EMİRHAN HACIOĞLU TRAKYA ÜNİVERSİTESİ
FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
ANALİZ VE FONKSİYONLAR TEORİSİ ANA BİLİM DALI
Tez Yöneticisi: Yrd. Doç. Dr. Mustafa TELCİ 2012
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ÇOĞUL DEĞERLİ FONKSİYONLAR VE SABİT NOKTA TEOREMLERİ
EMİRHAN HACIOĞLU
YÜKSEK LİSANS TEZİ
ANALİZ VE FONKSİYONLAR TEORİSİ ANA BİLİM DALI
Tez Yöneticisi: Yrd. Doç. Dr. Mustafa TELCİ
2012
ÖZET
Dört bölümden oluşan bu çalışmada metrik uzaylar üzerinde belirli koşulları sağlayan çoğul değerli dönüşümler için sabit nokta teoremleri incelendi ve bazı genellemeler yapıldı.
Birinci bölümde tek değerli ve çoğul değerli fonksiyonların sabit noktaları ile ilgili bilgiler verildi.
İkinci bölümde Hausdorff metrik uzayları ve özellikleri incelenip bu uzay üzerindeki daraltan dönüşümlerin sabit noktaları araştırıldı.
Üçüncü bölümde Fisher’in tanımladığı -uzaklık fonksiyonu yardımı ile çoğul değerli dönüşümlerin sabit noktaları incelendi ve çoğul değerli dönüşüm çiftleri için ortak sabit nokta teoremleri verildi.
Son bölümde ise çoğul değerli dönüşümler için genelleştirilmiş sabit nokta teoremleri ile Caristi tipindeki çoğul değerli dönüşümler incelendi ve bunlarla ilgili bazı sonuçlar elde edildi.
ABSTRACT
In this study which consists of four chapters the fixed point theorems of multi-valued functions which satisfys several conditions on the metric spaces were examined and some generalizations were obtained.
In the first chapter, the knowledges about fixed points of single-valued and multi-valued functions were given
In the first second, Hausdorff metric spaces with properties and the fixed points of contraction mappings on this spaces were examined
.
In the third chapter, the fixed points of multi-valued mappings -distance function defined by Fisher were examined and common fixed point theorems for pairs of multi-valued functons were obtained.
In the last chapter, fixed point theorems which generalized to multi-valued mappings with Caristi type multi-valued mappings were examined and some results were obtained.
ÖNSÖZ
Matematik eğitimimde ve bu çalışma süresince benden bilgi ve tecrübesini esirgemeyip, anlayış gösteren ilk önce değerli hocam Yrd. Doç. Dr. Mustafa TELCİ`ye ve bu süreçte her zaman destek olan Yrd. Doç. Dr. İlker ŞAHİN ve Yrd. Doç. Dr. Hakan KARAYILAN`a en içten teşekkürlerimi sunarım.
İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT ... ii ÖNSÖZ ... iii İÇİNDEKİLER ... iv I. BÖLÜM / GİRİŞ VE ÖN BİLGİLER ... 1 1.1 Giriş ... 1
1.2 Tek Değerli Fonksiyonların Sabit Noktaları ... 3
1.3 Çoğul Değerli Fonksiyonların Sabit Noktaları ... 5
II. BÖLÜM / HAUSDORFF METRİK UZAYLARI VE ÇOĞUL DEĞERLİ DÖNÜŞÜMLERİN SABİT NOKTALARI ... 8
2.1 Hausdorff Metrik Uzayı ... 8
2.2 Daraltan Dönüşümler ve Nadler Sabit Nokta Teoremi ... 15
III. BÖLÜM / FISHER TİPİNDEKİ UZAKLIK FONKSİYONU İLE ÇOĞUL DEĞERLİ DÖNÜŞÜMLERİN SABİT NOKTALARI ... 21
3.1 Uzaklık Fonksiyonu ... 21
3.2 -Uzaklık Fonksiyonu ile Sabit Nokta Teoremleri ... 25
IV. B Ö L Ü M / B İ R M E T R İ Ğ İ Y A R D I M I Y L A Ç O Ğ U L D E Ğ E R L İ
DÖNÜŞÜMLERİN SABİT NOKTALARI ... 36
4.1 Çoğul Değerli Dönüşümlerin Yörüngesi Ve Yörüngesel Tamlık ... 36
4.2 Çoğul Değerli Dönüşümler İçin Genelleştirilmiş Sabit Nokta Teoremleri ... 37
4.3 Caristi Tipindeki Çoğul Değerli Dönüşümlerin Sabit Noktalari... 46
KAYNAKLAR ... 55
I. BÖLÜM
GİRİŞ ve ÖN BİLGİLER
1.1 GİRİŞ
boştan farklı bir küme ve `e bir dönüşüm olsun. eşitliğini sağlayan bir noktasına `nin bir sabit noktası denir. Diğer bir deyişle eşitliğini sağlayan her bir noktası `nin sabit noktasıdır.
operatör denkleminin bir çözümünün varlığı ve kurulumunu ele alan problemler sabit nokta teorisinin önemli bir kısmını oluşturmaktadır.
Analize giriş derslerinden
“ olmak üzere [ ] [ ] tanımlı her sürekli fonksiyonunun [ ] üzerinde daima en az bir sabit noktasının var olduğu “
bilinmektedir
1912`de Brouwer ;
“ `nin kapalı birim yuvarından yine aynı kapalı birim yuvarı üzerine tanımlanan her sürekli dönüşümün bir sabit noktasının var olduğunu”
göstermiştir. 1930`da Schauder;
“ , bir Banach uzayının kapalı Konveks bir alt kümesi olmak üzere sürekli dönüşümü için, eğer ̅̅̅̅̅̅ kompakt küme ise `nin bir sabit noktası vardır”
teoremini vererek Banach uzayları üzerinde bir genelleme vermiştir.
Her ne kadar sabit nokta teorisi Brouwer ile başladığı bilinse de analizin önemli branşlardan biri olan sabit nokta teorisinin kökeni 19.yy son kısmında özellikle diferansiyel denklemleri üzerindeki çalışmalarda kullanılan yaklaşım yöntemlerine kadar dayanmaktadır. Burada kullanılan yaklaşım metotları Cauchy (1884), Liouville (1836), Lipschitz (1877), Peano (1885-1886-1889) ve özellikle Picard (1890) ile anılmaktadır. Gerçekte, ilk olarak Picard çalışmalarında sabit noktaya teorik bir yaklaşım sergilemiştir. 1922`de Stephan Banach, iddia edilen yaklaşımları soyut olarak ele alarak uygun koşullar altında sabit noktanın varlığını ve tekliğini kanıtlamıştır. Burada elde ettiği önemli sonuçlardan biride Picard iterasyonu ile elde edilen dizinin sabit noktaya yakınsamasıdır.
