İki spektruma göre sturm-liouville operatörünün tanımlanmasının kararlılığı / According to the two spectrum identification stability of sturm-liouville operator

T.C.

FIRAT ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

İKİ SPEKTRUMA GÖRE STURM-LİOUVİLLE OPERATÖRÜNÜN TANIMLANMASININ KARARLILIĞI

Betül DEMİRDAĞ

Yüksek Lisans Tezi Anabilim Dalı: Matematik Programı: Uygulamalı Matematik Tez Danışmanı: Prof. Dr. Etibar PENAHLI

II

ÖNSÖZ

Bu çalışmanın planlanması ve yürütülmesinde, çalışmalarım süresince bana

yardımcı olan, bilgi ve tecrübelerinden yararlandığım Prof. Dr. Etibar PENAHLI hocama

üzerimdeki emeklerinden dolayı şükranlarımı sunmayı bir borç bilirim. Ayrıca

yardımlarından dolayı Arş. Gör. Ahu ERCAN hocama da teşekkür ederim.

Betül DEMİRDAĞ

ELAZIĞ-2014

İÇİNDEKİLER

Sayfa No

ÖNSÖZ ... II

İÇİNDEKİLER ... III

ÖZET ... IV

SUMMARY ... V

SEMBOLLER LİSTESİ ... VI

1.

TEMEL TANIM VE TEOREMLER ... 1

2.

SPEKTRAL FONKSİYONA GÖRE STURM-LİOUVİLLE PROBLEMİNİN

TANIMLANMASININ KARARLILIĞI ... 5

2.1. Çözüm fonksiyonlarının ve potansiyeller farkının değerlendirilmesi ... 5

3.

STURM-LİOUVİLLE PROBLEMİ İÇİN DÖNÜŞÜM OPERATÖRÜ... 8

3.1 Dönüşüm operatörünün tanımı ve özellikleri ... 8

3.2 Sturm-Liouville operatörleri için dönüşüm operatörü ... 9

3.3 Dönüşüm operatörünün uygulamaları... 12

4.

REGÜLER STURM-LİOUVİLLE PROBLEMİNİN TANIMLANMASI ... 20

4.1 İki spektruma göre normlaştırıcı sayıların hesaplanması ... 20

5.

İKİ SPEKTRUMA GÖRE STURM-LİOUVİLLE OPERATÖRÜNÜN

TANIMLANMASININ KARARLILIĞI ... 25

5.1. Sturm-Liouville sınır problemlerinin özdeğer ve özfonksiyonlarının

değerlendirilmesi için bazı eşitsizlikler... 25

6.

SONUÇ ... 41

KAYNAKLAR ... 42

IV

ÖZET

Birinci bölümde diferansiyel operatörlerin spektral teorisinde ve tezde kullanılan

bazı temel tanım ve teoremler verilmiştir.

İkinci bölümde spektral fonksiyona göre Sturm-Liouville operatörü için karalılık

problemi araştırılmıştır.

Üçüncü bölümde diferansiyel operatörler için dönüşüm operatörü tanımlanmış ve

basit özellikleri ispatlanmıştır. Ayrıca Sturm-Liouville operatörleri için dönüşüm

operatörünün varlığı gösterilmiş ve bazı uygulamaları açıklanmıştır.

Dördüncü bölümde iki spektruma göre normlaştırıcı sayıların tanımlanması

incelenmiştir.

Beşinci bölümde iki spektruma göre Sturm-Liouville operatörünün tanımlanmasını

karalılığına ilişkin bazı sonuçlar ispatlanmıştır.

Anahtar Kelimeler: Sturm-Liouville problemi, spektrum, spektral fonksiyon,

dönüşüm operatörü

SUMMARY

ACCORDING TO THE TWO SPECTRUM IDENTIFICATION STABILITY OF

STURM-LIOUVILLE OPERATOR

In the first chapter some properties including fundamental definitions and theorems

often used in thesis and spectral theory of differential operators.

In the second chapter; according to the spectral function were investigated stability

for Sturm-Liouville operators.

In the third chapter; for differential operators defined conversion operator and has

been proven simple features.Also have shown the existence of transformation operators

and and some applications are described for Sturm-Liouville operators.

In the fourth chapter; by two spectra is examined identifying of normalized number

In the fifth chapter; by two spectral identification have proved some results on

stability of Sturm-Liouville operators.

Key Words: Sturm-Liouville equation, spectrum, spectral function, transformation

operator.

VI

SEMBOLLER LİSTESİ

Bu çalışmada kullanılan bazı semboller, açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur:

: Reel sayılar kümesi

: Tamsayılar kümesi

: Doğal sayılar kümesi

: Kompleks sayılar kümesi

: Kısmi türev

: Alfa

: Mü

: Pi

: Teta

: Lambda

: Tau

: Beta

: Phi

: Omega

: Ro

: Psi

,

W

:

ile

‘nin wronskiyeni

m

: Meromorfik fonksiyon

1

: Sınırlı değerler

1.TEMEL TANIM VE TEOREMLER

Tanım1.1 ( İç Çarpım Uzayı, Hilbert Uzayı) C kompleks sayılar cismi üzerinde tanımlanmış bir

H lineer vektör uzayını göz önüne alalım. H deki her vektör çiftine bir sayı karşılık getiren , : H H C fonksiyonel aşağıdaki kuralları sağladığı takdirde bir iç çarpım adını alır.

i)Her u v, H için u v, v u,

ii) Her u v, H ve C için u v, u v , iii) Her u v w, , H için u v w, u w, v w , iv) Her u H , u 0 için u u, 0 ve u u, 0 u 0

bu iç çarpımla donatılmış bir lineer vektör uzayına iç çarpım uzayı denir.

( , ) ,

d u v u v u v u v

metriğine göre tam bir iç çarpım uzayına Hilbert uzayı denir [24].

Tanım 1.2 (L a b₂( , ) uzayı ) aralığında karesi integrallenebilen fonksiyonların Hilbert uzayına uzayı denir.

Bu uzayda iç çarpım:

şeklinde tanımlanır [12].

Tanım 1.3 ( Operatör) Tanım ve değer cümlesi vektörlerden oluşan dönüşüme operatör denir. Tanım 1.4 (Lineer Operatör) Hilbert uzayının herhangi bir D H lineer alt uzayı ve bir A operatörü için,

dönüşümü verilsin. Eğer ₁, ₂ C ve her x x₁, ₂ D için

( , )a b 2

( , )

L a b

2 2 , : b a L a b x t x t dt

,

b a

f x

g x

f x g x dx

H : A D H H 1 1 2 2 1 1 2 2 A x x Ax Ax

2

eşitliği sağlanıyorsa A dönüşümüne lineer operatör, D ye ise A operatörünün tanım bölgesi denir ve D A( ) _{ile gösterilir. A operatörünün değer kümesi de R(A) ile gösterilir [12].}

Tanım 1.5 (Sürekli Operatör) A S: (x, ) S(Ax, ) olsun.

0

x x için Ax Ax₀

ise A operatörüne süreklidir denir [12].

