Süpersimetrik kuantum mekaniği ve çözülebilir potansiyeller

T.C.

TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

SÜPERSİMETRİK KUANTUM MEKANİĞİ VE ÇÖZÜLEBİLİR POTANSİYELLER

AYTÜL BAL

YÜKSEK LİSANS TEZİ

FİZİK ANABİLİM DALI

DANIŞMAN

PROF. DR. MİRZA KERİM

ii

T.Ü. FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ FİZİK YÜKSEK LİSANS PROGRAMI DOĞRULUK BEYANI

Ġlgili tezin akademik ve etik kurallara uygun olarak yazıldığını ve kullanılan tüm literatür bilgilerinin kaynak gösterilerek ilgili tezde yer aldığını beyan ederim.

04/09/2015

Aytül BAL

Yüksek Lisans Tezi

Süpersimetrik Kuantum Mekaniği ve Çözülebilir Potansiyeller

T.Ü.Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı

ÖZET

Bu tezin amacı bir boyutlu süpersimetrik kuantum mekaniğine giriĢ sağlamaktır. Süpersimetrik kuantum mekaniğinin Hamiltonyen formülasyonu kurulduktan sonra çözülebilir bir Hamiltonyenden baĢlayarak aynı spektruma sahip yeni Hamiltonyenler kurma yöntemi basit örnekle açıklanmıĢtır. Pöschl-Teller I ve Morse potansiyelleri için enerji spektrumunun analitik ifadesi süpersimetri ve Ģekil değiĢmezlik koĢulundan elde edilmiĢtir.

Yıl : 2015

Sayfa Sayısı : 30

Anahtar Kelimeler : Süpersimetrik cebir, kuantum mekaniği, çözülebilir potansiyeller

Thesis of Master

Supersymmetric Quantum Mechanics and Solvable Potentials

Department of Physics, Faculty of Sciences, Trakya University

ABSTRACT

This master thesis is intended to provide an introduction to supersymmetric quantum mechanics ( SUSY Q.M ) in one dimension. After setting up a Hamiltonian formulation of SUSY Q.M , we illustrate its powerful techninque for designing Hamiltonians with a prescribed energy spectrum from known exactly solvable one . For Pöschl-Teller I and Mors potentials , analytic expressions for the energy spectrum are derived using SUSY and the shape invariant condition.

Year : 2015 Number of pages : 30

Key Words : Supersymmetry algebra, quantum mechanics, solvable potentials

TEŞEKKÜR

Bu çalıĢmayı hazırlarken desteğini esirgemeyen, derin bilgi ve tecrübelerinden yararlandığım Sayın Hocam Prof. Dr. Mirza KERĠM ' e teĢekkürlerimi bir borç bilirim. Ayrıca, birçok fedakarlıkla beni okutan, eğitim hayatım boyunca desteklerini hiç bir zaman esirgemeyen babam Hasan YÜKSEL, annem Hanife YÜKSEL' e , tanıdığım ilk günden itibaren kararlarımda sürekli yanımda olan ve beni destekleyen değerli eĢim Yasin BAL ' a, kardeĢim Hayrettin YÜKSEL ' e ve bana inanan varlıklarıyla yanımda olduğunu hissettiğim tüm sevdiklerime teĢekkür ederim.

Aytül BAL

SİMGELER VE KISALTMALAR

Bu çalıĢmada kullanılan simgeler ve kısaltmalar aĢağıda açıklamaları ile birlikte verilmiĢtir.

Simge Açıklamalar

H Hilbert Uzayı

𝐻 Süpersimetrik Hamiltonyen 𝑄 𝑖,𝑄 𝑗 Süper Yük Operatörleri 𝛿𝑖𝑗 Kroneker Sembolü ||Ψ|| Ψ Özfonksiyonu Normu 𝐸₀ Taban Durum Enerjisi 𝐴, 𝐴+ _Operatör

W (x) Süper Potansiyel

𝛹0 Taban Durumu Dalga Fonksiyonu 𝑐₁,𝑐₂ Normalizasyon Sabitleri

N Normalizasyon Katsayısı 𝑉_𝑠.𝑘 Sonsuz Kuyu Potansiyeli 𝐸𝑛 Enerji Öz değerleri a₁,a₂ Parametreler Kısaltma Açıklamalar SUSY Süpersimetri Q.M Kuantum Mekaniği bkz. Bakınız vii

İÇİNDEKİLER

Sayfa No

KAPAK i

KABUL VE ONAY SAYFASI ii

TEZ DOĞRULUK BEYANI iii

ÖZET iv

ABSTRACT v

TEġEKKÜR vi

SĠMGELER VE KISALTMALAR vii

1. GiriĢ 1

2. Süpersimetrik Kuantum Mekaniği 2

3. Hamiltonyen ve Süperpotansiyel 5

4. Hamilton Faktörizasyonu ve HiyerarĢisi 12

5. ġekil Ġnvaryantlık ve Çözülebilir Potansiyeller 16

6. Pöschl-Teller I Potansiyeli 21 7. Morse Potansiyeli 24 8. Sonuç 28 9. Kaynaklar 29 10.ÖzgeçmiĢ 30 viii

GİRİŞ

Süpersimetri ( SUSY olarak kısaltılır ) matematiksel bir kavramdır ve parçacık fiziğinde geçen Standart Modelin karĢılaĢtığı sorunları çözmek için 1970 ' lerde ortaya atılmıĢtır. Fermiyonlar ( yarıtam spinli parçacıklar ) ve bozonları (tam spinli parçacıklar) iliĢkilendiren bu simetri bilinen her fermiyona yeni bir bozon ve bilinen her bozona da yeni bir fermiyon öne sürer. Süperpartner olarak isimlendirilen bu parçacık çifti aynı kütleye ve farkı 1₂ olan spinlere sahiptir. Henüz hiç süperpartner çiftine rastlanmadığı için süpersimetri kendiliğinden bozuluyor olmalıdır. Süpersimetrinin kendiliğinden bozulma mekanizmasını araĢtırmak için 1981 ' de Witten [1] süpersimetrik kuantum mekaniğini ortaya attı. Temel fikir kuantum mekaniğinde simetri bozulmasını ele alarak bulunan sonuçları kuantum alan teorisine aktarmaktı. Kısa bir sürede süpersimetrik kuantum mekaniğinin tek baĢına ilginç bir kuram olduğu anlaĢıldı. Örneğin, süpersimetrik kuantum mekaniği Infeld ve Hull [2] tarafından ileri sürülen çarpanlara ayırma yönteminin derinden kavranmasını sağladığı gibi çözülebilir Hamiltonyenler hiyerarĢisini kurmada ve bu hiyerarĢideki tüm Hamiltonyenlerin özdeğerleri ve özfonksiyonlarını bulmada kullanılmaktadır. 1983 ' te Gendenshtain [3] Ģekil değiĢmez potansiyeller kavramını ileri sürdü. Tanıma göre bu potansiyeller için eĢ potansiyeller değiĢkene aynı Ģekilde bağlı iken parametrelere ise farklı Ģekilde bağlı olabilir. Bu potansiyeller için enerji spektrumu ve özfonksiyonlar süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemi kullanılarak analitik Ģekilde elde edilebilir.

Bu çalıĢmanın amacı süpersimetrik kuantum mekaniğine özlü bir giriĢ yapmaktır. Süpersimetrik kuantum mekaniğinin Hamiltonyen formülasyonu kurulduktan sonra bu kuram basit örnekle açıklanmıĢtır. Daha sonra Pöschl-Teller I ve Morse Potansiyeli için enerji spektrumu süpersimetri ve Ģekil değiĢmezlik koĢulundan bulunmuĢtur.

