Dar ve düşey dikdörtgen kanallarda akış ve soğuma

TÜRKİYE ATOM ENERJİSİ KURUMU

ÇEKMECE NÜKLEER ARAŞTIRMA VE EĞİTİM MERKEZİ

T R : 333

DAR VE DÖŞEY DİKDÖRTGEN KANALLARDA AKIŞ VE SOĞUM A

IX Adalıoğlu, H. I. Arıkan, A. Baykai, H. Yavuz

Temmuz 199?

P. K. 1,34831 Havaalanı, İSTANBUL (Basım tarihi: Kasım 1997)

TÜRKİYE ATOM ENERJİSİ KURUMU

ÇEKMECE NÜKLEER ARAŞTIRMA VE EĞİTİM MERKEZİ

T R : 333

DAR VE DÜŞEY DİKDÖRTGEN KANALLARDA AKIŞ VE SOĞUM A

NÜKLEER M ÜHENDİSLİK

U. Adahoğlu, H. İ. Acıkan, A. Baykal, H. Yavuz

Temmuz

P. K. 1, 34831 Havaalanı, İSTANBUL ( Basım tarihi: Kasım i 997)

Ö ZET

DAR VE D Ü ŞEY DİKDÖRTGEN KANALLARDA AKIŞ VE SOĞUM A

Dar düşey kanallarda soğutucu akışkanın akışı ve kanal içinde olan ısı transferinin tesbiti gittikçe önem kazanan bir konu olmuştur. Olay öncelikle düşük eneıji transferleri ve akış hızlan için, yani laminar akışlar için tetkik edilmiştir.

ÇNAEM ‘de kurulu TR-2 reaktöründe soğuma 2.1 mm genişliğinde dar, düşey kanallarla olmaktadır. Yakıt plakalannın yüzeyleriyle tem sil edilen her iki kanal yüzeyinden zorlamalı konveksiyonla ısı transferi olmaktadır. Kaza durumlannda tabii konveksiyonla olm ası gereken soğuma güvenlik bakımından çok önem kazanmaktadır.

TR-2 soğuma kanallarım simüle etmek üzere kurulan deney setinde taklid yakıt plaka ar alıklan ve plakalann güçü parametre olarak kabul edilip laminar bölgede bir seri ölçm e yapılmıştır. Akışkan olarak hava kullanılmıştır, integral bazı değerler, mesela N usselt sayısının değişim i elde edilmiştir.

Bu deneysel çalışmanın teorik tahkikini yapmak üzere sıkıştınlamaz akışkanlara dar kanallarda serbest konveksiyonunu ifade eden basitleştirilmiş Navier-Stokes denklemleri ince ızgara üzerinde çözülm üş ve akış özellikleri ile integral değerler ( yani N usselt sayısı) elde edilmiştir. D eney ve teori karşılaştınlmıştır.

SU M M A R Y

FLOW AND COOLING IN NARROW, VERTICAL RECTANGULAR CHANNELS

Laminar flow s and energy transfers in narrow, vertical rectangular channels has gained considerable attention in recent years. The cooling channels o f TR-2 reactor o f ÇNAEM research center are same and the width o f channels is 2.1 mm. Natural convection cooling in these channels, in case o f a loss o f forced circulation cooling as would happen in a accident, has utmost importance.

A simple open loop experiment was set up in Nuclear Engineering D ep. for the simulation o f TR-2 channels. The dummy fuel plates defining cooling channels were heated electrically and temperature measurements were made by thin wire thermocouples. The fluid used at the moment is air. Constant heat flux case was studied only.

For the comparison purposes, simplified forms o f N avie-Stokes equations for free convection coolin g and incompressible flow s were solved also on a variable mesh grid by relaxation technique. Flow and temperature distributions inside the channel and some integral parameters, such as N u number, were obtained.

İÇİNDEKİLER

Sayfa

1. GİRİŞ 2

2. TEORİK ANALİZ 3

2.1. Matematik formülasyon 3

2.2. Sonlu fark denklemi 4

2.3. Sımr şartlan 7

2.4. Çözüm tekniği S

3. DENEYSEL ÇALIŞM A 9

4. SONUÇLAR 10

4.1. Tarifler ve teorik sonuçlar 10

4.2. Nümerik analiz sonuçlan 11

4.3. Deneysel sonuçların analizi 13

5. NETİCELER 13

TEŞEKKÜR 14

REFERANSLAR 15

Ek. 1- Diferans formülleri

Ek. 2- Izgara sımrlannda sonlu fark denklemleri Ek. 3- Dikdörtgen kesitli kanallarda Nu sayısı için

asimtotik değerler

TABLOLAR

Tablo 3.1 - D eneysel N usselt ve Ragleigh sayılan 16

ŞEKİLLER

Şekil 2.1- Kanal geom etrisi 17

Şekil 2.2- Kanal geom etrisinde ızgara yapısı 17

Şekil 4.1 - Boyutsuz akış hızı değişimi 18

Şekil 4.2- Kanal boyunca düşey hız ve sıcaklık profilleri

değişimi 19

Şekil 4.3- Kanal boyunca basınç ve kanal çıkışında

düşey hız profili değişim i 20

Şekil 4.4- Maksimum duvar sıcaklığı değişimi 21

Şekil 4.5- Nusselt sayısının Ra sayısına göre değişimi 22 Şekil 4.6- Normalize duvar sıcaklığının kanal boyunca değişimi 23 Şekil 4.7- Deneysel Nu sayılarına eğri uydurulması 23

DEĞİŞKEN VE PARAMETRE TARİFLERİ

b: kanal genişliği, C : özgül ısı kapasitesi, g : gravitasyon sabiti, Gr : Grashof sayısı, k : termal kondaktivite, 1: kanal boyu,

L : boyutsuz kanal boyu, 1/Gr, 1/b (veya b /1 ): aspek oranı Nu : N usselt sayısı,

