Termoelastik Kısıtlı Cisimlerde Zayıf Şok Dalgası Yayılması Ve Kayma Bandı Oluşumu

XV. Ulusal Mekanik Kongresi,03-07 Eylül 2007,ISPARTA

TERMOELASTİK KISITLI CİSİMLERDE ZAYIF ŞOK DALGASI YAYILMASI VE KAYMA BANDI OLUŞUMU

Tekin GÜLTOP ve Bahadır ALYAVUZ

Gazi Üniversitesi, Müh.–Mim. Fakültesi, İnşaat Müh. Bölümü, Ankara ÖZET

Belli bir doğrultudaki uzamazlık kısıtlaması altındaki termoelastik cisim için zayıf şok dalgası hızları elde edilmiştir. Bunun için birinci mertebe tekillik yüzeyi olan zayıf şok dalgası eşiği üzerindeki sıçramalar Taylor serisi açılımı yapılarak hesaplanmıştır. Bünye denklemleri serbest ve kısıtlı kısımların toplamları olarak yazılmıştır. Hiperelastik malzeme modeli olarak sıcaklık terimlerinin bulunduğu geliştirilmiş St.Venant – Kirchhoff modeli seçilmiştir. Son kısımda incelenen örnek problemde tek eksenli çekme altında, yatay ile 45º açı yapan liflerle donatılmış sıkıştırılabilir termoelastik cisim için zayıf şok dalgası yayılma hızları, bunların sıcaklık ve uzama değerleri ile değişimleri ve kayma bandı oluşturacak kritik uzama değerleri sunulmaktadır.

ABSTRACT

Weak shock wave propagation speeds are determined in an inextensible thermoelastic solid. Jumps across the shock wave front are obtained by using Taylor’s series expansion. The constitutive equations are written as the summation of unconstrained and constrained parts. For the hyperelastic material, the modified St Venant-Kirchhoff material model is considered. Weak shock wave propagation speed variation versus temperature and stretches, and critical stretches corresponding to shear band formation are obtained for a thermoelastic solid reinforced with inextensible fibers.

1. GİRİŞ

Kayma bandları sünek metallerde, polimer tür malzemelerde, kaya ve taneli zeminlerde yüksek deformasyon altında oluşabilen ve cismin yırtılmasından hemen önce meydana gelen ince kalınlıklı yüzeylerdir. Bu yüzey üzerinde deformasyon gradyanının zaman türevinde sıçrama oluşur. Tekillik yüzeyi hareket denklemi ile kayma bandı için geçerli olan süreklilik denklemi, tekillik yüzeyi yayılma hızının sıfıra eşit olması durumunda aynı eşitlik olurlar [1]. Hadamard [2], kayma bandı oluşumunu ivme dalgası kullanarak elastik malzemelerde, Hill [3] ve Mandel [4] plastik malzemelerde, Reddy [5] ve Gültop [6] hiperelastik malzemelerde incelemişlerdir. Gültop ve Alyavuz [7], geliştirilmiş termoelastik St.Venant-Kirchhoff malzemelerinde zayıf şok dalgası kullanarak kritik uzama değerlerini elde etmişlerdir.

Kısıtlı cisimler için dalga yayılması probleminin çözümünde Reddy [8] enerji fonksiyonu, gerilme ve entropi gibi bünye denklemlerini kısıtlı ve kısıtsız kısımlara ayrıştırılarak matematiksel model oluşturmuştur. Bu doğrultuda Gültop [9], termoelastik kısıtlı cisimler zayıf şok dalgası yayılma hızlarını belirlemiştir. Burada sunulan çalışmada kısıtlı termoelastik cisim bir doğrultuda uzamaz liflerle kuvvetlendirilmiş sıkıştırılabilir hiperelastik malzeme olarak düşünülmüştür. Ele alınan malzeme için kullanılan Helmholtz serbest enerji fonksiyonu St.Venant–Kirchhoff malzemelerine sıcaklık terimlerinin eklenmesiyle elde edilmiştir [10].