Tanım 1.6 (Operatörün Normu) X ve Y birer normlu uzay ve D L( ) X bir L operatörünün tanım cümlesi olsun. Eğer,

( )

L x c x

olacak şekilde bir

c

_{reel sayısı varsa L operatörüne sınırlıdır denir ve eşitsizliği sağlayan}

c

sayılarının alt sınırına ise L operatörünün normu denir.

Tanım 1.7 (Adjoint Operatör) H₁ ve H₂ iki Hilbert uzayı ve L H: ₁ H₂ sınırlı lineer bir

operatör olsun. Eğer, *

2 1

:

L H H operatörü

Lx y

,

x L y

,

* şartını sağlıyorsa

L

*

operatörüne

L

’ nin adjointi denir. Eğer

L

L

* ise

L

operatörüne self adjoint (kendine eş) operatör denir [12].

Tanım 1.8 (Özdeğer, özfonksiyon)

L

, D L( ) tanım bölgesinde sınırlı lineer bir operatör olmak üzere

Ly

y

eşitliğini sağlayan

y x

( )

0

fonksiyonu mevcut ise sayısına

L

operatörünün özdeğeri,

y x

( , )

fonksiyonuna ise ya karşılık gelen özfonksiyon denir.

Tanım 1.9 (Normlaştırıcı sayılar) { }_n dizisi

L

operatörünün özdeğerleri ve y x( , _n) ler bu özdeğerlere karşılık gelen özfonksiyonlar olacak şekilde

2

( ,

)

b n n a

y x

dx

sayılarına

L

operatörünün normlaştırıcı sayıları denir.

Tanım 1.10 (Operatörün spektrumu) L I operatörünün sınırlı (L I)1 tersinin mevcut olmadığı lar cümlesine

L

operatörünün spektrumu denir.

Tanım 1.11 (Rezolvent Operatör) Herhangi için

(

L

I

)

operatörünün tersi mevcut olacak biçimde _{R (L I)} 1 _{operatörüne,}

_Lx

_x

_y

_veya

₍

_L

_{I x}

₎

_y

_{denkleminin rezolvent}

operatörü denir [24].

Tanım 1.12 (Dönüşüm Operatörü) lineer topolojik uzay,

A

ve B operatörleri A E: E,

:

B E

E

şeklinde tanımlı iki lineer operatör olsun E₁ ve E₂ ise

E

lineer uzayın kapalı alt uzayları olmak üzere

X

uzayının tamamında tanımlı den ye dönüşüm yapan ve lineer terse sahip

X

operatörüne,

i)

X

ve

X

1 operatörleri

E

uzayında süreklidir. ii)

AX

XB

operatör denklemi sağlanıyor.

şartlarını sağlıyorsa

A

ve

B

operatörler çifti için dönüşüm operatörü denir [15].

Tanım 1.13 (Noktada analitik fonksiyon)

f z

( )

kompleks fonksiyonu düzlemin keyfi bir z₀

noktasının komşuluğunun tüm noktalarında diferansiyellenebiliyor ise

f z

( )

fonksiyonuna z0

noktasında analitiktir denir [32].

Tanım 1.14 (Tam fonksiyon)

f z

( )

kompleks fonksiyonu düzlemin tüm noktalarında analitik ise

( )

f z

’ ye tam fonksiyon denir.

Tanım 1.15 (Tam fonksiyonun mertebesi) Bir

f z

( )

fonksiyonuna karşılık

A

ve a pozitif sayıları bulunabiliyorsa, öyle ki iken

ise fonksiyonu sonlu mertebeden bir tam fonksiyondur ve a sayılarının en küçüğü olan

r

ye ise tam fonksiyonun mertebesi denir.

Tanım 1.16 x 0 (veya ) iken eğer ( ) 0

( ) f x g x ise

f x

( )

o g x

( ( ))

ve

( )

( )

f x

g x

sınırlı

ise

f x

( )

O g x

( ( ))

olarak gösterilir.

Tanım 1.17 (Wronskiyen)

f x

( )

ve

g x

( )

fonksiyonları bir x x0 a aralığında birinci

mertebeden türevlere sahip olsunlar. Bu durumda ifadesine

ve fonksiyonlarının wronskiyeni denir [34].

E

1

E

E

₂

r

z

( ) r f z Ae ( ) f z

x

( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) W f g f x g x f x g x ( ) f x

g x

( )

4

Teorem 1.18 (Rolle Teoremi) üzerinde sürekli ve üzerinde türetilebilir

fonksiyonu koşulunu sağlasın. O halde aralığında eşitliğini sağlayan bir noktası mevcuttur.

Teorem 1.19 (Weierstrass) x değerlerinin bir

E

cümlesi için tanımlanan tüm fonksiyonların serisi

1 ( )

n n

u x olsun. Eğer için olacak şekilde yakınsak bir

serisi varsa o halde için , ’de mutlak ve düzgün yakınsak

1 ( )

n n

u x serisi vardır.

Teorem 1.20 (Leibnitz Formülü) Sürekli fonksiyonu

dikdörtgenini kapsayan bir bölgede sürekli f

t kısmi türevine sahip olsun. Bu takdirde

için

eşitliği geçerlidir.

Bu teoremin sonucu olarak; ve ; aralığında sürekli türevlere sahip fonksiyonlar ise

olur.

Teorem 1.21 (Rouche Teoremi) Eğer ve fonksiyonları kapalı bir eğrisi üzerinde

ve içinde analitik ve ise ile fonksiyonları

üzerinde aynı sayıda köke sahiptir [32].

[ , ]a b ( , )a b y f x( ) ( ) ( ) 0 f a f b ( , )a b

f x

( )

0

0

0

x

x

E

u x

_n

( )

M

_n 1 n n

M

x

x E

E

,

f x t

x t

,

:

a

x

b c

,

t

d

c x d , , b b a a d f x t dx f x t dx dx t

a t

b t

c d

,

, , , , b t b t a t a t d f x t dx f x t dx b t f b t t a t f a t t dt t

f x

g x

C

g x

f x

f x

g x

f x

C

2.SPEKTRAL FONKSİYONA GÖRE STURM-LİOUVİLLE PROBLEMİNİN

TANIMLANMASININ KARARLILIĞI

2.1. Çözüm fonksiyonlarının ve potansiyeller farkının değerlendirilmesi

yarı ekseninde 2 2 [ ] d ( ) ( ) ( ) L y y x q x y x dx , (2.1.1)

Sturm-Liouville diferansiyel ifadesini göz önüne alalım. Burada

q x

( )

her sonlu aralıkta integrallenebilir keyfi sonlu reel değerli fonksiyondur. y(x) finite fonksiyonlarından oluşan manifold üzerinde tanımlı bu diferansiyel ifade,

h

reel sayı L y[ ] L2(0, ) olmak üzere

(0)

(0)

0

y

hy

(2.1.2) sınır koşulu ile birlikte uzayında bir

L

simetrik operatörünü oluşturur. fonksiyonuna potansiyel, ’a sınır parametre diyerek ve

L

operatörü _ve ile tanımlandığı için

L

( , ( ))

h q x

şeklinde yazılır.

[ ]

L w

w

(2.1.3) denkleminin

( ,0) 1

w

,

w

( ,0)

h

(2.1.4) başlangıç koşullarını sağlayan çözümü

w

( , )

x

olsun.

