Trigonometrik denklem sistemlerinin grafik metodu ile çözümü

SELÇUK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

TRĐGONOMETRĐK DENKLEM SĐSTEMLERĐNĐN GRAFĐK METODU ĐLE ÇÖZÜMÜ

Hüseyin ÇALIŞKAN YÜKSEK LĐSANS TEZĐ ĐLKÖĞRETĐM ANABĐLĐM DALI

MATEMATĐK ÖĞRETMENLĐĞĐ BĐLĐM DALI

SELÇUK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

TRĐGONOMETRĐK DENKLEM SĐSTEMLERĐNĐN GRAFĐK METODU ĐLE ÇÖZÜMÜ

Hüseyin ÇALIŞKAN

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ ĐLKÖĞRETĐM ANABĐLĐM DALI

MATEMATĐK ÖĞRETMENLĐĞĐ BĐLĐM DALI

Bu tez 02/10/2009 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği / oy çokluğu ile kabul edilmiştir.

Yard. Doç. Dr. Ahmet DOĞAN Doç. Dr. Süleyman SOLAK (Danışman) (Üye)

Doç. Dr. Cengiz ÇINAR (Üye)

iii

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ

TRĐGONOMETRĐK DENKLEM SĐSTEMLERĐNĐN GRAFĐK METODU ĐLE ÇÖZÜMÜ

HÜSEYĐN ÇALIŞKAN Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Đlköğretim Anabilim Dalı Matematik Öğretmenliği Bilim Dalı Danışman: Yard. Doç. Dr. Ahmet DOĞAN

2009, 65+ ix sayfa Jüri: Doç. Dr. Cengiz ÇINAR Doç. Dr. Süleyman SOLAK

Yard. Doç. Dr. Ahmet DOĞAN

Bu araştırmanın amacı lineer trigonometrik denklem sistemlerinin grafik metodu ile çözümlerinin incelenmesi ile trigonometrik denklem sistemlerinin çözümlerine farklı bir bakış açısı getirmek ve matematik dünyasına katkı sağlamaktır.

Araştırmada öncelikle trigonometrik denklemler ve trigonometrik denklemlerin bazı çözüm metotları üzerinde durulmuş, daha sonra ise trigonometrik denklem sistemlerinin geleneksel yöntemlerle çözümleri ve “Grafik Metodu” ile çözümleri incelenmiştir.

Literatür taramasında elde edilen bilgiler ışığında genelde öğrenciler için zor ve karmaşık olan trigonometri dersinin trigonometrik denklemler ve trigonometrik

iv çalışılmıştır.

Sonuç olarak grafik metodu ile çözümün, hem görselliği hem de yorumu öngördüğünden, öğrenmeyi kolaylaştırma açısından önemli olduğu ve trigonometri problemlerini daha anlaşılır kılması sebebiyle öğrencilere trigonometrik denklemlerin çözümlerinde kolaylık getirebileceği düşünülmektedir.

Anahtar Kelimeler: Trigonometrik denklem sistemleri, trigonometrik denklemler, grafik metodu, trigonometri öğretimi, lineer denklem.

v MSc. Thesis

THE SOLUTION OF TRIGONOMETRIC EQUATION SYSTEMS BY GRAPHIC METHOD

Hüseyin ÇALIŞKAN Selçuk University

Graduate School of Natural Applied Science Department of Elementary

Mathematics Education Discipline Supervisor: Assist. Prof. Dr. Ahmet DOĞAN

2009, 65+ ix page

Jury: Assoc. Prof. Dr. Cengiz ÇINAR Assoc. Prof. Dr. Süleyman SOLAK

Assist. Prof. Dr. Ahmet DOĞAN

The aims of this research are to bring different perspective to the solutions of the linear trigonometrik equation systems and to contribute to the world of mathematics by examining the solutions of the trigonometric equation systems by the graphic method.

In this research, primarily, the trigonometric equations and some solution methods of trigonometric equations were focused on. Then the solutions of trigonometric equation systems with the traditional method and “Graphic Method” were examined.

In the light of the information obtained in literature searching , with the graphic method, the topics of trigonometric equations and trigonomtric equation systems of

vi have been tried to bring visualize and difference.

As a result, because of the keeping in mind visualize and interpretation, the solution with the graphic method is thought important in facilitating learning and could bring convenience in the solutions of trigonometric equations to the students by making trigonometry problems more understandable.

Keywords: Trigonometric equation systems, trigonometric equations, graphic method, teaching trigonometry, linear equation.

vii

Eldeki rapor dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde trigonometrinin tarihçesi, trigonometri öğretimi konularına değinilmiş, araştırmanın amacı ve önemi ortaya konmuştur. Đkinci bölümde trigonometrik denklemler hakkında bilgi verilmiş olup üçüncü bölümde ise trigonometrik denklemlerin literatürde yer alan bazı çözüm yöntemleri incelenmiştir. Dördüncü bölümde bilinen bazı trigonometrik denklem sistemlerinin çözümü incelenmiştir. Beşinci bölümde Grafik Metodu ile trigonometrik denklemlerin ve trigonometrik denklem sistemlerinin çözümü verilmiştir. Altıncı bölümde elde edilen sonuçlar değerlendirilmiştir.

Bu çalışma bilinen metotların yanında lineer trigonometrik denklem sistemlerinin çözümünde Grafik Metodunun kullanılmasıyla konuya farklılık getirmek ve trigonometri öğretimini kolaylaştırmak için yapılmıştır. Bununla birlikte öğrencilerin trigonometri dersini anlaşılması güç buldukları göz önüne alındığında öğrenme süreçlerinde öğrencilerin algılamakta zorluk çektikleri konuların daha kolay algılayabildikleri bir konuyla eşleştirilmesi yoluyla öğrenmenin daha anlamlı olacağı öngörülmekte ve bu noktada da Grafik Metodunun somutlaştırılmış öğrenme ortamında trigonometri öğretimini kolaylaştırıcı etkisi olduğu düşünülmektedir.

Bu tezin hazırlanmasında bilgi ve deneyimlerini esirgemeyen hocam Sayın Yard. Doç. Dr. Ahmet DOĞAN’a şükranlarımı sunarım. Ayrıca bu süreçte çalışmalarımıza yardımcı olan hocam Sayın Doç. Dr. Süleyman SOLAK’a, Ülkü YAVUZGÜL’e, sevgili aileme ve katkılarından ötürü TUBĐTAK- Bilim Đnsanı Destekleme Daire Başkanlığı’na teşekkürü bir borç bilirim.

Hüseyin ÇALIŞKAN

Konya -2009

viii ÖZET...………..……….iii ABSTRACT……….v ÖNSÖZ…...………...vii ĐÇĐNDEKĐLER………..………..viii BÖLÜM Ι………1 1.1. Giriş………..1 1.2. Trigonometrinin Tarihçesi………...2 1.3. Trigonometri Öğretimi……….3 1.4. Araştırmanın Amacı………...4 1.5. Araştırmanın Önemi……….4 1.6. Kaynak Araştırması………..6 BÖLÜM ΙΙ……….. 8 2. TRĐGONOMETRĐK DENKLEMLER.………...………...8

2.1. Aynı Tür Trigonometrik Eşitliklerin Çözümü………..8

2.2. Basit Trigonometrik Denklemler………...……….10

2.3. Lineer Trigonometrik Denklemler………...11

2.4. Homojen Trigonometrik Denklemler………...….……….12

2.5. Klasik Tipe Dönüştürülebilen Trigonometrik Denklemler….………13

2.6. Simetrik Trigonometrik Denklemler……….………...14

BÖLÜM ΙΙΙ………16

3. TRĐGONOMETRĐK DENKLEMLERĐN BAZI ÇÖZÜM METOTLARI……….16

3.1. Basit Trigonometrik Denklemlerin Çözümleri……...………….………...16

3.2. Benzer Terimleri Gruplama Yoluyla Trigonometrik Denklem Çözümü..….18

3.3. Çarpanlarına Ayırma Yoluyla Trigonometrik Denklem Çözümü .……...…18

3.4. Özdeşlikleri Kullanarak Trigonometrik Denklem Çözümü …….….……….21

3.5. Denklemin Her Đki Tarafının Karesini Almak Suretiyle Trigonometrik Denklem Çözümü...…………....………...23

ix

3.7. Grafik Yoluyla Trigonometrik Denklemlerin Çözümü …..…..….……...25

3.8. Kuadratik Trigonometrik Denklemlerin Çözümü ..…....………...26

3.9. Homojen Trigonometrik Denklemlerin Çözümü…………..……….27

3.10. Klasik Trigonometrik Denklemlerin Çözümü………...28

3.11. Klasik Tipe Dönüştürülebilen Trigonometrik Denklemlerin Çözümü...28

3.12. Simetrik Trigonometrik Denklemlerin Çözümü.….…….…….…………....29

3.13. Aynı Açı Đçin Kurulmuş Trigonometrik Denklemlerin tan 2= x t Dönüşümü Yapılarak Çözümü……… ……….30

BÖLÜM ΙV………31

4. TRĐGONOMETRĐK DENKLEM SĐSTEMLERĐ……….. 31

4.1. Birinci Grup Đki Bilinmeyenli Trigonometrik Denklem Sistemleri…..…….31

4.2. Đkinci Grup Đki Bilinmeyenli Trigonometrik Denklem Sistemleri………...33

4.3. Üçüncü Grup Đki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri………..………33

