U(1,3) grubunun simetrik yüzeyine bağlı kuantum integrallenebilir sistemler

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

( )

1,3

U

Grubunun Simetrik Yüzeyine Bağlı

Kuantum İntegrallenebilir Sistemler

Martı Zehra ÖZER

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANA BİLİM DALI

Danışman : Yrd. Doç. Dr. Mehmet SEZGİN

2005 EDİRNE

T.C.

TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

U

( )

1,3

Grubunun Simetrik Yüzeyine Bağlı

Kuantum İntegrallenebilir Sistemler

Martı Zehra ÖZER

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANA BİLİM DALI

Bu tez 06/07/2005 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından kabul edilmiştir.

Prof. Dr. Hülya İŞCAN Yrd. Doç. Dr. Mehmet SEZGİN

Üye Danışman

Yrd. Doç. Dr. Şaban AKTAŞ Üye

ÖZET

Bu çalışmanın birinci bölümünde, U(1,3) grubu ve bu grubun simetrik uzayı anlatıldı. İkinci bölümde Laplace-Beltrami operatörü, kuantum sistem, Schrödinger denklemi, analitik devam ve teorik ve pratik çalışmalarda önemli rol oynayan bazı özel fonksiyonlar hakkında bilgi verildi. Üçüncü bölümde U(1,3) grubuyla bağlantılı kuantum sisteme bakıldı. Laplace-Beltrami operatörü, Schrödinger denklemi, potansiyelleri, dalga fonksiyonları elde edildi.

SUMMARY

At first part of this work, it was given information about group U

( )

1,3 and symmetric space of this group. At second part, Laplace-Beltrami oparator, quantum system, Schrödinger equation, analytic continuation and about some special functions which take an important role in teorical and practical works. At third part, it was looked at quantum systems related to U

( )

1,3 group. Laplace-Beltrami operator, Schrödinger equation, potentials, wave function have been obtained.

ÖNSÖZ

Bana kendisi ile böyle bir çalışma imkanı sağlayan ve bu çalışmanın tamamlanmasında büyük yardım ve rehberliğini esirgemeyen değerli hocam Yrd.Doç.Dr. Mehmet SEZGİN’ e saygı ve şükranlarımı sunarım.

1. BÖLÜM 1.1. Giriş……….1 1.2. U

( )

1,3 Grubu………...5 1.3. Simetrik Uzay………..6 2. BÖLÜM 2.1. Hipergeometrik Fonksiyonlar………..…8 2.2. Legendre Fonksiyonları……….14 2.3. Laplace-Beltrami Operatörü………..19

2.4. Kuantum İntegrallenebilir Sistem………..21

2.5. Schrödinger Denklemi………...23

2.6. Analitik Devam………..26

3. BÖLÜM 3.1. U

( )

1,3 Grubuyla Bağlantılı Kuantum İntegrallenebilir Sistem....…….29

KAYNAKLAR……….45

ÖZGEÇMİŞ………..47

1. BÖLÜM

1.1. Giriş

≠

G Ø bir küme, bu kümede bir o:G×G→G ikili işlemi verilmiş olsun. - ∀a,b∈G için aob∈G, ( o işleminin G ’de kapalılık özelliği)

- ∀a,b,c∈G için

(

aob

)

oc=ao

(

boc

)

, ( o işleminin G ’de birleşme özelliği) - o işlemine göre G ’ de bir birim eleman vardır.

G a G e∈ ∋ ∀ ∈ ∃ için aoe= oe a=a - o işlemine göre verilen her elemanın bir tersi vardır.

G a∈

∀ için ∃a−1∈G _{∋ aoe= oe a=a}

özellikleri sağlanıyorsa

(

G,o

)

cebirsel yapısına grup denir.

Cebirsel denklemlerin çözümünde, grup kavramını ilk kullananlardan biri Galois olmuştur. Daha sonra Sophus Lie sürekli dönüşüm gruplarıyla diferensiyel denklemler için benzer bir teoriyi oluşturmuştur. Bugün gruplar teorisi matematikte, topolojide, kuantum teoride, geometride, fizikte, kimyada v.b. diğer bilimsel alanlarda önemli rol oynamaktadır.

Grubun elemanları reel parametrelerin bir kümesiyle karakterize edilebilirse gruba sürekli grup denir ve grubun mertebesi de bağımsız parametrelerin sayısı olarak tanımlanır. Örneğin 3-boyutlu uzayda her bir dönme

(

α,β,θ

)

üç bağımsız parametreye bağlı olarak verilebilir. Yine x′=ax+b dönüşümlerinin kümesi bir grup oluşturur ve

b ,

a parametreleri

(

− ,∞∞

)

aralığında tanımlı olduğundan grup iki parametreli sürekli grup olur.

G sürekli bir grup, a,b∈G olsun. a,b elemanlarına grubun parametrik uzayında A,B noktaları karşı gelsin. Eğer A,B noktaları verilen bölgede sürekli bir yolla bağlantılı ise, a,b elemanları da G grubunda sürekli bir yolla bağlantılı olduğu söylenir. Eğer G grubunun herhangi iki elemanı bu şekilde bağlı ise G grubuna bağlantılıdır denir.

Örneğin; GL

(

n,C

)

,SL

(

n,C

)

,SL

(

n,R

) ( )

,U n ,SU

( )

n,SO

( ) (

n,U p,q− p

)

,SU

(

p,q− p

)

grupları bağlantılı, GL

(

n,R

) ( )

,O n ,SO

(

p,q− p

) (

,O p,q−p

)

grupları bağlantılı değildir. Bağlantılı bir G grubunda, eğer herhangi kapalı bir eğri bir noktaya sürekli şekilde büzülebilirse, grup basit bağlantılı, büzülemiyorsa grubun çok bağlantılı olduğu söylenir. Farklı sınıfların sayısı m ise G grubu m defa bağlantılıdır denir. Örneğin;

) n (

SU grubu basit bağlantılı, SO(3) grubu iki defa bağlantılıdır.

Matrislerin grupları olarak tanımlanan sürekli lineer dönüşüm grupları fiziksel uygulamalarda önemli rol oynar. Bu türden olan n boyutlu grupları ele alırsak ki her bir elemanı n adet reel parametreyle verilir. Bu tip n boyutlu grubun elemanları ile n -boyutlu reel Euclidean _{R uzayın bir bölgesinin noktaları arasında bire-bir eşleme} n oluşturmak mümkündür. Grubun parametrelerinin verildiği bölge parametrik uzay olarak tanımlanır. Bir gruba karşılık bir çok koordinat sistemi verilebilir. Bunların her biri grubun bir parametrizasyonu olarak tanımlanır. Çoğu zaman grubun tamamını parametrize etmek mümkün olmayabilir.

Aynı zamanda bir Lie grubu oluşturan n× lik matris gruplarının en fazla n bilinenleri aşağıda verilmiştir.

(

n,C

)

GL : M kompleks regüler matrislerin genel lineer grubu, detM ≠ , boyutu 0 2

n 2

r= dir. GL(n,C) grubunun her elemanı 2n2 boyutlu R_2n2 reel Euclidean uzayda bir noktaya karşı gelir. Diğer bütün gruplar GL(n,C) grubunun bir altgrubudur ve uygun parametrik uzaylar R_2n2 uzayının altuzaylarıdır.

(

n,C

)

SL : Özel lineer grup, GL

(

n,C

)

grubunun bir altgrubudur, detM = , 1 boyutu r=2

(

n2 −1

)

dir.

(

n,R

)

GL : M reel regüler matrislerin genel lineer grubudur, detM ≠ , boyutu 0 2

n r= dir.

(

n,R

)

SL : Özel lineer grup, GL

(

n,R

)

grubunun bir altgrubudur, detM = , 1 boyutu r=n2 −1 dir.

( )

n

U : uut =utu =1 koşulunu sağlayan kompleks matrislerin üniter grubu olup, boyutu _r=n2 _dir.

( )

n

SU : Özel üniter grup, U

( )

n grubunun bir alt grubudur, detu= , boyutu 1 1

n

r₌ 2 _{− dir.}

(

n,C

)

O : AAt = koşulunu sağlayan A kompleks matrislerin ortogonal 1 grubudur, detA=±1, boyutu r=n

(

n−1

)

dir.

(

n,R

)

O : AAt _{= koşulunu sağlayan A reel matrislerin ortogonal grubudur,} 1 1

A

det =± , boyutu r=n

(

n−1

)

/2 dir.

( )

n

SO : n -boyutlu özel ortogonal grup, dönme grubu O

( )

n grubunun bir alt grubudur, detA= , boyutu 1 r=n

(

n−1

)

/2 dir.

( )

n

Sp : Simplektik grup, utAu= A koşulunu sağlayan n× üniter matrislerin n grubudur. Burada A singüler olmayan anti-simetrik matris, u de u matrisinin t transpozu olup, boyutu r=n(n+1)/2 dir.

(

m,n m

)

U − : AIAt = koşulunu sağlayan A kompleks matrislerin pseudo-I üniter grubudur. Burada I , I_kk =−1, m+1≤k ≤n ve I_kk =1, 1≤k ≤m elemanlı diagonal matristir, boyutu r=n2 dir.

(

m,n m

)

SU − : Özel pseudo-üniter grup U

(

m,n−m

)

grubunun bir alt grubu olup, 1

A

det = , boyutu r=n(n−1)/2 dir.

(

m,n m

)

O − : AgAt = A koşulunu sağlayan A reel matrislerin pseudo-ortogonal grubudur, boyutu r=n(n−1)/2 dir.

