T.C. BAND , SAYI VE Emrullah KIRKLAR Matematik -2019 KONYA
iv Emrullah KIRKLAR Matematik 2019, 71 Sayfa D . Bu kav graf de tridiagonal k-determinant -k-tridiagonal matrisler cinsinden bu a
Anahtar Kelimeler: determinant; enerji; hafnian; Hessenberg matris; k-tridiagonal matris;
v
ABSTRACT
Ph.D THESIS
SOME SPECIAL BAND MATRICES, NUMBER SEQUENCES AND THEIR PROPERTIES
Emrullah KIRKLAR
THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF VERSITY
THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY IN MATHEMATICS
Advisor:
Co-Advisor: Assoc. Prof. Dr. Fatih YILMAZ 2019, 71 Pages
Jury
KCI D
Matrix concept is intensively used a many area in science. This concept has also a great importance in almost every field of mathematics such as graph theory, number theory, differential equations.
The thesis contains six main sections.
In the first section, basic and fundamental definitions and properties relating numbers, number sequences, matrix algebra and graph theory and then, informations about the references in the thesis are given.
In the second section, k-tridiagonal k-Toeplitz matrices are defined and then, some formulas for determinant, permanent and eigenvalues of this matrix family are obtained.
In the third section, lower k-Hessenberg Toeplitz matrices are defined and an algorithm for determinants and inverses of this matrices are obtained.
In the fourth section, generalized balancing and Lucas-balancing number sequences are defined and then, some identities for these number sequences are obtained. Also, it is shown that determinants and permanents of some k-tridiagonal matrices is the powers of these numbers.
In the fifth section, a new graph family are introduced and then, the eigenvalues of the adjacency and the Laplacian matrix of this graph family are obtained. Moreover, it is shown that the perfect matching number of this graph family equals to special second order recurrence by hafnian method. For some special kinds of this family, it is obtained that the perfect matching number of corresponding graphs equals to some famous number sequences. Also, identities for energies and upper bounds for Laplacian energies of these special graphs are obtained.
The final section discusses the results obtained in the thesis with suggestions.
Keywords: determinant; energy; hafnian; Hessenberg matrix; k-tridiagonal matrix; Laplacian energy; perfect matching; permanent.
vi Band Matrisler Dilek MADEN Prof. Dr. ve Cihan ve Nurullah da Emrullah KIRKLAR KONYA-2019
vii ... iv ABSTRACT ...v ... vi ... vii ... ix ...x ...1 1.1. ...1 1.2. ...3 1.3. ...6 1.4. ...8 2. ... 14 ... 18 3. ALT ... 21 ... 25 AS-- ... 27 - ... 27 4.2 Balancing Q-Matrisler ... 41 4.3 Balancing ve Lucas- ... 43 5. B .. 44 ... 44 ... 50 ... 57
viii
... 57
neriler ... 57
KAYNAKLAR ... 58
ix MALAR Simgeler : Tam : : : : : : Birim matris : matrisinin transpozu : matrisinin tersi : : matrisinin permanenti : : Direkt toplam mu
: Herhangi bir graf : : : : : : : ian matrisi : : n enerisi
x
...44
... 50
, , ; , , . sayma sistemleri,
olan Fibonacci dizisi, 13. y i Leonardo
balancing ve
Lucas-onlarla ilgili
sahip
ve bu Graf teori, genel olarak;
i
1.1.
olsun. fonksiyonu, her ,
fonksiyonuna, dizi denir.
(Koshy, 2001) , ve
n n
F dizisine; Fibonacci dizisi denir.
.3 (Horadam, 1994) , ve
,
dizisine; Pell dizisi denir.
.4 (Cerin, 2007) , ve
,
dizisine; Jacobsthal dizisi denir.