2. TERMOELASTİK CİSİMLERİN BÜNYE TEORİSİ 2.1. Hareket denklemleri ve Termodinamik Şartlar

Referans konumundaki yeri X, deformasyon sonrasında yeri x(X,t) konum vektörü ile gösterilen noktalardan oluşan cismin hareket ve deformasyon bilgisini veren deformasyon gradyan tansörü aşağıdaki gibidir.

) , ( Grad ) , ( t t X x X X x F = ∂ ∂ = (1)

Referans konumunda, kütle kuvvetlerinin ihmal edildiği durum için doğrusal momentumun korunumu ve yerel formda enerjinin korunumu ise aşağıdaki gibidir.

x T _0&& Div =ρ (2) 0 det ₀ 0 _∂ − = ∂ − • − h e ρ ρ x q F F T & & (3)

Burada, T 1.Piola – Kirchhoff gerilme tansörü, x&& ivme ve ρ0 referans konumundaki kütle

yoğunluğu, e birim kütledeki iç enerji yoğunluğu, q ısı akı vektörü ve h ısı kaynağıdır. Yerel formda entropi üretim eşitsizliği η ortamın entropisi ve θ ise mutlak sıcaklığı göstermek üzere aşağıdaki gibi yazılır.

0 div 0 0 0γ ≡ρ η−ρ _θ − _θ ≥ ρ & h q (4) 2.2. Kısıtsız Cisimler

Malzeme özelliklerinin, koordinat sistemi hareketlerinden bağımsız olduğunu ifade eden objektivite ilkesine uygun olarak, doğrusal olmayan, termoelastik bir malzemede gerilme, serbest enerji fonksiyonu ve entropi sırasıyla aşağıdaki ifadelerden elde edilebilirler.

(

F,θ,Gradθ

)

T T= (5)

(

θ θ

)

ψ ψ = F, ,Grad (6)

(

θ θ

)

η η = F, ,Grad (7)

Oluşturulacak denklemler bünye teorisinin aksiyomlarına uygun olmalıdır. Örnek olarak, uygunluk aksiyomu sağlanmalıdır. Buna göre, bünye denklemleri mekanik uygunluk şartı olan kütlenin, momentumun ve enerjinin korunumunu sağlamalıdır. Ayrıca termoelastik malzemeler için, deformasyon sonrasında oluşacak süreçte Clausius – Duhem eşitsizliğinin

sağlanması ve sıfırdan büyük sıcaklık değerinin oluşması

(

θ >0

)

beklenir. Bu da termodinamik uygunluğu ifade etmektedir. Eğer gerilme, iç enerji ve entropi bir potansiyelden türetilebiliyorsa termodinamik uygunluk şartı sağlamış olur. Bu doğrultuda, gerilme aşağıda verilen şekliyle bir potansiyel fonksiyondan oluşturulur. Genellikle büyük deformasyon yapan cisimlerin bulunduğu problemlerde kullanılan 1.Piola – Kirchhoff gerilme tansörü

F T

∂ ∂

= W (8)

ifadesiyle sıcaklığın bir fonksiyonu olan W gerilme potansiyelinin F deformasyon gradyanına göre türevi alınarak hesaplanır. Cismin bünyesinde bulunan ve dış etkiler sonucunda değişim gösteren iç enerji ise gerilme potansiyeli ve sıcaklık cinsinden

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − = θ θ ρ W W e 0 1 ₍₉₎

olarak yazılabilir. Benzer şekilde, ortamın mikro boyutlarda rasgele dağılımının ve düzensizliğinin ölçüsü olan entropi ile serbest enerji fonksiyonu, gerilme potansiyelinden aşağıdaki gibi elde edilir.

θ ρ η ∂ ∂ − = W 0 1 ₍₁₀₎ W 0 1 ρ ψ = (11)

Elastik cisimler için gerilme potansiyeliyle çalışmak uygun olsa da, mutlak sıcaklık ve entropi gibi sıcaklık parametrelerinin de kullanılması gereken bir malzemede serbest enerji fonksiyonunu kullanmak daha uygun olmaktadır. Bu nedenle, Eş.8’de verilen 1.Piola – Kirchhoff gerilme tansörü, Eş.9 ve Eş.10’nun yardımıyla ve entropi ile sıcaklığın deformasyon gradyanından bağımsız olduğu düşünülerek aşağıdaki gibi yazılabilir.