4.4. Đki Bilinmeyen Açının Trigonometrik Oranları Arasında Kurulmuş Đki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri………...…….34

BÖLÜM V………..41

5. LĐNEER TRĐGONOMETRĐK DENKLEM SĐSTEMLERĐNĐN GRAFĐK METODU ĐLE ÇÖZÜMÜ………..……….41

5.1. Trigonometrik Denklemlerin Grafik Metoduyla Çözümü...………41

5.2. Trigonometrik Denklem Sistemlerinin Grafik Metoduyla Çözümü………..53

BÖLÜM VΙ………63

6. SONUÇ………...63

BÖLÜM Ι

1.1. Giriş

Günümüz teknolojisi insanların matematik bilgisi edinmelerini gerekli kılar hale gelmiştir. Ersoy’a göre (2003) matematik olmadan bilim ve teknolojiden, sosyo-ekonomik kalkınmadan, kaliteli üretimden ve kısaca gelişmişlikten bahsetmek yanıltıcı olur (Elmek 2007).

Bununla birlikte matematiğin üst düzeyde bilişsel etkinlik gerektiren bir bilim olması ve çokça soyut kavramlar içermesi, insanların kafalarında oluşturdukları matematiğin zor olduğuna dair kalıplaşmış inanışlar, öğretmenlerin kullanmış oldukları yanlış yöntem ve teknikler, sebep-sonuç ilişkilerini dikkate almayan ezberci öğrenme yaklaşımı gibi faktörler kişileri matematikten uzaklaştırmaktadır (Doğan 2001).

Bu olumsuz durumdan trigonometri de aynı şekilde etkilenmektedir. Örnek (2007) “Matematikte Öğrenme Güçlüklerinin Saptanması” isimli çalışmaya göre öğrencilerin zor olarak algıladıkları konuların altında yatan sebebin motivasyon eksikliği ve kavramların soyutluğu olduğunu belirtmiştir.

Trigonometriye karşı öğrencilerin geliştirmiş olduğu olumsuz tutum ve davranışlar trigonometrinin öğrenilmesini güçleştirmektedir. Bu olumsuz tutum ve davranışların geliştirildiği ilköğretim basamağında öğrencilerin trigonometri kavramlarını etkili bir şekilde öğrenmeleri bunun için de aktif olarak katılabilecekleri öğrenme ortamlarında bulunmaları, Nasıl? Niçin? sorularını sıkça sormaları, öğrenme malzemelerinin mümkün olduğunca somutlaştırılması , öğrencinin öğrenme malzemesini kendine özgü olarak yorumlayabilmesi, çıkarımlar yaparak genellemelere ulaşması gerekmektedir.

Geleneksel yaklaşımdan oluşturmacı öğrenme yaklaşımına geçildiği takdirde kavramlar arasında daha fazla ve güçlü bağların kurulduğu, ilişkilendirmelerin yapıldığı kalıcı öğrenmeler gerçekleşecektir (Aldağ 2005).

Trigonometri de soyut bir temele dayandığı için burada öğrenciler kolay algılayamadıkları bir çok soyut kavramla karşılaşmaktadırlar. Bu sebeple trigonometrinin de bütün matematik konuları gibi görselleştirilip somutlaştırılması

gerekmektedir. Bunun içindir ki trigonometrik denklem sistemlerinin çözümünde bilinen yöntemlerin yanında konuya görsellik kazandırarak konunun somutlaştırılmasını sağladığı ve öğrenmeyi kolaylaştıracağı düşünüldüğünden Grafik Metodu ile çözüm ele alınmıştır.

1.2. Trigonometrinin Tarihçesi

Oprukçu ve Gönülateş’in (2002) aktardığına göre “Trigonometri

Treis=three=üç, Gonia=angle=açı, Metron=measure=ölçüm anlamlarına

gelmektedir.”

Trigonometri Matematiğin bir alt dalı olarak gelişmiş ve üçgensel soruların çözümünde trigonometrik oranlar kullanılmıştır. Bu yüzden üçgensel açıların ölçümü olarak kelimeyi çevirmek daha doğru olacaktır (Oprukçu ve Gönülateş 2002).

Matematik tarihi ile ilgili bazı batılı kaynaklar Grek Matematikçisi

HĐPPARCHOS (M.Ö 160-125), bazı kaynaklar da Alman matematikçi Johan

MÜLLER tarafından trigonometriyle ilgili temel bilgilerin ortaya konduğunu ifade etmektedirler. Ancak yapılan araştırmalar trigonometrik kavramların bir kısmının eski Mısır ve Mezopotamya’da kullanıldığını ortaya koymuştur. 6., 7., 9., ve 12, yüzyıllarda Hint dünyasında trigonometri bilgilerini zenginleştiren çalışmalar yapılmıştır. 8. yüzyılda Türk-Đslam dünyasına intikal eden bu bilgiler 8.-16. yüzyıllar arasında Türk-Đslam matematikçileri tarafından geliştirilmiş ve yeni bilgiler ortaya konmuştur (Doğan 2001)

Eski Mısırlılar ve Babilliler trigonometrik fonksiyonlar hakkında bilgi sahibi değil iken günlük hayatlarında kullanmaktaydılar (Adamek, Penkalski ve Valentine 2005). Trigonometri için başlangıç ise M.Ö 1500 lerde Mısırlıların gün içindeki gölge boylarını hesaplamak için tasarladıkları gölge cetvellerini kullanmalarıdır (Örnek 2007).

Trigonometrinin Mısır ve Babillilerin kullanımından sonra Yunan matematikçiler Menelaus ve Đznikli Hipparchos dönemine kadar ki gelişimi pek açık bir şekilde bilinmemektedir. Hipparchos ise trigonometrik oranlar cetvelini ilk düzenleyen kişidir (Örnek 2007). Menelaus ve Hipparchos’un çalışmalarının

derlendiği Đskenderiyeli Batlamyus’un (Ptolemy) “Almagest” adlı eseri bulunmaktadır (Adamek, Penkalski ve Valentine 2005).

Medeniyetler arası etkileşimle gelişimini sürdüren trigonometrinin tam bir disiplin haline gelmesinde müslüman matematikçilerin rolü büyüktür (Örnek 2007). Banû, Mûsâ, el-Fergânî, Sâbit Bin Kurrâ gibi isimlerin trigonometrinin gelişmesinde büyük katkıları vardır. Ayrıca Kitâbu’z-Zîc adlı eseriyle ünlü El-Battâni, secant ve cosecant kavramlarını trigonometriye kazandıran Ebû’l Vefâ, Đbn-i Yunus, Bîrûnî, el-Buzcanî trigonometri üzerine çalışan önemli Türk-Đslam bilginleridir.

Batı’da trigonometrinin gelişimini ve yaygınlaşmasını Johan Müller sağlamıştır. 1533 yılında yayınladığı “Her Çeşit Üçgen Üzerine” isimli inceleme ve derleme kitabından sonra Avrupa’da trigonometri gelişmeye başlamıştır (Doğan 2001).

1.3. Trigonometri Öğretimi

Trigonometri öğrenciler arasında en çok zorlanılan konuların başında gelmektedir. Trigonometrik kavramlarının zorluğu üst düzey bilişsel etkinlik gerektirmesi ve soyut olmasındandır. Bilinmektedir ki daha somut olan ya da daha az soyut olan kavramlar daha kolay öğrenilmektedir (Doğan 2001). Dolayısıyla soyut olan kavramların, matematiksel ifadelerin, formüllerin grafiklerle desteklenerek, öğrencinin anlayacağı bir şekilde önceki bilgileriyle ilişkilendirip örgütleyerek somutlaştırılması gerekmektedir. Öğrenen ne kadar çok duyuyla öğrenme faaliyetinde bulunursa öğrenme o kadar kalıcı olmaktadır.