Sabit nokta ile ilgili çalışmalar temelde üç ayrı başlık altında toplanabilir; 1) Topolojik sabit nokta teorisi.
2) Metrik sabit nokta teorisi,
a) Tek değerli fonksiyonlar için sabit nokta teorisi,
b) Çoğul (küme) değerli fonksiyonlar için sabit nokta teorisi. 3) Ayrık sabit nokta teorisi.
Bunların ortaya çıkış teoremleri sırasıyla; 1) Brouwer sabit nokta teoremi 2) Banach sabit nokta teoremi 3) Tarski sabit nokta teoremi olarak verilebilir.
Bu tezde metrik sabit nokta teoremine bağlı olarak küme değerli fonksiyonların sabit noktaları incelenecektir.
1.2 TEK DEĞERLİ FONKSİYONLARIN SABİT NOKTALARI
Bir fonksiyon verildiğinde onun kendi karakteristik özellikleri veya tanım kümesi üzerindeki koşullar fonksiyonun sabit noktasının varlığını garanti etmektedir.
Örneğin;
i) bir vektör uzayı olmak üzere dönüşümünün hiç bir sabit noktası yoktur.
ii) [ ] [ ] olmak üzere biçimindeki fonksiyonun hiçbir sabit noktası yoktur.
iii) olmak üzere fonksiyonun hiçbir sabit noktası yoktur.
iv) olmak üzere birim fonksiyonu için `in her elemanı sabit noktadır.
v) ise ve noktaları `nin sabit noktalarıdır. vi) fonksiyonu için biçimindeki tüm
noktalar `nin sabit noktasıdır.
vii) fonksiyonu için `nin tek bir sabit noktasıdır.
viii) [ ] olmak üzere { fonksiyonu için `nin tek bir sabit noktasıdır.
Bir fonksiyon verildiğinde onun sabit noktasının varlığı, fonksiyonun özelliklerinin yanı sıra fonksiyonun tanımlı olduğu kümenin yapısı üzerindeki koşullarla da yakından ilgilidir. Genel olarak dönüşümlerin sabit noktaları araştırılırken aşağıdaki noktalar göz önünde bulundurulur;
i) Verilen bir fonksiyonunun en az bir sabit noktasının var olması için ne tür koşulları sağlamalıdır?
ii) `nin sabit noktası hangi koşullar altında tektir?
iii) fonksiyonunun bir sabit noktasının varlığını garanti etmek için `nin tanım kümesi üzerine hangi ek koşullar konulmalıdır?
iv) fonksiyonu ile oluşturulan iterasyon dizisisin yakınsaklığı hakkında ne söylenebilir?
1922`de S. Banach`ın vermiş olduğu ve literatürde Banach daraltma ilkesi olarak bilinen teoremi, tek değerli fonksiyonlar için metrik sabit nokta teorisinde en önemli teoremlerden biri olarak kabul edilir. Bu teoremde Banach;
“ tam metrik uzay ve bir dönüşüm olsun. Her için
olacak biçimde bir sabiti varsa ( Bu tür dönüşümlere daraltan dönüşüm denir.) o zaman `nin bir sabit noktası vardır ve bu nokta tektir”
sonucunu elde etmiştir.
Banach`ın vermiş olduğu teorem basit ve anlaşılır olup varlık ve teklik teoremlerinde önemli uygulama alanları bulmuştur. Gerek Brouwer`in gerekse Schauder`in kanıtlarında sabit noktanın bulunması için ne yapılabileceği konusunda en ufak bir bilgi yoktur. Burada ki kanıt yapısal bir yaklaşımdan çok var olma ile ilgili fikir yürütmeye dayanmaktadır. Banach`ın teoreminde ise Brouwer ve Schauder`in
teoremlerinin aksine sabit noktanın varlığının ve tek olmasının yanı sıra sabit noktanın bulunması ile ilgili de fikir verilmektedir.
Banach`ın teoreminden sonra buna paralel olarak birçok genelleştirilmiş sabit nokta teoremi elde edilmiştir. Bunların en önemlilerinden biri de Caristi`nin 1976 da vermiş olduğu teoremdir. Caristi;
“ tam metrik uzay , [ alttan yarı sürekli bir fonksiyon ( koşulunu sağlayan `deki her dizisi için ) olmak üzere her için
koşulunu sağlıyan dönüşümünün bir sabit noktasının var olduğunu” göstermiştir.
Bunların dışında Bryant (1968), Eldestein (1962), Rakotch (1962), Boyd-Wong (1969), Meir-Keeler (1969), Hardy and Rogers (1973), Reich (1971), Ciric (1974) Rhodes (1977) vs. yaptıkları çalışmalarla sabit nokta teorisine önemli katkılar sağlamışlardır.
1.3 ÇOĞUL DEĞERLİ FONKSİYONLARIN SABİT NOKTALARI
1.3.1 Tanım: ve boştan farklı iki küme, de `nin bütün boştan farklı alt kümelerinin ailesi olsun. fonksiyonuna çoğul (küme) değerli dönüşüm denir. Bazen bu fonksiyon veya biçiminde de gösterilir.
çoğul değerli dönüşümü kümesinden alınan her bir elemanına karşılık `nin bir alt kümesini karşılık getirir. Eğer her bir `e karşılık gelen tek noktadan oluşuyor ise o zaman tek değerli dönüşüm olur.
Verilen bir tek değerli dönüşümü; her bir için ile çoğul değerli bir dönüşüm olarak tanımlanabilir.
Seçme aksiyomu ile her bir çoğul değerli dönüşümüne karşılık her için olacak biçimde bir dönüşümü alınabilir ve bu fonksiyonuna `nin seçimi adı verilir.
1.3.2 Örnekler: 1) [ ] [ ] , { 2) [ ] , [ ] 3) { [ ] [ ] 4) [ [ , [ ] 5) , { [ ]
Bir dönüşümünün tanım kümesi
| dir ve T dönüşümünün grafiği ise
} biçimindedir. Bir kümesinin altındaki görüntüsü
⋃
1.3.3 Tanım: çoğul değerli bir dönüşüm olsun. Eğer bir için oluyor ise `e çoğul değerli dönüşümünün bir sabit noktası denir.
( Nadler, S. B.,Jr., 1969 )
Bir çoğul değerli dönüşümü verildiğinde tek dönüşümlerde olduğu gibi onun karakteristiği ve tanım kümesi üzerindeki koşullar fonksiyonun sabit noktasının varlığını garanti etmektedir.
1.3.4 Örnekler
1) [ ] [ ] , {
fonksiyonunun hiçbir sabit noktası yoktur
2) [ [ , [ ] fonksiyonu için her bir [ bir sabit noktadır.
3) , { [ ] fonksiyonu için ve her bir [ ] bir sabit noktadır.
