Fermi Dirac Yaklaşımı Kullanılarak A” B tipi yarıiletkenlerin fiziksel özelliklerinin incelenmesi

GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ

Bilimsel Araştırma Projeleri Komisyonu

Sonuç Raporu

Proje No: 2010/17

Projenin Başlığı

FERMİ DIRAC YAKLAŞIMI KULLANILARAK AıııBv TİPİ YARIİLETKENLERİN FİZİKSEL ÖZELLİKLERİNİN İNCELENMESİ

Proje Yöneticisi

Prof. Dr. İskender ASKEROĞLU

Gaziosmanpaşa Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü

Birimi Fizik

Araştırmacılar ve Birimleri Derya ÜNAL

Gaziosmanpaşa Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü

i

FERMİ DIRAC YAKLAŞIMI KULLANILARAK A B TİPİ YARIİLETKENLERİN FİZİKSEL ÖZELLİKLERİNİN İNCELENMESİ*

Bu projede Fermi Dirac fonksiyonu için analitik ifadeler elde edilmiştir. Bu analitik ifadeleri kullanarak Mathematica 5.0 programlama dilinde programı yapılarak III-V yarıiletkenleri için elektron yoğunluğu hesaplanmıştır. Elde edilen formüllerin geçerliği ve doğruluğu uygulanarak test edilmiş ve hesaplanan sonuçların literatürdeki benzer sonuçlarla uyumlu olduğu görülmüştür.

Anahtar kelimeler: Yarıiletkenler, III-V Yarıiletkenleri, Fermi Dirac Fonksiyonu

*Bu proje Gaziosmanpaşa Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Komisyonu tarafından desteklenmiştir (Proje No: 2010/17).

ii

INVESTIGATION PHYSICAL PROPERTIES OF A B TYPE SEMICONDUCTORS USING FERMI DIRAC *

In this project, it was obtained analytical expressions for Fermi Dirac functions. On the basis of these analytical expressions a program for III-V semiconductors of electron density has been constructed by using Mathematica 5.0 mathematical software. The validity and reliability of the obtained analytical expressions was tested and the calculated results were found to be in agreement with the literature results.

Keywords: Semiconductors, III-V Semiconductors, Fermi-Dirac Approximation

*This project is supported by the Scientific Research Commision of Gaziosmanpaşa University (Project No: 2010/17).

iii

yarıiletkenlerin fiziksel özellikleri incelenmiştir. Veriler, ilgili teoriler ışığında değerlendirilerek sonuçlar yorumlanmış ve literatürle karşılaştırılmıştır.

Fermi Dirac fonksiyonunu kullanarak elde edilen analitik ifadelerle yarıiletkenler hakkında pek çok bilgiye ulaşılabilir.

iv ABSTRACT ii ÖNSÖZ iii SİMGE ve KISALTMALAR DİZİNİ _v ŞEKİLLER DİZİNİ _vi ÇİZELGELER DİZİNİ _vii 1. GİRİŞ ₁ 2. KURAMSAL TEMELLER ₄

2.1. Enerji Bantlarının Oluşumu ₄

2.2. Katkısız (saf) Yarıiletkenler ₆

2.3. Katkılı Yarıiletkenler ₇ 2.4. Organik Yarıiletkenler ₉ 2.5. İnorganik Yarıiletkenler ₉ 2.6. III-V Yarıiletkenler ₁₀ 2.6.1. İnorganik Yarıiletkenler ₁₂ 2.6.2. İnorganik Yarıiletkenler ₁₃ 2.6.3. İnorganik Yarıiletkenler ₁₄ 2.7. Yarıiletken İstatistiği ₁₆

2.7.1. Yarıiletkenlerde Yük Taşıyıcılarının İstatistiği ₁₇

2.8. Fermi Dirac İstatistiği ₁₉

2.8.1. Fermi Fonksiyonun Özellikleri ₂₅ 2.9. Özden Yarıiletkenlerde Fermi Seviyesinin Yeri ve Yük Taşıyıcılarının

Konsantrasyonu 27 3. MATERYAL ve YÖNTEM ₃₂ 3.1. Fermi İntegralinin Çözümü ₃₃ 4. BULGULAR ₃₇ 5. TARTIŞMA ve SONUÇ ₄₂ KAYNAKLAR ₄₃

v  Özdirenç T Mutlak sıcaklık Boltzmann sabiti Elektrik yükünün hızı g

E Yasak band genişliği  İletkenlik  Mobilite e Elektronların yükü n Elektron konsantrasyonu J Akım yoğunluğu E Elektrik alan Elektron volt q _{Elektrik yükü} a

E Termal aktivasyon enerjisi

 Dalga fonksiyonu

F

E Fermi Enerjisi

S Entropi

 Elektro kimyasal potansiyel m Etkin kütle

p _{Hol konsantrasyonu} C

N İletim bandındaki elektron konsantrasyonu

V

N Valans bandındaki elekron konsantrasyonu

vi

Şekil 1.1. (a) Metalin (Fe) ve (b) yarıiletkenin (Si) özdirencinin sıcaklıkla

değişimi

2

Şekil 2.1. Katı cisimlerin bant teorisine göre elektriksel iletkenlerinin değerlendirilmesi

6

Şekil 2.2. n tipi yarıiletken oluşumu 8

Şekil 2.3. p tipi yarıiletken oluşumu 8

Şekil 2.4. Sekiz atom ihtiva eden çinko sülfür yapının birim hücresi 13 Şekil 2.5. Chelikowsky ve Cohen tarafından verilen III-V grup

yarıiletkenlere ait enerji bant diyagramı 14 Şekil 2.6. N=8 atomları meydana gelen kristal için farklı enerji seviyeleri 17 Şekil 2.7. Farklı sıcaklıklarda (a) Fermi-Dirac ve (b) Boltzmann dağılım

fonksiyonları (T=0<T2<T3)

