Test 15 Denklemler I

(1)

– 93 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 15 Çözümler

DENKLEMLER – I

1.

Bilgi:

a ve b reel sayı ve a 0! olmak üzere ax + b = 0

denklemine birinci dereceden bir bilinmeyenli denk-lem denir. Dereceyi belirleyen bilinmeyenin (x) üssü-dür. Denklem birinci dereceden ise x in üssü 1 olma-lıdır.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse;

(a – 1)x3_{+ (b – 2)x}2_{+ (a – b)x – 2 = 0}

denklemi birinci dereceden bir denklem olduğuna

göre, denklemde x3_{ve x}2_{olamaz. Bu durumda x}3_ve

x2_{den kurtulmak gerekir. Bunun için de kat sayıları}

sıfıra eşitlenir. Bu nedenle, x3_{ün kat sayısı 0 a}

eşit-lenip a bulunur. . a a dir 1 0 1 - = =

x2_{nin kat sayısı 0 a eşitlenip b bulunur.}

. b b dir 2 0 2 - = =

Buna göre verilen denklem,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . a x b x a b x x x x x x x x olur 1 2 2 0 1 1 2 2 1 2 2 0 0 0 1 2 0 2 0 3 2 3 2 3 2 - + - + - - = - + - + - - = + + - - = - - =

x değerini bulmak için x li terimler eşitliğin bir tarafına sayılar diğer tarafına toplanır. Eşitliğin bir tarafından diğer tarafına geçen ifade işaret değiştirir. Yani

. x x dir 2 0 2 - - = - =

Eşitliğin her iki tarafı x in kat sayısı –1 e bölünüp x tek başına bırakılırsa . x x x bulunur 2 1 1 2 2 - = -- ₌ = -Cevap: B

2.

İlk önce parantez açılır ve eşitlik düzenlenir.

( ) . x x x x x x olur 3 3 2 4 5 3 6 12 5 6 14 $ - + - = - - - = - - =

x ler eşitliğin bir tarafına sayılar diğer tarafına topla-nır. Eşitliğin bir tarafından diğer tarafına geçen ifade işaret değiştirir. x x x x x 6 14 6 14 7 14 - - = - - = - =

Eşitliğin her tarafı x in kat sayısı –7 ye bölünüp x tek başına bırakılırsa . x x x bulunur 7 14 7 7 7 14 2 - = -= = -Cevap: D

3.

Bilgi:

Kesirli ifadelerin olduğu denklemlerde önce bütün pay-dalar eşitlenir. Paypay-dalar eşitlendikten sonra paypay-dalar sadeleşir ve sadece paylarla işlem yapılır.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; Denklemdeki bütün paydalar 6 da eşitlenirse

( ) . x x x x x x x x x x x olur 6 1 6 1 6 6 6 2 3 1 6 2 6 1 5 2 6 1 3 3 ( ) ( ) ( )1 6 2 $ + ₌ + _- ₌ -+ - = -- = --

-x ler eşitliğin bir tarafına sayılar diğer tarafına topla-nır. Eşitliğin bir tarafından diğer tarafına geçen ifade işaret değiştirir. . x x x x x olur 1 5 2 6 5 2 6 1 7 7 - = -- - = -- =

-Eşitliğin her iki tarafı x in katsayısı –7 ye bölünüp x tek başına bırakılırsa

. x x x bulunur 7 7 7 7 7 7 1 - = -- = -= Cevap: A

(2)

– 94 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 15 Çözümler

DENKLEMLER – I

4.

Kesirli ifadelerin olduğu denklemlerde bütün paydalar

eşitlenir. Paydalar eşitlendikten sonra paydalar sade-leşir ve sadece paylarla işlem yapılır.

Denklemdeki bütün paydalar 6 da eşitlenirse

( ) x x x x x x x 6 3 2 6 3 2 6 2 2 6 6 3 2 2 4 6 4 7 6 3 2 1 1 ( ) ( ) ( )1 2 6 $ -= - _- -= - - + = - + = -

-x ler eşitliğin bir tarafına sayılar diğer tarafına topla-nır. Eşitliğin bir tarafından diğer tarafına geçen ifade işaret değiştirir. . x x x olur 4 7 6 4 6 7 4 1 - + = - = -- =

-Eşitliğin her iki tarafı x in katsayısı –4 e bölünüp x tek başına bırakılırsa . x x bulunur 4 4 4 1 4 1 -= -= Cevap: D

5.

