklindedir. Diğer taraftan (un(x)) üyelik fonksiyonları dizisinin supremumu, sup n un(x) =          1 + x , x ∈ [−1₂, 0] ise 1/2 , x ∈ [−1, −1₂) ise 0 , diğer hâllerde olur. Sonuç olarak, sup_nun(x) 6= (supnu)(x)’dir.

Teorem 4.0.5. [15, Teorem 2] {un} ⊂ E1 sınırlı bir cümle ve

(i) un≥ un+1

(ii) u−_n(λ) ve u+

n(λ) sırasıyla infnu−n(λ) ve infnu+n(λ) fonksiyonlarına λ ∈ [0, 1]

üzerinde düzgün yakınsak

olsun. O zaman, inf un D metriği için yaklaşım özelliğini sağlar. Benzer durum

supremum için de geçerlidir.

İspat: Teorem 4.0.4’den infnu−n(λ) ve infnu+n(λ) fonksiyon çifti, infnun fuzzy

sayısını tanımlar. Hipotezden keyfi bir ε > 0 için bir n0 ∈ N mevcuttur öyle ki

D(inf n un, um) = _λ∈[0,1]sup max n | inf n u − n(λ) − u − m(λ)|, | inf_n u + n(λ) − u + m(λ)| o ≤ max ( sup λ∈[0,1] | inf n u − n(λ) − u − m(λ)|, sup λ∈[0,1] | inf n u + n(λ) − u + m(λ)| ) < ε

kalır. Dolayısıyla (un), D metriği bakımından yaklaşım özelliğini sağlar.

Burada dikkat edilmesi gereken nokta teoremdeki düzgün yakınsaklık şartının sol yarı-düzgünlükle değiştirilemeyeceğidir. Örnek 4.2’deki (un) dizisini gözönüne

alalım. O zaman inf n u + n(λ) = 0, inf_n u − n(λ) =    λ − 1 , λ ∈ (1₂, 1] ise −1 , λ ∈ [0,1 2] ise

olarak bulunur. Açık olarak, infnu+n(λ) ve infnu−n(λ) fonksiyon çifti bir infnunfuzzy

u+

n(λ) sırasıyla infnu−n(λ) ve infnu+n(λ) fonksiyonlarına λ ∈ [0, 1] için soldan

yarı-düzgün yakınsaktır. Fakat, D(inf n un, um) = _λ∈[0,1]sup max n | inf n u − n(λ) − u − m(λ)|, | inf_n u + n(λ) − u + m(λ)| o ≥ | inf n u − n(1/2) − u − m(1/2)| = | − 1 − (−1/2)| = 1/2, (m = 1, 2, 3, ...). Böylece, D metriği bakımından inf un yaklaşım özelliğini sağlamaz.

Sonuç olarak sınırlı artmayan bir fuzzy sayı dizisinin infimumu D metriği bakımından dizinin limiti olmayabilir. Benzer şekilde sınırlı azalmayan bir dizinin supremumu D metriği bakımından dizinin limiti olmayabildiği gibi monoton ve sınırlı bir fuzzy sayı dizisi de D-yakınsak olmayabilir.

E1 cümlesinde fuzzy sayılarının supremum ve infimumunun nasıl bulunduğunu Teorem 4.0.1’de verdik. Şimdi, bu teoremde supremum ve infimum formüllerini daha da geliştiren bir formül verelim.

Teorem 4.0.6. [3, Teorem 3.1] A ⊂ E1, boş olmayan bir cümle olsun. Eğer A bir üst sınıra sahip ise o zaman u = sup A ∈ E1 _{supremumu mevcut ve aşağıdaki}

temsile sahiptir: u−(λ) = sup a∈A a−(λ) , u+(λ) = inf r<λsup_a∈Aa +_{(r); λ ∈ (0, 1],} u−(0) = inf λ>0sup_a∈Aa − (λ) , u+(0) = sup a∈A a+(0).

Benzer olarak; eğer A bir alt sınıra sahip ise o zaman v = inf A ∈ E1 infimumu mevcuttur ve aşağıdaki temsile sahiptir:

v−(λ) = sup r<λ inf a∈Aa − (r) , v+(λ) = inf a∈Aa +_{(λ) λ ∈ (0, 1]} v−(0) = inf a∈Aa − (0) , v+(0) = sup λ>0 inf a∈Aa +_(λ).