19

Şekil 2.8. g1, g2,… durumları ile enerji bantlarındaki ε1,ε2,… enerji seviyeleri

20 Şekil 2.9. Farklı sıcaklık değerleri için Fermi Dirac dağılımı 21 Şekil 2.10. Özden yarıiletkenden Fermi seviyesinin sıcaklıkla değişimi 31 Şekil 2.11. Yarıiletkenin yasak band genişliğinin (Eg) sıcaklıkla değişimi 31 Şekil 4.1. GaAs’nin 300 K’de elde edilen elektron yoğunluğu 39 Şekil 4.2. Silisyumun 300 K’de elde edilen elektron yoğunluğu 40 Şekil 4.3. Germanyumun 300 K’de elde edilen elektron yoğunluğu 41

vii

Çizelge 4.1. GaAs için yapılan hesaplama tablosu 37

Çizelge 4.2. GaAs, Si, Ge için yapılan hesaplama tablosu 38 Çizelge 4.3. 300 K de bazı yarıiletkenlerin Enerji ve hole konsantrasyon _değerleri 38

1. GİRİŞ

“Cisimler dört durumda bulunabilirler: katı, sıvı, gaz ve plazma durumunda. Katı cisimler hem belirli bir hacme hem de belirli bir şekle sahiptirler. Katı cisimlerin iki önemli özelliği vardır:

1. Katıların şekli sabittir.

2. Atomlar denge konumları çevresinde küçük genlikli titreşim hareketi yaparlar.

Sıvıların belirli bir hacmi vardır, ama belirli bir şekilleri yoktur. Sıvılar bulundukları kabın şeklini alırlar. Sıvıların bu özelliği, onların moleküllerinin kinetik enerjisinin potansiyel enerjisine eşit olmasından kaynaklanır. Gazların moleküller arası çekim kuvvetinin küçük olması nedeniyle, belirli bir hacmi ve şekli yoktur. Plazma durumu atomların yüksek dereceli iyonlaşması ile karakterize olunur. Malzemenin plazma durumunda pozitif yüklü parçacıkların (iyonların) konsantrasyonu negatif yüklü (elektronların) konsantrasyonuna eşittir.

Katı cisimler elektrik özelliklerine (özdirencine) göre üç gruba ayrılırlar. Metaller, yalıtkanlar ve yarı iletkenler. Katı cisimlerin sınıflandırılması şöyledir:

1. Metaller: =106-104ohm.cm 2. Yarıiletkenler: =104 -1010ohm.cm 3. Yalıtkanlar: 1010ohm.cm

Özdirenç kriteri açık değildir. Çünkü bir cisimden diğerine geçtiğimizde özdirenç değerleri üst üste gelmektedir. Metaller ve yarıiletkenler arasında fark, onların sıcaklıkla değişiminden daha açık görülmektedir. Kimyasal olarak temiz metallerde özdirenç sıcaklıkla lineer olarak artmaktadır ve

0 T

  

(1.1) şeklinde verilmektedir. Burada₀, metalin 00

C„de özdirenci,  1/ 273 metalin termal genleşmesi katsayısı T, mutlak sıcaklıktır. Metallerde sıcaklık arttıkça özdirenç artar (şekil1.1.a). Katkısız yarıiletkenin özdirenci, metalin aksine sıcaklık arttıkça eksponansiyel olarak küçülür (şekil1.1.b) ve

exp Eg

A

kT

  _ _

ile verilir. Burada Eg yarıiletkenin yasak band genişliği, k Boltzman sabiti ve A bir sabittir.

Şekil 1.1. (a) Metalin (Fe) ve (b) yarıiletkenin (Si) özdirencinin sıcaklıkla değişimi (Caferov, 1998)

Metallerin ve yarıiletkenlerin özdirenci () veya iletkenliği ( )

1 1

ne



 

  (1.3)

ile verilir. Burada n elektronların konsantrasyonu, e elektronların yükü (e=1.6 19

10 C) ve  elektronların mobilitesidir. Metallerde atomlar tam iyonlaşmış durumdadır. Bu nedenle elektronların konsantrasyonu metallerde çok yüksektir. (n  22

10 cm3) ve sıcaklığa bağlı değildir. Metallerde sıcaklık arttıkça elektronların konsantrasyonu değişmemekte, fakat mobiliteleri bir miktar küçülmektedir. Bunların sonucunda (1.3) eşitliğine uygun olarak metallerin özdirenci sıcaklıkla artmakta veya iletkenliği küçülmektedir. Katkısız (saf) yarıiletkenlerde, metallerin aksine elektronların konsantrasyonu sıcaklık arttıkça eksponansiyel olarak artmakta ve elektronların mobilitesi az miktarda küçülmektedir. Bu iki işlemin sonucunda, yarıiletkenlerin özdirenci arttıkça (1.3) eşitliğine uygun olarak keskin azalmaktadır.

Elektrik akımını geçiren iki tür iletken olabilir: elektronik geçişli ve iyonik geçişli iletkenler. Metallerde elektrik akımı taşıyıcıları elektronlar olduğu için metaller elektronsal iletkenlerdir. İyonik iletkenlerde elektrik akımı malzemenin iyonları ile taşınır ve iyonik iletkenin kompozisyonu akımın geçtiği zamanla değişmektedir.

Isı enerjisi etkisiyle yarıiletkenlerde serbest yük taşıyıcılarının (elektronların ve deşiklerin) konsantrasyonu artmaktadır. Bu yöntemle meydana gelen yük taşıyıcılarına ısısal veya dengeleyici yük taşıyıcı denir. Bunda başka serbest yük taşıyıcıları, ışık, elektrik alan, basınç ve - ışınları gibi hızlı parçacıkların etkisiyle oluşabilir. Bu yöntemlerle meydana gelen yük taşıyıcıları denkleştirilmemiş yük taşıyıcıları olarak tanımlanır. Metallerde atomlar tam iyonlaşmış durumdadırlar ve serbest elektronların konsantrasyonu (n 10 cm22 3) atomların konsantrasyonuna eşittir. Bu nedenle

metallerin özellikleri dış etkilerle çok az değişmektedir. Katkısız yarıiletkenlerde ise serbest elektronların konsantrasyonu (n= 13

10 - 15 3

10 cm ) ana atomların konsantrasyonundan ( 22 3

10 cm ) çok azdır. Yarıiletken atomların dış etkilerle (ışık,

elektrik alan, basınç, hızlı parçacıklarla bombardıman vb) iyonlaşması ve serbest elektron konsantrasyonunu keskin değiştirmek mümkündür. Bunun neticesinde yarıiletken özellikleri de keskin değişebilmektedir (Caferov, 1998).

