Üstel fonksiyonları koruyan Bernstein yakınsama yöntemi ile Volterra integral denkleminin nümerik çözümleri

T.C.

DÜZCE ÜN˙IVERS˙ITES˙I

FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙ITÜSÜ

ÜSTEL FONKS˙IYONLARI KORUYAN BERNSTEIN YAKINSAMA

YÖNTEM˙I ˙ILE VOLTERRA ˙INTEGRAL DENKLEM˙IN˙IN

NÜMER˙IK ÇÖZÜMLER˙I

FATMA ERG˙I

YÜKSEK L˙ISANS TEZ˙I

MATEMAT˙IK ANAB˙IL˙IM DALI

DANI ¸SMAN

DOÇ. DR. FUAT USTA

T.C.

DÜZCE ÜN˙IVERS˙ITES˙I

FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙ITÜSÜ

ÜSTEL FONKS˙IYONLARI KORUYAN BERNSTEIN YAKINSAMA

YÖNTEM˙I ˙ILE VOLTERRA ˙INTEGRAL DENKLEM˙IN˙IN

NÜMER˙IK ÇÖZÜMLER˙I

Fatma ERG˙I tarafından hazırlanan tez çalı¸sması a¸sa˘gıdaki jüri tarafından Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK L˙ISANS TEZ˙I olarak kabul edilmi¸stir.

Tez Danı¸smanı Doç. Dr. Fuat USTA Düzce Üniversitesi

Jüri Üyeleri

Doç. Dr. Fuat USTA Düzce Üniversitesi

Doç. Dr. Mahmut AKY˙I ˘G˙IT Sakarya Üniversitesi

Dr. Ö˘gr. Üyesi Merve ˙ILKHAN Düzce Üniversitesi

BEYAN

Bu tez çalı¸smasının kendi çalı¸smam oldu˘gunu, tezin planlanmasından yazımına kadar bütün a¸samalarda etik dı¸sı davranı¸sımın olmadı˘gını, bu tezdeki bütün bilgileri akademik ve etik kurallar içinde elde etti˘gimi, bu tez çalı¸smasıyla elde edilmeyen bütün bilgi ve yorumlara kaynak gösterdi˘gimi ve bu kaynakları da kaynaklar listesine aldı˘gımı, yine bu tezin çalı¸sılması ve yazımı sırasında patent ve telif haklarını ihlal edici bir davranı¸sımın olmadı˘gını beyan ederim.

17/06/2020

TE ¸SEKKÜR

Yüksek Lisans ö˘grenimimde ve bu tezin hazırlanmasında gösterdi˘gi her türlü destek ve yardımdan dolayı çok de˘gerli hocam Doç. Dr. Fuat USTA’ya en içten dileklerimle te¸sekkür ederim.

Tez çalı¸smam boyunca de˘gerli katkılarını esirgemeyen Dr. Ö˘gr. Üyesi Merve ˙ILKHAN’a da ¸sükranlarımı sunarım.

Bu çalı¸sma boyunca yardımlarını ve desteklerini esirgemeyen sevgili aileme ve çalı¸sma arkada¸slarıma sonsuz te¸sekkürlerimi sunarım.

˙IÇ˙INDEK˙ILER

2.1. ˙INTEGRAL DENKLEMLER˙IN SINIFLANDIRILMASI ... 4

2.1.1. Volterra ve Fredholm ˙Integral Denklemleri ... 4

2.1.2. Lineer ve Lineer Olmayan ˙Integral Denklemler... 5

2.1.3. Tekil ve Tekil Olmayan Lineer ˙Integral Denklemler ... 6

2.1.4. Homojen ve Homojen Olmayan ˙Integral Denklemler ... 6

2.1.5. ˙Integro-Diferansiyel Denklemler ... 7

2.1.5.1. Fredholm Integro Diferansiyel Denklemi... 7

2.1.5.2. Voltera ˙Integro-Diferansiyel Denklemi ... 7

3. L˙INEER POZ˙IT˙IF OPERATÖRLER ... 9

3.1. L˙INEER POZ˙IT˙IF OPERATÖRLER ... 9

3.2. L˙INEER VE POZ˙IT˙IF OPERATÖRLER D˙IZ˙IS˙IN˙IN YAKINSAKLIK KO ¸SULLARI... 10

3.3. BERNSTEIN OPERATÖRLER˙I... 11

3.4. ÜSTEL FONKS˙IYONLARI KORUYAN BERNSTEIN T˙IPL˙I OPERATÖRLER... 13

4. ˙INTEGRAL DENKLEMLER˙IN BERSTEIN YAKINSAMA YÖNTEM˙I ˙ILE ÇÖZÜMÜ... 14

4.1. ˙IK˙INC˙I T˙IP VOLTERRA ˙INTEGRAL DENKLEMLER˙IN˙IN NÜMER˙IK ÇÖZÜMÜ ... 14

4.2. B˙IR˙INC˙I T˙IP VOLTERRA ˙INTEGRAL DENKLEMLER˙IN˙IN NÜMER˙IK ÇÖZÜMÜ ... 16

5. HATA ANAL˙IZ˙I ... 18

5.1. ˙IK˙INC˙I T˙IP VOLTERRA ˙INTEGRAL DENKLEM˙I ˙IÇ˙IN HATA ANAL˙IZ˙I ... 18

5.2. B˙IR˙INC˙I T˙IP VOLTERRA ˙INTEGRAL DENKLEM˙I ˙IÇ˙IN HATA ANAL˙IZ˙I 20 6. SONUÇ... 23

7. KAYNAKLAR... 24

KISALTMALAR

B∗_n(u; x) Üstel fonksiyonları koruyan Bernstein operatörü C[a, b] [a, b] aralı˘gında sürekli fonksiyonlar uzayı

L[u; x] L: A → B ye tanımlı lineer operatör

ÖZET

ÜSTEL FONKS˙IYONLARI KORUYAN BERNSTEIN YAKINSAMA YÖNTEM˙I ˙ILE VOLTERRA ˙INTEGRAL DENKLEM˙IN˙IN NÜMER˙IK ÇÖZÜMLER˙I

Fatma ERG˙I Düzce Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi

Danı¸sman: Doç. Dr. Fuat USTA Haziran 2020, 24 sayfa

Bu tez çalı¸smasında, üstel fonksiyonları koruyan Bernstein tipli operatörler yardımıyla, birinci ve ikinci tip Volterra integral denkleminin nümerik olarak çözülmesi hedeflenmi¸stir. Bu amaç do˘grultusunda, ilk olarak nümerik yöntem in¸sa edilmi¸s ve daha sonra bu yöntemin güvenilirli˘gi için hata analizi yapılmı¸stır.