F T

∂ ∂

=ρ₀ ψ (12)

Aynı şekilde, iç enerji ve entropi de Helmholtz serbest enerji fonksiyonu kullanılarak sırasıyla aşağıdaki gibi gösterilebilir.

θη ψ + = e (13) θ ψ η ∂ ∂ − = (14)

Bu çalışmada Duhamel – Neumann formunda bir şekil değiştirme enerjisi fonksiyonu kullanılmıştır. Buna göre Helmholtz serbest enerji fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlıdır.

( )

( )

(

)( )

(

θ θ

)

η θ θ θ θ α κ μ λ θ ψ 2 ₀ 0 0 0 0 0 2 2 2 tr tr tr 2 1 ) , ( = + − − − v − − T c E E E E (15)

2.3. Kısıtlı Cisimler

Eş.5-7’de verilen bünye denklemleri, kısıtlı cisimler için serbest ve kısıtlı bölümlere ayrılarak aşağıdaki gibi yazılabilmektedir.

(

θ

)

ψ

( )

θ ψ ψ = ₀ F, ,g + p _k F, (16)

(

,θ,

)

( )

,θ 0 _{F g T F} T T_{= + p} k ₍₁₇₎

(

θ

)

η

( )

θ η η = ₀ F, ,g + p _k F, (18)

Burada sırasıyla, ψ₀ ve ψ_k Helmholtz serbest enerji fonksiyonunun serbest ve kısıtlı tamamlayıcı bölümleri, _T0 _{ve T}k _{birinci Piola – Kirchhoff gerilme tansörünün serbest ve}

kısıtlı tamamlayıcı bölümleri, η₀ ve η_k ise entropinin serbest ve kısıtlı tamamlayıcı bölümleri göstermektedir. p ise herhangi bir değer alabilen skaler katsayıdır. Kısıtlı cisimler için oluşturulan bünye teorisinde kısıtlı tamamlayıcı bölümleri kısıtlama denklemleriyle ilişkilendirmek için Clausius – Duhem eşitsizliği kullanılabilir. Buna göre Eş.16’da verilen Helmholtz serbest enerji fonksiyonu, Eş.13 ve Eş.4 kullanılarak aşağıdaki eşitsizlik elde edilir.

(

0

)

0 0 0 0 0 0 0 − − + • + − + • ≥

− & & & T F& & Tk F&

k

k p

pρψ ρ η θ ρ η θ

ψ

ρ (19)

Burada p’nin ‘herhangi bir değer alabileceği’ özelliğini kullanarak ve eşitsizliğin her durumda korunacağını düşünerek aşağıdaki sonuçlara ulaşılmaktadır.

0 = k ψ (20) 0 0 + • = − & Tk F& kθ η ρ (21)

Cismin deformasyonunu sınırlayan kısıtlama fonksiyonu aşağıdaki genel formda yazılabilir.

( )

,θ =0 φα _{F , n} L 1 = α (22)

Burada n cisimde bulunan kısıt sayısını göstermektedir. Gerilme ve entropinin kısıtlı kısımlarını bulabilmek için Eş.22’de verilen kısıt fonksiyonunun birinci zaman türevini alarak ve Eş.21’den yararlanarak F T ∂ ∂ = p_αρ₀ φα k _{, n} L 1 = α (23) θ φ η _α α ∂ ∂ − = p k , α =1Ln (24)

elde edilebilir. Yukarıda bulunan kısıtlı bölümlere ait eşitliklerle, gerilme tansörü, serbest enerji fonksiyonu ve entropinin toplam halleri aşağıdaki gibi olacaktır.

∑

= ∂ ∂ + ∂ ∂ = n p 1 0 0 0 α α α φ ρ ψ ρ F F T (25) 0 ψ ψ = (26)

∑

= ∂ ∂ − ∂ ∂ − = n p 1 0 α α α _θ φ θ ψ η (27)

Eş.26’da Helmholtz serbest enerji fonksiyonu, kısıtsız bölümün sıfıra eşit olması nedeniyle kısıt fonksiyonundan bağımsız halde bulunmaktadır. Bu durumda kısıt fonksiyonu ile ilişkilendirebilmek için aşağıdaki serbest enerji fonksiyonu önerilmektedir.