Verilen ifadeler düzenlenirse

x x x 2 5 7 2 1 21 2 7 2 5 2 21 2 1 5 2 3 1 1 1 3 $ $ = = =

İçler dışlar çarpımı yapılırsa x x 5 2 3 1 6 5 = =

Eşitliğin her iki tarafı 6 ya bölünüp x tek başına bıra-kılırsa . x x x bulunur 6 5 6 6 6 5 6 5 = = = Cevap: E

6.

Önce bütün paydalar eşitlenir ve paydalar atılır.

Denklemdeki tüm paydalar 6 da eşitlenir.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x 6 2 1 2 2 4 6 6 3 4 5 6 2 1 3 2 4 2 4 5 2 1 3 2 4 2 4 5 ( )3 ( )2 $ $ $ $ $ $ $ -+ + = + -+ + = + - + + = +

Parantezler açılıp ifadeler düzenlenir.

(x ) ( x ) ( x ) x x x x x 2 1 3 2 4 2 4 5 2 2 6 12 8 10 8 10 8 10 $ - + $ + = $ + - + + = + + = +

x ler eşitliğin bir tarafına sayılar diğer tarafına topla-nır. Eşitliğin bir tarafından diğer tarafına geçen ifade işaret değiştirir. . x x x x olur 8 10 8 10 8 8 10 10 0 0 + = + - = -= Bilgi:

Denklem çözülürken denklemde bilinmeyen (x) kalmı-yorsa eşitliğin her iki tarafında kalan sayılara bakılır. • Sayılar eşitse denklemin çözüm kümesi bütün

reel sayılardır.

• Sayılar eşit değilse denklemin çözüm kümesi boş kümedir.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; Bu durumda, eşitliğin her iki tarafında kalan sayılar eşit olduğundan çözüm kümesi tüm reel sayılardır. R ile gösterilir.

(3)

– 95 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 15 Çözümler

DENKLEMLER – I

7.

Önce bütün paydalar eşitlenir ve paydalar atılır.

Denklemdeki tüm paydalar 4 te eşitlenirse

( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x 4 6 1 1 1 4 4 4 6 2 1 4 1 6 1 2 1 4 1 2 1 1 ( )1 ( )2 ( )4 $ $ $ $ -- - = - _- - ₌ + - - - = + +

Parantezler açılıp ifade düzenlenir.

( ) ( ) x x x x x x x x 6 1 2 1 4 1 6 1 2 2 4 4 4 1 4 4 $ $ - - - = + - - + = + + = +

x ler eşitliğin bir tarafına sayılar diğer tarafına topla-nır. Eşitliğin bir tarafından diğer tarafına geçen ifade işaret değiştirir. . x x x x olur 4 1 4 4 4 4 4 1 0 3 + = + - = -=

Denklemde bilinmeyen kalmadığı durumlarda eşitliğin her iki tarafında kalan sayılara bakılır. Sayılar eşit değilse çözüm kümesi boş kümedir. Boş küme { } veya Q şeklinde gösterilir.

Cevap: C

8.

Denklem düzenlenirse ( ) ( ) ( ) . a x bx c x a x b x c olur 5 8 2 0 5 2 8 0 2 2 - + - - + = - + + + - =

Denklem 1. dereceden olduğundan x in üssü 1

olmalıdır. Denklemde x2_{olamaz. Bu durumda x}2_den

kurtulmak için x2_{nin katsayısı 0 a eşitlenir.}

x2_{nin katsayısı 0 a eşitlenip a bulunur.}

. a a tir 5 0 5 - = =

Denklemin çözüm kümesinin sonsuz olabilmesi için denklemde x kalmaması ve eşitliğin iki tarafında kalan sayıların eşit olması gerekir. O hâlde,

Denklemde x kalmaması için x in katsayısı 0 a eşit-lenip bu bulunur. . b b dir 2 0 2 + = =

-Sayıların eşit olması için c – 8 sayısı da 0 a eşitlenip c bulunur. . c c dir 8 0 8 - = = Bu durumda a = 5, b = –2 ve c = 8 olduğundan a + b + c toplamı ( ) . bulunur 5 2 8 5 2 8 11 + - + = - + = Cevap: B

9.

x ler eşitliğin bir tarafına sayılar diğer tarafına toplanır.

