Effect of sample locations on computation of the exact scalar diffraction field (in English)

(1)

¨

ORNEKLEME YERLER˙IN˙IN SKALAR KIRINIM DESEN˙IN˙IN DO ˘

GRU

HESAPLANMASINDAK˙I ETK˙IS˙I (T ¨

URKC

¸ E)

EFFECT OF SAMPLE LOCATIONS ON COMPUTATION OF THE EXACT

SCALAR DIFFRACTION FIELD (IN ENGLISH)

G. Bora Esmer

1

, Haldun M. ¨

Ozaktas¸

2

, Levent Onural

2

1

_{Marmara ¨}

_{Universitesi, Elektrik ve Elektronik M¨uhendisli˘gi, TR-34722 ˙Istanbul, T¨urkiye}

bora.esmer@marmara.edu.tr

2

_{Bilkent ¨}

_{Universitesi, Elektrik ve Elektronik M¨uhendisli˘gi, TR-06800 Ankara, T¨urkiye}

haldun@ee.bilkent.edu.tr, onural@ee.bilkent.edu.tr

¨

OZETC

¸ E

¨

Uç boyutlu görüntüleme elde etmek için yaygın yöntemler-den birisi de bilgisayarla üretilmis¸ holografidir. Yayılan dal-gaların davranıs¸ı ve giris¸im ile bu metot açıklanabilir. Skalar kırınım deseninin hesaplanması için literatürde pek çok algo-ritma vardır. Bazı algoalgo-ritmalar bir çok yaklas¸tırım kullanırlar, bu sebeple tam do˘gru skalar kırınım desenini veremiyebilirler. Ancak, uzayda verilen örneklerin da˘gılımından kaynaklanan li-mitler dahilinde tam do˘gru skalar kırınım desenini hesaplayan algoritmalar da bulunmaktadır. Bu algoritmalar “alan model”i yaklas¸ımını temel alır. Alan modeline dayanan algoritmalar-dan birisinin verilen örneklerin uzaydaki da˘gılımına göre olan performansı incelenmis¸tir. Benzetimlerden gözlemlenen, verilen örneklerden elde edilen birikimsel bilginin ters skalar kırınım deseninin çözümü için yeterli olması gerekti˘gidir. Birikimsel bilgi daha fazla örnek alınarak arttırılabilmesine ra˘gmen bazı benzetimlerde verilen örneklerdeki farksal bilginin çok küçük olması sebebiyle tam do˘gru skalar kırınım deseni hesaplana-mayabilir.

ABSTRACT

Computer generated holography is one of common methods to obtain three-dimensional visualization. It can be explained by behavior of propagating waves and interference. To calculate the scalar diffraction pattern on a hologram, there are myriad of algorithms in the literature. Some of them employ several app-roximations, so the calculated fields may not be the exact scalar diffraction field. However, there are algorithms to compute the exact scalar diffraction field with some limitations on the dist-ribution of the given samples over the space. These algorithms are based on “field model” approach. The performance of an al-gorithm, based on field model, is investigated according to the distribution of given samples over the space. From the simula-tions, it was observed that the cumulative information provided by the given samples has to be enough to solve the inverse sca-lar diffraction field. The cumulative information can be incre-ased by having more samples, but there are some scenarios that differential information obtained from the given samples can be

978-1-4673-0056-8/12/$26.00 c2012 IEEE

infinitesimal, thus the exact diffraction field may not be compu-ted.

1. G˙IR˙IS¸

¨

Uç boyutlu görüntüleme tekniklerinden olan holografi, temel olarak ıs¸ı˘gın kırınımı ve giris¸imi ile açıklanabilir. Is¸ı˘gın kırınımı bir objeden yayılan optik dalgaların optik malzeme üzerinde olus¸turdu˘gu desendir. Bu desen obje ile ilgili bilgilerin ho-lograma aktarılmasını sa˘glar. Kırınım deseni optik düzenekler vasıtasıyla holograma tas¸ınabilece˘gi gibi çes¸itli nümerik yol-larla da hesaplanabilir ve holograma yazılabilir [1].

Objeden yayılan optik dalgaların bos¸lukta yol aldı˘gı var-sayımı kabul edildi˘ginde skalar is¸lemlerle optik dalgaların davranıs¸ı modellenebilir. Skalar hesaplamalarda yaygın olarak kullanılan yöntemler arasında Rayleigh-Sommerfeld kırınım tümlevi, düzlem dalga ayrıs¸ımı ve Fresnel tümlevi sayılabilir [2].

