Klasik Doğrusal Regresyon Modelleri İle Standartlaştırılmış Regresyon Modellerinin Karşılaştırılması

M. Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi Yıl:/999, Cilt: XV, Sayı:/, Sayfa:/81-186

KLASİK DOGRUSAL REGRESYON MODELLERİ

İLE

STANDARTLAŞTIRILMIŞ

DOGRUSAL REGRESYON

MODELLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI

Ebru ÇAGLA YAN•

istatistikte ölçüm birimleri farklı olan değişkenler karşılaştırılmak istendiğinde, standartlaştırma işlemine başvurulmaktadır. Standartlaştırma işlemi

farklı ölçüm birimlerindeki serilerin ortalama, varyans gibi ölçülerini ayn'ı standart ölçüye dönüştürdüğünden, hem·farklı serilerin karşılaştırılmasını

sağlamakta, hem de normal dağılım tablosunda olduğu gibi standart tabloların kullanılmasına olanak vermektedir.

Standartlaştırma işlemi serilerin tüm birimlerinden serinin aritmetik ortalamasının çıkartılıp, standart sapmasına bölünmesi ile yapılmaktadır. Bu

şekilde standartlaştırılmış serilerin ortal~maları O ve varyansları 1 olmaktadır. Aslında bu dönüşüm ile yapılan, ekseni sıfırdan aritmetik ortalamaya kaydırıp; ölçeklendirme birimini de standart sapma büyüklüğünde değiştirmektir.

İstatistikte değişken çiftleri arasındaki ilişkiyi belirlemek için kovaryans, korelasyon katsayısı veya regresyon modelleri . kullanılmaktadır. Bu analizler

standartlaştırılmış değişken çiftleri için de yapılabilir. Bilindiği gibi kovaryans standart bir ölçU olmadığından, değişken çiftleri arasındaki ilişkinin yönü ile ilgili bilgi vermektedir. Bu ölçü ilişkinin derecesini belirtmediği gibi farklı

değişken çiftleri arasindaki ilişkilerin karşılaştırılmasına da imkan vermemektedir. Oysa

standartlaştırılmış değişken çiftleri için kovaryansların karşılaştırılması mllmkiin

olmaktadır. Bu durumda standartlaştırılmış değişken çiftleri için kovaryans ile korelasyon katsayıları aritmetik ortalamalar O ve standart sapmalar 1 olduğundan birbirine eşittir. Bu çalışmanın amacı standart ve standart olmayan değişken grupları için oluşturulacak regresyon modelleri arasındaki farkları ve benzerlikleri ortaya koymaktır.

· KLASİK ve STANDARTLAŞTIRILMIŞ BASİT DOGRUSAL

REGRESYON MODELLERİ

X ve Y değişkenleri için basit doğrusal regresyon modelinin,

Y;

=

/30

+

/3ıX;

+

E;I

olduğunu varsayalım. Basit doğrusal regresyon modelinin parametre tahminleri gerçek değerlerle;

•Araş. Gör., M.Ü. i.i.B.F. Ekonometri Bölümü.

/

Ebru Çağlayan

A L.XY-nXY

1

/3

1

= IX2

-nxı

olarak tahmin edilir. X ve Y değişkenleri

X

.

•

- X; -

-

X

1

_ve y• -_{. -}

Y; -

y

1

I

s

_I

s

x _y

olarak standartlaştırılırsa _model,

Y;•

=

/3~

+

İ3~

X;

•

+

E;

1

şeklini alır ve katsayılar yukarıda _{verilen formüllerde X ve Y yerine} standaıtlaştırılmış X* ve Y* değerlerinin konulması ile tahmin edilir. Aradaki

i

l

işkiyi

belirlemek için X* ve Y*

değerlerini ~

₁

I

ve~

0

1

formüllerinde yerine koyarsak, L.XY-nXY

~

·-

S

X

S

y

ı - uı -nxı

S

x

S

x

_S

X

/3A

- 1

Sr

olacaktır. Standartlaştırılm_{ış serilerin ortalaması sıfır olduğundan}

,

~o

·

ıparametresi sıfır o

l

acaktır.

_{Standartlaştırma işlemi}

hata terimlerini de

etkil_{emektedir. Basit regresyon modelinin hata terimleri;}

e;

=

Y;

-Y;

=

_Y;

_-

~~

_-

~

ı

x,I

dir. Hata

.

terimleri standartlaştırıldığında,

.

