SPLIT PELL VE PELL-LUCAS KUATERNİYONLARI

T.C.

KASTAMONU ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

SPLIT PELL VE PELL-LUCAS KUATERNİYONLARI

Elif ÇAKIR

Danışman Dr. Öğr. Üyesi Zafer ÜNAL

Jüri Üyesi Doç. Dr. Göksal BİLGİCİ

Jüri Üyesi Doç. Dr. Ahmet EROĞLU

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANA BİLİM DALI

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

SPLIT PELL VE PELL-LUCAS KUATERNİYONLARI Elif ÇAKIR

Kastamonu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Ana Bilim Dalı Danışman: Dr. Öğr. Üyesi Zafer ÜNAL

Bu tez çalışması dört bölüm olup, birinci bölümde genel tanımlar yapılmış, ikinci bölümde kuaterniyonlar tanımlanmış temel tanım ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde Pell ve Pell-Lucas sayıları hakkında bilgiler verilmiş, Binet formülündeki gösterimi, özdeşlikleri ve Vajda gibi özel teoremlerin ispatları yapılmıştır. Pell ve Pell-Lucas sayılarının üreteç fonksiyonları tanımlanmıştır. Dördüncü bölümde ise Split Pell ve Split Pell-Lucas kuaterniyonları çalışılmış olup bunların Binet formülündeki gösterimi, Catalan, Cassini, d'Ocagne ve Vajda gibi özel teoremleri ve ispatları verilmiş olup son olarak da Split Pell ve Split Pell-Lucas kuaterniyonları, özdeşlikleri ve ispatları yapılmıştır.

Anahtar Kelimeler: Kuaterniyon, Pell ve Pell-Lucas Sayıları, Split Pell, Pell-Lucas

kuaterniyonları

2019, 41 sayfa Bilim Kodu:204

ABSTRACT

MSc. Thesis

SPLIT PELL AND PELL-LUCAS QUATERNIONS Elif ÇAKIR

Kastamonu University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathemathics

Supervisor: Assist. Prof. Dr. Zafer ÜNAL

Abstract: This thesis consists of four parts. In the first part, introduction is

presented. In the second part, quaternions are defined, basic definitions and concepts are given. In the third part, information about Pell and Pell-Lucas numbers is provided, their notation in Binet formula, generator functions and special theorems such as Vajda are proven, genarator functions of Pell and Pell- Lucas numbers are defined. In the fourth part Split Pell and Split Pell-Lucas quaternions are worked. Their notation in the Binet formula special theorems such as Catalan, Cassini, d’Ocagne and Vajda and their proofs are given. Finally, identity of Split Pell and Split Pell-Lucas quaternions and their proofs are given.

Key Words: Quaternion, Pell, Pell-Lucas numbers, Split Pell, Pell-Lucas

quaternions

2019,41 pages Science Code: 204

TEŞEKKÜR

Bu tezin hazırlanması ve tamamlanmasında büyük katkıları olan değerli hocam Sayın Dr. Öğr. Üyesi Zafer ÜNAL (Kastamonu Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü ) ‘a ve maddi- manevi desteğini hiçbir zaman esirgemeyen ablam Şenay ÇAKIR ‘a teşekkürlerimi borç bilirim.

Elif ÇAKIR

İÇİNDEKİLER Sayfa TEZ ONAYI... ii TAAHHÜTNAME ... iii ÖZET... iv ABSTRACT ... v TEŞEKKÜR ... vi İÇİNDEKİLER ... vii

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ ... viii

TABLOLAR DİZİNİ ... ix

1. GİRİŞ ... 1

2. TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR ... 3

3. PELL VE PELL-LUCAS SAYILARI ... 7

4. SPLIT PELL VE SPLIT PELL-LUCAS KUATERNİYONLARI ... 12

KAYNAKLAR ... 39

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ Simgeler Ɍ Reel sayılar Η Kuaterniyon kümesi q Kuaterniyon H(q) Kuaterniyon eşleniği N(q) Kuaterniyon normu q-1 Kuaterniyon inversi

Pn n-yinci dereceden Pell sayısı PLn n-yinci dereceden Pell-Lucas sayısı SPn n-yinci dereceden Split Pell kuaterniyonu

TABLOLAR DİZİNİ

Sayfa

Tablo 1. Kuaterniyon bazlarının çarpımı ... 5 Tablo 2. Split kuaterniyonun bazlarının çarpımı... 13

1.G˙IR˙IS¸

Matematikte kuaterniyon, karma¸sık sayılar cisminin de˘gi¸smesiz geni¸sletilmesidir. ˙Ilk defa ˙Irlandalı matematik¸ci Sir. William Rowan Hamilton tarafından 1843 yılında tanımlanmı¸s ve ¨u¸c boyutlu matemati˘ge uygulanmı¸stır. Sir.W.R. Hamil-ton 1843 de kuaterniyonları tanımlamı¸s bundan altı yıl sonrada J. Cackle, Split kuaterniyonları hakkında ¸calı¸sma yapmı¸stır. Reel ve kompleks sayılar gibi ku-aterniyonlarda bir sayı sistemidir. Reel sayılar bir, kompleks sayılar iki bile¸sen i¸cerirken kuaterniyonlar d¨ort bile¸sen i¸cerir. Kompleks sayılar reel sayıların bir kombinasyonudur ve reel sayılar, aynı zamanda kompleks sayıların bir alt k¨ ume-sidir. Dolayısıyla da kuaterniyonlar da iki kompleks sayının kombinasyonundan olu¸smu¸stur. Bu durumda kompleks sayılar da kuaterniyonların bir alt k¨umesi ol-malıdır. Kuaterniyonların sonu¸c olarak hem reel sayılar hem de kompleks sayıları kapsayan daha geni¸s bir sayı sistemi oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. Fizikte ¨ol¸c¨ulebilen her ¸sey reel olmak zorundadır ve reel sayılar bilimin do˘gu¸sundan itibaren kendilerine her alanda uygulama sahası bulmu¸stur. Kompleks sayılarda mekanik ve elektriksel uygulamalarda ¨ozellikle devre analizlerinde kullanılmaktadır. Bu sayı sistemi uy-gulamalara sadece iki boyut getirirken, 3-boyutlu uygulamalarda ise vekt¨orler kul-lanılır. Fakat vekt¨orler bazı uygulamalarda yetersiz kalmaktadır. Kuaterniyonlar vekt¨orleri ifade etmede kullanılabilir. Bu sayı sistemi vekt¨orleri kapsadı˘gı gibi, bir de reel bile¸sen ortaya koyarak uygulamalara d¨ord¨unc¨u bir boyut ekler.

Kuaterniyon cebiri, birle¸smeli fakat de˘gi¸simli olmayan (1,i, j,k gibi) d¨ort eleman-dan olu¸sur ve bunlareleman-dan biri reel, di˘ger ¨u¸c¨u sanaldır. Kuaterniyonlar b¨ol¨um cebi-rine sahip olup her ne kadar kuaterniyonlar de˘gi¸sme ¨ozelli˘gini sa˘glamasa da pek ¸cok uygulamada vekt¨orler ve matrisler yerlerini almı¸s hala kuramsal ve uygulamalı matematikte kullanılmaktadır. Ba¸slıca kullanım alanı ¨u¸c boyutlu uzayda d¨onme ve kayma hareketinin hesaplanmasıdır.

Pell sayıları ise 1 +√2 g¨um¨u¸s oranının katlarına orantılı ¨ustel olarak b¨uy¨ur. Pell sayı dizisi {0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, ...} ¸seklindedir.

E˘_{ger x, y ∈ Z i¸cin Pell denkleminde x}2_{+ y}2 _{= 1 ¸c¨oz¨um¨un¨u olu¸sturursak} x

y oranları

√

2 ye yakın yakla¸sım sa˘glar. Bu formun yakla¸sık dizisi 1,3₂,7₅,17₁₂,41₂₉,99₇₀, ...

Pell-Lucas sayı dizisi : {2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, ...} ¸seklindedir.

Fibonacci ve Lucas sayıları gibi Pell ve Pell-Lucas sayıları da matematik d¨unyasının g¨uzelli˘gini ve uygulanabilirli˘gini g¨ostermektedir. Analiz, geometri, trigonometrive ayrık matemati˘gin ¸ce¸sitli alanlarını, sayı teorisini, grafik teorisini, lineer cebir ve alanları birbirine ba˘glayan deney, ke¸sif, varsayım ve problem ¸c¨ozme teknikleri i¸cin fırsatlar sunar. Pell ve Pell-Lucas sayıları geni¸s bir sayı dizisinin ilgin¸c ¨ozelli˘gini ¸cıkarmak i¸cin g¨u¸cl¨u bir ara¸c olarak geni¸sletilmi¸s bir Fibonacci ailesine aittir.