M : boyutsuz akış hızı, p : kanal içindeki basınç, P : boyutsuz basınç, Pr : Prandtl sayısı, q : ısı akışı,

Ra : Rayleigh sayısı, Gr.Pr, T . sıcaklık,

u : kanal boyunca hız (düşey hız), U : kanal boyunca boyutsuz hız, v : kanal genişliğince hız (yatay hız), V : kanal genişliğince boyutsuz hız, x : düşey koordinat, x=0 kanal girişi, X : boyutsuz düşey koordinat,

y : yatay koodinat,

Y : boyutsuz yatay koordinat,

A lt indisler:

*4 : kanal yan boyundaki değer, w : kanal cidarındaki değer,

m : ortalama değer, o : ambiyent değer, maks. : maksimum değer,

P : termal genleşm e katsayısı, 0 : boyutsuz sıcaklık,

(i : dinamik viskozite, v : kinematik viskozite, p : yoğunluk,

1. GİRİŞ

Değişik aspek oranlarındaki (burada aspek oram kanal boyunun kanal genişliğine oram olarak alınmaktadır.) kanallar içindeki ısı transferinin etüdü ilmi edebiyatta geniş bir şekilde ele alınmıştır.Bu çalışmalar deneysel ve nümerik etüdler olarak büyük gruplara ayrılmakta ve ayrıca da bunların hepsi düz dikdörtgen kesitli kanallar ile silindirik kanallar üzerinde yapılmış çalışmalar olarak görülmektedir. Kanalın zemine göre yerleştirilmesi de (yani eğik olması da) ayrı bir problem olarak ele alınmaktadır. Kanal duvarlarında sımr şartları gözönüne alınan diğer bir parametredir. Kanal duvarlarının asimetrik ısıtılması sık sık incelenen ayrı bir konu olmuştur. Çalışma kolaylığından dolayı soğutucu akışkan genellikle hava olmaktadır. Bu yapılan çalışmaların hemen hemen tamamı deneysel ve nümerik çalışmaları beraberce rapor etmektedir.

Paralel dik plakalar arasındaki akışı ve ısı transferini nümerik olarak inceleyen bir çalışmada (1) plakalar sabit bir sıcaklıkta tutulmaktadır. Çalışma sıvısı havadır. Enerji, süreklilik ve momentum denklemleri boyutsuz halde sonhı fark denklemleri haline getirilip çözülmektedir. Tam gelişm iş akış bölgesi etüd edilmiş ve sonuçlar daha önce yapılmış deney sonuçlan ile karşılaştırılmaktadır. Dik plaka yüzeylerinin farklı ısıtılmasının sonuçlan boyutsuz enerji, momentum ve süreklilik denklemlerinin nümerik çözümü ile elde edilmiştir (2). Sonuçlar deneyle karşılaştınlmışür. Kanal genişliği 4.8 mm ile 19.1 mm arasında değişmektedir. Kanal boyu 18 cm dir. Kanal için tarif edilen Nu sayısı integral çözüm sonuçlan ile karşılaştırılmaktadır. Başka bir çalışmada kanal duvarlannda asimmetrik ısı akışının olması halinde boyutsuz enerji, momentum ve süreklilik dneklemleri çözülerek hız ve sıcaklık dağıiımian elde edilmiştir (3). Sonuçlar literatürde verilenlerle mukayese edilmektedir. Kanal duvar-lannın simetrik ısıtılmasını inceliyen diğer bir çalışmada (4) ise akışkan gene hava olup plakalardan soğum a kanalına üniform bir ısı akışı verilmektedir. Kanal genişliği 7.9 mm den 17.8 mm ye kadar değişmektedir. Dikdörtgen kesitli 2.5 mm aralıklı dik bir kanal içinde suyla soğuma deneysel olarak incelenmiştir (5). Serbest konveksiyon ve zorlamalı konveksiyonun beraber olması hallerinde soğum a korelasyonları elde edilmiştir. Elektronik devre kartlarının yan yana dizilişi ile ortaya çıkan kanal-lardaki soğuma problemi enetji, momentum ve süreklilik denklemlerinden ibaret laminar serbest konveksiyon ve akış denklemleri ile incelenmiştir (6,7). Deney sonuçlan ile karşılaştırmalar yapılmıştır. Kanal genişlikleri 1.3 cm, 2 cm ve 3 cm dir. Kanal genişlikleri 7.5, 12.5 ve 17 cm olan diğer bir denysel çalışm ada üniform ısı akışı şartı altında hava için Nu ve Re sayılan için korelasyonlar tesbit edilmiştir (8).

Benzer çalışmalar tüpler üzerinde de yapılmıştır (9,10). Çalışma sıvısı hava olup değişik sımr şartları gözönüne alınmıştır.

TR-2 reaktörü soğutma kanalları dar (kanal genişliği 2.1 mm dir ), dik ve aspek oranları çok büyük (veya tersi çok küçük) olup plakalardan kanala belli bir ısı akışı verilmektedir. Kalbin susuz kalması hallerinde soğutma akışkanı hava olacaktır. Reaktörün normal çalışması esnasında suyla tabii konveksiyon soğuması yakıt plakası delinmelerine karşı önemli bir tedbir olarak ortaya çıkmaktadır. Bu çalışmada reaktör soğutma kanalların] simüle etmek üzere kurulan deney setinde havayla yapılan ölçme sonuçları ile kanaldaki akış ve ısı transferini hesaplamak üzere yapılan nümerik analiz sonuçları verilmektedir.