Artık "Sonlu bir fuzzy sayı cümlesinin supremumu ve infimumu nedir?" sorusuna cevap teşkil eden teoremi verebiliriz:

Teorem 4.0.7. [3, Corollary 3.1] u ve v, iki fuzzy sayısı olsun. O zaman, u ve v fuzzy sayılarının max{u, v} fuzzy maksimumu ve g_g min{u, v} fuzzy minimumu genişleme prensibine göre,

sup{u, v} =max{u, v}_g , inf{u, v} = gmin{u, v}

g max{u, v}(z) = sup max{x,y}=z min{u(x), v(y)} g min{u, v}(z) = sup min{x,y}=z min{u(x), v(y)} olarak tanımlanır. u ve v fuzzy sayılarının λ-seviye cümleleri ise,

[max{u, v}]_g λ = [max{u−(λ), v−(λ)}, max{u+(λ), v+(λ)}]

[ gmin{u, v}]λ = [min{u−(λ), v−(λ)}, min{u+(λ), v+(λ)}]

şeklindedir.

Bundan sonraki kısımda bir fuzzy sayı dizisinin hangi şart altında seviye-yakınsak olacağını belirleyen teoremi vereceğiz.

Tanım 4.0.3. [3] {fn}, [a, b] üzerinde tanımlı fonksiyonların bir dizisi ve

λ0 ∈ (a, b] olsun. Eğer ∀ε > 0 için N ∈ N ve δ > 0 vardır öyle ki n ≥ N ve

λ ∈ (λ0 − δ, λ0] için |fn(λ) − fn(λ0)| < ε oluyorsa {fn}, λ0 noktasında

eşit-sol-süreklidir denir.

Benzer şekilde, λ0 ∈ [a, b) noktasında {fn} dizisinin eşit-sağ-sürekliliği tanımlanır.

Teorem 4.0.8. [3, Teorem 4.1] Fuzzy sayılarının bir (un) dizisinin E1

cüm-lesinde seviye yakınsak olması için gerek ve yeter şart aşağıdaki iki şartın sağlan-masıdır:

(1) Herbir λ ∈ [0, 1] için limn→∞u−n(λ) ve limn→∞u+n(λ) mevcuttur.

(2) (u−_n(λ)) ve (u+

n(λ)) fonksiyon dizileri herbir λ ∈ (0, 1] noktasında

eşit-sol-süreklidir ve λ = 0 noktasında eşit-sağ-eşit-sol-süreklidir.

Teorem 4.0.9. [3, Teorem 4.1’] (un) fuzzy sayılarının bir dizisi ve herbir λ ∈

[0, 1] için limn→∞u−n(λ) = α(λ) , limn→∞u+n(λ) = β(λ) olsun. O zaman, α(λ) ve

β(λ) fonksiyon çiftinin bir fuzzy sayısı tanımlaması için gerek ve yeter şart (u−_n(λ)) ve (u−_n(λ)) fonksiyon dizilerinin herbir λ ∈ (0, 1] noktasında eşit-sol-sürekli ve λ = 0 noktasında eşit-sağ-sürekli bulunmasıdr.

Örnek 4.0.8. λ ∈ [0, 1] için u−n(λ) = 0, u+n(λ) = 1 − λn olsun. O zaman herbir

n doğal sayısı için u−_n(λ) ve u+

n(λ) fonksiyonları, Temsil Teoremi’nin şartlarını sağlar.

Dolayısıyla herbir n doğal sayısı için [un]λ = [u−n(λ), u+n(λ)] olacak şekilde

un ∈ E1 vardır. Açık olarak (un), artan ve üstten sınırlı bir dizidir. Şimdi, (un)

dizisinin seviye yakınsaklığını araştıralım.

lim n→∞u + n(λ) =    1 , 0 ≤ λ < 1 ise 0 , λ = 1 ise

olur. limn→∞u+n(λ) foksiyonu, λ = 1 için soldan sürekli olmadığından (un) seviye

yakınsak değildir.

Sonuç olarak üstten sınırlı ve azalmayan bir fuzzy sayı dizisi seviye-yakınsak olmak zorunda değildir. Benzer durum alttan sınırlı ve artmayan bir dizi için de geçerlidir. O zaman şu soru ortaya çıkar: Monoton ve sınırlı bir dizi hangi şart altında E1 cümlesinde seviye-yakınsaktır ?