Koshy (2001), uygulamalı Pell ve Pell-Lucas sayıları, Pell denklemleri, Pell top-lamları, Pell-Fibonacci Hibritleri ve geni¸sletilmi¸s Pell ailesi ¨uzerinde ¸calı¸smalar yapmı¸stır.

C¸ imen (2016), Pell ve Pell-Lucas sayılarıyla ili¸skili kuaterniyon sayılarının yeni sınıflarını sistematik bir ¸sekilde incelemi¸stir.

Toke¸ser, ¨Unal ve Bilgici (2016), Split Pell ve Pell-Lucas kuaterniyonları ¨uzerinde ¸calı¸smalar yapmı¸slardır.

2.TEMEL TANIMLAR VE KAVRAMLAR

Bu b¨ol¨umde kuaterniyon k¨umesi tanımlanıp kuaterniyon k¨umesi ¨uzerinde tanımlı temel kavramlar verilecektir.

Tanım 2.1

Bir reel kuaterniyon, sıralı 1,i,j,k gibi d¨ort birime e¸slik etmesiyle tanımlanabilir ve q = a + bi + cj + dk bi¸ciminde ifade edilir (i,j,k birimleri ¨u¸c boyutlu reel vekt¨or uzayının bir dik koordinat sisteminin baz vekt¨orleri olarak alınır).

Burada; i2 = j2 = k2 = −1, ijk = −1 i j = k = −ji j k = i = − kj ki = j = −ik ¨

ozelliklerine sahiptir. Bu ¸calı¸smamızda kuaterniyon k¨_{umesini H (Hamilton) ile} g¨_{osterelim ve H = {a + bi + cj + dk : a, b, c, d ∈ R} ile tanımlayalım. Bir q} ku-aterniyonu Sq = a skaler kısım ve Vq = bi + cj + dk vekt¨orel kısım olmak ¨uzere

q = Sq + Vq ¸seklinde yazılır. H ¨uzerinde toplama, ¸cıkarma, skaler ile ¸carpma,

e¸slenik ve norm gibi ifadeler a¸sa˘gıdaki gibi tanımlanır.

Tanım 2.2

Kuaterniyonlar ¨uzerindeki i¸slemler:

q1,q2 ∈ H i¸cin; toplama i¸slemi, ⊕ : H × H → H, q1⊕ q2 = Sq1+q2⊕ Vq1+q2 ¸seklinde

Yani q1 = a1 + b1i + c1j + d1k, q2 = a2+ b2i + c2j + d2k olmak ¨uzere,

q1 ⊕ q2 = (a1+ a2) + (b1+ b2) i + (c1+ c2) j + (d1+ d2) k

Sq1⊕q2 = Sq1 + Sq2

Vq1⊕q2 = Vq1 + Vq2

¸seklindedir.

q ∈ H i¸cin, bir kuaterniyon ile bir skalerin ¸carpımı

 : R × H → H

(λ, q) → λ  q = λq = λSq+ λVq

¸seklindedir ve a¸sa˘gıdaki ¨ozellikleri sa˘glar.

1- λ  (q1⊕ q2) = λq1+ λq2 , ∀λ ∈ R, q1, q2 ∈ H 2- (λ1⊕ λ2) q = (λ1q) + (λ2q2) , λ1, λ2 ∈ R 3- (λ1λ2) q = λ1(λ2q) 4- 1  q = q, 1 ∈ R [4]. q1, q2 ∈ H i¸cin × :H × H → H (q1, q2) → q1 × q2

iki kuaterniyon ¸carpımı q1 = a1+ b1i + c1j + d1k, q2 = a2+ b2i + c2j + d2k olmak

¨ uzere,

q1 × q2 = (a1+ b1i + c1j + d1k) (a2+ b2i + c2j + d2k)

= a1a2− (b1b2+ c1c2+ d1d2) + (a1b2+ b1a2+ a1d2− d1a2)i

¸seklindedir. Bu tanım a¸sa˘gıdaki tablo yardımıyla elde edilir: Tablo 1: Kuaterniyonun bazlarının ¸carpımı

× 1 i j k

1 1 i j k

i i −1 k −j

j j −k −1 i

k k j −i −1

Kuaterniyon ¸carpımı i¸cin bazı ¨ozellikler a¸sa˘gıdaki gibi verilebilir:

1- ˙Iki kuaterniyon ¸carpımı bir kuaterniyondur. 2- Kuaterniyon ¸carpımı birle¸sme ¨ozelli˘gine sahiptir. 3- Kuaterniyon ¸carpımı da˘gılma ¨ozelli˘gine sahiptir.

4- Kuaterniyonlarda ¸carpma i¸sleminin de˘gi¸sme ¨ozelli˘gi olmadı˘gından bir cisim de˘gildir,[4].

q ∈ H i¸cin,

H(q) : H → H

q → H(q) = a − (bi + cj + dk)

bir kuaterniyonun e¸sleni˘gi H(q) = a− (bi + cj + dk) ¸seklindedir. H(q) = Hq i¸cin

q = Sq+ Vq → Hq= Sq− Vq ve Hq kuaterniyonuna q nun e¸sleni˘gi denir ve

H(aq1 + bq2) = aHq1 + bHq2

H(q1× q2) = Hq1 × Hq2

H(H(q)) = q ¨

ozelliklerine sahiptir.

Bir q kuaterniyonun normu

N : H → R

O halde, q × Hq = Hq× q ≥ 0 ve q × Hq = Hq× q = 0 ⇔ q = 0 dır.

Bir kuaterniyonun tersi

()−1 : _{H − {0} → H − {0}} q → q−1 = Hq Nq = a − (bi + cj + dk) a2_{+ b}2_{+ c}2 _{+ d}2 ¸seklindedir [4].

3. PELL VE PELL-LUCAS SAYILARI

Bu b¨ol¨umde Pell ve Pell-Lucas sayıları tanımlanıp Binet form¨ul¨undeki g¨osterimi ve Pell ve Pell-Lucas sayılarının ¨ozde¸slikleri ve Vajda gibi ¨ozel teorem ve ispatları verilecektir.

Tanım 3.1

Pell sayıları negatif olmayan n tamsay ¨A±lar ¨A± i¸cin,

Pn=          0, n = 0 1, n = 1 2Pn−1+ Pn−2, n ≥ 2

¸seklinde tanımlanır. Dizinin terimleri; {0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, ...} ¸seklindedir.

Pell sayıları Binet form¨ul¨unde; γ = 1 +√2 ve δ = 1 −√2 olmak ¨uzere Pn=

γn _{− δ} n

γ − δ

¸seklinde de ifade edilebilir.

Pell-Lucas sayıları negatif olmayan n tamsayıları i¸cin

P Ln =          2, n = 0 2, n = 1 2P Ln−1+ P Ln−2, n ≥ 2

¸seklinde tanımlanır. Pell-Lucas dizisinin terimleri ise, {2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, ...} ¸seklindedir.

Pell-Lucas sayılarının Binet form¨ul¨u ise P Ln =

γn + δn 2 ile verilir [2].

Pell ve Pell-Lucas sayıları arasındaki bazı ba˘gıntılar : Pn = 2Pn−2+ Pn+2 P Ln+1 = Pn+1+ Pn P Ln = Pn+1− Pn 2P Ln = Pn−1− Pn+1 2Pn = 2P Ln+1− P Ln (3.1) [12] elde edilir [12]. Tanım 3.2

a0, a1, a2, ... bir reel sayı dizisi olsun n > 0 olmak ¨uzere, h (x) = a0+ a1x + a2x2+

... + anxn+ ... ifadesine {an} dizisinin ¨urete¸c fonksiyonu denir [6].

Pell ve Pell-Lucas sayılarının ¨urete¸c fonksiyonlarını verelim.

