XV. Ulusal Mekanik Kongresi,03-07 Eylül 2007,ISPARTA
İÇERİSİNDE DEĞİŞKEN VİSKOZİTELİ AKIŞKAN BULUNAN ÖNGERİLMELİ ELASTİK TÜPLERDE NONLİNEAR DALGA YAYILIMI
Hilmi Demiray
Işık Üniversitesi, Matematik Bölümü Şile, 34980 İstanbul
e-mail: [email protected] ÖZET
Bu çalışmada, damarı öngerilmeli ve değişken yarıçaplı ince bir tüp, kanı da viskozitesi radyal doğrultuda değişen ve sıkıştırılamayan bir Newton akışkanı gibi varsayarsak ve indirgeyici pertürbasyon yöntemini kullanarak böyle ortamda uzun dalga yaklaşımı halinde linear olmayan dalgaların yayılımı incelenmiş ve evolusyon denklemi olarak değişken katsayılı Korteweg-deVries- Burgers (KdV-B) denklemi elde edilmiştir. Bu denklem için ilerleyen dalga çözümü aranmış ve değişen yarıçap nedeniyle eksen boyunca dalga hızının da değiştiği gösterilmiştir.
ABSTRACT
In this work, treating the artery as a prestressed thin elastic tube with variable radius and the blood as an incompressible Newtonian fluid with variable viscosity, the propagation of nonlinear waves in such a composite medium is studied, in the longwave approximation, through the use of reductive perturbation method and the variable coefficient Korteweg- deVries- Burgers (KdV-B) equation is obtained as the evolution equation. A progressive wave type of solution is presented for the evolution equations and it is shown that the wave speed is variable along the tube axis.
1.GİRİŞ
Küçük fakat sonlu genlikli dalgaların bükülebilir tüpler içerisindeki yayılımı problemi Johnson [1], Hashizume [2], Yomosa[3], Demiray [4-6] gibi bilim adamları tarafından incelenmiştir. Bu tip problemleri incelemenin esas nedeni büyük damarlarda pals dalgalarının yayılımı gibi biyolojik uygulama alanı bulmasındandır. Bütün bu çalışmalarda, kan ideal bir akışkan veya sabit viskoziteli Newton akışkanı şeklinde modellenmiştir. Viskoz akışkan halinde tüp duvarına tam yapışma koşulunu sağlatmak mümkün olmadığından, bu çalışmaların büyük çoğunluğunda kan ideal akışkan gibi işleme sokulmuştur. Araştırıcılar bu
tabakalı akışkan modeli gibi yollara başvurmuşlar [7], ancak doyurucu bir sonuç alamamışlardır. Bilindiği gibi plazma ve hücrelerden (özellikle alyuvarlar) oluşan kan sıkıştırılamayan ve Newtoniyen olmayan bir akışkandır. Büyük damarlarda kan akımı sırasında damar çeperindeki alyuvarlar merkeze doğru gider ve bu bölgelerde hücre yoğunluğu ( hematokrit oranı) düşer, dolayısıyla viskozite düşer. Diğer yandan, Poiseuille akımından bilindiği gibi çepere yakın yerlerde kayma hızı yüksek değerlere ulaştığından bu bölgelerde viskozite merkeze göre düşüktür. Sonuç olarak dairesel silindirik borularda akım sırasında damar çeperine yakın yerlerde viskozite düşük, merkez kısımlarda ise yüksektir. İşte kanın bu akım özelliği nedeniyle araştırmacılar tabakalı akım modeli ortaya atmışlardır. Burada dış tabakayı ideal akışkan, iç tabakayı da viskoz akışkan olarak işleme sokmuşlardır. Ancak burada da tabakaların kalınlığı ve ara yüzeylerdeki kayma gerilmesi uyumsuzluğu hala çözümlenmemiş sorulardır.
