Kesirli integrallerden yararlanarak s-konveks fonksiyonlar için genelleştirilmiş hermite-hadamard tipindeki integral eşitsizlikleri

T.C.

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

KESİRLİ İNTEGRALLERDEN YARARLANARAK

s-KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN

GENELLEŞTİRİLMİŞ HERMİTE-HADAMARD TİPİNDEKİ

İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

FATMA ERTUĞRAL

TEMMUZ 2015 DÜZCE

KABUL VE ONAY BELGESİ

Fatma ERTUĞRAL tarafından hazırlanan Kesirli İntegrallerden yararlanarak s-Konveks Fonksiyonlar İçin Genelleştirilmiş Hermite-Hadamard Tipli İntegral Eşitlikleri isimli lisansüstü tez çalışması, Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu’nun 18.04.2015 tarih ve .. sayılı kararı ile oluşturulan jüri tarafından Matematik Anabilim Dalı’nda Yüksek Lisans Tezi olarak kabul edilmiştir.

Üye (Tez Danışmanı)

Doç. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA Düzce Üniversitesi

Üye

Doç. Dr. Nesip AKTAN Düzce Üniversitesi

Üye

Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ Afyon Kocatepe Üniversitesi

Tezin Savunulduğu Tarih :21.07.2015

ONAY

Bu tez ile Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Fatma ERTUĞRAL’ın Matematik Anabilim Dalı’nda Yüksek Lisans derecesini almasını onamıştır.

Prof. Dr. Haldun MÜDERRİSOĞLU Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

BEYAN

Bu tez çalışmasının kendi çalışmam olduğunu, tezin planlanmasından yazımına kadar bütün aşamalarda etik dışı davranışımın olmadığını, bu tezdeki bütün bilgileri akademik ve etik kurallar içinde elde ettiğimi, bu tez çalışmasıyla elde edilmeyen bütün bilgi ve yorumlara kaynak gösterdiğimi ve bu kaynakları da kaynaklar listesine aldığımı, yine bu olmadığını beyan ederim.

21.07.2015 Fatma Ertuğral

Sevgili Aileme,

Arkadaşlarıma ve tüm sevdiklerime

TEŞEKKÜR

Yüksek lisans öğrenimim ve bu tezin hazırlanmasında süresince gösterdiği her türlü destek ve yardımdan dolayı çok değerli hocam Doç. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA’ya en içten dileklerimle teşekkür ederim.

Bu çalışma boyunca yardımlarını ve desteklerini esirgemeyen sevgili aileme ve çalışma arkadaşlarıma sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

İÇİNDEKİLER Sayfa

TEŞEKKÜR ... i

İÇİNDEKİLER ... ii

SİMGELER VE KISALTMALAR ...iii

ÖZET ... 1

ABSTRACT ... 2

EXTENDED ABSTRACT ... 3

1.GİRİŞ ... 5

1.1.AMAÇ VE KAPSAM ... 5 1.2.GENEL KAVRAMLAR ... 6

2.MATERYAL VE YÖNTEM ... 17

2.1.İKİNCİ ANLAMDA S -KONVEKS FONKSİYONLAR ... 17

2.2.KESİRLİ İNTEGRALLERİN ELDE EDİLİŞ YÖNTEMLERİ ... 29

3.BULGULAR VE TARTIŞMA ... 39

3.1.KESİRLİ İNTEGRALLER İÇİN HERMİTE-HADAMARD EŞİTSİZLİĞİ VE KESİRLİ İNTEGRALLERLE İLİŞKİSİ ... 39

3.2.KESİRLİ İNTEGRALLERDEN YARARLANARAK S-CONVEX FONKSİYONLAR İÇİN GENELLEŞTİRİLMİŞ HERMITE-HADAMARD TİPİNDEKİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ... 49

4.SONUÇLAR VE ÖNERİLER ... 60

5.KAYNAKLAR ... 61

SİMGELER VE KISALTMALAR

' f f in birinci türevi " f f in ikinci türevi f f in mutlak değeri H.-H. Hermite-Hadamard

I R nin içinde bir aralık o

I I nin içi 1

s

K Birinci anlamda s -konveks fonksiyon

2 s

K İkinci anlamda s-konveks fonksiyon

 

a b

L ,

 

a,b aralığında integrallenebilen fonksiyonların kümesi

R Reel Sayılar Kümesi n

R n boyutlu Öklid Uzayı

ÖZET

KESİRLİ İNTEGRALLERDEN YARARLANARAK s-KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN GENELLEŞTİRİLMİŞ HERMİTE HADAMARD

TİPİNDEKİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ

Fatma ERTUĞRAL Düzce Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi

Danışman: Doç. Doç. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA Temmuz 2015, 63sayfa

Konvekslik kavramı ve genelleştirilmiş konvekslik kavramları matematiksel programlamada, mühendislikte, denge problemlerinde, varyasyonel problemlerde ve özellikle optimizasyon teorisinde çok önemli bir yer tutmaktadır. Genelleştirilmiş konvekslik kavramlarından biride s-konvekslik kavramıdır. Bu tezde amacımız kesirli integrallerden yararlanarak s-konveks fonksiyonlar için genelleştirilmiş Hermite-Hadamard tipinde eşitsizlik elde etmektir.

Anahtar sözcükler: Hermite-Hadamard eşitsizliği, s-konveks fonksiyon, Hölder eşitsizliği

ABSTRACT

GENERALIZED HERMITE-HADAMARD TYPE INTEGRAL INEQUALITIES FOR s-CONVEX FUNCTIONS VIA FRACTIONAL INTEGRALS

FATMA ERTUĞRAL Duzce University

Graduate School of Natural and Applied Sciences, Departmant of Matematics Master of Science Thesis

Supervisor: Assoc.Prof.Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA July 2015, 63 pages

Convexity and the generalization of convexity are one of the most important aspects in mathematical programming, optimization theory, equilibrum problems and variational problems. One of generalization convexity is s -convexity.The aim of this thesis, generalized Hermite-Hadamard type integral inequalities for s-convex functions via fractional integrals.

