KUANTUM FİZİĞİ-2

(1)

BÖLÜM 1 KUANTUM FİZİĞİNE GİRİŞ BÖLÜM 2 ATOMLARIN KUANTUMLU YAPISI BÖLÜM 3 OPERATÖRLER VE MATRİSLER BÖLÜM 4 PERTÜRBASYON TEORİSİ

N.Bohr A.Einstein W.Heisenberg E.Schrödinger

KUANTUM FİZİĞİ-2

BÖLÜM-3

OPERATÖRLER VE MATRİSLER

1)MOMENTUM KOMÜTASYON BAĞINTILARI:

a)Çizgisel momentum:Çizgisel momentum operatörünün dik koordinatlatdaki bileşenleri; Px=-id/dx,

Py=-id/dy, Pz=-id/dz dir. Bir Px operatörünün x ile komütasyon bağıntısı [Px,x]=Px.x-x.Px ile tanımlı

olup bu işlemin sonucu sıfır çıkarsa Px ve x birbirinden tamamen bağımsızdır ve eşzamanlı olarak istenen

duyarlıkla ölçülebilir demektir. Sıfırdan farklı olması Heisenberg’in belirsizlik ilkesine götürür. Buna göre; [Px,x]=[Py,y]=[Pz,z]=-i ve [Px,y]=[Py,z]...gibi komütasyonlar sıfırdır.

(2)

b)Yörünge açısal momentum:Yörünge açısal momentum operatörü L rP dir. Bunun dik koordinat sistemindeki bileşenleri;             y z z y i L_x  ,             z x x z i L_y  ,             x y y x i L_z 

şeklindedir. Bunlar küresel koordinatlarda ise;     i L_z ,                  cot sin cos  i L_y ,                  cot cos sin  i L_x

dir. Buna göre L2 _operatörü

                     2 ₂ 2₂ 2 sin 1 sin sin 1        L şeklindedir.

L’nin komütasyonları; [Lz,y]=iz, [Ly,z]=ix, [Lz,z]=iy olup, bunların zıt yönlüleri negatif, aynı tür

bileşenler sıfır değerindedir. Açısal momentum bileşenlerinin birbirleriyle komütasyonu da; [Lx,Ly]=[Lx,z]

Px+x[Pz,Lx]=i(xPy-yPx)=iLz, diğer bileşenler de [Ly,Lz]=iLx, [Lz,Lx]=iLy şeklindedir. L’nin bütün

bileşenlerinin L2_{ile komütasyonu ise sıfırdır.}

c)Yükseltme ve alçaltma operatörleri:Küresel harmonik Ym(,) ler açısal momentum operatörlerinin

öz fonksiyonlarıdır. Yükseltme operatörü Ym(,) ye uygulandığında kuantum sistemi Ym+1(,) olan

seviyeye geçer, alçalma operatörü uygulandığında Ym-1(,) seviyesine geçer. Açısal momentumun

yükseltme operatörü L+=Lx+iLy, alçaltma operatörü de L-=Lx-iLy şeklindedir. Bu operatörlerin

komütasyonları; [Lz,L+]=L+, [Lz,L-]=-L- ve [L+,L-]= 2Lz şeklindedir. Bir operatörün anti-komütatörü ise [A,B]+=A.B-B.A şeklinde tanımlanır.

d)L2_{ve L}

z nin özdeğer denklemleri:L2nin özdeğer denklemi ( , ) ( 1) ( , )

2 2 _ _ _ _ lm lm l l Y Y L    _{, beklenen} değeri ise 2 2 ₍ _, ₎ ₍ ₁₎ , (    Y_lm  L Y_lm   l l

dir. Buradan L’nin beklenen değeri Ylm LYlm  l(l1)

şeklinde olmaktadır. Lz’nin özdeğer denklemi LzYlm(,)mYlm(,), beklenen değeri ise

 m Y L Y_lm _z _lm   şeklindedir.

2)HEİSENBERG MATRİS MEKANİĞİ:Heisenberg fiziksel büyüklükleri gösteren operatörleri matrislerle ifade etmiştir. Matris mekaniğinde özfonksiyonlar birer kolon matrisleri ile gösterilir. Matris elemanları da operatörün beklenen değerlerinden ibaret olan birer matrisle temsil edilirler. Matrisin elemanları ilgili operatörün o uzaydaki spektrumunu oluşturur. Operatörü temsil eden matrisin mertebesi (rankı) bağımsız özfonksiyon-uzayının boyutu ile belirlidir. Bir operatörün uzayını geren

baz-vektörlerinin skaler çarpımı; <mn>=(*1 *2 *3...)

