Ders_4_Bulanık bağıntı

DERS 4 : BULANIK İLİŞKİ, BULANIK KURAL VE BULANIK MANTIK

4.1 BULANIK İLİŞKİ

Tanım: İkili (binary) bulanık ilişki;

X ve Y birer dilsel evren olsunlar. R=

{

(

)

}

Örnek: X ve Y evrenleri pozitif reel evren olsunlar. R kümesi de R=”y, x’den büyüktür” dilsel ilişkisini ele alalım. R’nin karakteristik fonksiyonu (yani ÜFsi)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > + + − = ise x y ise x y , 0 , 2 y x x y ) y , x ( R

μ _{ile tanımlansın. X={3,4,5}, Y={3,4,5,6,7} olsun. Bu}

durumda R ilişki matrisi, olacaktır.

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 143 . 0 077 . 0 0 0 0 231 . 0 167 . 0 091 . 0 0 0 333 . 0 273 . 0 200 . 0 111 . 0 0 R

Tanım: Max-Min kompozisyonu;

R1 ve R2 sırasıyla XxY ve YxZ’de tanımlı iki bulanık ilişki olsunlar. R1 ve R2’nin

max-min kompozisyonu aşağıdaki gibi tanımlanan bir bulanık kümedir.

{

}

R R (x, z), max min( (x, y), (y, z)) (x, z) max min[ (x, y), (y, z)]

[ (x, y) (y, z)] |x X, y Y, z Z, ⎡ ⎤ = _⎢ μ μ _⎥ ∈ ∈ ⎣ ⎦ μ = μ μ = ∨ μ ∧ μ D D ∈

R1 ve R2 ilişkileri matris biçiminde verildiğinde, R1οR2 hesabı matris çarpımı gibidir.

Yalnız bu matris çarpım işleminde x ve + işlemlerinin yerine sırasıyla ∧ ve∨ işlemleri yapılmaktadır.

Tanım: Max-Çarpım kompozisyonu

R1 ve R2 sırasıyla XxY ve YxZ’de tanımlı iki bulanık ilişki olsunlar. R1 ve R2’nin

max-çarpım kompozisyonu aşağıdaki gibi tanımlanan bir bulanık kümedir. )] z , y ( ). y , x ( [ )] z , y ( ). y , x ( [ max ) z , x ( 2 1 2 1 2 1 R R y R R y R R μ μ μ μ μ ∨ = = D

Örnek: R1=”x, y ile ilgilidir” , R2=”y, z ile ilgilidir” iki bulanık ilişki (relasyon) sırasıyla XxY

ve YxZ uzaylarında tanımlı olsunlar. X={1,2,3}, Y={α,β,γ,δ}, Z={a,b}’dır. R1 ve R2 sırasıyla

aşağıdaki matrislerle ifade edilsinler.

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 . 0 3 . 0 8 . 0 6 . 0 9 . 0 8 . 0 2 . 0 4 . 0 7 . 0 5 . 0 3 . 0 1 . 0 R₁ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 . 0 7 . 0 6 . 0 5 . 0 3 . 0 2 . 0 1 . 0 9 . 0 R2

Bu örnek için R1οR2 işlemi “x, z ile ilgilidir.” Bulanık ilişkisini türetmektedir. Basit olması

açısından X kümesindeki 2 elemanının Z kümesi içindeki a elemanıyla ilişkisini inceleyelim.

nu kompozisyo min -max ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = ∧ ∧ ∧ ∧ = = 7 . 0 ) 7 . 0 , 5 . 0 , 2 . 0 , 4 . 0 max( ) 7 . 0 9 . 0 , 5 . 0 8 . 0 , 2 . 0 2 . 0 , 9 . 0 4 . 0 max( ) a , 2 ( )] z , y ( ), y , x ( min[ max ) z , x ( 2 1 2 1 2 1 R R R R y R R D D μ μ μ μ nu kompozisyo çarpım -max ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = × × × × = = 63 . 0 ) 63 . 0 , 4 . 0 , 04 . 0 , 36 . 0 max( ) 7 . 0 9 . 0 , 5 . 0 8 . 0 , 2 . 0 2 . 0 , 9 . 0 4 . 0 max( ) a , 2 ( )] z , y ( ). y , x ( [ max ) z , x ( 2 1 2 1 2 1 R R R R y R R D D μ μ μ μ

4.2 BULANIK KURAL: IF-THEN Kuralları Bulanık bir kural aşağıda verilen formdadır.

“If x is A then y is B” (“Eğer x A ise, o halde y B’dir”)

A ve B sırasıyla X ve Y uzaylarındaki bulanık kümeler tarafından tanımlanan dilsel değerlerdir. Genelde “x is A” kısmı geçmiş (antecedent) veya şart (premise) olarak

adlandırılırken, “y is B” kısmı sonuç olarak adlandırılır. Günlük hayatta karşılaştığımız dilsel

ifadelerin çoğu aslında birer bulanık kuraldır. Örneğin; ♣ Eğer basınç yüksek ise, o halde hacim küçüktür. ♣ Eğer yol kaygan ise, araç kullanmak tehlikelidir. ♣ Eğer domates kırmızı ise olgundur.