EXTENDED ABSTRACT

GENERALIZED HERMITE-HADAMARD TYPE INTEGRAL INEQUALITIES FOR s-CONVEX FUNCTIONS VIA FRACTIONAL INTEGRALS

FATMA ERTUĞRAL Duzce University

Graduate School of Natural and Applied Sciences, Departmant of Mathematics Master of Science Thesis

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. M.Zeki SARIKAYA July 2015, 62 pages

1. INTRODUCTION:

Inequalities have proven to be one of the most important and far-reaching tools for the development of many branches of mathematics. There are many types of inequalities of importance. Integral and finite difference inequalities with explicit estimates are powerful mathematical appartus which aid the study of the qualitative behavior of solutions of various types of differential, integral and finite difference equations. Because of its usefulness and importance, such inequalities have attracted much attention and a great number of papers, surveys and monographs have appeared in the literature.

2. MATERIAL AND METHODS:

s - convex functions have been introduced by Breckner in (Breckner 1978) and they

play an important role in optimization theory and mathematical economics. Various properties and applicatins of them can be found in (Dragomir and Fitzpatrik 1999).

3. RESULTS AND DISCUSSIONS:

Over the past two decades or so, the field of inequalities has undergone explosive growth. Concerning numerous analytic inequalities, in particular a great many research papers have been written related to the inequalities associated to the names of Cebysev, Grüss, Ostrowski, Hermite-Hadamard and Jensen. A number of surveys and monographs published during the past few years described much of the progress.

4. CONCLUSION AND OUTLOOK:

In this thesis, using functions whose derivatives absolute values are s -convex functions, we obtained new inequalities related to generalized hermite-hadamard type integral inequalities for s-conveks functions via fractional integrals.

1.

GİRİŞ

1.1. AMAÇ VE KAPSAM

Konvekslik, M.Ö. 250 yılında Archimedes’in ünlü π değerini hesaplamasına kadar uzanan basit ve bilinen bir kavramdır. Konveks fonksiyonların sistematik araştırmasına ilk olarak 19. yüzyılın sonlarında rastlanmasına rağmen, 20. yüzyılın ortalarında matematiğin önemli bir alanı olarak görülmeye başlanmıştır. Konvekslik, geometri, analiz, lineer cebir ve topolojide kullanılır ve sayı teorisi, klasik ekstremum problemleri, lineer programlama, oyun teorisi ve eşitsizlikler teorisi (lineer, klasik ve matris) gibi çeşitli konularda önemli rol oynar. Son yüzyılda gelişen disiplini ve artan uygulamalarıyla matematiksel analizin merkezi alanlarından biri olarak yerini almıştır. (Hardy, Littlewood ve Polya 1934) yazılan "Inequalities" adlı eser eşitsizlikler teorisi için temel başvuru kaynağıdır. Okuyucu bu eserde konveks fonksiyonlarla ilgili klasik ve yeni eşitsizlikleri, problemleri, ispat yöntemlerini ve sonuçlar bulabilir. Buna ek olarak (Beckenbach ve Bellman 1965) yazdığı "Inequalities" adlı eser ve (Mitrinovic 1970) de yazdığı "Analytic Inequalities" adlı eseri de söyleyebiliriz. Bu kaynaklar eşitsizlikler teorisini araştırmak isteyen okuyucu için el altında bulunması gereken kaynaklardır.

Analitik eşitsizlikler yaygın olarak matematik ve birçok uygulamalı matematiğin çeşitli dallarında gelişiminin arkasındaki temel itici güçlerinden biri olarak kabul edilmektedir. Eşitsizlikler ile ilgili çalışmalar son on yıldan fazladır matematiğin birçok farklı alanlardaki uygulamalara nasıl büyük bir katkı sağlandığı açıkça ortadadır. Örneğin, Cebysev, Grüss, Yamuk, Ostrowski, Hadamard ve Jensen eşitsizlikler ile ilgili birçok uygulama literatürde çok önemli bir yere sahiptir.

Tezimizin temel taşlarını oluşturan Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler ile ilgili çalışmaların büyük bir kısmı da (Dragomir ve Pearce 2002) tarafından yazılmış olan “Selected Topic on Hermite-Hadamard Inequalities and Applications” isimli kitapta bir araya getirilmiştir.

Bu tezde amacımız kesirli integrallerden yararlanarak s-konveks fonksiyonlar için genelleştirilmiş Hermite-Hadamard tipli integral eşitsizlikleri vererek yukarıda bahsedilen gelişmeler çerçevesinde literatürde bu eşitsizliklerin de yer bulmasını sağlamaktır.

1.2. GENEL KAVRAMLAR

Bu bölümde tezimiz için gerekli olan tanım ve teoremler verilerek gerekli görülen bazı önemli teoremlerin ispatları da verilmiştir.