2. SÜPERSİMETRİK KUANTUM MEKANİĞİ

Kuantum sistemini nitelendiren H hamiltonyeninin etkilediği H

Hilbert uzayında

{𝑄 𝑖,𝑄 𝑗} = Hδ𝑖𝑗 , i,j = 1,2, … , N (2.1) H, 𝑄₁ = 0 (2.2)

bağıntılarını sağlayan N tane 𝑄_𝑖 = 𝑄_𝑖+ operatörleri mevcut ise bu sisteme süpersimetrik sistem denir [4]. Burada , {𝑄 _𝑖,𝑄 _𝑗} , 𝑄 _𝑖 ve 𝑄 _𝑗 operatörlerinin antikomutasyon bağıntısı olup

{𝑄 _𝑖 ,𝑄 𝑗} = 𝑄 𝑖𝑄 𝑗 + 𝑄 𝑗 𝑄 𝑖 (2.3) Ģeklinde tanımlanmaktadır. Ayrıca, 𝛿_𝑖𝑗 Kroneker sembolüdür :

𝛿_𝑖𝑗 = 1 , 𝑖 = 𝑗 𝑖𝑠𝑒 _{0 , 𝑖 ≠ 𝑗 𝑖𝑠𝑒}

Denklem (2.1) ve (2.2) ’den görüldüğü gibi SUSY cebri . , . komutasyon ve . , . antikomutasyon bağıntıları altında kapalıdır. 𝑄 _𝑖 operatörlerine süper yük ve H hamiltonyenine Süpersimetrik (SUSY) Hamiltonyen denir. Biz, burada N=2 süpersimetrik kuantum mekaniğini ele alacağız. Bu durumda yukarıdaki (2.1) bağıntıları aĢağıdaki Ģekilde yazılır:

{𝑄 ₁,𝑄 ₁} = H (2.4) {𝑄 ₂,𝑄 ₂} = H (2.5) {𝑄 1, 𝑄 2} = 0 (2.6) H, 𝑄1 = 0 (2.7) H, 𝑄₂ = 0 (2.8) Denklem (2.4) ve (2.5) 'den H = 2𝑄 ₁² = 2 𝑄 ₂² = 𝑄 ₁² + 𝑄 ₂² (2.9)

bağıntısını elde ederiz [4].

H ’nin özdeğerlerinin eksi olmadığını gösterelim. Zamandan bağımsız 2

HΨ = EΨ

Schrödinger denkleminden

E = (Ψ, HΨ) (2.10)

buluruz. Bu denklemde (2.9) bağıntısı göz önüne alınırsa

E = (Ψ, 2𝑄 ₁² Ψ) (2.11)

= 2 ( 𝑄 ₁† Ψ, 𝑄 ₁ Ψ ) (2.12)

bulunur. Burada, hermitik eĢleniğin tanımını kullandık. 𝑄 1 operatörünün hermitik olduğu göz önüne alınırsa,

E = 2 ( 𝑄 1Ψ, 𝑄 1Ψ) (2.13)

= 2 ||QΨ||² (2.14)

olarak bulunur. (2.14) denklemine göre, taban durum enerjisi E ≥ 0 ' dır. BaĢka bir deyiĢle, SUSY özdeğeri sıfır veya pozitif sayılardır. Burada, ||Ψ|| , Ψ özfonksiyonun normudur.

Eğer, taban durum enerjisi E₀ = 0 ise, süpersimetrik sistem, iyi süpersimetriye sahiptir denir. Eğer, E₀ ˃ 0 ise, süpersimetrik sistem bozuktur denir.

Ġyi süpersimetriye sahip sistemler için 𝑄 𝑖𝛹0 = 0 ( i= 1,2 ) olur. Gerçekten (2.13) bağıntısında , Ψ = 𝛹₀ ve E = 𝐸₀ = 0 yazılırsa

0 = (𝑄 1𝛹0 , 𝑄 1𝛹0) (2.15)

veya

𝑄 ₁𝛹₀ = 0 (2.16)

olarak bulunur. Benzer Ģekilde,

𝑄 ₂𝛹₀ = 0 (2.17)

olarak bulunur. Genelde 𝑄 ₁ ve 𝑄 ₂ hermitik operatörler yerine, aĢağıdaki hermitik olmayan

𝑄 = 1

2 (𝑄 1 + 𝑖𝑄 2 ) (2.18)

𝑄 + ₌ 1

2 (𝑄 1 - 𝑖𝑄 2 ) (2.19)

operatörler kullanılır [4]. Biz de Q ve 𝑄 † _{operatörlerini kullanarak (2.4) – (2.8)} bağıntılarını aĢağıdaki Ģekilde yazabiliriz:

{𝑄 , 𝑄 } = {𝑄 †,𝑄 †} = 0 (2.20)

{𝑄 , 𝑄 †_{} = H (2.21)}

[H,𝑄 ] = 0 (2.22)

[H,𝑄 †_{] = 0 (2.23)}

𝑄 ve 𝑄 + _{operatörleri aĢağıdaki Ģekilde gerçekleĢtirilebilir:}

𝑄 = 0 0

𝐴 0 , 𝑄 += 0 𝐴 † 0 0 .

Bu operatörlerin (2.20) bağıntısını sağladığını gösterelim. Ġlk olarak { Q , Q } ' yi hesaplayalım. {𝑄 , 𝑄 } = 0 0 𝐴 0 0 0𝐴 0 + 0 0𝐴 0 0 0𝐴 0 = 0 (2.24) Benzer Ģekilde, 4

𝑄 †_{, 𝑄} † _{= 0 (2.25)}

olarak bulunur. Böylece , {𝑄 , 𝑄 } ve {𝑄 †_{, 𝑄} †_{} antikomutasyon bağıntıları sıfıra eĢittir.} ġimdi (2.21) denkleminde H ' ın açık ifadesini yazalım.

H = {𝑄 , 𝑄 †_{} = 𝑄 𝑄} † _{+ 𝑄} †_𝑄 = 0 0 𝐴 0 0 𝐴 † 0 0 + 0 𝐴 † 0 0 0 0𝐴 0 = 0 0 0 𝐴 𝐴 † + 𝐴 †_{𝐴 0} 0 0 Dolayısıyla, H = 𝐴†𝐴 0 0 𝐴 𝐴 † (2.26)

yazabiliriz. Böylece, N=2 süpersimetrik kuantum sistemi için H toplam SUSY Hamiltonyeni

H 1 = 𝐴+A ≥ 0 , H 2 = A𝐴+ ≥ 0 (2.27)

Hamiltonyenlerini içermektedir. Bundan dolayı 𝐻₁ ve 𝐻₂ ' ye SUSY EĢ Hamiltonyenleri denir.

3. HAMİLTONYEN VE SÜPERPOTANSİYEL

Bir boyutlu kuantum mekaniğinde Hamiltonyen

H₁ = - ћ 2

2𝑚 𝑑2

𝑑𝑥2 + 𝑉1(x)

Ģeklinde ifade edilir. Genelliği bozmadan taban durum enerjisini sıfır alabiliriz. O halde Ψ0 taban durumu dalga fonksiyonu

𝐻₁𝛹₀ = 0 veya - ћ 2 2𝑚 𝑑2_𝛹 0 𝑑𝑥2 + 𝑉1(x) 𝛹0(x) = 0 (3.1)

zamandan bağımsız Schrödinger denklemini sağlar. Buradan,

𝑉₁(x) = ћ

2

2𝑚 𝛹 (𝑥)′′0

𝛹0(𝑥) (3.2)

olarak buluruz [5]. ġimdi H1 hamiltonyenini aĢağıdaki Ģekilde çarpanlarına ayırabiliriz:

𝐻1 = 𝐴+A (3.3) Burada A= ћ 2𝑚 𝑑 𝑑𝑥 + W(x) , 𝐴+ = - ћ 2𝑚 𝑑 𝑑𝑥 + W(x) (3.4)

dir. Burada, W (x) süperpotansiyel olarak isimlendirilir.