Doğan (2001) çalışmasında genel liselerdeki öğrencilerin trigonometri konularında hangi yanılgılara sahip olduğunu tespit etmiştir. Trigonometri dersine karşı yaygın olumsuz kanaatin oluşmasının ve başarısızlığın sebepleri olarak ta ezberciliğe dayalı ve öğrenci merkezli olmayan, genelde düz anlatım metodunun kullanıldığı geleneksel trigonometri öğretimini göstermektedir. Bütün derslerin de genel problemi olan bu eksiklikler geleneksel trigonometri öğretiminin sınırlılıkları olarak görülmektedir.

Orhun da (2004) 10. sınıf öğrencileriyle yaptığı çalışmasında öğrencilerin öğretmen merkezli ve ezberci bir yöntemle edindikleri bilgileri yeni durumlara

transfer etmekte güçlük yaşadıklarını ve öğrenci yanlışlarının öğretim metoduyla ilişkisi olduğunu söylemektedir (Örnek 2007).

Öğrencilerin trigonometri konusundaki yanlış ve yanılgılarının önüne geçmek için hazır bilginin verildiği değil öğrencinin aktif olduğu öğrenme ortamlarında sorgulayarak, yaşayarak, materyallerle somutlaştırarak anlamlı öğrenmelerin oluşturulması gerekmektedir.

1.4. Araştırmanın Amacı

Matematiğin bir konusu olan trigonometride kalıcı öğrenmelerin gerçekleşmesi için üst düzey bilişsel etkinlik gerektiği bilinmektedir. Trigonometrik kavramların doğru yapılandırılmadan işlemler bilgisine geçilmesi, işlem basamaklarının ezberlenmesi, trigonometrik kavramların ve ifadelerin zihinde ifade ettiği geometrik yorumun yapılamayışı trigonometri öğretimini zorlaştıran etkenler olarak görülmektedir.

Trigonometrinin bir konusu olan lineer trigonometrik denklem sistemlerinin grafik metoduyla çözümü çalışmasında; trigonometrik denklem sistemlerini bazı dönüşümler yaparak doğrusal denklem sistemlerine dönüştürüp, bunların analitik düzlemde birim çemberi de göz önüne alarak incelenmesi yoluyla çözümlere ulaşılması amaçlanmıştır. Bunu yaparken çözüme analitik düzlemde grafikler ile desteklenerek ulaşılmaya çalışılmasının görselliğin getirdiği yorumlama becerisini artırdığı düşünülmektedir.

1.5. Araştırmanın Önemi

“Trigonometri öğretimi matematik dilinin gelişiminde ve matematik düşüncenin yoğunlaşmasında önemli bir etken olarak görülmektedir. Trigonometri konularını öğrenmiş olan öğrenciler daha geniş düşünme ve daha iyi yorum yapabilme gücüne sahip olacaklar, bilgilerinin sentezini yaparak hayata geçirebilme yeteneği kazanacaklardır” (Doğan, Şenay 2001).

Böylesine önemli bir konuda günlük hayatla ilişkilendirilerek uygulamaya dönük hazırlanmış kaynaklara pek rastlanılmamaktadır. Matematiksel düşünme yetisini geliştirmek için trigonometri konularının öğretiminde farklı yöntemler

kullanılarak hazırlanmış etkinliklere yer verilmesi önem arz etmektedir. Bu açıdan bakıldığında trigonometrik denklem sistemlerinin geleneksel yollarla değil de grafik metoduyla çözümünün öğrenime farklılık getireceği düşünülmektedir. Ayrıca bu şekilde gerçekleştirilen bir öğrenmede, daha kolay öğrenilen bir konuyla yeni konunun eşleştirilmesi öğrencinin zihninde oluşturacağı zihinsel haritanın elemanlarının daha kolay örgütlenebilmesi anlamına geleceği söylenebilir.

1.6. Kaynak Araştırması

Doğan ve Şenay (2001); yaptıkları araştırmada trigonometri öğretiminde öğretmenlerin yaşadıkları güçlükleri ve sebeplerini, öğrenme zorluklarını uygulayıcı olan öğretmenlerin görüşlerini alarak tespit etmişlerdir. Araştırma sonucunda ortaya çıkan veriler değerlendirildiğinde öğrencilerin temel trigonometrik kavramları öğrenmede zorlandıklarını, açı ölçü aletlerini kullanmayı bilmediklerini belirlemişler, trigonometri konularından önce analitik düzlem ve çemberin analitiği ile ilgili bilgilerin verilmesi gerektiğini belirtmişlerdir.

Taşar ve arkadaşlarının (2002) “Grafik Çizme ve Anlama Becerisinin Saptanması” isimli araştırmalarında öğrencilerin grafik çizme ve anlama becerilerinin unsurlarının saptanmasını ve ölçülmesini amaçlamışlardır. Bu doğrultuda oluşturulan Grafik Çizme ve Anlama Becerisi Testini(GÇABT) Temel Fizik Laboratuarı dersi alan öğrencilere uygulamışlar ve bu becerilerin geliştirilmesinin önemini vurgulamışlardır.

Ayres ve Moyer (1998) çalışmalarında trigonometri ve trigonometri konularını ayrıntılı bir şekilde incelemiş ve trigonometrinin pratik uygulamalarına yer vermişlerdir.

Aufmann ve arkadaşları (1997) “College Algebra and Trigonometry” adlı çalışmalarının bir bölümünü trigonometrik denklemlere ayırmış ve denklem çözümlerini grafiklerle destekleyerek çözümlerin daha anlaşılır olmasını sağlamıştır.

Oprukçu ve Gönülateş (2002) yaptıkları araştırmada trigonometri öğretimine Farklılaştırılmış Eğitim Yaklaşımını uygulamak için bir örnek oluşturmuş ve öğrencilerin trigonometri konusuna karşı tutumlarında bir gelişme öngörülmüştür.

Larson ve Hostetler (1997) “Trigonometry” adlı kitaplarında trigonometri konularını incelemiş, çözümlerini grafiklerle desteklemiş ve ayrıca günlük hayatta trigonometri ile çözülebilecek birçok örneğe yer vermiştir.

Doğan’ın (2001) yaptığı “Genel Liselerde Okutulan Trigonometri Konularının Öğretiminde Öğrencilerin Yanılgıları, Yanlışları ve Trigonometri Konularına Karşı Öğrenci Tutumları” adlı araştırmada öğrencilerin trigonometri konusundaki yanılgıları tespit edilmiştir. Öğrencilere yanılgıların tespiti için teşhis testleri uygulanmış ve sonucunda öğrencilerin trigonometri kavramlarını karıştırdıkları, geometrik şekilli sorularda başarısız oldukları belirlenmiştir.

Kendal ve Stacey (1997) “oran metodu” ve “birim çember metodu” adı altında iki farklı yöntemi trigonometri öğretiminde iki farklı gruba uygulamışlar ve oran metoduyla öğrenen grubun diğerine oranla daha başarılı sonuçlar aldığı görülmüştür.

Orhun’un (2004) genel lise ve fen liselerine giden 77 onuncu sınıf öğrencisine uyguladığı lise öğrencilerinin trigonometri hakkındaki yanlışları ve kavram yanılgıları konulu çalışmasında öğrencilere trigonometri soruları yöneltmiş ve sonuçta öğrencilerin açılı trigonometri sorularında daha başarılı olduklarını tespit etmiştir. Orhun’a göre okullarda trigonometri, bilgiyi keşfederek değil ezberleyerek öğreten geleneksel yaklaşımlarla öğretilmektedir.

Ergin (1964) çeşitli trigonometri problemlerinin çözümlerini “Çözülmüş Trigonometri Problemleri” adlı eserinde toplamıştır.

Fleming ve Varberg (1980) “Algebra and Trigonometry” adlı eserlerinde trigonometri konularına yer vermelerinin yanında trigonometrik denklemlerin bazı çözüm metotlarını da incelemişlerdir.

Örnek (2007) “Trigonometrik Kavramların Canlandırma Yöntemiyle Öğrenilmesinin Öğrencilerin Matematik Başarısına Etkisi” isimli yüksek lisans tezinde 8. sınıflardan 69 öğrenciye uyguladığı testler sonucunda canlandırma yöntemi kullanılarak işlenen trigonometri konusunun öğrencilerinin matematik başarılarını, konunun akılda kalıcılık düzeyini ve öğrencilerin matematiğe karşı tutumunu olumlu yönde artırdığını tespit etmiştir.

Sobel ve Lerner (1987) “Algebra and Trigonometry a Pre Calculus Approach” adlı eserlerinde trigonometri konularını ayrıntlı bir şekilde incelemiş ve trigonometrik denklemlerin çözüm metotlarına değinmişlerdir.