Teorem 3.3

P (x); Pell polinomu olmak ¨uzere ¨urete¸c fonksiyonu

P (x) = x

1 − 2x − x2

˙Ispat P (x) =P∞ n=0Pnx n _{olmak ¨uzere} P (x) = ∞ X n=0 Pnxn = P0x0+ P1x1+ P2x2+ P3x3+ ... = 0 + 1x + ∞ X n=1 Pn+1xn+1 = x + ∞ X n=1 (2Pn+ Pn−1)xn+1 = x + ∞ X n=1 2Pnxn+1+ ∞ X n=1 Pn−1xn+1 = x + 2x ∞ X n=1 Pnxn+ x ∞ X n=1 Pn−1xn = x + 2x ∞ X n=1 Pnxn+ x(P0x1+ P1x2+ P2x3...) = x + 2x ∞ X n=1 Pnxn+ x(0 + P1x2+ P2x3+ ...) = x + 2x ∞ X n=1 Pnxn+ x2P (x) = x + 2xP (x) + x2P (x) = x 1 − 2x − x2

P L(x); Pell -Lucas polinomu olmak ¨uzere ¨urete¸c fonksiyonu P L(x) =P∞

n=0P Lnx n

olmak ¨uzere P L(x) = ∞ X n=0 P Lnxn = P L0x0+ P L1x1+ P L2x2+ P L3x3+ ... = 2.1 + 2x + ∞ X n=1 P Ln+1xn+1 = 2 + 2x + ∞ X n=1 (P Ln+ P Ln−1)xn+1 = 2 + 2x + x ∞ X n=1 P Lnxn+ x ∞ X n=1 P Ln−1xn = 2 + 2x + x(P L1(x1+ P L2x2+ ...) + x(P L0x1+ P L1x2...) = 2 + 2x + xP L(x) + x2P L(x) = 2 − 2x 1 − 2x − x2 

Pell ve Pell-Lucas sayılarında Vajda teoremlerini verelim.

Teorem 3.4

n, i, j ∈ Z olmak ¨uzere, Pell ve Pell-Lucas sayıları i¸cin Vajda ¨ozde¸slikleri Pn+iPn+j− PnPn+i+j = (−1)nPiPj

ve

P Ln+iP Ln+j− P LnP Ln+i+j = 2(−1)n+1PiPj

˙Ispat

Pell sayılarının Binet form¨ul¨unden yararlanılarak

Pn+iPn+j− PnPn+i+j = [( γn+i− δn+i 2√2 γn+j− δn+j 2√2 ) − ( γn− δn 2√2 γn+i+j− δn+i+j 2√2 )] = 1 8[γ

2n+i+j _{− γ}n+i_δn+j_{− δ}n+i_γn+j_{+ δ}2n+i+j

−γ2n+i+j _{+ γ}n_δn+i+j_{+ δ}n_γn+i+j _{− δ}2n+i+j_]

= 1

8[−γ

n+i_δn+j_{− δ}n+i_γn+j_{+ γ}n_δn+i+j_{+ δ}n_γn+i+j_]

= 1 8[γ n_δn+j_(δi_{− γ}i_{) + δ}n_γn+j_(γi _{− δ}i_)] = 1 8[−γ n_δn+j_(γi_{− δ}i_{) + δ}n_γn+j_(γi_{− δ}i_)] = 1 8(−1) n_[(γi− δi) 2√2 (γj_{− δ}j₎ 2√2 8] = (−1)nPiPj

Pell-Lucas sayıları Binet form¨ul¨unden yararlanılarak

P Ln+iP Ln+j− P LnP Ln+i+j = [( γn+i+ δn+i 2 γn+j+ δn+j 2 ) − ( γn+ δn 2 γn+i+j+ δn+i+j 2 )] = 1 4[γ 2n+i+j

+ γn+iδn+j+ δn+iγn+j+ δ2n+i+j− γ2n+i+j −γnδn+i+j− δnγn+i+j− δ2n+i+j

= 1

4[γ

n+i

δn+j+ δn+iγn+j− γnδn+i+j − δnγn+i+j]

= 1 4[γ n δn+j(γi− δi) + δnγn+j(δi− γi)] = 1 4(−1) n+1_.[(γi− δi) 2√2 (γj _{− δ}j₎ 2√2 8] = 2(−1)n+1PiPj 

4. SPLIT PELL VE SPLIT PELL-LUCAS KUATERN˙IYONLARI

Bu b¨ol¨umde Split Pell ve Split Pell-Lucas sayıları tanımlanıp Binet form¨ul¨undeki g¨osterimi ve Split Pell ve Split Pell-Lucas sayılarınında Catalan, Cassini, d’Ocagne ve Vajda gibi ¨ozel teoremleri ve ispatları verilmi¸s olup son olarak da Split Pell ve Split Pell-Lucas sayılarının ¨ozde¸slikleri ve ispatları yapılmı¸stır.

Tanım 4.1

F karekteristi˘gi 2 olmayan keyfi bir cisim ve F0, F nin ¸carpımsal grubu olsun. Kuaterniyon cebiri (a,b

R) ve

i2 = a j = b ij = −ji

ba˘gıntısıyla tanımlanır.

E˘ger k = ij, k2 _{= −ij ∈ F}0 _{ve ik = −ki = a j alırsak ki = −jk = bi elde}

ederiz.

a = b = −1 ve F = R, −1,1_R
durumunda reel sayılar ¨uzerinde kuaterniyon-lar halkasıdır denir. Split kuaterniyonkuaterniyon-ları para kuaterniyonkuaterniyon-lar, antikuaterniyonkuaterniyon-lar, pseudo kuaterniyon hiperbolik kuaterniyon olarak da adlandırılır [12].

Tanım 4.2

Split kuaterniyon k¨umesi,

¸seklinde tanımlanır ve baz elemanlarının ¸carpım tablosu

Tablo 2: Split kuaterniyonun bazlarının ¸carpımı

× 1 i j k 1 1 i j k i i −1 k −j j j −k 1 −i k k j i 1 ¸seklindedir [12]. Tanım 4.3

α = a + bi + cj + dk bir split kuaterniyon olmak ¨uzere, e¸sleni˘gi α = a − bi − cj − dk

normu ise,

N (α) = αα = a2+ b2− c2_{− d}2

¸seklinde tanımlanır [12].

Split Pell kuaterniyon n ≥ 0; {1, i, j, k} standart baz alınarak SPn= Pn+ Pn+1i + Pn+2j + Pn+3k

ile tanımlanır [12].

Negatif indisli Pell sayıları i¸cin P−n = (−1)n+1Pn ¨ozde¸sli˘ginden yararlanarak,

negatif indisli split Pell kuaterniyonu SP−n= (−1)n(Pn+1SP0− PnSP1)

γ = 1 +√2 ve δ = 1 −√2 olmak ¨uzere; split Pell kuaterniyon Binet form¨ul¨u SPn=

γnγ∗− δn_δ∗

γ − δ (4.1)

¸seklinde tanımlanır [12].

Split Pell-Lucas kuaterniyonu

SP Ln = P Ln+ P Ln+1i + P Ln+2j + P Ln+3k

ile tanımlanır.

γ = 1+√2 ve δ = 1−√2 olmak ¨uzere; Split Pell-Lucas kuaterniyon Binet form¨ul¨u SP Ln =

γn_γ∗_{+ δ}n_δ∗

γ + δ (4.2)

¸seklinde tanımlanır.

Negatif indisli split Pell-Lucas kuaterniyonu ise SP L−n = (−1)n(Pn+1SP L0− PnSP L1)

dır [12].

S¸imdi ileride hesaplamalarda kullanaca˘gımız bazı ¨ozellikleri bir lemma ile verelim.

Lemma 4.4 γ = 1 +√2, δ = 1 −√2, γ∗ = 1 + γi + γ2_{j + γ}3_{k ve δ}∗ _{= 1 + δi + δj}2_{+ δ}3_{k ve λ =} i − 2j + k olmak ¨uzere, (γ∗)2 = 112 + 80√2 + 2SP L0+ 2 √ 2SP0 (4.3) (δ∗)2 = 112 − 80√2 + 2SP L0− 2 √ 2SP0 (4.4) (γ∗δ∗) = 2SP L0+ 2 √ 2λ (4.5)

dır [12]. ˙Ispat (γ∗)2 = 1 + γi + γ2j + γ3k
1 + γi + γ2j + γ3k
= 1 + γi + γ2j + γ3k + γi + γ2i2+ γ3ij + γ4ik + γ2j + γ3ji + γ4j2 +γ3k + γ4ki + γ5kj + γ6k2 = 1 + 2γi + 2γ2j + 2γ3k − γ2+ γ4+ γ6 = 1 + 2(γi + γ2j2+ γ3k) − 3 − 2√2 + 17 + 12√2 + 99 + 70√2 = 1 + 2[1 +√2i +3 + 2√2j +7 + 5√2k] + 113 + 80√2 = 112 + 80√2 + 2 + 2i + 6j + 14k + 2√2i + 4√2j + 10√2k = 112 + 80√2 + 2 (1 + i + 3j + 7k) + 2√2 (i + 2j + 5k) = 112 + 80√2 + 2SP L0+ 2 √ 2SP0 = 112 + 80√2 + 2SP L0+ 2 √ 2SP0 (δ∗)2 = 1 + δi + δ2j + δ3k
1 + δi + δ2j + δ3k
= 1 + δi + δ2j + δ3k + δi + δ2i2+ δ3ij + δ4ik + δ2j + δ3ji + δ4j2+ δ5jk + +δ3k + δ4ki + δ5kj + +δ6k2 = 1 + 2δi + 2δ2j + 2δ3k − δ2+ δ4+ δ6 = 1 + 2(δi + δ2j + δ3k) − 3 + 2√2 + 17 − 12√2 + 99 − 70√2 = 1 + 2(δi + δ2j + δ3k) + 113 − 80√2 = 1 + 2[1 −√2i +3 − 2√2j +7 − 5√2k] + 113 − 80√2 = 1 + 2i − 2√2i + 6j − 4√2j + 14k − 10√2k + 113 − 80√2 = 112 − 80√2 + 2 + 2i + 6j + 14k − 2√2 (i + 2j + 5k) = 112 − 80√2 + 2SP L0− 2 √ 2SP0 = 112 − 80√2 + 2 (1 + i + 3j + 7k) − δ2(i + 2j + 5k) = 112 − 80√2 + 2SP L0− 2 √ 2SP0

