Dipole source reconstruction of brain signals by using particle swarm optimization

(1)

Beyin Sinyallerinin Dipol Kaynaklarının Parçacık S ür üs ü Optimizasyonu

Kullanarak Olus¸turulması

Dipole Source Reconstruction of Brain Signals by Using Particle Swarm

Optimization

Yas¸ar Kemal Alp

1

, Orhan Arıkan

1

, Sirel Karakas¸

2

1. Elektrik Elektronik Mühendisli˘gi Bölümü

Bilkent ¨

Universitesi, Ankara

{ykemal,oarikan}@ee.bilkent.edu.tr

2. Deneysel Psikoloji Uzmanlık Alanı

Hacettepe ¨

Universitesi, Ankara

skarakas@hacettepe.edu.tr

¨

Ozetc¸e

Olay ˙Ilis¸kili Potansiyellerin (O˙IP) analizinde, sinirsel aktivit-eye neden olan kaynakların bulunması büyük öneme sahip-tir. Bu kaynaklar es¸de˘ger dipollerle modellenebilir. Ölçülen çokkanallı O˙IP verisinden dipollerin belirlenmesi EEG ters problemi olarak bilinmektedir. Bu çalıs¸mada, EEG ters prob-leminin çözümü için yeni bir yöntem önermekteyiz. Önerdi˘gimiz yöntem dipol parametrelerinin en uygun s¸ekilde seçilmesi için Parçacık Sürüsü Optimizasyonu (PSO) tekni˘gini kullanmak-tadır. Sentetik veri kümelerinde yapılan benzetimler, önerilen yöntemin dipolleri bas¸arıyla asıl yerlerinde yerelles¸tirdi˘gini göstermektedir. Gerçek verilerde ise, gerçek dipol yer-leri bilinmedi˘ginden, ölçülen ile geri çatılan veri arasındaki hataya bakılmıs¸ olup, önerilen yöntemin bu hatayı beyinde bir kaç dipol yerelles¸tirimi ile gürültü seviyesine indirebildi˘gi gözlenmis¸tir.

Abstract

Resolving the sources of neural activity is of prime importance in the analysis of Event Related Potentials (ERP). These sources can be modeled as effective dipoles. Identifying the dipole pa-rameters from the measured multichannel data is called the EEG inverse problem. In this work, we propose a new method for the solution of EEG inverse problem. Our method uses Par-ticle Swarm Optimization (PSO) technique for optimally choos-ing the dipole parameters. Simulations on synthetic data sets show that our method well localizes the dipoles into their actual locations. In the real data sets, since the actual dipole parame-ters aren’t known, the ﬁt error between the measured data and the reconstructed data is minimized. It has been observed that our method reduces this error to the noise level by localizing only a few dipoles in the brain.

1. Giris¸

Olay ilis¸kili potansiyeller, verilen uyarıcılar sonucunda

beyinde meydana gelen sinirsel aktivitenin elektrotlarda ölçülen kars¸ılıklarıdır. Hem kavramsal süreçlerin analizinde hem de hiperaktivite (ADHD) gibi bazı sinirsel hastalıkların tespitinde

¨onemli yer tes¸kil eder [1]. O˙IP kaydı kafatası ¨uzerine

yerles¸tirilen elektrotlar aracılı˘gı ile olur. ˙Is¸itsel ya da g¨orsel uyarıcılar sonucunda beyinde olusan sinirsel uyarılar es¸de˘ger

dipoller ile modellenebilir [2]. Olçülen çok kanallı O˙IP¨

verisinden, sinirsel uyarının kayna˘gının bulunması O˙IP analizi açısından çok önemlidir [3].

Bu çalıs¸mada, O˙IP kaynak yerelles¸tirimi için yeni bir yöntem sunmaktayız. Var olan yöntemlerden farklı olarak, asıl O˙IP verisi ile geriçatılan O˙IP verisi arasındaki hata Parçacık Sürüsü Optimizasyonu (PSO) ile enküçültülmüs¸tür. Sonuçta yerleri ve yönelimleri sabit, kipleme sinyalleri zamana gore de˘gis¸en dipoller yerelles¸tirilmis¸tir.

Bu makalede, ¨once O˙IP ileri modelinin kısa bir ¨ozetini

verece˘giz. Ardından, O˙IP ters probleminin gelis¸tirdi˘gimiz

yöntemle çözümü ve Parçacık Sürüsü Optimizasyonu

tekni˘ginin bu çözümde kullanılıs¸ını açıklayaca˘gız. Son

olarak, sentetik ve gerçek veriler üzerindeki sonuçlar ve kıyaslamalarla bitirece˘giz.