.5 (Ray, 2015) , , ve olmak
,
ve
ve dizilerine, ; balancing ve
Lucas-balancing dizisi denir.
ve 3 8, yazarlar bu
balancing ve
Lucas-,
serisine, dizisinin denir. 1.2. T bir cisim ve matris denir. Bu tez boyunca, 2 matrisine denir. 3
matrise birim matris denir ve
4 matrisinin
elde edilen tipindeki matrise, matrisinin transpozu denir ve
5 reel matrisi oluyorsa; matrisine simetrik
matris denir.
herhangi matris ve ;
matrisi varsa; bu matrisine, matrisinin tersi denir ve
Birim matrisin s
veya ;
dir.
bantlarda olan kare matrislere band matris denir. matrisinin
1.2.10 matrisinin
matris ve ise mertebeli birim matris olsun. O halde polinomuna; matrisinin karakteristik
polinomu, denklemine; matrisinin karakteristik denklemi ve bu
denkl ; matrisinin denir.
ve
matrisi varsa; ve matrislerine,
benzer matrislerdir denir. ve benzer matrisler ise; bu matrislerin determinant
ve ,
(Behmaram ve Friedland, 2013) T ti j, n kare matrisi
O halde matrisinin hafnian
matrisi, matrisinin ve
matrisinin n,
;
(Horn ve Johnson, 1985)
Hessenberg matris denir.
(da Fonseca ve ark., 2015)
Hessenberg matris tridiagonal matris denir.
(Sogabe ve El-Mikkawy, 2011) matrisi
k-tridiagonal matris denir. atrise
tridiagonal matris olur.
(Ye ve Lim, 2015) bir matris olsun. O halde
Toeplitz matris
matrislerdir.
(Kilic ve Tasci, 2007) matrisi, olacak
matrisi matrisine matrisinin
(coverter) matrisi, matrisine ise (convertible) matris
denir.
Lemma 1.2.1 (Brualdi ve Gibson, 1977) e yazarlar, matrislerin permanentlerini
(contraction)
k.
ise matrisine denir.
matrisi, k. ve
halde matrisi, matrisinde i.
j. k. denir. matrisi 1.3. (Harary, 1969) noktalar graf denir. 2 (Harary, 1969) oluyorsa ve denir ve (Harary, 1969) Bir
fazla kenara , bir nokta ilmek
(loop)
pseudo graf (sahte graf) denir.
(Harary, 1969) Bir
rmeyen grafa basit graf denir.
(Harary, 1969) olan bir graf olsun. ve
(connected)
denir.
(Bondy ve Murty, 1976) herhangi bir
derecesi denir ve
(Ruohonen, 2013) olan bir graf olsun.
matrisine denir.
(Gutman ve Zhou, 2006) matrisi, uk
matrisi ve
enerjisi
(Grone ve Merris, 1994) Bir derecesi
derece matrisi denir.
(Merris, 1994) bir graf olsun. ve
matrisine
Laplacian matrisi denir.
(Gutman ve Zhou, 2006) , ve olan bir
graf ve Laplacian matrisi olsun.
Laplacian enerjisi
(Harary, 1969)
, nin denir.
(Kral' ve ark., 2009)
derecesi olarak geren alt graflara denir.
1.4. (Behera ve Panda, 1999) ( ) Daha sonra, ir art ya da in . Lucas--balancing (Ray, 2012). (Panda, 2006 -olan cobalancing ve
Lucas-dizisinin geneli olan ge ve
ve
ve ;
de
Fibonacci dizisinin geneli olan
dizisi, ve
ve , ve olmak
;
(Yayenie, 2011).
dizisinin geneli olan dizisi,
0 1 d U d ve ve ve olmak
(Bilgici, 2014).
(da Fonseca ve ark., 2015) ve
olan
alt
-. Daha sonra, ve
belirlen dizisinin, -Fibonacci, Fibonacci- ve Pell
dizil .
(Sogabe ve El-Mikkawy, 2011)
ve ise nin ,
olan matrisler olsun. O halde
Daha sonra - matrisleri mertebeli re; ( ) 0 1 1 T k n k
P T P T
T
T
ve bu-(Asci ve ark., 2012) LU kullan arak -tridiagonal matrislerin determi
(El-Mikkawy, 2003)
e
(Kilic ve Tasci, 2007) nen tridiagonal
e .