                               n m n m mn 0 1 .... . 2 2 1 1 3 2 1  şeklindedir.

(3)

3)AÇISAL MOMENTUM OPERATÖRLERİNİN MATRİS ELEMANLARI: Her fiziksel kavram, gözlenebilir bir gerçek sayı ile ifade edildiğinden, bunların operatörleri hermitiktir ve ilgili matris köşegendir. Köşegen matrislerin matris elemanları, yani ilgigi operatörün beklenen değeri, kuantum sayıları ve Kronecker- ile ifade edilirler. Her matrisin rankı ilgili manyetik kuantum sayısının alabileceği farklı değerler sayısı ile belirlidir. sm's Ssms  s(s1)m'sms

s sm m s s z s S sm m sm'   _'  l lm m l l Llm l l lm'  ( 1) _'  l lm m l l z l L lm m lm'   _'  1 ,' ) 1 ( ) 1 ( ' _     _ lm L lm l l m m _m_m m m j j jm J jm'  ( 1) _'  1 ,' ) 1 ( ) 1 ( ' _     _  jm J jm j j m m _m_m











,' 1



2 / 1 1 ,' 2 / 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) '     _     _  jm J_x jm  j j m m _m_m j j m m _m_m m m z jm m J jm'   _' 

4)ORTOGONAL DÖNÜŞÜM:Yalnız özdeğerleri birbirinden farklı olan matrisler köşegen matris yapılabilirler. Yani öz-vektörleri lineer bağımsız olan matrisler köşegen yapılabilir. Hermitik matrisler, Hmn=H+mn (simetrik) olduklarından köşegen yapılabilen matrislerdir. Matrisi köşegen yapmak; verilen

matrisin baz vektörlerini döndürerek onun tüm köşegen-dışı elemanlarının sıfır olduğu yeni bir baz-vektörleri uzayı bulmak demektir. Koordinat sisteminin bu şekilde döndürülmesine ortogonal dönüşüm denir.

H hamiltoniyen matrisini köşegen yapmak için normalize edilmiş k özfonksiyonlar cümlesinden

yararlanılır. Hk=Ek ve H-Ek=0 dır. k  0 olacağından, katsayılar determinantı H-E=0 olacaktır. Bu

da 0 ... ... ... ... ... 21 21 12 11    E H H H E H şeklindedir. Buradaki k=



 N n n knu a 1 şeklinde olup,

(4)

rotasyon matrisi tanımlanır. Bu k vektörünün un bazına;





               NN N N n a a a a a R .... ... .... ... ) ( )... ).( ( 1 22 1 11 2 1

şeklinde bağlıdır. Rotasyon matrisi kullanılarak Hamiltoniyenin beklenen değeri, E=R_{.H.R matris}

çarpımı olarak bulunur.

BÖLÜM-4

PERTÜRBASYON TEORİSİ

1)PERTÜRBASYON TEORİSİ:Küçük değişimler teorisidir. Bir çeşit yaklaşık hesap yöntemidir. En geniş uygulama alanı atom fiziği ve parçacık fiziğinde bulur. Atomların enerji seviyeleri kuantumlu bölge ve sürekli bölge olmak üzere iki biçimde ele alınır. Bu nedenle pertürbasyon da: 1)Bağımlı durumların pertürbasyonu, 2)Sürekli bölge pertürbasyonu (saçılma teorisi) olarak iki bölümde ele alınır. Bağımlı durumların pertürbasyonu da zamandan bağımsız ve zamana bağımlı olmak üzere iki ana başlık altında toplanır. Pertürbasyon teorisinde; pertürbe olmamış hamiltoniyen H(0)_{ile pertürbasyon hamiltoniyeni H}(1)

arasında H(1)_<<H(0)_{ilişkisi vardır.}

2)ZAMANDAN BAĞIMSIZ PERTÜRBASYON:

a)Dejenere olmayan ve durağan bir seviyenin zamandan bağımsız pertürbasyonu:

Bu konu literatürde Rayleigh-Schrödinger pertürbasyonu olarak bilinir. Bir sistemin toplam hamiltoniyeni H=H(0)_+H(1)_=H(0)_{+H’ olup bunun çözümleri; E}

n=En(0)+En ve n=n(0)+n şeklindedir.

Burada 10 aralığında düzeltme parametresidir. n fonksiyonu ve En pertürbe olmuş enerji =0

civarında Taylor serisine açılmakta ve Hn =Enn den ’ya göre pertürbasyonun mertebesi

belirlenmektedir. 0_{0.mertebe, }1_{1.mertebe, }2_{2.mertebe....}

i)Birinci mertebeden yaklaşım:Bu durumda ank(1)Ek(0)+<k(0)H’n(0)>=En(0)ank(1)+An(1)kn şeklindedir.