Bu makalede optik dalgaların hologram düzleminde olus¸turdu˘gu deseni hesaplarken kullanılan metotlardan olan “alan metodu”na [3] dayanan bir algoritmanın verilen örnek-lerin uzaydaki da˘gılımına göre göstermis¸ oldu˘gu performansı incelenmis¸tir. Performans de˘gerlendirmesi, incelenen algorit-manın ne kadar do˘grulukla uzaydaki kırınım desenini hesap-ladı˘gına ve hesaplama karmas¸ıklı˘gına göre yapılmıs¸tır.

2. AYRIK SKALAR OPT˙IK KIRINIM

DESEN˙IN˙IN HESAPLANMASI

Genel olarak, holografide kırınım deseni hesabında tek renkli ıs¸ık kullanılır. Is¸ı˘gın yayıldı˘gı ortamın do˘grusal, yön ba˘gımsız ve tektürel oldu˘gu varsayımı ıs¸ı˘gın yayılımını skalar olarak da ifade edilebilmemizi sa˘glar. Bu varsayım altında bir düzlem üzerindeki kırınım deseni di˘ger bir düzlem üzerinde verilen kırınım deseninden Rayleigh-Sommerfeld kırınım tümlevi ile hesaplanabilir [2]. Bu çalıs¸mada, yayılım mesafeleri r λ seçildi˘ginden, _λ1dan daha küç ük frekans biles¸enleri tamamen sönümlenmis¸tir. Bu kos¸ul ile Rayleigh-Sommerfeld kırınım tümlevi düzlem dalga ayrıs¸ımı ile aynı sonucu vermektedir [4]. Yapılan is¸in özünü vurgulamak ve ifadeler ile s¸eklilleri

(2)

basitles¸tirmek adına iki boyutlu uzayda dalgaların yayılımı ve kırınımı hesaplanmıs¸ ve g¨osterilmis¸tir. ˙Iki boyutlu uzayda kırınım deseni d¨uzlem dalga ayrıs¸ımı ile

ψa(x, z) = 2π λ −2π λ A(kx) exp [j(kxx+ kzz)]dkx (1)

s¸eklinde hesaplanır. ˙Ifadedeki ψa(x, z) iki boyutlu

uzay-daki kırınımı, [2πA(kx)] ise z = 0 do˘grusu ¨uzerinde

verilen ψa(x, 0) kırınım desenini olus¸turan harmoniklerin

katsayılarını (Fourier dönüs¸ ümü katsayılarını) belirtmekte-dir. Uzaysal frekans biles¸enleri kx ve kz de˘gis¸kenleri ile gösterilmis¸tir. Tek renkli ıs¸ık kullanıldı˘gından kz ile kx

arasındaki ilis¸ki k_z = k2− kx2 ile ifade edilir. Burada

k=2π_λ(radyan/birim uzaklık) olarak alınmıs¸ ve kullanılan

op-tik dalganın boyu λ ile g¨osterilmis¸tir.

Uzamsal ve frekans b¨olgelerinde ¨ornekleme ile ayrık model elde edilir: u(n, p) = N−1 m=0 A_mH_p(m) exp (j2π λnm), (2)

burada (NAm) de˘gis¸keni ¨orneklenmis¸ olan u(n, 0) alanının

ayrık Fourier dönüs¸ ümü katsayılarını göstermektedir [3]. Re-ferans do˘grusuna olan mesafe z = pXs ile ifade edilmek-tedir, burada Xs uzamsal örnekleme periyodunu vermekte-dir. Hp(m) ise katsayıları Amolan düzlem dalgaların uzayda yayılım davranıs¸larını gösterir ve

Hp(m) = exp (j2π λ β2− m2p), m= [0,N₂) exp (j2π λ β2− (m − N)2p), m = [N₂, N) (3) s¸eklinde hesaplanır. Burada, β = NXs

λ olarak bulunmus¸tur.

Kırınım alanının x-ekseni bilgisini veren n dizini [0, N) arasında tanımlıdır. Elde edilen ayrık sistem:

u(n, p) = DF T−1{DF T [u(n, 0)]Hp(m)} (4)

bic¸iminde g¨osterilebilir.