♣ Eğer hız yüksek ise gazı biraz kes.

(“If x is A then y is B” kuralı, A→B olarak kısaltılarak ifade edilir.)

Esasen bu ifade iki değişken (x ve y) arasındaki ilişkiyi tanımlar. Bu yüzden bir bulanık if-then kuralı XxY uzayındaki bir R ikili bulanık ilişki olarak tanımlanabilir.

) y , x /( ) y ( *~ ) x ( B A B A R= → = × =∫X×Y μA μB

eşitlikteki *’lı simge T-norm operatörünü gösterir. R=A→B bulanık ilişkisini hesaplamak için kullanılan farklı T-norm ve S-norm operatörlerine bağlı olarak farklı yöntemler formüle edilebilir. R ilişkisinin iki boyutlu ÜFsi olan bir bulanık küme olduğunu unutmayalım.

) y ( ), x ( ); b , a ( f ) y ( ), x ( ( f ) y , x ( A B A B R μ μ μ μ μ = = a = b=

eşitlikteki f fonksiyonu bulanık çıkarım fonksiyonu olarak adlandırılır. Bu fonksiyon A ve

B’deki x ve y nin üyelik derecelerini, A→B’de (x,y) ikilisinin üyelik derecesine dönüştürme görevini görür.

A→B ilişkisini en popüler dört T-norm operatörleri ile dört farklı biçimde ifade edebiliriz. ƒ Mamdani (min) çıkarımı

b a ) b , a ( ) y , x /( ) y ( ) x ( B A B A Rm = → = × =∫X×Y μA ∧μB ;fm = ∧

ƒ Larsen (cebirsel çarpım) çıkarımı

ab ) b , a ( ) y , x /( ) y ( ) x ( B A B A Rp = → = × =∫X×Y μA μB ; fm = ƒ Sınırlı çarpım çıkarımı ) 1 b a ( ) b , a ( ) y , x /( ) 1 ) y ( ) x ( ( B A Rbp = × =∫X×Y0∨ μA +μB − ; fbp =0∨ + −

ƒ Sert çarpım çıkarımı

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ⋅ = ⋅ ∫ = × = × durumlar diğer ise 1 a ise 1 b a f ; dp , 0 , b , a b ˆ ) b , a ( ) y , x /( ) y ( ˆ ) x ( B A Rdp X Y μA μB 4.3 BULANIK MANTIK

Örneğin A , "domates kırmızıdır" olarak tanımlanmışsa ve B de "domates olgundur" olarak tanımlanmışsa bu durumda, eğer "domates kırmızıdır" tanımı doğru ise "domates olgundur" tanımı da doğru olmaktadır. Bu kavram aşağıdaki gibi açıklanır.

şart 1 (olay ) : x, A dır ,

şart 2 ( kural) : Eğer x , A ise o halde y de B dir ___________________________________________________ sonuç ( yargı ) : y, B dir.

Bununla birlikte, çoğu insan mantığında bu kavram, benzer bir biçimde çalışmaktadır. Örneğin, yine aynı kural işleyişini ele alalım,

"domates kırmızı ise o halde olgundur "

Eğer biz "domates çok kırmızı veya az kırmızı" olduğunu biliyorsak, bu durumda , "domates çok veya az olgundur." sonucuna varabiliriz. Bu durum şu şekilde yazılabilir :

şart 1 ( olay ) : x, A' dür ,

şart 2 ( kural ) : eğer x, A ise y de B dir

________________________________________________ sonuç ( yargı ) : y, B' dür.

A' A bulanık kümesinin civarında, B' de B bulanık kümesinin civarında birer bulanık

kümelerdir. A' nün A’ya yakın olduğu ve B' nün de B’ye yakın olduğu durumlarda bu sonuç

geçerli olacaktır. A, B , A' ve B' uygun uzayın bulanık kümeleri olduklarında, yukarıdaki izah

edilen işleyiş işlemi bulanık mantık veya yaklaşıklık mantığı olarak tanımlanmaktadır.