Tanım 1.2.1. (Konveks Fonksiyon) Her u,vI ve t

 

0,1 için,

) ( ) 1 ( ) ( ) ) 1 ( (tu t v tf u t f v f     

eşitsizliğini sağlayan f : I RR fonksiyonuna konveks fonksiyon denir (eşdeğer olarak t ,

 

0,1 aralığında da seçilebilir). Geometrik olarak bu eşitsizlik, f

fonksiyonunun grafiği kirişlerinin altından geçer anlamındadır. Aşağıdaki kriterler konveks fonksiyon tanımına eşdeğerdir.

a) I aralığı üzerinde f fonksiyonunun konveks olması için gerek ve yeter şart herhangi bir cI noktası için, f

    

x  f c / xc



fonksiyonunun Iaralığında artan

olmasıdır.

b) f :

 

a,b R fonksiyonunun konveks olması için gerek ve yeter şart her

 

a b x c,  , için,

   

x f c g

 

t dt f x c



 

olacak şekilde g :

 

a,b R artan fonksiyonun olmasıdır.

c) f diferansiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere, f in konveks olması için gerek ve yeter şart f' fonksiyonunun artan olmasıdır.

d) f",

 

a,b de mevcut olsun. Bu durumda f nin konveks olması için gerek ve yeter şart f"

 

x 0 olmasıdır.

e) f :

 

a,b R fonksiyonunun konveks olması için gerek ve yeter şart her

 

a b

x₀ , için f fonksiyonun en az bir support doğrusuna sahip olmasıdır. Yani

 

x f

  

x x x



x

 

a b

f  0   0   ,

eşitsizliğini sağlamasıdır. Burada , x₀ a bağlıdır ve eğer f' varsa o zaman

 

0

' x f 

 ya da f'

 

x0  f'

 

x0 ise 



f'

 

x0 ,f'

 

x0



dir.

f) f :

 

a,b R fonksiyonunun konveks olması için gerek ve yeter şart P,Q ve R noktaları f fonksiyonun grafiği üzerinde herhangi üç nokta olmak üzere,

imQR g e imPR g e imPQ g e     eşitsizliğinin sağlanmasıdır.

Şimdi konveks fonksiyonların bazı özelliklerini verelim : i. Kapalı aralıkta tanımlı konveks fonksiyon sınırlıdır.

ii. f : IR konveks fonksiyon ise, I ( I nın içi) inde herhangi bir

 

a,b kapalı aralığında Lipschitz şartını sağlar. Bu nedenle f fonksiyonu

 

a,b aralığında da mutlak sürekli ve 

I de süreklidir.

iii. f : IR konveks fonksiyon ise, I de  f'_

 

x ve f'_

 

x vardır ve artandır. iv. f : I R fonksiyonu I açık aralığında konveks ise, sayılabilir bir E kümesi haricinde f' mevcuttur ve süreklidir.

v. k tane fonksiyon Rn R de konveks fonksiyonlar olsun. Bu takdirde;

 

x a f

 

k a



j k



f _{j j j} k j ,..., 3 , 2 , 1 , 0 , 1     



 fonksiyonu da konvekstir.

vi. g :RR azalmayan ve konveks fonksiyon ayrıca h :Rn R konveks fonksiyon olsun. Bu takdirde; f :Rn R, f

  

x  gh

 

x olarak tanımlanan f bileşke fonksiyonu da konvekstir.

vii. g :Rm R konveks ve h :Rn R fonksiyonu h

 

x  AxB formunda konveks olmak üzere (Burada A uygun matristir.)

 

x g

 

h

 

x f 

fonksiyonu konveks fonksiyondur. (Pečarić ve diğ. 1992)

Teorem 1.2.2. (Jensen Eşitsizliği) f fonksiyonu

 

a,b aralığında konveks ve

 

a b xi , olsun. Bu durumda i 0 ve 1 i 1 n i  ise, ) ( 1 1 i i n i i i n i x f x f







          eşitsizliği geçerlidir. (Pečarić ve diğ. 1992)

İspat. f fonksiyonu her x0

 

a,b için bir suport doğruya sahiptir. Yani her x0 noktası için f

    

x  f x₀ m xx₀



olacak şekilde x₀ a bağlı bir m noktası vardır. Bu eşitsizlikte özel olarak i1,2,...,n içinx0 in1_ix_i seçilirse,

    

x f x0 m x x0



f _i   _i

eşitsizlikleri elde edilir. Bu eşitsizlikler i ile çarpılır, taraf tarafa toplanır ve düzenlenirse Jensen Eşitsizliği elde edilir.

Teorem 1.2.3 (AO-GO Eşitsizliği) Eğer her i1,2,...,n için xi 0, i 0 ve 1 1   i n i  ise, i i n i i n i x xi







   1 1

İspat. En az bir i için x_i 0 ise ispat aşikârdır. x_i 0 durumunda, y_i logx_i seçilirse,       





  i i n i i n i y xi  1 1 exp

olup f

 

t et fonksiyonu R’de konveks olduğundan Jensen Eşitsizliğini uygularsak,

 

i i n i i i n i i i n i i n i x y f y f x i    









             1 1 1 1

elde edilip ispat tamamlanmış olur. Özel olarak n2, 1, 1 p  _q1 2   , x₁ xp ve q y

x2  seçilirse Young Eşitsizliği olarak bilinen,

q p y q x p xy 1 1

eşitsizliği elde edilir.

Teorem 1.2.4. (Hölder Eşitsizliği) x₁,...,x_n,y₁,...,y_n 0, p,q1 öyle ki 11 1 q p olmak üzere, q p q i n i p i n i i i n i y x y x 1 1 1 1 1 . _            







  

eşitsizliğine Hölder Eşitsizliği denir. Özel olarak pq2 seçilirse yukardaki eşitsizlik Cauchy-Buniakowsky-Schwartz eşitsizliği elde edilir. (Bayraktar 2006)

İspat. Yukardaki eşitsizlikte xi ve yi lerden en az birinin sıfırdan farklı olduğunu düşünebiliriz. O halde



p



p i n i x u 1 1    ve



iq



q n i y v 1 1 

  her ikisi de pozitiftir, Young

q i p i i i v y q u x p v y u x                1 1

elde edilip bu eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa,

1 1 1 1     q p uv y xi i n i

olur. Bu da Hölder eşitsizliğini verir.