Çoğul değerli dönüşümlere önemli bir örnek olarak;
`e olmak üzere , her için biçiminde tanımlanan ve operatör çözüm fonksiyonu olarak adlandırılan fonksiyon verilebilir.
Çoğul değerli fonksiyonlar ile ilgili ilk sabit nokta teoremi 1969`da Nadler tarafından verilmiştir. Nadler`in vermiş olduğu teorem aynı zamanda Banach`ın vermiş olduğu teoremin çoğul değerli fonksiyonlara bir genişlemesi olduğu için de önemlidir.
II. BÖLÜM
HAUSDORFF METRİK UZAYLARI ve ÇOĞUL DEĞERLİ
DÖNÜŞÜMLERİN SABİT NOKTALARI
Bu bölümde ilk olarak kümeler arasındaki uzaklığı belirleyen Hausdorff metriği ile onun bazı özellikleri verilecektir. Sonrada bu uzayda belirli özellikleri sağlayan çoğul değerli dönüşümlerin sabit noktaları incelenecektir.
2.1 HAUSDORFF METRİK UZAYI
2.1.1 Tanım: bir metrik uzay ve `in boştan farklı bir alt kümesi olmak üzere bir için
değerine `in kümesine olan uzaklığı denir.
( R. P, Agarwal , D. O’Regan, D.R. Sahu., 2009 )
ile `in boştan farklı kapalı bütün alt kümelerinin ailesini, ile `in boştan farklı kapalı ve sınırlı bütün alt kümelerinin ailesi ve ile de `in boştan farklı kompakt bütün alt kümelerinin ailesi gösterilsin. Bu durumda
olduğu açıktır
2.1.2 Tanım: bir metrik uzay, olsun. Bu durumda
değerine kümesinin kümesine olan uzaklığı,
değerine de ve kümeleri arasındaki uzaklık denir.
( R. P, Agarwal , D. O’Regan, D.R. Sahu., 2009 ) 2.1.3 Örnekler 1) için | | olsun. [ ] [ ] kümelerini alındığında =1 ve D =1 olduğundan =1 dir.
Not: uzaklığı simetrik değildir. Dolayısı ile metrik olamaz.
2) için | | olsun. [ ] [ ] alndığında ve olup =3 bulunur. 3) de √ ve √ 𝑎 𝑎 𝑎 2 2 2 1 1
kümeleri göz önüne alınsın. olduğundan her için olup buradan bulunur. Her bir için ve her bir için √ olacağından bulunur. Buna göre
(A,B) olur.
2.1.4 Önerme: bir metrik uzay ve olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler sağlanır:
a) b)
c) d) +
( R. P, Agarwal , D. O’Regan, D.R. Sahu., 2009 ) Kanıt: a) `nın tanımından;
için ve `in kapalı bir alt kümesi olduğundan
̅ olur. Böylece olur. Sonuç olarak ;
dir.
b) olsun. O zaman her için olacağından olup, buradan elde edilir. c)
d) , ve olsun. Üçgen eşitsizliğinden olup buradan
bulunur. keyfi olduğundan
olur. Her bir üzerinden supremum alındığında
elde edilir.
2.1.5 Önerme: bir metrik uzay olsun. Bu durumda Tanım 2.1.2 ile verilen uzaklık fonksiyonu üzerinde bir metriktir.
( R. P, Agarwal , D. O’Regan, D.R. Sahu., 2009 ) Kanıt: olsun.
i) `ın tanımından olduğu açıktır. ii) ( Önerme 2.1.4 (a)) iii) nın tanımından,
iv) Önceki önermedin (d) şıkkından
Not: üzerinde ki metriğine Hausdorff metriği denir. Hausdorff metriği metriğine bağlı olarak tanımlanır. Eğer tam metrik uzay ise ve `ın da tam olduğunu görmek kolaydır.
2.1.6 Önerme: bir metrik uzay, `da üzerindeki Hausdorff metriği olsun. Bu durumda olmak üzere
özelliği sağlanır.
( R. P, Agarwal , D. O’Regan, D.R. Sahu., 2009 ) Kanıt: Önceki önermelerden;
ve olduğundan (1) Bezer şekilde; (2) `nın tanımını, (1), (2) den elde edilir.
2.1.7 Önteorem: ve olsun. Her için
olacak biçimde bir vardır. ( Nadler S. B. Jr., 1969 )
Kanıt: ve bir verilsin. İnfimum tanımından olacak biçimde bir vardır.
olduğundan
elde edilir.
2.1.8 Önteorem: olsun. herhangi bir için
dir.
(L. S. Dube, 1975)
2.1.9 Önteorem: olsun. Her ve için
olacak biçimde bir vardır. (T. Kamran, 2009)
Kanıt: ise in kapalı bir alt kümesi olduğundan dır. O zaman alınırsa istenen elde edilmiş olur.
olsun.
olarak alınsın. O zaman tanımından
olacak biçimde bir vardır. yerine yazılırsa
olur.
2.1.10 Tanım: bir metrik uzay , `da üzerinde bir Hausdorff metriği olsun ve bir çoğul değerli dönüşümü verilsin. Eğer `deki her yakınsak dizisi için iken oluyorsa `ye üzerinde süreklidir denir.
2.2 DARALTAN DÖNÜŞÜMLER VE NADLER SABİT NOKTA TEOREMİ
Bu bölümde daraltan çoğul değerli dönüşümler için sabit nokta teoremi verilecektir.
2.2.1 Tanım: bir metrik uzay ve çoğul değerli bir dönüşüm olsun. Eğer her için
koşulunu sağlayan bir sabiti varsa `ye Lipschitz dönüşümü ve buradaki sayısına da `nin Lipschitz sabiti denir. Eğer ise Lipschitz çoğul değerli
dönüşümüne daraltan, ise `ye genişleme olmayan çoğul değerli dönüşüm denir.
( R. P, Agarwal , D. O’Regan, D.R. Sahu., 2009 )
Not: Her Lipschitz çoğul değerli dönüşümü süreklidir. Gerçekten; olan `deki herhangi bir dizisi için
dir. Buradan da istenen elde edilir.
2.2.2 Teorem(Nadler Sabit Nokta Teoremi): tam metrik uzay ve bir daraltan çoğul değerli dönüşüm olsun. O zaman `nin `de sabit noktası vardır.
(Sam B. Nadler, Jr., 1969)
Kanıt: Herhangi bir alınsın ve olsun. O zaman `nin Lipschitz sabiti olmak üzere Önteorem 2.1.7`den
olacak biçimde bir vardır. Yine benzer biçime
olacak biçimde bir vardır.