Bu çalışmada, kanın yukarıda açıklanan özelliklerinden esinlenerek, değişken viskoziteli bir akışkan modeli ortaya atılmıştır. Bu modelde viskozitenin damar çeperinde sıfır, merkezde ise en büyük değerini aldığı varsayılmıştır. Kanı bu tip bir akışkan, damarı da öngerilmeli değişken yarıçaplı ince bir tüp kabul ederek böyle bir kompozit ortamda zayıf nonlinear dalgaların yayılımı problemi incelenmiştir. Uzun dalga yaklaşımı halinde indirgeyici perturbasyon yöntemi kullanarak evolüsyon denklemi olarak değişken katsayılı Korteweg-deVries- Burgers (KdV-B) denklemi elde edilmiştir. Bu evolüsyon denkleminin ilerleyen dalga tipi çözümü aranmış, değişken yarıçapın dalga hızını da değişken yaptığı gözlenmiştir. 2.TEMEL DENKLEMLER
2.1.Tüp Denklemleri
Başlangıç yarıçapı R0 olan dairesel silindirik bir tüpün P0(Z*) değişken iç basıncına maruz kaldığı düşünülürse, tüp üzerindeki herhangi bir noktanın konum vektörü
0 ( ) , r f* z* z* é ù =ë - û + 0 r er ez z lzZ *= * (1)
şeklinde yazılabilir. Burada lz eksenel doğrultudaki germeyi, r0 tüpün koordinat
merkezindeki şekil değiştirmiş yarıçapını, f*(z*)yarıçap değişim fonksiyonunu,e ,e ,er θ z ise silindirik koordinatlardaki baz vektörlerini göstermektedir.
Kalbin pompalama hareketi sonucu oluşan kan akımı sırasında tüpte radyal doğrultuda
(
* *)
*
t z
u , dinamik yer değiştirmesi oluşacaktır. Damarın yataklanma koşulları nedeniyle eksenel yöndeki yer değiştirme ihmal edilecektir. Buna göre, tüp üzerindeki bir noktanın konum vektörü 0 ( ) r f* z* u* z* é ù =ë - + û+ +r z r e e (2)
1/ 2 2 1 ( ' ) , z u f z l * * * é ¶ ù = ê + - + ú ¶ ë û 1 λ 0 2 0 r f u R l = - *+ * (3)
şeklinde verilebilir. Burada
( )
¢, ilgili büyüklüğün z ’ye göre türevini göstermektedir. * Koordinat düzlemleriyle kesilmiş küçük bir tüp elemanı göz önüne alınırsa, tüpün radyal doğrultudaki hareket denklemi aşağıdaki biçimde verilebilir2 0 0 0 1 2 0 2 2 2 1 1 1 0. r z z z R P R u u R f z z H z m l m l l r l l l l l l * * ¢ * * * * é ¢ ù ¶ å ¶ æ ¶ ö ¶ å ¶ - + êç- + ÷ ú+ - = ¶ ¶ ëè ¶ ø ¶ û ¶ (4)
Burada å tüpün şekil değiştirme enerjisi fonksiyonunu, m kayma modülünü Pr*akışkan reaksiyon kuvvet yoğunluğunu,r0ise tüp malzemesinin kütle yoğunluğunu göstermektedir. 2.2.Akışkan Denklemleri
Bilimsel incelemeler kanın plazma adı verilen düşük viskoziteli bir sıvı ile hücrelerden oluştuğunu göstermektedir. Bu hücrelerin büyük çoğunluğu alyuvarlardır. Alınan bir kan numunesinde hücre hacminin kan hacmine oranına hematokrit oranı adı verilir. Yapılan deneysel çalışmalar artan hematokrit oranı ile viskozitenin arttığını, artan kayma hızı ile de viskozitenin düştüğünü göstermektedir. Silindirik bir boru içerisinde bir kan akımı düşünüldüğünde, Poiseuille akımından da anlaşılacağı gibi, boru çeperine yakın yerlerde kayma hızı çok büyük değerlere ulaşır, dolayısıyla buralarda viskozite düşüktür. Keza, merkeze yakın yerlerde hız yüksek çepere yakın yerlerde düşük olduğundan, Bernoulli yasasına göre çeperlerdeki basınç merkeze nazaran daha yüksektir. Bu basınç farkı radyal doğrultuda merkeze doğru bir basınç gradyantı oluşturur ve hücrelerin merkeze doğru hareketini sağlar ve bunun sonucu olarak da çepere yakın yerlerde hematokrit oranı oldukça düşük düzeylere iner. Silindirik boru içerisindeki akım göz önüne alındığında, çepere yakın yerlerde viskozite düşük, merkeze yakın yerlerde ise viskozite yüksektir. İşte kanın bu davranış biçimi nedeniyle tüp içi akımda çeşitli modeller ortaya atılmıştır. Bunlardan bir tanesi tabakalı akışkan modeli olup dış tabaka ideal akışkan çekirdek kısım ise viskoz akışkan olarak işleme sokulmaktadır. Ancak bu modelde tabakaların kalınlığının ne olacağı, viskoz akışkan bölgesindeki kayma gerilmesinin nasıl dengeleneceği gibi sorular cevapsız kalmaktadır.