˙Iki boyutlu bir uzayda iki do˘gru arasındaki kırınım deseni ilis¸kisi 4. denklem ile ac¸ıklanabilmektedir. Bu ilis¸kiyi do˘grusal denklem form¨ulasyonu ile

g = Af (5)

g¨osterebiliriz. Burada g ve f , verilen ψ(n, 0) ve hesaplanan

ψ(n, p) ayrık kırınım desenlerini g¨ostermektedir. A de˘gis¸keni

sistem matrisini ifade etmekte ve A = W−1HpW s¸eklinde

ayrıs¸tırılabilmektedir. Burada W matrisi N-örnek DFT matri-sini göstermekte ve Hpise bir kös¸egen matrisi ifade etmekte-dir: Hp= ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ H_p(0) 0 · · · 0 0 Hp(1) 0 .. . . .. ... 0 0 · · · Hp(N − 1) ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ . (6)

3. KISM˙I OLARAK VER˙ILEN KIRINIM

B˙ILG˙IS˙INDEN REFERANS DO ˘

GRUSU

¨

UZER˙INDEK˙I KIRINIM DESEN˙IN˙IN

BULUNMASI

Tanımlanmıs¸ uzayda verilen örneklerden referans do˘grusu üze-rindeki kırınım deseni hesaplaması yapılmıs¸ ve bu is¸lemin gerçekles¸tirilmesinde 5. denklem temel alınarak yeni bir sis-tem matrisi olus¸turulmus¸tur. Verilen kırınım deseni örnekleri vektörel olarak g = [g₁, g₂, . . ., g_s]T s¸eklinde gösterilmis¸tir. Burada, s verilen örnek sayısını belirtmekte ve [.]T ope-ratörü ise gvektörün devri˘gini bulmakta kullanılmıs¸tır. Verilen kırınım deseni örnekleri ile referans do˘grusu üzerindeki kırınım deseni arasındaki ilis¸ki g = ABFf ile gösterilebilir. Burada

A_BFmatrisinin s satır ve N adet sütün vektörü vardır: A_BF= r(p1, n1) r(p2, n2) . . . r(ps, ns) T. (7) Burada r(p_i, n_i) satır vektörü, p = p_i uzaklık bilgisine göre hesaplanmıs¸ A matrisinin ilgili satır vektörüne es¸ittir.

4. ¨

ORNEKLEME YERLER˙IN˙IN

GER˙IC

¸ ATILAN KIRINIM DESEN˙I

¨

UZER˙INDEK˙I ETK˙IS˙I

Alan modeline dayanan algoritmalar birçok senaryoda uzaydaki kırınım desenini tam do˘gru olarak hesaplayabilmesine ra˘gmen bazı senaryonlarda sistem matrisi kötü konumlandı˘gından bu-lunan sonuç tam do˘gru kırınım desenininden farklı olabilmek-tedir. Bu makalede alan modelini baz alan ve direk çözüm su-nan bir algoritmanın verilen örnekleme noktalarına göre do˘gru sonuç bulma performansı incelenmis¸tir. Makalede sonuçları ve-rilen algoritma iki boyutlu bir uzaydaki kırınım deseni sabında kullanılmasına ra˘gmen üç boyutlu kırınım deseni he-sabı içinde genis¸letilebilir [3].

Uygulanan senaryolarda referans do˘grusunun merkezinde yer alan 32 örneklik kare sinyal oldu˘gu varsayılmıs¸ ve tüm uzaydaki kırınım deseni bu sinyale göre hesaplanmıs¸tır. Dikey eksendeki genis¸lik N= 256 örnekten olus¸maktadır. Hem dikey hem de boyuna eksende örnekleme periyodu X_s= λ olarak ta-yin edilmis¸tir.

Gerçekles¸tirilen alan modeline dayalı algoritmanın per-formans ölçümü verilen örneklerden elde edilen bilgiyle geriçatılan kırınım deseni ile önceden tanımlı desen arasındaki düzgelenmis¸ ortalama karesel hatası (NMSE) ve algoritmanın hesaplama karmas¸ıklı˘gı ile yapılmıs¸tır. Uygulanan algoritmanın hesaplama karmas¸ıklı˘gını sistem matrisinin sözde tersini alma is¸lemi belirlemektedir ve bu is¸lemi gerçekles¸tirebilmek için (sN2₋N3

3 ) karmas¸ık sayı c¸arpımı gerekmektedir. NMSE:

N M SE= _N−1 n=0 |ψ(n, 0) − ˆψ(n, 0)|2 / _N−1 n=0 |ψ(n, 0)|2 (8) s¸eklinde hesaplanmıs¸tır. Burada ˆψ(n, 0) referans do˘grusu

üze-rinde geri çatılan kırınım desenini göstermektedir.