Tanım 1.2.5. (İntegraller İçin Hölder Eşitsizliği) p1 ve 11 1 q

p olsun. f ve

g,

 

a,b aralığında tanımlı reel fonksiyonlar f p ve gq,

 

a,b aralığında integrallenebilir fonksiyonlar ise

   

 

p

 

q dx x g dx x f dx x g x f b a q b a p b a 1 1             

_

_



eşitsizliği geçerlidir. (Bayraktar 2006)

Tanım 1.2.6. (Kuvvet Ortalama Eşitsizliği) q1 olsun. f ve g, [ ba, ] aralığında tanımlı reel fonksiyonlar f ve gq, [ ba, ] aralığında integrallenebilir fonksiyonlar ise

q b a q q b a b a dx x g x f dx x f dx x g x f 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( _            









eşitsizliği geçerlidir. (Bayraktar 2006)

Tanım 1.2.7.(Mutlak Süreklilik)

 

a,b aralığının ayrık açık alt aralıklarının birikimi









n i i b a, ₁ için











i i n a b 1 olduğunda,

   

 



i i n a f b f 1

olacak şekilde herhangi bir  0 sayısına karşılık, bir  0 bulunabiliyorsa, f

fonksiyonuna

 

a,b aralığında mutlak süreklidir denir. (Dönmez 2001)

Teorem 1.2.8. (Hermite-Hadamard Eşitsizliği) f :

 

a,b R konveks fonksiyon olmak üzere,

(1.1)

eşitsizliğine Hermite-Hadamard Eşitsizliği denir. Burada f fonksiyonunun konkav olması eşitsizliği tersine çevirir. Klasik Hermite-Hadamard (H.-H.) eşitsizliği bir f :

 

a,b R konveks fonksiyonunun ortalama değerinin hesabını sağlar. (Dragomir ve Pearce 2002)

İspat. f fonksiyonu

 

a,b üzerinde konveks olduğundan, t

 

0,1 için,

) ( ) 1 ( ) ( ) ) 1 ( (ta t b tf a t f b f     

eşitsizliği sağlanır. Bu eşitsizliğin her iki tarafının

 

0,1 aralığında t ye göre

integralini alırsak,





   

2 ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( 1 0 1 0 1 0 b f a f dt b f t dt a tf dt b t ta f   







  



elde ederiz. Diğer yandan, f fonksiyonu

 

a,b üzerinde konveks olduğundan, t

 

0,1 için,



 





f ta t b f t a tb



tb a t b t ta f b a f               _           ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2

 

   

2 1 2 b f a f dx x f a b b a f b a           



eşitsizliği sağlanır. Bu eşitsizliğin her iki tarafının

 

0,1 aralığında t ye göre integralini alırsak,



 















_                        







1 0 1 0 1 0 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 dt tb a t f dt b t ta f dt tb a t f b t ta f b a f

elde ederiz. Bu eşitsizliğin sağ tarafında ikinci integralde 1ts yazarsak soldaki eşitsizlikte



















                      1 0 1 0 1 0 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 dt b t ta f ds b s sa f dt b t ta f b a f buluruz ve buradan





   

2 ) 1 ( 2 1 0 b f a f dt b t ta f b a f           



elde ederiz.





 



1 0 ) 1 ( t b dt ta f integralinde ta

 

1t bx yazarsak,





_

 



   _ b a dx x f a b dt b t ta f (1 ) 1 1 0

olduğunu kolaylıkla görürüz ve böylece ispat tamamlanır.

Tanım 1.2.9. (Birinci Anlamda s-Konveks Fonksiyon) 0s1 olsun. R_:



0,



olmak üzere f :R_ Rfonksiyonuna, her u,vR_ ve , 0 ile s s 1 için,

f



uv



sf

 

u sf

 

v (1.2) şartını sağlıyorsa birinci anlamda s-konveks fonksiyon denir. Reel fonksiyonların bu sınıfı 1

s

K ile gösterilir. (Dragomir ve Pearce 2002)

Teorem 1.2.10. 1 s

K

f  olsun. (1.2) eşitsizliğinin her u ,vR_ ve , 0 ile

1 

 s

s 

 durumlarında sağlanması için gerek ve yeter şart f

 

0 0 olmasıdır.

İspat. Gereklilik uv0 ve   0 alınarak kolaylıkla bulunur. Bu nedenle

 R v u , , , 0 ve 0 ss 1 olduğunu varsayalım. _a s 1   ve _b s 1   olarak alırsak,    1    s s s s b a olur ve buradan













  

  







  

  



 

  

  

 

u f

 

v f f v f b u f a f v f b f u f a v f b u f a v f b u f a v b u a f v u f s s s s s s s s s s s s s s s s s s                                                                         0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 bulunur.

Teorem 1.2.11. 0s1 olsun. 1 s

K

f  şartı sağlanıyorsa f fonksiyonu

 

0, üzerinde azalmayandır ve lim_u0 f

   

u  f 0 dır. İspat. u0 ve 

 

0,1 için,





u f

  

u

    

f u f u f s s                           1 1 1 1 vardır.

 

s





s h 1 1 1      

fonksiyonu

 

0,1 aralığı üzerinde sürekli,

    2 1 ,

0 aralığı üzerinde azalan,

    1 , 2 1 aralığı üzerinde artan ve

 

 

 

_                    , 1 2  ,1 2 1 1 , 0 1 1 s h h h dır. Buradan her        0, 2 ,1 1 1 s t u için, f

   

tu  f u (1.3) olur.        2 ,1 1 1 s t ise o halde        2 ,1 1 1 2 1 s

t dır. Bu durumda her u0 için (1.3) sağlanır ve böylece her u0 için

 

tu f t t u f t u f

 

u f _                      2 1 2 1 2 1

elde ederiz. Tümevarımla, her u0,t



0,1



için

f

   

tu  f u (1.4) buluruz. Bu nedenle, 0uv alarak ve (1.4) uygulayarak

 

v f

 

v v u f u f        .

elde ederiz. Bu da f fonksiyonu

 

0, üzerinde azalmayan demektir. İkinci kısım şu şekilde ispatlanabilir. Her u0 için

 

u f



u 0



f

 

u f

 

0 f     s s geçerlidir ve _  0 u alarak

 

lim

 

lim

 

 

0 lim 0 0 0 f u f u f u f s u s u u       _{ }  _{ }  ve bunun sonucunda

 

 

0 lim 0 f u f u   buluruz.