İşte bu çalışmada, değişken viskoziteli akışkan modelinin yukarıdaki olumsuzlukları gidereceği ve boru içerisindeki kan akımın daha iyi karakterize edeceği düşünülerek böyle bir model ortaya atılmıştır. Bu modele göre viskozite radyal doğrultuda değişken, çeperde sıfır değerini almaktadır. Böyle bir viskoz akışkana ait hareket denklemleri ve sınır koşulları aşağıdaki gibi verilebilir
1 r r r r z f V V V P V V t r z r r * * * * * * * ¶ + ¶ + ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
1 z z z r f V V V P V Vz t r z r z * * * * * * * * ¶ + ¶ + ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ 2 2 2 2 1 ˆ ( )r Vz Vz Vz ( )r Vr Vz 0, r r r z z r ng æ¶ * ¶ * ¶ **ö ng¢ æ¶ ** ¶ *ö - ç + + ÷- ç + ÷= ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ è ø è ø ) (6) 0, r r z V V V r r z * * * * ¶ + +¶ = ¶ ¶ (7) ve sınır koşulları f f z r r r r u u V f V t z * * ¢ * * * = * * = æ ö ¶ ¶ = + -ç + ÷ ¶ è ¶ ø 1 ˆ ˆ 2 ( ) ( ) . z r r z r f f f V u V V P P r r f r r r z z r l r ng r ng l * * * * ¢ * * * * é ¶ æ ¶ öæ¶ ¶ öù = ê - + ç- + ÷ç + ÷ú = ¶ è ¶ øè ¶ ¶ ø ë û (8)
Burada V Vr*, z* radyal ve eksenel doğrultudaki hız bileşenlerini, P basınç fonksiyonunu, r f akışkanın kütle yoğunluğunu, ˆn kinematik viskoziteyi, g( )r viskozite değişim fonksiyonunu,
f
r ise tüpün nihai yarıçapını göstermektedir.