Serbest yük taşıyıcılarının oluşma yöntemleri yarıiletkenin kristal yapısına, kompozisyonuna ve katkı atomlarının bulunmasıyla ilişkilidir. Çok az miktarda ki (%103108) katkı atomları yarıiletkenin iletkenliğini keskin (108 kata kadar) değişebilir.

2. KURAMSAL TEMELLER

2.1. Enerji Bantlarının Oluşumu

Kuantum Mekaniği yasalarına göre, elektronlar atoma bağlı olan yapılarında spesifik ve diskre enerjilere sahiptirler. Eğer iki izole atom birbirlerine yaklaştırılırsa her atomik enerji seviyesi ikiye ayrılır. Eğer 3 atom birbirine yaklaştırılırsa her enerji düzeyi üçe ayrılacaktır. Bir katı cisim ele alındığında birbirine örgü sabiti mesafesinde yakın N sayıda atom bir arada bulunuyor demektir. Dolayısıyla enerji düzeyleri N‟ye yarılmış olacaktır. Bu enerji seviyeleri arasındaki fark o kadar küçüktür ki bu enerji grubu sürekli bir enerji bandı olarak düşünülebilir. Başka sözlerle katıdaki her enerji seviyesine prensip olarak bir enerji bandı karşılık gelmektedir.

Atomun yapısında yer alan ve daha iç kabuklarda bulunan elektronlar, çekirdeğe yakın olmaları nedeniyle, atoma daha sıkı bağlıdırlar. Diğer taraftan bu elektronlar üzerine öteki komşu atomların etkileri de ihmal edilebilecek kadar az olur. Bu nedenle iç kabuklardaki bu seviyelerin yarılmaları çok daha küçük boyutlarda olacağından iç kabuk elektronlarının enerji değerleri, pratik olarak atomunkiler ile aynıdır.

Pauli ilkesine göre enerji her enerji düzeyinde, spinleri farklı olmak koşulu ile en fazla iki elektron yer alabilir. Buna göre bir bant N sayıda enerji düzeyine yarılıyorsa bu bantta en fazla 2N sayıda elektron bulunabilir. Elektronlar, enerji açısından enerji değerleri küçük olan seviyelere öncelikle yerleşirler. Böylece tüm elektronlar enerjilerine göre seviyelere yerleşir. Elektron bulunan en yüksek enerjili seviyeden sonra gelen enerji düzeyi, yerleşecek başka elektron kalmadığı için, boş kalacaktır. Elektronlar, ortamdan ısı enerji alarak daha yüksek enerjili düzeylere, eğer yerleşmesi mümkün ise geçiş yapabilir. Bu nedenle bir katı içinde elektron bulunan en yüksek enerji düzeyi, katı cismin bulunduğu sıcaklığa bağlı olarak değişir.

Herhangi bir sıcaklıkta elektron bulunan en yüksek enerji seviyesine valans bandı, bunu izleyen ilk boş enerji düzeyine ise iletkenlik bandı adı verilmiştir. Mutlak sıfır sıcaklığında (00

seviyesidir. Valans bandında bulunan atoma bağlı bir elektron, herhangi bir dış etkisiyle örneğin elektrik alan optik aydınlatma X-ışınları ile ışınlanma, magnetik alan ısı enerjisi gibi, enerji kazanabiliyor ve daha yüksek enerjili boş seviyelere, başka sözlerle iletkenlik bandına geçiş yapabiliyorsa bu elektron atomdan bağımsız hale gelir, yani serbest elektron durumuna geçer. Elektronun katı cisim içinde serbestçe dolaşması anlamına gelen bu olgu katı cismin iletken özellik taşıması demektir. Bu nedenle dolu olan en yüksek enerjili banttan sonra gelen daha yüksek enerjili seviyelere iletkenlik seviyeleri denmiştir. Örneğin metallerde en dış yörüngede bulunan valans elektronu atoma zayıf bir şekilde bağlı olup, küçük bir elektrik alan etkisi ile bağlı olduğu atomdan kurtulabilir ve elektron serbest elektron veya iletkenlik elektronu haline gelir ve katı cisme elektriksel iletkenlik kazandırır. Bu özelliğe sahip maddeler iletkenler olarak bilinir.

Eğer valans elektronu atoma çok güçlü bağlara bağlı ise, bir dış etki ile bu elektronlar atomdan kopartılamaz ve iletkenlik bandına geçecek elektron yaratılamaz. Dolayısıyla bu maddeler iletkenlik özelliği göstermezler. Bunlara yalıtkan (izolatör) maddeler denir.

Bazı maddelerde ise alçak sıcaklıklarda valans bandındaki elektronlar yeterli enerji kazanarak iletkenlik bandına çıkamamalarına rağmen, sıcaklık artınca örneğin oda sıcaklığında (300 0

K ) elektronların kazandığı enerji onlara valans bandından iletkenlik

bandına çıkmalarına neden olur ve malzeme iletken karakter kazanır. Bu özellik sahip malzeme yarıiletken olarak tamamlanmıştır.

Şekil 2.1. Katı cisimlerin bant teorisine göre elektriksel iletkenlerinin değerlendirilmesi (Atalay, 1994)

Şekilden görüleceği gibi malzemenin elektriksel iletkenliğini belirleyen ana faktör, valans bandı ile iletkenlik bandı arasındaki genişliktir. Elektronların enerji açısından bulunmalarının mümkün olmadığı bu bölgeye yasak enerji aralığı denir. Buna göre iletken malzemede valans bandı ile iletkenlik bandı arasındaki genişlik sıfırdır. Yani iletkenlerde valans bandı ile iletkenlik bandı üst üste binmiştir. Yalıtkanlarda ise yasak enerji aralığı oldukça geniş olup, elektron yeterli enerji kazanarak valans bandından iletkenlik bandına geçiş yapamaz. Şekilden görüldüğü gibi yarıiletkenlerde yasak enerji aralığı, elektronların oda sıcaklığında bile enerji kazanarak valans bandından iletkenlik bandına çıkmalarına izin verecek darlıktadır (Atalay, 1994).