Benzer biçimde devam edildiğinde her bir için
ve olacak biçimde bir dizisi oluşturulur. Her için
[ ] [ ] …
elde edilir. olduğundan ∑ ve ∑ olup,
∑
∑ ∑
olur. Bu ise de bir Cauchy dizisi olduğunu gösterir. tam metrik uzay olduğundan olacak biçimde bir vardır. dönüşümü daraltan olduğundan süreklidir ve bu durumda
dir. Her bir için olduğundan ve olduğundan
olur. Üçgen eşitsizliğinden
olup
bulunur. kapalı bir küme olduğundan olur. Böylece `nin sabit bir noktasıdır.
2.2.3 Örnek: [ ] ve {
fonksiyonu verilsin.
, her için biçiminde tanımlansın. daraltan dönüşüm olup ve noktaları `nin sabit noktalarıdır.
Not: Örnekte de görüldüğü gibi çoğul değerli bir dönüşümün sabit noktasının tek olması gerekmez.
2.2.4 Teorem: tam metrik uzayı ve aynı Lipschitz sabitine sahip iki çoğul değerli daraltan dönüşüm olsun. Yani; her için
ve
olacak biçimde bir sabiti var olsun. Bu durumda ve sırasıyla ve dönüşümlerinin sabit noktaları olmak üzere
eşitsizliği doğrulanır.
( R. P, Agarwal , D. O’Regan, D.R. Sahu., 2009 )
Kanıt: Teorem 2.2.2 den ve oldukları açıktır. verilsin ve ∑ olacak biçimde bir alınsın. için
olacak biçimde bir seçilebilir. Benzer biçimde devam edildiğinde
,
biçiminde bir dizisi tanımlanabilir. olsun. Bu durumda
[ ]
…
elde edilir. ∑ ve ∑ olduğundan içinde bir Cauchy dizisi olur. tam metrik uzay olduğundan olacak biçimde vardır. dönüşümü daraltan olduğundan sürekli olup dir. olduğundan yani dir.
∑ ∑ ∑ ∑
bulunur. Benzer biçimde ve `nin rolleri değiştirildiğinde; her bir için
olacak biçimde ve vardır. keyfi olduğundan ,
elde edilir.
2.2.5 Teorem: tam metrik uzayı ve için aynı Lipschitz sabitine sahip çoğul değerli daraltan dönüşümler olsunlar; yani, olmak üzere her ve için
olsun. Eğer için düzgün olarak ise ( ) dır.
( R. P, Agarwal , D. O’Regan, D.R. Sahu., 2009 )
Kanıt: verilsin. için düzgün olarak olduğundan her için
olacak biçimde vardır. Teorem 2.2.4 den her için
bulunur. Bu ise
( )
III. BÖLÜM
FISHER TİPİNDEKİ -UZAKLIK FONKSİYONU İLE ÇOĞUL
DEĞERLİ DÖNÜŞÜMLERİN SABİT NOKTALARI
Bu bölümde Fisher tarafından tanımlanan Hausdorff metriğinden farklı fakat metrik olmayan uzaklık fonksiyonu göz önüne alınacak ve bu uzaklık fonksiyonu yardımı ile bazı sabit nokta teoremleri incelenecektir.
3.1 -UZAKLIK FONKSİYONU
3.1.1 Tanım: bir metrik uzay ve `de `in boştan farklı bütün sınırlı alt kümelerinin ailesi olsun. olmak üzere;
biçiminde tanımlansın.
Eğer tek bir noktasından oluşan bir küme ise
biçiminde yazılır. Eğer kümesi de tek bir noktasından oluşan bir küme ise o zaman
biçiminde yazılır.
Tanımdan her için ,
ve çap
olduğu kolayca görülür.
Eğer ise o zaman dir. ( B. Fisher, 1981 )
Not: , üzerinde bir metrik değildir.
3.1.2 Tanım: , `de tanımlı kümelerin bir dizisi ve olsun. Eğer
i) Her bir , biçiminde oluşturulan yakınsak bir dizinin limiti,
ii) Her sayısı için , `daki noktaları merkez kabul eden yarıçaplı bütün yuvarların birleşimi olmak üzere her için olacak biçimde bir sayısı vardır,
koşulları sağlanıyor ise dizisine `de `ya yakınsaktır denir. ( B. Fisher, 1981 )
3.1.3 Tanım: çoğul değerli bir dönüşüm ve olsun. Eğer `de, noktasına yakınsayan bütün dizileri için , `de `e yakınsıyorsa `ye noktasında süreklidir denir.
Eğer `in her noktasında sürekli ise, `ye ` den `e süreklidir denir. ( B. Fisher, 1981 )
3.1.4 Önerme: Eğer ve `de sırasıyla ve kümelerine yakınsayan kümelerin dizisi ise o zaman de `ye yakınsar.
( B. Fisher, 1981 )
Kanıt: Herhangi bir sayısı verilsin. ve yakınsak olduğundan Tanım 3.1.2`den her için
olacak biçimde bir vardır. Her ve için ve olacak biçimde ve vardır. Buradan
olduğundan her için
(3.1.1) olur.
Ayrıca her ve için her için ve olacak biçimde ve bulunabilir. Üçgen eşitsizliğinden ( ) olduğundan her için
(3.1.2) olur. (3.1.1) ve (3.1.2) eşitsizliklerinden her için | - | olur. Bu ise nin `ye yakınsadığını gösterir.
3.1.5 Önerme: in boştan farklı alt kümelerinin bir dizisi ve olsun. Eğer
ise o zaman dizisi kümesine yakınsar. ( B. Fisher, 1989 )
Kanıt: Her için alınsın. Bu durumda
olur o zaman herhangi bir verildiğinde her için olacak biçimde olarak bir vardır. Bu sayısı her bir `in seçiminden bağımsızdır. Bu ise , merkezli yarıçaplı yuvar olmak üzere her için olduğunu verir.
3.1.6 Önerme: `in boştan farklı alt kümelerinin bir dizisi, `de herhangi bir için `lerin seçiminden bağımsız olmak üzere
koşulunu sağlasın. Eğer `e sürekli bir dönüşüm ise o zaman dizisi ye yakınsar.
( B. Fisher, 1989 )
Kanıt: merkezli yarıçaplı yuvar olmak üzere her için olacak biçimde bir sayısı var olsun. Bu durumda her için olacak biçimde dizisi vardır. Hipotezden her
dizisi `ye yakınsadığından ve sürekli olduğundan dizisi de `ye yakınsar. Böylece yeterince büyük bir için olacağından bu olması ile çelişir. ye yakınsar.
3.2 -UZAKLIK FONKSİYONU İLE SABİT NOKTA TEOREMLERİ
3.2.1 Teorem: tam metrik uzay ve , olmak üzere her için
(3.2.1) koşulunu sağlayan çoğul değerli bir dönüşüm olsun. Eğer her için özelliğini sağlıyorsa `nin bir sabit noktası vardır ve bu nokta tektir. Ayrıca dir.