Uygun boyutsuzlaştırma parametreleri tanımlayarak aşağıdaki boyutsuz alan denklemleri elde edilir 2 1 2 2 2 2 1 1 . 1 ( ) r z z m u f u z P f u t z u f z q l l l l é ì üù ê ï ¢ ïú ¶ ¶ å ¶ ï - + ¶ ¶ ï ê ú = ê + - í ýú - + ê ¶ ¶ ¶ ïé ¶ ù ïú ¢ + - + ïê ú ï ê îë ¶ û þú ë û (9) r r r r z V V V p V V t x z x ¶ + ¶ + ¶ +¶ ¶ ¶ ¶ ¶ 2 2 2 2 2 1 ˆ ( )x Vr Vr Vr Vr 2ˆ ( )x Vr 0, x x x x z x ng æ¶ ¶ ¶ ö ng¢ ¶ - ç + - + ÷- = ¶ ¶ ¶ ¶ è ø (10) z z z r z V V V p V V t x z z ¶ + ¶ + ¶ +¶ ¶ ¶ ¶ ¶ 2 2 2 2 1 ˆ ( )x Vz Vz Vz ˆ ( )x Vr Vz 0 x x x z z x ng æ¶ ¶ ¶ ö ng¢ æ¶ ¶ ö - ç + + ÷- ç + ÷= ¶ ¶ ¶ è ¶ ¶ ø è ø (11) 0, r r z V V V x x z ¶ + +¶ = ¶ ¶ (12) ve sınır koşulları ( ) f u f u r x z x u u V f V t z q q l- + l- + = = ¶ ¢ ¶ = + - + ¶ ¶ ˆ ˆ 2 ( ) ( ) f u r r r x V u Vz V P p x x f x z x z q l ng ng - + = é ¶ æ ¢ ¶ öæ¶ ¶ öù =ê - + ç- + ÷ç + ÷ú ¶ è ¶ øè ¶ ¶ ø ë û (13)
şeklini alır. Burada 0 r x R = ve 0 0 r R q l = biçiminde tanımlanmıştır.
3.UZUN DALGA YAKLAŞIKLIĞI
Bu kısımda, içi akışkan ile dolu öngerilmeli bir elastik tüp içerisine küçük fakat sonlu genlikli uzun dalgaların yayılması incelenecektir. Bunun için uzun dalga yaklaşımı esas alınacak ve indirgeyici pertürbasyon yöntemi [8] kullanılacaktır. İncelenecek problemin bir sınır değer problemi olması nedeniyle aşağıdaki şekilde gerilmiş koordinat takımı kullanılacaktır
1 2 3 2
(z ct), z.
x e= - t e= (14)
Burada e küçük bir parametre olup nonlinearliğin, dispersiyonun ve dissipasyonun mertebesini karakterize etmekte, c ise daha sonra belirlenecek olan bir ölçüt parametresidir. (14) denkleminden z çözülür, 3 2
z=t e ve f z ifadesinde yerine konursa ( )
(
3 2)
( )
f z = f t e şeklini alır. Tüp yarıçapındaki değişimin etkisini hesaba katabilmek için ( )
f z fonksiyonunun mertebesinin e5 2 olması gerekir. İncelenmekte olan problem için f z( ) fonksiyonunun f z( )=e th( ) şeklinde olduğu varsayılacaktır. Ayrıca, denklemlerde görülen değişkenlerin aşağıdaki biçimde e parametresi cinsinden bir asimptotik seriye açılacağı kabul edilecektir.
(
)
2 1 2 (1) 2 (2) 1 2 (1) 2 ( 2) (0) (1) 2 (2) 2 2 0 1 2 0 1 2 ..., ... , ..., ..., ..., ( ) ( ) ( ) ( ) ... r r r z z r r r r r u u u V V V V V V P P P P p p p p x x x x e e e e e e e e e e e g g eg e g = + + = + + = + + = + + + = + + + = + + + (15)Burada viskozite değişim fonksiyonug( )x aşağıdaki gibi lineer kabul edilmiştir.
( ) 1 . ( ) x x h u q g l e t = -- + (16)
Buna göre g0( ),x g1( )x ve g2( )x katsayı fonksiyonları aşağıdaki biçimde verilebilir
0( ) 1 , x x q g l = - 1( ) 2( 1 ), x x u h q g l = -
(
)
2 1 2( ) 2 2 . u h x x u q q g l l é - ù = ê - ú ê ú ë û (17)(15) ve (17) açılımları (9)-(13) de verilen denklemlerde yerine konur ve e ’nun benzer kuvvetlerinin katsayıları sıfıra eşitlenirse aşağıdaki denklemler elde edilir.