Teorem 1.2.12. 0s₁,s₂ 1 olacak şekilde 1

1 s K f  ve 1 2 s K g olsun.

a) f azalmayan, g negatif olmayan fonksiyonlar ve f

 

0 0g

 

0 ise f ve g nin

g

f  bileşkesi 1 s

K e aittir öyle ki ss₁.s₂ dır.

b) 0s1,s2 1 olduğunu varsayalım. Eğer f ve g negatif olmayan fonksiyonlar,

 

0 0

f ya da g

 

0 0 ise f ve g nin f .g çarpımı K e aittir öyle ki _s1 smin



s₁,s₂



dir. İspat.

a) u ,vR_, , 0 ve ss₁.s₂ olmak üzere ss 1 olsun. i1,2 için

1 2 1 2 1.  .    s s s s s si  i  

















 

 



 







 





f g

 

u



f g

 

v v g f u g f v g u g f v u g f v u g f s s s s s s s s                       2 1 2 1 2 2 . . elde edilir ki bu 1 s K g f   demektir.

b) Teorem 1.2.11 e göre, f ve g fonksiyonlarının ikisi de

 

0, aralığı üzerinde azalmayandır. Dolayısıyla her vu0 için

   



f u  f v

    



g u g v



0 ya da diğer bir ifadeyle

f

               

u g v  f v g u  f u g u  f v g v (1.5) olur. vu0 ise o halde (1.3) eşitsizliği f ve g negatif olmayan fonksiyonlar ve

   

0 g 0 0

f iken de geçerlidir.

Şimdi u ,vR_, , 0 ve smin



s₁,s₂



olacak şekilde ss 1 olsun. i1,2

için si si ss 1 _{olduğundan ve Teorem 1.2.10 ile (1.5) eşitsizliğinden,}



 



 

 







 

 



   

   

   

   

   



       



   

   

u g u f

   

v g v f v g v f u g v f v g u f u g u f v g v f u g v f v g u f u g u f v g u g v f u f v u g v u f s s s s s s s s s s s s s s s s s s                                      2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 elde edilir ki bu 1 .g K f  demektir.

2.

MATERYAL VE YÖNTEM

2.1. İKİNCİ ANLAMDA S -KONVEKS FONKSİYONLAR

Şimdi ikinci anlamda s-konveks fonksiyonlarla ilgili aşağıdaki bazı sonuçları verelim (Hudzik ve Maligranda 1994).

Tanım 2.1.1. Her u,vR_,  1 olacak şekilde ,0 ve s



0,1



için



u v



f

 

u f(v)

f   s s (2.1)

sağlanıyorsa f : R R fonksiyonuna ikinci anlamda s-konveks fonksiyon denir ve

2 s K f  olarak gösterilir. Önerme 2.1.2. 2 S K

f  ise f ,



0,



üzerinde negatif olmayan bir fonksiyondur. İspat. uR_ için,

 

u f u u f

 

u f

 

u f

 

u f  _s  _s  s        1 2 2 2 2 2

alalım. Buradan



21s1



f

 

u 0 olur ve böylece f

 

u 0 elde edilir. Örnek 2.1.3. 0s1 ve a,b,cR olsun. uR_ için

 

         0 , 0 , : u c bu u a u f s olarak tanımlanan f fonksiyonunda, (i) b0 ve 0ca için f K_s2 (ii) b0 ve c0 için f K_s2 durumlar vardır.

İspat.

(i) nin ispatında açık olmayan iki durum vardır: 1. u,v0 olsun. O halde uv0 olur ve



 

















 





 



 

u f

 

v f c bv c bu c v u b c v u b c v u b c v u b v u f s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s                                        elde edilir.

2. vu0 ve  0 olsun. O halde uv0 olur ve





   

 





  









bv c



f

 

u f

 

v c bv c c v b c v b c v b v f v f s s s s s s s s s s s s s s s                                   0 elde edilir.

(ii) nin ispatı yeterince küçük u değerleri için f negatif olacağından Önerme 2.1.2 den hemen görülür.

Ks2 nin tanımında   1 durumunun eşdeğeri bir şekilde  1 durumu ile

yer değiştirebileceğini bilmek önemlidir.

Şimdi s -konveks fonksiyonlar için önemli olan aşağıdaki teoremi verelim (Hudzik ve Maligranda 1994).

Teorem 2.1.4. f K_s2 olsun. Her u,vR_, , 0 ile  1 durumlarında

İspat.

Gereklilik uv  0 alarak, f

 

0 0 buluruz ve f

 

0 0 olduğundan (Önerme 2.1.2.) f

 

0 0 elde ederiz.

Yeterlilik u,vR_ ve , 0 ile 0   1 olsun. a _ ve b _ alalım. O halde ab_ +_ olur ve buradan









 

 

















  

  







  

  



 

 







  

 

u f

 

v f f b a v f b u f a f v f b f u f a v f b u f a v f b u f v b u a f v u f s s s s s s s s s s s s s s s s s s s                                             0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 elde edilir.

Yukardaki teorem ve K için benzer türdeki teorem 1.2.10 i kullanarak, s -1_s

konveksliğin her iki tanımını aşağıdaki teoremde karşılaştırabiliriz (Hudzik ve Maligranda 1994).