Teorem 4.0.10. [3, Teorem 4.2](Monoton yakınsaklık teoremi) (un), E1

cüm-lesinde sınırlı azalmayan (veya artmayan) bir dizi olsun. Eğer (u+

n(λ)) ((u−n(λ)))

dizisi herbir λ ∈ (0, 1] noktasında eşit-sol-sürekli ve (u−_n(λ)) ((u+

n(λ))), λ = 0

noktasında eşit-sağ-sürekli ise o zaman (un), E1 cümlesinde seviye yakınsaktır ve

(l) − limn(un) = supnun ((l) − limn(un) = infnun) eşitliği geçerlidir.

Son olarak seviye Cauchy dizisinin tanımını verelim.

Tanım 4.0.4. (un), fuzzy sayılarının bir dizisi olsun. Eğer herbir λ ∈ [0, 1] için

∀ε > 0 verildiğinde bir N ∈ N bulunabiliyor öyle ki ∀m, n ≥ N için |u− m(λ)−u

− n(λ)| <

ε ve |u+

Açık olarak (un) dizisinin bir seviye Cauchy dizisi olması için gerek ve yeter şart

herbir λ ∈ [0, 1] için (u−_n(λ)) ve (u+

n(λ)) reel sayı dizilerinin yakınsak bulunmasıdır.

Böylece Teorem 4.0.9’dan aşağıdaki teorem elde edilir:

Teorem 4.0.11. [3, Teorem 4.4] (un) ⊂ E1 olsun. O zaman, (un) dizisinin

seviye yakınsak olması için gerek ve yeter şart bir seviye Cauchy dizisi olması ve (u−_n(λ)), (u+

n(λ)) fonksiyon dizilerinin herbir λ ∈ (0, 1] noktasında eşit-sol-sürekli ve

BÖLÜM 5

FUZZY SAYI DİZİLERİNİN İSTATİKSEL YAKINSAKLIĞI

M, N doğal sayılar cümlesinin bir altcümlesi olsun. M cümlesinin δ(M ) doğal yoğunluğu,

δ(M ) = lim

n

1

n|{k ≤ n : k ∈ M }|

ile tanımlanır. Burada; |{k ≤ n : k ∈ M }| ifadesi, M cümlesinin n’den küçük elemanlarının sayısını göstermektedir.

x = (xk) bir reel sayı dizisi olsun. Eğer ∀ε > 0 için δ({k ∈ N : |xk−l| ≥ ε}) = 0

ise x = (xk) dizisi l’ye istatiksel yakınsaktır denir. Açık olarak sonlu bir cümlenin

yoğunluğu sıfırdır. Ayrıca, M0 _{= N \ M için δ(M}0) = 1 − δ(M )’dir. Eğer bir p(k) özelliği δ(M ) = 1 olan bütün k ∈ M ’ler için sağlanıyorsa p(k) hemen hemen her k’lar için sağlanır denir.

Tanım 5.0.5. [10] (un), fuzzy sayılarının bir dizisi ve u0 bir fuzzy sayısı olsun.

Eğer ∀ε > 0 için δ({n ∈ N : D(un, u0) ≥ ε}) = 0 ise yani hemen hemen bütün n’ler

için D(un, u0) < ε ise (un) dizisi u0’a istatiksel yakınsaktır denir ve st − limnun= u0

ile gösterilir.

Açık olarak lim un= u0 ise {n ∈ N : D(un, u0) ≥ ε} cümlesi sonlu olacağından

δ({n ∈ N : D(un, u0) ≥ ε}) = 0 bulunur. Dolayısıyla st − limnun = u0’dır. Bunun

tersi genel olarak doğru değildir. Meselâ u sabit bir fuzzy sayısı olmak üzere un=    0 , n = k2 _{(k ∈ N) ise} u , n 6= k2 ise

ile tanımlanan (un) fuzzy sayı dizisi için st − limnun= u ve lim un 6= u’dur.

Tanım 5.0.6. [10, Tanım 2.1] (un), fuzzy sayılarının bir dizisi olsun. Eğer

yani hemen hemen her n için D(un, um) < ε ise (un) dizisine, istatiksel Cauchy dizisi

denir.

Bir x = (xk) fuzzy sayı dizisi için suppx cümlesi

supp x = {k ∈ N : xk 6= 0}

biçiminde tanımlanır.

Teorem 5.0.12. [10, Teorem 2.2] (un) bir fuzzy sayı dizisi, (vn) yakınsak bir

fuzzy sayı dizisi ve δ{n ∈ N : un6= vn} = 0 yani hemen her n için un= vn olsun. O

zaman (un) istatiksel yakınsaktır.