ABSTRACT

NUMERICAL SOLUTION OF VOLTERRA INTEGRAL EQUATIONS UTILIZING BERNSTEIN APPROXIMATION PRESERVING EXPONENTIAL

FUNCTIONS

Fatma ERG˙I Düzce University

Graduate School of Natural and Applied Sciences, Department of Mathematics Master’s Thesis

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Fuat USTA June 2020, 24 pages

In this thesis, numerical solution of first and second kind Volterra integral equation with the help of Bernstein approximation which preserve exponential functions has been presented. In accordance with this purpose, firstly, numerical scheme has been constructed. Then convergence analysis of this method has been provided to validate numerical scheme.

1. G˙IR˙I ¸S

˙Integral denklemler, bilinmeyen u(x) fonksiyonunun integral operatörü altında bulundu˘gu denklem olarak tanımlanır. Uyguamalı bilim dallarında, özellikle fizik ve mühendislik dalının birçok problemlerinde integral denklemlerle kar¸sıla¸sılır. ˙Integral genel olarak çözülmesi daha zor olan denklemlerdir. ˙Integral denklemlerin sınıflandırılması içinde Fredholm ve Volterra integral denklem sistemi mevcuttur. I. tip ve II. tip integral denklem sisteminin çözümü için birkaç standart yöntem mevcuttur. Bu tez çalı¸smasındaki amaç, Volterra integral denklem sisteminin numerik çözümlerini yakla¸sık çözümleri için geli¸stirmek, uygulamak ve önemli özelliklerini ortaya çıkarmaktır.

Bununla birlikte fonksiyonlar teorisinin en çok uygulaması olan dalı yakla¸sım teorisidir. Bu dalın amacı, bir fonksiyon uzayının elemanlarını belirli bir noktada veya normda bu uzayın veya alt uzayının veya ba¸ska bir uzayın elemanlarından olu¸sturulmu¸s dizilerin limiti ¸seklinde gösterimini bulmaktır. Bu durumda bu diziler, verilen uzayın elemanlarını yakla¸stırır veya bu elemanlarla yakla¸sır denir ve dolayısıyla yakla¸sma problemi çözülür. Tabi ki bu durumda yakla¸san dizinin elemanlarının iyi özelliklere sahip olması gerekir. Çünkü amaç, "kötü" elemanları yerine "iyi" elemanlarla yakla¸stırmaktır. Bu tür iyi özellikleri olan elemanlara örnek olarak trigonometrik polinomları, cebirsel polinomları, tam fonksiyonları (tüm düzlemde analitik olan fonksiyonlar), sonsuz basamaktan diferansiyellenebilen fonksiyonları gösterebiliriz. Bu ve benzeri elemanlar yakla¸sma probleminin çözümünde yer alabilir. Fakat genelde fonksiyonları yakla¸stıran en basit yapılar olan lineer pozitif operatörlerin yardımıyla tanımlanabildi˘ginden son kırk yıldır yakla¸sımlar teorisinde lineer pozitif operatörler önemli bir yer tutar. Bu operatörler pozitif fonksiyonları pozitif fonksiyonlara dönü¸stürdüklerinden dolayı monoton operatörlerdir. Bu özellik pozitif operatörler için önemli e¸sitsizlikler ispatlamaya imkan verir.

Yakla¸sımlar teorisinin temeli 1885 yılında K. Weierstrass tarafından ispatlanan bir teoreme dayanır. Bu teoreme "[a, b] kapalı aralı˘gında tanımlanan her sürekli fonksiyona düzgün yakınsayan bir polinomlar dizisi kar¸sılık gelir". Weierstrass’ın bu teoremi çok karma¸sık

oldu˘gundan bir çok matematikçi bu ispatı daha basit ve anla¸sılır kılmak için u˘gra¸smı¸stır. Bu teoremin en basit ve etkili ispatını 1912 yılında S.N. Bernstein vermi¸stir. Günümüzde kendi adı ile de anılan Bernstein polinomlarını tanımlamı¸s ve [a, b] aralı˘gı üzerinde tanımlı sürekli fonksiyonlara bu polinomlarla düzgün yakınsaklı˘gın sa˘glandı˘gını göstermi¸stir. Bu operatör dizileri lineer ve pozitif sınıfına ait oldu˘gundan, bu konu matematikçiler tarafından çok önemli bir ara¸stırma alanı olu¸sturmu¸stur ve bu tipten çalı¸smalar günümüzde popülerli˘gini korumaktadır.

1950’li yıllara gelindi˘ginde ise lineer pozitif operatörler ile fonksiyona yakla¸sımlar teorisi P.P. Korovkin’in ispatladı˘gı teoremle ivme kazanmı¸stır [1]. Kolay ve uygulanabilir kriterler içeren ve lineer pozitif operatörlerle sürekli fonksiyona düzgün yakla¸sımın ¸sartlarını veren bu teoreme göre Andizisinin sürekli fonksiyona düzgün yakınsaması için yakınsaklı˘gın

{1,t,t2_{} fonksiyonları için sa˘glanması yeterlidir denilmi¸stir. Bu teorem matematikçiler}

tarafından bir çok açıdan geni¸sle¸stirilmi¸stir.

1959 yılında P. P. Korovkin’in "Lineer Pozitif Operatörler ve Yakla¸sımlar Teoresi" adlı kitabı Moskova’da Rusça olarak basılmı¸stır. Bu kitap 1960 yılında "Linear Operators and Approximation Theory" adı altında ˙Ingilizce olarak Hindustan Publ. Corporation tarafından Delhi’de basılmı¸stır. Bundan sonra bu teori hemen hemen tüm dünya ülkelerinde büyük merak uyandırmı¸stır. Ve bir çok ülkede Lineer Pozitif Operatörlerin Yakla¸sımlar Teoresine ve Uygulamalarına ait ara¸stırmalar yapılmı¸s ve yapılmaktadır.