( )

_∑

( )

= + = n p 1 0 , , α α αφ θ θ ψ ψ F F (28)

Buradaki eşitlikte de kısıtlı kısım sıfıra eşittir ve Eş.26’de verilen form bozulmamış olur. Bu aşamadan sonra serbest enerji fonksiyonunun bütünü kullanılarak kısıt fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılabilir. α α ψ φ p ∂ ∂ = (29)

Eş.22’de deformasyon gradyanı ve mutlak sıcaklık cinsinden genel olarak verilen kısıtlama fonksiyonunun sıcaklığa bağlı uzama için özel hali aşağıdaki gibidir.

( )

= • −

( )

θ =0

φ F Fe Fe h (30)

Burada e uzamaz lifler doğrultusundaki birim vektör, h

( )

θ fonksiyonu ise sıfırdan büyük değer alan bir fonksiyondur. Bütünüyle mekanik uzamazlık kısıtı ise aşağıdaki gibidir.

( )

F =Fe•Fe−1=0

φ (31)

3. BİR DOĞRULTUDA UZAMAZ TERMOELASTİK CİSİMDE ZAYIF ŞOK DALGASI YAYILMASI

Bir f fonksiyonunun, ortamı ikiye ayıran bir yüzeyin sonsuz küçük ilerisindeki ve sonsuz küçük gerisindeki değerler arasındaki fark bu fonksiyonun yüzey üzerindeki sıçramasını gösterir. Sıçrama değeri sıfırdan farklı ise bu yüzey tekillik yüzeyi olarak adlandırılır. Ortam içerisinde sıfırdan farklı bir hızla yayılan tekillik yüzeyi ise dalga olarak tanımlanabilir.

Şok dalgaları, ortamı oluşturan noktaların hareketinin sürekli olduğu, hızlarında ve deformasyon gradyanında ve bunların zaman türevlerinde sonlu sıçramaların bulunduğu tekillik yüzeyleridir. Hızdaki ve deformasyon gradyanındaki sıçramalar sırasıyla aşağıdaki gibi olmaktadır.

[ ]

[ ]

v =−U_Ns (32)

[ ]

[ ]

F =s⊗N (33) Burada U_N dalga yayılma hızıdır. s=

[ ]

[ ]

F N vektörü şok gücünü, N ise referans konumunda şok yüzeyine normal birim vektörü ifade etmektedir. Şok dalgası için yayılma denklemi de aşağıdaki gibi ifade edilmektedir.

[ ]

Ayrıca, Eş.3’de verilen enerjinin korunumu ifadesinin dalga eşiği ilerisindeki ve gerisindeki değerleri arasındaki sıçrama ve Eş.13 kullanılarak zayıf şok dalgası üzerinde geçerli olan aşağıdaki Hugoniot eşitliği bulunabilir.

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

(

+ + + +

)

=

(

2T+−

[ ]

[ ]

T

)

•

[ ]

[ ]

F 2 1 0 ψ η θ η θ ρ (35)

Bu eşitlik iki sıçrama ifadesinin çarpımlarının ihmal edilebilecek kadar küçük oldukları düşünülerek elde edilmiştir. Bir doğrultuda uzamaz cisim için Helmholtz serbest enerji fonksiyonundaki sıçrama, _ψ−_{’nin ψ}+ _{etrafında Taylor serisi açılımı yazılarak, aşağıdaki gibi} elde edilebilir.

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

p p ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = • + + + _ψ θ θ ψ ψ ψ F F (36)

Ayrıca ∂_ψ− ∂F_{’nin ∂ψ}+ _{∂F etrafındaki ve ∂ψ}− _{∂θ’nin ∂ψ}+ _{∂θ etrafındaki Taylor serisi} açılımları yardımıyla aşağıdaki sıçrama ifadeleri de bulunabilir.

[

]

[

]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

p p ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ • + + + F F F F F F θ ψ θ ψ ψ ψ 2 2 2 (37)

[

]

[

]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

p p ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ • + + + θ ψ θ θ θ ψ θ ψ θ ψ 2 F 2 2 F (38)

Eş.12’nin her iki tarafının sıçrama ifadesi yazılıp, Eş.37’nin yerine yazılmasıyla 1.Piola-Kirchhoff gerilme tansöründeki sıçrama ifadesi aşağıdaki gibi elde edilir.