O (e) mertebesinden denklemler 1 0, p x ¶ = ¶ (1) (1) (1) 0 r r z V V V x x x ¶ + +¶ = ¶ ¶ (1) 2 (1) (1) (1) 1 0 2 0 1 ( ) ( ) 0, z z z z V p V V V c x x x x x x ng ng x x æ ö ¶ ¶ ¶ ¶ ¢ ¶ - + + ç + ÷- = ¶ ¶ è ¶ ¶ ø ¶ (18) ve sınır koşulları (1) 1 (1) 1 , . r x x r u V lq c p lq P x = = ¶ = - = ¶ (19) O 2 (e mertebesinden denklemler ) -c (1) 2 (1) (1) (1) (1) 2 0 2 2 0 1 ( ) 2 ( ) 0, r r r r r V p V V V V x x x ng x x x x ng x x æ ö ¶ +¶ - ¶ + ¶ - - ¢ ¶ = ç ÷ ¶ ¶ è ¶ ¶ ø ¶ ( 2) (1) (1) (1) (1) 2 1 z z z r z V p p V V c V V x x x t x ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ - + + + + ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ 2 ( 2) (2) 2 (1) 2 (1) (1) 0 2 2 1 2 1 1 ( )x Vz Vz Vz ( )x Vz Vz x x x x x x ng ng x æ¶ ¶ ¶ ö æ¶ ¶ ö - ç + + ÷- ç + ÷ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ è ø è ø (1) (2) (1) 0( ) 1( ) 0, r z z V V V x x x x ng ng x æ¶ ¶ ö ¶ ¢ ¢ - ç + ÷- = ¶ ¶ ¶ è ø (2) (2) ( 2) (1) 0, r r z z V V V V x x x t ¶ + +¶ +¶ = ¶ ¶ ¶ (20) ve sınır koşulları (1) ( 2) 2 1 (1) 1 ( ) r r x z x V u u V u h c V x =lq x x =lq é + - ¶ ù = - ¶ +¶ ê ¶ ú ¶ ¶ ë û (1) ( 2) 1 2 ( 1 ) 2 0( ) r r x p V P p u h x x ng x =lq é ¶ ¶ ù =ê + - - ú ¶ ¶ ë û (21)
Burada, n viskozite katsayısının 1 2
( )
O e mertebesinde, yani n =e n1 2 şeklinde, olduğu kabul edilmiştir.
Denklemleri tamamlayabilmek için (1) r
P ve Pr(2) terimlerinin u radyal yer değiştirmesi cinsinden açık ifadelerini bilmek gerekiyor. Bunun için l l1, 2 germelerinin seri açılımlarını bilmek gerekiyor. Gerekli açılımlar yapılırsa
(
)
21 z, 2 q u1 h u2 ...
elde edilir. Bu açılımlar (13) denklemiyle belirlenen Pr ifadesinde yerine konursa Pr(1)ve Pr(2) ifadeleri aşağıdaki biçimde verilebilir
(1) 1( 1 ), r P =b u -h (23) 2 2 ( 2) 1 2 0 2 1 2 2( 1 ) . r u mc P u u h z q b b b l l x æ ö ¶ =ç - ÷ ¶ + + -è ø (24)
Burada b b ve 0, 1 b katsayıları aşağıdaki biçimde tanımlanmıştır 2
0 1 , z q b l l ¶ å = ¶ 2 1 2 2 1 1 z z q q q q b l l l l l l ¶ å ¶ å = -¶ ¶ , 3 1 2 3 1 . 2 q z q q b b l l l l ¶ å = -¶ (25) 3.1 Alan Denklemlerinin Çözümü
Bu kısımda (18)-(24) arasında verilen alan denklemlerinin çözümü, sonuçta da bu büyüklükleri yönetecek evolüsyon denklemleri elde edilecektir. (18) ve (19) denklemleriyle verilen O
( )
e mertebesindeki denklemlerin çözümünden1 ( , ), u =U x t p1=b1(U-h), (1) 1
[
]
1( ) z V U w c b t = + (1) 1 , 2 r U V x c b x ¶ = -¶ 2 1 2 , c q b l = (26)elde edilir. Burada w1
( )
t eksenel yöndeki daimi akımı karakterize eden bir fonksiyon, ( , )U x t ise bilinmeyen bir fonksiyon olup evolüsyon denklemi daha sonra elde edilecektir. (26) ile verilen çözümler (20), (21) ve (24) denklemlerinde yerine konursa