Her fonksiyonları için

(2.1.5)

(2.1.6)

açılımları sağlanmak üzere

L

operatörüne en az bir

( )

( (

)

0)

azalmayan fonksiyonu karşılık geldiği bilinmektedir [44]. Buradaki integraller sırasıyla ,

uzaylarındaki metriklere göre yakınsaktırlar. Ayrıca her fonksiyonçifti için

0

x

2

(0, )

L

q x( ) h h q x( ) 2

( )

(0, )

f x

L

0 ( ) ( ) ( , ) f E f x w x dx ( ) _f( ) ( , ) ( ) f x E w x d 2

(0, )

L

L

2

(

, )

2

( ), ( )

(0, )

f x g x

L

6

(2.1.7)

Parseval eşitliği sağlanır.

( )

fonksiyonuna

L

operatörünün spektral fonksiyonu denir.

Her spektral fonksiyon

L

operatörünü birebir olarak tanımlar. Yani spektral fonksiyonuna göre

( )

q x

potansiyelini ve sınır parametresini birebir olarak tanımlamak mümkündür. ([6] ve [25]) Bu çalışmada

( )

spektral fonksiyonunun ekseninin tamamında tanımlanmadığı fakat sadece yaklaşık olarak sonlu aralıkta verildiğinde operatörüne ilişkin hangi bilgilerin elde edilmesinin söz konusu olduğunun araştırmasını yapacağız.

Bunun için aralığında ve spektral fonksiyonları çakıştığında (veya çok az farklı olduğunda) ve operatörlerinin ne kadar farklı olduğunu araştırmak gerekiyor. ve operatörleri üzerine hiçbir ön sınırlamalar verilmediğinde bu tür problemlerin çok anlamlı olmadığını basit örneklerle göstermek mümkündür. Böylece ve (j=1,2) olacak

şekilde ve operatörlerinin için _j( ) spektral

fonksiyonları 0’ a eşittirler ve dolayısıyla için çakışırlar.

Bu sebeple bu problemi daha düzgün bir şekilde tanımlayalım -keyfi negatif olmayan sayı ve olmak üzere azalmayan keyfi sürekli fonksiyon olsun. ile

h A, 0

( )

( )

x

q t dt

x

_, 0 x (2.1.8)

olacak şekilde

L

( , ( ))

h q x

ile tüm operatörler cümlesini gösterelim.

operatörleri cümlesine ait olsun ve bunların _j( ) spektral fonksiyonları

M

N

aralığında çakışsın (veya çok az farklı olsun). Bu şartlar sağlanacak şekilde , ve fonksiyonlarını değerlendirmek isteniyor. Basit durumda bu çalışmaların sonuçlarını aşağıdaki şekilde tanımlayabiliriz [31].

operatörlerinin aralığında _j( ) spektral fonksiyonları çakışsınlar. Bu taktirde

1) Eğer ise diferansiyel denklemlere karşılık gelen çözümleri

0 ( ) ( ) _f( ) _g( ) ( ) f x g x dx E E d h

M

N

L

M

N

₁

( )

₂

( )

1

L

L

₂ 1

L

L

₂ 0 j h q x_j( ) N 1

( , ( ))

1 1

L

h q x

L

₂

( ,

h q x

_{2 2}

( ))

N

A (0) 0 ( )x

V

A

( ,

( ))

j j j

L h q x

(j 1, 2) A V

N

h

₁

h

₂ 1

( )

2

( )

q x

q x

w

₁

( , )

x

w

₂

( , )

x

A j

L

V

(j 1, 2)

N

1 1 2 _{30( (} 2₎₎ N A N w_j( , )x

1

(0, )

2N için

eşitsizliğini sağlarlar.

2) ; olsun. Eğer ise

eşitsizlikleri sağlanırlar. 1 1 1 4 2 2 1

( , )

2

( , )

5

( )exp{(

( ))(

)};

w

x

w

x

N

x

A

x

x N

1 sup _j( ) ( ) o t x q t C x 1 2 2

₂₀₍

₍₀₎

1

₎

4

N

A

C

1 1 2 4 4 1 2 0 ( ( ) ( )) 150 [1 ( ( 1) ) ( )]exp{2 ( 1)} x q t q t dt N x A C x N x 1 2 4 1 2 4 ( (0) 9) h h N A C

3.STURM-LİOUVİLLE PROBLEMİ İÇİN DÖNÜŞÜM OPERATÖRÜ

3.1 Dönüşüm operatörünün tanımı ve özellikleri

E

lineer topolojik uzay,

A

ve

B

de A E: E,

B E

:

E

ile tanımlı iki lineer operatör olsun. E₁ ve E₂,

E

lineer uzayının kapalı alt uzayları olmak üzere

E

uzayının tamamında tanımlı ve lineer tersi olan X E: ₁ E₂ operatörüne;

1)

X

ve

X

1 operatörleri

E

uzayında sürekli, 2)

AX

XB

veya

A

XBX

1 operatör denklemi

şartları sağlandığında,

A

ve

B

operatörler çifti için dönüşüm operatörü denir ve X_{A B,} ile gösterilir.

Lemma 3.1.1. λ özdeğerine karşılık gelen

B

operatörünün özfonksiyonu ( ) E₁, yani B , ( ( )1 0)

olacak biçimde aynı λ özdeğerine karşılık gelen X ,

A

operatörünün özfonksiyonudur. Dolayısıyla,

A

olur [15].

İspat:

AX

XB

olduğundan

A AX XB X

olur. Bu ise ispatı tamamlar.

Lemma 3.1.2.

E

uzayında

A

,

B

ve C lineer operatörleri ve E₁, E₂, E₃ kapalı alt uzayları verilmiş olsun.

A

ve

B

operatörler çifti için X_{A B,} dönüşüm operatörü

, : 2 3

A B

X E E

şeklinde,

B

ve C operatörler çifti için X_{B C,} dönüşüm operatörü ise

, : 1 2

B C

X E E

, : 1 3

A C

X E E

şeklinde olmak üzere

, , ,

A C A B B C

X X X

formülü ile ifade edilir.

İspat: : Dönüşüm operatörün tanımından,

, , A B A B AX X B , , B C B C BX X C

şeklinde olup ikinci denklemden 1

, ,

B C B C

B X CX elde edilir. Bu eşitliği birinci denklemde yerine yazarsak 1 , , , , , A B B C A B B C B C AX X X X CX , , , , A B B C A B B C AX X X X C

elde edilir. Bu ise ispatı tamamlar.

3.2 Sturm-Liouville operatörleri için dönüşüm operatörü

( )

q x

ve

r x

( )

reel değerli integrallenebilir fonksiyonlar olmak üzere iki

2 2 ( ) d A q x dx , 2 2 ( ) d B r x dx (3.2.1)

Sturm-Liouville operatörlerini göz önüne alalım.

E

reel değerli

(0

x

)

(1)

( )

f x C

[0, ]

x

fonksiyonlarından oluşan uzay, h₁ ve h₂ sonlu reel sayılar, E₁ ve E₂ ise sırası ile

1 (0) (0) f h f (3.2.2) 2 (0) (0) f h f (3.2.3) sınır koşullarını sağlayan fonksiyonlardan oluşan

E

nin alt uzayları olsun.