2. TEORİK ANALİZ

2,L..M alsmatik fo m ü iasyfln

Dar, dik ve dikdörtgen kesitli kanallarda akışın laminar bölgede olması ve kanal yan cidarlarından ısı transferinin olması halinde ve düşey yönde gravitasyon kuvvetinin etkilem esi gözönüne alındığı takdirde olayı tasvir edecek olan Navie- Stokes denklemleri aşağıdaki oldukça basit biçimleri alacaktır:

du + dv

dx dy

du

du d2u

1

dp

u

— +v— =--- -

— —- g

dx

dy d y 2

P

dx

dT

dT

v

d2T

u

— +v—

=---dx

dy Pr Qy2

(

2

.

1

)

(2.2)

(2.3)

Burada birinci denklem süreklilik, ikinci denklem momentum üçüncü denklem eneıji denklemleridir.

Bu denklemler aşağıdaki tariflerle

U=

b 2u

İvGr

0=

T~T0

qb!k

İ*(

p

-

p

<,)

c „_frP ( r - r j t * p /2v2G r2

'■1

(2.4)

dx dY

(2 .5 )

udQ+vd

6

_

i a2e

9X

dY P r d Y 2

(

2

.

6

)

2.2. Sonlu fark denklem leri

A ) M om entum denklem i

Şekil 2.1 ‘de görülen kanal geom etrisi üzerinde değişken kafes aralığı üzerinde sonlu fark denklemleri M in e getirilebilir. Burada seçilen bir (i j ) kafes noktası için m om entum denklem inin sol taraftaki ilk terim için

\.terim-U;,

...

İJ

A X

yazılabilir. K onveksiyonu ifade eden ikinci terim için “upwind” tekniği kullanılarak

2

.terim

=

l v u

,0İ

U‘*lJ

..^ - * £ 1 - [ - F „ o ]

v AF. , y AF.

bulunacaktır. Burada î V ,0 ] İle verilen değer içerdeki iki nümerik değerin hangisi büyükse o alınacak dem ektir.

Sağ tarafdaki ikinci türev için merkezi diferans formülü kullanılabilir. (Bak. Ek 1) O zaman aşağıdaki

Xi

tarifiyle ikinci dereceden türevin sonlu fark şekli şöyle olacaktır:

1 terim

( 1h-x, ) (u a ,2)a i' /

Sağ tarafdaki diğer iki terim kolayca sonlu fark değerlerine çevrilebilir. Sonuç olarak her hangi bir (i,j) noktasındaki düşey hızlar için sonlu fark denklem i

-b . 1 1 , , +a

_{J + İJ i+İJ-1}

_ı

Uİ

p

■* ı>l

- p

r i

A X -0. (2 .7 ) olur ki burada

b

=---— --- * — !— I F ..0 ]

' u

( î u p d ^ A r / A Ç ., " ( 2 8 ) 4X, c, " w ( i ^ x ı +x ;> A r; a k/ " (2 .9 )

uu

(

2

.

10

)

B ) E neıji denklem i

B enzer şekilde eneıji denklem i de şu form u alır:

-b

. . 0 .

_{ı + \j}

_{i - X}

, +a

_{1 1 0 1}

> + lJ

~C.

ı+lj ı* lj* l , 0 , , :

U

- ± L Q . .

A X ,+lJ

Bu denklem in katsayıları ise

1 1

b

= _ i_ .---:--- +— i — I F ..0 ]

'+J Pr

O + ^ K l + ^ A F /

&Y

j

-

ı

(

2

.

11

)

(2.13)

42,

Pr

(l+ 2 J)(ltA J2)A l'/ Ar;

♦ - A r l - V > ]

V Mj

(2 .1 4 )

C) Süreklilik denklemi

Süreklilik denklemi yatay hızlan hesaplamakta kullanılmak üzere

(2.15)

sonlu fark haline getirilebilir. Fakat bu form simetrik çözümler vermemektedir. Simetriyi sağlamak üzere yatay hızlar soldan ve sağdan başlayarak hesaplanmaktadır. A ynca hataların yığılm asını önlemek için i*3 ‘den sonra 1. dereceden türevleri daha doğru verecek ifadeler kullanılmıştır.

i=2 satırındaki çözümler

j= 2 ,3 ,..., için:

V

=V

-r

i+İJ + l

y İ+U

İ S .

_2AX

\u,

t+ij+ı

^

■u,

(2 .1 6 )

j~ N j-1, N r 2 , ... N ort için:

2&Xİ

(2.17)

dır. Burada kanal içinde tam ortadaki ızgara noktası, N ; ise kanal genişliğince olan maksimum ızgara noktasıdır.

i=3 ‘den itibaren düşey hızın birinci dereceden türevleri İçin ikinci mertebeden diferans for­ mülleri kullanılacaktır. (Ek 1 ‘e bakınız.)

j = 2 ,3 , .... , N ort için:

V

-V

¥

ı +1 j/> 1 r ı +1 j/ ₂

a y-DXX1. (2.18)

DXX1

_ a \Ui+\j+\ ai^ ij*

1

+a3^ı

-1 +1 +a 1 1

j

a A

j= Nr l, N r 2 , .... , N01t için: F ,

_IJ

■=zV

AF ---_J—.DXX2 2AX. (2.19)

DXX2 a i ^ > l / .r a2^V>l+a3 ^ -l!,>l+ai t/i + l1;- a2 ^ !/+a3i7<--y

aA

(a^a,,.... katsayıları için Ek 1 ‘ebakımz.)

2,3. Sınır şartlan

Kanal içindeki akış için şu sınır şartları kullanılacaktır: 1)X = 0 ve 0<Y<1 için U = M v = o 0 = 0

M=- Pl h2

IvGr

= f dYU

2) Y = 0 ve X > 0 için kanal merkez çizgisi üzerinde her üç değişken ekstremum noktalarına sahiptir.

3) Y == O ve X > Q için

U = 0 v = o a e

dY

4) Y = 1 ve X > O için U = 0 V = 0

Bu sınır şartları altında Navie-Stokes denklemlerinin ızgara üzerindeki başlangıç ve son noktalardaki formları Ek 2 ‘de verilmektedir.