Emlek (2007) “Dinamik Modelleme Đle Bilgisayar Destekli Trigonometri Öğretimi” isimli yüksek lisans tezinde Dinamik Modelleme Đle Bilgisayar Destekli Trigonometri Öğretimi uygulamasının lise ve meslek yüksek okulu öğrencilerinin akademik başarılarına etkisini incelemiş ve deney grubunun akademik başarısının daha yüksek olduğu sonucuna varmıştır.

BÖLÜM ΙΙ 2. TRĐGONOMETRĐK DENKLEMLER

Tanım.2.1 (Trigonometrik denklem): Bilinmeyen bir açının trigonometrik oranları arasında kurulmuş ve açının özel değerleri için sağlanan eşitliklere trigonometrik denklem denir (Aksoy 1972).

Denklemi sağlayan açılara denklemin çözümü veya kökü adı verilir. Trigonometrik denklemlerin kökleri periyodiktir.

2.1. Aynı Tür Trigonometrik Eşitliklerin Çözümü

2.1.1. sinx=sinα⇒ x= ?

sinx=sinα ise x ve α açıları arasında x=α+2kπ veya

( ) 2

x= π−α + kπ ,( k ∈ ℤ ) bağıntıları vardır (Aksoy 1972).

Şekil 2.1.

cos

cos (

)

OB

=

α

=

−

α

2.1.2. cosx=cosα ⇒ x= ?

cosx=cosα ise x ve α açıları arasında x=α+2kπ veya 2

x= − +α kπ ,( k ∈ ℤ ) bağıntıları vardır (Aksoy 1972).

Şekil 2.2.

2.1.3.

tan

x

=

tan

α

⇒ =

x

?

tanx=tanα ise x ve α açıları arasında x=α+kπ ,( k ∈ ℤ ) bağıntısı mevcuttur (Aksoy 1972).

2.1.4. cotx=cotα ⇒ x= ?

cotx=cotα ise x ve α açıları arasında x=α+kπ , ( k ∈ ℤ ) bağıntısı mevcuttur (Aksoy 1972).

Şekil 2.4.

2.2. Basit Trigonometrik Denklemler

2.2.1. Sin f x( )=A ( A ∈ ℝ ) türündeki denklemler

θ

∀ ∈ ℝ için 1− ≤sinθ≤1 olduğu hatırlanarak çözülür. i) A<−1 ∨ 1< A için, Ç= ∅ olur.

ii) − ≤ ≤ için, verilen denklem (2.1.1) denklemine dönüştürülerek 1 A 1 çözülür (Doğan 1984). k∈ ℤ olmak üzere; 1 1 sin 2 ( ) sin (2 1) A k f x A k π π − −  ₊  =  − + +  olur.

2.2.2. Cos f x( )=A (A ∈ ℝ ) türündeki denklemler

i) A<−1 ∨ 1< A için, Ç= ∅ olur.

ii) − ≤ ≤ ise (2.1.2) denklemine dönüştürülerek çözülür (Doğan 1984). 1 A 1

Ayrıca k∈ ℤ olmak üzere; 1 1 cos 2 ( ) cos 2 A k f x A k π π − −   +  =  − +  

şeklinde ifade edilebilir (Wells ve Tılson 1998)

2.2.3. Tan f x( )=A (A ∈ ℝ ) türündeki denklemler

A

∀ ∈ ℝ için Tanjant fonksiyonu tanımlı olduğundan, (2.1.3) denklemine dönüştürülerek çözülür.

k∈ ℤ için; 1 1 1

( ) ( ) ( )

f x = Tan A− +kπ ⇒ =x f− kπ+Tan A− olur.

2.2.4. Cot f x( )=A (A ∈ ℝ ) türündeki denklemler

A

∀ ∈ ℝ için Cotanjant fonksiyonu tanımlı olduğundan (2.1.4) denklemine dönüştürülerek çözülür.

k∈ ℤ için; 1

( ) ( )

f x = Cot− A +kπ

⇒ =x f−1(kπ+Cot−1A) olur (Doğan 1984).

2.3. Lineer Trigonometrik Denklemler

Tanım 2.2: , ,

a b c sıfırdan farklı sabitler olmak üzere

sina x+bcosx+ = (2.3.1) c 0 şeklindeki denklemlere lineer trigonometrik denklem denir.

(2.3.1) denkleminin çözümü için her terim b (veya a) sabiti ile bölünür. cosx asinx c

b b

Tanjantα , her reel sayı değerini alabildiğinden, tan a

b

α = yazalım.

cosx tan sinx c b

α

+ = −

sin sin

cos sin (tan )

cos cos

cos cos sin sin cos cos( ) cos c x x b c x x b c x b α α α α α α α α α α + = − = + = − − = −

şekline indirgenmiş olur. a tan

b= α ifadesinde α ya yardımcı açı denir.

1 ccos 1

b α

− ≤ ≤ şartının varlığı altında ccos

b α

− ifadesi bir cosβ ya karşılık geleceğinden cos( ) cos 2 2 x x k x k α β α π β π α β − = − = = + ∓ ∓ çözümü elde edilir (Aksoy 1972).

2.4. Homojen Trigonometrik Denklemler

Tanım 2.3:

Aynı bilinmeyen açının trigonometrik oranları arasında kurulmuş, her terimin derecesi birbirine eşit olan denklemlere homojen denklemler denir. Eşit olan bu dereceye homojenlik derecesi denir (Aksoy 1972).

1

1 0

sinn sinn cos ... cosn 0

n n

a x+a− − x x+ +a x= (2.4.1)

denklemi n. dereceden homojen trigonometrik denklemdir. 2

n= alındığında oluşan

2 2

2sin 1sin cos 0cos 0

a x+a x x+a x=

2 2

sin sin cos cos 0

A x+B x x+C x= (2.4.2) denklemi de 2. dereceden homojen trigonometrik denklemdir.

(2.4.1) denklemini çözmek için her terim cosnx veya( sinn x ile bölünerek )

Tan x in kuvvetleri cinsinden,

1

1 ... 0 0

n n

n n

a Tan x+a−Tan −x+ +a = (2.4.3)

denklemi bulunur. Tan x= ∈ ℝ dönüşümü ile elde edilen cebirsel denklem, bilinen t

metotlarla çözülüp,

1, 2,..., n

Tan x=t Tan x=t Tan x=t eşitlikleri bulunur. Bu eşitliklerin çözümünden bulunan ve ( )

2 k π

π

+ den farklı olan x değerleri çözüm kümesini oluşturur.

2

x≠π+kπ olmalıdır. Çünkü Tan x Sin x Cos x

= işlemi tanımlı olmak zorundadır.

2.5. Klasik Tipe Dönüştürülebilen Trigonometrik Denklemler

2 2

sin sin cos cos

A x+B x x+C x=D (2.5.1) şeklindeki denklemler klasik denklem tipine getirilebilirler. Burada;

2 1 cos 2 2 1 cos 2 1

sin , cos , sin cos sin 2

2 2 2

x x

x= − x= + x x= x

dönüşümlerini yapalım.

(1 cos 2 ) sin 2 (1 cos 2 )

2 2 2

cos 2 sin 2 cos 2 2

A B C x x x D A A x B x C C x D − + + + = − + + + = Bsin 2x+(C−A) cos 2x=2D− − A C olup (2.3.1) denklemine dönüşmüştür. B sin 2x cos 2x 2D A C C A C A − − + = − −

B Tan Tan sin 2x cos 2x 2D A C

C A α α C A − − = ⇒ + = − − cos(2x ) 2D A Ccos C A α − − α − = − (2.5.2) Burada; 1 2D A Ccos 1 C A α − − − ≤ ≤ − olmalıdır.

2 2 2 1 1 cos 1 1 ( ) B Tan P C A _{p B} C A α= = ⇒ α= = − ₊ + − 2 2 cos ( ) C A C A B α= − − + olur. Yerine yazılırsa;

2 2 2 1 . 1 ( ) C A D A C C A _{C A B} − − − − ≤ ≤ − _{− +} 2 ; 1 D A Ccos 1 A C için C A α − − ≠ − ≤ ≤ − bulunur.

A=C için; verilen denklem, sin 2x 2(D A) B

−

= olur. Burada çözümün olabilmesi için;

1 2(D A) 1 B − − ≤ ≤ 1 1 2 2 D A B − − ≤ ≤ olmalıdır.

2.6. Simetrik Trigonometrik Denklemler

Verilen trigonometrik denklemlerde x yerine 2 x π

− konulduğunda denklem

değişmiyorsa; denklemin bir kökü x kabul edildiğinde diğer kök _{1 1}

2 x π

− olup birbirlerine simetriktirler. Bundan dolayı bu tip denklemlere simetrik denklemler denir (Aksoy 1972).