10

Teorem 3.2.1. X X_{A B,} :E₁ E dönüşüm operatörü ₂ f x( ) E₁ için

0

{ ( )}

( )

( , ) ( )

x

X f x

f x

K x t f t dt

(3.2.4)

şeklinde ifade edilir. Bu durumda (3.2.4) operatörünün

K x t

( , )

çekirdeği

2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) K x t K x t q x K x t r t K x t x x (3.2.5) 2 1 0

1

( , )

[ ( )

( )]

2

x

K x x

h

h

q s

r s ds

(3.2.6) 1 0

0

t

K

h K

t

(3.2.7)

(3.2.5), (3.2.6), (3.2.7) probleminin çözümüdür. Tersine eğer

K x t

( , )

böyle bir problemin çözümü ise, (3.2.4) formülü ile tanımlı

X

operatörü

A

ve

B

çifti için bir dönüşüm operatörüdür. Ayrıca

A

operatöründe

q x

( )

0

ise dönüşüm operatörü;

0

(cos

)

cos

( , ) cos

x

X

x

x

K x t

tdt

(3.2.8)

şeklinde olur.

İspat (3.2.4) eşitliğinin x’ e göre diferansiyeli alınırsa

0

( , )

(

)

( )

( , ) ( )

( )

x

K x t

Xf

f x

K x x f x

f t dt

x

(3.2.9)

olur. Bu ifadenin x=0 noktasındaki değeri,

0

(Xf)_x f (0) K(0, 0) (0)f

veya

0 2 1

(Xf)_x h f(0) h f(0) K(0,0) (0)f

olur. Böylece son bağıntıdan

2 1

(0, 0)

K h h

0

( , )

( , )

(

)

( )

( )

( , )

( )

( )

( ) ( )

x x

dK x x

K x t

Xf

f

x

f x

K x x f x

f x

q x f x

dx

x

olur.

{

}

(

)

( )

A Xf

Xf

q x Xf

0

( , )

( , )

( )

( )

( , )

( )

( )

( ) ( )

x x

dK x x

K x t

f

x

f x

K x x f x

f x

q x f x

dx

x

2 2 0 0

( )

( , ) ( ) ( )

x x

K

f t dt

K x t f t q x dt

x

(3.2.10) 0

( , )

( , )

( )

( )

( , )

( )

( )

x x

dK x x

K x t

f

x

f x

K x x f x

f x

dx

x

2 2 0

{

( ) ( , )} ( )

x

K

q x K x t

f t dt

x

(3.2.11)

olur. Diğer taraftan,

0

{

}

{ ( )}

( , )

( )

x

X Bf

B f x

K x t Bf t dt

0

( )

( ) ( )

( , )[

( )

( )

( )]

x

f

x

r x f x

K x t

f t

r t

f t dt

0

( )

( ) ( )

( , )

( )

( , ) ( ) ( )

x x

f

x

r x f x

K x t f t

K x t r t f t dt

(3.2.12)

bulunur. Bu eşitliğin sağındaki birinci integrale iki kez kısmi integrasyon uygulanırsa

0 0

( , )

( , )

( )

( , )

( )

( )

x x t x

K x t

K x t df t

K x t f t

f t dt

t

2 2 0

( , )

( , )

( , )

( )

( ,0)

(0) {

( )

( ) }

x t x

K x t

K x t

K x x f x

K x

f

f t

f t dt

t

t

( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , 0) (0) ( ) (0) t x t x K x t K x t K x x f x K x f f x f t t 2 2 0

( , )

( )

x

K x t

f t dt

t

(3.2.13)

12 elde edilir. Böylece

( , ) { } ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , 0) (0) ( ) t x K x t X Bf f x r x f x K x x f x K x f f x t 2 2 0 0

( , )

( , )

(0)

( )

( , ) ( ) ( )

x x t x

K x t

K x t

f

f t dt

K x t r t f t dt

t

t

( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) (0) t x t x dK x x K K x x f x f x K x x f x f x f dx x t 2 2 0

( , )

[

( ) ( , )] ( )

x

K x t

r t K x t f t dt

t

(3.2.14)

bulunur. Dönüşüm operatörünün

AX

XB

özelliğinden

K x t

( , )

çekirdeği için aşağıdaki denklem ve koşulları elde ederiz:

2 2 2 ( ) 2 ( ) K K q x K r t K x t (3.2.15) _{2 1} 0

1

( , )

[ ( )

( )]

2

x

K x x

h

h

q s

r s ds

(3.2.16) ₁ 0 ( ) 0 t K h K x (3.2.17)

probleminin çözümü olur. Bu işlemleri tersine yapmış olursak (3.2.15)-(3.2.17) probleminin çözümü olan

K x t

( , )

fonksiyonunun (3.2.4) formülü ile ifade edilen X’ in

A

ve

B

operatörler çifti için bir dönüşüm operatörü olduğunu göstermiş oluruz. Tersinin ispatı da detaylı bir şekilde [17] verilmiştir. Böylece teorem bir tarafdan ispatlanmış olur.

3.3 Dönüşüm operatörünün uygulamaları

ve operatörleri verilsin. operatörüne karşılık gelen çözümünün çözümü ile ifade edilmesini, dönüşüm operatöründen faydalanarak;

şeklinde ve tersine çözümünü çözümü ile ifade edilmesini

1

L

L

₂

L

₂

w

₂

( , )

x

w

₁

( , )

x

1 2 1 2 1 0

( , )

( , )

( , ) ( , )

,

x

w

x

w

x

K x y w

y dy

1

( , )

w

x

w

₂

( , )

x

şeklinde göstermek mümkündür. Ayrıca bu bağıntıların operatör görüntüleri sırasıyla

, şeklindedirler.

Burada dönüşüm operatörlerinin , çekirdekleri her iki değişkene göre mutlak sürekli fonksiyonlardır. Ayrıca

(3.3.1)

dir.

Bu durumda ve operatörlerini gözönüne aldığımızda dan ye olan

dönüşüm operatörlerinin çekirdeğini ile ve dan a olan ters dönüşüm operatörlerinin çekirdeğini ise ile gösterelim. Böylece

yazabiliriz. Ayrıca

olsun.

Bu paragrafta spektral fonksiyonların farkından faydalanarak ve fonksiyonları için uygun gösterimleri bulacağız.

2 1 2 1 2 0

( , )

( , )

( , )

( , )

,

x

w

x

w

x

K

x y w

y dy

1 2

(

2

)

1

w

I

K w

2 1

(

1

)

2

w

I

K

w

1 2( , ) K x y K12( , )x y 0

1

( , )

( ( )

( ))

2

j i i j i j

K

x x

h

h

q t

q t dt

( ,

i j

1,2;

i

j

)

( , ( )) L h q x

L

0

(0,0)

L

0

L

( , ) K x y

L

L

₀ ( , ) H x y 0

( , )

cos

( , ) cos

,

x

w

x

x

K x y

ydy

0

cos

( , )

( , ) ( , )

x

x

w

x

H x y w

y dy

1,2

( , )

1

( , )

2

( , );

w

x

w

x

w

x

h

_1,2

h

₁

h

₂

;

1,2( ) 1( ) 2( ); q x q x q x 1,2( ) 1( ) 2( ); 1,2( , ) 1( , ) 2( , ) K x y K x y K x y 1,2( , ) w x K1,2( , )x x

14

Lemma 3.3.1 Her ve için

integralleri mevcuttur ve

(3.3.2)

eşitliği sağlanır [31].