2A..Ç.özüm.„tekniği

Eneği denklemi tek bilinmiyene bağlı olduğundan yatay doğrultuda bilinen yoketme teknikle­ riyle çözülebilir. Momentum denkleminde hem düşey hızlar hem de basınç dağılımı bilinmemek­ tedir. Relaksasyon tekniği çözüm için kullanılacaktır.

Yeni bir değişken tarifiyle

U ' ._{ı + l^} .= {/. , .+

_{ı + lj}

1

AY.

a.

ıj

(

2

.

20

)

momentum denklemi şu şekle çevrilir:

V

ai+U ^

(

2

.

21

)

Bu ifadede U ‘1ar sağ tarafa konarak j= 2 ,...., Nr 1 için U ' ‘1ar elde edilebilir. O zaman (2.20) denkleminin her iki tarafı (0,1) aralığında Y ‘ye göre integre edilirse

M ' = M +

-AY..

~PL\ -

J a

/♦i r d Y

i + lj

(

2

.

22

)

Buradaki M değerinin tarifi sınır şartları bölümünde verilmiştir. M ' ise U ' ‘in (0,1) aralığındaki integralidir.

p „ r p ,

M ' -

m

(2.23)

(2.23) ‘ün sağ tarafı tamamen bilindiğinden kanal boyunca her “i” için basınç değişimi hesaplanabilir. Basınç değişimi bilinirse (2.20) ‘den U ‘1ar elde edilebilir.

Düşey hızların bulunmasıyla (2.16 - 2.19 ) denklemleriyle yatay hızlar bulunur.

Kanala giriş ve kanal çıkışında basınçlar sıfîr olması gerekir. Kanal içinde P ‘1er negatif olarak küçülerek bir minimumdan geçer ve kanal çıkışında tekrar sıfır olur. O zaman çözümde takip edilen yol şöyledir:

i- Kanal içinde satır satır bir çözüm takip edilir. ii- Boyutsuz kanal boyu ve ızgara yapısı seçilir.

iii- Çözüm i— 2,3» .... ızgara satırları üzerinde yapılır.Her “i” için önce enerji sonra momen­ tum çözülür ve sonra da yatay hızlar hesap edilir. Her satırdaki basıncın değerine bakılır. Bu değer sıfır olmuşsa bu “i” ‘ye kadarki boy yeni boyutsuz kanal boyu olarak alınır. Tekrar satır satır çözüme geçilir.

3. DENEYSEL ÇALIŞM A

TR-2 yakıt plakalarına benzer ve bire bir boyutta alüminyumdan 2 adet yakıt plakası yapılmış­ tır. Plakaların içinde bulunan eşit aralıklı sarılmış elektrik direnci homojen ısı kaynağını temin etmektedir. Plakaların birbirine bakan yüzleri soğutma kanalının iki yüzeyini teşkil etmektedir. Kanal içinde plaka yüzeylerinde sıcaklık ölçmeleri kanal boyunca eişt aralıklı yerleştirilmiş termoçiftlerle yapılmaktadır. Ayrıca kanal giriş ve çıkış sıcaklıkları da ölçülmektedir. Kanalı vücuda getiren plakalar dıştan taş yünü ile izole edilmiştir.

Termoçiftlerin kalibrasyon eğrisi çeşitli sıvıların kaynama noktalarının ölçülmesiyle çıkartıl­ mıştır. Deneysel çalışmanın ayrıntıları başka bir raporda verilecektir.

Plaka içlerindeki homojen ısı kaynağı plaka yüzeylerinde sabit ısı akışı temin etmektedir. Bu şartlar altında ısı kaynağı ve kanal aralığı değiştirilerek ölçmeler yapılmış ve

(3.1)

I v ak

tarifleriyle kanal için integral parametrler elde edilm iştir. Burada akışkan havaya ait özellikler ortalama plaka yüzey sıcaklığında, beta ise ortam sıcaklığında hesaplanm aktadır.

Ölçm eler kanal aralıkları 2.1 , 4, 6, 8 mm ve düşük plaka güçleri için yapılm ıştır. Plakaların konstrüksiyonunda kullanılan m alzem eler yüzey sıcaklıklarının 110 °C ‘m üstüne çıkm ayı önlem ektedir Tablo 3.1 ‘de plaka güçleri ve kanal aralıklarına tabi olarak yapılan ölçm elerden hesaplanan integral değerler verilm ektedir.

4. S O N U Ç L A R

Nümerik olarak elde edilen integral ve nokta değerler gerek teo n k gerek se deneysel sonuçlar­ la karşılaştırılacaktır.

4.1. Tarifler ve teorik sonuçlar

Bazı integral parametrelerin tarifleri aşağıdaki gibi kabul edilm iştir: Kanal boyunca her hangi bir “i” yüksekliğinde girişten itibaren akışkana geçen ısı miktarı

ı

H =fdY U Q

(4 1 )

o

ile verilecektir. Kanal için tarif edilen ortalama N u sselt sayısı

Tr“_ _ 1

(4 -2)

dır. Burada “ 1/2" altindisi kanal boyunun ortasındaki değerleri gösterm ektedir. B u noktadaki değerler yaklaşık olarak kanal için ortalama değerleri verm ektedir. Kanal için tarif edilen R agleigh sayısı ise

Ra=Pr.Gr=

Pr_

L (4 .3 )

K üçük Ra sayılarında N u sselt sayısının asim ptotik değeri silindirik tüpler için

Nu=

Nu=

Ra

\ 12

(4 .4 )

(E k 3 ‘e bakınız.) Büyük Ra sayıları için N usselt sayısının asim totik değeri

Nu=0.

6 7.

R a

1/5 *4 ‘5*

ile verilmektedir (1 0 ). Bu ifade ortalama duvar sıcaklıklarına göre yapılan hesaplar için geçerli olmaktadır.