Buradan k=n dan; pertürbe edilmiş enerji    

) 0 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( n n n n E H

E _{şeklinde bulunur. kn için de}

k.pertürbe olmamış fonksiyonun pertürbe olmuş dalga fonksiyonuna katkısı 0 (0)

) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( ' k n n k nk E E H a    

(5)

şeklindedir. bu durumda birinci mertebeden pertürbe olmuş n. dalga fonksiyonu



            n k n k k n k n n E E H ₍₀₎ ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( dır.

ii)İkinci mertebeden yaklaşım:Bu durumda enerji ve dalga fonnksiyonlarına ikinci mertebeden yaklaşım

ek terimleri gelir. Enerji için bu 0 (0)

2 ) 0 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 2 ( k n n k n k n E E H E    



  _dur.

b)Durağan ve dejenere bir seviyenin pertürbasyonu: Herhangi bir seviyenin kaç katlı dejenere olduğu,

yani dejenereliğin mertebesi



     1 0 2 ) 1 2 ( n l n l n D

olarak verilir. Atomlarda taban durumu hariç diğer seviyeler dejeneredir. Dejenere seviyeleri ayırmak için atoma dışardan elektrik ve manyetik alan uygulanır. Dejenere pertürbasyonun matematiği bir matrisi köşegen yapmaktan ibarettir. Herhangi bir n seviyesi n2_{-katlı dejenere olmakla birlikte, matematiksel işlemleri kısa tutmak için n seviyesi 2-katlı}

dejenere olarak kabul edilebilmektedir. Bu durumda En(0)seviyesine karşılık n1(0) ve n2(0) gibi iki tane öz

fonksiyon vardır. Yarılmadan ortaya çıkan enerjiler ve bu özfonksiyonlar seriye açılarak, gerekli matematiksel işlemler sonunda H11(1)C11+H12(1)=En1(1)C11 ve H21(1)C11+H22(1)=En1(1)C12 bulunur. Bu iki

denklem matris çarpımı şeklinde yazıldığında, çözüme sahip olması için, katsayılar determinantları 0 ) 1 ( 1 ) 1 ( 22 ) 1 ( 21 ) 1 ( 12 ) 1 ( 1 ) 1 ( 11 _   n n E H H H E H , 0 ) 1 ( 2 ) 1 ( 22 ) 1 ( 21 ) 1 ( 12 ) 1 ( 2 ) 1 ( 11 _   n n E H H H E H

olmalıdır. Bu determinatlara seküler determinantlar denir ve birinci mertebeden enerji düzeltmeleri buradan bulunabilir. Bu durumda yeni baz vektörleri n1=C11n1(0)+C12n2(0) ve n1=C21n1(0)+C22n2(0) dır. Burada C112+C122=C212+C222=1 dir.

Bu pertürbasyon durumu için Stark Olayı önemli bir örnek oluşturur.

c)Varyasyon metodu: Bu metotta pertürbasyonun beklenen değerini hesaplamak yerine, Hamiltonifenin kendisinin beklenen değerini hesaplamak isteriz, E=<H>. Hamiltoniyenin beklenen değeri o kuantum sisteminin uygun bir parametresinin <H>=f(Z) fonksiyonu olarak ifade edilir. Bu fonksiyonun minumum

değeri 0 ) ( _     Z Z H

dan bulunur. İşte bu denkleme varyasyon ilke denklemi denir. Parametreye (Z) göre türev alınarak bulunan ifadenin çözümünden elde edilen parametre değeri enerjinin minumumuna (taban enerji seviyesine) karşılık gelen Zet (etkin) değerdir. Buna He atomu iyi bir örnektir.

3)ZAMANA BAĞLI PERTÜRBASYON:Zamana bağlı pertürbasyonda bir kuantum sisteminin içinde bulunduğu kuantum seviyesinden, zaman içinde diğer bir kuantum seviyesine geçişin kuralları incelenir ve belirlenir. Bu tür değişimlere, foton soğurulma ya da ,, ....parçalanmaları ve her türlü uyarılmalar örnek oluşturur. Bu tür değişimler kendiliğinden oluşabileceği gibi, kuantum sistemi bir dış etken (pertürbasyon) tarafından uyarılarak da oluşturabilir. Zamana bağlı pertürbasyonda bu geçişlerin hızının bulunması ve sistemin ilk seviyede bulunma olasılığının azalışının ve son seviyede bulunma olasılığının artışının hesabı yapılır.