2.2. Katkısız (saf) Yarıiletkenler

Safsızlık veya örgü kusuru içermeyen bir yarıiletken malzeme katkısız (saf) yarıiletken olarak tanımlanır. Böyle bir malzeme de mutlak sıfırda serbest yük taşıyıcıları bulunmamaktadır, yani valans bandı elektronlarla tam olarak doldurulmuştur (deşikler yok) ve iletim bandında serbest elektronlar bulunmamaktadır. Sıcaklık arttıkça kırılmış valans bağların sayısı artar ve bu nedenle serbest elektronların ve deşiklerin konsantrasyonu artar. Katkısız yarıiletkenlerde iletkenlik bandındaki elektronların yoğunluğu, değerlik bandındaki elektronların yoğunluğuna eşittir. Çünkü bir elekron

termal uyarma sonucu geride bir boşluk bırakarak iletim bandına geçer. Bu malzemelerde elektrik alan ve termal enerji etkisiyle uyarılan elektronlar yasak enerji aralığını atlayarak iletim bandına geçerler ve böylelikle iletimi sağlarlar. Katkısız yarıiletkenlere örnek olarak Germanyum (Ge) ve Silisyum (Si) verilebilir.

2.3. Katkılı Yarıiletkenler

Bir yarıiletkendeki yük taşıyıcılarının sayısı uygun safsızlıkların yarıiletkenin kristal örgüsü içine ilave edilmesi ile arttırılabilir. Safsızlık ilavesi ile kristaldeki elektron veya boşluk yoğunluğu değiştirilebilir. Bir yarıiletkende çoğunluk taşıyıcıları elektronlar azınlık taşıyıcıları boşluklar olursa bu tür yarıiletkenler n-tipi yarıiletken, çoğunluk taşıyıcıları boşluklar ve azınlık taşıyıcıları elektronlar olursa bu tür yarıiletkenler ise p tipi yarıiletken olarak adlandırılırlar. Katkısız bir yarıiletken safsızlık atomlarıyla katkılandırıldığında, malzemenin mevcut elektronik durumları değişir ve yarıiletkenin özelliğinde önemli değişiklikler oluşur. Bu özellikler safsızlıklara bağlı olduğundan, malzeme katkılı yarıiletken olarak adlandırılır. Safsızlık atomlarıyla meydana gelen iletkenliğe de katkılı iletkenlik denir. Örneğin; IV.grup elementi olan silisyum (Si), V.grup elementi olan arsenik (As) atomu ile katkılandırıldığında, As atomunun en dış yörüngesinde bulunan 5 elektrondan 4 tanesi Silisyum atomuyla kovalent bağ yaparlar.

Geride kalan bir elektron ise zayıf bağlı olarak kalır. Katkılanan As atomu serbest elektron vermek suretiyle akıma katkı sağlar. Bu durumda çoğunluk taşıyıcıları elektronlar olduğundan bu tip yarıiletkenlere, n-tipi yarıiletken malzemeler denir.

Şekil 2.2. n tipi yarıiletken oluşumu

Eğer Si kristali III. grup elementi olan bor (B) atomu ile katkılanırsa, bor atomunun en dış yörüngesinde bulunan 3 elektron, Si kristalinin dört serbest elektronunun üçü ile bağ yapar. Silisyum ile bor atomu arasında bir bağ boşta kalır, bu boş bağ pozitif yük taşıyıcısı olarak davranır ve iletim boşluklar tarafından sağlanmış olur. Bu durumda, çoğunluk taşıyıcıları boşluklar olduğundan bu tür malzemelere p-tipi yarıiletken denir.

2.4. Organik Yarıiletkenler

Bu yapılar karbon ve hidrojen atomlarından meydana geldikleri için organik yarıiletkenler olarak adlandırılırlar. Organik yarıiletkenlerin elektriksel iletkenliği sıcaklıkla üstel bir artış göstermektedir. İletkenlik mekanizmaları yarıiletkenlerinkine benzerdir. En çok bilinen organik yarıiletken antrasen (anthracene) (C6H4: (CH)2:C6H2) dir (Smith, 1978)

2.5. İnorganik Yarıiletkenler

İnorganik yarıiletken malzemelere örnek olarak silisyum (Si), germanyum (Ge) ve galyum arsenik (GaAs) verilebilir. Bunlar aynı zamanda katkısız, katkılı ve bileşik yarıiletkenler, alaşım yarıiletkenleri, oksit yarıiletkenler ve kompleks yarıiletkenler olarak da sınıflandırılır.

Bileşik yarıiletkenlere, periyodik tablonun III-V ve II-VI grup elementlerinin oluşturduğu yarıiletken örnek verilebilir. III-V grubu bileşiklerin en iyi bilinenleri GaAs, InSb, GaP, InAs ve GaSb ve II-VI grubu bileşikler ise CdS ve ZnS gibi bileşiklerdir. Bu bileşiklerin büyük çoğunluğu ZnS yapıda kristalleşir ve kimyasal bağlama kovalenttir.

Alaşım yarıiletkenler, CuFeS2, CuInSe2, AgInSe2 ve CuFeSnS4 gibi üçlü ve dörtlü alaşımlardan üretilir. Bunları katkılandırmak zor olduğundan dolayı fazla ilgi görmemişlerdir. Bunların yasak enerji aralıkları 0.55-3.5 eV aralığında bulunmuştur ve band yapıları III-V ve II-VI grubu yarıiletkenlerinden farklılıklar gösterir. Bu malzemeler doğrudan (direk) band yapısına sahip olduklarından, opto-elektronik, lüminesans ve lazerde kullanılmaktadırlar (Smith, 1978).