Bununla birlikte, Aral [2], yaptıkları çalı¸smada, Korovkin test fonksiyonlarını korumaktansa üstel fonksiyonları koruyan, Bernstein operatörünün modifikasyonunu lietaratüre kazandırmı¸slardır. Bu operatörün yakınsama özellikleri, Aral’ın [2] çalı¸smasında bulmak mümkündür.

Biz bu çalı¸smada, [3] çalı¸smasından esinlenerek, I. ve II. tipli Volterra integral denklemlerinin, üstel fonksiyonları koruyan Bersntein tipli yakınsama yöntemi ile nümerik çözümleri verilmi¸stir. Bununla birlikte verilen yöntemin hata analizide verilerek, yöntem için bir hata üst sınırı verilmi¸stir.

Bu tez çalı¸smasında, bu bölümle birlikte altı bölümden olu¸smu¸stur. ˙Ikinci ve üçüncü bölümde sırasıyla, integral denklemler ve lineer pozitif operatörler hakkında genel bilgiler

verilmi¸stir. Dördüncü bölümde, nümerik yöntem in¸sa edilip, be¸sinci bölümde hata analizi yapılmı¸stır. Altıncı bölümde ise çalı¸sma özetlenmi¸stir.

2. ˙INTEGRAL DENKLEMLER

˙Integral ve integro-diferansiyel denklemler birçok bilimsel alanda ve mühendislikte ortaya çıkar. Uygulamalar, Volterra integral denklemleri ve Volterra integro-diferansiyel denklemler ba¸slangıç de˘ger problemlerinin dönü¸stürülmesinden elde edilebilir. Bununla birlikte, Fredholm integral denklemleri ve Fredholm integro-diferansiyel denklemler türetilmi¸s verilen sınır ko¸sullarıyla birlikte de de˘ger problemleri türetilmi¸stir.

2.1. ˙INTEGRAL DENKLEMLER˙IN SINIFLANDIRILMASI

˙Integral denklemler farklı özelliklerine göre sınıflandırılabilir. u(x) bir bilinmeyenli fonksiyon olmak üzere en genel haliyle

u(x) = f (x) + λ

Z h(x)

g(x)

K(x,t)u(t)dt (2.1)

bir integral denklemdir. Burada h(x) ve g(x) integral limitlerimiz, λ bir sabit, K(x,t) ise iki de˘gi¸skene ba˘glı bir fonksiyon olup çekirdek (kernel) olarak ifade edilir.

2.1.1. Volterra ve Fredholm ˙Integral Denklemleri

˙Integral denklemler integral sınırlarının sabit olmasına göore sınıflandırılır. (2.1)’de integral sınırları sabit ve bilinmeyen u(x) fonksiyonu sadece integral operatörü altında ise

f(x) =

Z b

a

K(x,t)u(t)dt

bu integral denklemi 1.tip Fredholm integral denklem denir. Yine (2.1)’de integral sınırları sabit ve bilinmeyen u(x) fonksiyonu integral operatörü içinde ve dı¸sında ise

u(x) = f (x) + λ

Z b

a

bu integral denklemi 2.tip Fredholm integral denklem denir. Bu iki tür integral denkleme örnek olarak sinx− x.cosx x2 = Z 1 0 sin(xt)u(t)dt u(x) = x +1 2 Z 1 −1 (x − t)u(t)dt

(2.1)’de integral sınırlarından en az biri de˘gi¸sken ve u(x) fonksiyonu sadece integral operatörü altında ise

f(x) =

Z x

a

K(x,t)u(t)dt

bu integral denklem 1.tip Volterra integral denklemi denir. (2.1)’de integral sınırlarından en az biri de˘gi¸sken ve bilinmeyen u(x) fonksiyonu integral operatörü içinde ve dı¸sında ise

u(x) = f (x) + λ

Z x

a

K(x,t)u(t)dt

bu integral denklem 2.tip Volterra integral denklemi denir.

2.1.2. Lineer ve Lineer Olmayan ˙Integral Denklemler

˙Integral denklemler temel kavramlar açısından lineer ve lineer olmayan integral denklemler olarak iki büyük sınıfa ayrılır. u(x) bilinmeyen fonksiyon olmak üzere

u(x) = f (x) +

Z x

a

K(x,t)u(t)dt

integral denkleminde u(x) fonksiyonunun lineer olması halinde integral denkleme lineer integral denklem denir.

u(x) = f (x) +

Z x

a

K(x,t)un(t)dt

integral denkleminde ise u(x) bilinmeyen fonksiyonu n. kuvveti bulundugundan lineer olmayan integral denklem olmaktadır. Örne˘gin

u(x) = 1 −

Z x

0

(x − t)u(t)dt

integral denklemi lineer integral denklemidir.

u(x) = 1 −

Z 1

0

integral denklemi lineer integral denklemidir.

u(x) = 1 +

Z x

0

(1 + x − t)u4(t)dt

integral denklemi lineer olmayan integral denklemidir.

2.1.3. Tekil ve Tekil Olmayan Lineer ˙Integral Denklemler

˙Integral denklemde K(x,t) çekirdek fonksiyonu a < x < b, a < t < b aralı˘gında sürekli ise integral denklem Tekil (Singüler) olmayan bir integral denklemdir.

˙Integral denklemde K(x,t) çekirdek fonksiyonu a < x < b, a < t < b aralı˘gında sürekli de˘gilse integral denkleme Tekil (Singüler) integral denklem denir.

Örne˘gin 0 ≤ a < 1 olmak üzere

f(x) =

Z x

0

u(t)dt (x − t)a

integral denklemi tekil integral denklemdir.

Ayrıca integral sınırlarının en az birinin sonsuz olması halinde de denklem tekil integral denklemdir. Örne˘gin

f(x) =

Z ∞

0

sin(xt)u(t)dt

integral denklemi tekil integral denklemdir.