(6)

a)Olasılık genliği ve geçiş hızı:Bu durumda olasılık genliği an(t)’ye de bağlı olarak dalga fonksiyonu



   

_e

E t n n n r t a t r, ) ( ) ( )  (

dır. Hamiltoniyen operatörü H(t)=H(0)_+H(1)_{(t) olup, Schrödinger denklemi de}

H(r,t)=i_{[(r,t)/t] şeklindedir. H ve  yerlerine konup denklem çözüldüğünde geçiş hızı}



 n t i n kn k H a t e kn i dt t da ( ) 1 (1) ₍ ₎ 

 _{olur. Sistemin her hangi bir t anında k seviyesinde bulunma olasılığı ise,}

2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( ₍ ₎ 1



   t i t km k t H e km a  

dır. Bu birinci mertebeden yaklaşımdır.

b)Sabit pertürbasyon: Hkm(1)’nin zamandan bağımsız olması durumundaki pertürbasyona sabit

pertürbasyon denmektedir. Bu durumda geçiş olasılığı

2 0 2 2 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 sin . ) (        km km km k t H t a    dir. Bir m seviyesinden k seviyelerine (k enerji bandı) toplam geçiş olasılığı, m seviyesindeki enerji yoğunluğuna

bağlı olarak,     d t E H P m km



           ₂ 0 2 2 ) 1 ( 2 2 ) ( sin ) (  şeklindedir.

c)Harmonik pertürbasyon: Pertürbasyon operatörünün zamana göre H(1)(t) H(1)(0)Cost şeklinde değişimi harmonik pertürbasyonu ifade eder. Bu durumda mk geçişinde pertürbasyon genliği;









              ₁ ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) 0 ( ) ( (1) ( ) ( ) ) 1 ( i t km t i km km k km e km i e i i H t a        

 _{şeklinde olur. Burada kuantum}

sisteminin kendi öztitreşim frekansı km, zorlayıcı dış etkenin frekensı da  dır. Bu durumda enerji farkı

E=  şeklinde olup, + uyarmalı salınım, - uyarmalı soğurma geçişini belirtir. =km rezonans şartında

sistem pertürbasyon alanından maksimum enerji soğurur.

d)Elektrik dipol seçim kuralları: Dış uyarıcı (pertürbasyon) ile oluşan geçişler için belirli kurallar vardır. Elektrik dipol geçişler için pertürbasyon operatörü (yani rf alanı), elektrik dipol moment D er olmak üzere, H(1)_(t)=e.r.

1Cost dir. Bir m seviyesinden k seviyesine geçiş olasılığı Pmk ‘da <kDm>=0

(yasaklı geçiş), <kDm>0 (izinli geçiş) söz konusudur. Dalga fonksiyonlarının paritesi (1)lile belirlidir. l1_{şeklinde açısal momentum kuantum sayısındaki değişime elektrik dipol seçim kuralı} denir. Buna göre; elektrik dipol geçişler ancak farklı pariteli seviyeler arasında olabilmektedir. Bunun dışında manyetik kuantum sayısındaki değişimlere bağlı olarak, m=0 (-polarizasyonu), m=1 (-polarizasyonu) dır. Dış elektromanyetik alanların kuantum sistemlerini uyarması ile de geçişler olabilir. Bu durum atomik sistemlerde çok-kutuplu ışımalara yol açabilmektedir...

(7)

KAYNAKLAR:

1)”Kuantum Fiziği” –Prf.Dr.Erol AYGÜN-Doç.Dr.D.Mehmet Zengin, Ankara Üniversitesi Yayınları-2.Baskı-1992

2)”Atom ve Molekül Fiziği”- Prf.Dr.Erol Aygün-Doç.Dr.D.Mehmet Zengin-Ankara Üniversitesi yayınları-1992

3)”Çağdaş Fiziğin Kavramları”-Arthur Beiser-Çev:Doç.Dr.M.Çetin-Doç.Dr.H.yıldırım-Prf.Dr.Z.Gülsün. Dicle Ünv.yayınları-2,baskı-1989...

4)Atom ve Molekül Fiziği, Prf Dr B:H:Bransden, Prf Dr C.J.Joachain, Çevirenler:Prf Dr F.Köksal, Prf Dr H.Gümüş, On dokuz Mayıs Ünv.

5)Fizikte matematik metotlar ,Prf Dr C.Önem, Erciyes Ünv, 3.baskı, Birsen Yay.

6)Physics-part 2, Prf Dr D.Halliday, Prf Dr R.Resnick, Wiley International Edition.