A ve A+ _{operatörlerinin (3.4) ile verilen ifadeleri (3.3) ' te yerine yazılırsa}

𝑉₁(x) = - ћ 2𝑚𝑊

′_{(x) + 𝑊}2_{(x). (3.5)}

olarak bulunur. Bu iyi bilinen Riccati denklemidir. (3.2) bağıntısı ile verilen V₁(x) potansiyeli için (3.5) denkleminin çözümü:

W(x) = - _2𝑚ћ 𝛹 (𝑥)0 ′

𝛹0(𝑥) (3.6)

dir. H1 için süpersimetrik eĢ hamiltonyen

𝐻₂ = AA+

Ģeklindedir. Buna göre , 𝐻2 = - ћ 2 2𝑚 𝑑2 𝑑𝑥2 + 𝑉2(x) ve 𝑉₂(x) = ћ 2𝑚𝑊 ′_{(x) + 𝑊}2_{(x) (3.7)}

dir. (3.7) denkleminden (3.5) denklemini çıkarırsak

2 ћ 2𝑚𝑊 ′_{(x) = 𝑉} 2(x) - 𝑉1(x) veya 𝑉₂(x) = 2 ћ 2𝑚𝑊 ′_{(x) + 𝑉} 1(x) (3.8)

olarak bulunur. ġimdi 𝐻₁ ve 𝐻₂ hamiltonyenlerinin özdeğer ve özfonksiyonlarını iliĢkilendirelim. n > 0 olmak üzere H₁ için

𝐻₁𝛹_𝑛(1) = 𝐸_𝑛(1)𝛹_𝑛(1) (3.9)

Schrödinger denklemini

𝐴+_𝐴𝛹

𝑛(1) = 𝐸𝑛(1)𝛹𝑛(1)

olarak yazabiliriz. Buna göre

𝐻2(𝐴𝛹𝑛(1)) = 𝐴𝐴+(𝐴𝛹𝑛(1))

= A𝐴+_𝐴𝛹 𝑛1

= A𝐸_𝑛(1)𝛹_𝑛(1)

veya

𝐻₂(𝐴𝛹_𝑛(1)) = 𝐸_𝑛(1)𝐴𝛹_𝑛(1) (3.10)

olarak buluruz. Dolayısıyla 𝐸_𝑛(1) , 𝐻₂ Hamiltonyenin AΨ_n(1) özfonksiyonuna karĢılık gelen özdeğeridir. Benzer Ģekilde H2 için,

𝐻2𝛹𝑛(2) = 𝐸𝑛(2)𝛹𝑛(2) (3.11) Schrödinger denklemi 𝐴𝐴+_𝛹 𝑛(2) = 𝐸𝑛(2)𝛹𝑛(2) Ģeklinde yazılabilir ve bu da 𝐻₁(𝐴+_𝛹 𝑛(2)) = 𝐴+𝐴(𝐴+𝛹𝑛(2)) = 𝐴+𝐴 𝐴+𝛹_𝑛(2) = 𝐴+𝐸_𝑛(2)𝛹_𝑛(2) veya 𝐻₁(𝐴+_𝛹 𝑛(2)) = 𝐸𝑛(2)(𝐴+ 𝛹𝑛(2) ) (3.12)

sonucuna götürür. Dolayısıyla 𝐸_𝑛(2) , H₁ Hamiltonyeninin 𝐴+ 𝛹_𝑛(2) özfonksiyonuna karĢılık gelen özdeğeridir. (3.9) - (3.12) denklemleri ve 𝐸₀(1) = 0 bağıntısına göre

𝐻1 ve 𝐻2 Hamiltonyenlerinin özdeğer ve özfonksiyonları arasında aĢağıdaki eĢitlikler mevcuttur:

𝐸_𝑛(2) = 𝐸_𝑛+1(1) , 𝐸₀(1)= 0 (3.13)

𝛹_𝑛(2) = 𝑐1 A𝛹𝑛+1(1) (3.14)

𝛹_𝑛+1(1) = 𝑐₂ 𝐴+𝛹_𝑛(2) . (3.15)

Burada 𝑐₁ ve 𝑐₂ normalizasyon sabitleridir. Bu sabitler normalizasyon koĢulundan bulunur. Örneğin, ( 𝛹_𝑛(2) , 𝛹_𝑛(2)) = 𝑐₁ 2 ( A𝛹_𝑛+1(1) , A𝛹_𝑛+1(1) ) = 𝑐₁ 2 ( 𝛹_𝑛+1(1) , 𝐴+ A𝛹_𝑛+1(1) ) = 𝑐₁ 2 ( 𝛹_𝑛+1(1) , 𝐻(1) 𝛹_𝑛+1(1) ) = 𝑐₁ 2 𝐸_𝑛+1(1) ( 𝛹_𝑛+1(1) , 𝛹_𝑛+1(1) ) bağıntısından 𝑐₁ = 𝐸_𝑛+1(1) −1 2 (3.16)

olarak bulunur. Burada 𝑐₁ sabitinin fazını sıfır aldık. Benzer Ģekilde

𝑐₂ = 𝐸_𝑛(2) −1 2 (3.17)

olarak bulunur.

Yukarıdaki ( 3.13 ) – ( 3.15) bağıntılarını, çözümü bilinen bir hamiltonyenden (spektrumu hemen hemen aynı olan ) yeni çözülebilir hamiltonyenlerin elde edilmesinde kullanabiliriz. Örneğin, iyi bilinen sonsuz kuyu potansiyelini ele alalım. Sonsuz kuyu potansiyelinin geniĢliği L olsun. Bu potansiyel,

𝑉𝑠.𝑘(𝑥)=

0 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 ,

∞ , − ∞ < 𝑥 < 0 , 𝑥 > 𝐿 (3.18)

olarak tanımlanır. Bu potansiyele karĢılık gelen

𝐻_𝑠.𝑘 = - ћ 2_𝑑2

2𝑚 𝑑𝑥2 + 𝑉𝑠.𝑘(x)

Hamiltonyeni için Schrödinger denkleminin çözümü

𝐸_𝑛 =(𝑛 + 1)2 ћ 2_𝜋2 2𝑚𝐿2 (3.19) 𝛹_𝑛(x) = 2 𝐿 sin (𝑛+1)𝜋𝑥 𝐿 , n=0,1,2,... (3.20)

dir [6]. Taban durumu enerjisi ,

𝐸0 = ћ

2_𝜋2

2𝑚𝐿2 ≠ 0 (3.21)

olduğu için 𝐻₁ süpersimetrik eĢ hamiltonyenini,

𝐻₁ = 𝐻_𝑠.𝑘 - 𝐸_𝑂

veya

𝐻1 = 𝐻𝑠.𝑘 - ћ

2_𝜋2

2𝑚𝐿2 (3.22)

olarak alalım. 𝐻₁ ' in taban durum enerjisinin sıfır olacağı açıktır. Buna göre 𝐻₁ , (3.3) denklemi Ģeklinde çarpanlarına ayrılabilir.