2
( )
O e mertebesinden diferansiyel denklemler aşağıdaki şekli alır
2 2 1 1 2 0, 2 p U U x x qc b nb x l x ¶ + ¶ - ¶ = ¶ ¶ ¶
( )
(2) 2 1 1 1 1 1 2 2 z V p U dh U U c U w d q q b b b b t x x t t l x l x ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ - + + - + + ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ 2 ( 2) (2) ( 2) 2 2 1 1 2 2 2 1 1 0, 2 z z z V V V x U U x x x x x c c q q q nb nb n n l l l x x æ öæ¶ ¶ ö ¶ ¶ ¶ - ç - ÷ç + ÷+ + - = ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ è ø è ø( )
(2) (2) (2) 1 1 1 0, r r z dw V V V U x x c c d t b b x t t ¶ + +¶ + ¶ + = ¶ ¶ ¶ (27) ve sınır koşulları ( 2) 2 1 1 1 1 3 ( ) , 2 2 r x u U U U V c U h w c c c q l b b b t x x x x = ¶ ¶ ¶ ¶ = - + - + ¶ ¶ ¶ ¶(
)
2 2 2 2 x 0 2 1 2 2 z mc U p u U h q l q b b b l l x = æ ö ¶ =ç - ÷ ¶ + + -è ø (28)(27) denklemi (28) ile belirlenen sınır koşulları altında çözülürse
2 2 1 1 2 2 2 4 U U p p x x c q b nb x l x ¶ ¶ = - + ¶ ¶ 2 ( 2) 1 2 2 2 ( , ) 4 z U V x w c b x t x ¶ = - + ¶ 3 ( 2) 1 3 2 1 1 1 3 1 , 16 2 w dw U U V x x c c c d g b b b x x t t æ¶ ö ¶ ¶ = - ç + + ÷ ¶ è ¶ ¶ ø (29)
elde edilir. Buradaw2 ve p2 bilinmeyen iki fonksiyon olup aşağıdaki denklemi sağlarlar
2 2 1 1 1 1 1 2 2 ( ) 0. w p U dh U U c U w d q q b b b b t x x t t l x l x ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ - + + - + + = ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (30)
(28) de verilen sınır koşulları kullanılırsa aşağıdaki evolüsyon denklemi elde edilir
2 3 2 0 2 3 2 1 1 5 2 16 4 z 2 2 U U m U U U c q q l b b n t l b x l b x x æ ö æ ö ¶ + + ¶ + + - ¶ - ¶ ç ÷ ç ÷ ¶ è ø ¶ è ø¶ ¶
( )
2( )
(
)
1 1 1 2 1 1 0. 2 2 U d w h w h d q q b t t l b l x t é æ ö ù¶ +ê -ç + ÷ ú ¶ + - = ê è ø ú ë û (31)Bu evolüsyon denklemi U = hali için de geçerli olmalıdır. Bu ise ancak ve ancak 0
( )
( )
1
w t =h t olmasıyla mümkündür. Bu durumda (31) evolüsyon denklemi aşağıdaki şekli alır 2 3 1 2 2 3 3 4 ( ) 0. U U U U U U h m m m m t t x x x x ¶ + ¶ - ¶ + ¶ - ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (32)
Burada m m m ve 1, 2, 3 m katsayıları aşağıdaki biçimde tanımlanmıştır. 4
2 1 1 5 , 2 q b m l b æ ö =ç + ÷ è ø 2 2c, n m = 2 0 3 1 , 16 4 z 2 m q l b m l b æ ö =ç + - ÷ è ø 2 4 1 3 . 2 q b m b l = - (33)
(32) evolüsyon denklemi değişken katsayılı Korteweg-deVries-Burgers (KdV-B) denklemi olarak adlandırılır. Bu denklemde
4 0
, h s ds( )
t
t¢=t x¢= +x m
ò
(34)şeklinde bir koordinat dönüşümü kullanılırsa aşağıdaki sabit katsayılı KdV-B denklemi elde edilir 2 3 1 2 2 3 3 0. U U U U U m m m t x x x ¶ + ¶ - ¶ + ¶ = ¢ ¢ ¢ ¢ ¶ ¶ ¶ ¶ (35)