(

m,n m

)

SO − : Özel pseudo-ortogonal grup O

(

m,n−m

)

grubunun bir alt grubu olup, detA= , boyutu 1 r=n(n−1)/2 dir.

Araştırmalarda ortaya çıkan denklemler, alan koordinatları veya ψ ,ϕ,... fonksiyonlarıyla verilen sistemdeki parçacıkların hallerini belirler. Denklemler lineer, lineer olmayan, diferensiyel, integral denklemler veya daha genel operatör denklemler olabilir. Grup teori yaklaşımı denklemlerin çözümünü kolaylaştırır. Eğer bir fiziksel sistemin dinamik denklemleri bilinmiyorsa genel simetri prensibinin yardımıyla denklem bulunabilir veya sistemin genel özellikleri araştırılarak simetriden istenilen sonuçlar alınabilir. Simetri işlemi denklemin bir hali yerine ona denk bir başka halini almayı mümkün kılar.

Fiziksel sistemin belirli bir t anındaki durumunu belirleyen ψ,ϕ,... fonksiyonlarının belirlenmesi kuantum teorisinin dinamik kısmıdır. Kuantumlu fiziksel sistemin belirli bir andaki durumuna dinamik hal denir. Kuantumlu sistemin halini belirleyen fonksiyona dalga fonksiyonu denir ve sistemin dinamik halleri ψ

( )

x,t fonksiyonu ile belirlenir. ψ,ϕ ,..., fiziksel sistemin halleri bir lineer uzayın elemanlarıyla tanımlanır. Basit olarak bir dinamik problem ψ,ϕ ,... halleri için diferensiyel denklemi çözmektir. Çünkü fiziksel sistemin bütün halleri ile denklemin tüm çözümleri özdeştir. Koordinatlar, enerji, momentum, açısal momentum gibi verilen bir fiziksel sistem için ölçülebilen her şey dinamik değişkendir.

Bir boyutlu tam çözülebilen kuantum sistemlerin dinamiği n -boyutlu simetrik uzayda serbest harekette olan (V = ) parçacığın sahip olduğu yüksek simetrinin 0 bozulmasına bağlı olarak verilir. Başka bir ifadeyle, V -potansiyeli ile verilmiş bir boyutlu kuantum sistemin tam çözülebilmesi bu sistemin yüksek simetriye sahip olması demektir. Bu simetri bir boyutlu simetrinin n -boyutlu simetriye yerleştirilmesi ile açıklanmış olur.

Simetrik uzay, G Lie grubu, K kompakt altgrubu olmak üzere G/K bölüm uzayıyla tanımlanır. Böyle verilmiş uzayın eşdeğer tanımı uzayda eğriliğin kovaryant türevinin sıfır olmasıdır. Örneğin, G=SO

( )

3 , K =SO

( )

2 olmak üzere iki boyutlu birim küre G K:S

{

x

(

x ,x ,x

)

:x x x2 1

}

2 2 1 2 0 2 1 0 2 _{= = + + = simetrik uzaydır.}

Simetrik uzayda verilen farklı koordinat sistemlerine karşılık farklı kuantum sistemler alırız. Bu uzayda serbest parçacığın kuantum halleri Laplace-Beltrami operatörü ile verilir. Laplace-Beltrami operatörünün değişkenlerine ayrılabildiği bir çok koordinat sistemi vardır. Ancak bu koordinatların geodesic ile bağlı olduğu, başka sözle simetri grubunun bir parametreli altgrupları ile verildiği durumda denklem bir boyutlu Schrödinger denklemine getirilebilir.

Tam çözülebilen kuantum sistemlerin pek çoğu çeşitli grup yapıları içinde incelenir. Grup teorisi yaklaşımı kullanılarak, G≈SO(p,q) , U(p,q) gruplarıyla bağlantılı simetrik uzaylarda bir boyutlu kuantum sistemler, Laplace-Beltrami operatörünün çözümleri, özel fonksiyonlar, düzlem dalgalar, grubun temsilleri v.b. alanlarda çeşitli araştırmalar yapılmıştır [1,2,3,4,5,7,8,9]. Bu tezde bu çalışmaların devamı olarak, U(1,3) grubunun simetrik uzayına bağlı olarak verilen kuantum sistem

incelenmiştir. Uygun seçilen koordinatlarda Laplace-Beltrami operatörü, Schrödinger denklemi, dalga fonksiyonları elde edilmiştir.

1.2. U(1,3) Grubu

n q , 1

C , 1+q=n-boyutlu kompleks vektör uzayında genel lineer dönüşümler bir grup oluşturur. Bu grup GL

(

n,C

)

ile gösterilir. Kompleks vektör uzayında skaler çarpımı koruyan dönüşümler üniter dönüşümlerdir ve bu dönüşümler bir grup oluşturur. A kompleks matris olmak üzere AAt =1 üniterlik koşulunu sağlayan n× matrislerin n üniter grubu U

( )

n ile gösterilir. Benzer şekilde AIAt = koşulunu sağlayan A I kompleks matrislerinin pseudo-üniter grubu U

(

m,n

)

, (m< ) olur. Burada n

{ _       − − = ₁₄₂₄₃ det a n det a m 1 ,..., 1 , 1 ,... 1 diag I köşegen matristir. q 1

n = + olmak üzere C1,q, kompleks vektör uzayı,

(

)

1,q q 1 0,z ,...,z C z z= ∈ ,

bu uzayda skaler çarpım

[

z,w

]

=z0w0 −z1w1−...−zqwq şeklinde tanımlanır.

[ ]

2 r z ,

z = , C1,q uzayında H kompleks hiperboloidini tanımlar. _cq

( ) ( )

1,q U q U Hq c ≈ , q= için 3

( ) ( )

1,3 U 3 U H_c3 ≈ .

Bu uzayda her bir q c H z∈ noktası _z=

(

_eiϕ0τ_o,eiϕ1τ_1,...,eiϕqτ_q

)

_{, 0} ϕ ₂π i < ≤ formunda verilir. Burada

[ ]

τ,τ =τ₀2 −τ₁2−...−τ_q2 =1 reel hiperboloidi gösterir.

Aslında H uzayı simetrik pseudo-Riemannian uzaydır. _cq C1,q uzayı da R2,2q pseudo-Riemannian uzayına denktir.

1.3. Simetrik Uzay

Γ bir vektör uzayı, G de Lie grubu olsun. Eğer her bir α,β∈Γ nokta çifti için bir g∈G var ve β =gα sağlanıyor ise G grubu Γ uzayında geçişli (transitiv) dir denir. Eğer G grubu

Γ

uzayında geçişli ise

Γ

uzayına G grubunun homojen uzayı denir.

G Lie grubunun bir altgrubu H , homojen uzayın bir α∈Γ noktasını invaryant bırakırsa bu alt gruba α noktasının stability (stationary, isotropy, little) grubu denir.

Homojen uzay çoğu zaman G/H bölüm uzayı olarak tanımlanır: H , G grubunun bir alt grubu olmak üzere G/H grubu her x∈G için xH sol denklik sınıflarının kümesi olarak verilir. Eğer H =

{ }

e ise G grubunun kendisi de homojen uzay oluşturur. Homojen uzaylara ait örnekler verelim.

1. G=SO

(

n+1

)

grubu, Rn−1 Euclidean uzayda 1 x ... x x 2 1 n 2 2 2 1 + + + − = (1.1)

kuadratik formunu invaryant bırakan Rn−1 uzayının özel ortogonal dönüşümler grubu olarak tanımlanır. (1.1) denklemiyle verilen Sn, n -boyutlu küre yüzeyi, SO

(

n+1

)

grubunun homojen uzayıdır.

2. R₁1_,+_nn pseudo-Euclidean uzayın özel ortogonal dönüşümler grubu G=SO

( )

1,n ,

( )

n SO

H = olmak üzere X =G/H homojen uzayı 1 x ... x x 2 n 2 1 2 0 − − − = , x0 > 0 (1.2)

denklemiyle verilen iki oyuklu hiperboloidle temsil edilir.

G bir Lie grubu, σ, G grubunun bir involutif otomorfizması olsun. Bu durumda σ2 =1 , σ ≠1 dir. H , σ dönüşümüne göre G grubunun değişmeyen bir alt grubu yani σ

( )

H =H olsun. Bu durumda G/H uzayına σ dönüşümüyle tanımlanan homojen simetrik uzay denir.

Simetrik uzay metrikle verilen bir manifoldtur. Simetrik uzayın diğer bir tanımı, uzayın eğrilik tensörünün kovaryant türevinin ∇_s

(

R_abcd

)

=0 sıfır olmasıyla verilir. G grubunun stability altgrubu; kompakt ise simetrik uzay Riemannian metriğine sahip olur ve bu uzaylar Riemannian homojen simetrik uzay, kompakt değilse uzay pseudo-Riemannian homojen simetrik uzay olarak adlandırılır. Simetrik uzaylara ait örnekler verelim. 1. G =SO

(

n+1

)

, σ : involutif otomorfizma dönüşümü,

( )

_      = ∈ = − n 1 I 0 0 1 s G , g , sgs g σ ,

burada I , _n R de birim matris olmak üzere n

( )

h ₌ shs−1 ₌h , h_∈H _≡SO

( )

n

σ

olduğundan SO(n+1)/SO

( )

n homojen uzayı simetriktir.