γ∗δ∗ = 1 + γi + γj2+ γ3k
1 + δi + δ2j + δ3k

= 1 + δi + δ2j + δ3k + γi + γδi2+ γδ2ij + γδ3ik + γ2j +γ2δji + γ2δ2j2+ γ2δ3jk + γ3k + γ3δki + γ3δ2+ γ3δ3k2 = 1 + i (γ + δ) + j γ2+ δ2
+ k γ3 + δ3
− γδji − γδ3j2+ γ3δj +γδ2k − γ2δk − γ2δ3i + γ3δi2+ γ2δ2 + γ3δ3 = 1 + 2i + 6j + 14k − γδ + γ2δ2 + γ3δ3+ i γ3δ2− γ2_δ3
+j γ3δ − γδ3
+ k γδ2− γ2_δ
= 1 + 2i + 6j + 14k + 1 + 1 − 1 + 2√2 (i − 2j + k) = 2 + 2i + 6j + 14k + 2√2 (i − 2j + k) = 2SP L0+ 2 √ 2λ δ∗γ∗ = 1 + δi + δj2 + δ3k
1 + γi + γ2j + γ3k

= 1 + γi + γ2j + γ3k + δi + δγi2+ δγ2ij + δγ3ik + δj2 +δ2γji + δ2γ2j2+ δ2γjk + δ3k = 1 + i (γ − δ) + j γ2− δ2
_{+ k γ}3_{− δ}3
_{− δγ + δ}2_γ2 +δ3γ3+ δγ2− δ2_{γ
k + δ}3_{γ − δγ}3
_{j + δ}3_γ2_{− δ}2_γ3
_i = 1 + 2i + 6j + 14k − (−1) + (+1) + (−1) +−2√2k +4√2j +−2√2i = 2 + 2i + 6j + 14k − 2√2 (i − 2j + k) = 2SP L0− 2 √ 2λ  Sonu¸c 4.5 γ = 1 +√2, δ = 1 −√2, γ∗ = 1 + γi + γ2_{j + γ}3_{k ve δ}∗ _{= 1 + δi + δj}2_{+ δ}3_{k ve λ =}

i − 2j + k olmak ¨uzere,

γ∗δ∗+ δ∗γ∗ = 4SP L0 (4.7)

(γ∗)2+ (δ∗)2 = 224 + 4SP L0 [12]. (4.8)

Split Pell ve Split Pell-Lucas kuaterniyonları i¸cin Catalan, Cassini ve d’Ocagne ¨

ozde¸sliklerini ve ispatlarını verelim.

Teorem 4.6 (Catalan ¨Ozde¸slikleri)

Her n, r ∈ Z i¸cin, λ = i − 2j + k olmak ¨uzere, SPn+rSPn−r − SPn2 = (−1) n−r+1_2P2 rSP L0+ λP2r  ve SP Ln+rSP Ln−r − SP L2n = −2[SPn+rSPn−r − SPn2] dır [12].

˙Ispat

Split Pell kuaterniyonlarında Catalan ¨ozde¸sli˘gi

SPn+rSPn−r− SPn2 = γn+rγ∗ − δn+r_δ∗ 2√2 γn−rγ∗− δn−r_δ∗ 2√2 − γnγ∗− δn_δ∗ 2√2 γnγ∗− δn_δ∗ 2√2 = 1 8[(γ 2n_(γ∗ )2− γn+r_γ∗ δn−rδ∗− δn+r_δ∗ γn−rγ∗+ δ2n(δ∗)2 −γ2n_(γ∗ )2+ γnγ∗δnδ∗+ δnδ∗γnγ∗− δ2n_(δ∗ )2)] = 1 8−γ n+r_δn−r_γ∗ δ∗− δn+r_δ∗ γn−rγ∗ − [γn_γ∗ δnδ∗− δn_δ∗ γnγ∗] = 1 8(−1) n γn−rδn−r γ2rγ∗δ∗+ δ2rδγ∗
 + [γnδn(γ∗δ∗+ δ∗γ∗)] = 1 8(−1) n−r+1h γ2r2SP L0+ 2 √ 2λ+ δ2r2SP L0− 2 √ 2λi + (−1)n4SP L0 = 1 8[(−1) n−r+1 2.2SP L0 (γ2r_{+ δ}2r₎ 2 + 2 √ 2λ(γ 2r_{− δ}2r₎ 2√2 2 √ 2 + (−1)n4SP L0] = 1 8[16 (−1) n−r+1 SP L0Pr2+ (−1) n+1 4SP L0 + (−1)n−r+18P2r+ (−1)n4SP L0] = (−1)n−r+12P_r2SP L0+ λP2r 

SP Ln+r.SP Ln−r − SP L2n = ( γn+r_γ∗_{+ δ}n−r_δ∗ 2 γn−1_γ∗_{− δ}n−1_δ∗ 2 ) − ( γn_γ∗_{+ δ}n_δ∗ 2 ) 2 = 1 4[(γ 2n_(γ∗ )2+ γn+rγ∗δn−rδ∗+ δn+rδ∗γn−rγ∗+ δ2n(δ∗)2 −γ2n_(γ∗ )2− γn_γ∗ δnδ∗− δn_δ∗ γnγ∗− δ2n_(δ∗ )2)] = 1 4[γ n+r_γ∗ δn−rδ∗+ δn+rδ∗γn−rγ∗− γn_γ∗ δnδ∗− δn_δ∗ γnγ∗] = 1 4γ n−r_δn−r _γ2r_γ∗ δ∗+ δ2rδ∗γ∗
+ (−1)n+1(4SP L0)  = 1 4[(−1) n−r_γ2r_{(4SP L} 0P L2r) + δ2r(8λP2r) −(−1)n_{4SP L} 0] = 1 4(−1) n−r_{(4SP L} 0P L2r+ 8λP2r) − (−1)n4SP L0  = (−1)n−rSP L0P L2r+ 2λP2r − (−1)nSP L0 4P_r2 = P L2r− (−1) r ve P L2r = 4Pr2+ (−1) r ¨ ozde¸sliklerinden yararlanılarak SP Ln+r.SP Ln−r− SP L2n= −2SPn+rSPn−r− SPn2  elde edilir.

Catalan ¨ozde¸sli˘ginin r = 1 hali Cassini ¨ozde¸sli˘gidir.

Sonu¸c 4.7 (Cassini ¨Ozde¸slikleri)

Her n ∈ Z ve λ = i − 2j + k i¸cin Cassini ¨ozde¸sli˘gi SPn+1SPn−1− SPn2 = (−1) n_{[2SP L} 0+ 2λ] ve SP Ln+1SP Ln−1− SP L2n= 4(−1) n−1_{[SP L} 0+ λ] dır [12].

Teorem 4.8 ( d’Ocagne ¨Ozde¸slikleri) Her n, m ∈ Z ve λ = i − 2j + k i¸cin, SPm+1SPn− SPmSPn+1 = 2 (−1) m (Pn−mSP L0− λP Ln−m) SP Lm+1SP Ln− SP LmSP Ln+1 = 4 (−1) m+1 (Pn−mSP L0− λP Ln−m) dır [12].