(Kilic ve Tasci, 2010) arak bu matrislerin
permanentlerinin
(Yalciner, 2011) k- LU bu
(da Fonseca, 2014) ikinci tip , ve ; ikinci tip (Kulkarni ve ark., 1999) n n n a b T c a
indeki tridiagonal Toeplitz kullan arak,
(Yueh, 2005)
ve
(Behmaram ve Friedland, 2013)
sonra elde edilen bu
(Bruhn ve ark., 2016)
1-(Zhang ve Zhang, 2001)
2.
tridiagonal Toeplitz matrislerin determinant ve
Alabama Journal of Mathematics
dergide (Kirklar ve Yilmaz, 2015) (Sogabe ve El-Mikkawy, 2011)
ve ise
olan matrisler olsun. O halde
- matrisleri mertebeli
-tr
(Brualdi ve Ryser, 1991)
(2.1)
(2.2)
-tridiagonal -Toeplitz matrisler
(Sogabe ve El-Mikkawy, 2011) 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k k k k k k k T k n k k k k k k k k a b c a b c a a b c a P T P b c a a b c a b c a matrisleri trid
olur. (Zhang, 1999) ve ve (2.3) matrisinin dete , . Teorem 2.1 ve ; dizisi , dir. olur.
(Kulkarni ve ark., 1999) tridiagonal Toeplitz matrisin 2 cos , 1, 2, , 1 k k a bc k n n
olarak elde edil tir.
Teorem 2.2 ve
olup, her bir
matrisinin d ve
olarak elde edilir.
(El-Mikkawy, 2003) ve , i bu dizi il (Kilic ve Tasci, 2007) , ve ; p, 2. matrisinin perman ir. (Brualdi ve Gibson, 1977) an .
elde edilir.
olur. olur ki istenen
Teorem 2.3 ve ; , dir. (2.1) ve (2.2 ve olur ki istenendir. 2.1. , mertebeli m
dir. O halde olur ve elde edilir. ve (3) 8(3) ( )0 ( )1 ( )2 840
per T per T per T per T
2
T matrisini ;
ve
ve
3. ALT HESSENB
(da Fonseca ve ark., 2015) Hessenberg
matris ailesinin alt ailesi olan alt ve bu matris ailesinin determinant
Utilitas Mathematica (Kirklar
ve Yilmaz, 2017)
alt Hessenberg Toeplitz matrisi,
(3.1) (3.2) (3.3) ve (3.4) matrisi (3.5) ve
(3.6)
i teorem ve lemmalar elde edilir.
Teorem 3.1 ve halde dur. , rilmelidir. olur. ve bulunur. , olup,
veya elde edilir.
.
Teorem 3.2 ve ;
dir.
ve
Lemma 3.1 matris matrisi (3.7) dir. olsun. olur. durumunda, dir. ( ) ve ( olur. ( n, , , ' , , ' , , 1 ' 1, , ', 0 i i j i x x j i j j j i j j j i i i j x j p l l l l l l l l Bu ise istenendir. Lemma 3.2 m matrisi dir.
matrisi olsun. olur. durumunda, dir. , kullan ara elde edilir.
Teorem 2.3: alt -Hessenberg Toeplitz matrisi (3.1
dir.
dir. olur. olur. 3.1. matrisi, (3) (3) 5 5 2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 ( 2, 1,3) 0 0 2 1 0 3 0 0 2 1 0 3 0 0 2 H H n ve matrisleri ; , olur. olup,
,
4.
-de, balancing ve Lucas- in geneli olan iki
elde edilen Binet
-tridiagonal matrisler
diziler .
; , ARS Combinatoria (Yilmaz ve
Kirklar, 2015)
4.1
-1.1 (Yayenie, 2011) ve olmak
;
eklinde iki periyotlu cci dizisi denir.