( B. Fisher, 1981 )
Kanıt: Eğer ise (3.2.1) eşitsizliğinden; her ve için
olduğundan eşitsizliğin her iki tarafında bütün ve `ler üzerinden supremum alındığında
(3.2.2) elde edilir. her için özelliğini sağladığından (3.2.2) eşitsizliğinin her iki yanı da sonludur.
Herhangi bir ve için kümesi tümevarım ile
biçiminde tanımlansın.
kümesinin bir an için sınırlı olmadığı varsayılsın. O zaman
olacak biçimde bir sayısı vardır. Burada olamaz. Gerçekten olsaydı [ ]
olup buradan bulunur. (3.2.1) den olacağından bir çelişki elde edilir.
(3.2.3)`den için [ ] [ ] olup, buradan (3.2.4) olur. (3.2.5) eşitsizliği her zaman doğrudur. Gerçekten olmak üzere
olduğundan eşitsizlik doğru olur. Bunun dışında eğer (3.2.5) eşitsizliği doğru olmasaydı (3.2.4) eşitsizliğinden
olur. (3.3.2) eşitsizliği bu terimlere uygulanırsa biçimindeki terimler (3.2.4) eşitsizliğinden dolayı atılabilir. Yani; her için
dir. Burada için limite geçilirse olduğundan elde edilir. Bu ise `nin sınırsız olması ile çelişir. Yani; (3.2.5) eşitsizliği sağlanır. Buna karşın (3.2.2) eşitsizliği kullanıldığından
elde edilir ki, bu ise (3.2.4) eşitsizliğinden dolayı imkansızdır. Şu halde sınırlıdır. Böylece olduğundan sonludur.
Herhangi bir için olacak biçimde bir seçilsin. Her için (3.2.2) eşitsizliği terimine kez uygulanırsa
(3.2.6) elde edilir. Her için seçilirse, her için
olur. Bu ise dizisinin bir Cauchy dizisi olmasını verir. tam metrik uzay olduğundan olacak biçimde bir vardır.
Ayrıca her için
olur. için limite geçildiğinde her için
(3.2.7)
olup, her için
(3.2.8)
olur. (3.2.2), (3.2.6), (3.2.7) ve (3.2.8)`den her için
[ ]
elde edilir. olduğundan her için
[ ]
olur ve eşitsizliğinin her iki yanından için limite geçildiğinde Önerme 3.1.4`den ve `nun keyfi olmasından
elde edilir. Bu ise olduğundan ve olmasını verir. Eğer `nin ikinci bir sabit noktası olsaydı (3.2.1) eşitsizliğinden
olacağından olup bulunur. Buradan yine (3.2.1) eşitsizliği kullanıldığında
elde edilir. olduğundan bu eşitsizlik ancak olması durumunda gerçekleşir. Bu ise olmasını verir.
3.2.2 Sonuç: tam metrik uzay ve , ve olmak üzere her ve için
(3.2.9) koşulunu sağlayan çoğul değerli bir dönüşüm olsun. Eğer her için özelliğini sağlıyorsa `nin bir sabit noktası vardır ve bu nokta tektir. Ayrıca dir.
( B. Fisher, 1981 )
Kanıt: olarak alınırsa olup (3.2.9) eşitsizliğinden her için
3.2.3 Sonuç: tam metrik uzay ve , olmak üzere her ve için
(3.2.10) koşulunu sağlayan tek değerli bir dönüşüm olsun. O zaman `nin tek bir sabit noktası vardır.
( B. Fisher, 1981 )
Kanıt: dönüşümü yardımı ile , her için biçiminde çoğul değerli dönüşümü tanımlansın. Bu durumda dönüşümü Teorem 3.2.1`deki (3.2.1) koşulunu sağlar. Ayrıca her için tek nokta kümesi olduğundan sınırlıdır. Bu yüzden (3.2.1) eşitsizliği (3.2.2) eşitsizliği ile aynıdır. Bu ise olacak biçimde olduğunu verir.
Not: Sonuç 3.2.3 ile B. Fisher`in 1979 da vermiş olduğu sonuç elde edilir.
3.3 ÇOĞUL DEĞERLİ DÖNÜŞÜM ÇİFTLERİ İÇİN ORTAK SABİT NOKTA TEOREMLERİ
3.3.1 Tanım: iki çoğul değerli fonksiyon olsun.
⋃
olarak tanımlanır.
3.3.2 Teorem: tam metrik uzay olsun. [ [ i) azalmayan
ii) her için ∑ koşullarını sağlayan bir fonksiyon olmak üzere;
her için
(3.3.1) ve
(3.3.2) koşullarını sağlayan çoğul değerli dönüşümler olsun. Eğer veya sürekli ise ve `in bir ortak sabit noktası vardır ve dir.
Kanıt: Herhangi bir alınsın. ve keyfi olarak seçilmek üzere için
ve
olacak biçimde dizisi tanımlansın.(3.3.1) ve (3.3.2) eşitsizlikleri ve `nin azalmayan özelliği kullanıldığında
… (3.3.3)
ve … (3.3.4) elde edilir. Böylece (3.3.3) ve (3.3.4) eşitsizliklerinden her için
(3.3.5) bulunur. olsun. (3.3.5) eşitsizliğinden ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ∑ ( ) elde edilir.
Herhangi bir sayısı verilsin. Her için ∑ olduğundan her için
∑ ( )
olacak biçimde yeterince büyük bir sayısı bulunabilir. Bu ise dizisinin Cauchy dizisi olduğunu verir. tam metrik uzay olduğundan olacak biçimde bir vardır.
Eğer sürekli ise dizisi `ye yakınsaktır. Ayrıca (3.3.3) eşitsizliğinden
olup için limite geçildiğinde olur. Buradan da bulunur. (3.3.2) eşitsizliğinden ( ) olduğundan ve burada bulunur.
Benzer biçimde `nin sürekli olması durumu göz önüne alındığında `nin ve `nin ortak bir sabit noktası olduğu kolayca görülür.
3.3.3 Örnek: [ ] ve | | olsun. [ [ , olarak alınsın. O zaman , (i) ve (ii) özelliklerini sağlar.
her için [ ] [ ] biçiminde tanımlansın. Bu durumda Böylece ve
olduğundan ve Teorem 3.3.2`deki tüm koşulları sağlar ve . Yani , ve `nin ortak sabit noktasıdır.
Teorem 3.3.2 `de alındığında aşağıdaki sonuç elde edilir. 3.3.4 Sonuç: tam metrik uzay olsun. [ [
i) azalmayan
ii) her için ∑ koşullarını sağlayan bir fonksiyon olmak üzere;
her için
koşulunu sağlayan çoğul değerli dönüşüm olsun. Eğer sürekli ise `in bir sabit noktası vardır ve dir.