Denklem (3.22) ' i kullanarak 𝐻₁ Hamiltonyeninin 𝐸_𝑛(1) enerji öz değerleri ve 𝛹_𝑛(1) öz fonksiyonlarını 𝐸_𝑛(1) = 𝐸𝑛 - ћ 2_𝜋2 2𝑚𝐿2 = n(n+2) ћ 2_𝜋2 2𝑚𝐿2 , n= 0,1,2,... (3.23) 10

𝛹_𝑛(1) = 𝛹_𝑛= 2_𝐿 sin (𝑛+1)𝜋𝑥_𝐿 , 0≤ x ≤L (3.24)

olarak buluruz [6]. ġimdi, 𝐻₁ Hamiltonyeninin 𝐻₂ SUSY EĢ Hamiltonyenini (3.7) bağıntısından hesaplayalım. Bunun için önce W(x) süper potansiyeli (3.6) bağıntısından bulalım. 𝐻₁ Hamiltonyeninin taban dalga fonksiyonu

𝛹₀(1) = 2_𝐿 sin 𝜋𝑥_𝐿 , 0≤ x ≤L (3.25)

Ģeklindedir. Bu taban dalga fonksiyonunu (3.6) denkleminde yerine yazarsak,

W(x) = - _2𝑚ћ 𝜋_𝐿 cot𝜋𝑥_𝐿 (3.26)

elde ederiz. W(x) 'in bu ifadesi (3.7) bağıntısında yerine yazılırsa 𝑉₂(x) potansiyelini,

𝑉₂(x) = (𝜋_𝐿)2 ( ћ

2𝑚)

2 _{2𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐}2₍𝜋𝑥

𝐿) − 1 (3.27)

olarak buluruz. Ayrıca A operatöründe (3.4) bağıntısından,

A = ћ 2𝑚 𝑑 𝑑𝑥 - ћ 2𝑚 𝜋 𝐿cot 𝜋𝑥 𝐿 (3.28)

olarak bulunur. (3.13) ve (3.14) bağıntılarını kullanarak 𝐻2 ' nin özfonksiyon ve özdeğerleri rahatça hesaplanabilir. Denklem (3.19) ve (3.23) göz önüne alınırsa

𝐸_𝑛(2) = (n+1)(n+3) ћ 2_𝜋2

2𝑚𝐿2 , n=0,1,2,... (3.29)

olarak bulunur. 𝛹_𝑛(2) ' nin ifadesi ise (3.14) bağıntısından basit türev iĢlemi ile elde edilir. Örneğin n ' nin bir kaç değeri için 𝛹_𝑛(2) hesaplayalım. 𝛹_𝑜(2) dalga fonksiyonunu hesaplamak için (3.14) bağıntısında n=0 alalım:

𝛹_𝑜 2 (𝑥) = 𝐸₁(1) −1 2 A𝛹₁ 1 (𝑥) (3.30)

Burada A operatörünün (3.28) ifadesi ve 𝛹₁(1) dalga fonksiyonunun ifadesi (bkz.(3.20)) göz önüne alınırsa,

𝛹_𝑜 2 (𝑥) ~ 𝑠𝑖𝑛2 𝜋𝑥

𝐿 (3.31) olarak bulunur. Benzer Ģekilde (3.14) bağıntısında n yerine 1 yazar ve

𝛹₂ 1 (𝑥) ~ sin 3𝜋𝑥_𝐿

olduğu göz önüne alınırsa

𝛹₁ 2 (𝑥) ~ sin 𝜋𝑥_𝐿 𝑠𝑖𝑛⁡ 2𝜋𝑥_𝐿 (3.32)

olarak buluruz.

4. HAMİLTON FAKTÖRİZASYONU VE HİYERARŞİSİ

Önceki bölümde 𝐻₁ ' in taban durumundan Ψ fonksiyonu biliniyorsa 𝑊₁(x) süper potansiyelin (3.6) bağıntısından hesaplanabileceğini gördük. Sonuç olarak (3.4) bağıntısı ile verilen 𝐴1 ve 𝐴1+ operatörlerini 𝐻1 ' in faktörizasyonunda kullanabiliriz. Ayrıca 𝐻2 ' nin taban dalga fonksiyonunun 𝐻1 için birinci uyarılmıĢ durumunun dalga

fonksiyonundan 𝐴₁ operatörünün yardımıyla elde edilebileceğini gördük. Buna göre ikinci Hamiltonyenini de 𝑊2 yardımıyla faktörize edebiliriz. Bu durumda 𝐻2 ' nin eĢi

olarak 𝐻₃ Hamiltonyenini elde ederiz. Her yeni hamiltonyen bir sayı az bağıl durumlarına sahip olduğundan bu iĢlemi tüm bağıl durumlarını tüketene kadar devam edebiliriz. Böylece 𝐻₁ için Schrödinger probleminin çözümü biliniyorsa , elde edilen Hamiltonyenlerin hiyerarĢisi için dalga fonksiyonu ve öz değerleri bulabiliriz. Diğer taraftan elde edilen Hamiltonyen hiyerarĢisi için taban durumu dalga fonksiyonu biliniyorsa 𝐻1 için Schrödinger problemini çözebiliriz. Bundan sonrası için ћ = 2m=1 alacağız. Eğer 𝐻1 ' in taban durumunun enerjisi sıfır ise 𝐻1 ' i (3.3) denklemi Ģeklinde faktörize edebiliriz. Buna göre eğer 𝐻1 = - 𝑑

2

𝑑𝑥2 + 𝑉1(x) ' in 𝛹0(1) taban durumunun 𝐸0 12

enerjisi sıfır değilse, 𝐻₁ - 𝐸₀(1) = 𝐴₁+ 𝐴₁ veya 𝐻1 = 𝐴1+ 𝐴1+ 𝐸0(1) (4.1) yazabiliriz [5]. Burada, 𝐴₁ = _𝑑𝑥𝑑 + 𝑊₁ (x) , 𝐴₁+ = - _𝑑𝑥𝑑 + 𝑊₁ (x) 𝑊₁ (x) = - 𝛹0 (1)′ 𝛹₀(1) = - 𝑑 𝑑𝑥 ln 𝛹0 (1) (x) (4.2)

olur. SUSY eĢ Hamiltonyeni yazacak olursak,

𝐻₂ = 𝐴₁𝐴₁+ + 𝐸₀(1) = - 𝑑 2 𝑑𝑥2 + 𝑉2(x) (4.3) olur. Burada ( bkz. (3.5)) 𝑉₂(x) = 𝑊₁2 _{+ 𝑊} 1′ + 𝐸0(1) = 𝑉1(x) + 2𝑊1′ 𝑉₂(x) = 𝑉₁(x) - 2𝑑 2 𝑑𝑥2 ln 𝛹0(1) (4.4)

bulunmuĢ olur. Bundan sonra m ' inci 𝐻𝑚 Hamiltonyeninin n ' inci enerji durumlarını 𝐸_𝑛(𝑚) ile göstereceğiz. (3.11) ve (3.12) bağıntılarına göre,

𝐸_𝑛(2) = 𝐸_𝑛+1(1)

𝛹_𝑛(2) = 𝐸_𝑛+1(1) − 𝐸₀(1) −1 2𝐴₁ 𝛹_𝑛+1(1) (4.5)

yazabiliriz. Taban durum enerjisi 𝐸₀(2) = 𝐸₁(1) olur. 𝐻₂ Hamiltonyeninden yola çıkarak 𝐻₂ Hamiltonyeninin SUSY eĢ 𝐻₃ Hamiltonyenini elde edebiliriz. Gerçekten ( bkz. (4.3)) , 𝐻₂ = 𝐴₂+ 𝐴₂+ 𝐸₁(1) ve 𝐴₁ = _𝑑𝑥𝑑 + 𝑊₂ (x) , 𝐴₂+ = - _𝑑𝑥𝑑 + 𝑊₂ (x) , 𝑊₂(x) = - _𝑑𝑥𝑑 ln𝛹₀(2) olmak üzere, 𝐻3 = 𝐴2 𝐴2+ + 𝐸1(1) = - 𝑑 2 𝑑𝑥2 + 𝑉3(x)

olarak yazabiliriz. Burada,

𝑉3(x) = 𝑊22 + 𝑊2′ + 𝐸1 1

= 𝑉₂(x) - 2𝑑

2

𝑑𝑥2 ln 𝛹0(2) .