(Yayenie, 2011)
, ve
dizisi
isine gen denir. a, bu dizi (Ray, 2015) de , (Yayenie, 2011) ; ve
olarak elde edilir. ve
, (4.1) olur. 1.3 B ve ; isine -dizisi denir.
r ki, a, bu dizi (Ray, 2015)
-,
dir. O hal lir.
Teorem 4.1.1
dir.
olup, ve olsun. O halde
ve
olup,
;
bulunur. olup, bu da istenendir.
Teorem 4.1.2 ve ; ( ) 1 2 2 n n n n n a c ab dir.
(Bilgici, 2014) ve ile
ve
olup,
olur, ki bu da istenendir.
Teorem 4.1.3 ve ile ; balancing ve
- n. a) , b) dir. olur. ve bulunu lir. Teorem 4.1.4 , a) , b) ,
c) olur. Teorem 4.1.5 dir. 1 2 2 0 0 0 1 1 1 1 n mk n mk mk mk mk mk k k mk mk mn m mn m n m m k a ab b a a ab b a a
olup, 1.1 , . Teorem 4.1.6 , . ; Dolay olup,
olur.
olur,
Teorem 4.1.7 in
.
Teorem 4.1.8 a) , b) , c) dir. ; ve
olup, Teorem 4.1.9 , a) , b) 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 4 m k m m k k m k b c c a a . a) ; dir. O halde olup, olur ki;
b) ;
dir. O halde
olup,
olur ki; bu da istenendir.
Teorem 4.1.10 ,
.
,
ve nin incelensin. Durum 1. ve
olur.
Durum 2. ve nin her ikisi de tek olsun. O halde
olur. Durum 3. ve olur. Teorem 4.1.11 , a) , b) , c) , d) .
Teorem 4.1.12
ve
kare mertebeli tridiagonal matrisler ol ve
; -; ve olur. , ve olup; , , , iz. Dolay ; ; ve
elde edilir. , det k 1 b , k ve det k 1 ck 1 olup, , ; bu da, her ve ; ve kare matrisleri ; (4.2) ve ir. Teorem 4.1.13 , ve O halde ve . (Sogabe ve El-Mikkawy, 2011) ve
ve matrisleri, verilen ve
, ;
ve
olur ki; bu da, istenendir.
ve ; , ve kare matrisleri ; (4.4) (4.5) ve (4.6) ir.
Teorem 4.1.14 n , ve kare matrisleri, ; (4.4) ve
(4.5
dir.
matrisi ve
ve
ve
ve
elde edilir. O halde Teorem 4.1. n
ve olur ki istenendir. Lucas- zilerinde balancing ve Lucas-4.2 Balancing Q-Matrisler
(Ray, 2013) balancing Q-matrisi
(4.7) Teorem 4.2.1: dir. ve ve olup, her
4.3 Balancing ve
Lucas-, ikinci ti , ve
(Mason ve Handscomb, 2003). (da Fonseca ve Petronilho,
2001) , ikinci ti
(4.8)
olarak elde matrisinde; ve
,
olup, bu ailesi
nin ve Laplacia
;
ilesinin n
AKCE International Journal of Graphs and
Combinatorics (Kirklar ve ark., 2019)
5.1 ve multigraf M ve k , kare mertebeli ; (5.1) , (5.2)
Teorem 5.1.1 (Marcus, 1960) ve kare mertebeli reel matrisler ve matrisi ise;
ve
Lemma 5.1.1 ; blok matrisi,
(5.3) O halde; (5.4) . Lemma 5.1.2 ve ; ; (5.5)
ve matrisi de, (5.2 ve matrisleri benzer
matrislerdir.
ve Rn1, ; , ve matrisleri de; (5.2) ve
(5.5 lsun. O halde olup, ve
matrislerinin
.1 , matrisi
ve
dir.
Teorem 5.1. ve
halde; ve matrisleri, tridiagonal Toeplitz matrisler olup; (Kulkarni ve ark., 1999) u matrisleri
ve
olur.