Teorem 2.1.5.

a) 0s1 olsun. Eğer f K_s2 ve f

 

0 0 ise f K1_s dir. b) 0s₁s₂ 1 olsun. Eğer f K_s2 ve f

 

0 0 ise f K1_s dir. İspat.

a) Farz edelim ki f K_s2 ve f

 

0 0 olsun. u,vR_ ve , 0 ile

1 

 s

s 

 için s s 1

olur ve Teorem 2.1.4 den



u v



f

 

u f

 

v

f   s s

b) f K_s2 ve u,vR_, , 0 ile  1 ile olduğunu varsayalım. O halde





 

 

 

u f

 

v f v f u f v u f s s s s 1 1 2 2            olur ki bu 1 1 s K f  demektir.

Teorem 1.2.12 ün kanıtındaki gibi benzer bir ispat kullanılarak aşağıdaki teorem de gösterilebilir (Hudzik ve Maligranda 1994).

Teorem 2.1.6. f fonksiyonu K de azalmayan ve _s2 g fonksiyonu

 

0, aralığı üzerinde negatif olmayan fonksiyonlar olsun. Öyleyse f ve g nin f g bileşkesi

2 s

K e aittir.

-fonksiyonlar için, f : R_ R_ fonksiyonu azalmayan ve sürekli, f

 

0 0 ise

f fonksiyonuna - fonksiyon denildiğinden, aşağıdaki sonuç elde edilir.

Sonuç 2.1.7.  fonksiyonu bir  -fonksiyon ve f , K de bir _s2 -fonksiyon ise





f bileşkesi Ks2 ye aittir.

Aşağıda ikinci anlamda s-konveks fonksiyonlar için H.- H. sonucunun farklı bir gösterimini verelim (Dragomir and Fitzpatrik 1999).

Teorem 2.1.8. f : R_ R_ ikinci anlamda s - konveks bir fonksiyon , s

 

0,1 ve

 R b

a, ile ab olsun. f L₁

 

a,b ise aşağıdaki eşitsizlik vardır:

 

   

1 1 2 2 1            



 s b f a f dx x f a b b a f b a s _(2.2)

İspat. f fonksiyonu ikinci anlamda s-konveks olduğundan, her t

 

0,1 için

 



ta t b



t f

     

a t f b f  1  s  1 s

vardır. Bu eşitsizliği

 

0,1 aralığı üzerinde integrallersek,

 





 

   

   

1 1 1 1 0 1 0 1 0        







s b f a f dt t b f dt t a f b t ta f s s

elde ederiz. xta

 

1t b değişken değiştirmesi ile

 





f

 

x dx a b dt b t ta f b a





1 1  _1 0

olur, böylece (2.2) de ikinci eşitsizlik ispatlanır. (2.2) de birinci eşitsizliği ispatlamak için her x,yI için geçerli olan

   

s y f x f y x f 2 2          (2.3)

eşitsizliğini göz önüne alalım. xta

 

1t b ve y

 

1t atb ile t

 

0,1 olsun. O halde (2.3) eşitsizliğinden, her t

 

0,1 için

 







 



s tb a t f b t ta f b a f 2 1 1 2             

eşitsizliğini elde ederiz. Bu eşitsizliği

 

0,1 aralığı üzerinde integrallersek (2.2) nin birinci kısmını göstermiş oluruz.

Hatırlatma 2.1.9. (2.2) deki ikinci eşitsizlikte s



0,1



için 1₁



 _s

k sabiti mümkün olan en iyi sabittir.

Şimdi f fonksiyonunun

 

a,b aralığı üzerinde Lebesgue anlamında integrallenebilir olduğunu varsayalım ve

 

f tx

 

t a b dx a b t H b a      _{ }   

_

2 1 1 :

olarak verilen H :

 

0,1 R fonksiyonunu göz önüne alalım. Aşağıdaki teorem geçerlidir. (Dragomir and Fitzpatrik 1999).

Teorem 2.1.10. f : I  R_ R fonksiyonu üzerinde ikinci anlamda s-konveks,



0,1





s ve ab olacak şekilde

 

a,b I üzerinde Lebesgue anlamında integrallenebilir olsun. O halde:

i. H fonksiyonu

 

0,1 aralığı üzerinde ikinci anlamda s-konvekstir. ii. Her t

 

0,1 için

 

         2 2 1f a b t H s (2.4) eşitsizliği vardır.

iii. t



0,1



olmak üzere,

 

t min



H₁

   

t ,H₂ t



,t

 

0,1

H (2.5)

eşitsizliği vardır öyle ki

 

 

 

          

_

2 1 1 . 1 b a f t dx x f a b t t H b s a s ve

 



 





 



1 1 1 _{2 2} 2 _         s t tb f t ta f t H b a b a

olarak tanımlanmıştır.

iv. Hˆ

 

t :max



H₁

   

t ,H₂ t



,t

 

0,1 , ise

 

     

,

 

0,1 2 1 2 . 1 1 . ˆ _{ }             f a b t s t s b f a f t t H s s (2.6) eşitsizliği geçerlidir. İspat.

i. t₁,t₂

 

0,1 ve , 0 ile   1 olsun. Sıra ile





























 

1

 

2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ) 1 ( 2 1 1 2 1 1 t H t H dx b a t x t f b a t x t f a b dx b a t x t b a t x t f a b dx b a t t x t t f a b t t H s s s s b a b a b a                           _{ }         _{ }                                                







sağlanır ki bu bize H fonksiyonunun

 

0,1 aralığı üzerinde ikinci anlamda s-konveks olduğunu gösterir.

ii. t



0,1



olduğunu varsayalım. _u_tx

 

1_t a₂b _{değişken değiştirmesi yapılırsa}

 

_

_

   

_{ }

_{ }

du u f q p du u f a b t t H p q b a t tb b a t ta





 _     _   1 1 : 1 2 2 1 olur. Burada

 

1 2 b a t tb p    ve

 

1 2 b a t ta q    dır.