İspat

düzgün yakınsaklığa ilişkin teoremden dolayı [16] yukarıdaki eşitlikteki birinci integral mevcutdur ve ’ e eşittir.

ikinci integral için

ve ,

olacak şekilde ikinci integralin mutlak yakınsak olduğunu elde ederiz ve (2.1.7) Parseval eşitliğinden dolayı bunun değerinin e eşit olduğunu buluruz. Buradan

integralinin varlığı ve

(3.3.3) eşitliği elde edilir.

için de düzgün yakınsaklığa ilişkin teoremden faydalanarak

2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 0 0 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , )( )( , ) x x I x w x d w t w t dt w x d w t K w t dt =

x

2 1 1 0

( , )

( , )

( )

( , )

( , )

x j j

I

x

w

x d

w

t w

t dt

(j 1, 2) ( , ) j I x 1,2 2 1,2 1 1 0

( , )

( , )

( )

( , )

( , )

x

w

x

w

x d

w

t w

t dt

1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 0

( , )

( , )

( )

( , )

( , )

(

)( , )

( )

( , )

( , )

x x

I

x

w

x d

w

t w

t dt

K w

x d

w

t w

t dt

1 1 ( , ) 2w x 1 1 2 2 1

(

K w

)( )

x

L

1 2 1 1 0 ( , ) ( , ) x w t w t dt L 1 2 1 (K w)( , )x

I

₁

( , )

x

1 2 1

1

( , )

( , )

( , )

2

I

x

w

x

w

x

2

( , )

I

x

2 1 2 2 1 1 2 0 0

( , )

( , )

( )

( , )

( , )

( , )

2

x t

w

x

w

x d

w

t dt K t

w

d

=

=

bulunur. Böylece

(3.3.4)

(3.3.3) ve (3.3.4) eşitlikleri birlikte Lemmanın ispatını tamamlar.

Lemma 3.3.2 Her kompleks ve için

2 1 2 1 2 1,2 1,2 1,2

( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

w

x w

x

w

x w

x

( )

w

x

h

d

(3.3.5) eşitliği sağlanır [31].

İspat (2.1.3) denklemi ve (2.1.4) koşulundan

elde edilir. Bu ifadeyi (3.3.2) formülünün sağ kısmında yerine yazarsak

(3.3.6)

buluruz.

Benzer denkliği fonksiyonu için yazmak için (3.3.6) formunun

sağ kısmında ve lerin yerlerini değiştirmek, yü ise ile

değiştirmek gerekiyor. Fakat ve olduğundan, elde edilen yeni denklik

(3.3.7) 2 1 2 2 2 1 2 0

( , )

( , )

( )

( , )

( , )

( , )

2

x x

w

x

w

x d

w

d

K

t

w

t dt

2 1 1 1 1

( , )

1

( , )

(

( , )

( , ) )

2

2

2

x x

w

x

w

x

K t

w

t dt

1 2 ( , ) ( , ) 2 w x I x

0

x

1 2 1 2 1 2 1 2 1,2 1,2 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) x w t w t w x w x w x w x w t w t q t dt d 1 1 1 1 1 1 0

( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

x

w

x w

x

w

x w

x

w

t w

t dt

1 1 1 1 1,2 2 1,2

( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

w

x w

x

w

x w

x

( )

w

x

w

x

d

2,1( , ) 2( , ) 1( , ) w x w x w x 1

w

w

_{2 1,2}

( )

_2,1

( )

₂

( )

₁

( )

2,1 1,2

w

w

_{2,1 1,2} 2 2 2 2 1,2 1 1,2

( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

w

x w

x

w

x w

x

( )

w

x

w

x

d

16 bağıntısına eşdeğerdir.

olsun. Bu durumda her için

(3.3.8)

integralleri mevcuttur. Gerçekten w₂( , )x ve , için ye göre sınırlı fonksiyonlardır (operatör dönüşümlerinin görüntüsünden elde edilir) için bu dönüşümlerin görüntüsünden elde edilir. Burada , den bağımsız bir sabittir fakat [16], [25] dan bilindiği gibi

ve her için 0 ( ) x j e d

integral mevcuttur. Buradan (3.3.8) integralinin varlığı ve dolayısıyla

integralinin varlığı da elde edilir. Böylece (3.3.6) ve (3.3.7) de her terimi integrallemek mümkün olur.(3.3.6) dan (3.3.7) yı çıkarırsak

2 1 1 2 1 1,2

( , )

( , )

( , )

( , )

0

w

( , )

x

w

x w

x

w

x w

x

d

( )

1 2 1,2 1,2

( , )

( , )

( , )

w

x w

x

( )

w

x

d

(3.3.9)

elde ederiz. (3.3.7) denkliğini e (3.3.9) u ise e çarpıp birinciden ikinciyi çıkarırsak Im 0 0 x 2

( , )

1

( , )

_{( )}

j

w

x w

x

d

(j 1, 2) 1

( , )

w

x

0

0

( , )

x j

w

x

Ce

C

2

lim(

_j

( )

)

_j

(

)

h

_j 0 x 2 1 1,2 ( , ) ( , ) ( ) w x w x d 1 2 1 2 1,2 ( , ) ( , ) (w ( , )x w ( , ))x w x w x d ( ) 1,2

( , )

w

x

w

₂

( , )

x

2 1 2 1,2 2 1 1 2 1,2

( , )

( , )

( , )

(

( , )

( , )

( , )

( , ))

w

x w

x

( )

w

x

w

x w

x

w

x w

x

d

(3.3.10) elde ederiz.

ve için yazılan (2.1.3) ve (2.1.4) den

,

elde edilir. Buna göre (3.3.10)’u

2 1 2 1 2 1,2 1,2 1,2

( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

w

x w

x

w

x w

x

( )

w

x

h

d

1 2 1,2 1 2 1,2 0

( , )

( , )

( )

( , )

( , )

( )

x

w

x w

x

q

t w

t w

t dt

d

şeklinde yazabiliriz.

Son teoremde integrallenme sırasını değiştirirsek Im 0 _{durumunda Lemmanın ispatını elde}

ederiz. Şimdi için _{nın her değeri için Lemmayı ispatlayalım. Daha sonra (3.3.2) ve} (3.3.5) eşitliklerinin genelleştirilmesi olarak bilinen için farklı bir görüntü bulalım. Bunun için aşağıdakileri not etmek yeterlidir. herhangi bir aralık, CI ise onun tüm eksene tamamlayıcısı olsun. (3.3.6), (3.3.7) formüllerinin yerlerine

1,2 2 1,2 1 1 0

( , )

( , )

( )

( , )

( , )

x I

w

x

w

x d

w

t w

t dt

(3.3.6 )

1,2 1 1,2 2 2 0

( , )

( , )

( )

( , )

( , )

x I

w

x

w

x d

w

t w

t dt

2 1 1 2 1 2 1,2

( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

w

x w

x

w

x w

x

( )

w

x w

x

d

1

w

w

₂ 2 1 1 2 1,2 1,2 1 2 0

( , )

( , )

( , )

( , )

( )

( , )

( , )

x

w

x w

x

w

x w

x

h

q

t w

t w

t dt

1,2 1 2 1,2 1 2 0

( )

( , )

( , )

( )

( , )

( , )

x

d

w

x w

x

q

t w

t w

t dt

Im 0 1,2

( , )

w

x

( , )

I

a b

1 1 1 1 2 1,2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) CI w x w x w x w x w x d

18

(3.3.7 )

eşitliklerini yazabiliriz.