Lemma 5.1.3 ve matrisleri, ; n derece ve
matrisi ise; n matrisi olsun. O halde
matrisinin ; , ve ;
;
ve
,
; derece matrisi,
olur. O halde; matrisi, re; Laplacian
matrisi, matrisi, matrisi de
olur. O halde ve matrisleri, la;
. Dolay , Teorem 5.1. ve nin
zamanda ; (Yueh,
2005) ve ;
2 2 2 2
sin 1 2 sin sin 1 0
c b n c b n b c n
;
ve
olur ki; bu da, istenendir.
Teorem 5.1.2 G
matrisi olsun. O halde; ve olan
(5.6)
, dir. Yani, bu
,
olup, dir. Her , . O halde;
O halde; mertebeli matrisi, 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 t b a c b c a b c b c a A G a c b c a b c b c a b
ve matrisleri ve , mertebeli matrisleri
,
;
ve ve ;
matrisleri elde edilir. O halde ve olup,
ve
olur ki; bu da,
dizisinin
5.2
Durum 5.2.1 ve bu graf ailesi,
1. Fibonacci ; 5.1.1 ve Lemma 5.1. ve ; , , ve ve ve
olur. ve , , , olup; bulunur. , olarak; olur. ve , ve de, el
olup, , olarak;
elde edilir.
ki; tane
kenara sahiptir. O halde; n enerjisi,
olur. , ; ,
Durum 5.2.2 ve bu graf ailesi, 1. Pell , ; 1.1 ve Lemma 5.1. ve ; , ; , ve ve , ve
olur. Dolay silindir tipi graf ailesinin enerjsi,
bulunur.
; silindir tipi
olur. , olup, olur. , olup, bulunur. her , olur ki,
Durum 5.2.3 bu graf ailesi, Jacobsthal , ; 1.1 ve Lemma 5.1. ve ; , olmak , ile ve , ile ,
olur. Dolay graf ailesinin enerjsi,
olur. ve , olup; ,
, olup; elde edilir. ak;
bulunu ; , ve ;
olarak elde edilir.
; tane
kenara sahiptir. O halde; n enerjisi,
bulunur. , n ene , 2 2 2 1 1 1 1 1 8 4 4 4 2 1 1 4 cos 8 2 1 8 cos 16 2 2
2 8 4 sin cot cos
2 k k k k k i i i i i i i LE G k k k k k k k k k k k k k olur ki; ,
6
6
Bu tezde genel olarak matrisler ai
Lucas-; t ailelerinin enerji ve Laplacia 6.2 Y
KAYNAKLAR
Asci, M., Tasci, D. ve El-Mikkawy, M., 2012, On Determinants and Permanents of k-Tridiagonal Toeplitz Matrices, Utilitas Mathematica, 89, 97-106.
Behmaram, A. ve Friedland, S., 2013, Upper bounds for perfect matchings in Pfaffian and planar graphs, Electronic Journal of Combinatorics, 20 (1).
Bilgici, G., 2014, Two generalizations of Lucas sequence, Applied Mathematics and
Computation, 245, 526-538.
Bondy, J. A. ve Murty, U. S. R., 1976, Graph Theory with Applications, North-Holland, Brualdi, R. A. ve Gibson, P. M., 1977, Convex poyhedra of doubly stochastic matrices
I: applications of the permanent function, J. Combin. Theory A, 22, 194-230. Brualdi, R. A. ve Ryser, H. J., 1991, Combinatorial Matrix Theory, Cambridge
University Press, CUP, p.
Graphs, Journal of Graph Theory, 84 (2), 146-157.
Catarino, P., Campos, H. ve Vasco, P., 2015, On Some Identities for Balancing and Cobalancing Numbers, Annales Mathematicae et Informaticae, 45, 11-24. Cerin, Z., 2007, Sums of Squares and Products of Jacobsthal Numbers, Journal of
Integer Sequences, 10 (Article 07.2.5), 1-15.
da Fonseca, C. M. ve Petronilho, J., 2001, Explicit inverses of some tridiagonal matrices, Linear Algebra and Its Applications, 325 (1-3), 7-21.
da Fonseca, C. M., 2014, Unifying some Pell and Fibonacci identities, Applied
Mathematics and Computation, 236, 41-42.