bu bağıntıda (4.4) denklemi göz önüne alınırsa ,

𝑉₃(x) = 𝑉₁(x) - 2𝑑 2 𝑑𝑥2 ln 𝛹0(1) - 2 𝑑2 𝑑𝑥2 ln 𝛹0(2) = 𝑉₁(x) - 2𝑑 2 𝑑𝑥2 ln ( 𝛹0(1) 𝛹0(2) ) (4.6)

olarak bulunur. Ayrıca,

𝐸_𝑛(3) = 𝐸_𝑛+1(2) = 𝐸_𝑛+2(1)

𝛹_𝑛(3) = 𝐸_𝑛+1(2) − 𝐸₀(1) −1 2𝐴₂ 𝛹_𝑛+1(2)

= 𝐸_𝑛+2(1) − 𝐸₁(1) −1 2 𝐸_𝑛+2(1) − 𝐸₀(1) −1 2𝐴2𝐴1 𝛹𝑛+2(1) (4.7)

yazabiliriz.

Eğer, orjinal 𝐻₁ Hamiltonyeni enerji özdeğerleri 𝐸_𝑛 1 ve öz fonksiyonları

𝛹_𝑛 1 olmak üzere p sayıda bağıl durumuna sahipse, 0 ≤ n ≤ p-1 olur . O halde, p-1 tane 𝐻₂, 𝐻₃ ,..., 𝐻_𝑝 Hamiltonyenler hiyerarĢisini üretebiliriz. Ayrıca ( 𝐻_𝑚 )

hiyerarĢisinin m üyesinin spektrumu 𝐻1 Hamiltonyeninin ilk (m-1) özdeğerleri hariç 𝐻₁ Hamiltonyeninin spektrumu ile aynıdır. Buna göre aĢağıdaki bağıntıları yazabiliriz. 𝐻_𝑚 = 𝐴_𝑚+ 𝐴_𝑚 + 𝐸_𝑚−1(1) = - 𝑑 2 𝑑𝑥2 + 𝑉𝑚(x) (4.8) m= 2, 3, ..., p Burada , 𝐴𝑚 = _𝑑𝑥𝑑 + 𝑊𝑚 (x) , 𝑊𝑚(x) = - _𝑑𝑥𝑑ln𝛹0(𝑚) (4.9) ayrıca, 𝐸_𝑛(𝑚) = 𝐸_𝑛+1(𝑚 −1) = … = 𝐸_{𝑛+𝑚−1}(1) 𝛹_𝑛(𝑚) = 𝐸_{𝑛+𝑚−1}(1) − 𝐸_{𝑚 −2}(1) −1 2 𝐸_{𝑛+𝑚−1}(1) − 𝐸₀(1) −1 2𝐴_𝑚−1 … 𝐴₁ 𝛹_{𝑛+𝑚−1}(1) 𝑉𝑚(x) = 𝑉1(x) - 2𝑑 2 𝑑𝑥2 ln ( 𝛹0(1)… 𝛹0(𝑚 −1) ) (4.10)

Örneğin, sonsuz kuyu potansiyeli için hamiltonyenler hiyerarĢisinde 𝐻₃ için ( m = ћ = 1 birimlerinde )

𝑉3(x) = (𝜋_𝐿)2 4𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝜋𝑥_𝐿 − 1 (4.11) ve 𝐸_𝑛(3) = (n+2)(n+4)π 2 L2 (4.12) olarak buluruz.

5. ŞEKİL İNVARYANTLIK VE ÇÖZÜLEBİLİR POTANSİYEL

Konuya Ģekil invariantlık kavramının ne anlama geldiği ile baĢlayalım. Eğer SUSY eĢ 𝑉_1,2(x) potansiyeller çiftinin konuma bağımlığı aynı; fakat bu potansiyellerin içerdiği parametreler farklı ise, bu potansiyellere ġekil Ġnvaryant Potansiyelleri denir[3]. Daha net olarak, eğer 𝑉₁ (x,a₁) ve 𝑉₂(x,a₂) eĢ potansiyelleri

𝑉2(x ; a1) = 𝑉1(x ;a2) + R(𝑎1) (5.1)

koĢulunu sağlıyorsa 𝑉₁(x,a₁) ve 𝑉₂(x,a₁) potansiyellerine ġekil Ġnvariant Potansiyeller denir. Burada 𝑎₁ bir parametreler kümesi , 𝑎₂ ise 𝑎₁' in bir fonksiyonu

𝑎2= ( f(𝑎1))

R(𝑎₁) de x 'den bağımsız bir fonksiyondur.

ġimdi , 𝐻₁ ve 𝐻₂ SUSY eĢ Hamiltonyenlerini ele alalım. SUSY bozulmadığı için,

𝐸₀(1) (𝑎₁) = 0 (5.2)

dır. Ayrıca ( 4.2 ) bağıntısına göre

𝛹₀ 1 𝑥, 𝑎1 = 𝑁𝑒𝑥𝑝 − 𝑊 𝑥 ; 𝑎1 𝑑𝑥 (5.3)

dir. Burada, N normalizasyon katsayısıdır. ġimdi Ģekil invariant bağıntısı ( 4.8 ) yardımıyla 𝐻₁ operatörünün tüm özdeğerlerinin cebirsel olarak elde edilebileceğini gösterelim. Bunun için, 𝐻𝑠 , s =1,2,3,... Hamiltonyenleri dizisini oluĢturalım. Önceki bölümde yaptığımız tartıĢmadan açıktır ki, eğer 𝐻₁ Hamiltonyeni p tane bağıl duruma

sahip ise o halde p tane 𝐻₁, 𝐻₂, … , 𝐻_𝑝 Hamiltonyenlerini oluĢturabiliriz. (5.1 ) bağıntısına göre 𝑉𝑠 ve 𝑉𝑠−1 eĢ potansiyeller arasında

𝑉𝑠 ( x,𝑎1 ) = 𝑉𝑠−1 ( x,𝑎2 ) + R (𝑎1) , s=2,3,...,p (5.4)

bağıntısı sağlanmaktadır. ġimdi bu bağıntıyı kullanarak 𝑉_𝑠 potansiyelini 𝑉₁ cinsinden yazalım. (5.4) bağıntısında s=3 yazılırsa ,

𝑉3 ( x,𝑎1 ) = 𝑉2 ( x,𝑎2 ) + R (𝑎1) (5.5)

bulunur. (5.1) bağıntısına göre,

𝑉2 ( x,𝑎2 ) = 𝑉1 (x,f (𝑎2)) + R (𝑎2)

veya

𝑉₂ ( x,𝑎₂ ) = 𝑉₁ (x,𝑎₃) + R (𝑎₂) (5.6)

yazabiliriz. Burada 𝑎3 = f (𝑎2 ) ' dir. (5.6) bağıntısı (5.5) ' te göz önüne alınırsa,

𝑉3 ( x,𝑎1 ) = 𝑉1 (x,𝑎3) + R (𝑎2) + R (𝑎1) (5.7)

olarak bulunur. Benzer Ģekilde (5.1) bağıntısının bir sonucu olarak,

𝑉₄ ( x,𝑎₁ ) = 𝑉₃ ( x,𝑎₂) + R (𝑎₁)

𝑉₃ ( x,𝑎₂ ) = 𝑉₂ ( x,𝑎₃) + R (𝑎₂)

ve

𝑉2 ( x,𝑎3 ) = 𝑉1 (x,𝑎4) + R (𝑎3)

bağıntılarından

𝑉₄ ( x,𝑎₁ ) = 𝑉₁ (x,𝑎₄) + R (𝑎₃) + R (𝑎₂) + R (𝑎₁)

bağıntısı elde edilir. Burada,

𝑎4 = f(𝑎3) , 𝑎3 = f (𝑎2) ve 𝑎2 = f (𝑎1 ) ' dir.