˙Ispat

Split Pell kuaterniyonlarının Binet form ˜A1₄l ˜A1₄nden

SPm+1SPn− SPmSPn+1 = ( γm+1_γ∗_{− δ}m+1_δ∗ 2√2 γn_γ∗_{− δ}n_δ∗ 2√2 )  γm_γ∗_{− δ}m_δ∗ 2√2  (γ n+1_γ∗_{− δ}n+1_δ∗ 2√2 ) = 1 8[γ m+n+1_(γ∗ )2− γm+1_γ∗ δnδ∗− δm+1_δ∗ γnγ∗ +δm+n+1(δ∗)2− γm+n+1_(γ∗ )2+ γmγ∗δn+1δ∗+ δmδ∗γn+1γ∗ −γm+n+1_(γ∗ )2+ γmγ∗δn+1δ∗ + δmδ∗γn+1γ∗ −δm+n+1_(δ∗ )2] = 1 8[−γ m+1_γ∗ δnδ∗− δm+1_δ∗ γnγ∗+ γmγ∗δn+1δ∗ +δmδ∗γn+1γ∗] = 1 8[ γ m_γ∗ δn+1δ∗− γm+1_γ∗ δnδ∗
+ δmδ∗γn+1γ∗− δm+1_δ∗ γnγ∗
] = 1 8[((−1) m δn−mγ∗δ∗−2√2) +((−1)mγn−mδ∗γ∗−2√2] = 1 8(−1) m (−2√2)δn−m_(γ∗ δ∗) − γn−m(δ∗γ∗) = 1[ 8 (−1) m (−2√2)δn−m2SP L0+ 2 √ 2λ −γn−m_{2SP L} 0− 2 √ 2λ] = 1 8[(−1) m (−2√2) − 2SP L02 √ 2(−δ n−m_{+ γ}n−m₎ 2√2 +2√2λ2 (δ n−m_{+ γ}n−m₎ 2 ] = 1 8(−1) m (−2√2)h−4√2SP L0.Pn−m+ 4 √ 2λP Ln−m i = 2 (−1)m(SP L0Pn−m− λP Ln−m) bulunur.

Split Pell-Lucas kuaterniyonları i¸cin Binet form¨ul¨unden SP Lm+1SP Ln− SP LmSP Ln+1 = ( γm+1_γ∗_{+ δ}m+1_δ∗ 2 γn_γ∗_{+ δ}n_δ∗ 2 ) −(γ m_γ∗ _{+ δ}m_δ∗ 2 )( γn+1_γ∗_{+ δ}n+1_δ∗ 2 ) = 1 4[γ m+n+1_.(γ∗ )2+ γm+1γ∗δnδ∗ +δm+1δ∗γnγ∗+ δm+n+1(δ∗)2 −γm+n+1_(γ∗ )2 − γm_γ∗ δn+1δ∗ −δm_δ∗ γn+1γ∗− δm+n+1_(δ∗ )2] = 1 4[γ m+1_γ∗ δnδ∗+ δm+1δ∗γnγ∗ −γm_γ∗ δn+1δ∗− δm_δ∗ γn+1γ∗] = 1 4(−1) m [(2√2) (γ∗δ∗) δn−m +(−2√2) (δ∗γ∗) γn−m] = 2 √ 2 4 (−1) m [δn−m2SP L0+ 2 √ 2λ −γn−m_{2SP L} 0− 2 √ 2λ] = √ 2 2 (−1) mh −4√2(SP L0.Pn−m+ 4 √ 2λP Ln−m) i = 4 (−1)m+1(SP L0.Pn−m− λP Ln−m) elde edilir.

Teorem 4.9 (Vajda teoremi)

Her n, m, r ∈ Z , λ = i − 2j + k, i, j, k ∈ Z i¸cin

SPn+mSPn+r − SPnSPn+m+r = 2(−1)n+1Pm(SP L0Pr− λP Lr)

˙Ispat

Split Pell kuaterniyonlarında Vajda teoremi

SPn+mSPn+r− SPnSPn+m+r = [  γn+m_γ∗ _{− δ}n+m_δ∗ 2√2   γn+r_γ∗_{− δ}n+r_δ∗ 2√2  − γ n_γ∗_{− δ}n_δ∗ 2√2   γn+m+r_γ∗_{− δ}n+m+r_δ∗ 2√2  ] = 1 8[γ 2n+m+r γ2∗− γn+mγ∗δn+rδ∗− δn+mδ∗γn+rγ∗ +δ2n+m+rδ2∗− γ2n+m+rγ2∗+ γnγ∗δn+m+rδ∗ +δnδ∗γn+m+rγ∗− δ2n+m+rδ2∗− δ2n+m+rδ2∗] = 1 8[−γ n+m γ∗δn+rδ∗− δn+mδ∗γn+rγ∗ +γnγ∗δn+m+rδ∗+ δnδ∗γn+m+rγ∗] = 1 8(−1) n+1 [γjδ∗γ∗(γm− δm) − δrγ∗δ∗(γm− δm)] = 1 8(−1) n+1 [(γ m_{− δ}m₎ 2√2 2 √ 2[γr(2SP L0− 2λ) −δr_{(2SP L} 0+ 2λ)] = √ 2 4 (−1) n+1_P m[2SP L0 (γr_{− δ}r₎ 2√2 2 √ 2 −2√2λ(γ r_{+ δ}r₎ 2 2] = √ 2 4 (−1) n+1_P m[4 √ 2SP L0Pr− 4 √ 2λP Lr] = 2(−1)n+1Pm(SP L0Pr− λP Lr)

Split Pell-Lucas kuaterniyonlarında Vajda teoremi SP Ln+mSP Ln+r − SP LnSP Ln+m+r = [  γn+m_γ∗_{+ δ}n+m_δ∗ 2   γn+r_γ∗_{+ δ}n+r_δ∗ 2  − γ n_γ∗_{+ δ}n_δ∗ 2   γn+m+r_γ∗_{+ δ}n+m+r_δ∗ 2  ] = 1 4[γ 2n+m+r_γ2∗_{+ γ}n+m_γ∗ δn+rδ∗+ δn+mδ∗γn+rγ∗ +δ2n+m+rδ2∗− γ2n+m+r_γ2∗_{− γ}n_γ∗ δn+m+rδ∗ −δn_δ∗ γn+m+rγ∗− δ2n+m+r_δ2∗_] = 1 4[γ n+m_γ∗ δn+rδ∗+ δn+mδ∗γn+rγ∗− γn_γ∗ δn+m+rδ∗ −δn_δ∗ γn+m+rγ∗] = 1 4(−1) n_[δr_{(2SP L} 0+ 2λ)(γm− δm) −γr_{(2SP L} 0 − 2λ)(γm− δm)] = 1 4(−1) n(γm− δm) 2√2 2 √ 2[−2SP L0 (γr_{− δ}r₎ 2√2 2 √ 2 +2√2λ(γ r_{+ δ}r₎ 2 2] = 1 4(−1) n_P m[−4 √ 2SP L0Pr+ 4 √ 2λP Lr] = √2(−1)n+1Pm[2 √ 2(P Lr− SP L0Pr)] = 4(−1)n+1Pm[λP Lr− SP L0Pr)] 

S¸imdi bazı ¨ozde¸slikleri a¸sa˘gıdaki lemma ile verelim. Lemma 4.10 n, m, r, s ∈ Z ve λ = i − 2j + k olmak ¨uzere 1. SP Ln+1 = SPn+1+ SPn 2. SP Ln = SPn+1− SPn 3. 2SP Ln= SPn−1+ SPn+1 4. 2SPn= SP Ln+1− SP Ln 5. SP L2_n− 2SP2 n = 2 (−1) n SP L0 6. SP2 n+ SP L2n = 3[28P L2n+ 40P2n+₂1SP L0P L2n+ SP0P2n] + ((−1) n 2 SP L0) 7. SP_n2− SP L2 n= −1 2 [56P L2n+ 80P2n+ SP L0P L2n+ 2SP0P2n+ 3 (−1) n SP L0] 8. SPnSP Ln= 56P2n+ 40P L2n+ P2nSP L0+ P L2nSP0+ (−1) n λ 9. SPn+rSP Ln+s− SPn+sSP Ln+r = 2 (−1)n+r+1Ps−rSP L0 10. SP Lm+n+ (−1) n SP Lm−n= 2SLnSP Lm 11. SPm+n+ (−1)nSPm−n = 2P LnSPm 12. (−1)n[Pn−1SPm− PnSPm−1] = SPm−n 13. Pn+1SPn+ PnSPn−1 = SP2n 14. Pn+1SPn+1+ PnSPn = SP2n+1 15. (−1)n[Pn−1SPm− PnSPm−1] = SPm−n 16. SP Lm+n+ (−1)nSP Lm−n= 2P Ln.SP Lm 17. SP L2 n− 2SPn2 = 2 (−1) n SP L0 [12]

˙Ispat

γ = 1 +√2, δ = 1 −√2 olmak ¨uzere (4.1) ve (4.2) den,

1-SPn+1+ SPn = SP Ln+1 oldu˘gunu g¨osterelim.