2. G= SO

(

p,q

)

: g_∈SO

(

p,q

)

, gIgt ₌I _{denklemini sağlayan matrisler grubu} olduğundan, involutif otomorfizma σ

( )

g =IgI şeklinde verilsin. Bu dönüşümü invaryant bırakan altgrup G grubunun maksimum kompakt alt grubu

( )

p SO

( )

q SO

H ≡ × olduğundan X =G/H ≡SO

(

p,q

)

/SO

( )

p ×SO

( )

q homojen simetrik uzay olur.

Bu tez çalışmasında

( ) ( )

1,3 U 3 U

H_c3 ≈

2.BÖLÜM

2.1. Hipergeometrik Fonksiyonlar

Özel fonksiyonlar teorik ve pratik araştırmalarda, özellikle uygulamalı matematiğin denklemlerinin belirli koordinat sistemlerinde değişkenlere ayrılması metoduyla çözülmesinden ortaya çıkar ve özel isimlerle belirtilir.

İkinci mertebeden lineer homojen diferensiyel denklem bir çok singüler noktalara sahip olabilir. Özel olarak singüler noktaları

(

0,1,∞

)

olan denklemi

(

)

[

(

)

]

abu 0 dz du z 1 b a c dz u d z 1 z ₂ 2 = − + + − + − (2.1) formunda verebiliriz. Burada, z kompleks değişken, a,b,c z ’den bağımsız kompleks ve reel değer alabilen sabitlerdir ve bunlar denklemin parametreleri olarak tanımlanır. (2.1) denklemi Hipergeometrik denklem, bu denklemin çözümleri de Hipergeometrik fonksiyon olarak tanımlanır.

Lineer diferensiyel denklemlerin genel teorisinden (2.1) denklemi z= noktası 0 civarında

∑

∞ = = 0 k k k s _{c z} z u , c₀ ≠ 0

formunda belirli bir çözüme sahip olur. Bu kuvvet serisi z < için yakınsaktır. (2.1) 1 denkleminin z= civarındaki çözümü, 0 ,... 2 , 1 , 0 n c= ≠ − − ise,

(

)

(

)

( ) ( )

( )

∑

∞ = = = = 0 n n n n n 1 2 z c ! n b a z ; c ; b , a F z ; c ; b , a F u (2.2) n c=− , n=0,1,2,... ise,

(

)

(

) (

)

(

)

∑

∞ = + + + + + + + = + + + + + = 0 m m m m m 1 n 1 n _z 2 n ! m 1 n b 1 n a z z ; 2 n ; 1 n b , 1 n a F z u olur.

( )

a

₀

=

1

,

( )

a _n =a.

(

a+1

) (

...a+n−1

)

, n=1,2,...

( )

b

₀

=

1

,

( )

b _n =b.

(

b+1

) (

...b+n−1

)

, n=1,2,...

( )

c

₀

=

1

,

( )

c _n =c.

(

c+1

) (

...c+n−1

)

, n=1,2,...

(

)

(

)

( ) ( )

( )

(

) (

)

(

c 1

)

z ... c . 2 . 1 1 b b 1 a a z c . 1 ab 1 z c ! n b a z ; c ; b , a F z ; c ; b , a F 2 0 n n n n n 1 2 + + + + + + = = =

∑

∞ =

fonksiyonu z değişkenli a,b,c parametreli Hipergeometrik seri olarak da tanımlanır ve 1

z < için yakınsaktır. Genelleştirilmiş Hipergeometrik fonksiyon

(

)

( )

( )

( )

( )

n 0 n 1 n q _n n p n 1 q 1 p 1 q p q 2 1 p 2 1 q p z b ... b ! n a ... a z ; b ,..., b ; a ,..., a F z ; b ,..., b , b ; a ,..., a , a F

∑

∞ = =       =

şeklinde verilir. Burada

( )

(

)

( )

n n a a _n Γ Γ + = ,

( )

a ₀ = , 1

( )

a _n =a

(

a+1

) (

...a+n−1

)

, n=1,2,... dir ve bu Pochhammer sembolü olarak bilinir.

Hipergeometrik fonksiyonların önemli bazı özelliklerini verelim.

Hipergeometrik seride a ve b parametrelerinin yeri değişirse serinin karakteri değişmez. Buradan

- F

(

a,b;c;z

)

=F

(

b,a;c;z

)

simetri özelliğini alırız. Hipergeometrik fonksiyonun türevi

-

(

)

( ) ( )

( )

c F

(

a n,b n;c n;z

)

b a z ; c ; b , a F dz d n n n n n + + + = , n=1,2,... dir. -

( )

(

)

( ) ( )

(

n 1

)

! z F

(

a n 1,b n 1;n 2;z

)

b a z ; c ; b , a F c 1 lim n 1 n 1 n 1 n c _= + + + + + +     _{+ + +} − → Γ -

(

)

(

)

F

(

a 1,b 1;c 1;z

)

c z a z ; c ; b , a F z ; c ; 1 b , a F + − = + + + -

(

)

      − + + = + + 1 z z 4 ; 2 / 1 b a ; b , a F z ; 2 / 1 b a ; b 2 , a 2 F

Hipergeometrik fonksiyonun integral temsili

(

)

(

)

( )

( ) (

b c b

)

t

(

1 t

)

(

1 tz

)

dt c z ; c ; b , a F z ; c ; b , a F c b 1 a 1 0 1 b 1 2 − − − − _{− −} − = =

∫

Γ Γ Γ , 0 b Re c Re > > , arg

(

1− z

)

<

π

şeklinde verilir.

(

a,b;c;z

)

F₁

2 fonksiyonu çoğu zaman F

(

a,b;c;z

)

şeklinde yazılır ve Hipergeometrik fonksiyon olarak tanımlanır. ₁F₁

(

a;c;x

)

fonksiyonu ise Confluent Hipergeometrik fonksiyon olarak tanımlanır ve bu

(

)

a.y 0 dx dy x c dx y d x ₂ 2 = − − + (2.3) diferensiyel denkleminin çözümü olur ki aşağıda verilen her bir çözüm (2.3) Confluent Hipergeometrik denkleminin bir çözümüdür.

-y₁=₁F₁

(

a;c;x

)

=Φ

(

a,c;x

)

- y₂ = x1−c₁F₁

(

a−c+1;2−c;x

)

- y₃ =ex₁F₁

(

c−a;c;−x

)

- y x1 cex₁F₁

(

1 a;2 c; x

)

4 = − − − − Türev bağıntısı

(

)

( )

( )

c F

(

a n;c n;x

)

a x ; c ; a F dx d 1 1 n n 1 1 n n + + = şeklinde verilir.

Confluent Hipergeometrik fonksiyonun integral temsili,

(

)

( )

( ) (

)

∫

(

)

− − − ₋ − = 1 0 1 a c 1 a xu 1 1 e u 1 u du a c a c x ; c ; a F Γ Γ Γ , Rec>Rea>0 olur.

Bazı özel fonksiyonların Hipergeometrik fonksiyonla ifadesini verelim. -

(

1+z

)

a = F

(

−a,b;b;−z

)

,

(

1−z

)

−2a−1

(

1+z

)

=F

(

2a,a+1;a;z

)

- z F

(

m,1;a m 1; 1/z

)

m a z m a ... z 1 a 1 m m _{− − + −}       =       + +       + -

(

)

      + + + = − − z cosh 1 ; a 1 ; 2 1 a , 2 a 1 F z tanh z cosh 2 e az a ₂ - cosaz=F

(

a/2,−a/2;1/2;sin2 z

)

,       + − = ;sin z 2 3 ; 2 a 1 , 2 a 1 F z sin a az sin 2 - sin−1z=zF

(

1/2,1/2;3/2;z2

)

_{, log}

₍

_z+1

₎

_=zF

₍

_1,1;2;−z

₎

z ’nin aldığı bazı özel değerler için Hipergeometrik fonksiyonun ifadesini verelim. z= için, 1 -

(

)

( ) (

)

(

c a

) (

c b

)

b a c c 1 ; c ; b , a F − − − − = Γ Γ Γ Γ , c≠0,−1,−2,... , Rec>Re(a+b) 1 z=− için,

-

(

)

(

) (

)

      +       + − − + = − − + − 2 a 1 2 a b 1 2 / 1 b a 1 2 1 ; b a 1 ; b , a F a Γ Γ Γ Γ , 1+a−b≠0,−1,−2,... 2 / 1 z= için, -

(

) (

)

(

a 1/2

) (

b 1/2

)

2 / 1 2 / 1 b a 2 1 ; 2 1 b a ; b 2 , a 2 F + + + + =       + + Γ Γ Γ Γ , a+b+1/2≠0,−1,−2,... 3 / 1 z=− için, -

(

) (

)

(

3/2

) (

2a 4/3

)

2 / 3 a 2 3 / 4 9 8 3 1 ; 2 3 a 2 ; 2 1 a , a F a 2 + +       =       − + + − − Γ Γ Γ Γ , 2a+3/2≠0,−1,−2,... 3 / i e z= π için, - ( )

(

)

(

a 1/3

) (

a 2/3

) (

2/3

)

3 / 2 a 2 3 e 2 e ; 3 2 a 2 ; a 3 , 3 1 a F i /3 i /2 3a 1/2 Γ Γ Γ Γ π π π + + + =       + + − +

Hipergeometrik denklemin parametreye bağlı olarak çeşitli çözümleri verilebilir. Aşağıdaki çözümlerin her biri Hipergeometrik denklemin bir çözümüdür.