2. O˙IP ˙Ileri Modeli

O˙IP kaynaklarının bulunması için hem kafa yapısı hem de sinirsel uyaranın beyindeki kayna˘gı için iki ayrı model gerek-mektedir. Literatürde birçok farklı kafa modeli bulunmaktadır

[4]. Bunlardan gerc¸ekc¸i kafa modelleri olarak bilinen, Sınır

Elemanları Yöntemi (BEM) ve Sonlu Elemanlar Metodunu (FEM) kullanan yöntemler, ölçümleri yüksek çözünürlükteki bir hacim içerisindeki dipollerle ilis¸kilendirmektedir. Bu mod-eller gerçek kafa geometrelerine yakınsamalarına ra˘gmen, bu modellerle çözülmeye calıs¸ılan O˙IP ters kaynak problemi kötü kos¸ullanmıs¸tır (ill-posed) ve hesaplama maliyeti de oldukça

(2)

R R3 R2 _R 1 1 σ2 σ3 σσ4

S¸ekil 1: ˙Içiçe çoklu küre modeli.

y¨uksek olup dipoller tam olarak yerelles¸tirilememektedir [5]. Bu bakımdan, bu c¸alıs¸mada yaklas¸ık olarak kafa yapısını

modelleyebilen, içiçe çoklu küre modeli kullanılmıs¸tır. Bu

modele göre kafa geometrisi S¸ekil-1’de gösterilen iletken-lik katsayıları birbirinden farklı olan içiçe es¸merkezli dört

küreden olus¸maktadır. Küreler içten dıs¸a sırasıyla beyin,

beyin sıvısı, kafatası ve kafa derisine kars¸ılık gelmektedir. Bu modele ait küre yarıçapları ve iletkenlik de˘gerleri [7]’de verilmis¸tir. Kullandı˘gımız sinirsel kaynak modeli ise [2]’de bahsedilen, yeri ve yönelimi sabit, kipleme sinyali zamana

g¨ore de˘gis¸en dipol modelidir. Bu modeller do˘grultusunda,

k¨ure ic¸indekirj= {rxj, ryj, rzj}, j = 1, .., Ndnoktalarında

bulunan, mj = {sin θjcos φj, sin θjsin φj, cos φj}

mo-mentlerine ve aj(t) kipleme sinyallerine sahip olan Nd

dipol¨un si= {sxi, syi, szi} noktasında bulunan i. elektrotta

olus¸turaca˘gı potansiyel v(si, t) = N_d X j=1 aj(t)ψ(si, rj, mj) , (1)

olarak yazılabilir. Ac¸ık s¸ekli as¸a˘gıda verilen ψ(si, rj, mj)

çoklu küre modeli için gelis¸tirilen potansiyel is¸levidir [6].

ψ(si, rj, mj) = 1 4πσ4R2 ∞ X n=1 cnfn−1mj. [r0Pn(cos(ζ)) + t0Pn1(cos(ζ))/n] . (2)

Burada,R en dıs¸taki k¨ure yarıc¸apı, f = rj/si, ζ dipol

ve elektrot arasındaki ac¸ıyı gostermektedir. Pn(.) ve Pn1(.)

sırasıyla Legendre ve ilis¸kili Legendre polinomudur. Birim

büyüklükteki dipol koordinat vektörür0olup,t0buna dik olan,

s ve r vektörlerinin tanımladı˘gı düzlemdeki birim vektördür. cn ise cn= (2n + 1)4/Γ , Γ = [( R1 R2) 2n+1 n(σ1 σ2 − 1)( σ 2 σ3 − 1)(n + 1)+ ( σ1 σ2n + n + 1)( σ2 σ3n + n + 1)]· [( σ3 σ4n + n + 1) + (n + 1)( σ3 σ4 − 1)( R 3 R) 2n+1_] (n + 1)[( R1 R3) 2n+1_{( σ}1 σ2 − 1)( σ 2 σ3n + σ2 σ3+ n)+ ( R2 R3) 2n+1_{( σ}1 σ2n + n + 1)( σ2 σ3 − 1)] [n( σ3 σ4 − 1) + ( σ 3 σ4n + σ3 σ4 + n)( R 3 R) 2n+1_{] ,} (3)

olarak hesaplanır. R1, R2, R3, R S¸ekil-1’deki ic¸ten dıs¸a k¨ure

yarıc¸apları,σ1, σ2, σ3, σ4ise bu k¨urelere kars¸ılık gelen

iletken-lik kaysayılarıdır. Dolayısıyla,Nddipol¨uni. elektrot kanalında

olus¸turaca˘gı potansiyel Ki(t) = N_d X j=1 aj(t)ψ(si, rj, mj) + ni(t) , (4)

olarak yazılabilir. Burada,ni(t) beyaz Gauss gürültüsüdür.