2.1.4. Homojen ve Homojen Olmayan ˙Integral Denklemler

Bir integral denklem f (x) fonksiyonu içeriyorsa Homojen olmayan integral denklemdir. Örne˘gin

u(x) = f (x) +

Z b

a

K(x,t)u(t)dt

Bir integral denklem f (x) fonksiyonunu içermiyorsa yani f (x) = 0 ise bu integral denkleme homojen integral denkem denir. Örne˘gin,

u(x) =

Z b

a

2.1.5. ˙Integro-Diferansiyel Denklemler

E˘ger bir denklemde bilinmeyen fonksiyonun hem türevi hemde integrali mevcut ise buna integro-diferansiyel denklem denir.

2.1.5.1. Fredholm Integro Diferansiyel Denklemi

E˘ger bir integro-diferansiyel denklemde integral sınırları sabitse buna Fredholm integro-diferansiyel denklemi denir. Fredholm integro-diferansiyel denklemi genel olarak

un(x) = f (x) + λ

Z b

a

K(x,t)u(t)dt

¸seklinde ifade edilebilir. Örnek vermek gerekirse

u0(x) = 1 −1 3x+ Z 1 0 xu(t)dt, u(0) = 0, ve u00(x) + u0(x) = x − sinx − Z π₂ 0 xtu(t)dt u(0) = 0, u0(0) = 1

denklemleri buna örnek gösterilebilir.

2.1.5.2. Voltera ˙Integro-Diferansiyel Denklemi

E˘ger bir integro-diferansiyel denklemde sınırlardan en az biri de˘gi¸sken ise buna Voltera integro-diferansiyel denklemi denir. Volterra integro-diferansiyel denklemi genel olarak

un(x) = f (x) + λ

Z x

0

K(x,t)u(t)dt

¸seklinde ifade edilebilir. Örnek vermek gerekirse

u0(x) = −1 +1 2x 2_{− xe}x₋Z x 0 tu(t)dt u(0) = 0

ve u00(x) + u0(x) = 1 − x(sinx + cosx) − Z x 0 tu(t)dt u(0) = 1, u0(0) = 1

denklemleri buna örnek gösterilebilir. Ayrıca

un(x) = f (x) + λ1 Z x 0 K₁(x,t)u(t)dt + λ2 Z b a K₂(x,t)u(t)dt ve un(x,t) = f (x,t) + λ Z t 0 Z Ω F(x,t, ξ , τ, u(ξ , τ))dξ dτ, (x,t) ∈ Ωx[0, T ]

¸seklindeki integral denklemlere Voltera-Fredholm integro-diferansiyel denklemi denir. Örne˘gin u0(x) = 24x + x4+ 3 − Z x 0 (x − t)u(t)dt − Z 1 0 tu(t)dt u(0) = 0 ve u0(x,t) = 1 + t3−1 2t 2₋1 2t− Z t 0 Z 1 0 (τ − ξ )dξ dτ u(0,t) = t3

3. L˙INEER POZ˙IT˙IF OPERATÖRLER

Bu bölümde çalı¸smamızda kullanaca˘gımız bazı tanımları ve teoremleri verece˘giz. Bunlar çok sık kullanılan lineer pozitif operatörlerin tanımı, lineerlik, pozitiflik, monotonluk ve sınırlılık özellikleri, klasik Bernstein ve üstel fonskiyonları koruyan Bersntein operatörlerinin tanımı, lineer pozitif operatörler dizisinin yakınsaklık ko¸sulları, Weierstrass yakla¸sım teoremi, Korovkin teoremi ve Bernstein operatörünün yakla¸sım özellikleri olacaktır.

3.1. L˙INEER POZ˙IT˙IF OPERATÖRLER

Ave B normlu iki fonksiyon uzayı olsun. E˘ger A dan alınan herhangi bir u fonksiyonuna Bde bir v fonksiyonu kar¸sılık getiren bir T dönü¸sümü varsa bu durumda A uzayında bir operatör tanımlanmı¸s olur ve

T(v) = T (u; x) = T (u(t); x) = v(x)

ile ifade edilir. A uzayı L operatörünün tanım bölgesidir ve A = D(T ) ile ifade edilir. Bu durumda T (u; x) = v(x), B uzayının bir elemanıdır ve bu ¸sekilde v fonksiyonları kümesine T operatörünün de˘ger kümesi denir.

Tanım 3.1. T : A → B bir operatör olsun. ∀u1, u2∈ A ve a, b ∈ R için

T(au1+ bu2; x) = aT (u1; x) + bT (u2; x)

e¸sitli˘gi sa˘glanıyorsa T bir linner operatördür.

Tanım 3.2. T : A → B bir operatör olsun. ∀u ∈ A ve f ≥ 0 için T ( f ) ≥ 0 olması halinde T’ye lineer ve pozitif operatör denir.

Tanım 3.3. T : A → B bir operatör olsun. ∀u1, u2∈ A ve ∀t ∈ R için

özelli˘gine T ’nin monotonluk özelli˘gi denir.

Yardımcı Teorem 3.4. T lineer pozitif operatör ise T operatörü monotondur.

Tanım 3.5. A bir vektör uzayı olsun. ∀a, b ∈ A ve ∀k ∈ R için a¸sa˘gıdaki ¸sartlar sa˘glanıyorsa, reel de˘gerli k · k : A × A → kAk fonksiyonuna A üzerinde bir norm denir.

1. ∀a, b ∈ A için ka + bk ≤ kak + kbk, 2. ∀a ∈ A ve ∀k ∈ R için kkak = |k|kak, 3. a 6= 0 ise kak > 0.

Bu ¸sartlar ile tanımlanan lineer uzayına normlu vektör uzayı denir ve (A, k · k) ile ifade edilir.

Tanım 3.6. A ve B iki normlu uzay ve T : A → B olmak üzere lineer bir operatör olsun. D(T ) operatörün tanım kümesi, k · kAve k · kBde sırasıyla A ve B kümeleri üzerinde tanımlı

normlar olsun. ∀u ∈ D(t) için kukB≤ NkukA olacak ¸sekilde N > 0 pozitif sayısı varsa T

operatörüne sınırlı operatör denir.

Tanım 3.7. C[a, b], [a, b] aralı˘gı üzerinde tanımlı ve sürekli olan fonksiyonlar uzayını ifade eder.

Tanım 3.8. A ve B iki fonksiyon uzayları olmak üzere T : A → B bir lineer operatör olsun.

kT k_A→B= sup kT (u)kB kukA

, kuk_A6= 0 

(3.1)

ile T operatörün normu tanımlanır.