SPn+1+ SPn =  γn+1_γ∗_{− δ}n+1_δ∗ 2√2  + γ n_γ∗_{− δ}n_δ∗ 2√2  = 1 2√2 γ n+1_γ∗_{− δ}n+1_δ∗ + γnγ∗− δn_δ∗
= 1 2√2[γ n_γ∗_{(γ + 1) − δ}n_δ∗_{(δ + 1)]} = 1 2√2 h 2 + 2√2γnγ∗−2 − 2√2δnδ∗i = 1 2√2 h 2γnγ∗− 2δn_δ∗ +√2γnγ∗+√2δnδ∗i = 1 2√2 2(γn_γ∗_{− δ}n_δ∗₎ 2√2 2 √ 2 + √ 2(γn_γ∗_{+ δ}n_δ∗₎ 2 = 1 2√2 " 2(γn_γ∗_{− δ}n_δ∗₎ 2√2 2 √ 2 + √ 2(γn_γ∗_{+ δ}n_δ∗₎ 2 2 # = 1 2√2 h 4√2SPn+ 2 √ 2SP Ln i

= 2SPn+ SP Ln (3.1) 2SPn = SP Ln+1− SP Ln e¸sitli˘ginden yararlanılarak

= SP Ln+1− SP Ln+ SP Ln

2-SPn+1− SPn = SP Ln oldu˘gunu g¨osterelim. SPn+1− SPn =  γn+1_γ∗ _{− δ}n+1_δ∗ 2√2  − γ n_γ∗_{− δ}n_δ∗ 2√2  = 1 2√2[γ n+1_γ∗ _{− δ}n+1_δ∗_{− γ}n_γ∗ + δnδ∗] = 1 2√2[γ n γ∗(γ − 1) − δnδ∗(δ − 1)] = 1 2√2 h√ 2γnγ∗−−√2δnδ∗i = 1 2√2 h√ 2(γnγ∗+ δnδ∗)i = γ n_γ∗_{+ δ}n_δ∗ 2 = SP Ln.

3-SPn−1+ SPn+1 = 2SP Ln oldu˘gunu g¨osterelim.

SPn−1+ SPn+1 =  γn−1_γ∗_{− δ}n−1_δ∗ 2√2  + γ n+1_γ∗_{− δ}n+1_δ∗ 2√2  = 1 2√2 γ n−1_γ∗_{− δ}n−1_δ∗ + γn+1γ∗− δn+1_δ∗
= 1 2√2  γnγ∗ 1 γ + γ  − δnδ∗ 1 δ + δ  = 1 2√2[(−1)  4 + 2√2 1 − 2√2γnγ∗ − (−1)4 − 2√2   1 + 2√2  δnδ∗] = 1 2√2 h 2√2γnγ∗+ 2√2δnδ∗i = 1 2√22 √ 2 [γnγ∗+ δnδ∗] = γ n_γ∗_{+ δ}n_δ∗ 2 2 = 2SP Ln.

4-SP Ln+1− SP Ln = 2SPn oldu˘gunu g¨osterelim. SP Ln+1− SP Ln =  γn+1_γ∗_{+ δ}n+1_δ∗ 2  − γ n_γ∗_{+ δ}n_δ∗ 2  = 1 2γ n+1_γ∗_{− γ}n_γ∗_{− δ}n+1_δ∗ + δnδ∗ = 1 2[γ n_γ∗ (γ − 1) + δnδ∗(δ − 1)] = 1 2 h√ 2γnγ∗−√2δnδ∗i = √ 2 2 [γ n_γ∗_{− δ}n_δ∗ ] = 2 (γ n_γ∗_{− δ}n_δ∗₎ 2√2 = 2SPn. 5-SP L2 n− 2SPn2 = 2 (−1) n

SP L0 oldu˘gunu g¨osterelim.

SP L2_n− 2SP2 n =  γn_γ∗_{+ δ}n_δ∗ 2 2 − 2 γ n+1_γ∗_{− δ}n+1_δ∗ 2√2 2 =  γ n_γ∗_{+ δ}n_δ∗ 2   γn_γ∗_{+ δ}n_δ∗ 2  −2 γ n+1_γ∗_{− δ}n+1_δ∗ 2√2   γn+1_γ∗_{− δ}n+1_δ∗ 2√2  = 1 4[(γ n_γ∗ + δnδ∗) (γnγ∗+ δnδ∗) − γn+1_γ∗_{− δ}n+1_δ∗
γn+1γ∗− δn+1_δ∗
_] = 1 4[γ 2n_(γ∗ )2− γn_γ∗ δnδ∗+ δnδ∗γnγ∗ + δ2n(δ∗)2 −γ2n_(γ∗ )2+ γnγ∗δnδ∗+ δnδ∗γnγ∗− δ2n_(δ∗ )2 = 1 4[γ n_γ∗ δnδ∗+ δnδ∗γnγ∗+ γnγ∗δnδ∗+ δnδ∗γnγ∗] = 1 4[2 (γ n_γ∗ δnδ∗) + 2 (δnδ∗γnγ∗)] = 1 2[(−1) n (γ∗δ∗) + (−1)n(δ∗γ∗)] = (−1) n 2 [γ ∗ δ∗+ δ∗γ∗] n

6-SP2

n + SP L2n = 3[28P L2n + 40P2n + ₂1SP L0P L2n + SP0P2n] + ((−1)

n

2 SP L0)

oldu˘gunu g¨osterelim.

SP_n2+ SP L2_n =  γ n_γ∗_{− δ}n_δ∗ 2√2 2 + γ n_γ∗_{+ δ}n_δ∗ 2 2 =  γ n_γ∗_{− δ}n_δ∗ 2√2   γn_γ∗_{− δ}n_δ∗ 2√2  + γ n_γ∗_{+ δ}n_δ∗ 2   γn_γ∗_{+ δ}n_δ∗ 2  = 1 8(γ 2n_.(γ∗ )2 − γn_γ∗ δnδ∗− δn_δ∗ γnγ∗+ δ2n(δ∗)2) +2 8 γ 2n_(γ∗ )2+ γnγ∗δnδ∗+ δnδ∗γnγ∗+ δ2n(δ∗)2
= 1 83 γ 2n (γ∗)2+ δ2n(δ∗)2
+ γnγ∗δnδ∗+ δnδ∗γnγ∗ = 1 83 γ 2n (γ∗)2+ δ2n(δ∗)2
+ γnδn(γ∗δ∗+ δ∗γ∗) = 3 8[ γ 2n (γ∗)2+ δ2n(δ∗)2
] + 1 8[(−1) n (γ∗δ∗+ δ∗γ∗)] = 3 8[ γ 2n (γ∗)2+ δ2n(δ∗)2
] + 1 8[(−1) n (4SP L0)] = 3 8[ γ 2n_(γ∗ )2+ γ2n(δ∗)2
] + [(−1) n 2 SP L0] = 3 8[γ 2n_{112 + 80}√_{2 + 2SP L} 0+ 2 √ 2SP0  +δ2n112 − 80√2 + 2SP L0− 2 √ 2SP0  )] + [(−1) n 2 SP L0] = 3[ 8112.2 γ2n+ γ2n 2 + 80 √ 2.2√2γ 2n_{− γ}2n 2√2 + 2SP L02 γ2n+ γ2n 2 +2√2SP0.2 √ 2γ 2n_{− γ}2n 2√2 ] + [ (−1)n 2 SP L0] = 3 8[224P L2n+ 320P2n+ 4SP L0P L2n+ 8SP0P2n] + [ (−1)n 2 SP L0] =  84P L2n+ 120P2n+ 3 2SP L0P L2n+ 3SP0P2n  + [(−1) n 2 SP L0] = 3  28P L2n+ 40P2n+ 1 2SP L0P L2n+ SP0P2n  + ((−1) n 2 SP L0)

7-SP2 n − SP L2n = −1 2 [56P L2n+ 80P2n+ SP L0P L2n+ 2SP0P2n+ 3 (−1) n SP L0]

oldu˘gunu g¨osterelim.