(

a,b;c;z

)

F u₁ = =

(

1−z

)

c−a−bF

(

c−a,c−b;c;z

)

(

)

      − − − = − 1 z z ; c ; b c , a F z 1 a

(

)

      − − − = − 1 z z ; c ; b , a c F z 1 b

(

a,b;a b 1 c;1 z

)

F u₂ = + + − − = z1−cF

(

a+1−c,b+1−c;a+b+1−c;1−z

)

      − − + + − + = − z 1 z ; c 1 b a ; c 1 a , a F z a       − − + + − + = − z 1 z ; c 1 b a ; b , c 1 b F z b (2.4)

( )

      − + − + − = − z 1 ; b 1 a ; c 1 a , a F z u₃ a

( ) (

)

      − + − − − − = − − − z 1 ; b 1 a ; b c , b 1 F z 1 z b c c a b

(

)

      − − + − − = − z 1 1 ; b 1 a ; b c , a F z 1 a

( ) (

)

      − − + − − + − − = − − − z 1 1 ; b 1 a ; b 1 , c 1 a F z 1 z 1 c c a 1

( )

      − + − + − = − z 1 ; a 1 b ; b , c 1 b F z u₄ b

( ) (

)

      − + − − − − = − − − z 1 ; a 1 b ; b c , a 1 F z 1 z a c c a b

(

)

      − − + − − = − z 1 1 ; a 1 b ; a c , b F z 1 b

( ) (

)

      − − + − − + − − = − − − z 1 1 ; a 1 b ; a 1 , c 1 b F z 1 z 1 c c b 1

(

a 1 c,b 1 c;2 c;z

)

F z u 1 c 5 = + − + − − − = z1−c

(

1−z

)

c−a−bF

(

1−a,1−b;2−c;z

)

(

)

      − − − − + − = − − − 1 z z ; c 2 ; b 1 , c 1 a F z 1 z1 c c a 1

(

)

      − − − − + − = − − − 1 z z ; c 2 ; a 1 , c 1 b F z 1 z1 c c b 1

(

1 z

)

F

(

c a,c b;c 1 a b;1 z

)

u₆ = − c−a−b − − + − − − = z1−c

(

1−z

)

c−a−bF

(

1−a,1−b;c+1−a−b;1−z

)

(

)

      − − − + − − − = − − − z 1 z ; b a 1 c ; a 1 , a c F z 1 za c c a b

(

)

      − − − + − − − = − − − z 1 z ; b a 1 c ; b 1 , b c F z 1 zb c c a b

(

a,b;c;z

)

F Hipergeometrik fonksiyonun analitik devam bağıntısı aşağıdaki gibi verilir. a b c , a b , c 1− − − − tamsayı olmasın. - F

(

a,b;c;z

)

= A₁F

(

a,b;a+b−c+1;1−z

)

+A₂

(

1−z

)

c−a−b ×F

(

c−a,c−b;c−a−b+1;1−z

)

, arg

(

1− z

)

<π -

(

)

₁ a A₂za c

(

1 z

)

c a b z 1 z ; 1 c b a ; c 1 a , a F z A z ; c ; b , a F − + − − − −      − + − + − + =       − − − + − − × z 1 z ; b a 1 c ; a 1 , a c F , arg

( )

z <π (2.5)

- F

(

a,b;c;z

)

= B₁

( )

−z −aF

(

a,1−c+a;1−b+a;1 z

)

+B₂

( )

−z −b ×F

(

b,1−c+b;1−a−b;1 z

)

, arg

( )

− z <π -

(

)

₁

(

)

a B₂

(

1 z

)

b z 1 1 ; 1 b a ; b c , a F z 1 B z ; c ; b , a F − + − −      − + − − − =       − + − − × z 1 1 ; 1 a b ; a c , b F , arg

(

1− z

)

<π Burada A₁,A₂,B₁,B₂ katsayıları

( ) (

)

(

c a

) (

c b

)

b a c c A₁ − − − − = Γ Γ Γ Γ ,

( ) (

)

( ) ( )

a b c b a c A₂ Γ Γ Γ Γ + − = (2.6)

( ) (

)

( ) (

b c a

)

a b c B₁ − − = Γ Γ Γ Γ ,

( ) (

)

( ) (

a c b

)

b a c B₂ − − = Γ Γ Γ Γ şeklinde verilir.

Diğer özel fonksiyonlarla Hipergeometrik fonksiyonlar arasındaki bağıntılar aşağıdaki gibi verilir.

- ( )

( )

      − + + + + −       + = 2 z 1 ; 1 ; 1 n , n F n n z P_nα,β α α β α -

( )

( )

      − + + − = 2 z 1 ; 2 1 ; 2 n , n F 2 ! n 1 z C_nλ λ _n λ λ -

( )

      − + − = 2 z 1 ; 1 ; 1 n , n F z P_n -

( )

(

)

     − − + −       − + − = 2 z 1 ; 1 ; 1 , F 1 z 1 z 1 1 z P 2 / µ ν ν µ Γ µ µ ν -

( )

(

1

)

(

z 2

)

F

(

1; z 4

)

1 z J _{0 1} + − 2 + = ν ν Γ ν ν

Yukarıda verdiğimiz Hipergeometrik fonksiyonlar tek değişkenlidir. Çok değişkenli Hipergeometrik fonksiyonlarda vermek mümkündür.

2.2. Legendre Fonksiyonları

Dalga yayılması, potansiyel ve difüzyon problemlerinin çözümünde ortaya çıkan, ν dereceden ve µ mertebeden

(

)

[

(

1

)

(

1 z

)

]

w 0 dz dw z 2 dz w d z 1 ₂ 2 2 1 2 2 = − − + + − − νν µ − (2.7)

Legendre diferensiyel denkleminin lineer bağımsız çözümleri olan fonksiyonlara Legendre fonksiyonları denir. Burada z kompleks veya reel değişken, ν, µ de reel veya kompleks sabitlerdir.

(2.7) denklemi uygun değişken dönüşümü yapılarak Hipergeometrik denkleme indirgenebilir. Sırasıyla w=

(

z2 −1

)

µ/2u ve 2 z 1 x= − dönüşümleri yapılırsa (2.7) denklemi

(

)

(

)(

)

(

)(

1

)

u 0 dx du x 2 1 1 dx u d x 1 x ₂ 2 = + + − + − + + − µ ν µ ν µ (2.8)

Hipergeometrik denklemine getirilir. Buradan (2.7) denkleminin çözümü

( )

(

)

     − − + −       − + − = = 2 z 1 ; 1 ; 1 , F 1 z 1 z 1 1 z P w 2 / µ ν ν µ Γ µ µ ν , 1−z <2 (2.9)

olur. Eğer x= z2 dönüşümü yaparsak (2.7) denklemi

(

)

[

(

)

]

(

)(

1

)

u 0 dx du x 6 4 2 dx u d x 1 x 4 ₂ 2 = + + − − + − + − µ µ ν ν µ (2.10)

Hipergeometrik denkleme dönüşür ve buradan (2.7) denkleminin çözümü

( )

(

)

(

)

(

)

     + + + + + − + + + = = i − −1 − − −1 2 /2 ₂ z 1 ; 2 3 ; 2 1 , 1 2 F 1 z z 2 / 3 1 2 e z Q w ν µ ν µ ν ν Γ µ ν Γ π ν µ µ ν π µ µ ν , z > 1 (2.11)

olur. ν,µ∈N ise P_νµ

( )

z ,Q_νµ

( )

z lineer bağımsız çözümler olduğundan (2.7) denkleminin çözümü w=c₁P_νµ

( )

z +c₂Q_νµ

( )

z olur, burada c₁,c₂ keyfi sabitlerdir.

( )

z ,Q

( )

z

P_νµ _νµ fonksiyonları birinci ve ikinci türden,

ν

dereceden Legendre fonksiyonları olarak tanımlanır. Bu fonksiyonlar

(

−∞,1

)

boyunca kesilen Z düzleminde regüler ve tek değerlidir. Legendre diferensiyel denklemi,

1 , z z , →− →− − − → µ ν ν

( )

z,Q

( )

z,P

( )

z ,Q

( )

z P ± ± ₁ ± −±−₁ ± ± − − ± ± µ ν µ ν µ ν µ

ν çözümleri de (2.7) denkleminin çözümleri

olur. Legendre fonksiyonları arasındaki bazı bağıntıları verelim. - P_νµ

( )

z = P₋µ_ν−1

( )

z - eiµπΓ

(

ν +µ+1

)

Q_ν−µ

( )

z =e−iµπΓ

(

ν−µ+1

)

Q_νµ

( )

z -

( )

(

)

(

m 1

)

P

( )

z 1 m z Pm −m + − + + = ν ν ν Γ ν Γ , µ=m=1,2,... - Q_νµ

( )

−z =−e±iνπQ_νµ

( )

z - P0

( )

z P

( )

z ν ν = , µ =0 , P

( )

z 0 m ₌ ν , m>ν , m∈N

Legendre fonksiyonları,

(

−∞,1

)

boyunca kesilen düzlemde P_νµ

( )

z ,

(

−∞,1

)

boyunca kesilen düzlemde Q_νµ

( )

z fonksiyonu z kompleks değişkeninin analitik bir fonksiyonudur. Bu kesilen bölgelerde verilen Legendre fonksiyonları Hipergeometrik seri cinsinden ifade edilebilir. Legendre fonksiyonlarının bir çok uygulamasında

x i 0 x z= + = , −1< x<1 alınır. -

( )

(

)

     − − + −       − + − = ± 2 x 1 ; 1 ; 1 , F x 1 x 1 1 e x P 2 / 2 / i µ ν ν µ Γ µ µπ µ ν -

( )