Genel olarak (5.1) Ģekil invaryantlık koĢulundan,

𝑉𝑠 ( x,𝑎1 ) = 𝑉1 (x,𝑎𝑠) + R (𝑎𝑠−1) + R (𝑎𝑠−2) + ... + R (𝑎1) veya 𝑉𝑠 ( 𝑥, 𝑎1 ) = 𝑉1 (𝑥, 𝑎𝑠) + R(𝑎𝑘 s−1 k=1 ) (5.8)

bağıntısı elde edilir. Burada,

𝑎_𝑠 = f ( 𝑎_𝑠−1 ) = f ( f ( 𝑎_𝑠−2 )) = ... = f ( f ( ...f ( 𝑎₁)...))

veya

𝑎_𝑠 = 𝑓𝑠−1 _(𝑎

1 ) (5.9)

dir. Böylece 𝐻𝑠 Hamiltonyeninin

𝐻_𝑠 = - 𝑑 2 𝑑𝑥2 + 𝑉𝑠 (x,𝑎1) ifadesini, 𝐻𝑠 = − 𝑑2 𝑑𝑥2 + 𝑉1 (𝑥, 𝑎𝑠) + 𝑅(𝑎𝑘 𝑠−1 𝑘=1 ) (5.10)

Ģeklinde yazabiliriz. Bu bağıntıda s yerine s+1 yazılırsa,

𝐻_𝑠+1 = − 𝑑2

𝑑𝑥2 + 𝑉1 (𝑥 ; 𝑎𝑠+1) + 𝑅(𝑎𝑘 𝑠

𝑘=1

) (5.11)

olarak buluruz. Diğer taraftan (5.1) bağıntısına göre,

𝑉₂ ( x ; 𝑎_𝑠 ) = 𝑉₁ (x ; 𝑎_𝑠+1) + R (𝑎_𝑠) (5.12)

yazabiliriz. Buna göre (5.11) bağıntısını da,

𝐻𝑠+1 = − 𝑑2 𝑑𝑥2 + 𝑉2 (𝑥 ; 𝑎𝑠) + 𝑅(𝑎𝑘 𝑠−1 𝑘=1 ) (5.13)

Ģeklinde yazabiliriz. 𝑉₁ ve 𝑉₂ potansiyelleri SUSY eĢ potansiyeller olduğu için 𝐻_𝑠 ve 𝐻_𝑠+1 (bkz.(5.10) ve (5.13)) SUSY eĢ hamiltonyenleridir. Ayrıca 𝐸₀(1) = 0 ve dolayısıyla,

- 𝑑

2

𝑑𝑥2 + 𝑉1 (x ; 𝑎𝑠)

Hamiltonyeninin taban durum enerjisi sıfır olduğundan 𝐻𝑠 Hamiltonyeninin 𝐸0(𝑠) taban durum enerjisi

𝐸₀(𝑠) = 𝑅(𝑎𝑘 𝑠−1

𝑘=1

) (5.14)

olarak bulunur (bkz.(5.10). Diğer taraftan taban durum enerjisi sıfır olan 𝐻1 Hamiltonyeninin s. düzey enerjisinin 𝐻𝑠 Hamiltonyeninin taban durum enerjisine eĢit olduğunu biliyoruz. Buna göre, 𝐻₁ Hamiltonyeninin özdeğer spektrumu için,

𝐸_𝑛 1 (𝑎1) = 𝑅(𝑎𝑘 𝑛

𝑘=1

) ; 𝐸₀ 1 (𝑎1) = 0 (5.15)

olarak buluruz. (3.15) bağıntısına göre,

𝛹_𝑛+1 1 (𝑥; 𝑎₁) ~ 𝐴+(𝑥; 𝑎₁) 𝛹_𝑛 2 (𝑥; 𝑎₁) (5.16) yazabiliriz. Ayrıca (bkz.(5.10) ve (5.15) ) , 𝐻₂𝛹_𝑛(1)(x;𝑎₂) = − 𝑑 2 𝑑𝑥2 + 𝑉2 (𝑥 ; 𝑎1) 𝛹𝑛 (1)_(x;𝑎 2) = − 𝑑2 𝑑𝑥2 + 𝑉1 𝑥 ; 𝑎2 + 𝑅(𝑎1) 𝛹𝑛 (1)_(x;𝑎 2) = 𝐸_𝑛 1 𝑎₂ + 𝑅 (𝑎₁) 𝛹_𝑛(1)(x;𝑎₂) veya 𝐻2𝛹𝑛(1)(x;𝑎2) = 𝐸𝑛 1 𝑎1 𝛹𝑛(1)(x;𝑎2)

bağıntısına göre 𝛹_𝑛(1)(x;𝑎₂) H₂ Hamiltonyeninin 𝐸_𝑛 1 𝑎₁ özdeğerine karĢı gelen özfonksiyonudur.

𝛹_𝑛(1)(x;𝑎₂) ~ 𝛹_𝑛(2)(x;𝑎₁)

Bu bağıntı (5.16) ' da göz önüne alınırsa,

𝛹_𝑛+1 1 (𝑥; 𝑎1) ~ 𝐴+(𝑥; 𝑎1) 𝛹𝑛 1 (𝑥; 𝑎2) (5.17)

olarak buluruz.

ġekil invaryantlık denklemini (bkz.(5.1)) sağlayacak potansiyellerin genel sınıflandırılmasının yapılmamasına rağmen (5.1) denklemini sağlayan iki sınıf potansiyel bulunmuĢ ve tartıĢılmıĢtır. Birinci sınıftaki potansiyelin a₁ ve a₂ parametreleri arasındaki iliĢki 𝑎₂ = 𝑎₁ + α Ģeklindedir. Kuantum mekaniği

kitaplarında bulunan çok sayıda potansiyel bu sınıfa aittir. Ġkinci sınıfa ait potansiyeller için a1 ve a2 parametreleri arasındaki bağıntı ise 𝑎2 = q𝑎1 Ģeklindedir. Bir sonraki bölümlerde 1.sınıfa ait bazı potansiyelleri ele alacağız.

6. PÖSCHL-TELLER I POTANSİYELİ

A > B > 0 olmak üzere,

W( x; A,B) = Atanαx - Bcotαx , 0≤ x ≤ _2𝛼𝜋 (6.1) süperpotansiyelini ele alalım. Bu süperpotansiyele karĢılık gelen 𝑉1 ve 𝑉2 SUSY eĢ potansiyeller (3.5) ve (3.7) bağıntısından elde edilir:

𝑉₁( x; A,B) = - (𝐴 + 𝐵)2 _{+ A (A-𝛼)𝑠𝑒𝑐}2_{𝛼𝑥 + B (B- 𝛼)𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐}2_{𝛼𝑥 (6.2)} 𝑉₂( x; A,B) = - (𝐴 + 𝐵)2 _{+ A (A+α )𝑠𝑒𝑐}2_{αx + B (B+α )𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐}2_{αx. (6.3)} Literatürde V₁ ve V₂ potansiyelleri Pöschl-Teller I Potansiyelleri olarak isimlendirilir [7]. 𝑉1 ve 𝑉2 potansiyelleri Ģekil invaryant potansiyelidir. Çünkü,