[ ]

[ ]

T =A•

[ ]

[ ]

F +B

[ ]

[ ]

θ +C

[ ]

[ ]

p (39) Burada F F A ∂ ∂ ∂

=ρ₀ 2ψ dördüncü mertebeden elastisite tanösörü,

θ ψ ρ ∂ ∂ ∂ = F B 2 0 ikinci mertebe gerilme-sıcaklık tansörü ve F C ∂ ∂

=ρ₀ 2φ ’dir. Eş.39, 34’de yerine yazılırsa,

[ ]

[ ] [ ]

c

[ ]

s b Qs 2 0UN p ρ θ + = + (40)

Q, b ve c’nin bileşenleri sırasıyla Q_kl = A_kKlLN_KN_L, b_k =B_kLN_L ve c_k =C_kLN_Ldir. Entropi-deki sıçrama Eş.14’ün her iki tarafının sıçrama ifadeleri alınıp Eş.38’in yerine yazılmasıyla aşağıdaki şekilde elde edilmektedir.

[ ]

[ ]

[

[ ]

]

χ

[ ]

[ ]

θ ρ η =− B_kL F_kL − 0 1 ₍₄₁₎ Burada θ ψ χ 2₂ ∂ ∂

= + ’dir. Serbest enerji fonksiyonu, gerilme ve entropi için elde edilen sıçrama eşitlikleri Eş.35’de yerlerine yazılırak aşağıdaki sonuca ulaşılabilir.

[ ]

Eş.42 ve Eş.33’deki ifadeler Eş.41’de yerlerine yazılırsa, sıcaklıktaki sıçrama aşağıdaki gibi elde edilebilir.

[ ]

[ ]

=− b•s 0 1 χρ θ (43)

Bir doğrultuda uzamaz cisim için kısıt fonksiyonundaki sıçrama

[ ]

[ ]

φ , Eş.36’ya benzer şekilde bulunabilir. Bu fonksiyondaki sıçramanın sıfıra eşit olacağı düşünülürse aşağıdaki sonuca ulaşılmaktadır.

0 = • s

c (44)

Eş.40’dan

[ ]

[ ]

p ’yi elde edebilmek için bir d vektörü tanımlayıp, her iki tarafı bu vektör ile skaler çarparak aşağıdaki sonuçlara ulaşabiliriz.

1 ≡ • d c →

[ ]

[ ]

p =−Qs•d−b•d

[ ]

[ ]

θ (45) Burada ₂ c c

d= ’dir. Eş.43 yukarıda yerine yazılırsa,

[ ]

[ ]

=−Qs•d+

(

b•d

)(

b•s

)

0 1 χρ p (46)

Elde edilen sıçrama ifadesi ve Eş.43, Eş.40’da yerlerine yazılarak bir doğrultuda uzamaz cisimlerde zayıf şok dalgası hareket denklemi ve akustik tansör aşağıdaki gibi elde edilir.

s s Q 2 0UN ρ = ) (47)

(

)

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⊗ − ⊗ − = I Fe Fe Q b b Q 0 1 χρ ) ₍₄₈₎

Kayma bandları, durağan zayıf şok dalgası olarak modellenebilmektedir. Dalga yayılma hızının sıfır olması durumu, akustik tansörün sıfıra eşit öz değerlerinin bulunacağı deformasyon şekillerinde elde edilebilir. Bu durumda

0

DetQ) = (49)

olmalıdır. Burada sunulan çalışmada, kayma bandı oluşumu, sıkıştırılabilir termoelastik cisim için tek eksenli çekme altına araştırılmıştır. Kullanılan malzeme sabitleri Tablo1’de verilemektedir. Uzamaz liflerle kuvvetlendirilmiş bir cisimde şok dalgası hızı ve kayma bandı oluşturacak kritik uzama değerlerinin hesaplanması için aşağıdaki örnek konfigürasyon seçilmiştir. Burada kısıtlı ortamın deformasyonu, uzamaz doğrultudaki birim vektör ve uzamaz liflerin deformasyon sonrasında bulunacağı doğrultuyu gösteren birim vektör sırasıyla aşağıdaki gibidir.