 

                  



2 ₂ 2 2 1 1 1 a b f q p f du u f q p s s p q

elde ederiz ve (2.4) eşitsizliği bulunur.

iii. İkinci H.-H. eşitsizliğini uygulayarak, her t

 

0,1 için

 

   

 







 



 

t H r t ta f t tb f r q f p f du u f q p b a b a p q 2 2 2 1 1 1 1 1              



buluruz. Diğer yandan, her t

 

0,1 ve x

 

a,b için

 

   

                _{ }  2 1 2 1 t a b t f x t f a b tb f s s

olduğu açıktır. Bu eşitsizlik

 

a,b aralığı üzerinde integrallenirse, H₁

 

t için (2.5) elde edilir ve istenen ispatlanır.

iv. Her t

 

0,1 için

 

   

 

   

 

     

                      2 . 1 2 . 1 1 . 1 1 1 _{2 2} 2 b a f s t s b f a f t s f t b f t f t a f t t H s s b a s s b a s s

 

   

1 1    



s b f a f dx x f a b b a ve t

 

0,1 olmak üzere

 

 

                  2 . 1 2 . 1 2 1 f a b s t b a f t s s

olduğunu biliyoruz. Bu da bize

 

     

             2 . 1 2 . 1 1 . 1 b a f s t s b f a f t t H s s

eşitsizliğini verir ve teorem ispatlanır.

Şimdi, f :

 

a,b R fonksiyonunun

 

a,b aralığı üzerinde Lebesgue anlamında integrallenebilir olduğunu varsayalım. O halde

 

:

_

1

_



 

1



,

 

0,1 2     





f tx t y dxdyt a b t F b a b a

fonksiyonunu göz önüne alalım.

Aşağıdaki teorem bu fonksiyonun temel özelliklerini içerir (Dragomir and Fitzpatrik 1999).

Teorem 2.1.11. f : I R_ R_ ikinci anlamda s-konveks bir fonksiyon , s



0,1



,

I b

a,  ile ab ve f fonksiyonu

 

a,b aralığı üzerinde Lebesgue anlamında integrallenebilir olsun. O halde:

i. Her _s

 

_0,21 _için               s F s F 2 1 2 1 ve her t

 

0,1 için

 

t F

 

t F  1 olur.

ii. F,

 

0,1 aralığı üzerinde ikinci anlamda s-konveks bir fonksiyondur. iii. t

 

0,1 için

 

_

_

f x y dxdy a b F t F b a b a s                





 2 1 2 1 21 ₂ (2.7) eşitsizliği vardır. iv. t

 

0,1 için

 

 

           2 4 2 1H t 1 f a b t F s s eşitsizliği vardır. v. t

 

0,1 için

 

 





 

 



 





 

  





2 1 1 1 , 1 1 min               

_

s b f tb a t f b t ta f a f dx x f a b t t t F b a s s (2.9) eşitsizliği vardır. İspat. i. İspat açıktır.

ii. Teorem 2.1.10'un ispatına benzer şekilde yapılır.

iii. f , I üzerinde ikinci anlamda s- konveks bir fonksiyon olduğundan, her t

 

0,1 ve x,y

 

a,b için

 







 



             2 2 1 1 x y f ty x t f y t tx f s

vardır. Bu eşitsizliği

 

a, b2 üzerinde integral alırsak,

 







 



dxdy y x f dxdy ty x t f dxdy y t tx f b a b a b a b a b a b a s             _{    }













2 1 1 2 1 buluruz. Buradan da

 



tx t y



dxdy f



 

t x ty



dxdy f b a b a b a b a



  





 



1 1

olduğundan dolayı yukardaki eşitsizlik bize istenen sonuç (2.7) yi verir. iv. Öncelikle

 

f



 

t x ty



dx dy a b a b t F b a b a     _{ }    1

_

1

_

1

olarak yazalım. Şimdi

 

a,b aralığı içindeki y sabiti için,

 

f



tx

 

t y



dx a b t H b a y     1



1 :

olarak tanımlanan H_y

 

t :

 

0,1 R fonksiyonunu göz önüne alalım. Teorem 2.1.10 un ispatında gösterildiği gibi, t

 

0,1 için ptb

 

1t y , qta

 

1t y olmak üzere

 

f

 

u du q p t H p q y  _



1 :

eşitliği vardır. H.-H. eşitsizliğini uygulayarak, her t

 

0,1 ve y

 

a,b için

 

 

       _{ }            



f u du f p q f t a b t y q p s s p q 2 ₂ 2 . ₂ 1 1 1 1

elde ederiz. y 'ye göre

 

a,b aralığı üzerinde integrallersek, kolayca her t

 

0,1 için

 

t H

 

t

F 2s1 1

olduğu sonucuna varırız. F

 

t F

 

1t olduğundan, t

 

0,1 için (2.8) eşitsizliği ispatlanır.

v. İkinci anlamda s-konveks bir fonksiyonların tanımından, her x,y

 

a,b ve

 

0,1  t için

 



tx t y



t f

     

x t f y f  1  s  1 s

eşitsizliği vardır. Bu eşitsizliği

 

2 , b

a üzerinde integrallersek, (2.9) eşitsizliğinin ilk kısmını elde ederiz.