Kanal içindeki ortalama hacimsel akış hızlan için asim totik değerler de hesaplanmaktadır. Büyük M veya büyük L değerleri için

M = 0 .2 8 8 7 . L_

Pr

(4 .6 )

verilm ektedir (12). Maksimum kanal cidar sıcaklıkları (ki X=L de ortaya çıkm aktadır.) için de asim totik değerler verilebilir (12).

0 _max= 6 .9 2 8 5 .. L_

Pr

(4 .7 )

Tam gelişm iş akışlar için basınç değişim inin kanal boyunca değişim i boyutsuz değişkenler cinsinden şöyle verilmektedir (12):

p=7 0 . 1 . 1 ]

Pr L L

(4 .8 )

4,2 . Nüm erik analiz sonuçlan

Hava ile yapılan deneyler için gene hava için süreklilik, momentum ve eneıjİ denklem leri ince ızgara üzerinde relaksasyon tekniğiyle iteratif olarak çözülmüştür. Izgara kanal cidarlarına doğru daha da incelm ektedir. Aynca kanal girişindeki ızgara aralığı kanal boyunun binde biri (0 .0 0 1 ) olacak şekilde ayarlanmaktadır. Daha kaba aralıklar yakınsamayı zorlaştırmaktadır. Bütün hesaplar sabit ısı akışı hali için yapılmıştır.

Havayla soğutulan düşey ve dar kanalda sabit ve Uniform ısı akışı halinde aşağıdaki sonuçlar elde edilm ektedir:

a) Hacimsel akış hızının, yani M ‘in boyutsuz kanal boyu L ‘ye göre değişim i Şekil 4.1 ‘de görülmektedir. Şekildeki asimtot olarak verilen değerler (4.6) denklem iyle hesaplanmaktadır. D eğişik aspek oranlan için elde edilen hesap sonuçlan birbirlerine tam olarak uymaktadır. Boyutsuz kütle akışı kanal genişliğine bağlı olmamaktadır.

Büyük L, veya küçük Gr ‘1er için asimtotik değerler ile nümerik sonuçlar çok iyi uyuşm akta­ dır. Küçük L, veya büyük Gr ‘lerde ise arada bir miktar fark ortaya çıkmaktadır.

b) Kanal boyunca sıcaklık ve düşey hız profillerinin değişimi iki akış hızı için Şekil 4 .2 ‘de görülmektedir.

Düşey hız profilleri büyük M ‘1er için kanal girişinden hemen sonra tam gelişm iş akış profil şeklini almaktadır. Küçük M ‘lerde İse kanal cidarlarından olan ısı geçişi o kadar fazla olmamakta ve girişdeki düzgün akış profili pek değişmemektedir.

Benzer bir değişim sıcaklıklar için gözlenmektedir. Büyük M ‘lerde sıcaklıklar beklenen asim­ totik formu çabucak almaktadır. Küçük M ‘lerde ise kanal cidarlarında sıcaklıklar hızla artmakta kanal ortalarında sıcaklıklar düşük olmaktadır. Yani kanal içine ısı geçişi az olmaktadır.

c) Kanal boyunca basınç değişimi ve kanal genişliğince de hız değişim i büyük M değeri için Şekil 4.3 ‘de verilmiştir. Tam gelişmiş akışlar için basmç değişimi ile Ek 3 ‘de verilen hız profili şekiller üzerinde aynca gösterilmiştir.

Kanal genişliği boyunca düşey hızın değişimine bakılırsa kanal çıkışındaki nümerik çözüm ile tam gelişmiş akış için verilen değişim birbirlerine fevkalade uymaktadır. Bu da zaten beklenen bir sonuçdur. Büyük M ‘1er için tam gelişmiş çözüm teorik olarak bulunan sonuçlara tam olarak uygun olmalıdır.

Kanal boyunca basıncın değişimi hem büyük M ‘1er için tam gelişm iş akış ( yani Dn. 4 .8 ) hem de MM3.193 değerine tekabül eden nümerik çözüm için verilmektedir. Nümerik değerler asim totik değere göre biraz daha küçüktür.

d) Şekil 4.4 kanal duvar sıcaklığının maksimumunun boyutsuz kanal boyu, L ile değişimini göstermektedir. Değişik aspek oranlı kanallar için yapılan hesaplann sonuçlan bİrbirleriyle çok iyi uyum içinde olup tek bir eğri üzerine düşmektedirler.

Dn. 4 .7 ile verilen tam gelişmiş akışın maksimum duvar sıcaklığı değişimi ile tek plaka ve analitik çözümün integral sonuçlan da (Ref. 11) şekilde görülmektedir. Büyük L veya büyük M değerleri için tam gelişmiş akış için verilen sonuçlar nümerik değerlere çok iyi uymaktadır. Analitik çözüm sonuçlan da nümerik sonuçlara çok iyi uymaktadır.

Tek plaka çözümleri küçük L değerleri için nümerik çözüm e yaklaşmaktadır. L < 10'3 değe­ rinden itibaren tek plaka çözümleri kullanılabilecektir. Kanal genişliği arttıkça plakalar birbirle­ rinden bağım sız olmakta ve her biri tek plaka gibi davranmaktadır. Tablo 3.1 ‘de de büyük Ra (yani küçük L) değerlerine yaklaşık ayni plaka gücünde ancak kanal g en işliğ arttıkça ulaşıld ığ görülmektedir.

e) Ortalama N usselt sayısının Ragleigh sayısına göre değişimi Şekil 4,5 ‘de verilm ektedir. Tablo 3.1 ‘deki deneysel değerler de şekil üzerinde görülmektedir.