Oksit yarıiletkenler de inorganik yarıiletkenler sınıfına alınabilir. Metal oksit büyük yasak enerji aralığına sahip yarıiletkenlerdir. Bunlar genellikle d kabuklarında elektron eksikliğine sahiptirler. Bilinen en iyi oksit yarıiletkenler Cu2O, ZnO ve ReO3 dır. VO2 ve V2O3 gibi oksitler ise yüksek sıcaklıkta metalik iletkenlik gösterirken, krtitik bir

sıcaklık değerinden sonra direnç değerlerinde ani bir düşme göstererek, düşük sıcaklılarda yarıiletken özellik sergiler. SrTiO3 ve BaTiO3 oksitlerin ise kalkılama ile yarıiletken özellik gösterdikleri bulunmuştur (Smith, 1978).

Yarıiletken özellik gösteren geçiş metal kompleksleri de inorganik yarıiletken malzeme sınıfına alınabilir. Metal kompleksler, ortaklanmamış elektron çiftlerine sahip olan ligand moleküllerine geçiş metallerinin kimyasal olarak bağlanmasıyla oluşan bileşiklerdir.

Kompleks malzemelerin yarıiletken özellik sergilemeleri, son yıllarda kompleks yarıiletken malzemeler üzerine ilgiyi arttırmıştır. Bu tür malzemeler katkısız yarıiletken özellik sergilediği gibi katkılı yarıiletken özellik de sergiler.

Bunların elektriksel özellikleri ve elektronik parametreleri, malzemenin kompozisyonuna bağlı olduğu gibi yapı içindeki örgü kusurlarına ve tane sınırlarına da bağlıdır. Bu tür malzemelerde iletkenlik yönü metalden liganda veya ligandan-metale doğru meydana gelmektedir, yani taşıyıcı yükler ya metalden liganda ya da liganddan metale geçer. Bu malzemelerde iletkenlik mekanizması, malzemenin amorf ya da kristal olmasına göre sıçrama ile iletkenlik mekanizması veya farklı makenizmalarla açıklanabilir (Moharram, 1997).

2.6. III-V Yarıiletkenleri

Yarıiletken teknolojisinde, temel elektronik yapı elemanlarının fiziksel ve elektronik özelliklerini araştırmak oldukça önemlidir. Bu amaçla yıllardır çeşitli yapı elemanlarından oluşan yarıiletken kristallerin elektronik özelliklerinin saptanması için araştırmalar sürdürülmektedir. Araştırmaların bir bölümü bu kristallerin fiziksel özelliklerini belirlemek için yapılırken, diğer bir bölümü de fiziksel özelliklerinden yararlanılarak yeni aygıtlar geliştirmeyi amaçlar (Warschauler, 1959; Sze, 1981; Nicollian, vd., 1982; Ghandhi, 1983; Ebeoğlu, 1989; Kılıçoğlu, 1988; Schroder, 1990; Balasubramania, 1990).

Yeni devre elemanı teknolojisi, yapı tabanı olarak genellikle Silisyum kristalini kullanmakta, fakat ilerleyen teknoloji özel nitelikli devre elemanlarına ihtiyaç duymaktadır. Silisyum kristalinde yük taşıyıcı hızlarının düşük olması ve band yapısının doğrudan geçişlere uygun olmaması (indirekt band) teknolojik ihtiyaçları karşılayamamaktadır. Bu sebepten ötürü isteklere cevap verilebilecek yeni tip yarı iletken tabanlar aranmaya başlanmıştır.

Böylece III-V grubu ve diğer yarıiletken tabanlar araştırılmaya başlandı (Gatos vd, 1960; Long, 1968; Nicolian vd.,1982; Piotrowska, 1983; Yamaguchi, 1988; Moison vd, 1989; Singh, vd., 1989; Tang Sah, 1991; Sharma, 1992).

III-V grubu bileşiklerin ilki InP bileşiği olarak bulundu (Hilsum, 1961). Daha sonra (III-a) ile (V-(III-a) grubu elementler arasında ikili bileşikler oluşturuldu (Hilsum, 1961). 1929 yılında InSb, GaSb, GaAs, GaP, AlSb, AlAs, AlP ve AlN bileşikleri oluşturuldu. III-V grubu bileşikler, küçük enerji aralığına, yüksek elektron hızlarına ve direkt band yapılarına sahip olmalarından ötürü, yarıiletkenlerin yeni bir ailesi olarak önem kazandı, bu yarıiletkenlerin kullanımı ile silisyum devre elemanlarının sahip olmadığı üstün nitelikli devre elemanları gerçekleştirildi. Bu devre elemanları kullanılarak, ileri teknolojik aygıtlar üretildi (Hilsum, 1961). Bu alanda yapılan çalışmalarla diyod, transistör gibi devre elemanlarında sağlanan gelişmeler yarıiletken teknolojisine büyük katkılar kazandırmış ve entegre devre teknolojisi gelişmiştir (Nicollian, 1982; Ghandhi, 1983).

Periyodik tablonun IIIA grubundaki bir element VA grubundaki element ile birleşerek kristal yarıiletken bileşikleri oluştururlar. Bunlar kristal örgünün uygun kenarlarına yerleşen III-V grubu elementlerin atomları arasında 1:1 atomik oranlı kimyasal bileşikler olup alaşım değildirler (Hilsum ve ark., 1961; Long, 1968).

III-V grubu bileşikler IV grubu yarıiletkenler gibi birim atomda aynı ortalama elektron sayısına sahiptir. Kristal yapıları, elektronik özellikleri IV grubu yarıiletkenlerinkine benzer olmakla birlikte farklı olan bazı karakteristik özellikler gösterirler. Bunlar IV grubu kristallerden daha düşük simetriye sahiptirler. IV grubu yarıiletkenler kovalent

bağlı nötr atomları ihtiva ederler. Halbuki III-V grubu bileşikler örgü kenarlarında negatif iyon kapsarlar (Hilsum vd., 1961)

IIIB ve VA bileşikleri (CeAs, PrN, …. ) sodyum klorid kristal yapıya sahiptir ve iyonik kristallerdir. IIIB ve VB elementleri arasında alaşımlar veya bileşikler yoktur (Hilsum vd., 1961).