". .... . ·

ı

e,

=

Y;

-

f3

o -

f3

ı X, A A .

s

A

[3~

=O;

f3

1

=

Sx

/3

ı;

y X • =

x - x

ve

y

•

= - - -

y -

y

1

Sx

Sy

olduğundan,

e>

(Y, -

l')

-f3

,

s

.

,.

(X,

-

X)

=

ı;

-

l'

-/3,x, -

/3,

X

1

s

y

s

y

s

x

_s

_y

Y -

·

~

ı

X

=

~

₀

1

oldu

ğ

undan

,

e;

·

=

Y;

-

~o

-

~;X;

=

.2._

·

ı

s

y

.

s

y

olacaktır. Standartlaştırılmış hata teriminden de yararlanarak parametre varyarıslarını _{hesaplamak istediğimizde anakütle hata terimleri}

varyansının _tahmini,

T C. 'nin 75. Kuruluş Yıldönümüne Armağan

sı

= I.ei2

I

e

n-k

:~:ğ~n::

:

;t~d~~ş"j'lm>Ş

•::tle

h~•;:d,mleri

varyansının

tahmini,

e n -

k

n -

k

~

(n -

k)S

)~

s

;

olacaktır. · ı

Basit

doğrusal

regresyonda

{3

₀

ive

{3

₁ lparametrelerinin varyansları .

sırasıyla;

8

2 -

8

2

[!

+

_xı

J

1

s

~

₌

s

2

1

1

A, -

e n I.(Xi - X)2 fJı _{e I.(Xi - X)2}

şeklinde hesaplanmaktadır. Standartlaştırılmış regresyon parametrelerinin

va<yans;•; -

s"[_!._

+

_x

·ı

_]

_-

s

;

[_!._+o]

-

s

;

1

A:

-

e n I.(Xi• -

x

·) -

s

;

_{n - ns;} ve

s

~.

=

s·

ı

1 - ·

ı

s

}

s;

_ s

.;

fJ, e I.(Xi• - X ) =

s

):

·

r.(xi -

X)2 -

s

;

olacaktır. Klasik doğrusal regresyon modeli ile standartlaştırılmış regresyon

modelinin belirlilik katsayıları birbirine eşittir. Klasik regresyon modelinin belirlilik

katsayısı,

R

ı

= 1-

r.e;

1

/

I.(Y-Y)

2

ve standartlaştırılmış regresyon modeli için belirlilik katsayısı,

I.eiı

R•2 = 1- I.e? = 1-

s

;,

I.e2

1

I.(Y

• -

Y

.

)

2

_I.(Y

-Y)2

₌

_l

_-

_I.(Y

-1

Y)

2

sı

y

olacaktır. Doğrusal korelasyon katsayısı R2

'nin kareköküne eşit olduğundan o

da değişmeyecektir.

/

-Ebru Çağlayan

rxy

=

cov(x,y)

1

sxsy

r.

·

=

cov( x

• ,

y

•)

1

xy

s· s·

x y

. .

1

sx

=

sy

=

1 ·olduğundan

r_,y·

=

L(X -

X)(Y - Y)

=

rxyl

·

nSxSy

o~acakt~~, Bililndiği

gibi° basit

doğrusal

regresyonda

/31

=

Sx

r'J,

ilişkisi vardır. Aynı ilişki standartlaştırılmış basit doğrusal regresyon için de geçerlidir ve

f3~

=

r,~

,

=

rxy

1

olacaktır.

· Standarlaştırma işleminden sonra sabit katsayı sıfır olduğundan bunun için hesaplanacak t test

istatistiği

de

sıfır olacaktır

.

iJ

1

I

için hesaplanan t test

istatistiği

ise

A

1

için hesaplanan t

t~st

istatistiğine

eşittir.

s.r

f31

~

_s_.:._._, - =

_/3_ı

=

tı

s.r s

.

siı,

s

{3, y KLASİK ve STANDARTLAŞTIRILMIŞ REGRESYON MODELLERİ ÇOKLU DOGRUSAL

Çoklu regresyon modelini genel olarak,

Y;

=

f3o

+

/3ıXı;

+

f3

2X2

;

+

...

.

..