Kanal genişliği arttıkça deneysel değerler hesapla bulunan değerlere doğru yaklaşmaktadır. Ayrıca her kanal genişliği için plaka güçleri arttıkça hesap sonuçlarına doğru yaklaşılmaktadır. Analitik olarak elde edilen integral değerler (11) nümerik değerlere çok iyi uymaktadır.

f) Lokal duvar sıcaklığının kanal boyunca değişimi Şekil 4.6 ‘da verilmektedir. K üçük M Ter için sıcaklıklar kanal boyunca kavisli bir değişim göstermektedir. Bu tek plaka davranışına benzer olmaktadır. Büyük M Terde ise sıcaklıklar neredeyse lineer olarak değişmektedir. Yani tam gelişm iş akışlarda görülen durum ortaya çıkmaktadır.

4.3, Deneysel sonuçlann analizi

Nusselt sayısının değişimi Şekil 4.5 ‘de özetlenmiş bulunmaktadır. D eneysel değerler ancak Ra sayısı büyüdükçe veya kanal aralığı arttıkça sayısal değerlere yaklaşmaktadır. D ar kanallarda kanal yüzeylerinin birbirine etkisi fazla olmaktadır. Ancak daha geniş kanal aralıklarında kullanılmakta olan denklemlerin geçerliliği artmaktadır. Yapılmış olan bir çok çalışmada integral değerlerin temsilinde kanal aralıklarının etkisi de gözönüne alınmaktadır (5,8).

Tablo 3.1 ‘de verilen değerlere en küçük kareler metodu ile

N u = A ( R d f ( ~ f

( 4 9 )

ifadesi uydurulmuştur. A,B,C sabitleri

A = 8.966 B = 0.1061 C = 0.5228

ve bu eğri uydurmanın hassasiyeti de

R2 = 0.8815

olarak hesaplanmıştır. Şekil 4.7 de deneysel değerler ve uydurulan eğri görülmektedir. Hesap sonuçlarında “b/1” oranının etkisi çok bariz olarak görülmektedir. D eneysel noktalarda çok dağılma olduğundan hassasiyet bir parça düşük çıkmaktadır.

5. N E TİC E LE R

ÇNAEM Nükleer Mühendislik Bölümü’nde kurulan deney setiyle yapılan ölçm eler sonucu hesaplanan integral değerler laminar sıkıştırılamaz akışlar için verilen denklemlerin nümerik çözümleri karşılaştırılmıştır. Buna göre:

i- Değişik aspek oranlan, yani değişik 1/b oranlan için nümerik olarak hesaplanan değerler aspek oranından bağımsız ve birbirlerine çok iyi uyan sonuçlar vermektedir.

ii- Büyük L veya büyük M değerleri için nümerik olarak bulunanlar ile asimtotik değer olarak verilen boyutsuz akış hızlan veya maksimum duvar sıcaklıklan değişim i çok iyi uyum içinde olmaktadır.

iii- Büyük M ‘1er için kanal içinde akışlar tam gelişmiş akışlarla tem sil edilebilmektedir.

iv- Büyük M ie r için kanal çıkışındaki düşey hızın kanal genişliğince değişimi tam gelişm iş akışlar için verilen asimtotik forma ve değerlere tam olarak uymaktadır.

v- Büyük M ‘1er için kanal boyunca basıncm değişimi tam gelişm iş akışlar için verilen değer­ lerden (mutlak olarak) bir miktar fazladır.

vi- Sıcaklık ve hızların kanal boyunca değişimi küçük ve büyük M ‘1er için bilinen karakte­ ristik değişimi göstermektedir.

vii- integral sabitlerden Nu sayısının Ra şayiana göre değişiminde nümerik sonuçlarla, analitik olarak bulunan integral hesap sonuçlan tam olarak uyum içinde olmaktadır. Büyük Ra sayılan için deney sonuçlanılın da bu iki grup sonuçlarla fevkalade uyum içinde olduğu görülmektedir. Düşük Ra sayılannda ise deney sonuçlan nümerik ve integral hesap sonuçlanndan uzaklaşmaktadır.

Deneylerde yüksek Ra sayısı kanal aralığı veya plaka gücü arttığı zaman elde edilmektedir. Bilhassa kanal aralığının etkisi çok olmaktadır. Deneysel olarak bulunan N u sayılarına eğri uydurulması kanal aralığının etkisini göstermiştir.

D olayısıyla çözümde kullanılan denklemler bilhassa küçük Ra sayılan (veya küçük kanal genişlikleri) için b/1 ‘nin etkisini gözönüne alacak şekilde revizyona tabi tutulmalıdır. İlerdeki çalışmalar bu yöne kanalize edilecektir.

T EŞE K K Ü R

Mar. Üni. Fen-Ede. Fak. Öğr. üyesi Dr. Necdet Aslan ‘a nümerik analiz çözüm ü esnasında gösterdiği ilgi ve bilimsel müzakerelerdeki değerli katkılanndan ve aynca İTÜ Nükleer Enerji Enstitüsü öğr. üyesi Dr. Cihat Baytaş ‘a referans teminindeki yardımlarından dolayı teşekkür ederiz.

REFERANSLAR

1- J. R. Bodoia, J. F. Osterle, “The D evelopm ent o f Free C onvection b etw een H eated Vertical Plates”, Jour. O f H eat Transfer, 40-44, Feb. 1962.

2- W. Aung, L. S. Fletcher, V. Sernas, “D eveloping Laminar Free C onvection B etw een V ertical Flat Plates with Asymmetric H eating”, Int. Jour. Heat M ass Transfer, V o l 15, 2 2 9 3 - 2308,1972.

3- A. M . Dalbert, F. Penot, J. L. Peube, “C onvection N aturelle Laminaire dans un Canal V ertical Chauffe a Flux Constant”, Int. Jour. Heat M ass Transfer, V ol. 2 4 , N o . 9 , 1463-1473,

1981

4 - R. A. W irtz, R. J. Stutzman, “Experiments on Free C onvection betw een V ertical Plates w ith Sym metric Heating”, Jour. H eat Transfer, V ol. 104, 501-507, A ug. 1982.