3.2. L˙INEER VE POZ˙IT˙IF OPERATÖRLER D˙IZ˙IS˙IN˙IN YAKINSAKLIK

KO ¸SULLARI

Teorem 3.9. (Weierstrass Yakla¸sım Teoremi) u(x), [a, b] de sürekli bir fonksiyon olsun. Bu durumda, [a, b] de u(x)’e düzenli ¸sekilde yakınsayan bir Pn(x) polinom dizisi

bulunabilir.

Buna ek olarak, lineer ve pozitif operatörlerin yakla¸sımını garanti altına alan teorem Korovkin tarafından verilmi¸stir.

Teorem 3.10. [1] Tnlineer ve pozitif operatör dizisi olsun. φn(x), ϕn(x) ve ψn(x) dizileri

[a, b]’de düzgün olarak sıfıra yakınsasınlar. Bu durumda ∀x ∈ [a, b] için

1. lim n→∞Tn(1; x) = 1 + φn(x), 2. lim n→∞Tn(t; x) = x + ϕn(x), 3. lim n→∞Tn(t 2_{; x) = x}2_{+ ψ} n(x)

durumları sa˘glanıyorsa Tn(u; x) operatörü [a, b]’de u(x)’e düzgün yakınsıyor demektir.

Burada u, [a, b]’de sürekli ve reel eksenin tamamında sınırlı bir fonksiyondur.

3.3. BERNSTEIN OPERATÖRLER˙I

Weierstrass yakla¸sım teoreminin yapısal olarak ispatı 1912 yılında S. Bernstein tarafından verilmi¸stir [4]. ˙Ilk önce Bernstein polinomları olarak bilinen polinom ailesini tanımlayaca˘gız ve sonra düzenli olarak u(x)’e yakla¸stıklarını gösterece˘giz.

Tanımla ba¸slayalım. u(x) fonksiyonu, [0, 1]’de sürekli bir fonksiyon olsun. O halde Bernstein polinomunu B_n(u; x) = n

∑

Yardımcı Teorem 3.11. (Bn)n≥1 Bernstein operatörü olmak üzere, a¸sa˘gıdaki e¸sitlikler

sa˘glanır. 1. Bn(1; x) = 1 2. Bn(t; x) = x 3. Bn(t2; x) = n− 1 n x 2₊x n ˙Ispat. 1. Bn(1; x) = ∑nj=0 n j
xj(1 − x) n− j _{= 1} 2. Bn(t; x) = ∑nj=0  j n  n j
x j_{(1 − x)}n− j_{= 1,} = x ∑nj=1 n−1 j−1
xj−1(1 − x)n− j, = x ∑n−1_j=0 n−1_j
xj(1 − x)n−1− j,

= x[x + (1 − x)]n−1, = x. 3. Bn(t2; x) = ∑nj=0  j n 2 n j
xj(1 − x)n− j= 1, =n−1_n x2∑nj=2 n−2j−2
xj−2(1 − x)n− j+1nx ∑ n j=1 n−1j−1
xj−1(1 − x)n− j, =n−1_n x2(x + (1 − x))n−2+1_nx(x + (1 − x))n−1, =n− 1 n x 2₊x n. Burada,  j n 2_n j  = j n (n − 1)! (n − j)!( j − 1)!, = n− 1 n− 1 j− 1 n (n − 1)! (n − j)!( j − 1)!+ 1 n (n − 1)! (n − j)!( j − 1)!, = n− 1 n n − 2 j− 2  +1 n n − 1 j− 1  e¸sitli˘ginden faydalanılmı¸stır.

A¸sa˘gıdaki yardımcı teoremde bernstein polinomlarının birkaç ek özelli˘ginden ispatsız bir ¸sekilde bahsedilmi¸stir.

Yardımcı Teorem 3.12. Bernstein polinomunun a¸sa˘gıdaki bazı özellikleri verilmi¸stir.

1. Lineerlik: [0, 1] de sürekli olan bütün u1(x), u2(x) fonksiyonları ve ∀a, b ∈ R için,

Bn(au1, bu2; x) = aBn(u1; x) + bBn(u2; x)

2. Monotonluk: ∀x ∈ [0, 1] için u1(x) ≤ u2(x) ise Bn(u1; x) ≤ Bn(u2; x)

3. Pozitiflik: u(x) ≥ 0 ise Bn(u; x) ≥ 0

¸Simdi Voronovskaya tip teoremi Bernstein operatörü için verelim.

Teorem 3.13. [5] u ∈ C2_{[0, 1] ve ∀x ∈ R için}

lim

n→∞2n(Bn(u; x) − u(x)) = x(1 − x)u 00_(x),

e¸sitli˘gi mevcuttur.

3.4. ÜSTEL FONKS˙IYONLARI KORUYAN BERNSTEIN T˙IPL˙I

OPERATÖRLER

Son zamanlarda Bernstein operatörlerinin birçok genelle¸stirilmesi ve modifiyesi literatüre kazandırılmı¸stır [6]. Yakın zamanda ise Aral ve di˘gerleri, klasik Korovkin fonksiyonlarını korumaktansa üstel tipli fonksiyonları koruyan yeni bir Bersntein tipli operatör tanımlamı¸slardır, [2]. Detaylandırmak gerekirse, yeni Bernstein tipli operatör, [0, 1]’ deki her sınırlı fonksiyon ve n ≥ 1, x ∈ [0, 1] için,

B∗_n(u; x) = n

∑

¸seklinde tanımlanmı¸stır. Öyle ki

a_n(x) = e µ x/n−1 eµ /n_{− 1} ve pn, j(x)’de pn, j(x) = n j  xj(1 − x)n− j,

¸seklinde tanımlanır. Burada µ keyfi bir sabittir.

Bu çalı¸smada yazarlar, yeni tanımlanan operatör için yakınsama özelliklerini ifade ve ispat etmi¸slerdir. Bizim bu çalı¸smamızda önemli yer tutan, bu yeni tanımlanmı¸s operatör için Voronovksya tip teorem de ¸su ¸sekilde ifade edilmi¸stir.