3. O˙IP Kaynak Problemi ve C

¸ öz üm ü

¨

Onerdi˘gimiz y¨ontemde, dipollerin yerleri ve y¨onelimleri

as¸a˘gıdaki bedel is¸levinin model parametrelerine g¨ore

enküçültülmesi ile bulunmaktadır.

J =

N_e

X

i=1

wi||Ki(t) − ˜Ki(t)||2 , (5)

Burada wi, i. kanalın bedel is¸levine katkısını kotrol eden

a˘gırlık parametresidir. Bu is¸lev Nd dipol parametresine,

{rj, mj, aj(t) j = 1, .., Nd} ba˘glıdır. Buradaki Ki(t)

ölçüm alınanNeelektrottani.kanal verisi, ˜Ki(t) ise Nddipol

parametresi verildi˘ginde,i. kanaldaki potansiyel ic¸in (1)

kul-lanılarak ileri problem çözümüdür. Bu durumda (5)’de ver-ilen ceza fonksiyonu dipol yeri, yönelimi ve kipleme sinyali

üzerinden enküçültülmesi gerekmektedir. Bedel is¸levinin

kipleme sinyali aj(t) ileri model kafa parametresi ile

kare-sel ba˘glantısı sayesinde, kipleme sinyali di˘ger parametreler (dipol yeri ve yönelimi) cinsinden en küçük kareler kestiri-cisi ile bulunabilir. Böylelikle, bedel is¸levinin enküçültülmesi sadece dipol koordinatları ve yönelimleri üzerinden yapılabilir.

Sonuc¸ta,Nddipol parametresi kestirimi ic¸in, bedel fonksiyonu

5Ndboyutlu çözüm uzayında enküçültülmeye çalıs¸ılır. Dipol

kipleme sinyallerinin en küçük kareler kestirimi ile bulunus¸unu göstermek için as¸a˘gidaki vektör simgelemini kullanabiliriz.

Kk= ΨAk+ nk . (6)

Burada Kk = [K1(tk), K2(tk), .., KN e(tk)]T, nk

gürültü vektörü, Ψ(i, j) (2)’da verilen ψ(si, rj, mj) ve

Ak = [α1(tk), α1(tk), .., αN c(tk)]T. Bu durumda, dipol

yerleri ve y¨onelimleri verildi˘ginde, Ak’nın eniyi de˘geri

(Chk− ΨAk)TW(Chk− ΨAk) ifadesini enküçülten

˜

Ak= (ΨTWΨ)−1ΨTWKk . (7)

olarak bulunur. BuradakiW k¨os¸egen bir a˘gırlık matrisi olup

herbir kanaldan ölçülen verinin ters problemin çözümündeki etkisini kontrol eder ve kös¸egen üzerindeki elemanları (5)’de

verilenWii = wi’dır. Ak’nın eniyi de˘geri di˘ger parametreler

cinsinden bulundu˘guna g¨ore, (5)’de bedel is¸levi

J = arg min

{r1,m1,..,rNs,mNs}

X k

e(tk)2 . (8)

olarak de˘gis¸tirilebilir. Buradakie(tk) ise

e(tk) = Kt_k− Ψ ˜At_k= [I − Ψ(ΨTWΨ)−1ΨW]Kt_k ,

(3)

olarak tanımlıdır. (8)’de verilen ifade

e(tk)2= KTkQKk , (9)

olarak yazılabilir. Q = I − Ψ(ΨTWΨ)−1ΨW matrisi

ise izdüs¸üm matrisidir. Sonuçta, (8)’de verilen eniyileme

5Nd de˘gis¸ken ¨uzerinden yapılacaktır. Bedel is¸levinin yerel

çukurlarına takılmamak için Parçacık Sürüsü Optimizasyonu

(PSO) tekni˘gi kullanılarak en iyi dipol parametreleri kestir-ilebilir.