5- T. U sui, M. Kaminaga, Y. Sudo, “Combined Forced and Free C onvective H eat Transfer Characteristics in a Narrow Vertical Rectangular Channel w ith 2.5 mm in Gap H eated form B oth Sides”, Jour. N ucl. Scien. Tech., 26(6), 580-590, June 1989.

6 - K. K ato, T. Hanzawa, K. Y oshie, T. Takarada, “Num erical analysis o f Transport Phenom ena betw een Heated Vertical Parallel Plates”, Jour. Chem. Engin. Japan, V o l.2 3 ,N o 1,

6 4-68, 1990.

7- K. Kato, T. Takarada, H. M iyazaki, H. Sato, N . Nakagaw a, “H eat Transfer in a Channel b et-w een V ertical Electronic Circuit Boards C ooled by Naturel A ir C onvection”, Jour. Chem. Engin. Japan, V ol. 24, N o. 5, 568-574, 1991.

8- A. La Pica, G. Rodono, R. V olpes,”An Experimental investigation on Natural C onvection o f A r in a V ertical Channel”, Int. Jour. H eat M ass Transfer, V ol. 3 6 , N o .3 , 6 1 1 -6 1 6 , 1993.

9- L. P. D avis, J. P. Perona, “Developm ent o f Free C onvection Flow o f a G as in a H eated V ertical O pen Tupe”, Int. Jour. H eat M ass Transfer, V ol. 14, 8 8 9-903, 1971.

10- J. R. Dryer, “The Developm ent o f Laminar N atural-C onvective F low in a V ertical Uniform H eat Flux Duct”, Int. Jour. Heat M ass Transfer, V ol. 18, 1455-1465, 1975.

11- R . K. Engel, W. K. Müller, “An Analytical investigation o f Natural C onvection in Vertical Channels”, ASM E Paper N o. 67-H T -16, 1967.

12- W. Aung, “Fully D eveloped Laminar Free C onvection betw een V ertical P lates H eated Asymmetricaly”, shorter communication, Int. Jour. H eat M ass Transfer, V ol. 15, pp. 1577-1580,

c cö &

m

<3 a> > 3 2 C XI_<u 0> 2 © %_<D c o

D

2 X)

_m

H £ a 0 0 II X5 ü -0 0 1 m m c s NOen VO S “ ST »—• t> NfN O o NO . _____ i < 2 1 0 .6 2 9 1 8 .5 6 3 2 5 .9 4 5 4 0 .0 5 6 5 3 .5 1 9 7 9 .8 7 9 9 4 .9 7 9 5 ,8 3 3 ON On m ON p f""* 0 0 un e s m ON z NO r - NO i n 0 0 NO ON T f ON O »M m m m s 0 0 0 0 ON ON O s O

s

ö ö ö d d NO II * o cö 1 0 0 v o r - 1—* s \I O o o m m 0 0 HM I1 ı> o ON f > 0 0 e s I -T' p 1—* t - _s I c s vd 0 0 e s O l m c o i n 0 0 T f en »> r - o vO e s 3 talimi f"*>N v o o t- vO * vO f*- ir­ ON ON 00 es S *n m in m ın in NO £ ; _{Ö d ö d d d d} —ı._>1 îl m 00 CÖ cs m es m v o m îr- es H** _{Ol 00 cn r t ON VO 00} m r- »—* m 00 *—< ON Ö ö »~h *—* es es ON VO m 00 • On i-3 ^r O *> r-* 00 en o. c z in m cs m On s- ON ■“**’ c **■■>• ON |> m en o n 00 m

s

m cs cs m m es m ■ o ö ö ö d d d d c s lî _{m ON ^ f} • o 0 0 m NO VO on ON 0 0 0 0 r - 0 0 O ON e s ON 13- o 0 0 1—İ 0 0 O e s t - *r -şaaof €S m i n NO 0 0 2C o O O o o O o N ö ö d d d d d d 1>" cü o _{<N m} T f m C" X 3<S O «S :p

o o

O O

o

O

o

. 7 1 S O

X

Şekil 2.1- Kanal geometrisi

JAI ‘iziq Ş ek il 4 .1 B o y u ts u z a ta ş h ız ı d eğ iş im i

U /U O 0 /0 m ak s 1

o

10 00 O O O O O O Ö O O O O o o o jD

ıs

e î2

ıf ıpfioıs JtAüp mnıuıs^B^

Ş e k il 4 .4 - M a k si m u m d u v a r sı c a k lı ğ ı d e ğ iş im i

Ş e k il 4 .5 - N u ss e lt s a y ıs ın ın R a 'y a g ö r e d e ğ iş im i

Nus selt sa y ıs ı

Şekil 4.6- Normalize duvar sıcaklığının kanal boyunca değişimi

Ragleigh sayısı

EK 1- DİFERANS FORMÜLLERİ

Değişik aralıklı bir ızgara üzerinde birinci ve ikinci türevler Taylor serisi açılımı yardımıyla kolayca hesap edilebilir.

i noktası pivot noktası alınırsa şu Taylor seri açılımları yazılabilir:

hU

Bıı iki ifade taraf tarafa toplanır ve f ( için aşağıdaki merkezi diferans ifadesi

/ / =

Ji-\ f; I

ht

+h,-1

(E L İ) /," =4. y ; , ı - d +*,

( 1 + ^ ( 1 ^ ) / ı , 2

bulunur ki burada X, = h,., /hf ‘dir.

Birinci türevlerin ikinci mertebeden ifadeleri de bulunabilir. i+ 1 pivot noktası alınırsa

(h,+h.

,)2

Bu iki ifade taraf tarafa toplanır ve f"s*, için yukardaki f" için verilen ifade kullanılıp sadeleştirilirse sağ tarafdaki bir noktadaki birinci türev ifadesi elde edilir.