2.6.1. Kristal Yapıları

III-V grubu kristaller elmas yapıya benzer bir yapıya sahiptirler. Ancak birim hücrede iki çeşit atom vardır. Birim hücrede iki farklı atoma sahip olmalarına rağmen bu bileşikler, bazen tek atomlu yarıiletkenlerden daha basit davranış gösterirler (Hilsum vd., 1961; Ghandh, 1983).

III-V grubu bileşikler bir düzen içerisinde kristalize olurlar (Goodman, 1978). Atomların bir cinsi düzgün dörtyüzlünün merkezinde, diğer cins atomlar ise köşelerde bulunurlar. Bu düzgün dörtyüzlü, kübik kristal yapıda düzenlenmiş ise çinko sülfür “Zinc-blende” yapı olarak (şekil 2.4.) ve hegzogonal kristal yapıda ise wurtize yapı olarak adlandırılır (Kittel, 1976). Wurtzite yapı çinko sülfür yapının bir çeşididir. Sadece birbirini takip eden (111) tabakaları [111] ekseni etrafında 180o döner ve yapı hegzogonal simetri gösterir.

Bor, alüminyum, galyum ve indiyum ile birleşen fosfor, arsenik ve antimon ikili bileşiklerinin tamamı çinko sülfür yapıya sahiptirler. Bor nitridi ise grafite benzer hegzogonal yapıya sahiptir. Alüminyum, galyum ve indiyum nitridleri wurtzite yapıya sahiptir. Bizmut ise tetrahedral yapı dışında metalik bileşik oluşturur.

Şekil 2.4. Sekiz atom ihtiva eden çinko sülfür yapının birim hücresi

2.6.2. Bant Yapıları

Kristal örgünün periyodikliği nedeniyle bir yarıiletken, izinli ve yasaklanmış enerji bölgelerine sahiptir. Yasak enerji aralığı yarıiletkenlerin birçok özelliklerini tanımlamakta kullanılan önemli bir parametredir. İzinli enerji bölgeleri yasak bandın altında ve üstünde yerleşir. Yasak bandın altında kalan ve bağlı elektronların oluşturduğu enerji bölgesi valans bandı ve üstünde kalan serbest elektronların oluşturduğu enerji bölgesi iletkenlik bandı olarak adlandırılır. Bütün III-V grup yarıiletkenler benzer bant yapılarına sahiptir. Önemli yarıiletkenlerin bant yapıları Chelikowsky ve Cohen tarafından verilmiştir. III-V grup yarıiletkenlerin bant yapısı Şekil 2.5.‟de verilmiştir.

Bant yapısı kristal simetrisinin temel bir fonksiyonudur. , X, ve L Brillouin bölgelerindeki önemli simetri noktalarıdır. Bant yapılarının en belirleyici özelliği valans ve iletkenlik bantlarının konumudur. Eğer Brillouin bölgesinde, valans bandının tepesi ve iletkenlik bandının dibi aynı noktada oluşursa () yarıiletken direkt yarıiletken, aynı

noktada oluşmazsa indirekt yarıiletken olarak adlandırılır. Bu nedenle Brillouin bölgesinin merkezindeki noktası direkt yarıiletkenler için en önemli noktadır. Düşük alan iletimi hesaplamalarında genellikle valans bandının tepesi ile iletkenlik bandı dibinin göz önüne alınması yeterli olmaktadır. Bu noktalar yarıiletkenin gözlenebilir özelliklerinin belirlenmesinde etkin bir rol üslenmektedir.

Şekil 2.5. Chelikowsky ve Cohen tarafından verilen III-V grup yarıiletkenlere ait enerji bant diyagramı

2.6.3 Elektriksel Özellikleri

Bir maddenin elektriksel iletkenliği o maddede atom başına düşen serbest elektrik yükü sayısıyla belirlenir. Serbest elektrik yükünün madde ortamında hareket edebilme yeteneğini ifade eden hareketlilik (mobilite) elektriksel iletkenliğin belirlenmesinde rol oynayan başka bir parametredir. Mobilite elektrik alanı başına serbest elektrik yükünün hızı olarak tamamlanır.

Serbest elektrik yükünün içinde hareket ettiği elektrik alanının büyüklüğü E ile elektrik yükünün hızı v ile gösterilirse mobilite;

v E

  (2.6.1) olarak yazılır. Yarıiletken içerisindeki serbest elektron yükleri bir elektrik alanı içerisinde hareket ederek J akım yoğunluğunu oluşturur. Elektrik alanının, akım yoğunluğuna oranı o maddenin özdirencini tanımlar ve

E J

  (2.6.2) ifadesi ile verilir. Bir maddenin elektriksel iletkenliği, elektrik alanı başına düşen akım yoğunluğudur. Bu aynı zamanda özdirencin tersine eşittir ve

1

 

 (2.6.3)

olarak tanımlanır. Malzemenin uçlarına uygun gerilime bağlı olarak oluşan J akım yoğunluğunun büyüklüğü,

J nqv (2.6.4)

bağıntısıyla ifade edilir. Burada q elektrik yükü, n birim hacimdeki iletim elektronlarının sayısıdır. Elektriksel iletkenlik ise, mobilite cinsinden,

  qn     

olarak yazılır. Katkısız bir yarıiletkende elektriksel iletkenlik, boşluk ve elektronlar tarafından sağlanır ve

( )

i qni n p

    (2.6.6)

bağıntısıyla verilir. Burada i, katkısız elektriksel iletkenlik, ni katkısız taşıyıcı sayısı, ve elektronların ve boşlukların mobiliteleri ve q elektronun yüküdür. Yarıiletken madde bir miktar katkılandırıldığında artık serbest elektron ve boşluk sayıları eşit değildir. Bundan dolayı katkılı bir yarıiletkende elektriksel iletkenlik;

qn n qp p

     (2.6.7)

ile verilir. Burada n ve p birim hacmindeki serbest elektronlar ve boşlukların sayısıdır. Buna göre katkılı bir yarıiletkenin özdirenci;

1/ (qn n qp p)

olur. Yarıiletkenin n-tipi olması durumunda (2.6.8) bağıntısında, paydadaki birinci terim ikinci terimden çok büyüktür. Yani q n n q p p dir. Bu durumda, n-tipi yarıiletkende özdirenç;