Lemma 3.3.2 nin ispatındaki gibi benzer dönüşümleri yaparak

2 1,2 2 2 1,2 1 1 0

( , )

( , )

( , )

( )

( , )

( , )

x I

w

x

w

x

w

x d

w

t w

t dt

1 1 1,2 2 2 0

( , )

( , )

( )

( , )

( , )

x I

w

x

w

x d

w

t w

t dt

1 2 1 2 1,2 1,2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) CI w x w x w x w x h d (3.3.11) buluruz.

Şimdi den faydalanarak in görüntüsüne ilişkin aşağıdaki lemmayı ispatlayalım:

Lemma 3.3.3 Her için

(3.3.12)

eşitliği sağlanır.

İspat

olsun.

Lemma 3.3.2 nin ispatında not edildiği gibi bu integral mevcuttur ve onu aşağıdaki şekilde yazabiliriz. 1 1 1 2 1 1

( )

( , )[

( , ) (

)( , )

( )

N N

R

x

w

x w

x

K w

x d

2 2

( , )[

2

( , ) (

1 2

)( , )

2

( )

N

w

x w

x

K w

x d

2 2 2 2 1 1,2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) CI w x w x w x w x w x d 1 2 1 2 1 1 1 2 1,2 1,2 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) x CI w t w t w x w x w x w x w t w t q t dt d 1,2( ) K1,2( , )x x 0 x 1,2

( , )

1

( , )

2

( , )

1,2

( )

K

x x

w

x w

x d

1 2 1,2

( )

( , )

( , )

( )

N N

R

x

w

x w

x d

1

( , )

1

( , )

1

( )

2

( , )

1

( , )

2

( )

N N

w

x w

x d

w

x w

x d

Spektral çekirdeğin asimptotik davranışına ilişkin [16] de bilinen teoremden dolayı

farkı iken her için 0’a yakınsıyor. Düzgün yakınsaklığa ilişkin teoremden dolayı sağ kısımdaki diğer iki terimde limite sahiptirler ve bu limitler sırasıyla ve

şeklindedir. Bu yüzden her için iken

mevcuttur. (3.3.1) den dolayı

olur. Böylece lemma ispatlanmıştır.

1 2 1

( , )(

2 1

)( , )

1

( )

2

( , )(

1 2

)( , )

2

( )

N N

w

x K w

x d

w

x K w

x d

1

( , )

1

( , )

1

( )

2

( , )

2

( , )

2

( )

N N

w

x w

x d

w

x w

x d

N

0

x

1 2

1

( , )

2

K x x

2 1

1

( , )

2

K x x

0

x

N

1 2 1,2

lim

( )

( , )

( , )

( )

N N

R

x

w

x w

x d

21 12

1

(

( , )

( , ))

2

K x x

K

x x

1 2 2 1 1,2 1,2 1,2 0

1

1

(

( , )

( , ))

( )

( , )

2

2

x

K x x

K

x x

h

q

t dt

K

x x

4. REGÜLER STURM-LİOUVİLLE PROBLEMİNİN TANIMLANMASI

4.1 İki spektruma göre normlaştırıcı sayıların hesaplanması

(4.1.1) diferansiyel denklemini ve

, (4.1.2) , (4.1.3) sınır koşullarını gözönüne alalım.

Burada aralığında reel değerli integrallenebilir fonksiyondur ve olmak üzere reel sayılardır.

(4.1.1), (4.1.2) ve (4.1.1), (4.1.3) sınır problemlerinin özdeğerlerini sırasıyla ve şeklinde gösterelim.

(4.1.1) denkleminin

(4.1.4) (4.1.5) (4.1.4) ve (4.1.5) başlangıç koşullarını sağlayan çözümleri ve olsun. Bu taktirde

0, 1,... ve 0, 1,... özdeğerleri sırasıyla

(4.1.6) (4.1.7) (4.1.6) ve (4.1.7) ile tanımlı fonksiyonların kökleriyle çakıştığı aşikardır.

, (4.1.1)-(4.1.2) sınır probleminin özfonksiyonları ve bunların normları

(4.1.8) şeklindedir.

( )

y

q x y

y

1 (0) (0) 0 y h y y( ) Hy( ) 0 2 (0) (0) 0 y h y

y

( )

Hy

( ) 0

( )

q x

[0, ]

h

₁

h

₂ 1

,

2

,

h h H

0 1

...

0 1

...

(0, ) 1 (0, ) h₁ (0, ) 1 (0, ) h2 ( , )x ( , )x 1

( )

( , )

H

( , )

2( ) ( , ) H ( , )

( ,

x

_n

)

_n

( )

x

2 0

( )

n n

x dx

sayılarına (4.1.1), (4.1.2) sınır problemlerinin normlaştırıcı sayıları denir. Bu paragrafta ve spektrumlarına göre normlaştırıcı sayıların hesaplanması için formül bulacağız. Bu amaçla önce

, (4.1.9) şeklinde bir fonksiyonu tanımlayalım ve

, (4.1.10) olsun.

Bu taktirde

(4.1.11)

elde ederiz.[20]

Bu formülden

m

( )

fonksiyonunun bir meromorfik fonksiyon olduğu görülüyor. Ayrıca bu fonksiyonun kutupları ve sıfırları sırasıyla (4.1.1), (4.1.2) ve (4.1.1), (4.1.3) sınır problemlerinin özdeğerleriyle çakışırlar. Diğer bir yandan

1 2 1 2 1 2 1 2 0 0

(

)

f x

( ,

) ( ,

f x

)

dx

[

f

( ,

x

) ( ,

f x

)

f x

( ,

)

f

( ,

x

)]

dx

eşitliği sağlanır. , olacak biçimde (4.1.12) elde ederiz.

Eğer ise

m

( )

fonksiyonu üst yarıdüzlemi kendine (alt yarı düzlemi kendine) dönüştürür. Bu sebeple

m

( )

nın sıfırları ve kutupları, yani (4.1.1)-(4.1.3) ve (4.1.1)-(4.1.2) sınır problemlerinin özdeğerleri çaprazlaşırlar (veya sıralıdırlar) Bir başka deyişle ( _n) ve ( _n) dizileri alterne dizilerdir.

Ayrıca bu durumda Sturm-Liouville operatörünün tekrarlanan (katlı) kökleri yoktur.

0, 1,... 0, ,...1 0

,

1

,...

( , ) ( , ) ( ) ( , ) f x x m x

( , )

( , )

0

f

Hf

( , )

( , )

( )

( , )

( , )

H

m

H

1 2 1 2 1 2 1 2 (0, ) (0, ) (0, ) (0, ) ( )[ ( ) ( )] f f f f h h m m 1 2 2 1 2 0 Im ( ) ( , ) ( ) Im m f x dx h h 1 2

(

1 2

)

h

h h

h

22

0

[

f

( , ) ( ,

x

x

_n

)

f x

( , )

( ,

x

_n

)]

dx

integralini gözönüne alalım. _n

iken buradan

(4.1.13)

elde edilir. Bu formül spektral teoride önemli yere sahiptir.