Bir simetrik denklemin genel hali,

A(cos x+sin x) Bsin x cos x+ =0 (2.6.1) olarak ifade edilir.

Şekil 2.5.

Genel olarak; sinx ve cosx in tek kuvvetlerinin toplamını veya bunların

çarpımını veya her iki hali birden bulunduran denklemler simetrik denklemler olarak adlandırılır.

(2.6.1) de x yerine 2 x π

− konulduğu zaman;

(cos( ) sin( )) sin( ) cos( ) 0

2 2 2 2

A π−x + π−x +B π−x π−x =

sin x cos x cos x sin x (sin cos ) cos sin 0

A x+ x +B x x= olur ki denklemin değişmediği görülür.

Simetrik denklemleri çözmek için 4

x=π+ϕ dönüşümü yapılıp (2.6.1) denklemi cebirsel bir denkleme dönüştürülerek ϕ bulunur. Sonra da x belirlenir.

BÖLÜM ΙΙΙ

3. TRĐGONOMETRĐK DENKLEMLERĐN BAZI ÇÖZÜM METOTLARI

3.1. Basit Trigonometrik Denklemlerin Çözümleri

Örnek 3.1.1. sin 1 2

t= ⇒ = t ?

Sinüsü 1

2 olan açı 0≤ < t 2π aralığında

5 6 ve 6

π π

raydandır (Fleming ve Varberg 1980). 0≤ < t 2π kısıtlaması kaldırıldığında bütün çözümler(genel

çözüm), 2 ( ) 2 , ( ) 6 6 t=π+ kπ ve t= π−π + kπ k∈ ℤ olur. 5 2 , 2 , ( ) 6 6 Ç=π+ kπ π+ kπ k∈       ℤ Şekil 3.1. 1 2

y = doğrusu boyunca y=sint in grafiği şekilde gösterilmiştir. Đki

fonksiyonun grafiklerinin kesiştiği noktalara karşılık gelen açı değerleri sin 1 2

t= denkleminin çözümleridir (Aufmann ve ark. 1997).

Sinüs fonksiyonu 2π periyoduna sahip olduğundan referans çözümlere (esas ölçülere karşılık gelen çözümler) 2kπ eklenerek diğer bütün çözümler bulunmaktadır (Larson ve Hostetler 1997).

1 sin( 2 ) 6 2 5 1 sin( 2 ) 6 2 n n n π π π π ∈ + = + = ℤ Şekil 3.2. Örnek 3.1.2. cos 4( ) 1 ? 12 2 t− π = ⇒ = t cos 11 2 3 π − = olduğundan, 2 3 4( ) 12 2 3    +    − =   − +     k t k π π π π π 12 2 12 12 2    +    − =   − +     k t k π π π π π

6 2 , ( ) 2    +    = ∈       ℤ k t k k π π π 2 , , ( ) 6 2 k Ç=π+ kπ π k∈       ℤ olur (Wells ve Tılson 1998).

3.2. Benzer Terimleri Gruplama Yoluyla Trigonometrik Denklem Çözümü

Örnek 3.2.1. sint+ 2= −sint ⇒ = t ? sin t ler bir tarafta toplandığında,

sin sin 2 2 sin 2 + = − = − t t t sin 2 2 t = −

elde edilir. Bu denklemin [0, 2π ) aralığındaki çözümleri 5 7

4 4 t= π ∨ t= π olduğundan genel çözüm; 5 2 4 , ( ) 7 2 4 k t k k π π π π    +    = ∈   ₊     ℤ 5 7 2 , 2 , ( ) 4 4 Ç= π+ kπ π+ kπ k∈    

  ℤ olur (Larson ve Hostetler 1997).

3.3. Çarpanlarına Ayırma Yoluyla Trigonometrik Denklem Çözümü

Örnek 3.3.1. 2 sin2xcosx−cosx=0 ⇒ [0, 2 )π aralığında x=? 2

2

2 sin cos cos 0

cos (2sin 1) 0 x x x x x − = − =

cosx =0 ∨ 2 2 sin x − =1 0 1 2 2 3 2 x x π π = = sin2 1 2 x =

sin 2 sin 2 sin 2

2 2 2 x = ⇒ x= ∨ x= − 3 5 5 , 4 4 x =π x = π ₄ 3 , ₆ 7 4 4 x = π x = π 3 5 3 7 , , , , , 4 2 4 4 2 4 Ç_{= }π π π π π π_       (Aufmann ve ark. 1997). Şekil 3.3.

Örnek 3.3.2. 8sin2 x+6 sinx+ =1 0 ⇒x= ? sin x= dönüşümü yapıldığında t

8t2+6t+ = 1 0 (2t+1)(4t+1)= 0 (2 sinx+1)(4 sinx+1)= 0

4 sinx + = 1 0 sin 1 4 x = − 1 1 1 sin ( ) 2 4 1 sin ( ) 2 4 k x k π π π − −    − +    =    − − +     ,(k∈ ℤ ) olur. sin 1 4

x = − eşitliğinde sinüs fonksiyonu ezbere bildiğimiz bir yaya karşılık gelmediğinden ters fonksiyonu cinsinden ifade edilmiştir (Wells ve Tılson 1998).

1 1 sin ( )

4 α

−

− = alınırsa, genel çözüm kümesi; 7 2 , 2 , 2 , (2 1) , ( ) 6 6 Ç= kπ−π π+ kπ α+ kπ − +α k+ π k∈       ℤ olarak yazılır.

Örnek 3.3.3. cot cosx 2x=2 cotx ⇒x= ? 2 2 2 cot (cos 2) 0 cot 0 cos 2 0 cos 2 2 x x x x x π kπ x − = = ∨ − = = + =

cosx= 2 ∨ cosx= − 2 (I)

Kosinüs fonksiyonu [-1,+1] aralığında değerler aldığından (I) denklemlerinin çözüm kümesi boş kümedir.

, ( ) 2 Ç=π+kπ k∈       ℤ (Larson ve Hostetler 1997). 2 sin 1 0 1 sin 2 2 6 , ( ) ( ) 2 6 x x k x k k π π π π π + = ∨ = − −   ₊    = ∈  −  − +     ℤ

Şekil 3.4.

Bu tür denklemlerin çözümü ile ilgili Doğan’ın (2001) yaptığı bir araştırmada öğrencilerin, cot x değerlerini sadeleştirip cos2 x= denkleminin çözümünü 2 aradıkları gözlenmiştir. Öğretmenler dersin işlenişi sürecinde bu yanılgıları ortadan kaldıracak şekilde örnek çözümler üzerinde durmalıdırlar.

3.4. Özdeşlikleri Kullanarak Trigonometrik Denklem Çözümü

Örnek 3.4.1. 3sinx=2 cos2 x ⇒x= ?

2

2 2 2

2

3sin 2 cos

3sin 2(1 sin ) (cos 1 sin )

2 sin 3sin 2 0 ( )

(2 sin 1)(sin 2) 0

x x

x x x x

x x kuadratik trigonometrik denklem

x x = = − = − + − = − + = 1 sin sin 2 1 2 2 6 ( ) 2 6 x x k x k π π π π π = ∨ = − −    +    =    _{− +}     <

olur. Sinüs fonksiyonu [-1,+1] aralığında değerler aldığından sinx = − 2 denkleminin çözüm kümesi boş kümedir (Stewart ve ark. 2001).

1 1 tan tan 3 3 6 , ( ) 5 6 x x k x k k π π π π = ∨ = −    +    = ∈   ₊     ℤ 5 2 , 2 , ( ) 6 6 Ç=π+ kπ π+ kπ k∈       ℤ

Örnek 3.4.2. 2 tan2x+sec2x=2 ⇒x= ? 2 2

2 2 2 2

2 2 tan sec 2

2 tan (1 tan ) 2 (sec 1 tan ) 3 tan 1 x x x x x x x + = + + = = + = olur. ,5 , ( ) 6 6 Ç=π+kπ π+kπ k∈       ℤ (Ayres ve Moyer 1998).

Örnek 3.4.3. sin 2x=sinx ⇒x= ? sin 2 sin

2 sin cos sin (sin 2 2 sin cos ) 2 sin cos sin 0

sin (2 cos 1) 0 sin 0 2 cos 1 0 x x x x x x x x x x x x x x x = = = − = − = = ∨ − = 1 0 2 cos 2 2 , ( ) k x x k k π π π    + =  =    + ∈   ℤ 2 3 5 2 , ( ) 3    +    =    _{+ ∈}     ℤ k x k k π π π π 5 , 2 , 2 , ( ) 3 3 Ç=kπ π+ kπ π+ kπ k∈       ℤ (Sobel ve Lerner 1987).