-Hessenberg matrices and k-Fibonacci, Fibonacci-p, Pell (p;i) numbers, Gen. Math. Notes, 31 (1).
Edson, M. ve Yayenie, O., 2009, A new generalization of Fibonacci sequence and extended Binet's formula, Integer Electron. J. Comb. Number Theory, 9 (3), 639-654.
El-Mikkawy, M., 2003, A note on a three-term recurrence for a tridiagonal matrix,
Applied Mathematics and Computation, 139 (2-3), 503-511.
Grone, R. ve Merris, R., 1994, The Laplacian Spectrum of a Graph .2., Siam Journal on
Discrete Mathematics, 7 (2), 221-229.
Gutman, I. ve Zhou, B., 2006, Laplacian energy of a graph, Linear Algebra and Its
Applications, 414 (1), 29-37.
Harary, F., 1969, Graph Theory, Addison-Wesley, p.
Horadam, A. F., 1994, Maximal Representations of Positive Integers by Pell Numbers,
Fibonacci Quarterly, 32 (3), 240-244.
Horn, R. A. ve Johnson, C. R., 1985, Matrix Analysis, Cambridge University Press, p. Kilic, E. ve Tasci, D., 2007, On the permanents of some tridiagonal matrices with
applications to the Fibonacci and Lucas numbers, Rocky Mountain Journal of
Mathematics, 37 (6), 1953-1969.
Kilic, E. ve Tasci, D., 2010, Negatively Subscripted Fibonacci and Lucas Numbers and Their Complex Factorizations, Ars Combinatoria, 96, 275-288.
Kirklar, E., Maden, A. D., Yilmaz, F., 2019, Some Results on One Type of Graph Family with Some Special Number Sequences, AKCE International Journal of
Graphs and Combinatorics, Accepted.
Kirklar, E. ve Yilmaz, F., 2015, A Note on k-Tridiagonal k-Toeplitz Matrices, Alabama
Kirklar, E. ve Yilmaz, F., 2017, On properties of lower k-Hessenberg Toeplitz matrices,
Utilitas Mathematica, 102, 343-348.
Koshy, T., 2001, Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, Wiley-Interscience, p.
Kral', D., Sereni, J. S. ve Stiebitz, M., 2009, A New Lower Bound on the Number of Perfect Matchings in Cubic Graphs, Siam Journal on Discrete Mathematics, 23 (3), 1465-1483.
Kulkarni, D., Schmidt, D. ve Tsui, S. K., 1999, Eigenvalues of tridiagonal pseudo-Toeplitz matrices, Linear Algebra and Its Applications, 297 (1-3), 63-80.
Marcus, M., 1960, Basic Theorems in Matrix Theory, Washington : U.S. Govt. Print. Off., p.
Mason, J. C. ve Handscomb, D. C., 2003, Chebyshev Polynomials, Chapman and Hall/CRC, p.
Merris, R., 1994, Laplacian Matrices of Graphs - a Survey, Linear Algebra and Its
Applications, 198, 143-176.
Panda, G. K., 2006, Some Fascinating Properties of Balancing Numbers, Fibonacci
Numbers and Their Applications, 10, 1-7.
Ray, P. K., 2012, Certain Matrices Associated with Balancing and Lucas Balancing Numbers, Matematika, 28 (1), 15-22.
Ray, P. K., 2013, Factorizations of the Negatively Subscripted Balancing and Lucas-Balancing Numbers, Bol. Soc. Par. Math., 31 (2), 161-173.
Ray, P. K., 2015, Balancing and Lucas-balancing sums by matrix methods, Math.
Reports, 17 (67), 225-233.
Ruohonen, K., 2013, Graph Theory, Tampere University of Technology, p.