1/ ( )

n qn n

   (2.6.9)

olarak bulunur ve p-tipi yarıiletkende ise qp p qn n olduğundan özdirenç;

1/ ( )

p qn p

   (2.6.10)

olur. Katkısız bir yarıiletkende elektriksel iletkenlik, değerlik bandında oluşan boşluğun iletkenliği ile iletkenlik bandında bulunan elektronların yaratacağı iletkenler toplamına eşittir ve sıcaklığa bağlılığı;

0exp( Ea /kT)

   (2.6.11)

denklemi ile verilir. Burada ₀ bir sabittir ve Ea, iletkenlik için termal aktivasyon enerjisidir (Lubianiker ve Ark., 1997). Yarıiletkenlerin iletkenliği sıcaklıktan başka, elektrik alan, manyetik alan, aydınlanma dış basınç gibi çevre şartlarına da bağlıdır. Bunun yanında, kendi özellikleri olan yük taşıyıcıların mobilitesi, sayısı ve kristal yapıdaki kusurların yoğunluğu da iletkenlikte etkilidir.

2.7. Yarıiletken İstatistiği

Bir kristaldeki elektronun periyodik potansiyel dağılımı eğer kristal, N atomları içerirse N farklı seviyeleri oluşur. Bu seviyeler birinci Brillouin bölgesine sınırlandırılabilir. Kristal periyodikliğinden dolayı, elektron dalga fonksiyonları bir boyutta

 

x u x

 

exp(ikx)

 

şeklindedir. Ayrıca periyodik (Bloch fonksiyonu) olmak zorundadır.



  

u xNa u x (2.7.1)

ve



 



   

exp ikx ikNa u x Na exp ikx u x (2.7.2)





exp ikNa 1 (2.7.3)

veya

2 / ;

kn  Na n  0, 1, 2,....N/ 2 (2.7.4)

denklemini elde ederiz. Burada α örgü sabitidir. Birinci Brillouin bölgesi için k, -π/α ve +π/α arasında değerler alır. n tamsayısı –N/2 ve +N/2 arasında sınırlandırılmaktadır. Şekil 2.6‟da N=8 atomları meydana gelen kristal için farklı enerji seviyeleri verilmektedir (Seeger, 2004).

Şekil 2.6. N=8 atomları meydana gelen kristal için farklı enerji seviyeleri (Seeger, 2004).

2.7.1. Yarıiletkenlerde Yük Taşıyıcılarının İstatistiği

Yarıiletkenlerde elektronlar belirli enerjiye sahip (veya enerji durumlarında) olabilirler. Farklı şartlara bağlı olarak elektronlar bu enerji düzeylerinde yerleşebilirler veya düzeyler boş kalabilir. Enerji düzeylerinin elektronlarda dolu olması yarıiletkenin temel özelliğini (iletkenliğini) belirlemektedir. Yarıiletkenlerde elektronların

konsantrasyonunu hesaplamak için, enerji durumlarının yoğunluğu ve elektronların yerleşme olasılığını bilmek lazımdır. İletim bandında enerji düzeylerinin elektronlarla doldurulması Fermi fonksiyonu ile belirlenmektedir.

Pauli ilkesine göre yarı-tam spine sahip olan parçacıklar Fermi-Dirac dağılım fonksiyonuna uyarlar. 1 ( , ) 1 exp F F E T E E kT      _{ }   (2.7.1.1)

Burada EF Fermi enerjisi, T mutlak sıcaklık ve k Boltzmann sabitidir. (2.7.1.1) ifadesiyle verilen fonksiyon, Fermi Dirac dağılım fonksiyonu veya Dirac fonksiyonu olarak tanımlanır. Fermi fonksiyonu (2.7.1.1) belirli bir sıcaklıkta, belirli bir enerji durumunda (E) parçacığın bulunma olasılığını ifade etmektedir.

Yarıiletkendeki elektronlar ve delikler yarı-tam değerli spine sahip parçacıklardır (yani fermiyonlardır) ve bu nedenle onlar Fermi Dirac dağılım fonksiyonuna uymaktadırlar. (2.7.1.1) Fermi fonksiyonunu mutlak sıfırda (T=0) gözönüne alalım. Elektronların enerjisi Fermi enerjisinden küçük (E<EF) veya Fermi enerjisinden büyük (E>EF) olduğunda, (2.7.1.1) Fermi fonksiyonu şu değerleri alır (Caferov, 1998).

F(E)=1 E<EF için

(2.7.1.2) F(E)=0 E>EF için

Mutlak sıfır Fermi enerjisinden daha küçük enerjili durumlar elektronlar tarafından işgal edilmektedirler (F(E)=1) ve Fermi enerjisinden daha büyük enerjili durumlar boştur (Şekil 2.7.a). Dolayısıyla, mutlak sıfırda elektronlar en küçük enerjili durumlarda bulunmaktadırlar. Böylece, Fermi enerjisi, kristaldeki elektronların en olası enerjisidir.

Şekil 2.7. Farklı sıcaklıklarda (a) Fermi-Dirac ve (b) Boltzmann dağılım fonksiyonları (T=0<T2<T3) (Caferov, 1998).

Sıcaklık arttıkça, elektronlar daha yüksek enerjili durumlara geçebilir ve bu nedenle Fermi fonksiyonunun karakteri değişebilir (Şekil 2.7.a). Fermi enerjisinin etrafında, (EF-2kT, EF+2kT) bölgede, Fermi fonksiyonu „yayılmaktadır‟ ve en büyük değerli enerji bölgesinde „kuyruk‟ oluşturmaktadır (Caferov, 1998).