𝑉2( x; A,B) = 𝑉1(x; A+α , B+α ) + (A + B + 2α)2 - (𝐴 + 𝐵)2 (6.4) dir. Bu bağıntı (5.1) bağıntısı ile karĢılaĢtırılınca 𝑎₁, 𝑎₂ ve R(𝑎₁) ' i ,

𝑎₁ = A, B (6.5) 𝑎2 = A + α , B + α (6.6) R(𝑎₁) = (A + B + 2α)2 _{- (A + B)}2 _(6.7) olarak buluruz. (5.9) bağıntısına göre,

𝑎₃ = (A+2α , B+2α ) , 𝑎₄ = (A+3α , B+3α ) , 𝑎₅ = (A+4α , B+4α ) , … , 𝑎𝑘 = (A+(k-1)α , B+(k-1)α ) ,… (6.8) dir. Buna göre R( 𝑎_𝑘) için

R(𝑎_𝑘) = (𝐴 + 𝑘 − 1 𝛼 + 𝐵 + 𝑘 − 1 𝛼 + 2𝛼)2_{- (𝐴 + 𝑘 − 1 𝛼 + 𝐵 + 𝑘 − 1 𝛼)}2

veya

R(𝑎_𝑘) = (𝐴 + 𝐵 + 2𝑘𝛼)2 _{- (𝐴 + 𝐵 + 2 𝑘 − 1 𝛼)}2 _(6.9)

olarak buluruz. [bkz.(6.7)] ġimdi 𝐸_𝑛(1) özdeğerlerini bulabiliriz. Bunun için R(𝑎_𝑘) ' nın (6.9 ) ' da olan ifadesini (5.15) bağıntısında yerine yazalım.

𝐸_𝑛(1)= (𝐴 + 𝐵 + 2𝑘𝛼)2_{− (𝐴 + 𝐵 + 2 𝑘 − 1 𝛼)}2 𝑛 𝑘=1 = (𝐴 + 𝐵 + 2𝑘𝛼)2 𝑛 𝑘=1 − 𝐴 + 𝐵 + 2 𝑘 − 1 𝛼 2 𝑛 𝑘=1 (6.10)

Bu ifadeyi basitleĢtirmek için 2. toplamda,

s = k-1 (6.11)

indis değiĢimi yapalım. Buna göre,

𝐸_𝑛(1) = (𝐴 + 𝐵 + 2𝑘𝛼)2₋ 𝑛 𝑘=1 (𝐴 + 𝐵 + 2𝑠𝛼)2 𝑛−1 𝑠=0 = (𝐴 + 𝐵 + 2𝑘𝛼)2 𝑛−1 𝑘=1 + (𝐴 + 𝐵 + 2𝑛𝛼)2 − 𝐴 + 𝐵 2_{+ 𝐴 + 𝐵 + 2𝑠𝛼} 2 𝑛−1 𝑠=1 6.12

olarak bulunur. (6.12) bağıntısındaki 1. ve 4. terimleri sadeleĢtirirsek 𝑉₁(x;A,B) potansiyeli için enerji özdeğerlerini,

𝐸𝑛

(1) _{= (A + B + 2nα)2 - (A + B)2}

(6.13)

olarak buluruz. Ayrıca 𝑉1( x; A,B ) potansiyeli için 𝛹0(1)( x;A,B ) taban durumu dalga fonksiyonu (5.3) bağıntısından bulunur. Buna göre, (6.1) ' in integralini hesaplayalım:

W x; A, B dx = − ln cosαx s _{+ ln sinαx} λ _(6.14)

Burada,

s = A_α ; λ = B_α (6.15)

dir. Bu bağıntı (5.3) ' te göz önüne alınırsa,

𝛹₀(1)(x;𝑎₁) ~ exp 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝛼𝑥)𝑠_{+ 𝑙𝑛(𝑠𝑖𝑛𝛼𝑥)}𝜆 ~ 𝑒𝑙𝑛 (𝑐𝑜𝑠𝛼𝑥 )𝑠

𝑒ln (𝑠𝑖𝑛𝛼𝑥 )𝜆

𝛹₀(1)(𝑥; 𝑎1 ) ~ (𝑐𝑜𝑠𝛼𝑥)𝑠(𝑠𝑖𝑛𝛼𝑥)𝜆 (6.16)

olarak bulunur. UyarılmıĢ x durum için dalga fonksiyonu (5.17) bağıntısından hesaplanır. Örneğin 1. uyarılmıĢ durum için 𝛹₁ 1 (𝑥; 𝐴, 𝐵) dalga fonksiyonunu hesaplayalım. (5.17) bağıntısında n yerine 0 yazılırsa

𝛹₁ 1 (x; A,B) ~ 𝐴+_{(x;A,B) 𝛹}

0(1)( x; A+α , B+α) (6.17)

olarak buluruz. 𝐴+ _{operatörünün açık ifadesi (3.4) tanımından}

𝐴+ _{(x; A,B ) = (-} 𝑑

𝑑𝑥 + Atanαx - Bcotαx) (6.18)

olarak bulunur. Ayrıca (6.16) bağıntısına göre

𝛹₁(1)(x; A+𝛼, B+𝛼) ~ (𝑐𝑜𝑠𝛼𝑥)𝑠+1_{(𝑠𝑖𝑛𝛼𝑥)}𝜆+1 _(6.19)

dir. Denklem (6.18) ve (6.19) göz önüne alınırsa (6.17) bağıntısından

𝛹₁ 1 ( x;A,B ) ~ 2𝑠 + 1 𝑠𝑖𝑛2𝛼𝑥 − (2𝜆 + 1)𝑐𝑜𝑠2𝛼𝑥 x (𝑐𝑜𝑠𝛼𝑥)𝑠 (𝑠𝑖𝑛𝛼𝑥)𝜆 (6.20)

olarak buluruz.

7. MORSE POTANSİYELİ

A > B > 0 olmak üzere,

W ( x ; A,B ) = A- B exp (-α x ) (7.1) süperpotansiyelini ele alalım. Bu süperpotansiyele karĢılık gelen 𝑉1 ve 𝑉2 SUSY eĢ potansiyeller (3.5) ve (3.7) bağıntısından

𝑉₁( x; A,B ) = 𝐴2 _{+ 𝐵}2 _{exp (-2αx ) - 2B (A + 𝛼 2 ) exp ( -αx ) (7.2)} 𝑉₂( x; A,B ) = 𝐴2 _{+ 𝐵}2 _{exp (-2αx ) - 2B (A - 𝛼 2 ) exp (-αx) (7.3)} olarak elde edilir. Literatürde 𝑉₁ ve 𝑉₂ potansiyelleri Morse Potansiyelleri olarak isimlendirilir [7] . 𝑉1 ve 𝑉2 potansiyelleri Ģekil invaryant potansiyelleridir. Çünkü,

𝑉2( x; A,B ) = 𝑉1( x; A-α,B ) - (𝐴 − 𝛼)2 + 𝐴2 (7.4)

dir. Bu bağıntı (5.1) bağıntısı ile karĢılaĢtırılınca 𝑎₁ , 𝑎₂ ve R(𝑎₁) ' i ,

𝑎1 = ( A,B ) (7.5) 𝑎₂ = ( A-α , B ) (7.6) R (𝑎₁) = 𝐴2 _{- (𝐴 − 𝛼)}2 _(7.7)

olarak buluruz. (5.9) bağıntısına göre,

𝑎₃ = ( A-2α ,B ) , 𝑎₄ = ( A- 3α , B ) , ... 𝑎_𝑘 = ( A- (k-1)α , B ) , ... (7.8) dir. Buna göre R ( 𝑎𝑘) için

R ( 𝑎𝑘 ) = ( 𝐴 − 𝑘 − 1 𝛼)2 - ( 𝐴 − 𝑘 − 1 𝛼 − 𝛼)2

veya

R(𝑎_𝑘) = ( 𝐴 − 𝑘 − 1 𝛼)2 _{- ( 𝐴 − 𝑘𝛼)}2 _(7.9)

olarak buluruz. 𝑏𝑘𝑧(7.7)

ġimdi 𝐸_𝑛(1) özdeğerlerini bulabiliriz. Bunun için R(𝑎𝑘) ' nın (7.9 ) ' da olan ifadesini (5.15) bağıntısında yerine yazalım.