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 0 0 0 2 1 δ δ F _, ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 0 γ γ Sin Cos e , ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 0 2 2 2 1 γ δ γ δ Sin Cos Fe ₍₅₀₎

Uzamazlık kısıtı kullanılarak 1 ve 2 doğrultusundaki uzamalar arasındaki ilişki aşağıdaki gibi

elde edilir. 1 = • Fe Fe → 2 2 1 2 2 2 1 γ +δ γ = δ Cos Sin (51) ve δ δ₁ = , γ γ δ δ₂ 1 2 ₂ 2 Sin Cos − = (52)

Eş.44’deki şartın sağlanması için dalganın normali, e vektörüne dik olmak durumda veya Fe vektörü ile şok gücü vektörü s birbirlerine dik olmak durumundadır. Yani,

0 = • N

e veya Fe• s=0 (53)

olmalıdır. Bu eşitliklerden ilkinin sağlanması için, ortamda yayılacak dalga Şekil1’deki gibi boyuna zayıf şok dalgası olmalıdır. Teğetsel yönde bulunan uzamaz lifler nedeniyle cisimde enine dalga oluşamayacaktır. Bu durumda aşağıdaki şartlar elde edilir.

0 = • N

e ve Fe• s=0 (54)

Eş.54’de verilen koşullarda yayılan zayıf şok dalgası için elde edilen yayılma hızlarının ve akustik tansörün pozitif özdeğerlerinin uzama oranıyla değişimleri Şekil2 ve Şekil3’de verilmektedir. Elde edilen kritik uzama oranları değişik sıcaklıklar için Şekil4’de bulunmaktadır. Eş.53’deki ikinci eşitlik gözönüne alındığında, uzaysal konumunda bulunan uzamaz liflerin doğrultusunda bulunan birim vektör ile şok gücü vektörü birbirine dik olmak durumundadır. Bu durumda,

0 = • s

Fe ve e• N =1 (55)

olacaktır. Bu koşullarda yayılabilecek olan dalga Şekil5’de gösterilen enine zayıf şok dalgası olur.

Şekil1. Uzamaz liflerle kuvvetlendirilmiş olan cisimde boyuna şok dalgası yayılımı

1 2

e N

Referans konumu (a)

1 Fe n 2 Malzeme konumu (b) γ deformasyon Dalga eşiği s s Uzamaz lifler Dalga eşiği

Şekil2. Boyuna zayıf şok dalgası yayılma hızının uzama ile değişimi

Şekil3. Sıfırdan büyük özdeğerlerin uzama ile değişimi

Şekil4. Kayma bandı oluşturacak kritik uzama değerleri (γ=π/4 için) Tablo1. Kullanılan hiperelastik malzeme sabitleri

Elast. Mod. (N/m2_{) Poisson oranı Hacimsel ısıl gen. katsayısı c Yoğunluk (Kg/m}3 ₎

2,05x106 _{0,485 2,1 x10}-3 _{703 2000} 0,00E+00 5,00E+06 1,00E+07 1,50E+07 2,00E+07 2,50E+07 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1 doğrultusundaki uzama A k us ti k t a n s ör öz d e ğ er i (ρ 0 U N ^ 2 ) 293,15K 303,15K 313,15K 323,15K 0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1 doğrultusundaki uzama Ya yı lma h ız ı (m /s ) 293,15K 303,15K 313,15K 1,394 1,396 1,398 1,400 1,402 1,404 1,406 1,408 290 295 300 305 310 315 320 325 Sıcaklık (ºK) K rit ik u za m a δ = 1,40711 @ 293,15K δ = 1,40350 @ 293,15K δ = 1,39984 @ 293,15K δ = 1,39613 @ 293,15K

Şekil5. Uzamaz liflerle kuvvetlendirilmiş olan cisimde cisimde enine şok dalgası yayılımı

Şekil6. Eş.56’da verilen şartlarda yayılan dalga için özdeğerlerin uzama ile değişimi 4. SONUÇLAR

Durağan zayıf şok dalgası kullanılarak, bir doğrultuda uzamaz liflerle kuvvetlendirilmiş cisim için kayma bandı oluşturacak kritik uzama değerleri hesaplanmıştır. Kullanılan malzeme sıkıştırılabilir hiperelastik malzemedir. Seçilen örnekte tek eksenli çekme altındaki cisimde yatay ile 45º açı yapan uzamaz lifler kullanılmıştır. Ortamda yayılabilecek zayıf şok dalgası hızları farklı sıcaklık seviyeleri için Şekil 2’de verilmektedir.