Şimdi, H.-H. eşitsizliğinin ikinci kısmından t

 

0,1 , ptb

 

1t y ve

 

t y ta q  1 olmak üzere

 

 



 





 



1 1 1 1         



s y t ta f y t tb f du u f q p t H p q y

gelen eşitsizliği ele alalım. Bu eşitsizliği y ye göre

 

a,b aralığı üzerinde integrallersek

 

_



 







 





_       





f ta t y dy a b dy y t tb f a b s t F b a b a 1 1 1 1 1 1

 





 

   

 



 



1 1 1 1 1 1             





s a t tb f b f s l f r f du u f l r dy y t tb f a b r l b a

olduğunu ve benzer şekilde

 





 



 



,

 

0,1 1 1 1 1         



s t b t ta f a f dy y t ta f a b b a

olduğunu görürüz. Bu da bize (2.9) daki ikinci eşitsizliği verir.

2.2. KESİRLİ İNTEGRALLERİN ELDE EDİLİŞ YÖNTEMLERİ

Kesirli Hesaplamaların başlangıcı nci mertebeden bir tamsayı için türevin anlamının



n tamsayı olmadığında da olabilir mi sorusunun sorulmasıyla başlamıştır. Bu soru 30 Eylül 1695 de L'Hopital tarafından ortaya atılmıştır. Bir gün Leibniz mektubunda DDxnxn

şeklinde f

 

x x fonksiyonun n ci türevini bu sembol ile gösterilmiştir. L'Hopital da adi bir şekilde 2

1



n olduğunda sonucun ne olacağını sormuş ve Leibniz de cevaben "bir paradoks gibi bir gün yararlı bir sonuç olarak ortaya çıkacaktır" demiştir. Bu konu birçok büyük matematikçinin ilgisini çekmiştir. Bunlardan bazıları, Euler, Laplace, Fourier, Lacroix, Abel, Riemann ve Liouville gibi matematikçilerdir.

1819 da Lacroix kesirli türev düşüncesini bir makale olarak ilk yayımlayan matematikçidir. Ona vermiş olduğu tanım aşağıdaki şekilde verelim:

m pozitif tamsayı olmak üzere yxm fonksiyonunu alalım. n ci mertebeden türevini Lacroix





x m n n m m dx y d m n n n     , ! ! (2.10)

şeklinde bulmuş ve Legendre’nin  sembolünü kullanarak genelleşmiş faktöriyel için









m n n n x n m m dx y d        1 1

şeklinde yazılmıştır. Son olarak m1 ve _n₂1 _{için Lacroix}

 x dx y d 2 2 1 2 1 

elde etmiştir. Bununla birlikte kesirli operatörlerin ilk kullanımı Lacroix tarafından değil Abel tarafından 1823 yılında verilmiştir. Abel tautochrone probleminin formülasyonundan ortaya çıkan bir integral denkleminin çözümünde kesirli hesaplamalar uygulamıştır.

Yıllarca birçok matematikçi kendi notasyonlarını ve yaklaşımlarını kullanarak tamsayı olmayan mertebeden integral ve türev fikrine uygun birçok tanım vermişlerdir. Bu tanımlamalardan en popüler olarak ortaya çıkan Riemann-Liouville’ nin tanımı olmuştur. İlginç olan bir kesirli türevin Riemann-Liouville tanımı Lacroix tarafından elde edilen (2.10) denklemine benzer sonuç olmuştur. Riemann-Liouville kesirli integral ve türevin tanımına bakmadan önce bazı önemli matematiksel kavramlar verelim: Bunlar sırasıyla Gamma, beta, error(hata), Mittag-Leffler ve Mellin-Ross fonksiyonlarıdır.

Tanım 2.2.1. (Gamma Fonksiyonu)

 R x için

 

x e ttx1dt 0   



 

olarak tanımlanır. Gamma fonksiyonun önemli bir özelliği





x1



x

 

x,x_R

  

 



N

dır. (2.11) den 

 

1 1 ve          2 1

dır. Ayrıca tam olmayan Gamma fonksiyonu

 

,

_{ }

1 1 ,Re 0 0      



     e x dx t t x t şeklinde tanımlanır.

Tanım 2.2.2. (Beta Fonksiyonu)

 R y x, için

 

x y t

 

t dt B x1 y 1 1 0 1 , 



  

olarak tanımlanır. Beta fonksiyonu gamma fonksiyonu cinsinden

 

   

_

_

_       x y _R y x y x y x B , , , dır.

Burada ilk olarak daha çok kullanılan _cD_x f

 

x x ekseni boyunca keyfi   ci mertebeden f

 

x fonksiyonun kesirli integrali olarak tanımlayacağız. Bu notasyonda

 pozitif reel sayı ve c ve x de integrasyon limitleridir.

 negatif olmayan bir reel sayı olsun. f , J 

 

0, da noktasal sürekli ve

 

  0,

J nın herhangi bir sonlu alt aralığında integrallenebilir olsun. Bu durumda 0



t için   ci mertebeden f nin Riemann-Liouville kesirli integrali

       

1  1 , 0    



    dt t f t x x f D x c x c (2.12)

olarak tanımlanır. (2.12) ifadesi birçok yolla elde edilebilir. Diferansiyel denklemler teorisinde kullanılan bir yaklaşım göz önüne alalım. Bunun için

 

_{ }

_{ }

 

_0,

 

_0,...,  1

_{ }

_0    c y c y c y x f x y n n (2.13)

başlangıç değer problemini göz önüne alalım. Dolayısıyla

  

_



_

! 1 , 1     n t x t x H n (2.14)

Cauchy fonksiyonunu kullanacak olursak,

  

_



_{  }

f t dt n t x x y n x c 1! 1   



 (2.15) nın (2.13) denkleminin bir tek çözümü olduğunu iddia ediyoruz. Bunu göstermek için tümevarım yöntemini kullanalım:

1  n için

     

 , 0  c y x f x y (2.16)

olur. (2.16) denklemini çözersek,

 

t dt



x

_{   }

t



f t dt y x c x c 1 1! 1 1   







 olup y

 

c 0 den

 

x f

 

t dt y x c