(

)

     − − + −       − + − = 2 x 1 ; 1 ; 1 , F x 1 x 1 1 1 x P 2 / µ ν ν µ Γ µ µ ν -

( )

(

)

(

)

     − + + −       + − − + + + = 2 x 1 ; 1 ; 1 , F x 1 x 1 1 2 1 x Q 2 / µ ν ν µ ν Γ µ ν Γ µ µ ν

( )

_{( )}

_      − − + −       − + + 2 x 1 ; 1 ; 1 , F x 1 x 1 x cos 2 2 / µ ν ν µ µ Γ µ

( )

z ,Q

( )

z

P_νµ _νµ Legendre fonksiyonlarını trigonometrik değişken türünden yazabiliriz. z=cosθ , -

(

)

(

)

     − − − − +       − = − θ µ µ ν µ ν θ µ Γ θ µ µ ν 2 sin ; 1 ; 2 , 2 1 F 2 sin 1 1 cos P , 0<θ <π /2 -

(

)

(

)

     − − − − +       − = − 2 sin ; 1 ; , 1 F 2 sin 1 1 cos P θ ν µ ν µ µ 2θ µ Γ θ µ µ ν -

(

)

(

)

     − + −       − = 2 sin ; 1 ; 1 , F 2 cot 1 1 cos P θ _{νν µ} 2θ µ Γ θ µ µ ν

µ

ν, sabitlerinin bazı özel değerleri için Legendre fonksiyonlarının ifadesini verelim. ,... 2 , 1 m= = µ için, -

( )

(

)

(

)

(

)

     − + + − + + − + − + + = − 2 z 1 ; m 1 ; 1 m , m 1 F 1 z 1 m ! m 1 m 2 z P 2 m/2 m m _{ν ν} ν Γ ν Γ ν (2.12) ,... 2 , 1 , 0 n= =

ν olsun. Bu durumda µ negatif bir tamsayı ise (2.9) ifadesindeki Hipergeometrik seri z bağlı n dereceden bir polinom olur.

,... 2 , 1 m= =

µ ve n≥m ise (2.12) bağıntısı geçerli olur ve

(

n−m

)

. dereceden polinom olur. ν =0 ise P0

( )

z P

( )

z

ν

ν = olarak yazılır. Genellikle Pν

( )

z ,Qν

( )

z Legendre

fonksiyonları, P_νµ

( )

z ,Q_νµ

( )

z fonksiyonları da associated Legendre fonksiyonları olarak tanımlanır. 0 = µ ise,

( )

      − − − + = 2 z 1 ; 1 ; , 1 F z P_ν ν ν µ

olur ki bu ifadenin , z ye göre m

(

m=1,2,...

)

defa türevi alınırsa

-

( )

(

)

_m

( )

m 2 / m 2 dz z P d 1 z z P_νµ = − ν -

( )

(

)

_m

( )

m 2 / m 2 dz z Q d 1 z z Q_νµ = − ν bağıntılarını buluruz. -

( )

      + − − −       + = 1 z 1 z ; 1 ; , F 2 1 z z P ν ν ν ν       − + − −       − = 1 z 1 z ; 1 ; , F 2 1 z ν ν ν

( )

      + − − − =       − + − = 2 z 1 ; 1 ; , F 1 2 z 1 ; 1 ; 1 , F ν ν ν ν ν       − − − −       − = z 1 2 ; l 2 ; , F 2 1 z ν ν ν 0 = µ , ν =n=0,1,2,... ise, -

( ) ( ) ( )

( )

(

)

2 2 n 2 n n 2 F n,n 1/2;1/2;z ! n 2 ! n 2 1 z P = − − +

-

( ) ( ) (

)

( )

(

)

2 2 n 2 n 1 n 2 zF n,n 3/2;3/2;z ! n 2 ! 1 n 2 1 z P ₊ = − + − + -

( )

(

)

_n

(

2

)

n n 1 n n z 1 dz d ! n 2 z P = − −

bağıntıları verilebilir. Son bağıntı Rodrigues formülü olarak bilinir. Böylece P_n

( )

z , n dereceden bir polinom olur ve P_n

( ) ( )

z = −1 nP_n

( )

z eşitliği sağlanır. Bu polinomlar Legendre polinomu olarak tanımlanır ve Legendre fonksiyonlarının özel bir halidir. Polinomlar

[

−1,1

]

aralığında ortogonaldir ve bu aralıktaki tüm kökleri reeldir.

Legendre fonksiyonlarının integral temsilini verelim.

-

( )

(

)

(

) (

1

)

(

z cosht

)

(

sinht

)

dt 1 z 2 z P 0 1 2 1 2 / 2

∫

∞ + − − − − + + − − − = µν ν µ ν µ ν ν Γ ν µ Γ , Re

(

−µ

)

>Reν >−1

( )

(

)

(

)

(

1

)

(

z cost

)

(

sint

)

dt 1 z 1 2 e z Q 0 1 2 1 2 / 2 1 i

∫

− − + − − − + + − + + = π ν ν µ µ ν µπ µ ν ν Γ ν µ Γ ,

(

1

)

0,Re 1 Reν +µ+ > ν >−

Legendre polinomlarının ortogonallik koşulları aşağıdaki gibi verilir.

-

∫

( ) ( )

−     = = + ≠ = 1 1 m n _{, n m , n 0,1,2,...} 1 n 2 2 m n , 0 dx x P x P -

(

)

( ) ( )

(

)

(

)

∫

− −     = − + ≠ = − 1 1 k n m n 1 2 m k , ! m n m ! m n m k , 0 dx x P x P x 1 -

( ) ( )

( )

( ) (

)

(

)(

)(

)

∫

− + − + + − + − − − = 1 1 n l m k l m n ! m n 1 n l n l ! m n 1 1 1 dx x P x Q

Legendre polinomlarını genelleştirirsek Jacobi polinomlarını buluruz.

(

)

(

(

)

)

n

(

n 1

)

u 0 dx du x 2 dx u d x 1 ₂ 2 2 = + + + + + + − − + − β α α β α β (2.13)

diferensiyel denkleminin çözümleri P_n(α,β)

( )

x Jacobi polinomları olarak tanımlanır. Bu diferensiyel denklem Hipergeometrik diferensiyel denkleme indirgenebilir. Bu durumda bu denklemin çözümleri aşağıdaki gibi verilir.

( )

_{( )}

_      − + + + + −       + = 2 x 1 ; 1 ; 1 n , n F n n x P_nα,β α α β α

( )

      + + + + + −       + − = 2 x 1 ; 1 ; 1 n , n F n n 1 n β α β β       + − + − − −       +       + = 1 x 1 x ; 1 ; n , n F 2 x 1 n n n α β α       − + + − − −       −       + = 1 x 1 x ; 1 ; n , n F 2 1 x n n n β α β ( )

_{( )}

(

) (

)

(

)

(

)

     − + + + + + + + + + + + + + + = + + + + x 1 2 ; 2 n 2 ; 1 n , 1 n F 1 x x 2 n 2 1 n 1 n 2 x Q 1 n n , n α α β β α Γ β Γ α Γ β α β α β α

Jacobi polinomlarının bazı özelliklerini verelim. - P

( )

x P(0,0)

( )

x n n = - ( )

( )

(

)

(

)

(

1

)

! n 1 n ! n 1 n n 1 P , n n + + + = + =       + = α Γ α Γ α α β α , ( )

( ) ( )

(

)

(

1

)

! n 1 n 1 1 P_n , n + + + − = − β Γ β Γ β α - P_n(α,β)

(

−x

) ( )

= −1 nP_n(α,β)

( )

x - ( )

( )

∑

(

) (

)

= − − + −       − +       + = n 0 m m m n n , n x 1 x 1 m n n m n 2 x Pαβ α β - ( )

( )

[

(

) (

)

]

( )

_{( )}

₍

₎₍

₎

( )

_{( )}

(

)

(

2

)

, 1 n , n , n x 1 n 2 x P n n 2 x P x n 2 n x P dx d − + + + + + + + − − = − β α β α β α β α αβ αβ β α - 2nn!P_n(α,β)

( ) ( ) (

x = −1 n 1−x

) (

−α 1+x

)

−βDn

[

(

1−x

) (

α+n 1+x

)

β+n

]

, Rodrigues formülü. Jacobi polinomlarının ortogonallik koşulu aşağıdaki gibi verilir.

-

(

) (

)

( )

( )

( )

( )

(

) (

)

(

)

(

)

∫

− + + + + + + + + + + + + = + − 1 1 nm 1 , m , n 1 n ! n 1 n 2 1 n 1 n 2 dx x P x P x 1 x 1 δ β α Γ β α β Γ α Γ β α β α β α β α

Jacobi polinomlarının integral temsilini verelim. - ( )

( )

(

)

1 x dt t 1 x 1 t 1 x t 2 1 t i 2 1 x P n 2 , n β α β α π      + +       − −       − − =

∫

, x≠±1 -Q( )

( )

x 2

(

x 1

) (

x 1

)

(

x t

)

(

1 t

) (

1 t

)

dt 1 1 n n 1 n 1 n , n

∫

− + + − − − − − − + − − + − = α β α β β α

2.3. Laplace-Beltrami Operatörü

Riemannian uzayında

( )

g_ij metrik matrisi ve Γ_ijk bağlantısı tanımlanmış olsun. Eğer

( )

g_ij metrik matrisinin kovaryant türevi

0 g g x g g_{ij k}ij _ikl _{lj jk}l _il k − − = ∂ ∂ = ∇ Γ Γ

sıfır ise bu bağlantıya metrik matrisle uzlaşan bağlantı denir. Metrik matrisle uzlaşan bağıntının ifadesi aşağıdaki formülle verilir.

      ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = li_j ij_l i lj kl k ij x g x g x g g 2 1 Γ (2.14) i

T ,

( )

1,0 tipli tensörün diverjansını verelim. T tensörünün kovaryant türevi i i m mk k i i k T x T T +Γ ∂ ∂ = ∇

formülü ile verildiğinden T tensörünün diverjansı için aşağıdaki formülü alırız. i

i m mi i i i i i _T x T T divT +Γ ∂ ∂ = ∇ = , g =det

( )

g_ij (2.15) _mii il lm_{i m}li mi_{l m} x g g 2 1 x g x g x g g 2 1 ∂ ∂ =       ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = Γ

formülünden yararlanarak (2.15) bağıntısından

(

i

)

i i i i _gT x g 1 T divT ∂ ∂ = ∇ = alırız. Burada i ij _j x g T ∂ ∂

= ifadesini yerine yazarsak

      ∂ ∂ ∂ ∂ = ij _j i LB x g g x g 1 ∆ (2.16)

buluruz ki buna Riemannian uzayda verilmiş Laplace-Beltrami operatörü denir.

(

x1,...,xn

)

x= kartezyen koordinatlar, g_ij =δ_ij metrik matris olmak üzere E_n, n boyutlu Euclidean uzayda Laplace operatörü

∑

= ∂ ∂ = ∂ ∂ + + ∂ ∂ = n 1 i 2 i 2 2 n 2 2 1 2 x x ... x ∆ (2.17)

olarak verilir. E_p,q pseudo-Euclidean uzayda metrik matris

( )

_{{ }       − − = ₁₄₂₄₃ e tan q e tan p ij diag 1,...,1, 1,..., 1 g

şeklinde verilir. Bu durumda Laplace operatörü

2 q p 2 2 1 p 2 2 p 2 2 1 2 x ... x x ... x ₊ ∂ ₊ ∂ − − ∂ ∂ − ∂ ∂ + + ∂ ∂ = ∆ (2.18) olur. 1 n

S − küresinde verilmiş θ₁,...,θ_n−1 küresel koordinat sistemi için Laplace-Beltrami operatörünü verelim.

(

)

n 1

n 1,...,x S x

x= ∈ − de küresel koordinatlar x₁ =rsinθ_n−1sinθ_n−2...sinθ₂sinθ₁

x₂ =rsinθ_n−1sinθ_n−2...sinθ₂cosθ₁

………...

………... (2.19) x_n−1 =rsinθ_n−1cosθ_n−2

x_n =rcosθ_n−1

şeklinde verilir. Burada

x₁2 +...+x_n2 =r2 , r≥ , 0 0≤θ₁ ≤2π , 0≤θk ≤π , 2≤k≤n−1 dir. Metrik matris ,

( )

=_ _ . r r . ij xi ,xj g , τ₁ =r,τ₂ =θ₁,...,τ_n =θ_n−1 bağıntısından

( )

(

n 1

)

2 2 2 2 1 n 2 2 2

ij diag1,r ,r sin ,...,r sin ...sin

g = θ ₋ θ θ ₋

şeklinde bulunur. Buradan Laplace-Beltrami operatörü

( ) (n 1) 0 2 1 n 1 n n LB r 1 r r r r 1 _{− −} − _∂ + ∂ ∂ ∂ = ∆ ∆ (2.20)

olup birinci kısım operatörün radyal kısmını (n 1) 0

−

∆ da açısal kısmını oluşturur. Burada

( ) (n 2) 0 1 n 2 1 n 1 n 2 n 1 n 1 n 2 n 1 n 0 sin 1 sin sin 1 ₋ − − − − − − − − ₊ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∆ θ θ θ θ θ ∆ ₂ 1 2 2 2 1 n 2 1 n 1 n 2 n 1 n 1 n 2 n sin ... sin 1 ... sin sin 1 θ θ θ θ θ θ θ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ = − − − − − − −

dir.

(

r, 1,..., n

)

r

(

1,..., n

)

F θ θ σΦ θ θ

= , .σ dereceden homojen bir fonksiyon olmak üzere ∆ _LBF =0

Laplace denklemini ele alalım.

( ) ( )F 0 r 1 r F r r r 1 F _{n 1} n 1 _{2 0}n 1 n LB + = ∂ ∂ ∂ ∂ = ₋ − ∆ − ∆ Buradan ∆₀(n−1)Φ =σ

(

σ +n−2

) (

Φθ₁,...,θ_n

)

_(2.21) denklemini buluruz.

2.4. Kuantum İntegrallenebilir Sistem

N parçacığı karakterize eden dalga fonksiyonu

Ψ

(

x₁,x₂,...,x_N

)

, normalleştirme koşulu da

∫

...

∫

Ψ

(

x₁,x₂,...,x_N

)

2dx₁...dx_N = 1 şeklinde verilir.

Dalga fonksiyonu

(

x ,x ...,x ;t

)

H

(

x ,.x ...,x ;t

)

t i Ψ _{1 2 N} = Ψ _{1 2 N} ∂ ∂ h

diferensiyel denklemin çözümü ile verilir. Burada H,N parçacıktan oluşan sistemin toplam enerjisini temsil eder. V

( )

x potansiyeli ile birbirini etkileyen N parçacıklı bir kuantum sistem

(

)

₂

(

_{1 2 N}

)

N 2 N 2 1 2 1 2 N 1 i N 2 1 i 2 i _{V x ,x ,...,x} x m 2 1 ... x m 2 1 x ,..., x , x V m 2 p H _+      ∂ ∂ + + ∂ ∂ − = + =

∑

= h

şeklinde Hamiltonyen ile tanımlanır. Burada V

(

x₁,x₂,...,x_N

)

potansiyeli özel tipte bir fonksiyondur. Örnek olarak iki farklı tip sistem verilebilir ki bunlar tam integrallenebilir. Birincisi Oskilatör tipte N parçacık problemi ki potansiyel,

(

)

∑

(

)

= + = N 1 i N 2 1 2 i N 2 1,x ,...,x k/2 x v x ,x ,...,x x

V şeklinde, diğeri ise Coulomb tip N

(

)

(

_{1 2 N}

)

2 / 1 N 1 i 2 i N 2 1,x ,...,x x v x ,x ,...,x x V  +      − = − =

∑

α

şeklinde verilir. Burada k ve α sabitlerdir.

Parçacıkların bir dış kuvvetin etkisi altında olmaması durumunda potansiyel enerji parçacıkların birbirlerine göre durumlarına bağlıdır ve potansiyel,

(

x1 x2,...,xN 1 xN

)

V − ₋ − biçiminde yazılır. İki parçacıktan oluşan bir sistem için bunu yazarsak, V

(

x₁−x₂

)

, Hamiltonyen ₂

(

_{1 2}

)

2 2 2 2 1 2 1 2 x x V x m 2 1 x m 2 1 H _+ −      ∂ ∂ + ∂ ∂ − = h

olur. Bunun için özdeğer denklemi yazılarak sistem çözülür. Parçacıklar bir dış kuvvetin etkisi altında olsun fakat birbirleriyle etkileşmesin, bu durumda potansiyel

)

(

(

1 N N

)

1 x ... V x

V + + şeklinde verilir. İki parçacıktan ibaret olan sistem için bunu yazarsak, V₁

(

x₁

)

+V₂

(

x₂

)

ve Hamiltonyen _{2 1}

(

₁

)

₂

(

₂

)

2 2 2 2 1 2 1 2 x V x V x m 2 1 x m 2 1 H _+ +      ∂ ∂ + ∂ ∂ − = h

şeklinde verilir. Etkileşmeyen parçacıklar için enerji özdeğer denklemi parçacık denklemine ayrılabilir. Parçacıklar özdeş ise verilen bu durumlar geçerli olmaz. Tek parçacık için potansiyel V

( )

x şeklinde verilir ki bu bir boyutlu potansiyeldir. Parçacıktan kastımız, bunların bir nokta biçiminde oldukları veya en azından göz önüne alınan fiziksel sistemin tipik boyutlarından daha küçük boyutlara sahip olduklarını ima ediyoruz.

Simetrik uzayda bir serbest parçacığın kuantum problemi ilginçtir ve bir boyutlu integrallenebilir kuantum sistemle bağlantılıdır. Bu tür problemler bir boyutlu uzayda N parçacık problemidir ve potansiyel V

(

x_i−x_j

)

formunda verilir. Potansiyelin üç basit tipini verelim. V

( )

x =sin2 x,V

( )

x =sinh−2x,V

( )

x =x−2. Bu potansiyeller sırasıyla kompakt, kompakt olmayan ve eğriliği sıfır olan simetrik uzaylarla bağlantılıdır. Bu sistemlerin tam kuantum sistemlerinin verilmesi durumunda gösterilebilir ki Hamiltonyen ile simetrik uzaydaki Laplace basit bağlantılıdır.

Tam çözünebilen kuantum sistemleri incelenebilmesi için özellikle Hilbert uzayı, Lie grubu ve cebiri, simetrik uzay, diferensiyel geometri, özel fonksiyonlar v.b. matematiksel yapıların bilinmesi gerekir.