Eş.44’de oluşturulan koşul, ortamda uzamaz liflere dik doğrultuda ve uzamaz lifler doğrultusunda yayılabilecek iki tip zayıf şok dalgası olduğunu göstermektedir. İlk tip zayıf şok dalgası uzamaz doğrultuya dik doğrultuda yayılan boyuna şok dalgasıdır. Bu tip dalga kullanılarak yayılma hızının sıfır olduğu durum için Şekil 4’de gösterilen kritik uzama değerleri elde edilmiştir.

Yayılabilecek ikinci tip zayıf şok dalgası, uzamaz lifler doğrultusunda yayılan enine zayıf şok dalgasıdır. Elde edilen akustik tansörün öz değerlerinden iki tanesi sıfırdan küçük ve diğer öz değer sıfıra eşit olarak elde edilmektedir (Şekil 6). Bu durum fiziksel olarak uzamaz lif doğrultusunda yayılabilecek enine dalga olmayacağını göstermektedir. Bu nedenle ikinci tip dalga kayma bandı araştırmasında kullanılamamaktadır.

Kayma bandı, boyuna şok dalgası hızının sıfıra eşit olduğu uzama değeri için elde edilmiştir. Bu tip dalganın oluşması için diğer bir şart da, ortamın sıkıştırılabilir olması gerektiğidir.

1 2

e, N

Referans konumu (a)

1 Fe, n 2 Malzeme konumu (b) γ deformasyon

Dalga eşiği _{Dalga eşiği}

s s -1,00E+06 -8,00E+05 -6,00E+05 -4,00E+05 -2,00E+05 0,00E+00 2,00E+05 0,2 0,7 1,2 1,7 1 doğrultusundaki uzama A k u s ti k t a n s ör özde ğ er i (ρ 0 UN ^2 ) 1.özdeğer λ1<0 2.özdeğer λ2= -266560 3.özdeğer λ3=0

KAYNAKLAR

1. Rice, J.R., The localization of plastic deformation. In: Koiter, W.T. (Ed.), Theoretical and Applied Mechanics, North-Holland, pp. 207–220, 1976.

2. Hadamard, J., Leçons sur la Propagation des Ondes et les Equations de L’Hydrodynamique, Paris, 1903.

3. Hill, R., Acceleration waves in solids. J. Mech. Phys. Solids, 10, pp. 1–16, 1962.

4. Mandel, J., Conditions de Stabilite et Postulat de Drucker, In: Kravtencko, J., Sirieys, P.M. (Eds.), Rheology and Soil Mechanics, Springer-Verlag, 1966.

5. Reddy, B.D., The occurrence of surface instabilities and shear bands in plane-strain deformation of an elastic half-space. Q. J.Mech. Appl. Math., 36, pp. 337–350, 1983.

6. Gültop, T., Existence of shear bands in hyperelastic solids, Mechanics Research Communications, 29, pp. 431–436, 2002.

7. Gültop T., Alyavuz, B., Existence of shear bands in thermoelastic solids, Proceedings of the 6th European Solid Mechanics Conference ESMC 2006, 28 August – 1

September, 2006 Budapest, Hungary.

8. Reddy, B.D., The propagation and growth of acceleration waves in constrained thermoelastic materials, Journal of Elasticity, 14, pp. 387–402, 1984.

9. Gültop, T., Weak shock waves in constrained thermoelastic solids, Archive of Applied Mechanics, 72, pp. 511 – 521, 2002.

10. Lubarda, V.A., On the thermodynamic potentials in linear thermoelasticity, International Journal of Solids and Structures, 41, pp. 7377 – 7398, 2004.