Uygulanan senaryolarda referans do˘grusu üzerinde tanımlanan kırınım deseni S¸ekil 1’de ve iki boyutlu uzayda bu kırınım deseninin yayılmasından olus¸an desen de S¸ekil 2’de görülebilir. Gerçekles¸tirilen ilk senaryoda verilen örnekler

(3)

0 50 100 150 200 250 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 n, index

Referans Dogrusu Uzerinde Tanimlanan Kirinim Deseni

S¸ekil 1: Referans do˘grusu ¨uzerinde tanımlanan kırınım deseni.

Iki Boyutlu Uzaydaki Kirinim Deseni

z−ekseni

x

−ekseni

S¸ekil 2: ˙Iki boyutlu uzayda S¸ekil 1’den yayılan kırınım deseni.

referans do˘grusuna paralel bir do˘gru üzerinde tanımlanmıs¸tır. Bu paralel do˘gruların referans do˘grusuna olan uzaklıklarının çözüme olan etkisine bakılmıs¸tır. Bu senaryo dahilindeki ben-zetimlerde tam do˘gru çözüme ulas¸ılmıs¸ ve referans do˘grusuna olan uzaklı˘gın çözüm üzerinde etkisi olmadı˘gı görülmüs¸tür.

¨

Ornek olarak referans do˘grusuna olan uzaklı˘gın200λ atandı˘gı benzetim sonucu S¸ekil 3’de g¨or¨ulebilir.

˙Ikinci benzetimde problemin serbestlik derecesinin N ol-ması sebebiyle, tanımlanmıs¸ iki boyutlu alandan1.2N ∼= 307 örnek alınarak sistemin serbestlik derecesinden kaynaklana-cak ç özüme ilis¸kin sorun as¸ılmaya çalıs¸ılmıs¸tır. Bu benzetimde verilen örneklerin genis¸li˘gi de˘gis¸en bir alan içinde rastgele da˘gılmıs¸ oldukları varsayıldı. Örneklerin verildi˘gi alan referans do˘grusuna 100λ uzaklıkta tanımlandı. Alanın genis¸li˘gine 4λ ile32λ arasında de˘gis¸ik de˘gerler atandı. Benzetim sonuçlarına göre yine tam do˘gru ç özüme ulas¸ıldı. Örneklerin alındı˘gı16λ genis¸li˘gindeki alan S¸ekil 4’da gösterilmis¸tir. S¸ekil 5’de de genis¸li˘gi 16λ olan alandan alınmıs¸ kırınım deseni örneklerin-den referans do˘grusu üzerinde geriçatılan kırınım deseni verildi. Uygulanan benzetimlerde sistem matrisinin özde˘gerlerinin da˘gılımına da bakıldı. S¸ekil 6’da ilgili da˘gılımlar görülebilir. Sistem matrisinin özde˘gerlerinin ço˘gunlu˘gunun sıfırdan farklı olması hatasız olarak referans do˘grusu üzerindeki kırınım dese-ninin geriçatılmasını sa˘gladı.

¨

Uçüncü benzetimde verilen örnek sayısı sistemin

serbest-0 50 100 150 200 250 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Referans Dogrusu Uzerinde Geriçatilan Kirinim Deseni

n, index

S¸ekil 3: Referans do˘grusundan 200λ uzaklıktaki referans do˘grusuna paralel do˘gru üzerinde verilen örneklerden referans do˘grusu üzerinde geriçatılan kırınım deseni.

Gerceklestirilen Senaryo

z−ekseni

x

−ekseni

S¸ekil 4: Verilen ¨orneklerin uzaydaki da˘gılımı. ¨Orneklerin alındı˘gı alanın genis¸li˘gi16λ ve referans do˘grusundan uzaklı˘gı 100λ olarak tanımlanmıs¸tır. 0 50 100 150 200 250 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 n, index

Referans Dogrusu Uzerinde Gericatilan Kirinim Deseni

S¸ekil 5: Uzaydaki da˘gılımı S¸ekil 4’de verilen örneklerden refe-rans do˘grusu üzerinde geriçatılmıs¸ kırınım deseni.

lik derecesinden çok daha fazla olsa dahi tam do˘gru çözümün mümkün olmadı˘gı bir durum sunulmaktadır. Bu benzetimde verilen örnekler dairesel bir alan içinden alınmıs¸tır. Dairesel alanın yarıçapına 10λ ile 40λ arasında de˘gerler verilmis¸tir.