2.5. Schrödinger Denklemi

m kütleli bir cisim x -ekseni boyunca bir F

( )

x,t kuvvetinin etkisiyle hareket etsin. Bu bir boyutta belirli bir kuvvet altında parçacığın hareketidir. v hız, p=mv momentum, T =1/2mv2 kinetik enerji, x

( )

t parçacığın pozisyonu göstermek üzere, klasik mekanikte bunu nasıl belirleriz? Newton’un ikinci yasası

(

F =ma

)

uygulanır ve uygun başlangıç koşullarıyla parçacığın x

( )

t pozisyonu belirlenebilir.

Kuantum mekaniği bu probleme farklı yaklaşır. Bu halde parçacığın Ψ

( )

x,t dalga fonksiyonu aranır ki bu Schrödinger denkleminin çözümüyle verilir. Bir boyutlu

X uzayında momentum p , kütlesi m olan bir parçacık serbest, yani bir potansiyel içinde

(

V =0

)

değilse toplam enerjisi E = p2 2m olup sadece kinetik enerjiden ibarettir. Bu parçacığı temsil eden dalga paketinin sayısı k , açısal frekansı ω olmak üzere , h = h/ 2π ,ω = 2πk,k = 2π /λ , enerji ve momentum

k p ,

E =hω =h (2.22)

şeklinde verilir. Burada h Planck sabiti, v frekansı, λ dalga boyunu gösterir. Bu bağıntılar de-Broglie denklemleri olarak bilinir.

Fotonlar bazı olaylarda dalga bazı olaylarda da parçacık gibi davranır ancak bir olay sırasında iki karakteri aynı anda gösteremez. Bu günümüzde dalga-parçacık ikilemi olarak bilinir. Fotonun bu dalga ve parçacık karakteri (2.22) denklemiyle ifade edilir. (2.22) bağıntıları ve klasik dalganın özellikleri Schrödinger dalga denklemi olarak bilinen madde dalgalarına uygun dalga denkleminin oluşturulmasında kullanılır. Serbest parçacıklara eşlik eden madde dalgaları için dalga denklemi

( )

( )

₂ 2 2 x t , x m 2 t t , x i ∂ ∂ − = ∂ ∂Ψ h Ψ h (2.23)

şeklinde verilebilir ki bu Schrödinger serbest parçacık denklemi olarak tanımlanır. Enerji ve momentum operatörleri

t i E ∂ ∂ = h , ₂ 2 2 2 x m 2 m 2 p ∂ ∂ − = h , x i p ∂ ∂ − = h

şeklinde tanımlanır. Yukarıda elde ettiğimiz denklem serbest parçacık için doğru sonuçlar verir. Daha genel olarak sabit bir V potansiyeli altında hareket eden bir parçacığı ele alalım. Bu parçacığın toplam enerjisi E ₌ p2 2m₊V _{ve de-Broglie} bağıntısı _{= h}2k2 /2m₊V

hω olur. Buradan yukarıda verilen (2.23) denklemine benzer şekilde daha genel

Ψ

( )

Ψ

( )

V

( )

x,tΨ x t , x m 2 t t , x i ₂ 2 2 + ∂ ∂ − = ∂ ∂ h h

denklemini buluruz. Bu zamana bağlı bir boyutlu Schrödinger denklemidir. Denklemi üç boyutlu sistemler için yazarsak

Ψ

( )

Ψ Ψ Ψ V

( )

x,tΨ z y x m 2 t t , x i ₂ 2 2 2 2 2 2 +       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ h h olur. Denklemde ₂ 2 2 2 2 2 z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =

∆ Laplace operatörü, toplam enerjinin diferensiyel

şekli olan H =−h2 /2m∆+V Hamilton operatörü tanımlanırsa Schrödinger denklemi

Ψ Ψ H t i = ∂ ∂ h şeklinde de yazılabilir.

Dalga denkleminin çözümü olan Ψ

( )

x,t dalga fonksiyonu incelenen bir sistem hakkındaki tüm bilgiyi içermektedir. Yani, fiziksel sistemin belirli bir t anındaki durumu Ψ

( )

x,t dalga fonksiyonu ile belirlenir. Sistemin Ψ

( )

x,t dalga fonksiyonunun zaman içindeki gelişimi Schrödinger denklemiyle verilir. Yukarıda verdiğimiz denklem zamana bağlı Schrödinger denklemi olup zamandan bağımsız Schrödinger denklemini verelim.

Schrödinger denklemindeki V

( )

x,t potansiyeli zamandan bağımsız olsun. Bu durumda Schrödinger denklemi “değişkenlere ayırma” yöntemiyle çözülebilir ve

( )

x,t =U

( ) ( )

xT t

Ψ şeklinde bir çözüm aranır. Buradan

( )

x V U m 2 U 1 t T T 1 i 2 + − = ∂ ∂ ∆ h h (2.24)

denklemini elde ederiz. Denklemin sol tarafı sadece t değişkenine, sağ tarafı da x değişkenine bağlıdır. Denklemin bütün x ve t değerleri için geçerli olması ancak iki tarafın bir sabite eşit olmasıyla mümkündür. Bu sabite ayırma sabiti denir ve bu sabiti

E ile gösterelim. Bu durumda (2.24) denklemi

ET t T i = ∂ ∂ h , U V

( )

xU EU

( )

x m 2 2 = + − h ∆ (2.25)

olur. Burada E sabiti fiziksel sistemin toplam enerjisi olarak alınabilir.

(2.24) denkleminin çözümü Ψ

( )

x,t =eiEt h/ U

( )

x şeklinde verilir. V potansiyelinin bir çok biçimi için Schrödinger denkleminin çözümleri bulunur. Normalize çözümler için E ayırma sabitinin reel olması gerekir. E sabiti kompleks değer alamaz. Çünkü E sabitini E= E_r +iE_i şeklinde yazarsak çözümdeki

h h h iEt/ Et/ /

iEt _e r _e i

e = − olur ki bu t→∞ için sonsuza gider, bu da dalga fonksiyonu olarak kabul edilemez. Schrödinger denkleminin çözümleri fiziksel olarak kabul edilebilen dalga fonksiyonları olacaksa, bunların sağlamak zorunda olduğu bazı koşullar vardır. - Olasılık yorumuna göre parçacığın konumunu bir yerde diğerine süreksiz değişmez, aynı anda iki olasılığı olamaz ve bir yerde sonlu olasılıkla bulunabilir. Yani, Ψ

( )

x,t dalga fonksiyonu konum ve zamanın sürekli ve tek değerli bir fonksiyonu olmalıdır. Bu parçacığın herhangi bir nokta etrafında bulunma olasılığının belirlenmesini garanti eder. Eğer Ψ 2 çok değerli bir fonksiyon olsaydı veya süreksizlikler içerseydi bu olasılık iki veya daha fazla değer alabilirdi.

- Dalga fonksiyonunun büyüklüğünün karesinin bütün değerler üzerinden integrali sonlu olmalıdır.

∞ <

∫

Ψ 2dv (2.26) Bu koşul sağlanmazsa dalga fonksiyonu bire normalleştirilemez.

- Ψ₁ ve Ψ₂ gibi iki dalga fonksiyonunun farklı iki durumu temsil edilebilmesi için bunların lineer bağımsız olması gerekir.

Schrödinger denkleminin değişik tipte potansiyel için çözümü araştırılır. Değişkenlere ayırma metoduyla denklem tek boyutlu Schrödinger denklemine indirgenir, bu da problemin çözümünü kolaylaştırır. Biz yaptığımız çözümlerde, Schrödinger denkleminde m kütlesini ve h Planck sabitini 1 aldık.

2.6. Analitik Devam

1

D ve D₂ gibi iki bağlantılı bölgenin arakesiti, her iki bağlantılı bölgede ortak olan noktaların tümünden oluşan D₁D₂ bağlantılı bölgesidir. Eğer iki bağlantılı bölge kesişirse bu durumda, bölgelerin her birinde bulunan noktaların tamamı da yine bağlantılı bir bölge oluştururlar. Bu bağlantılı bölgeye D ile ₁ D nin bileşimi denir ve ₂

2 1 D

D + ile gösterilir. 1

D ve D₂ gibi iki kesişen bağlantılı bölge ve D üzerinde analitik olan bir ₁ f ₁ fonksiyonu verildiğinde, D üzerinde analitik olan ve ₂ D₁D₂ arakesitine ait olan noktaların her birinde f ’e eşit olan bir ₁ f ₂ fonksiyonu var olabilir. Eğer varsa bu zaman f ye, ₂ f ’in ₁ D bağlantılı bölgesi içindeki analitik devamı denir. ₂

2

f fonksiyonunun analitik devamı varsa tektir. Çünkü birden fazla fonksiyon 2

D içinde analitik olamaz ve D içindeki bağlantılı ₂ D₁D₂ bölgesine ait z noktalarının her birinde f₁

( )

z değerini alamaz. f ’in bağlantılı bir ₁ D bölgesinden ₁ D ’i kesen bir ₁

2

D bağlantılı bölgesi içine analitik devamı f₂ ise,

( )

( )

( )

   = için, ler z' içindeki nin D için ler z' içindeki in D z f z f z F 2 1 2 1

olmak üzere, F fonksiyonu D₁+D₂ birleşiminde analitiktir. f ve ₁ f fonksiyonlarına ₂ F ’nin öğeleri denir ve F de, ya f ’ in yada ₁ f₂’nin D₁+D₂ içine analitik devamıdır.