3.5. Denklemin Her Đki Tarafının Karesini Almak Suretiyle Trigonometrik Denklem Çözümü

Örnek 3.5.1. cosx+ =1 sinx ⇒x= ?

2 2 (cosx+1) =(sin )x 2 2 2 2 2

cos 2 cos 1 sin cos 2 cos 1 1 cos

2 cos 2 cos 0 2 cos (cos 1) 0 + + = + + = − + = + = x x x x x x x x x x 2 cos 0 cos 1 0 cos 0 cos 1 2 2 , ( ) 2 3 2 , ( ) 2 x x x x k x k k x k k π π π π π π = ∨ + = = = −    + = + ∈    =    _{+ ∈}     ℤ ℤ

olur. Bulunan çözümleri kontrol edelim:

3 3 3 ; cos 1 sin 2 2 2 0 1 1 = + = + ≠ − x π π π 3 2

x= π denklemi sağlamadığından çözüm değildir.

2 , 2 , ( ) 2 Ç=π+ kπ π+ kπ k∈       ℤ (Larson ve Hostetler 1997).

; cos 1 sin , ; cos 1 sin

2 2 2

1 1 0 0 1 1

x=π π+ = π x=π π+ = π

Şekil 3.5.

3.6. Katlı Açılı Trigonometrik Denklemlerin Çözümü

Örnek 3.6.1. tan 24 x− =9 0 ⇒x= ? 4 tan 2 9 tan 2 3 tan 2 3 2 2 3 3 6 2 6 2 x x x x k x k k k x x π π π π π π π π = = ∨ = − = + = − + = + = − + , , ( ) 6 2 6 2 k k Ç=π+ π − +π π k∈       ℤ (Stewart ve ark. 2001).

sin 1 tan 1 cos 4 x x x x π kπ = ⇒ = = +

Örnek 3.6.2. sin 4x=cos 22 x ⇒x= ?

2

2

2 sin 2 cos 2 cos 2

2 sin 2 cos 2 cos 2 0

cos 2 (2 sin 2 cos 2 ) 0

= − = − = x x x x x x x x x

cos 2 0 2 sin 2 cos 2 0

2 sin 2 cos 2 0 2 2 cos 2 cos 2 2 3 2 2 tan 2 1 0 2 x x x x x k x x x k x π π π π = ∨ − =  −   + =    =    _{+ − =}     1 1 2 tan 2 1 4 3 1 , ( ) tan 2 4 2 1 2 tan 2 1 1 tan , ( ) 2 2 2 k x x k k x x k k x k π π π π π π − −    + =    =    _{+ ∈ =}     = + = + ∈ ℤ ℤ olur. ,3 ,1tan 11 , ( ) 4 4 2 2 2 k Ç=π+kπ π+kπ − + π k∈       ℤ (Wells ve Tılson 1998).

3.7. Grafik Yoluyla Trigonometrik Denklemlerin Çözümü

Örnek 3.7.1. sinx=cosx ⇒x= ?

cos x’i 0 yapan x değerleri denklemin çözümü olmadığından denklemin her iki yanı cos x ile bölünür.

olur. , ( ) 4 Ç=π+kπ k∈       ℤ (Stewart ve ark. 2001).

Şekil 3.6.

3.8. Kuadratik Trigonometrik Denklemlerin Çözümü

Bu bölümde ikinci dereceden bir bilinmeyenli cebirsel denklemlere dönüştürülebilen trigonometrik denklemler ele alınacak ve örnek çözümler yapılacaktır.

Örnek 3.8.1. 3cos2 x−5 cosx− =4 0 ⇒x= ?

cos x= dönüşümü yapıldığında denklem t 2

3t −5t− = şekline 4 0 dönüşür. Bu cebirsel denklemin kökleri

2 b t a − = ∓ △ formülünden, 2 ( 5) ( 5) 4.3.( 4) cos 2.3 x=− − ∓ − − − cos 5 73 cos 5 73 6 6 x= − ∨ x= + 1 1,2 5 73 cos ( ) 2, 2027 6 2 2, 2027 4, 0805 x π −   −  _≅   =    _{− ≅}    1 2, 2027 2 4, 0805

x = ve x = , radyanlar dereceye çevirildiğinde de 1 126, 2 2 233,8

x ≅  ve x ≅ 

olur.

{

1 2 , 2 2

}

, ( ) Ç= x + kπ x + kπ k∈ ℤ

Kosinüs fonksiyonu [-1,+1] aralığında değerler aldığından cos 5 73 6

x= +

denkleminin ise çözüm kümesi boş kümedir (Aufmann ve ark. 1997).

Bulduğumuz çözümleri grafik üzerinde görelim:

Şekil 3.7.

3.9. Homojen Trigonometrik Denklemlerin Çözümü

Örnek 3.9.1. 3 sin2 x−( 3−1) sin cosx x−cos2x=0 ⇒x= ?

Homojenlik derecesi 2 olan homojen trigonometrik denkleminde her terim cos x ile bölündüğünde, 2

2

2

1 2

3 tan ( 3 1) tan 1 0 , (cos 0)

3 ( 3 1) 1 0 , (tan ) 1 1 3 1 tan 1 tan 3 5 4 6 x x x t t x t t t x x x π kπ x π kπ − − − = ≠ − − − = = = ∨ = − = = − = + = + 5 , , ( ) 4 6 Ç=π+kπ π+kπ k∈    

1 cos 2 5 sin 2 (1 cos 2 ) 2 2 2 cos 2 5 sin 2 1 x x x x x − + + + = + =

3.10. Klasik Trigonometrik Denklemlerin Çözümü

Örnek 3.10.1. cosx+ 3 sinx=1 ⇒x= ? tanϕ = 3 olsun. Bu durumda,

cos tan sin 1

cos cos sin sin cos

cos( ) cos 2 (tan 3 ) 3 2 , ( ) 2 2 3 x x x x x x k k x k k ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π ϕ π ϕ ϕ ϕ π π π + = + = − = − = = ⇒ =     = ∈  ₊    ∓ ℤ 2 2 , 2 , ( ) 3 Ç= kπ π+ kπ k∈       ℤ (Aksoy 1972).

3.11. Klasik Tipe Dönüştürülebilen Trigonometrik Denklemlerin Çözümü

Örnek 3.11.1. 2 2

sin x+ 5 sin cosx x+2 cos x=2 ⇒x= (Aksoy 1972) ? sin2 1 cos 2 , cos2 1 cos 2 , sin cos sin 2

2 2 2

x x x

x= − x= + x x=

dönüşümleri yapılırsa,

3.12. Simetrik Trigonometrik Denklemlerin Çözümü

Örnek 3.12.1. cosx+sinx−sin cosx x=0 ⇒x= ?

4

x=π+ϕ dönüşümü yapıldığında,

cos cos( ) cos cos sin sin

4 4 4

2

(cos sin ) 2

sin sin( ) sin cos cos sin

4 4 4 2 (cos sin ) 2 x x π π π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π π π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + = − = − = + = + = +

bulunur ve bu değerler de verilen denklemde yazıldığında ,

2 2 2 2

1

2 cos (cos sin ) 0 (sin 1 cos ) 2

ϕ− ϕ− ϕ = ϕ= − ϕ

2

2 cos ϕ−2 2 cosϕ− = elde edilir. 1 0

cosϕ = dönüşümü yapıldığında, t 2 1 2 2 2 2 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos 2 2 t t t t ϕ ϕ − − = − + = ∨ = − + = = 2 cos 2 2 2 k arc ϕ= π∓ − bulunur.

Kosinüs fonksiyonu [-1,+1] aralığında değerler aldığından cos 2 2 2

ϕ= +

denkleminin çözüm kümesi boş kümedir.

4

x=π+ϕ bağıntısında, bulunan ϕ değeri yerine yazıldığında 2 2

2 cos

4 2

3.13. Aynı Açı Đçin Kurulmuş Trigonometrik Denklemlerin Çözümü (tan

2 = x

t Dönüşümü Yapılarak) Aynı açı için kurulmuş her denklem,

2 2 2 2 tan 1 tan 2 2 sin , cos 1 tan 1 tan 2 2 x x x x x x − = = + +

bağıntıları kullanılarak tan 2 x cinsinden yazılabilir. tan 2 x t = dönüşümü yapıldığı zaman, 2 2 2 2 1 sin , cos 1 1 t t x x t t − = = + + elde edilir.