(4)

0 50 100 150 200 250 0 0.5 1 1.5 2 2.5 m, Ozdegerler

Ikinci Benzetimde Farkli Genislikler icin Sistem Matrisinin Ozgerleri Dagilimi 4λ 8λ 16λ 32λ

S¸ekil 6: Referans do˘grusundan uzaklı˘gı100λ olan ve genis¸li˘gi 4λ ile 32λ arasında de˘gis¸en alanlar içinde rastgele da˘gılmıs¸ örneklerden olus¸turulan sistem matrislerinin özde˘gerleri grafi˘gi.

Yarıçap 10λ olarak tanımlandı˘gında verilen örnek sayısı 318, 20λ oldu˘gunda 1258, 30λ olarak atandı˘gında 2822 ve son ola-rak 40λ olarak alındı˘gında 5026’dır. S¸ekil 7’de ve S¸ekil 8’de örnek bir senaryo ve referans do˘grusu üzerinde geriçatılmıs¸ kırınım deseni görülebilir. Bu senaryolardan elde edilen sis-tem matrislerinin özde˘ger da˘gılımları S¸ekil 9’da görülebilir.

¨

Ozde˘gerlerin önemli bir kısmının sıfıra yakın de˘gerler alması, geriçatılan kırınım desenlerinin hatalı olmasına sebep olmus¸tur. Yarıçap10λ seçildi˘ginde NMSE = 0.3693, 20λ oldu˘gunda

N M SE = 0.1567, 30λ atandı˘gında NMSE = 0.1024 ve

40λ ic¸in NMSE = 0.0771 olarak hesaplanmıs¸tır.

S¸ekil 7: Verilen örneklerin uzaydaki da˘gılımı. Örneklerin alındı˘gı dairesel alanın yarıçapı 30λ ve merkezinin referans do˘grusundan uzaklı˘gı128λ olarak tanımlanmıs¸tır.

5. SONUC

¸ LAR

Bu makalede verilen örneklerinden tam do˘gru kırınım deseninin hesaplanması için kullanılan alan modeline dayalı bir algorit-manın verilen örneklerin uzaydaki da˘gılımına göre performansı incelendi. Algoritmanın performansı hesaplama karmas¸ıklı˘gına ve düzgelenmis¸ ortalama karesel hatasına (NMSE) göre de˘gerlendirildi. Verilen örneklerin uzaydaki da˘gılımının algorit-manın hesaplama karmas¸ıklı˘gına bir etkisi olmamasına ra˘gmen referans do˘grusu üzerinde tam do˘gru olan kırınım deseninden farklı sonuçlar elde edildi˘gi durumlar gözlenmis¸tir. Bazı

durum-0 50 100 150 200 250 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 n, index

Referans Dogrusu Uzerinde Gericatilan Kirinim Deseninin Genliði

S¸ekil 8: Uzaydaki da˘gılımı S¸ekil 7’de verilen örneklerden refe-rans do˘grusu üzerinde geriçatılmıs¸ kırınım deseni.

0 50 100 150 200 250 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m, Ozdegerler

Ucuncu Benzetimde Farkli Yaricaplar icin Sistem Matrisinin Özdegerleri Dagilimi r = 10λ r = 20λ r = 30λ r = 40λ

S¸ekil 9: Merkezinin referans do˘grusundan uzaklı˘gı128λ olan ve yarıçapı10λ ile 40λ arasında de˘gis¸en dairesel alanlar içinde rastgele da˘gılmıs¸ örneklerden olus¸turulan sistem matrislerinin özde˘gerleri grafi˘gi.

larda verilen örneklerin sayısı sistemin serbestlik derecesinden daha fazla olmasına ra˘gmen yeterli miktarda kırınım deseni bil-gisi toplanamamakta ve uzaydaki tam do˘gru kırınım deseni he-saplanamamaktadır. Tam do˘gru kırınım desenini hesaplayabil-mek için verilen örneklerdeki farksal bilginin çok küçük olma-ması yada çok daha fazla örnek alınolma-ması gerekmektedir.

6. KAYNAKC

¸ A

[1] Ozaktas, H.M., and Onural L., eds., ”Three-Dimensional Television: Capture, Transmission, Display, Series in Sig-nals and Communication Technology”, Springer, 2008. [2] Goodman, J.W.,”Introduction to Fourier Optics”,

Mc-Graw-Hill, New York, 1996.

[3] Esmer, G.B., ”Calculation Of Scalar Optical Diffraction Field From Its Distributed Samples Over The Space”, Ph.D. Dissertation, Bilkent University, Dept. of Electrical and Electronics Engineering, Ankara, Turkey, 2010 [4] Lalor, E., ”Conditions for the validity of the angular

spect-rum of plane waves”, J. Opt. Soc. Am., vol. 58, 1968, pp. 1235.