SP_n2− SP L2 n =  γn_γ∗_{− δ}n_δ∗ 2√2 2 − γ n_γ∗_{+ δ}n_δ∗ 2 2 =  γ n_γ∗_{− δ}n_δ∗ 2√2   γn_γ∗_{− δ}n_δ∗ 2√2  − γ n_γ∗_{+ δ}n_δ∗ 2   γn_γ∗_{+ δ}n_δ∗ 2  = 1 8[(γ 2n_(γ∗ )2− γn_γ∗ δnδ∗− δn_δ∗ γnγ∗+ δ2n(δ∗)2)] −2 8[ γ 2n_(γ∗ )2+ γnγ∗δnδ∗+ δnδ∗γnγ∗+ δ2n(δ∗)2
] = −1 8  γ2n(γ∗)2+ δ2n(δ∗)2
] +3 8[γ n_γ∗ δnδ∗+ δnδ∗γnγ∗  = −1 8  γ2n(γ∗)2+ δ2n(δ∗)2
] +3 8[γ n_δn_(γ∗ δ∗+ δ∗γ∗)  = −1 8 [ γ 2n_(γ∗ )2+ δ2n(δ∗)2
] + 3 8[(−1) n (γ∗δ∗+ δ∗γ∗)] = −1 8 [ γ 2n (γ∗)2+ δ2n(δ∗)2
] + 3 8[(−1) n (4SP L0)] = −1 8 [ γ 2n (γ∗)2+ δ2n(δ∗)2
] + 3 8[(−1) n (4SP L0)] +δ2n  112 − 80√2 + 2SP L0− 2 √ 2SP0  + 12 (−1)nSP L0] = −1 8 [1122 γ2n_{+ γ}2n 2 + 80 √ 2.2√2γ 2n_{− γ}2n 2√2 + 2SP L02 γ2n_{+ γ}2n 2 +2√2SP02 √ 2γ 2n_{− γ}2n 2√2 + 12 (−1) n SP L0] = −1 8 [224P L2n+ 320P2n+ 4SP L0P L2n+ 8SP0P2n+ 12 (−1) n SP L0] = −1 2 [56P L2n+ 80P2n+ SP L0P L2n+ 2SP0P2n+ 3 (−1) n SP L0].

8-SPnSP Ln= 56P2n+ 40P L2n+ P2nSP L0+ P L2nSP0+ (−1)nλ] oldu˘gunu g¨ oste-relim. SPnSP Ln =  γn_γ∗_{− δ}n_δ∗ 2√2   γn_γ∗_{+ δ}n_δ∗ 2  = 1 4√2(γ 2n_.(γ∗ )2+ γnγ∗δnδ∗− δn_δ∗ γnγ∗− δ2n_(δ∗ )2) = 1 4√2(γ 2n_.(γ∗ )2− δ2n_(δ∗ )2) + γnδn(γ∗δ∗− δ∗γ∗) = 1 4√2[(γ 2n_{112 + 80}√_{2 + 2SP L} 0+ 2 √ 2SP0  −δ112 − 80√2 + 2SP L0− 2 √ 2SP0  + (−1)n(γ∗δ∗− δ∗γ∗)] = 1 4√2[112.2 √ 2γ 2n_{− γ}2n 2√2 + 80 √ 22γ 2n_{+ γ}2n 2 +2SP L02 √ 2γ 2n_{− γ}2n 2√2 + 2 √ 2SP0.2 γ2n+ γ2n 2 + (−1) n 4√2λ] = 1 4√2[224 √ 2P2n+ 160 √ 2P L2n+ 4 √ 2SP L0P2n+ 4 √ 2SP0P L2n + (−1)n4√2λ] = [56P2n+ 40 √ 2P L2n+ SP L0P2n+ SP0P L2n+ (−1) n λ].

9-SPn+rSP Ln+s− SPn+sSP Ln+r = 2 (−1)n+r+1Ps−rSP L0 oldu˘gunu g¨osterelim. SPn+rSP Ln+s− SPn+sSP Ln+r =  γn+r_γ∗ _{− δ}n+r_δ∗ 2√2   γn+s_γ∗_{+ δ}n+s_δ∗ 2  − γ n+s_γ∗_{− δ}n+s_δ∗ 2√2   γn+r_γ∗_{+ δ}n+r_δ∗ 2  = 1 4√2[γ 2n+r+s_(γ∗ )2+ γn+rγ∗δn+sδ∗− δn+r_δ∗ γn+sγ∗ −δ2n+r+s_(δ∗ )2− γ2n+r+s_(γ∗ )2 − γn+s_γ∗ δn+rδ∗ +δn+sδ∗γn+rγ∗+ δ2n+r+s(δ∗)2] = 1 4√2[γ n+r_δn+r _δs−r_γ∗ δ∗− γs−r_γ∗ δ∗
+γn+rδn+r −δ∗γ∗γs−r+ δ∗γ∗δs−r
] = 1 4√2[(−1) n+r γ∗δ∗ δs−r − γs−r
+ (−1)n+rδ∗γ∗ δs−r− γs−r
_] = (−1) n+r 4√2 [−γ ∗_δ∗(γs−r− δs−r) 2 √ 2 2√2 −δ∗γ∗(γ s−r _{− δ}s−r_{) 2}√₂ 2√2 ] = (−1) n+r+1 4√2 h γ∗δ∗2√2Ps−r+ δ∗γ∗2 √ 2Ps−r i = (−1) n+r+1 4√2 2 √ 2Ps−r(γ∗δ∗+ δ∗γ∗) = (−1) n+r+1 4√2 .2 √ 2Ps−r(4SP L0) = 2 (−1)n+r+1Ps−rSP L0.

10-SP Lm+n+ (−1)nSP Lm−n = 2SLnSP Lm oldu˘gunu g¨osterelim. SP Lm+n+ (−1)nSP Lm−n =  γm+n_γ∗_{+ δ}m+n_δ∗ 2  + (−1)n γ m−n_γ∗_{+ δ}m−n_δ∗ 2  = 1 2γ m+n_γ∗ + δm+nδ∗+ (γnδn)(γm−nγ∗+ δm−nδ∗) = 1 2γ m+n_γ∗ + δm+nδ∗+ γmδnγ∗+ γnδmδ∗ = 1 2[γ m_γ∗ (γn+ δn) + δmδ∗(δn+ γn)] = 1 2  2 (γn_{+ δ}n₎ 2 2(γm_γ∗ _{+ δ}m_δ∗₎ 2  = 2P LnSP Lm. 11-SPm+n+ (−1) n

SPm−n= 2P LnSPm oldu˘gunu g¨osterelim.

SPm+n+ (−1) n SPm−n =  γm+n_γ∗_{− δ}m+n_δ∗ 2√2  + (−1)n γ m−n_γ∗_{− δ}m−n_δ∗ 2√2  = 1 2√2γ m+n_γ∗_{− δ}m+n_δ∗ + (γnδn)(γm−nγ∗− δm−n_δ∗ ) = 1 2√2γ m+n_γ∗_{− δ}m+n_δ∗ + γmδnγ∗− γn_δm_δ∗ = 1 2√2[γ m_γ∗_(γn_{+ δ}n_{) − δ}m_δ∗_(δn_{+ γ}n_)] = 1 2√2[(γ n_{+ δ}n_{) (γ}m_γ∗_{− δ}m_δ∗ )] = 2 2  (γn+ δn)(γ m_γ∗_{− δ}m_δ∗₎ 2√2  = 2P LnSPm.

12-(−1)n[Pn−1.SPm− Pn.SPm−1] = SPm−n oldu˘gunu g¨osterelim. (−1)n[Pn−1SPm− PnSPm−1] = (−1)n[ γn−1_{− δ}n−1 2√2 γm_γ∗_{− δ}m_δ∗ 2√2 − −γ n_{− δ}n 2√2 γm−1_γ∗_{− δ}m−1_δ∗ 2√2 ] = (−1) n 8 [(γ n+m+1_γ∗_{− γ}n−1_δm_δ∗_{− δ}n−1_γm_γ∗ + δm+n+1δ∗) −(γn+m+1_γ∗_{− γ}n_δm−1_δ∗_{− δ}n_γm−1_γ∗ + δm+n+1δ∗)] = (−1) n 8 [−γ n−1_δm_δ∗_{− δ}n−1_γm_γ∗ + γnδm−1δ∗+ δnγm−1γ∗] = (−1) n 8  γnδmδ∗ 1 δ − 1 γ  + δnγmγ∗ 1 γ − 1 δ  = (−1) n 8 h γnδmδ∗  −2√2  + γnδmδ∗  2√2 i = (−1) n 2√2 8 [−γ n_δm_δ∗ + δnγmγ∗] = (−1) n+1 2√2 8 γ n_δn_(δm−n_δ∗ _{− γ}m−n_γ∗ ) = − (−1) n 2√2 8 [γ n δmδ∗− δnγmγ∗] = (−1) n+1 2√2 8 (−1) n − (γm−nγ∗− δm−nδ∗) = −(−1) 2n+1 2√2 8 " (γm−n_γ∗_{− δ}m−n_δ∗₎₂√₂ 2√2 # = SPm−n.