𝐸_𝑛(1)= (𝐴 − 𝑘 − 1 𝛼)2_{− (𝐴 − 𝑘𝛼 )}2 𝑛 𝑘=1 𝐸_𝑛(1)= (𝐴 − 𝑘 − 1 𝛼)2_{− (𝐴 − 𝑘𝛼 )}2 𝑛 𝑘=1 𝑛 𝑘=1 (7.10)

Bu ifadeyi basitleĢtirmek için 1. toplamda,

s = k-1 (7.11)

indis değiĢimi yapalım. Buna göre,

𝐸_𝑛(1) = (𝐴 − 𝑠𝛼)2_{− (𝐴 − 𝑘𝛼 )}2 𝑛 𝑘=1 𝑛−1 𝑠=0 = 𝐴2 _{+ (𝐴 − 𝑠𝛼)}2_{− (𝐴 − 𝑘𝛼 )}2_{+ (𝐴 − 𝑛𝛼)}2 𝑛−1 𝑘=1 7.12 𝑛−1 𝑠=1

olarak bulunur. (7.12) bağıntısındaki 2. ve 3. terimleri sadeleĢtirirsek 𝑉₁(x;A,B) potansiyeli için enerji özdeğerlerini,

𝐸_𝑛(1) = 𝐴2 _{+ (𝐴 − 𝑛𝛼)}2 _(7.13)

olarak buluruz.

ġimdi, V₁( x; A,B ) potansiyeli için Ψ₀(1) (x;A,B) taban durumu dalga fonksiyonunu (5.3) bağıntısından hesaplayalım. Süperpotansiyelin (7.1) bağıntısından

𝑊( 𝑥; 𝐴, 𝐵) dx = Ax + 𝐵

𝛼 exp −αx (7.14)

olarak bulunur. Buna göre,

Ψ₀ ( x ; 𝑎₁) ~ exp −𝐴𝑥 −𝐵_𝛼exp(−𝛼𝑥) (7.15)

olarak bulunur. Burada, yeni y değiĢkeni ve s parametresi tanımlayalım.

y = 2𝐵_𝛼 exp (-αx) , s= 𝐴 (7.16) _𝛼 Bu değiĢiklikten sonra,

Ψ₀ ( y;𝑎₁) ~ ys _{exp (-} 1

2 y ) (7.17)

olur. UyarılmıĢ x durum için dalga fonksiyonunu (5.17) bağıntısından hesaplayabiliriz. Örneğin, (5.17) bağıntısında n yerine 0 yazalım:

𝛹₁(1) ( x;𝑎₁) ~ A+ _{( x;𝑎}

1 ) 𝛹0(1) ( x;𝑎2) (7.18)

𝐴+ _{operatörünün (3.4) tanımı göz önüne alınırsa,}

𝐴+ _{( x;𝑎}

1 ) = - _dxd + A- B exp (-αx) (7.19)

yazabiliriz. Ayrıca (7.15) bağıntısına göre,

𝛹0 ( x; 𝑎2 ) ~ exp − 𝐴 − 𝛼 𝑥 − 𝐵_𝛼𝑒𝑥𝑝(−𝛼𝑥) (7.20)

olur. (7.19) ve (7.20) bağıntıları göz önüne alınırsa (7.18 ) bağıntısını

𝛹₁(1) ( x;𝑎₁) ~ (- 𝑑

𝑑𝑥 + A- B exp (- 𝛼x)) exp − 𝐴 − 𝛼 𝑥 − 𝐵

𝛼𝑒𝑥𝑝(−𝛼𝑥) (7.21)

Ģeklinde yazabiliriz. Buradan,

𝛹₁(1) ( x;𝑎₁) ~ exp − 𝐴 − 𝛼 𝑥 − 𝐵_𝛼𝑒𝑥𝑝(−𝛼𝑥) 2𝐴 − 𝛼 − 2𝐵𝑒𝑥𝑝 (−𝛼𝑥) (7.22)

olarak buluruz.

SONUÇ

Bu çalıĢmada bir Hamiltonyenin özdeğer ve özfonksiyonlarını bulmada kullanılan süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemlerini kısaca ele aldık. Çözümü bilinen bir Hamiltonyenden baĢlayarak aynı spektruma sahip ( eĢ Hamiltonyenler olarak isimlendirilen ) yeni Hamiltonyenlerin elde edilebileceğini gördük. Dolayısıyla eğer, eĢ Hamiltonyenlerden birinin çözümü biliniyorsa diğer eĢ Hamiltonyenin çözümü süpersimetri yöntemiyle elde edilebilir. Buna göre Ģekil değiĢmezliğin bulunuĢu süpersimetrik kuantum mekaniğinde büyük önem taĢır. ġekil değiĢmez potansiyeller için çözümler ( eĢ potansiyellerden biri için çözümün önceden bilinmesine gerek kalmadan ) süpersimetri ve Ģekil değiĢmezlik koĢulundan direkt elde edilebilir.

Süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemleri fiziğin pek çok alanında uygulanmaktadır [8]. Örneğin, nükleer fizikte singüler potansiyelleri elde etmede süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemleri kullanılmaktadır.

KAYNAKLAR

[1] E. Witten , Nucl. Phys. B185, 513, (1981).

[2] L. Infeld and T. E. Hull , Rev. Mod. Phys. , 23, 21, (1951). [3] L. E. Gendenshtein , Sov. Phys. JETP Lett., 38, 356, (1983).

[4] G. Junker , Supersymmetric Methods in Quantum and Statistical Physics, Springer, Berlin, (1996).

[5] F. Cooper , A. Khare and U.P. Sukhatme , Supersymmetry in Quantum

Mechanics, World Scientific, London, (2001).

[6] Bekir Karaoğlu , Kuantum Mekaniğine Giriş , 60-61, Ġstanbul, ( 1998 ).

[7] S. Flügge, Practical Quantum Mechanics , Sringer-Verlag , Berlin, (1974).

[8] C. V. Sukumar, Supersymmetric Quantum Mechanics and Its Aplications, University of Oxford, Oxford, (1996).

ÖZGEÇMİŞ

1977 yılında Lüleburgaz’da doğdum. Ġlkokulu Lüleburgaz YenitaĢlı Köyü, ortaokulu Lüleburgaz Merkez Ortaokulunda, liseyi Lüleburgaz Lisesinde okudum.1995 yılında Ġstanbul Marmara Üniversitesi Atatürk Eğitim Fakültesi Fizik Öğretmenliğini kazandım.1999 yılında mezun oldum. Aynı yıl Kırklareli ilinin Vize ilçesine öğretmen olarak atandım. 2005-2008 yıllarında Lüleburgaz Kepirtepe Anadolu Öğretmen Lisesi, 2009-2012 yılları arası Lüleburgaz Atatürk Anadolu Lisesi, 2013-2014 Babaeski ġehit Ersan Yenici Anadolu Lisesi ve 2014 -2015 eğitim-öğretim yılında Lüleburgaz Anadolu Ġmam Hatip Lisesinde çalıĢtım. 2012 yılında Trakya Üniversitesinde Yüksek Enerji Ve Plazma Fiziği Anabilim Dalında yüksek lisans eğitimine baĢladım ve devam etmekteyim.