Teorem 5.0.13. [12, Teorem 3.1] Fuzzy sayılarının bir u = (un) dizisi için

aşağıdaki şartlar denktir:

(1) (un) dizisi u0’a istatiksel yakınsaktır

(2) u = v + w olacak şekilde v = (vn) ve w = (wn) fuzzy sayı dizileri vardır ki

limnD(vn, u0) = 0 ve δ(suppw) = 0 olur.

(3) δ(K) = 1 ve limnD(ukn, u0) = 0 olacak şekilde doğal sayıların bir K = (kn)

alt dizisi mevcuttur.

Teorem 5.0.14. [12, Teorem 3.2] u = (un) fuzzy sayılarının bir dizisi için

aşağıdaki şartlar denktir:

(1) (un) istatiksel Cauchy dizisidir.

(2) u = v+w olan v = (vn), w = (wn) fuzzy sayı dizileri vardır ki limn,mD(vn, vm) =

0 ve δ(suppw) = 0’dır.

(3) δ(K) = 1 ve limn,mD(ukn, ukm) = 0 olacak şekilde doğal sayıların bir K =

Kaynakça

[1] M. Başarır, Mursaleen, Some difference sequence spaces of fuzzy numbers, J. Fuzzy Math., 11(3)(2003), 1-7.

[2] P. Diamond, P. Kloeden, Metric Spaces of Fuzzy Sets-Theory and Applications, World Scien-tific, Singapore, 1994.

[3] J. -x. Fang, H. Huang, On the level convergence of a sequence of fuzzy numbers, Fuzzy Sets Syst., 147(2004), 415-417.

[4] C. Felbin, Finite dimensional fuzzy normed linear space, Fuzzy Sets Syst., 48(1992), 239-248. [5] R. Goetschel, W. Voxman, Elementary fuzzy calculus, Fuzzy Sets Syst., 18(1986), 31-43. [6] O. Kaleva, S. Seikkala, On fuzzy metric spaces, Fuzzy Sets Syst., 12(1984), 215-229. [7] M. Matloka, Sequence of fuzzy numbers, BUSEFAL, 28(1986), 28-37.

[8] M. Mızumoto, K. Tanaka, Fuzzy sets and their operations, İnform. Cont., 48(1981), 30-48. [9] S. Nanda, On sequence of fuzzy numbers, Fuzzy Sets Syst., 33(1989), 123-126.

[10] F. Nuray, E. Savaş, Statistical convergence of sequence of fuzzy numbers, Math. Slovaca, 45(1995), 269-273.

[11] M. Rojas-Medar, H. Roman-Flores, On the equivalence of convergence of fuzzy sets, Fuzzy Sets Syst., 80(1996), 217-224.

[12] E. Savaş, On statistically convergent sequence of fuzzy numbers, İnformation Sciences, 137(2001), 277-282.

[13] C. -x. Wu, G. -x. Wang, Convergence of fuzzy numbers and fixed point theorems for incresaing fuzzy mappings and application, Fuzzy Sets And Systems., 130(2002), 283-290.

[14] C. -x. Wu, C.Wu, The supremum and infimum of the set of fuzzy numbers and its application, J. Math. Anal. Appl., 210(1997), 499-511.

[15] C. -x. Wu, C. Wu, Some notes on the supremum and infimum of the set of fuzzy numbers, Fuzzy Sets Syst., 103(1999), 183-187.

[16] J. -z. Xiao, X. -h. Zhu, On linear topological structure and property of fuzzy normed linear space, Fuzzy Sets Syst., 125 (2002), 153-161.

ÖZGEÇMİŞ

1981 yılı Konya ili Sarayönü ilçesi doğumludur. İlköğrenimini Niğde’nin Ulukışla ilçesinde ve Antalya’da, orta öğrenimini Malatya’da tamamladı. 1998 yılında İnönü Üniversitesi Eğitim Fakültesi Matematik Öğretmenliği bölümünü kazandı. Beş yıl-lık üniversite öğrenimini 2003 yılında başarıyla tamamlayarak, bölüm birinciliğiyle mezun oldu. Aynı yıl Elazığ ilinin Alacakaya ilçesine matematik öğretmeni olarak atandı. İnönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Ana Bilim Dalında 2003 yılının güz döneminde yüksek lisans eğitimine başladı. Hâlen Milli Eğitim Bakanlığına bağlı bir orta öğretim kurumunda matematik öğretmeni olarak görev yapmaktadır.