Bulunan bu ifadeler verilen denklemde yerine yazıldığında da cebirsel bir denkleme dönüştürülmüş olur (Aksoy 1972)

Örnek 3.13.1. 2 cosx−sinx=1 ⇒x= ? 2 2 2 1 2 2. 1 1 1 t t t t − − = + + ( tan2 x t = ) 2 3 2 1 0 1 ( 1)(3 1) 0 ( 1 ) 3 t t t t t t + − = + − = ⇒ = − ∨ = 1 2 3 1

tan 1 tan tan

2 2 4 2 3 2 3 2 , ( ) 2 2 , ( ) 2 x x x x k k x k k x k k π π α α π π π α π = − ⇒ = + = = ⇒ = + = + ∈ℤ = + ∈ℤ 3 2 , 2 2 , ( ) 2 Ç= π+ kπ α+ kπ k∈       ℤ bulunur.

Uyarı: α açısı tam olarak bulunmak istenirse , tan 1 0, 3333 3

α = ≅

log tanα =log 0, 3333=1, 52284 Tanjantının logaritması 1, 52284 olan α açısı logaritma cetvelinden

arandığında α =18 26 ' olduğu görülür. Bulunan α değeri yerine yazıldığında da x₂ =36 52 ' 2 + kπ

BÖLÜM ΙV 4. TRĐGONOMETRĐK DENKLEM SĐSTEMLERĐ

4.1. Birinci Grup Đki Bilinmeyenli Trigonometrik Denklem Sistemleri

sin sin cos cos tan tan cot cot

x y x y x y x y x y b x y b x y b x y b α α α α = = = = = = = = ∓ ∓ ∓ ∓ ∓ ∓ ∓ ∓ Örnek 4.1.1. x+ =y α sinx+siny= b

denklem sistemini ele alalım.

Bu sistemlerde x ve y açıları arasındaki toplam veya fark doğrudan verildiğinden diğer bağıntıda x ve y arasındaki toplam veya fark elde edilmeye çalışılır.

sin sin 2 sin cos

2 2 2 sin cos 2 2 cos 2 _{2 sin} 2 x y x y x y x y b x y b α α + − + = − = − = elde edilir. 1 1 2 sin 2 b α

− ≤ ≤ şartı sağlandığı zaman kosinüsü 2 sin 2 b α ye eşit olan en küçük açıya θ denildiğinde, cos cos 2 2 2 4 2 , ( ) x y x y k x y k k θ π θ π θ − = − = − = ∈ ∓ ∓ ℤ

( , ) ? 2 tan tan 2 x y x y x y π _  − = _{ ⇒} =   + _{= − } 4 2 2 4 2 2 , ( ) 2 2 (4 2 ) 2 2 ' , ( ' ) 2 2 x y x y k x k x k k y k y k k k α π θ α π θ α π θ α α π θ α π θ π θ + = − = = + ⇒ = + ∈ = − + ⇒ = − ± + = ± + ∈ ∓ ∓ ∓ ℤ ∓ ℤ (Aksoy 1972). 1 1 2 sin 2 b α

− ≤ ≤ şartının sağlanması için,

i) sin 0 2 α

> ise eşitsizliğin her iki tarafı 2 sin 2 α ile çarpıldığında, 2 sin 2 sin 2 b 2 α α − ≤ ≤ ii) sin 0 2 α

< ise 2 sin 2 sin

2 b 2

α α

≤ ≤− olur (Ergin 1964). Örnek 4.1.2.

Đkinci denklemde Tanjantın tanımı ve dönüşüm bağıntılarını kullanalım.

tan tan 2 sin( ) 2

cos( ) cos( ) + + = = − + + − x y x y x y x y 2 sin( ) 2 ( ) 2 cos( ) cos 2 tan( ) 1 3 4 x y x y x y x y x y k π π π π + = − − = + + + = − + = +

bulunur. Sonuç olarak,

5 2 , , ( ) 3 2 8 2 8 4 x y k k x y k x y k π π π π π π π   − =  _{= + = + ∈}   + = +  ℤ

2 2 2 2 (1 cos ) 2 1 cos 2 cos 2 2 sin 2 2 cos sin 2 2 b b b α α α α α α − + ≤ ≤ − − ≤ ≤ − ≤ ≤

4.2. Đkinci Grup Đki Bilinmeyenli Trigonometrik Denklem Sistemleri

sin sin cos cos tan tan cot cot

x y x y x y x y x y b x y b x y b x y b α α α α = = = = = = = = ∓ ∓ ∓ ∓ Örnek 4.2.1. x+ =y α sin sinx y=b

denklem sistemini ele alalım.

[

]

1

sin sin cos( ) cos( ) 2 cos( ) 2 cos x y x y x y b x y b α = − − + = − = + 1 2b cosα 1

− ≤ + ≤ şartıyla kosinüsü 2b+cosα ya karşılık gelen en küçük yaya θ dersek, cos( ) cos 2 , ( ) x y x y k k θ π θ − = − = ∓ ∈ℤ bulunur.

Böylece verilen sistemin çözümü aşağıdaki sistemin çözümünden ibaret olacaktır.

, ' , ( , ' ) 2 2 2 x y x k y k k k x y k α α θ α θ π π π θ  + = _{ ⇒ = +} ± = + ∈   − = _ ∓ ℤ ∓ olur. 1 2b cosα 1

− ≤ + ≤ şartının sağlanması için,

4.3. Üçüncü Grup Đki Bilinmeyenli Trigonometrik Denklem Sistemleri

sin cos tan cot

sin cos tan cot

x y x y x y x y x x x x b b b b y y y y α α α α = = = = = = = = ∓ ∓ ∓ ∓ Örnek 4.3.1. x+ =y α sin sin x b y =

denklem sistemini ele alalım. sin

sin

x b

y= denklemine orantı özelliği uygulandığında,

sin sin 1 sin sin 1 2 sin cos 1 2 2 1 2 sin cos 2 2 1 tan cot 2 2 1 1 tan tan 2 1 2 x y b x y b x y x y b x y x y b x y x y b b x y b b α − − = + + − + − = + − ₊ − + − = + − − = + elde edilir.

Tanjantı eşitliğin sağındaki değere eşit olan bir θ açısı mutlaka bulunacaktır. tan tan 2 2 2 , ( ) x y x y k k θ π θ − = − = + ∈ ℤ

bulunur. Böylece verilen sistem aşağıdaki sisteme indirgenmiş olur:

, ' , ( , ' ) 2 2 2 2 x y x k y k k k x y k α α α π θ π θ π θ  + = _{ ⇒ = + +} = − + ∈   − = + _ ℤ

sin sin sin

( , ) ? cos cos cos

x y x y x y θ θ  + = _{ ⇒} =   + = _

4.4. Đki Bilinmeyen Açının Trigonometrik Oranları Arasında Kurulmuş Đki Bilinmeyenli Trigonometrik Denklem Sistemleri

Ergin, bu denklem sistemlerinin çok çeşitli olduğu ve tiplere ayırarak belirli bir çözüm metodu göstermenin mümkün olmadığını belirtmiştir (Ergin 1964).

Bu sistemlerde bilinmeyen açının toplam veya farklarından biri açık olarak verilmediğinden açıların toplam veya farkı bu iki denklemden bulunur. Bunun ne şekilde yapılacağı sistemdeki denklemlerin durumuna bağlıdır (Aksoy 1972).

Örnek 4.4.1.

2 sin cos sin ( )

2 2

2 cos cos cos ( )

2 2 x y x y I x y x y II θ θ + − = + − = Bu iki denklemi taraf tarafa bölersek,

tan tan 2 , ( ) ( ) 2 x y x y k k III θ π θ + = + = + ∈ ℤ bulunur.

Diğer taraftan (III denkleminde bulunan değer ( )) I denkleminde yerine

yazıldığında, sin cos 2 2 sin 2 sin cos 2 2 sin( ) x y x y x y k θ θ π θ − = + − = + elde edilir. Bu denklemde;

a) k çift ise sin 1 cos cos 2 2 sin 2 3 2 , ( ) ( ) 2 3 x y x y h h IV θ π θ π π − = = = − = ∓ ∈ℤ

b) k tek ise sin 1 cos cos( ) 2 2 sin 2 3 2 2 ( ) , ( ) ( ) 2 3 x y x y h h V θ π π θ π π − − = = = − − − = ∓ ∈ℤ elde edilir.