Teorem 3.3.2 `de tek değerli dönüşümler olarak alınırsa aşağıdaki sonuç elde edilir.
3.3.5 Sonuç: tam metrik uzay olsun. [ [ i) azalmayan
ii) her için ∑ koşullarını sağlayan bir fonksiyon olmak üzere;
her için
ve
koşullarını sağlayan tek değerli dönüşümler olsun. Eğer veya sürekli ise ve `in bir ortak sabit noktası vardır.
IV. BÖLÜM
BİR -METRİĞİ YARDIMIYLA ÇOĞUL DEĞERLİ
DÖNÜŞÜMLERİN SABİT NOKTALARI
Bu bölümde Hausdorff metriği ve uzaklık fonksiyonu kullanılmadan bir -metriği ile bazı sabit nokta teoremleri elde edilecektir.
4.1 ÇOĞUL DEĞERLİ DÖNÜŞÜMLERİN YÖRÜNGESİ VE YÖRÜNGESEL
TAMLIK
Bu kesimde kullanılacağı kadarıyla bazı tanımlar verilecektir.
4.1.1 Tanım: çoğul değerli bir dönüşüm ve olsun. için olmak üzere bir [ dizisi varsa
`ye `nin da bir yörüngesi denir.
( Ćirić, Lj. B., 1972 )
4.1.2 Tanım: bir metrik uzay, bir dönüşüm ve olsun.
biçimindeki her Cauchy dizisi `de yakınsak ise metrik uzayına `a göre
-yörüngesel tamdır yada kısaca -yörüngesel tamdır denir. ( Ćirić, Lj. B., 1972 )
4.1.3 Tanım: Bir metrik uzayı ile çoğul değerli dönüşümü verilsin. dönüşümü verilsin. Eğer koşulunu sağlayan `daki her dizisi için
oluyorsa `ye noktasında `a göre -yörüngesel alttan yarı süreklidir denir. ( Ćirić, Lj. B., 1972 )
4.2 ÇOĞUL DEĞERLİ DÖNÜŞÜMLER İÇİN GENELLEŞTİRİLMİŞ SABİT NOKTA TEOREMLERİ
S. Reich 1972`de, bir kümesinden `in boştan farklı kompakt alt kümeleri ailesine tanımlı çoğul değerli dönüşümlerin için önemli bir sabit nokta teoremi vermiştir. 1989`da N. Mizoguchi ve W. Takahashi, S. Reich`in teoremini `den `in boştan farklı kapalı ve sınırlı alt kümeleri ailesine tanımlı dönüşümler için genişletmişlerdir. 2009`da ise T. Kamran, N. Mizoguchi ve W. Takahashi`nin sonucunu `den `in boştan farklı kapalı alt kümeleri ailesine aşağıdaki biçimde genellemiştir.
4.2.1 Teorem: tam bir metrik uzay ve çoğul değerli bir dönüşüm olsun. [ [ her [ için
(4.2.1) olmak üzere dönüşümü her ve için
( ) (4.2.2) koşulunu sağlasın. O zaman
i) Her bir için olacak biçimde -yörüngesinde bir dizisi ve vardır.
ii) olması için gerekli ve yeterli koşul fonksiyonunun noktasında `a göre -yörüngesel alttan yarı sürekli olmasıdır.
( T. Kamran, 2009 )
Kanıt: olsun. olduğundan olacak biçimde bir vardır. Eğer ise `nin sabit noktasıdır. olarak alınsın. √ alındığında Önteorem 2.1.9`dan
√ ( ) (4.2.3)
olacak biçimde bir vardır. Benzer biçimde devam edildiğinde için olmak üzere
√ ( )
(4.2.4)
koşulu sağlayan içinde bir dizisi oluşturulur. Herhangi için ise o zaman `nin sabit noktası olur. Her için olsun. (4.2.2)
eşitsizliği kullanıldığından (4.2.4) eşitsizliğinden √ ( ) ( ) √ ( ) √ ( ) (4.2.5)
elde edilir. Bu ise `nin azalan bir dizi olmasını verir. Aynı zamanda `alttan sınırı olduğundan bir sayısına yakınsar. Eğer olsaydı (4.2.5) eşitsizliğinde limite geçildiğinde
√ ( )
olacağından çelişki elde edilirdi. Şu halde dır. Yine (4.2.5) eşitsizliğinden
[√ ( ) √ ( )] (4.2.6)
elde edilir. (4.2.1)`den olmak üzere her için
olacak biçimde bir alınabilir. Ayrıca olduğundan her için
olacak biçimde bir vardır. (4.2.6) eşitsizliğinden
[√ (
) √ ( )]
olacağından her için
[ ]
elde edilir. Bu ise dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu verir. tam metrik uzay olduğundan olacak biçimde bir vardır.
(4.2.2) eşitsizliğinden
elde edilip buradan için limite geçildiğinde
bulunur.
noktasında yörüngesel alttan yarı sürekli olsun. O zaman ve olduğundan
olur. kapalı olduğundan bulunur. Tersine eğer ise
olacağından noktasında yörüngesel alttan yarı sürekli olur.
T. Kamran`ın teoremindeki kanıt yöntemi kullanılarak aşağıdaki teorem verilebilir.
4.2.2 Teorem: tam metrik uzay ve çoğul değerli bir dönüşüm ve [ [ ,
i) azalmayan
ii) her için ∑
koşullarını sağlayan bir fonksiyon olsun. Her
( ) (4.2.7) koşulunu sağlayan bir var olsun. O zaman
i) Her bir için olacak biçimde -yörüngesinde
bir dizisi ve bir vardır
ii) olması için gerekli ve yeterli koşul fonksiyonunun noktasında `a göre -yörüngesel alttan yarı sürekli olmasıdır.
Kanıt: aldığımızda Önteorem 2.1.9`dan
√
olacak biçimde bir vardır. Bu durumda olduğu için (4.2.7) eşitsizliğinden
( ) sağlanır. Bezer biçimde için
√
olacak biçimde bir vardır. Bu durumda olduğu için (4.2.7) eşitsizliğinden
( )
sağlanır. Benzer şekilde devam edilerek her için olmak üzere
√ ve (4.2.8)
olacak biçimde yörüngesinde bir dizisi elde edilir. Bir için
ise o zaman `nin sabit noktası olur. Her için olsun.
√ √ olup `nin azalmayan özelliği kullanıldığında
… elde edilir. olsun. ∑ ∑
elde edilir. Her için ∑ olduğundan Herhangi bir sayısı verildiğinde her için
∑
olacak biçimde yeterince büyük bir sayısı vardır. Bu ise dizisinin Cauchy dizisi olduğunu verir. tam metrik uzay olduğundan olacak
biçimde bir vardır. Bu ise (i)`yi kanıtlar.