4. Parçacık S ür üs ü Optimizasyonu(PSO)

Kipleme sinyallerinin en küçük kareler kestirimi ile di˘ger

parametreler cinsinden yazılmasına ra˘gmen,Nddipol ic¸in 5Nd

boyutlu uzayda bedel is¸levinin enküçültülmesi gerekmetedir. Bu uzayda birçok yerel en iyi nokta bulunmaktadır. Bedel is¸levinin yerel en iyi noktalarına takılma ihtimalinden dolayı

bayır inis¸i (Gradient-Descent) tabanlı teknikleri kullanmak

sakıncalıdır. Bu bakımdan t¨umsel eniyileme yapabilen Parc¸acık

Sürüsü Optimizasyonu [8] tekni˘gi dipol parametrelerinin

bulun-masında kullanılabilir. Bilindi˘gi üzere, bu güçlü teknik her-biri olası bir çözüm olan parçacıkları arama uzayına rastgele salmaktadır. Bu parçacıkların çözüm uzayındaki yerleri ba-sit bir güncelleme denklemi ile de˘gis¸mektedir. Bu güncelleme sonucunda bütün paçacıklar çözüm noktasına do˘gru kaymak-tadır. O˙IP kaynak probleminin çözümünde ise, herbir parçacık

x, dipol koordinatları ve yönelimlerinden olus¸maktadır, yani x = [rx, ry, rz, θ, φ]T. Kullandı˘gımız parçacık güncelleme denklemi

vid= χ(vid+ c11(pid− xid) + c22(pgd+ xid)) , (10)

olup g¨uncelleme parametreleriχ = 0.72984, c1= c2= 2.05,

[9]’de önerildi˘gi gibi seçilmis¸tir. Buradaxid, i. parçacı˘gın

buldu˘gu olası çözüm, pid bu parçacı˘gın o ana kadar buldu˘gu

en iyi çözüm,pgdise o ana kadar tüm parçacıkların buldu˘gu en

iyi çözümdür.

5. Sonuc¸lar

¨

Onerdi˘gimiz yöntemi öncelikle sentetik veri kümelerinde denedik. Küre içerisine yerles¸tirilmis¸ yerleri, yönelimleri ve kipleme sinyalleri bilinen üç dipol için küre üzerine birbiçim olarak da˘gılmıs¸ 64 elektrotta ölçülecek, sinyal-gürültü oranı

10dB olan c¸okkanallı veri (4)’ile olus¸turulmus¸tur.

Dipol-lerin tespitini zorlas¸tırmak adına, dipolDipol-lerin kipleme sinyalleri zaman-frekans düzleminde örtüs¸en sinyaller olarak seçilmis¸tir. S¸ekil-2a’da dipol kipleme sinyalleri, S¸ekil-2b’de bu sinyallerin 32. veri kanalındaki zaman frekans da˘gılımını görülmektedir. Siyah çizgiler, sinyallerin anlık frekansını belirtmektedir. Hem zamanda hem de frekansta örtüs¸en bu biles¸enleri hiç bir zaman-frekans sinyal is¸leme tekni˘gi birbirinden ayıramaz. S¸ekil-2c’de ise bir dipol(mavi), iki dipol(kırmızı) ve üç dipol(yes¸il) için kaynak yerelles¸tirimi yapıldı˘gında ölçülen veri ile geri çatılan veri arasındaki ortalama uyum hatası gösterilmektedir. Dipol sayısı birden üçe çıkarıldı˘gında ortalama hata da gürültü se-viyesine inmis¸tir. Tablo-1’de görüldü˘gü üzere, gerçek dipol koordinatları ile kestirilen dipol koordinatları arasında 1mm’yi geçmeyen bir hata vardır. Dipol yönelim açılarında ise bu hata 0.2 radyan’ı geçmemektedir. 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 −3 −2 −1 0 1 2 3 zaman indeksi genlik (a) zaman indeksi frekans 50 100 150 200 0 20 40 60 80 100 2000 4000 6000 8000 10000 (b) 50 100 150 200 250 10 15 20 25 30 35 40 45 50 zaman indeksi genlik (c)

S¸ekil 2: (a)Dipol kipleme sinyalleri. (b) 32. kanalın

za-man frekans da˘gılımı. (c)1 dipol(mavi), 2 dipol(kırmızı) ve 3 dipol(yes¸il) yerelles¸tirimi için ortalama kanal uyum hatası. 3 dipol yerelles¸tirildi˘ginde uyum hatası gürültü seviyesine ulas¸mıs¸tır.