Tanım : Max-Min çıkarımına dayalı bulanık mantık

A, A' ve B, sırasıyla X , X ve Y uzaylarının bulanık kümeleri olsun. Farz edelim ki A→B bulanık çıkarımı, X×Y uzayında tanımlı bir R bulanık ilişkisi ile ifade edilmiş olsun. O halde

"x , A'dır." olayı ve " eğer x, A ise o halde y de B dir." kuralı tarafından sonuçlandırılan B bulanık kümesi aşağıdaki formül ile tanımlanır:

μB’(y) = maxx min [μA’ (x) , μR (x,y)]

= ∨x [μA’ (x) ∧ μR (x ,y) ]

veya , dengi olarak ;

Şimdi, A→B bulanık çıkarımının (implication) uygun bir ikili bulanık ilişki olarak tanımlanması şartı altında, sonuç elde etmek için bulanık mantığın girişim (inference) prosedürünü kullanabiliriz.

Artık, yukarıda tanımladığımız bulanık mantığın hesapsal yönünü tartışacak, sonra da sistem davranışını tanımlayan çoklu girişler ile bulanık kuralların bulunduğu durumlara tartışmayı genişleteceğiz. İncelemelerimiz, yaygın kullanıma sahip olması ve grafiksel olarak

gösteriminin kolay olması sebebiyle, Mamdani’nin bulanık çıkarım fonksiyonları ve klasik max-min kompozisyonu ile sınırlı olacaktır.

4.3.1 Tek girişli tek kural ile bulanık mantık

Bu durum en basit durumdur ve aşağıda verilen formül ile tanımlanır.

μB’(y) =[ ∨x [μA’ (x) ∧ μA (x) ] ∧ μB (y) B

= ω ∧ μB(y) B

Başka bir deyişle, ilk önce μA'(x)Λμ A(x) in minimumu olarak uygun w derecesi

bulunmalı ( şekil’deki taranmış alan ); sonra da B' sonucunun ÜFsi olarak, w değerinde

kırpılmış B nin ÜFsi seçilmelidir. (Şeklin sağındaki taranmış bölge olarak gösterilmiştir.)

Tek giriş, tek kural için bulanık mantığın şekilsel gösterimi

4.3.2 Çok girişli tek kural ile bulanık mantık

Bir bulanık if-then kuralı iki giriş ile birlikte genellikle " eğer x A ise ve y de B ise o halde z de C dir" şeklinde yazılır. Bu kavram şu şekilde belirtilir:

şart 1 ( olgu ) : x A' dür ve y B' dür

şart 2 (kural) : eğer x A ise ve y de B ise o halde z de C dir _______________________________________________________________

İkinci şarttaki bulanık kural " A x B→C " şeklinde daha basit bir forma getirilebilir.

Sezgisel olarak, bu bulanık kural aşağıda verildiği gibi belirtilmiş olan üçlü bulanık ilişkiye dönüştürülebilir :

μR (x, y, z ) =μ( A x B) x C (x, y, z) = μA (x) Λ μB( y) B Λ μC (z)

C' sonucu da;

C' =(A' B') o ( A×B→C) şeklinde belirtilebilir. Böylece aşağıdaki eşitlik sonuç

bulanık kümenin ÜFsini oluşturulur:

× μC ’ (z) = ∨ x ,y [μA’ ( x) Λ μB’ ( y)] Λ [ μA ( x ) Λ μB ( y) B Λ μC ( z )] = ∨ x ,y { [μA’ ( x) Λ μB’ ( y) ΛμA ( x ) Λ μB ( y) ] B Λ μC ( z )]} = _ 1 A ' A X[ (x) (x)]} { ω μ Λ μ ∨ Λ _ 2 B ' B Y[ (y) (y)]} { ω μ Λ μ ∨ Λ μC ( z ) = _ Λ μ deecesi ateşleme kural 2 1Λω ω C ( z )

Eşitlikteki ω1 , A ∩A' nün maksimum üyelik derecesi; ω2 , B∩B' nün maksimum üyelik

derecesi ; ve ω1 Λ ω2 işlemi bu bulanık kuralının ateşleme gücü veya yerine getirme derecesi olarak adlandırılır.

2 girişli tek kural ile bulanık mantık

4.3.3. Çoklu Girişli Çok Kural ile Bulanık Mantık

Çoklu kuralların yorumlaması genellikle, her bir bulanık kuralın yerini tutan bulanık ilişkilerin birleşimi olarak algılanır. Mesela;

şart 1 ( olgu ) : x, A' 'dür ve y B' dür ,

şart 2 ( kural 1 ) : eğer x A1 ise ve y B1 ise o halde z de C1 dir.

şart 3 ( kural 2 ) : eğer x A2 ise ve y B2 ise o halde z de C2 'dir