(ii) için önce olduğunu varsayalım. O zaman olan
)`daki her dizisi için
olacağından , noktasında `a göre -yörüngesel alttan yarı süreklidir.
Tersine Eğer noktasında `a göre -yörüngesel alttan yarı sürekli olması ,(i)`den olduğundan
olur. Bu durumda bulunur. , `in kapalı bir alt kümesi olduğunda dir.
4.2.3 Örnek: [ ve | | olsun. , her için [ ] ve [ [ , her [ için olarak tanımlansın. alındığında her [ [ için | |
olup Teorem 4.2.3`ün tüm koşulları sağlanır. Bu durumda , `nin bir sabit noktasıdır ve her için - yörüngesinde dizisi noktasına yakınsar.
4.2.4 Teorem: tam metrik uzay ve çoğul değerli bir dönüşüm ve [ [ ,
i) azalmayan
ii) her için ∑
ve (4.2.8) olacak biçimde var olsun. O zaman
i) Her bir için olacak biçimde -yörüngesinde bir dizisi ve bir vardır
ii) olması için gerekli ve yeterli koşul fonksiyonunun noktasında `a göre -yörüngesel alttan yarı sürekli olmasıdır.
Kanıt: Herhangi bir için kompakt olduğundan
dir. Herhangi bir alındığında (4.2.8) eşitsizliğinden
ve olacak biçimde bir vardır. Yine (4.2.8)`den
ve ve olacak biçimde bir vardır. Benzer biçimde devam ederek her için
ve (4.2.9)
olacak biçimde yörüngesinde bir dizisi oluşturulur. (4.2.9) `den her için
olacağından , `nin azalmayan özelliğinden
…
elde edilir. olsun. ∑ ∑
elde edilir. Herhangi bir sayısı verilsin. Her için ∑ olduğundan her için
∑
olacak biçimde yeterince büyük bir sayısı bulunabilir. Bu ise dizisinin Cauchy dizisi olduğunu verir. tam metrik uzay olduğundan olacak biçimde bir vardır. Dolayısı ile (i) kanıtlanmış olur.
(ii) ise Teorem 4.2.2`deki gibi benzer biçimde kanıtlanır.
Teorem 4.2.4 `de olmak üzere alındığında aşağıdaki sonuç elde edilebilir.
4.2.5 Sonuç: tam metrik uzay ve çoğul değerli bir dönüşüm olsun. olmak üzere her için
ve olacak biçimde var olsun. O zaman
i) Her bir için olacak biçimde -yörüngesinde bir dizisi ve bir vardır
ii) olması için gerekli ve yeterli koşul fonksiyonunun noktasında `a göre -yörüngesel alttan yarı sürekli olmasıdır.
4.2.6 Örnek: [ ve | | olsun. , her için [ ] ve [ [ , her [ için olarak tanımlansın.
Her için [ ] alındığında
( ) ( [ ]) ve ( [ ]) ( )
sağlandığından Teorem 4.2.4 ün tüm koşulları sağlanır. Bu durumda `nin bir sabit noktası olup her için yörüngesinde dizisi noktasına yakınsar.
4.3 CARISTI TİPİNDEKİ ÇOĞUL DEĞERLİ DÖNÜŞÜMLERİN SABİT NOKTALARI
4.3.1 Teorem: bir metrik uzay ve bir çoğul değerli dönüşümü ile [ dönüşümü verilsin. [ [ olmak üzere her ve her için
(4.3.1) koşulunu sağlayacak ve , - yörüngesel tam olacak biçimde bir
i) olacak biçimde -yörüngesinde bir dizisi vardır.
ii) olması için gerekli ve yeterli koşul fonksiyonunun noktasında `a göre -yörüngesel alttan yarı sürekli olmasıdır.
Kanıt: Eğer (4.3.1)`de ise , `nin sabit noktası olur. Her ve için olsun.
olduğundan olacak biçimde bir vardır. Eğer ise `nin bir sabit noktası olur.
olsun.
√ alındığında Önteorem 2.1.9`dan
√ ( )
olacak biçimde vardır. Benzer biçimde devam edildiğinde içinde
√ ( )
(4.3.2)
koşulunu sağlayan için olacak biçimde bir disizi
oluşturulur.
Herhangi bir için ise `nin sabit noktası olur. Her bir için olsun.
(4.3.1) eşitsizliği kullanıldığında (4.3.2)`den
√ ( )
√ ( )
elde edilir.
Böylece her için
bulunur. ∑ ∑ [ ]
olup bu ise dizisinin de üstten sınırlı bir dizi olduğunu gösterir. Ayrıca dizisi azalmayan olduğundan yakınsak bir dizidir.
alınırsa, `nin üçgen eşitsizliği özelliğinden
∑
dir. dizisi yakınsak olduğundan
∑
olup herhangi bir 0 verildiğinde yeterince büyük bir sayısı için olmak üzere
∑
olur. Bu ise dizisinin Cauchy dizisi olmasını verir. , -yörüngesel tam metrik uzay olduğundan olacak biçimde bir vardır. Böylece (i)
kanıtlanmış olur.
4.3.2 Sonuç: bir metrik uzay ve bir çoğul değerli dönüşüm olsun. olmak üzere her ve her için
(4.3.3) koşulunu sağlayacak ve , - yörüngesel tam olacak biçimde bir
var olsun. O zaman:
i) olacak biçimde -yörüngesinde bir dizisi vardır.
ii) olması için gerekli ve yeterli koşul fonksiyonunun noktasında `a göre -yörüngesel alttan yarı sürekli olmasıdır.
Kanıt: (4.3.3) eşitsizliğinden her ve her için olup, buradan olur. olduğundan [ ] ve [ ]
bulunur. Teorem 4.3.1`de ve sabit alınırsa olduğundan
[ ] bulunur. Böylece Teorem 4.3.1 `den istenen elde edilmiş olur.
4.3.3 Örnek: [ ] [ ], her için [ ] olsun. [ her için ve [ [ her [ için olsun.. Her [ ] için
dir. Ayrıca her için
[ ]
olduğundan süreklidir. Böylece Teorem 4.3.1`in tüm koşulları sağlanıp dir. Ayrıca her için yörüngesinde dizisi noktasına
yakınsar.
4.3.4 Teorem: bir metrik uzay ve bir çoğul değerli dönüşümü ile [ dönüşümü verilsin. Her `a karşılık
(4.3.4) koşulunu sağlayan bir ve , - yörüngesel tam olacak biçimde bir
var olsun. O zaman:
i) olacak biçimde -yörüngesinde bir dizisi
vardır.
ii) olması için gerekli ve yeterli koşul fonksiyonunun noktasında `a göre -yörüngesel alttan yarı sürekli olmasıdır.
iii) Her için dir.