Tablo 1: 3 dipol ic¸in gerc¸ek {p1, p2, p3} ve kestirilen

{˜p1, ˜p2, ˜p3} yer-y¨onelim parametleri. p1 ˜p1 p2 ˜p2 p3 ˜p3 rx(mm) -10 -10.2 10 9.4 30 27.7 ry(mm) -30 -29.6 -50 -46.2 20 18.2 rz(mm) 50 49.7 50 48.4 30 31.5 θ(rad) 0.63 0.55 1.05 1.02 0.53 0.59 φ(rad) 0.45 0.44 0.79 0.71 1.05 1.01

Gerçekte,ölçüm alınan geometri hiç bir zaman tam küre

de˘gildir. Bundan dolayı genellikle elektrotlara en iyi

otu-ran tümsel küre kestirilir ve bu kestirim üzerinden kaynak yerelles¸tirimi yapılır. En iyi oturan küre

arg min {c,R} Nc X i=1 [si− c − Rc]2 , (11)

enküçültülmesi ile yapılır. Buradaki c = {cx, cy, cz}

küre mekezi, Rc küre yarıçapı, si ise i. elektrot

koor-dinat vektörüdür. Fakat, ölçüm geometrisinin küreden çok

saptı˘gı durumlara tek bir k¨ure oturtmaya c¸alıs¸mak yanlıs¸ dipol

yerelles¸tirimine neden olabilir. Bu gibi durumlarda yerel k¨ure

oturtma adını verdi˘gimiz y¨ontemle elektrotlara tek bir t¨umsel

k¨ure oturtmak yerine her bir elektrota, c¸evresindeki

elektrot-ları göz önüne alarak, yerel küreler oturtmayı öneriyoruz.Ne

elektrot ic¸in en iyi oturan yerel k¨urelerin parametreleri

{ci, Rci}, i = 1, .., Ne arg min {ci,Rci} N_e X j=1 W (θij)[sj− ci − Rci]2 , (12)

enküçültülmesi ile bulunur. Buradaki {ci, Rci}, i.

elek-troda oturtulan kürenin sırasıyla merkez koordinat vektörü ve

yarıc¸apıdır.W (θij) ise i. elektorada k¨ure oturtulurken j.

elek-trodun etkisini kontrol eden a˘gırlık fonksiyonu olupθijbu

elek-trodlar arasindaki ac¸ıdır.

(4)

(a) 20 40 60 80 100 120 140 160 180 −60 −40 −20 0 20 40 60 zaman indeksi genlik (b) 20 40 60 80 100 120 140 160 180 10 15 20 25 30 35 zaman indeksi genlik (c)

S¸ekil 3: (a) Sentetik olarak yaratılan, 3 küreden olus¸an kafa yapısı ve üzerine yerles¸tirilen elektrotlar(yes¸il noktalar). (b) 32. kanal verisi(mavi), yerel küre oturtma(yes¸il) ve tümsel küre oturtma(kırmızı) yöntemleri ile geri çatılan 32.kanal verisi. (c) Her iki yöntem için ortalama uyum hatası.

Tablo 2: Asıl dipolp, yerel k¨ure oturtma ile kestirilen ˜p ve

t¨umsel k¨ure oturtma ile kestirenˆp dipol parametreleri.

rx(mm) ry(mm) rz(mm) θ(rad) φ(rad)

p -10 10 0 0.628 0.448

˜p 8.5 12.9 28.6 1.95 1.02

ˆp -10 10 0 0.629 0.454

˙Ikinci sentetik veri kümesinde, yerel küre oturtmanın tümsel küre oturtmaya üstünlü˘günü göstermek için ölçüm ge-ometrisi gerçek kafa yapısını andıracak s¸ekilde üç kürenin birles¸iminden olus¸turulmus¸tur. Bu kürelerin kesis¸ti˘gi bölgede bulunan bir dipolün kürelerin kesis¸meyen yüzeylerine birbiçim olarak da˘gılan elektrotlarda olus¸turaca˘gı öçüm sentetik olarak

yaratılmıs¸tır. S¸ekil-3a’da olus¸turulan sentetik kafa

ge-ometrisi ve bu geometiye birbiçim olarak da˘gıtılan elektrotlar gösterilmektedir.S¸ekil-3b’de 32. kanaldan alınan ölçüm sinyali ve buna her iki yöntemle geri çatılan kanal verisi görülmektedir. Yerel küre oturtularak geri çatılan 32. kanal verisi, gerçek

kanal verisine daha iyi uymaktadır. S¸ekil-3c’de ise her iki

yöntem için ortalama uyum hataları verilmis¸tir. Yine, yerel küre oturtma yöntemi ile yapılan dipol yerelles¸tirimi sonunca olus¸an uyum hatası gürültü seviyesine indirilmis¸tir. Tablo-2’de dipolin geçek ve her iki yöntem ile bulunan parametreleri verilmis¸tir. Görüldü˘gü üzere, yerel küre oturtma yöntemi gerçek dipol parametrelerini bas¸arılı bir s¸ekilde bulmus¸tur.