/ ' i+1

- a 2(X)fi +a^X) f ıX

a,(X).ht

(E l.2)

Bu ifade birinci türevin geriye doğru ikinci mertebeden doğrulukla hesabım temin etmektedir. İfadedeki katsayılar şöyledir:

a,(A,) = 4 A,J + 6 Ap + 6 A, +2

a:(A ,) — 3 Af’ + 7 Aj2 + 9 A, +5

a3(A ,) = Af’ +• A;2 + 3 A, +3

a4(A,) = (1+A,) (1+A;2) (2+A,)

+ - y - / V ı

(h +h

,)2

Gene bu iki ifade taraf tarafa toplanır ve f",., için yukardaki f", için verilen ifade kullanılıp sadeleştirilirse sol tarafdaki bir nokta için birinci türev ifadesi

/ ' 7~1

- w

/ . * W f r W f , - ,

( E l . 3)

ile bulunur. Bu fonnül birinci türevin geriye doğru ikinci mertebeden doğrulukla hesabım temin etmektedir. Burada b katsayıları aşağıdaki formlara sahiptir.

b,(A.,) = 3 A,3+ 3 V + Âj-l

b:(A,) = 5 A,3+ 5

Xc +

11 X, +3

b3a , ) = 2 V + 6 V + 6 Ai+4

EK 2- IZGARA SIN IR L A R IN D A SO N LU FA R K D E N K LE M LE R İ

Izgara üzerinde başlangıç ve son noktalarda Navie-Stokes denklemleri aşağıdaki formları alacaktır. X tarifleri rapor metninde verilmektedir.

A) Momentum denklemi j=2 *de yani başlangıçda

(E2.1)

dır. Burada

c

(1 +A,)(1 +Â2)A}7^ ^^2

j= N J-l 'de sonlu fark denklemi

U _(E2.2)

şeklindedir. Burada

1

41

c

N J - 1 O + + K * ' J - \ ) A Y N J - l A Y N J \ ‘W 01 a i * \ , N J - \ ^ V i J V J - 1 + C j . l , N J - l + ‘ t/,_i,NJ-\ AA". B) Enerji denklemi

j=2 ‘de sonlu fark denklemi

^(-1.2®;M.3 , v ®M,2+^ U ' ı n 64(Â2) AA", d3(A2) (E2.3) dir. Burada ^ I 1.2

^ı l l

^1-1,2-b2(X2) ( ’’ _ D / ■ 1.2 UH,2

° h \2 ’

w

_b3(X2) B

_\2

— --- +--- İLK,, P r (1 - A 2)(1+â2) A } 22 A Y ı ’ - --- +— !k „o]

c :

: : 4X’

^ (1 +A2)(1 +A,2)A122 AY2

u.

j= NJ-1 ‘de enerji denklemi

a&NJ-x)

a \&Nj-d

AY,

_{N J- t} şeklindedir. Burada

ü2^NJ-0

A ' =A - C ______ -A i + \ ? U - \ -A i* \,N J-\ ı * W J - \ ' ( \ \

a \yKNJ-\)

B ' h l ' N J - l ^ i* \,N J-\ ^ h l, N J - V B«•♦u

i --- +- L . [

ku

,

o

]

Pr

(1 * * , ) ( ! +^)AK22 i y ı

c , „ , =■— .--- +—

i-v o]

2 Pr

( i a

2

) ( l U

2

)Ar

2

AK,

*

l,2+^'/>U +

H

j

±

AXt

aj (Aj) ve bj (Aj) katsayıları için Ek 1 ‘e bakınız.

EK 3- D İK D Ö R T G E N K E SİT L İ K A N A L L A R D A N U S S E L T S A Y ISI İÇİN A SİM T O T İK D E Ğ E R L E R

Kanal içinde akışın tam gelişmiş durumunda yatay ve düşey hızların birinci türevleri sıfir olacaktır, yani hızlar artık sabitleşmiştir.

Momentum denkleminden

dX d X

2 (E 3.1)

elde edilir. Kanal giriş ve çıkışında P ‘nin sıfir olması gerçeği bu parametrenin kanal boyunca

P{X)

=

—JCÇC-L)

_{(E 3.2)}

parabol şeklinde değişdiğini farzedilebilir. Alfa sabitinin bir şekilde hesabı gerekmektedir. (E3.2) ‘nin türevi (E 3 .1) ‘de konursa

d 2U __ aL

dX

2 2

-e

_wm

(E 3.3)

elde edilirki burada 0 vvm ortalama duvar sıcaklığım ifade etmektedir. Ortalama sıcaklıklar yan boydaki sıcaklıklara yaklaşık olarak eşit olmaktadır. Bu (E 3.3) ifadesi iki defa integre edilirse

U ( } > [ - y - e J c r 2

+DY+E

(E3.4)

bulunacaktır. Sınır şartlarında bilinmiyen sabitler bulunur:

i- U (0) = 0 ‘dan E = 0 çıkar.

ii- U( 1) = 0 ‘dan ise D, C cinsinden bulunur.

Sonuç olarak

elde edilir. M =

J

dY U tarifi de C ‘nin hesabım verecektir ki:

C=- 6

M

e -

_wm

aL

(E3.6)

U(Y)=6M(Y-Y

2) ( E 3 ,

bulunur. Ortalama duvar sıcaklıkları yan boydaki sıcaklıklara yaklaşık eşit olduğundan ve (E 3 .1) denklemini kullanarak

0 =12

M

(E 3-8)

w m

J. R. Dryer ‘i takip ederek (bakınız Ref. 10) kanalın alttaki yarı uzunluğu tarafından olan ısı kaybı

(E3.8) ve (E 3.9) ‘dan

(E3.9)

(E3.10)

Isı akışı Uniform olduğundan

H

f

Ra

‘dır. (E 3 .10) ve (E 3 .1 1) ‘den

Ra

1 \ 12 0 V

CE3.il>

(E3.12)