Bilindiği gibi bu evolüsyon denklemi 2 2 2 1 1 2 3 (sec 2 tanh ), 25 a U m h x x m m m = + + 2 4 1 3 0 ( ) 10 a h s d t m x x t m m é ù = ê - + ú ë
ò
û (36)şeklinde ilerleyen bir dalga çözümüne sahiptir [9]. Faz fonksiyonu ifadesinden görüleceği gibi dalga ışınları artık doğrular değil
( )
x t düzleminde bir eğriler ailesinden ibarettir. Bunun bir , sonucu olarak da dalga hızı sabit olmayıp eksenel doğrultudaki koordinatın bir fonksiyonudur. Burada t ’nun uzaysal, x’nin de zaman değişkeni olduğu göz önünde bulundurulursa dalga hızı( )
4 1 d d v d a h t x m t = = - (37)şeklinde verilir. Bu değişken hız damarlardaki daralmanın (stenosis) bir sonucudur. 4.SONUÇ
Bu çalışmada, damarı değişken yarıçaplı ve öngerilmeli ince bir tüp, akışkanı da sıkıştırılamayan ve değişken viskoziteli bir akışkan gibi işleme sokarak, uzun dalga limiti halinde, ortamda zayıf nonlineer dalgaların yayılımı problemi incelenmiş ve evolusyon denklemi olarak değişken katsayılı Korteweg-deVries-Burgers(KdV-B) denklemi elde edilmiştir. Uygun bir değişken dönüşümü ile bu evolusyon denklemi bilinen sabit katsayılı KdV-B denklemine dönüştürülerek bu denkleme ilerleyen dalga çözümü aranmıştır. Elde edilen sonuçlara göre: (1) dalga ışınları birer doğrular değil eğriler şeklinde ortaya çıkmaktadır. (2) Bunun bir sonucu olarak, dalga hızı da eksenel koordinat ile değişmektedir. Bu her iki değişime de stenosisin, damar yarıçapındaki değişimin, neden olduğu söylenebilir.
KAYNAKLAR
[1] Johnson, R. S.,“A non-linear equation incorporating damping and dispersion”, Journal of Fluid Mechanic, 42, 49-60, 1970.
[2] Hashizume, Y., “Nonlinear Pressure Waves in a Fluid- Filled Elastic Tube”, J. Phys. Soc. Japan, 54, 3305-3312, 1985.
[3] Yomosa, S., “Solitary Waves in Large Blood Vessels, J. Phys. Soc.Japan, 56, pp.506-520, 1987.
[4] Demiray, H., “Solitary waves in prestressed elastic tubes”, Bull. Math. Biol, 58, 939-955, 1996.
[5] Demiray, H., “Slowly varying solitary waves in an elastic tube filled with a viscous fluid”, ARI (formely, the Bulletin of Technical University of İstanbul), 51, 98-102,1998. [6] Demiray, H., “Solitary waves in a tapered prestressed fluid-filled elastic tube”, Z.angew.
Mat. Phys, 55 , 282-294, 2004.
[7] Demiray, H., “Solitary waves in elastic tubes filled with a layered fluid”, Int. J. Eng. Sci, 39, 629-640, 2001
[8] Jeffrey, A. and T. Kawahara, T.,“Asymptotic methods in nonlinear wave theory”, Pitman, Boston, 1981
[9] Demiray, H., “A note on the travelling wave solution to the KdV-Burgers equation”, Wave Motion, 38, 367-369, 2003