Kanıt: (4.3.4) eşitsizliğinden
olacak biçimde bir vardır. olacağından yine (4.3.4) eşitsizliğinden
olacak biçimde bir vardır. Benzer biçimde devam edildiğinde için olacak biçimde
eşitsizliğini sağlayan da bir dizisi oluşturulabilir. Her için
∑ ∑ [ ]
olup bu ise dizisinin de üstten sınırlı bir dizi olduğunu gösterir. Ayrıca dizisi azalmayan olduğundan yakınsak bir dizidir.
alınırsa `nin üçgen eşitsizliği özelliğinden
∑
dir. dizisi yakınsak olduğundan
∑
dir. Herhangi bir 0 verildiğinde yeterince büyük bir sayısı için olmak üzere
∑
olur. Bu ise dizisinin Cauchy dizisi olmasını verir. , -yörüngesel tam metrik uzay olduğundan olacak biçimde bir vardır.
Böylece (i) kanıtlanmış olur.
(ii) ise Teorem 4.2.2`deki gibi benzer biçimde kanıtlanır. (iii) (4.3.5) ve (4.3.4) eşitsizliklerinden ∑ ∑ [ ]
olduğundan için limite geçildiğinde
elde edilir.
(iv) `nin üçgen eşitsizliği özelliği ve(4.3.4) eşitsizliği kullanıldığında ∑ ∑ [ ]
bulunur. Bu eşitsizlikte için limite geçildiğinde elde edilir.
4.3.5 Sonuç: tam metrik uzay, ve olmak üzere her için
(4.3.6) koşulunu sağlayan çoğul değerli bir dönüşüm olsun. Bu durumda olacak biçimde bir var olması için gerekli ve yeterli koşul fonksiyonunun noktasında alttan yarı sürekli olmasıdır.
Kanıt: olsun. Her için olduğundan olacak biçimde bir vardır.
olduğundan (4.3.6) eşitsizliğinden bulunur. Eşitsizliğin her iki yanı ile çarpılarak
elde edilir. Buradan
elde edilir. Böylece
ve buradan bulunur. alındığında bulunur. olduğundan
olup Teorem 4.3.4 den olacak biçimde bir vardır.
4.3.6 Örnek: [ ] [ ], her için [ ] olsun. [ her için olsun. [ ] için olduğundan
olduğundan dönüşümü teoremde verilen (4.3.4) eşitsizliğini sağlar. Ayrıca her için
[ ]
olduğundan süreklidir. Ayrıca olup dönüşümünün sabit noktasıdır.
KAYNAKLAR
[1] Agarwal ,R. P., O’Regan, D., Sahu ,D.R., 2009, Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer
[2] Aubin, J. P., Frankowska, H., 1990, Set-Valued Analysis, Birkh ̈user
[3] Banach, S., 1922, Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur
application aux équations intégrales, Fund. Math., 3, 133–181
[4] Berinde, V., 2007, Iterative Approximation of Fixed Points, Springer
[5] Boyd, D. W. and Wong, J. S., 1969, On nonlinear contractions, Proc. Amer. Math. Soc. 20 458-469.
[6] Brouwer, L. E. J., 1912, Uber Abbildung der Mannigfaltigkeiten, Math. Ann.,71, 97-115
[7] Bryant, V.W., 1968, A remark on a fixed point theorem for iterated mappings, Amer. Math. Monthly ,75 , 399-400
[8] Caristi, J., 1976, Fixed point theorems for mappings satisfying inwardnes condition, Trans. Amer. Math. Soc., 215, 241-251
[9] Ćirić, Lj. B., 1972, Fixed points for generalized multi-valued contractions, Mat. Vesnik, 9, 265–272
[10] Ćirić, Lj. B., 1974, A Generalization of Banach's Contraction Principle, Proc. Amer. Math. Soc. ,45 , 267-273
[11] Dube, L. S., 1975, A Theorem on Common Fixed Points of multivalued Mappings, Annal. Soc. Sci Bruxells, 84(4), 463 -468
[12] Eldestein, M., 1962, On fixed and periodic points under contractive mappings, J. London Math., 37, 74-79
[13] Fisher, B., 1981, Common Fixed Points of mappings and Set-Valued Mappings, Rostock. Math. Kolloq., 18, 69-77
[14] Fisher, B., 1981, Set-Valued Mappings on Metric Spaces, Fundamenta Mathematicae, 112, 141-145
[15] Gòrniewicz, L., 2006,Topological Fixed Point Theoryof Multivalued Mappings, Springer
[16] Hardy, G. E. and Rogers T. D., 1973, A generalization of Fixed-point Theorem of Reich, Canad. Math. Bull., 16, 201-206
[17] Kamran,T., 2009, Mizoguchi-Takahashi's type fixed point theorem, Computers & Mathematics with Applications , 57, 507-511
[18] Karayılan, H., Telci, M., 2010, Common Fixed Point of Two Maps in Complete -Metric Spaces , “Vasile Alecsandri” University of Bacau Faculty of Sciences Scientific Studies and Research Series Mathematic and Informatics Vol.20 , No. 2, 39-48
[19] Meir, A., Keeler, E., 1969, A theorem on contraction mappings, J. Math. Anal. Appl. 28, 326–329.
[20] Mizoguchi N., Takahashi W., 1989, Fixed point theorems for multivalued mappings on complete metric space, J. Math. Anal. Appl., 141, 177-188.
[21] Nadler, S. B. Jr., 1969, Multivalued contraction mappings, Pacific J. Math. 30 , 2, 475 – 488
[22] Rakotch, E., 1962, .A Note on Contractive Mappings, Proc. Amer. Math. Soc., 13, 459-465
[23] Reich, S., 1971, Some remarks on concerning contractive mappings, Canad. Math. Bull. ,14, 121-124
[24] Reich S., 1972, Fixed points of contractive functions, Boll. Unione Mat. Ital., 4 , 26-42
[25] Rhoades, B. E., 1977, A comparison of various definitions of contractive mappings, Trans. Amer. Math. Soc., 226,257-290
[26] Schauder, J., 1930, Der Fixpunktsatz in Functional rÄumen, Studia Math., 2, 171-180
[27] Tarski, A., 1955, A Lattice-Theoretical Fixpoint Theorem and Its Applications, Pacific J. Math., 5, 285-309
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı : Emirhan HACIOĞLU Doğum Yeri : Erzurum
Doğum Tarihi : 1986
EĞİTİM ve AKADEMİK DURUM :
İlköğretim : Tacirler Eğitim Vakfı İlköğretim Okulu
Lise : Babaeski Lisesi
Lisans : Abant İzzet Baysal Üniversitesi Fen-Edebiyat Fak. Matematik Bölümü
Yabancı dil : İngilizce İŞ TECRÜBESİ :
Trakya Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümünde Araştırma Görevlisi olarak çalışmaktayım