. a bx b ax a b ax bx olur 2 2 2 2 + = + - =

-a2_-b2_{ifadesi iki kare eşitliği kullanılarak}

(a b- ) ($ a b+ ) ve ax – bx ifadesi x parantezine

alına-rak x·(a – b) şeklinde yazılır.

( ) ( ) ( ) . a b ax bx a b a b x a b x a b bulunur 2 2 $ $ - = -- + = -= + Cevap: E

10.

Bilgi:

Bir rasyonel ifadenin 0 olması için payının 0 olması, paydanın ise 0 dan farklı bir sayı olması gerekir. Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse;

b

a b

4 8

2

-+ _{kesrinin 0 olması için}

a + 2b = 0 olmalı ve 4b – 8 = 0 olmalıdır. O hâlde,

. b b b olamaz 4 8 0 4 8 2 - = = =

b değeri 2 olamayacağı için pay kısmındaki a + 2b ifadesinde b yerine 2 yazılıp 0 a eşitlendiğinde çıkan sonuç a değeri olamaz.

. a b a a a olamaz 2 0 2 2 0 4 0 4 $ + = = + = = -+ Cevap: B

(4)

– 96 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 15 Çözümler

DENKLEMLER – I

11.

Bu tür sorularda halkalama metodu kullanılarak x

bulunur. x 8 2 1 3 4 ₄ -= $ 4

Sonucun 4 olması için halka içindeki ifade 4 olmalıdır. (8 den kaç çıkarılırsa sonuç 4 olur.)

x 2 1 3 4 4 -= $ 1

Sonucun 4 olması için halka içindeki ifade 1 olmalıdır. (4 kaça bölünürse sonuç 4 olur.)

x 2 1 3 ₁ - = - $ 1

Sonucun 1 olması için halka içindeki ifade 1 olmalıdır. (2 den kaç çıkarılırsa sonuç 1 olur.)

x 1

3 ₁

- =

Sonucun 1 olması için halka içindeki ifade 3 olmalıdır. (3 kaça bölünürse sonuç 1 olur.)

. x x bulunur 1 3 4 - = = Cevap: C

12.

Bilgi:

Soruda denklemin kökü verilmişse verilen sayı denk-lemde bilinmeyen (x) yerine yazılır ve denklemi sağlar. Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; Denklemin kökü 6 olduğundan denklemde x yerine 6 yazılıp denklem düzenlenir.

x x x x a a a a a 3 1 5 3 6 3 6 1 ₅ ₆ 6 3 3 7 ₅ ₆ 3 3 7 3 6 5 3 7 1 -+ ₊ _{= +} -+ ₊ ₌ ₊ -+ = + - = -- ₌

İçler dışlar çarpımı yapılırsa

. a a a a bulunur 3 7 1 1 7 3 7 3 4 - ₌ - = - = = Cevap: A

13.

Verilen denklem düzenlenirse

( ) ( ) ( ) . a b b a a b a b a b a b bulunur 3 1 ₂ 4 1 ₂ 3 1 1 ₂ ₂ 12 4 3 ₂ 12 1 4 1 2 24 1 24 24 24 1 ( ) ( )4 3 $ $ $ - = + = + - ₌ ₊ = -+ = + + = Cevap: D

14.

. x y _ise x y x y olur 3 2 0 3 2 2 3 - = = =

2x + 3y = 36 denkleminde 3y yerine 2x yazılırsa

. x y x x x x x bulunur 2 3 36 2 2 36 4 36 4 4 4 36 9 + = + = = = = . Cevap: E