13-Pn+1SPn+ PnSPn−1 = SP2n oldu˘gunu g¨osterelim. Pn+1SPn+ Pn.SPn−1 =  γn+1_{− δ}n+1 2√2   γn_γ∗ _{− δ}n_δ∗ 2√2  + γ n−1_γ∗_{− δ}n−1_δ∗ 2√2  = 1 8[γ 2n+1_γ∗_{− γ}n+1_δn_δ∗_{− δ}n+1_γn_γ∗ + δ2n+1δ∗+ γ2n−1γ∗ −γn_δn−1_δ∗_{− δ}n_γn−1_γ∗ + δ2n−1δ∗] = 1 8[γ 2n_γ∗  γ + 1 γ  − γn_δn_δ∗  γ + 1 δ  − δn_γn_γ∗  δ + 1 γ  +δ2nδ∗  δ + 1 δ  ] = 1 8 " 22 + √ 2 1 +√2.γ 2n γ∗+ 22 − √ 2 1 −√2.δ 2n δ∗ # = 1 4 h√ 2γ2nγ∗+−√2δ2nδ∗i = √ 2 2.2γ 2n_γ∗_{− δ}2n_δ∗ = 1 2√2γ 2n_γ∗_{− δ}2n_δ∗ = SP2n.

14-Pn+1SPn+1+ PnSPn= SP2n+1 oldu˘gunu g¨osterelim. Pn+1SPn+1+ PnSPn =  γn+1_{− δ}n+1 2√2   γn+1_γ∗_{− δ}n+1_δ∗ 2√2  + γ n_{− δ}n 2√2   γn_γ∗_{− δ}n_δ∗ 2√2  = 1 8[γ 2n+1_γ∗_{− γ}n+1_δn_δ∗_{− δ}n+1_γn+1_γ∗ + δ2n+1δ∗+ γ2nγ∗ −γn_δn_δ∗_{− δ}n_γn_γ∗ + δ2nδ∗] = 1 8[γ 2n_γ∗ γ2+ 1
− γnδnδ∗(γδ + 1) −δn_γn_γ∗ (δγ + 1) + δ2nδ∗ δ2+ 1
] = 1 8[γ 2n_γ∗ 4 + 2√2− γn_δn_δ∗ . (0) − δnγnγ∗. (0) +δ2nδ∗4 − 2√2] = 1 8 " 4 γ 2n_γ∗_{+ δ}2n_δ∗ 2  2 + 2√2.2 √ 2(γ2n_γ∗ _{− δ}2n_δ∗₎ 2√2 # = 1 8[8SP L2n+ 8SP2n] . = SP L2n+ SP2n (3.1) ba˘gıntılarından = SP2n+1 elde edilir.

15-(−1)n[Pn−1SPm− PnSPm−1] = SPm−n oldu˘gunu g¨osterelim. (−1)n[Pn−1SPm− PnSPm−1] = (γnδn)[ γn−1_{− δ}n−1 2√2 γm_γ∗ _{− δ}m_δ∗ 2√2 −γ n_{− δ}n 2√2 γm−1_γ∗_{− δ}m−1_δ∗ 2√2 ] = 1 8(γ n_δn_)[γn+m+1_γ∗ _{− γ}n−1_δm_δ∗_{− δ}n−1_γm_γ∗ + δm+n+1δ∗ −γm+n+1_γ∗ + γnδm−1δ∗+ δnγm−1γ∗ − δm+n+1_δ∗ ] = 1 8(−1) n [−γn−1δmδ∗− δn−1_γm_γ∗ + γnδm−1δ∗ +δnγm−1γ∗] = 1 8(−1) n [γnδmδ∗ 1 δ − 1 γ  + δnγmγ∗ 1 γ − 1 δ  ] = 1 8(−1) n [γnδmδ∗  2√2  + δnγmγ∗  −2√2  ] = −2 √ 2 8 (−1) n_(γn_δn_{) γ}m−n_γ∗ _{− δ}m−n_δ∗
 = −2 √ 2 8 (−1) n (−1)n γ m−n_γ∗_{− δ}m−n_δ∗ 2√2  2√2  = SPm−n.

16-SP Lm+n+ (−1)nSP Lm−n = 2P LnSP Lm oldu˘gunu g¨osterelim.

SP Lm+n+ (−1)nSP Lm−n = ( γm+n_γ∗_{+ δ}m+n_δ∗ 2 ) + (γ n_δn₎₍γm−nγ ∗_{+ δ}m−n_δ∗ 2 ) = 1 2  γm+nγ∗+ δm+nδ∗
+ (γm_γ∗_δn_{+ δ}m_γm_δ∗₎ = 1 2[(γ m_γ∗_(γn_{+ δ}n_{) + δ}m_δ∗_(δn_{+ γ}n_))] = 1 2  2 (γn_{+ δ}n₎ 2 + 2 (γmγ∗+ δmδ∗) 2  = 2P LnSP Lm.

17-SP L2

n− 2SPn2 = 2 (−1) n

SP L0 oldu˘gunu g¨osterelim.

SP L2_n− 2SP_n2 = (γ n_γ∗_{+ δ}n_δ∗ 2 )( γn_γ∗_{+ δ}n_δ∗ 2 ) − 2  γn_γ∗_{− δ}n_δ∗ 2√2   γn_γ∗_{− δ}n_δ∗ 2√2  = 1 4[γ 2n_(γ∗ )2+ γnγ∗δnδ∗ + δnδ∗γnγ∗+ δ2n(δ∗)2 −γ2n_(γ∗ )2+ γnγ∗δnδ∗+ δnδ∗γnγ∗− δ2n_(δ∗ )2] = 1 4[γ n_γ∗ δnδ∗+ δnδ∗γnγ∗+ γnγ∗δnδ∗+ δnδ∗γnγ∗] = 1 4[2 (γ n_γ∗ δnδ∗+ δnδ∗γnγ∗)] = 1 2[(γ n_δn_{) (γ}∗ δ∗ + δ∗γ∗)] = 1 2(−1) n (4SP L0) = 2 (−1)nSP L0. 

KAYNAKLAR

[1] Akyi˘git, M., K¨osal, H.H., Tosun, M. (2014). Split Fibonacci quaternions. Adv. Appl., Clifford Algebr. 23, 535-545.

[2] Anetta, S.L. and Iwona, W. (2016). The Pell Quaternions and the Pell Octo-nions. Adv. Appl. Clifford Algebr.26 (1), 435-440.

[3] C¸ imen, C.B., ˙Ipek.A. (2016). On pell quaternions and Pell-Lucas quaternions. Adv. Appl., Clifford Algebr. 26, 39-51.

[4] Hacısaliho˘glu, H.H. (1983). Hareket Geometrisi ve Kuaterniyonlar Teorisi. An-kara: Gazi ¨Universitesi Yayınları.

[5] Horadam, A.F. (1993). Quaternion recurrence relations. Ulam Q.2, 23-33.

[6] Horadam, A.F. and Mahon, Bro.J.M. (1985). Pell and Pell-Lucas Polynomera

[7] Koshy, T. (2001). Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. Wiley, Canada.

[8] Koshy, T. (2014). Pell and Pell-Lucas Numbers with Applications. Springer, New York.

[9] Swamy, M.N.S. (1973). On generalized Fibonacci quaternions. Fibonacci Q.5, 547-550.

[10] Stakhov, A., Rozin, B. (2006). Theory of Binet formulas for Fibonacci and Lucas p-numbers, Chaos, Solitons & Fractals 27, 1162-1177.

[11] Ta¸s¸cı, D., Yal¸cın, F. (2015). Fibonacci-p quaternions Adv. Appl. Clifford Algebr. 25(1), 245-254.

[12] Toke¸ser, ¨U., ¨Unal, Z. and Bilgici, G. (2016). Split Pell and Pell-Lucas Quater-nions. Adv. Appl. Clifford Algebr. 27(2), 1881-1893.

41

ÖZGEÇMİŞ

Adı Soyadı : Elif ÇAKIR Doğum Yeri ve Yılı : Ankara - 1982 Medeni Hali : Bekar

Yabancı Dili : İngilizce

E-posta : elifcakirr.15@gmail.com

Eğitim Durumu

Lise : Aktepe Lisesi Ankara

Lisans : Karadeniz Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü

Yüksek Lisans : Karadeniz Teknik Üniversitesi Orta Öğretim Matematik Öğrt. Tezsiz Yüksek Lisans

Mesleki Deneyim

İş Yeri : 2016 – Halen GSB Kredi Yurtlar Kurumu

İş Yeri : 2012-2016 Ankara Jale TEZER Eğitim Kurumları İş Yeri : 2008-2012 Ankara TÜMAY Eğitim Kurumları İş Yeri : 2005-2008 Trabzon AKEM Eğitim Kurumları

Buraya resminizin dijital formu gelecek