Teorem 3.14. u ∈ C2_{[0, 1] ve ∀x ∈ R için}

lim

n→∞2n(B ∗

n(u; x) − u(x)) = x(1 − x)[u00(x) − 3µu0(x) + 2µu(x)] (3.2)

e¸sitli˘gi mevcuttur.

4. ˙INTEGRAL DENKLEMLER˙IN BERSTEIN YAKINSAMA

YÖNTEM˙I ˙ILE ÇÖZÜMÜ

Bu bölümde, Volterra integral denklemlerinin üstel fonksiyonları koruyan Bernstein yakınsama yöntemi ile nasıl çözülece˘ginin nümerik yolunu verece˘giz. Bu amaç do˘grultusunda, sırasıyla ikinci tip ve birinci tip integral denklemleri ele alaca˘gız.

4.1. ˙IK˙INC˙I T˙IP VOLTERRA ˙INTEGRAL DENKLEMLER˙IN˙IN NÜMER˙IK ÇÖZÜMÜ

Takip kolaylı˘gı olması bakımından ikinci tip Volterra integral denklemini yeniden ifade edelim. ˙Ikinci tip Volterra integral denklemi a¸sa˘gıdaki gibi ifade edilir.

u(x) = f (x) + λ

Z x

0

K(x,t)u(t)dt (4.1)

Burada 0 ≤ x ≤ 1 ¸sartı sa˘glanmaktadır. Bu integral denklemi nümerik olarak çözebilmek için Aral ve di˘gerlerinin a˘ga¸sıda verilen ve [2] numaralı çalı¸smada tanımladıkları oparatörü kullanaca˘gız. Bu oparatör B∗_n(u; x) = n

∑

olarak tanımlanır. Bu hedef do˘grultusunda (4.1)’de verilen ikinci tip Volterra integral denklemindeki bilinmeyen fonksiyon olan u(x)’e, (4.2) operatörü yarıdmı ile yakla¸sımda bulunmalıyız. Bu durumda

n

∑

elde edilir. Burada j = 0, 1, · · · , n için u 

j n



de˘gerlerini bulmak için, x’i xi=

i

n+ ε, ile de˘gi¸stirerek yukarıdaki denklemi do˘grusal bir denklem sistemine dönü¸stürüyoruz. Burada i= 0, 1, · · · , n − 1 ve xn= 1 − ε olup, ε iste˘ge ba˘glı olarak de˘gi¸sen çok küçük bir sayıdır.

Böylece xi, i = 0, 1, · · · , n için integral denklemin tekil de˘gerlerinden farklı istedi˘gimiz

de˘gerleri seçebiliriz. Bu ¸sekilde tekillik problemlerini çözeriz. ¸Simdi yukarıda verilen denklem için matris notasyonuna geçi¸s yaparsak,

α x = β

olarak yazılabilir. Burada,

α =  e−µ j/neµ xi_p n, j(an(xi)) − λ Z x_i 0 K(xi, y)e−µ j/neµ ypn, j(an(y))dy  , i, j = 0, 1, · · · , n, ve β =         f(x0) f(x1) .. . f(xn)         , x =         u(0) u(1/n) .. . u(1)        

olup, α, n × n, β ve x ise n × 1 boyutlarında birer matristir. Bu durumda x matrisini elde etmek için, ilk önce α matrisi ve β vektörünü elde edip, hesaplamalar sunucu x vektörünü bulabiliriz. Bu sayede ba¸slangıçta verilen ikinci tip Volterra integral denkleminin çözümüne ula¸smı¸s oluruz.

4.2. B˙IR˙INC˙I T˙IP VOLTERRA ˙INTEGRAL DENKLEMLER˙IN˙IN NÜMER˙IK ÇÖZÜMÜ

Benzer bir ¸sekilde takip kolaylı˘gı olması bakımından birinci tip Volterra integral denklemini yeniden ifade edelim. Birinci tip Volterra integral denklemi a¸sa˘gıdaki gibi ifade edilir.

f(x) =

Z x

0

K(x,t)u(t)dt (4.3)

Bu integral denklemi çözebilmek için (4.3)’de verilen birinci tip Volterra integral denklemindeki bilinmeyen fonksiyon olan u(x)’e, (4.2) operatörü yardımı ile yakla¸sımda bulunmalıyız. Bu durumda n

∑

e¸sitli˘gi elde edilir. Burada j = 0, 1, · · · , n için u_njde˘gerlerini bulmak için, x’i xi=

i n+ ε, ile de˘gi¸stirerek yukarıdaki denklemi do˘grusal bir denklem sistemine dönü¸stürüyoruz. Burada i = 0, 1, · · · , n − 1 ve xn= 1 − ε olup, ε iste˘ge ba˘glı olarak de˘gi¸sen çok küçük

bir sayıdır. Böylece xi, i = 0, 1, · · · , n için integral denklemin tekil de˘gerlerinden farklı

istedi˘gimiz de˘gerleri seçebiliriz. Bu ¸sekilde tekillik problemlerini çözeriz. ¸Simdi yukarıda verilen denklem için matris notasyonuna geçi¸s yaparsak,

α x = β , öyle ki α = Z x_i 0 K(xi, y)e−µ j/neµ ypn, j(an(y))dy  , i, j = 0, 1, · · · , n,

β =         f(x0) f(x1) .. . f(xn)         , x =         u(0) u(1/n) .. . u(1)        

elde ederiz. Burada α, n × n, β ve x ise n × 1 boyutlarında birer matrisdir. Bu durumda x matrisini elde etmek için, ilk önce α matrisi ve β vektörünü elde edip, hesaplamalar sunucu x vektörünü bulabiliriz. Bu sayede ba¸slangıçta verilen birinci tip Volterra integral denkleminin çözümüne ula¸smı¸s oluruz.

5. HATA ANAL˙IZ˙I

Bu bölümde ise bir önceki bölümde anlatılan nümerik yöntemin güvenilirli˘gi için bir hata sınırı bulmaya çalı¸saca˘gız. Yine benzer ¸sekilde bu hata analizleri, sırasıyla ikinci ve birinci tip Volterra integral denklemleri için bulunacaktır.