Son olarak, gerçek veri kümesi üzerinde her iki yöntemin

bas¸arısı kıyaslanmıs¸tır. S¸elik-4a’da 32. kanal verisi ve bu

veriye her iki y¨ontem kullanılarak geri c¸atılan kanal verisi

gösterilmis¸tir. Her iki yöntem benzer bir bas¸arı göstermis¸

olup S¸ekil-4b’de görüldü˘gü üzere her iki yöntem için uyum hatası siyalleri gürültü seviyesindedir. Elektrot yerleri küre ge-ometrisinden çokça sapmayan bu veri setinde her iki yöntem de bas¸arılı iki dipol yerelles¸tirimi ile uyum hatasını gürültü seviye-sine indirmeyi bas¸armıs¸tır.

50 100 150 200 250 300 350 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 zaman indeksi genlik (a) 50 100 150 200 250 300 350 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 zaman indeksi genlik (b)

S¸ekil 4: (a) 32. kanal verisi(mavi), yerel k¨ure oturtma

yöntemi(yes¸il) ve tümsel küre oturtma yöntemi (kırmızı) ile geri çatılan 32. kanal verisi. (b)32. kanal verisi ve bu kanaldaki her iki yöntem için uyum hataları.

Bu c¸alıs¸mada ERP kaynak yerelles¸tirimi ic¸in yeni bir

y¨ontem sunduk. Sonuc¸ olarak, kullandı˘gımız optimizasyon

tekni˘gi sayesinde, varolan yöntemlerden farklı olarak, aynı anda birçok dipol yerel çukurlara takılmaksızın bas¸arıyla yerelles¸tirilebilmektedir.

6. Kaynakc¸a

[1] M. Liotti, S.R. Pliszka, R. Perez, D. Kothmann, and M.G. Woldorff, “Abnormal brain activity related to performance monitoring and error detection in children with adhd,”

Cortex, vol. 41, pp. 377–388, 2005.

[2] J.C. Mosher, P.S. Lewis, and R.M. Leahy, “Multiple

dipole modeling and localization from spatio-temporal meg data,” IEEE Trans. Biomed. Eng., vol. 39, pp. 541– 577, June 1992.

[3] Z.J. Koles, “Trends in eeg source localization,”

Electroen-ceph. clin. Neurophysiol, vol. 106, pp. 127–137, February

1998.

[4] H. Hallez, B. Vanrumste, R. Grech, J. Muscat, W.D. Clerq, A. Vergult, Y. Dasseler, K.P. Camilleri, S. G. Fabri, S.V. Huffel, and I. Lemahieu, “Review on solving the forward problem in eeg source analysis,” Journal of NeuroEng.

and Rehabil., vol. 4, pp. 46:75, 2007.

[5] R.D. Pascual-Marqui, “Standardized low resolution brain electromagnetic tomography (sloreta): technical details,”

Methods Find. Exp. Clin. Pharmacol., vol. 24, pp. 5–12,

2002.

[6] M. Sun, “An efﬁcient algorithm for computing multishell spherical volume conductor models in eeg dipole source

localization,” IEEE Trans. Biomed. Eng., vol. 44, pp.

1243–1252, December 1997.

[7] S. Gabriel, R.W. Lau, and C. Gabriel, “The dielectric properties of biological tissues: Ii. measurements in the frequency range 10 hz to 20 ghz,” Phys. Med. Biol., vol. 41, pp. 2251–2269, 1996.

[8] J. Kennedy and R. Eberhart, “Particle swarm optimiza-tion,” IEEE Int. Conf. Neural Networks, vol. 4, pp. 1942– 1948, November 1995.

[9] D. Bratton and J. Kennedy, “Deﬁning a standard for parti-cle swarm optimization,” IEEE Swarm Intelligence

Sym-posium, pp. 120–127, April 2007.