Sonuç olarak (III denklemi ile () IV ve ( )) V denklemlerinin birlikte

oluşturduğu 2 2 2 2 2 ( ) 2 3 2 3 x y x y k ve k x y x y h h π θ π θ π π π π + + = + = + − − = ∓ = ∓

denklem sistemleri elde edilir.

k nın çift olduğu birinci denklem sisteminden, (2 ) 3 ( 2 ) 3 x h k y k h π π θ π π θ = + + = − + ± ∓ (VI )

k nın tek olduğu ikinci denklem sisteminden ( 2 1) 3 ( 2 1) 3 x k h y k h π π θ π π θ = + + = − + ± ∓ ∓ ∓ (VII )

elde edilir. (VI ve () VII denklemlerinde ) π nin katsayılarının çift ve denklemlerin x ve y ye göre simetrik olması dolayısıyla bu kök takımlarının ortak çözümü

yapıldığında; (p∈ℤ,q∈ℤ olmak üzere ) 2 3 x= pπ+ ∓θ π 2 3 y= qπ+ ±θ π ₁ 2 3 x = pπ+ −θ π için ₁ 2 3 y = qπ+ +θ π ₂ 2 3 x = pπ+ +θ π için ₂ 2 3 y = qπ+ −θ π

kökleri elde edilir.

{

( ,1 1), ( ,2 2)

}

1 cos sin ( , ) ? 2 sin cos 0 x y x y x y   = − _{⇒ =}  + _{= } Đrdeleme:

Burada (III denkleminin mevcut olması için herhangi bir şart gerekmediği ) gibi (IV) ve ( )V denklemlerinin bulunması için de herhangi bir şarta gerek

yoktur. Bu yüzden daima çözüm mümkündür.

Eğer verilen denklem sistemimizin sağ tarafındaki sinθ ve cosθ ifadeleri

a ve b olsaydı bu durumda tan 2 x y a b + = ve tanjantı a

b ye eşit olan bir ζ açısı her zaman olacağından,

2

x y

kπ ζ

+

= +

elde edilecekti. Bu bulunan değer ( )I denkleminde yerine yazıldığında da

cos 2 2 sin( ) x y a kπ ζ − = +

elde edilecekti. Bu denklemin ise k nın çift veya tek oluşuna göre çözümünün olması

için 1 1

2 sin

a

θ

− ≤ ≤ şartını sağlaması gerekecektir (Ergin 1964).

Örnek 4.4.2.

sin cos 0

cos sin cos( )

2 2 ( ) ( ) 2 x y y x x y k x I π π π + = = − = + = ∓ +

bulunarak sistemin birinci denkleminde yerine yazıldığında

1 cos sin(2 ( )) 2 2 1 cos sin( ) 2 2 1 cos cos 2 x k x x x x x π π π + = − + = − = − ∓ ∓ ∓

2 cos cos ( , ) ? 2 tan tan 1 x y x y x y   = _{ ⇒} =   + _{= } 2 2 2 1 1 cos 2 1 1 cos cos 2 2 1 cos 2 x x x Ç x = − = − = = ∅ = ∓ ւ ց 2 4 3 2 , ( ) 4 x k x k k π π π π = = ∈ ∓ ∓ ℤ ( )II elde edilir.

( )II de bulunan kökler ( )I denkleminde yerine yazıldığında,

1 1 3 3 2 2 4 4 3 3 2 2 2 2 4 2 4 4 2 4 3 3 2 2 2 2 4 2 4 4 2 4 x k için y k ve x k için y k x k için y k x k için y k π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π = − = − + = − = − + = + = − − = + = − − elde edilir.

{

( ,1 1), ( ,2 2), ( ,3 3), ( ,4 4)

}

Ç= x y x y x y x y (Aksoy 1972). Örnek 4.4.3. sin( ) tan tan 1 cos cos sin( ) 1 2 2 x y x y x y x y + + = = + = 2 2 4 sin( ) 2 (2 1) , ( ) 4 k x y x y k k π π π π   +  + = ⇒ _{+ = }  _{+ − ∈}  ℤ ( )I elde edilir.

Diğer taraftan,

1 2

cos cos [cos( ) cos( )]

2 2 2 cos( ) cos( ) ( ) 2 x y x y x y x y x y II = + + − = + + − =

bulunur. ( )I de bulunan kökler ( )II denkleminde yerine yazıldığında,

a) cos(2 ) cos( ) 2 4 kπ+π + x−y = 2 cos( ) 2 2 2 cos( ) 2 ' , ' ( ) 2 4 x y x y x y k π π k III + − = − = ⇒ − = ∓ ∈ℤ b) cos((2 1) ) cos( ) 2 4 k+ π−π + x−y = 3 cos(2 ) cos( ) 2 4 3 cos cos( ) 2 4 3 2 cos( ) 2 k x y x y x y π π π + + − = + − = − =

Kosinüs fonksiyonu [-1,1] aralığında değerler aldığından bu denklemin çözüm kümesi boş kümedir.

Bu durumda denklem sisteminin aranan çözümleri ( )I ve (III ) denklemlerinden oluşan denklem sisteminin çözümünden ibaret olacaktır.

2 4 2 ' 4 2 2 4 4 2 ' 2 ' 4 4 x y k x y k x y k x y k x y k x y k π π π π π π π π π π π π + = + − = + = + + = + − = − − = + ∓ ւ ց

1 2 1 2 ( ') ( ') 4 4 ( ') ( ') 4 4 x k k H x k k H y k k K y k k K π π π π π π π π π π π π = + = = + + = + = − + = + = − = elde edilir.

{

( ,1 1), ( ,2 2)

}

Ç= x y x y (Aksoy 1972).

BÖLÜM V

5. LĐNEER TRĐGONOMTERĐK DENKLEM SĐSTEMLERĐNĐN GRAFĐK METODUYLA ÇÖZÜMÜ Bu bölümde 1 1 1 2 2 2 a sin b cos c a sin b cos c θ + θ =

θ + θ = türündeki trigonometrik denklem sistemleri incelenmiş olup, öncesinde trigonometrik denklemlere grafik metodunun uygulanışı gösterilmiştir. Đki bilinmeyenli trigonometrik denklem sistemleri üzerinde durulmamıştır.

5.1. Trigonometrik Denklemlerin Grafik Metoduyla Çözümü

a , b , c ≠0 olmak üzere a sinθ +b cosθ + =c 0 lineer trigonometrik denklemini ele alalım.

Her terim b sabiti ile bölündüğünde; cos asin c

b b

θ + θ = − olur.

Tanjant her reel sayı değerini alabildiğinden tan a b

α = yazalım.

c

cos tan sin

b

sin c

cos sin

cos b

c

cos cos sin sin cos

b c cos( ) cos b θ + α θ = − α θ + θ = − α θ α + α θ = − α θ − α = − α 1 ccos 1 b

− ≤ − α ≤ şartının varlığı altında kosinüsü ccos b − α olan açıya β dersek; cos( ) cos 2k θ − α = β θ − α = π β∓

Grafik Metodu kullanılarak bu lineer trigonometrik denklem çözülmek istendiğinde öncelikle aşağıdaki dönüşümlerin yapılması gerekir.

a sin b cos c 0 sin y , cos x

θ + θ + =

θ = θ =

Bu dönüşümler yapıldığında trigonometrik denklem ay+bx+ =c 0 lineer denklemine dönüşmüş olur. Bu noktadan sonra lineer denklemin ifade ettiği doğru grafiği koordinat düzlemi üzerinde çizilir ve bu grafiğin birim çember ile kesişim noktalarının var olup olmadığına bakılır.Varsa bu kesişim noktalarının birim çember üzerinde ifade ettiği açılar trigonometrik denklemin çözüm kümesini oluşturur. Bulunan kesişim noktalarının birim çemberde ifade ettiği açılar trigonometrik denklemin [0, 2 )π aralığındaki çözümleridir. Kaç tane kesişim noktası olacağı denklemin durumuna göre yani ay+bx+ =c 0 denklemindeki a, b, c katsayılarına göre değişir. Herhangi bir kesişim noktası yoksa trigonometrik denklemin çözüm

kümesi boş kümedir. Örnek olarak ay+bx+ =c 0 ’de c = 0 iken;

Şekil 5.1.

ay+bx+ =c 0 ‘de b = 0 ⇒ (y c), k a = − ∈ Ζ iken; Ç= α + π θ + π{ 2k , 2k } Ç { 2k } 2 π = + π a. b. Ç= ∅ c. Şekil 5.2.

ay+bx+ =c 0 ’de a = 0 ⇒ (x c), k b = − ∈ Ζ iken; Ç= β + π γ + π{ 2k , 2k } Ç={2k }π a. b. Ç= ∅ c. Şekil 5.3.

ay+bx+ =c 0 ’de a, b, c≠0 , k∈ Ζ iken; Ç { 2k , (2k 1) } 2 π = + π − π Ç= α + π β + π{ 2k , 2k } a. b. Ç= γ + π{ 2k } Ç= ∅ c. d. Şekil 5.4.