Sogabe, T. ve El-Mikkawy, M., 2011, Fast block diagonalization of k-tridiagonal matrices, Applied Mathematics and Computation, 218 (6), 2740-2743.
Ankara
Yalciner, A., 2011, The LU factorizations and determinants of k-tridiagonal matrices,
Asian-European Journal of Mathematics, 4 (1), 187-197.
Yayenie, O., 2011, A note on generalized Fibonacci sequences, Applied Mathematics
and Computation, 217 (12), 5603-5611.
Ye, K. ve Lim, L. H., 2015, Every Matrix is a Product of Toeplitz Matrices, Found
Comput. Math., 16, 577-598.
Yilmaz, F. ve Kirklar, E., 2015, A note on k-tridiagonal matrices with the balancing and Lucas-balancing numbers, Ars Combinatoria, 120, 283-291.
Yueh, W. C., 2005, Eigenvalues of several tridiagonal matrices, Applied Mathematics
E-Notes, 5, 66-74.
Zhang, F., 1999, Matrix Theory-Basic Results and Thecniques, Springer, p.
Zhang, H. P. ve Zhang, F. J., 2001, New lower bound on the number of perfect matchings in fullerene graphs, Journal of Mathematical Chemistry, 30 (3), 343-347.
: Emrullah KIRKLAR : T.C. : Ahlat-1990 Telefon : 0 544 304 38 17 Faks : - e-mail : emrullah.kirklar@gmail.com Derece Lise : is 2006 : 2011 : 2013 Doktora : - Kurum 2014-2018 2018-2019 UZMANLIK ALANI YAYINLAR
Kirklar, E., Maden, A. D., Yilmaz, F., 2019, Some Results on One Type of Graph
Family with Some Special Number Sequences, AKCE International Journal of
Graphs and Combinatorics,
Kirklar, E., Yilmaz, F., 2019, A General Formula for Determinants and Inverses of
circulant Matrices with Third Order Recurrences, Mathematical Sciences
and Applications E-Notes, 7 (1) 1-8.
Kirklar, E., Yilmaz, F., 2017, On Properties of Lower Hessenberg Toeplitz Matrices, Utilitas Mathematica, 102 (343-348). (Doktora tezinden
Yilmaz, F., Sogabe, T., , 2017, On the Pfaffians and Determinants of Some Skew-Centrosymmetric Matrices, Journal of Integer Sequences, 20 (1-9).
Yilmaz, F., , 2015, A Note on k-Tridiagonal Matrices with Balancing and Lucas-Balancing Numbers, ARS Combinatoria, 120 (283-291). (Doktora
Kirklar, E., Yilmaz, F., 2015, A Note on Tridiagonal Toeplitz Matrices,
Alabama Journal of Mathematics, 39.
Kirklar, E., Yilmaz, F., 2015, On the Determinants of Some Kinds of Circulant-Type
Matrices with Generalized Number Sequences, Special Matrices, 3 (235-243).
Ulusal ve
Kirklar, E., Maden, A. D., 2018, On One Type of Graph Family with Some Special
Number Sequences, International Conference on Mathematical Studies and Applications (ICMSA-2018), October 4-6, Karaman- TURKEY.
On One Type of Ladder graphs and the Pell Numbers, International Conference on Mathematics and Mathematics Education
(ICMME-2017), May 11- -TURKEY.
-Symmetric Matrices: Pfaffian, Determinant and Eigenvalue, 1st International Academic Research Congress (INESCONGRESS-2016), November 3-5, Antalya-TURKEY.
Their Properties, 1st International Academic Research Congress (INESCONGRESS-2016), November 3-5, Antalya-TURKEY.
Hessenberg Toeplitz Matrices, International Conference on Applied Mathematics and Analysis in Memory of Prof. Gusein Sh. Guseinov (ICAMA-2016), July 11-13, Ankara-TURKEY.
-Balancing Numbers and Tridiagonal Matrices, Karatekin Mathematics Days (KMD-2014), June
11--TURKEY.
Tridiagonal