+/3kXk;

+

E;

1

ifade edelim. Modelde yer alan ~ katsayıları nonnal denklemler veya

bunların matrislere dönüştürülmüş şekli ile tahmin edilebilir. Çoklu doğrusal regresyon modelinin parametre tahminleri matrislerle,

f3

=

cxxr

1

CX'Y)I

T C. 'nin 7 5. Kuruluş Yıl dönümüne Armağan A -1

/3

0

n

LX

,

LX

2

LXk

IS

/3,

LXı

LX

1 ı

LX

1

X 2

LX,

X

k

lX

,Y

/3

2

LX

2

LX2Xı

LX

2

2

I.X

2

Xk

I.X

2

Y

A

:rx;

/3

k

LXk

LXkX

I

LXkX

I

LXkY

şeklinde yapılacaktır. Basit -doğrusal regresyonda olduğu gibi çoklu regresyonda da aynı sebeplerden dolayı sabit katsayı sıfır olacaktır. Sabit dışındaki

katsayılar

/J

;I

ile ifade edilirse,

A

s

A

1

{3

;

= ;';

/3;

y

olacaktır. Alynı şekilde çoklu :e

0 1 aresyonda da

S

2

1

e

;

·

=

;i

s

;ı

.

=

~;

s

4

=

s~

s4

y y .ı~ •ı 2

I

.

1

.

.

1

R

=

R t₀

=O

t;

=

t;

olacaktır. Bu eşitlikler basit regresyonda olduğu gibi matrislerle gösterilebilirler. Formül 'çıkarımları daha uzun olduğu için bunlara burada

yerverilıneın iştir.

Seriler standaıtlaştırıldığında X ve Y değerleri yerine X*

konarak ve x 1

=X

1

;_

xı

olarak tanımlanarak,

Lx

2

_Lx

₁

_x

₂

_Lx

₁

_xk

-1

Lx

,

y

1

b

*

ı

s;

,

s.r,sxı

s"

.,

s

"'ı

s"

.,

s.Ji

b * 2 lı2X2

Lx

2

_Lx2.xk

_Lx

₂

_Y

2

S, S,

.

s.;ı

_{SXı SXı}

_s"'ı

_sY

·ı · ı

b

*

k

_Lxkxı

L.

x

.

_k ')

-

Lxky

s.\'

1

s

.

,

.

,

s;

·2

s"'ı

s.v

" • - " . - · "* - . . " * - · ı

f3

o

= Y-/3ıXı

-,-

f3

2

X

2

-

.

.

...

~{3kXk ve Y* değerleri

,olarak tahmin edilecektir. Matrisin köşegeninde yeralan değerler,

~/

Ebru Çağlayan

Lx2

I.x2

1

-

-'

- = --'- =

n

s;

r.xi

2 ., -n o~~;:ır

1

. Matris köşegeni dışında kalan değerler genel olarak

SX;

sx

/

şeklinde ifade edilirse ve bu ifade n/n ile çarpılırsa,

n L.x;x1

1

-. · =nr ..

s

.

s

-',·'ı

n XI X/

olacaktır. Görüldüğü gibi bu iki değişken için hesaplanacak korelasyon

katsayılarının n katına eşittir. Buna göre matrisler,

~~

n _{nr,ıxı nr.,ıxı-} -1 nr,ıY

~;

nr,ıxı n nrxıxk nl~'ıY

~:

nr.,kxl

n

nl~Yı)'

olarak elde edilir. Matrisler n'e bölünürse;

~~

rx,xı

~;

r _XıXı 1

~:

r _xkxı

şek

lini

a

lır.

Matrisler

sırası

ile

~·,

Rxx ve r,Y olarak

tanımlanırsa

,

/3

~.

-R

_{- xx}

-

ı

_1x

,

_y

1

olacaktır.

KAYNAKLAR

1. FOX Jolın.( 1997), Applicd Regressioıı Annlysis, Lincar Models. and Relatcd Mctlıods. Sagc Publislıiııg, Landon.

2. FREUND .lolııı E .. ( 1992), Matlıcmntical Statistics, Fiftlı Editioıı. Prcntice-1 lali

lııtcrnalional,Iııc., Ncw .lerscy.

3. GÜRİŞ Selahattin, BÜLBÜL Şahaıııet.( 1995). Olasılık, Yaylını

Matbaası.İstaııbu 1.

4. KMCNT;\ .lan. ( I 971 ),Elcmeııts of Ecoııometrics, McGraw-I !ili.

5. MYERS Rayınoııd 11..( 1990). Classical aııd Modern Regrcssioıı With

Applicatioııs, Secoııd Editioıı, PWS-KENT Publishiııg Company, Bostan.

6. WONNACOTT Ronald J., WONNACOTT Thonıas H .. ( 1979),

Econonıttrics, Second Eclitioıı, Johıı Wiley&Soııs, New York.