1( ) ve 2( ) fonksiyonlarının bazı elemanter özelliklerinden faydalanarak (4.1.13)

formülünden aşağıdaki formülün elde edildiğini ispatlayalım.

(4.1.14)

Burada simgesi sonsuz çarpımda numaralı terimin mevcut olmadığını gösterir. [20] deki Teorem1.1.1 den dolayı fonksiyonunu sırasıyla ve fonksiyonlarına dönüştürecek şekilde ve fonksiyonları mevcuttur. Bu sebeple

1 1

( )

sin

[

H

K

h

( , )]cos

(4.1.15) ve 2 2

( )

sin

[

H

K

h

( , )]cos

(4.1.15 )

0

(

_n

)

f x

( , ) ( ,

x

_n

)

dx

2 1

(0, ) (0,

_n

)

(0, ) (0,

_n

)

f

f

h

h

2 1 2 1 2 0

(

)

( ,

)

(

)

(

)

n n n n

x

dx

h

h

2 1 0

'

k n n k n n k n

h

h

n

cos

x

( , )

x

( , )

x

1

( , )

h

K

x t

2

( , )

h

K

x t

1 1 0 ( , ) [ _h( , ) h ]cos x K x t HK t tdt x 2 2 0 ( , ) [ _h( , ) h ]cos x K x t HK t tdt x

olur. Buradan ₁( ) ve ₂( ) nın mertebeli tam fonksiyonlar olduğu görülür. Böylece bu fonksiyonlar için ve herhangi sabitler olmak üzere

Bağıntıları sağlanır[14]. Bu formüllerden ve (4.1.13) formülünden

(4.1.16)

elde edilir.

(4.1.16) formülünden (4.1.14) formülünü elde etmek için

(4.1.17)

eşitliğinin sağlandığını ispatlamak gerekiyor. (4.1.15), (4.1.15 ) formüllerinden

elde edilir. Dolayısıyla

(4.1.18)

bağıntısı söz konusudur. Şimdi

eşitliğinin sağlandığını ispatlayalım.

lar için ve asimptotik formülleri sağlanır.[15]

Bu sebeple ve 1 2 1

C

C₂ 1 1 0 ( ) (1 ) k n C 2 2 0 ( ) (1 ) k n C 0 1 1 2 1 2 1 0 0 2 2 0 '(1 ) 1 ( ) ( ) '( ) '(1 ) n k k k k n n k k n n k k n k k C C h h h h C C 1 0 2 1 k k k C C 1 2

( )

lim

1

( )

1 1 1 0 0 0 2 2 lim (1 )(1 ) k lim ( k ) 1 k k k k k k k C C C C 0 0

lim

(

k

)

lim

(1

k k

) 1

k k k k

,

k k 2

(1)

k

k

O

2

(1)

k

k

O

(1)

k k

O

24

serisi _{ya göre} düzgün yakınsaktır. Bu sebeple (4.1.19) sonsuz çarpımı ya göre düzgün yakınsaktır ve (4.1.19) çarpımlarının iken limitleri mevcuttur. Ayrıca

elde edilir. Böylece bu formülden ve (4.1.18) formülünden (4.1.17) elde edilir. Dolayısıyla (4.1.14) formülünün sağlandığını ispatlamış oluruz.

0 k k k k ( 1) ( 1) 0

lim

(1

k k

) 1

k k

5.

İKİ SPEKTRUMA GÖRE STURM-LİOUVİLLE OPERATÖRÜNÜN

TANIMLANMASININ KARARLILIĞI

5.1. Sturm-Liouville sınır problemlerinin özdeğer ve özfonksiyonlarının değerlendirilmesi için bazı eşitsizlikler

( )

q x

fonksiyonu

(0,1)

aralığında reel değerli diferansiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere

(0, )

aralığında verilen

Sturm-Liouville operatörünü gözönüne alalım.

(5.1.1)

denklemi ve

(5.1.2) (5.1.2 ) sınır koşullarıyla oluşan sınır problemlerini sırasıyla I₁ ve I₂ ile gösterelim.

2 1,

{ _m} ve { _1,2_m} bu sınır problemlerinin özdeğerleri olsun. Bu iki spektra göre operatörün birebir olarak tanımlanması [3] de gösterilmiştir. Operatörün oluşturulması yöntemi [20] çalışmasında gösterilmiştir.

Bu sınır problemlerinin sadece N+1 özdeğerleri verildiği taktirde Sturm-Liouville operatörünün hangi dakiklikle tanımlanmasının mümkün olduğunu araştıracağız. Bunun için önce I₁ ve I2

sınır problemlerinin ilk N+1 özdeğerleri çakıştığında (5.1.2) Sturm-Liouville operatörünün ne kadar farklı olacağını incelemek gerekiyor. Bu sınır problemlerinin spektral fonksiyonları verilen aralıkta çakıştığı durumda benzer problemin [31] çalışmasında ele alınmıştır. Bu çalışmanın sonuçlarından faydalanmak için önce I₁ ve I₂ sınır problemlerinin ilk N+1 özdeğerleri çakıştığında spektral fonksiyonların farkını değerlendirmemiz gerekiyor I₁ sınır probleminin

1( ) spektral fonksiyonu 2 2

( )

d

L

q x

dx

2 2 1 2 1

d

L y

q x y

y

dx

26 2 1, 1 1,

1

( )

k k (5.1.3) 2 1,k , (5.1.1)-(5.1.2) probleminin özdeğerleridir. (5.1.4) (5.1.5) (5.1.5 ) , (5.1.5 )başlangıç koşulları sağlanmak üzere (5.1.5) denkleminin çözümüdür.

katsayılarının 2 1, { _m}, 2 1, { _m} özdeğerleriyle ifadesi [20] 2 2 2 2 1, 1, 1, 1, 2 2 1

(

)(

)

1

(

)

2

n k n k n

_{n n}

(5.1.6) 2 1, { _m}, 2 1, { _m} (5.1.7) operatörü ile oluşan I_1,1 ve I_2,1 sınır problemlerinin özdeğerleri, ₂( ) ise I_1,1 sınır probleminin spektral fonksiyonu olsun. Bu taktirde özdeğerler negatif olmayacak şekilde

2 2 , 2 2,

1

( )

k k (5.1.8) ve 2 2 2 2 1, 1, 2, 2, 2, 2 2 ₁ 2 2 4 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 2 2 k k n k k n k k n n (5.1.9)

Eğer ve operatörleri için sınır problemlerini ilk N+1 özdeğerleri çakışıyorsa, 2 2 N için 2 2 1, 1 2 1, 2, 1, 2,

1

1

1

( )

( )

(

)

(1

)

k k k k k k k , (5.1.10)

olur. Burada 2 n N , (5.1.11) 2 0 N 2 için 2 2 0 0 2 0 0 1, 1, 1 2 1 0 2, 1, 2, 1 { ( ) ( )} max 1 ( ) max 1 k k k k k k k k Var (5.1.12)

Böylece _N2 ₂ için spektral fonksiyonların farkının değerlendirilmesi (5.1.12) formülünün sağ kısmının mutlak değerinin değerlendirilmesine indirgenmiş olur.