5.1. ˙IK˙INC˙I T˙IP VOLTERRA ˙INTEGRAL DENKLEM˙I ˙IÇ˙IN HATA ANAL˙IZ˙I

Teorem 5.1. Kabul edelim ki K(x, y) çekirde˘gi [0, 1]2’de iki de˘gi¸skenli sürekli bir fonksiyon, f (x) önceden veilen bir fonksiyon, ve λ sabit bir sayı olsun. E˘ger α > 2 için (Cα_∩L2_{)([0, l])’ye ait olan u(x}

i), (4.1)’de verilen ikinci tip bir Voltera integral denkleminin

çözümü ise a¸sa˘gıdaki hata sınırı

sup xi∈[0,1] |u(x_i) − B∗_n(u_n(x_i))| ≤ 1 8n[kα −1_{k(1 + ∆)ku}00 n− 3µu0+ 2µuk + ku 00 n− 3µu0+ 2µuk]

geçerlidir. Burada α yukarıda verilen matris i¸slemlerinden bulunacak olup, ∆ := sup_x,y∈[0,l] |λ K(x, y)|, xi= i/n, i = 0, 1, · · · , n’dir.

˙Ispat. Biliyoruz ki sup xi∈[0,1] |u(xi) − B∗n(un(xi))| = sup xi∈[0,1] |un(xi) − B∗n(un(xi)) + u(xi) − un(xi)|, ≤ sup xi∈[0,1] |un(xi) − B∗n(un(xi))| + sup xi∈[0,1] |u(xi) − un(xi)|, =: A1+ A2.

A₁için bir üst sınır bulmak için, ilk olarak önceki bölümlerde verdi˘gimiz Voronovskaya tip teoremin sonucundan faydalanaca˘gız. Yani (3.2) ifadesini kullanırsak

A₁ = sup xi∈[0,1] |un(xi) − B∗n(un(xi))|, ≤ 1 2nx(1 − x)ku 00 n− 3µu0+ 2µuk, ≤ 1 8nku 00 n− 3µu0+ 2µuk,

elde edilir. A2için a¸sa˘gıdaki ikinci tip Voltera integral denklemini yazalım.

f(x) = B∗_n(u(x)) − λ

Z x

0

K(x,t)B∗_n(u(t))dt, 0 < x < 1. (5.1)

Benzer prosedürü, un(·) için de uygulayabiliriz. Yani

f_n(x) = B∗_n(un(x)) − λ

Z x

0

K(x,t)B∗_n(un(t))dt, 0 < x < 1 (5.2)

yazabiliriz.

i= 0, 1, · · · , n için (5.1) ve (5.2)’den sırasıyla,

sup xi∈[0,1] |u(xi)| ≤ kα−1k sup xi∈[0,1] | f (xi)|, and sup xi∈[0,1] |un(xi)| ≤ kα−1k sup xi∈[0,1] | fn(xi)|,

bulunabilir. Böylece, i = 0, 1, · · · , n için

sup

xi∈[0,1]

|u(xi) − un(xi)| ≤ kα−1k sup xi∈[0,1]

| f (xi) − fn(xi)| (5.3)

elde ederiz. Sonrasında f (x) = u(x) − λRx

0K(x,t)u(t)dt ve fn(x) = B∗n(u(x)) −

λR₀xK(x,t)B∗_n(u(t))dt, denklemlerini kullanarak

f(x) − fn(x) = u(x) − B∗n(u(x)) − λ Z x 0 K(x,t)[u(t) − B∗_n(u(t))]dt buluruz. Böylece sup x∈[0,1] | f (x) − fn(x)| = sup x,t∈[0,1] |u(x) − B∗_n(u(x)) − λ Z x 0 K(x,t)[u(t) − B∗_n(u(t))]dt| ≤ sup x∈[0,1]

|u(x) − B∗_n(u(x))| + sup

x,t∈[0,1]     λ Z x 0 K(x,t)[u(t) − B∗_n(u(t))]dt     ≤ sup x∈[0,1]

|u(x) − B∗_n(u(x))| + sup

x,t∈[0,1]

|λ K(x,t)[u(t) − B∗_n(u(t))]|

≤ sup

x∈[0,1]

|u(x) − B∗_n(u(x))| + sup

x,t∈[0,1]

|λ K(x,t)| sup

x∈[0,1]

≤ 1 8nku 00 n− 3µu0+ 2µuk + ∆ 1 8nku 00 n− 3µu0+ 2µuk ≤ (1 + ∆) 1 8nku 00 n− 3µu0+ 2µuk,

elde edilir. Burada ∆ := sup_x,t∈[0,1] |λ K(x,t)|’dır. Böylece (5.3) sınırınıda kullanarak

sup xi∈[0,1] |u(x_i) − u_n(x_i)| ≤ kα−1k(1 + ∆) 1 8nku 00 n− 3µu0+ 2µuk,

üst sınırı bulunur. Sonuç olarak A1 ve A2 için üst sınırlar bulunmu¸s olur. Bulunan bu

ifadeleri yeniden düzenlersek

sup xi∈[0,1] |u(xi) − B∗n(un(xi))| ≤ 1 8n[kα −1_{k(1 + ∆)ku}00 n− 3µu0+ 2µuk + ku 00 n− 3µu0+ 2µuk]

bulunur ve ispat tamamlanır.

5.2. B˙IR˙INC˙I T˙IP VOLTERRA ˙INTEGRAL DENKLEM˙I ˙IÇ˙IN HATA ANAL˙IZ˙I

Teorem 5.2. Kabul edelim ki K(x, y) çekirde˘gi [0, 1]2’de iki de˘gi¸skenli sürekli bir fonksiyon, f (x) önceden veilen bir fonksiyon, ve λ sabit bir sayı olsun. E˘ger α > 2 için (Cα_∩L2_{)([0, l])’ye ait olan u(x}

i), (4.1)’de verilen ikinci tip bir Voltera integral denkleminin

çözümü ise a¸sa˘gıdaki hata sınırı

sup xi∈[0,1] |u(xi) − B∗n(un(xi))| ≤ 1 8n[kα −1_k∆ku00 n− 3µu0+ 2µuk + ku 00 n− 3µu0+ 2µuk]

geçerlidir. Burada α yukarıda verilen matris i¸slemlerinden bulunacak olup, ∆ := sup_x,y∈[0,l] |K(x, y)|, xi= i/n, i = 0, 1, · · · , n’dir.