Örneğin,

( )

∑

∞ = = 0 n n 1 z z f (2.27) şeklinde tanımlanan f fonksiyonunu düşünelim. Buradaki kuvvet serisinin yakınsak ₁ olması için gerekli ve yeterli koşul z < olmasıdır. Bu, 1

(

1−z

)

−1 fonksiyonunun Maclaurin serisi açılımıdır; o halde

1 z < olduğunda

( )

z 1 1 z f₁ − = dir, ama z ≥ için 1 f tanımlı değildir. Şimdi ₁

( )

z 1 1 z F₁ − =

(

z≠1

)

(2.28)

fonksiyonu, z= noktası hariç, tanımlı ve analitiktir. Bu, 1 z = çemberinin içinde 1 1

f ’e özdeş olduğundan, z ≥ ve 1 z≠1 için her zaman o bölgenin dışında f ’in ₁ analitik devamını temsil eder. Bu f ’in birim çemberin ötesinde mümkün tek analitik ₁ devamıdır. Bu durumda f₁, (2.28) eşitliğiyle tanımlanan F fonksiyonunun bir öğesidir. Eğer biz,

∑

∞ =0 n n z

kuvvet serisinin yakınsak olduğunu, z < için z ’nin analitik bir fonksiyonunu 1 gösterdiğini ve z= in toplamının x

(

1−x

)

−1 olduğunu bilerek başlarsak, bu durumda

1

z < için serinin toplamının

(

1−z

)

−1 olduğu sonucuna varabiliriz, çünkü

(

1−z

)

−1 fonksiyonu,

(

1−x

)

−1 değerlerini x ekseninin çember içinde kalan parçası boyunca alan ve çember içinde analitik olan fonksiyondur.

Analitik devamın bir diğer açıklaması olarak,

( )

z e dt g 0 zt 1

∫

∞ − = (2.29)

fonksiyonunu düşünelim. −z−1e−zt integral altının bir belirsiz integrali olduğundan, 0 x> için

( )

z 1 e z 1 z g 0 t zt 1  =  − = ∞ = − _(2.30)

bulunur. O halde D ile gösterilen ₁ x> bağlantılı bölgesinde tanımlanır ve orada 0 analitiktir. g₂,

( )

∑

∞ =       + = 0 n n 2 i i z i z g

(

z+i <1

)

(2.31) geometrik serisiyle tanımlanmış olsun. Onun yakınsaklık çemberi olan, z=−i noktası dolayındaki birim çember içinde seri

z 1

ye yakınsar, yani z+i <1 bağlantılı bölgesine

2

( )

(

)

z 1 i i z 1 1 i z g₂ = + − = (2.32)

bulunur. O halde D₁D₂ arakesitinde g₂ = g₁ dir ve g₂ fonksiyonu g₁’in D₂ içine analitik devamıdır.

( )

z 1 z

G =

(

z≠0

)

fonksiyonu, z düzleminin başlangıç hariç, tüm noktalarından oluşan bağlantılı D bölgesi içinde hem ₃ g ’in ve hem de ₁ g ’nin analitik devamıdır. ₂ g ₁ ile g₂ fonksiyonları G ’nin öğeleridir.

Hipergeometrik fonksiyonlar için analitik devam bağıntıları genel durumda a -b -c a, -b , c

1− tamsayı olmaması halinde, aşağıdaki gibi verilebilir.

(

a,b;c;z

)

AF

(

a,b;a b c 1;1 z

)

A

(

1 z

)

F

(

c a,c b;c a b 1;1 z

)

F = ₁ + − + − + ₂ − c−a−b − − − − + −

(

1− z

)

<π arg

(

)

( )

(

)

( )

b

(

1

)

2 1 a 1 z Fa,1 c a;1 b a;z B z Fb,1 c b;1 a b;z B z ; c ; b , a F = − − − + − + − + − − − + − + −

( )

− z <π arg

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

b

(

(

)

1

)

2 1 a 11 z Fa,c b;a b 1;1 z B 1 z Fb,c a;b a 1;1 z B z ; c ; b , a F = − − − − + − − + − − − − + − −

(

1− z

)

<π arg

(

)

(

)

ac

(

)

cab

(

1

)

2 1 a 1z Fa,a 1 c;a b 1 c;1 z Az 1 z Fc a,1 a;c 1 a b;1 z A z ; c ; b , a F = − + − + + − − − + − − −− − − + − − − − argz <π 2 1 2 1,A ,B ,B

A katsayıları aşağıdaki gibi verilir.

( ) (

)

(

) (

)

( ) (

)

( ) ( )

a b c b a c A , b c a c b a c c A_{1 2} Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ + − = − − − − =

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

a c b

)

b a c B , a c b a b c B_{1 2} − − = − − = Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ

3. BÖLÜM

3.1. U(1,3) Grubuyla Bağlantılı Kuantum İntegrallenebilir Sistem

4 3 , 1

C 4 -boyutlu kompleks vektör uzayında bir z elemanı; z∈C₁4_,3

(

z0,z1,z2,z3

)

z= olarak alınır. Bu uzayda bilineer çarpım

[ ]

z,z =z0z0 −z1z1−z2z2−z3z3

şeklinde tanımlanır. Bu C₁4_,3 de H kompleks hiperboloidini tanımlar. _c3

Bir parçacıklı sistemlerde yüzeyde vektör halinde koordinatlar verilerek işlemler yapılır. Ancak iki veya daha çok parçacıklı halde bu geçerli olmaz. Boyutlar farklıdır. Vektörle verilmez. Matrislerle verilmelidir. Örneğin SU

( )

2,2 grubunda iki parçacık var, elemanlar ve işlemler matrislerle yapılır. Oysa U

( )

1,3 ve SO

( )

1,2 grubunda bir parçacık var. Bu yüzden U

( )

1,3 grubunun yüzeyinde koordinatlar verilerek; yani vektör olarak ifade edilerek işlemler yapılır.

[ ]

2

r z ,

z = hiperboloidinde pseudo-küresel koordinatlar

ν α ϕ cosh cosh re z i 0 0 = θ α ϕ cos sinh re z i 1 1 = θ α ϕ sin sinh re z i 2 2 = ν α ϕ sinh cosh re z i 3 3 = ;

(

ϕ α ν ϕ α θ ϕ α θ ϕ α ν

)

sinh cosh re , sin sinh re , cos sinh re , cosh cosh re z₌ i 0 i 1 i 2 i 3 3 , 2 , 1 , 0 i , 2 0 , 2 0 , , <∞ ≤ ≤ ≤ _i ≤ = < ∞ − α ν θ π ϕ π şeklinde verilir.

Yüzeyin kendisine ait bir iç geometrisi, yani metrik matrisi vardır. Eğrilik ve burulma yüzeyin dış geometrisinin invaryantlarıdır. Yüzeyimizin metrik matrisi;

( )

gij , i≠ için j gij = , 0

( )

gij =

[

z&i,z&j

]

, i,j=1,...,8

(

ϕ α ν ϕ α θ ϕ α θ ϕ α ν

)

sinh cosh e , sin sinh e , cos sinh e , cosh cosh e z i 0 i 1 i 2 i 3 r = &

(

ϕ α ν ϕ α θ ϕ α θ ϕ α ν

)

α re sinh cosh ,re cosh cos ,re cosh sin ,re sinh sinh

z_{& =} i 0 i 1 i 2 i 3

(

0, re sinh sin ,re sinh cos ,0

)

z iϕ1 α θ iϕ2 α θ

θ = −

&

(

ϕ α ν ϕ α ν

)

ν re cosh sinh ,0,0,re cosh cosh

z_{& =} i 0 i 3

(

rie cosh cosh ,0,0,0

)

z 0 0 i ν α ϕ ϕ = &

(

0,ire sinh cos ,0,0

)

z 1

1

iϕ _{α θ}

ϕ =

&

(

0,0,ire sinh sin ,0

)

z 2 2 iϕ _{α θ} ϕ = &

(

ϕ α ν

)

ϕ 0,0,0,ire cosh sh z 3 3 i = &

[

z ,z

]

1

g₁₁ = &_r &_r = , g₂₂ =

[

z&α,z&α

]

=−r2 ,

[

_{θ θ}

]

2 2α 33 z ,z r sinh g = & & =− ,

[

_{ν ν}

]

2 2α 44 z ,z r cosh g = & & =− ,

[

_{ϕ ϕ}

]

2 2α 2ν 55 z ,z r cosh cosh g 0 0 = = & & ,

[

_{ϕ ϕ}

]

2 2α 2θ 66 z ,z r sinh cos g 1 1 =− = & & ,

[

_{ϕ ϕ}

]

2 2α 2θ 77 z ,z r sinh sin g 2 2 =− = & & ,

[

_{ϕ ϕ}

]

2 2α 2ν 88 z ,z r cosh sinh g 3 3 =− = & &                           − − − − − − = ν α θ α θ α ν α α α 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sinh cosh r 0 0 0 0 0 0 0 0 sin sinh r 0 0 0 0 0 0 0 0 cos sinh r 0 0 0 0 0 0 0 0 cosh cosh r 0 0 0 0 0 0 0 0 cosh r 0 0 0 0 0 0 0 0 sinh r 0 0 0 0 0 0 0 0 r 0 0 0 0 0 0 0 0 1 g veya

( )

gij = diag

(

1,−r2,−r2 sinh 2α ,−r2 cosh 2α ,r2 cosh 2α cosh 2ν ,

)

ν α θ α θ α 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sinh cosh r , sin sinh r , cos sinh r − − − şeklinde verilir.

( )

14 6α 6α 2ν 2ν 2θ 2θ

ij r sinh cosh cosh sinh cos sin g det g = = Laplace-Beltrami operatörü,       ∂ ∂ ∂ ∂ = ab _b a x g g x g 1 ∆ a,b=1,...,8;