Gereken değerlendirmeleri elde etmek için ele alınan sınır problemlerinin özdeğer ve özfonksiyonlarının davranışlarına ilişkin birkaç lemma tanımlayalım.

Lemma 5.1.1 Eğer q x( ) L₁(0, ), ( )x ve Im 0 ise bu taktirde aşağıdaki eşitsizlikler söz konusudur. ( ) ( ( , ) cos ) ( ) i x x w x x e x (5.1.13) 0 sin { ( , ) cos ( ) } 2 i x x w x x q t dt e 2 1 2 1 1 ( ) { ( ) ( ) 2 ₁ x x x , (5.1.14) burada 0

( )

( )

x

x

q t dt

; ₁ 0

( )

( )

x

x

q t dt

(5.1.15) İspat fonksiyonunun (5.1.16) İntegral denkleminin çözümü olduğu bilinmektedir [22].

28 fonksiyonunu tanımlayalım. Bu taktirde

( , )

( , )

i x

cos

w

x

z

x e

x

ve 0

sin (

)

( , )

( ) ( , )

x i x

x

t

z

x

e q t w

t dt

(5.1.18)

elde edilir. Bu sebeple

z

( , )

x

fonksiyonu

( ) ( ) 0 0

sin (

)

sin (

)

( , )

cos

( )

( ) ( , )

x x i x t i t i x t

x

t

x

t

z

x

e

te q t dt

e

q t z

t dt

(5.1.19)

integral denklemini sağlar.

0

,

max ( , )

t x

m

t

z

t

olsun. Bu taktirde 0

max ( , )

t x

z

t

( ) ( ) 0 0 0 sin ( ) sin ( ) max ( ) ( , ) cos ( ) x x i x t i x t i t t x x t x t e q t z t dt e e tq t dt eşitliğinde

sin

x

t e

i x t

1

Im

0,

x

t

0

,

cos

te

i t

I

,

(Im

0,

t

0)

, (5.1.20) bağıntılarını gözönüne alırsak

0 0

( )

( )

( , )

( , )

x x

q t dt

q t dt

m

x

m

x

elde ederiz. Böylece ( )x ise

,

x

m

x

x

,

Daha sonra ( ) 0

sin (

)

cos

( )

x i x t i t

x

t

e

e

tq t dt

= 0

sin (

)

cos

( )

x i x

x

t

e

tq t dt

bağıntısında 1

sin ( ) cos {sin sin ( 2 )}

2

x t t x x t

trigonometrik dönüşümü gözönüne alınarak

0 0 0

sin

sin

1

cos

sin

2

2

2

x x x

x

t

x

tq t dt

q t dt

x

t q t dt

0 0

sin

1

sin

2

2

2

x x

x

q t dt

x

t q t dt

(5.1.20 )

bulunur. Son eşitlikte ilk olarak ikinci integrali hesaplayalım. Bunun için kısmi integrasyon uygularsak

( )

q t

u

,

q t dt

( )

du

;

sin (

x

2 )

t dt

dv

, cos ( 2 ) 2 x t v olmak üzere 0

1

sin

2

2

x

x

t q t dt

0 0

1

1

cos (

2 ) ( )

cos (

2 ) ( )

2

2

x x

x

t q t

x

t q t dt

olur. Bu eşitliği

(5.1.20 )

yerine yazarsak

0

sin (

)

cos

( )

x

x

t

tq t dt

2 0 0 0

sin

1

( )

{cos (

2 ) ( )

cos (

2 ) ( ) }

2

4

x x x

x

q t dt

x

t q t

x

t q t dt

2 0 0

sin

1

( )

[cos

cos (

2 )] ( )

2

4

x x

x

q t dt

x

x

t q t dt

30 0

sin

,

2

x i x

x

z

x

e

q t dt

0 2 0

1

( )

( , )

2

x x

q t dt

q t dt

m

x

2 0 2 0 0 [ ] 1 1 { ( ) } 2 1 x x x q t dt q t dt q t dt elde edilir.

Bu sebeple eğer ( )x ise

0

sin

{ ( , ) cos

( ) }

2

x i x

x

w

x

x

q t dt e

2 1 2

1

1

( )

{

( )

}

( )

2

₁

x

x

x

Böylece lemma ispatlanmıştır.

Lemma 5.1.2. için

,

Burada ;

dır.

İspat için her şeritte fonksiyonunun sadece bir sıfırı vardır.

, 3 ( ) n 1 2 1 2 (2 1) n n q M n n n 0

( )

q

q t dt

2 1 1 1 { ( ) 5 ( )} 3 2 n M 3 ( ) n n Re n 1 w( , ) ( , ) cos [ ( , ) cos ] w w

olduğu için Lemma5.1.1 den dolayı gözönüne alınan şeritin sınırında aşağıdaki eşitsizlik sağlanır:

Diğer yandan Re m doğruları üzerinde

olduğu için eğer ise bu takdirde gözönüne alınan şeritin sınırında

elde edilir.

Rouche Teoreminden dolayı bu eşitsizlikten gözönüne alınan şeritte fonksiyonunun fonksiyonunun sıfırları kadar sıfırları vardır. Yani sadece bir sıfırı vardır.

, ’den

şeritinde ise sıfırı vardır. Bunların tamamını gözönüne alarak için

(5.1.21) bağıntısının sağlandığı sonucuna varırız ve dolayısıyla

1 1 1 2 n n n Eğer ise . i (5.1.13) eşitsizliğinde yazarsak , Im ( ) ( , ) cos ( ) w e Im Im 2 Im 1 cos {1 } 2 2 2 i i e e e e e Im Im ( ) 2 ( ) e e 3 ( ) cos w( , ) cos ( , ) w cos( , )

cos

0

(

1

)

2

n

(

1

)

2

n

(n 1) Re n 1 2(n 1) 3 ( ) n 1

1

n

n

n

3 ( ) n 1

1

2

n 1 n 1 1 1 ( ) ( ) cos sin ( ) ( ) n n n n

32 elde ederiz. Buradan olacak biçimde

ve

, (5.1.22)

elde edilir. (5.1.12) eşitsizliğinden dolayı

, ve için (5.1.23) ele alırsak olur. Buradan buluruz. 1 ve , olduğu için 3 ( ) n 1 1

2

( )

sin

( )

n n

n

1

( )

2[

( )]

n

n

sin ( , ) cos ( , ) 2 w q r 1 n n n 3 ( ) 2 1 2 1 1 ( ) ( , ) { ( ) } ( ) 2 ₁ r n n 1 n 1 1 1 1

sin

(

, )

cos

(

, )

2

n n n n

w

q

r

1 1 1 1 cos 0 ( 1) sin ( 1) ( , ) 2 n n n n n n q r 1 1 1 1 cos sin ( 1) ( , ) 2 1 2 2 1 n n n n n q q r q n n 2 1 1 1

(

)

sin

2

n n n 2 1 1 1 1 1

(2

1)(1 cos

)

2

(

)

(

, )

( )

2

1

2

2

(2

1)

n n n n n n

n

q

r

n

n