˙Ispat. Biliyoruz ki sup xi∈[0,1] |u(xi) − B∗n(un(xi))| = sup xi∈[0,1] |un(xi) − B∗n(un(xi)) + u(xi) − un(xi)|, ≤ sup xi∈[0,1] |un(xi) − B∗n(un(xi))| + sup xi∈[0,1] |u(xi) − un(xi)|, =: A1+ A2.

A₁için bir üst sınır bulmak için, ilk olarak önceki bölümlerde verdi˘gimiz Voronovskaya tip teoremin sonucundan faydalanaca˘gız. Yani (3.2) ifadesini kullanırsak

A₁ = sup xi∈[0,1] |un(xi) − B∗n(un(xi))|, ≤ 1 2nx(1 − x)ku 00 n− 3µu0+ 2µuk, ≤ 1 8nku 00 n− 3µu0+ 2µuk.

A₂için a¸sa˘gıdaki birinci tip Voltera integral denklemini yazalım.

f(x) =

Z x

0

K(x,t)B∗_n(u(t))dt, 0 < x < 1. (5.4)

Benzer prosedürü, un(·) içinde uygulayabiliriz. Yani

fn(x) =

Z x

0

K(x,t)B∗_n(un(t))dt, 0 < x < 1, (5.5)

yazabiliriz.

i= 0, 1, · · · , n için, (5.4) ve (5.5)’den sırasıyla,

sup xi∈[0,1] |u(xi)| ≤ kα−1k sup xi∈[0,1] | f (xi)|, and sup xi∈[0,1] |un(xi)| ≤ kα−1k sup xi∈[0,1] | fn(xi)|,

bulunabilir. Böylece, i = 0, 1, · · · , n için

sup

xi∈[0,1]

|u(xi) − un(xi)| ≤ kα−1k sup xi∈[0,1]

| f (xi) − fn(xi)| (5.6)

elde ederiz. Sonrasında f (x) = Rx

0K(x,t)u(t)dt and fn(x) = Rx 0K(x,t)B∗n(u(t))dt, denklemlerini kullanarak f(x) − fn(x) = Z x 0 K(x,t)[u(t) − B∗_n(u(t))]dt,

buluruz. Böylece, sup x∈[0,1] | f (x) − fn(x)| = sup x,t∈[0,1] | Z x 0 K(x,t)[u(t) − B∗_n(u(t))]dt| ≤ sup x,t∈[0,1]     Z x 0 K(x,t)[u(t) − B∗_n(u(t))]dt     ≤ sup x,t∈[0,1] |K(x,t)[u(t) − B∗_n(u(t))]| ≤ sup x,t∈[0,1] |K(x,t)| sup x∈[0,1] |u(t) − B∗_n(u(t))dt| ≤ ∆ 1 8nku 00 n− 3µu0+ 2µuk,

öyle ki ∆ := sup_x,t∈[0,1] |K(x,t)| elde edilir. Böylece (5.6) sınırınıda kullanarak, a¸sa˘gıdaki üst sınırı buluruz. sup xi∈[0,1] |u(xi) − un(xi)| ≤ kα−1k∆ 1 8nku 00 n− 3µu0+ 2µuk.

Sonuç olarak A1 ve A2 için üst sınırlar bulunmu¸s olur. Bulunan bu ifadeleri yeniden

düzenlersek sup xi∈[0,1] |u(xi) − B∗n(un(xi))| ≤ 1 8n[kα −1_k∆ku00 n− 3µu0+ 2µuk + ku 00 n− 3µu0+ 2µuk]

6. SONUÇ

Bu tez çalı¸smasında, Volterra integral denklemlerinin üstel fonksiyonları koruyan Bernstein yakınsama yöntemiyle nümerik çözümleri üzerinde durulmu¸stur. Bu amaç do˘grultusunda, öncelikle integral denklemler ve Bernstein yakınsama yöntemi özetlenmi¸s, daha sonra da yakınsama yönteminin Volterra integral denklemine nasıl uyarlanaca˘gı hakkında bir yöntem sunulmu¸stur. Daha sonra bu yöntemin güvenilirli˘gi için hata analizine yer verilmi¸stir.

Bu yöntem ile birlikte, farklı lineer ve pozitif operatörler, Volterra integral denklemlerinin nümerik çözümleri için kullanılabilir. Böylece, farklı özellikteki operatörlerden faydalanılarak farklı integral denklemlerinin nümerik çözümleri bulunabilir.

7. KAYNAKLAR

[1] P. P. Korovkin, “On convergence of linear operators in the space of continuous functions,” Rossiiskaya Akademiya Nauk. Doklady Akademii Nauk, vol. 90, pp. 961–964, 1953.

[2] A. Aral, D. Cardenas-Morales, and P. Garrancho, “Bernstein-type operators that reproduce exponential functions,” Journal of Mathematical Inequalities, vol. 12, no. 3, p. 861–872, 2018.

[3] K. Maleknejad, E.Hashemizadeh, and R.Ezzati, “A new approach to the numerical solution of volterra integral equation by using bernstein’s approximation,” Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, vol. 161, pp. 647–655, 2011.

[4] S. Bernstein, “Demonstration du theoreme de weierstrass, fondee sur le calculus des piobabilitts,” Communications of the Kharkov Mathematical Society, vol. 13, pp. 1–2, 1913.

[5] Z. Walczak, “Bernstein-durmayer type operators,” Acta Mathematica Unıversitatis Ostraviensis, vol. 12, pp. 65–72, 2004.

[6] T. Acar, M. C. Montano, P. Garrancho, and V. Leonessa, “On sequences of j. p. king-type operators,” Journal of Function Spaces, vol. Article ID 2329060, 2019.

ÖZGEÇM˙I ¸S

K˙I ¸S˙ISEL B˙ILG˙ILER

Adı Soyadı : Fatma ERG˙I

Do˘gum Tarihi ve Yeri : Düzce 11.01.1993

Yabancı Dili : ˙Ingilizce

Eposta : fatmacolak8181@gmail.com

Ö ˘GREN˙IM DURUMU

Derece Alan Okul/Üniversite Mezuniyet Yılı

Yüksek Lisans Matematik Düzce Üniversitesi 2020

Lisans Matematik Düzce Üniversitesi 2015