2.8. Fermi Dirac İstatistiği

Fermi Dirac integrali Fermi Dirac dağılımı içeren birçok fizik problemlerinde önemli rol oynar. Özellikle de yarıiletken cihazların yük yoğunluklarının hesaplanmasında uygun olarak ihtiyaç duyulmaktadır. (Blakemore, 1982). F1/2(x) üzerinde kurularak literatürde mevcut olan tam ve yaklaşık ifadelerin kapsamlı hesaplarını verir. (Wang et al). F1/2(x) için çeşitli yaklaşımların geniş bir karşılaştırmasını sunar.

a. Elektronların biri diğerinden ayırt edilemez.

b. Bandın herbir seviyesi karşıt spin ile iki elektrondan fazla olmayacak şekilde işgal edilebilir. Bu Pauli dışarlama ilkesinden dolayı böyledir.

c. Herbir katkı seviyesi bir elektron tarafından işgal edilebilir.

Şekil 2.8‟de gösterildiği gibi n elektron içeren bandlar g1, g2, …, gN durumları ile birlikte ε1, ε2, …, εN, N seviyelerinden oluşabilir.

nj<gj durumlarının herbirinin bir elektron tarafından işgal edildiği varsayılmaktadır. Bu yüzden (gj-nj) boştur.

Bunun için Boltzman termodinamik olasılığı W‟yi hesaplamalıyız (E. Spenke 1965). Elektronların tüm durumları üzerine en makul dağılımı hem toplam elektron sayısının hem de toplam U enerjisinin sabit kaldığı yardımcı şartlara bağlı olan

0 j

dW

dn  (2.8.1)

formülünden elde edilmektedir. W‟nin maksimum Wmax değeri termodinamik olasılık olarak ifade edilmektedir. Boltzman‟a göre, entropi S=kBlnWmax ile verilmektedir. Burada kB Boltzman sabitidir. Serbest enerji F=U-TS ile verilmektedir. Burada sıcaklık

max ln 1 n const B W k T U _      _    (2.8.2)

ile ifade edilmektedir.

Şekil 2.8. g1, g2,… durumları ile enerji bantlarındaki ε1,ε2,… enerji seviyeleri (Seeger, 2004).

Şekil 2.9. Farklı sıcaklık değerleri için Fermi Dirac dağılımı (Seeger, 2004)

Fermi enerjisi ζ(elektro-kimyasal potansiyel veya Gibbs potansiyeli)

co s T n t F n        _    (2.8.3)

ile ifade edilmektedir (Spenke 1965).

1 exp 1 j j j B n g k T         _{  } _     (2.8.4)

Fermi Dirac dağılım fonksiyonu f(εj) diye adlandırılan formülünden bulunmaktadır. Şekil 2.8.„de fonksiyon gösterilmektedir. Ölçülebilir T sıcaklığı için ε=ζ durumu kBT‟nin geniş aralığına sahiptir ve fonksiyonun yüksek enerji kuyruğu iyi bir üstel yaklaşık olarak j exp j j B n g k T      _ _   exp j B k T         (2.8.5)

boşluk içerisine yerleşirse ve her iki band ucundan 4 kBT „den fazla ayrılırsa yarıiletkenler dejenere olmayan yarıiletkenler olarak adlandırılır ve (2.8.5) dağılım fonksiyonu gazların taşıyıcılarına uygulanabilir (Seeger, 2004).

εj enerji durumları bir enerji bandı oluşturmak için kabul edilebilir. Bütün durumlar üzerinde toplam bir integral tarafından yerine konulmak zorundadır. Basit bir şekilde parabolik band 2 2 2 c n k m    (2.8.6)

ve elektronun etkin kütlesi mn skaler bir niceliktir. k uzayındaki sabit enerji yüzeyleri eş merkezli kürelerdir. Kristalin momentumu ћk ile verildiği için uzay durumundaki hacim elementi dxdydz d(ћkx)d(ћky)d(ћkz) dir. Kuantum istatistiğine göre uzay durumunun hücrelerden oluştuğu veya hücre başına karşıt spinlerin iki elektron kadarıyla hacminin h3=(2πћ)3 olduğu düşünülmektedir.

Bir enerji aralığındaki dε durumlarının sayısı

 









3/ 2 3 3 1/ 2 3 2 2 2 2 2 4 2 n c m V d k V g  d   d       _{ }    (2.8.7)

ile verilmektedir. Band içerisindeki taşıyıcının toplam konsantrasyonu

   

1 c n f g d V _     



(2.8.8)

ile verilmektedir. Burada f(ε) Fermi Dirac dağılımıdır. Bu dağılım yüksek enerjilerde exponansiyel olarak artar ve integrasyonun üst sınırı sonsuzluk olarak alınabilir. (2.8.7) de verilen g(ε) ile integral için





1/ 2

_

_

3/ 2 1/ 2 2 2 2 1 2 / 4 exp 1 c c n C n B B d m n N F k T k T     _     _    _{ }       _    



(2.8.9)

burada Fermi enerjisini band ucuna bağlı hale getirdik (K. Seeger, 2004). Etkin durum yoğunluğu ζn=ζ-εc 3/ 2 3/ 2 2 2 2 2 2 1 1 2 ! 4 2 2 n B n B c m k T m k T N          _{   } _{ }       (2.8.10) ve Fermi integrali

 

_

_

0 1 ! exp 1 j j x dx F j x      



(2.8.11)

Bu integral (J. S. Blakemore, Semiconductor Statistics (Pergamon, Oxford 1962) Appendx B; J. McDougall, E. C. Stoner, Philos. Trans. A 237, 67 (1938); P. Rhodes, Proc. Roy. Soc. London a 204, 396 (1950) referansında tablolandırılmıştır.

η>1.25 için <1.5% bir hata ile yaklaşık olarak

 



3/ 2 1/ 2



3/ 2 1/ 2

1 2 4 3 6

F       (2.8.12)

n<-4 için dejenere olmayan durumda (Maxwell-Boltzman istatistiği),

 

exp

 

j

F    (2.8.13)

ηn=ζn/kBT Fermi enerjisini azaltır. Sonuç valans bandındaki holler için elde edilmektedir. 300 K için ve mn=mp=m0, Nc=Nv=2.54x1019

cm-3 . Sabit C dejenere olmayan için n ve p‟den elde edilmektedir (Seeger 2004).

3 _{3/ 2} 31 3 2 6 3 0 0 2.33 10 4 2 p n n B n c v m m m k m x C N N T m m cm K    _{ }   _ _ _{ }     (2.8.14)

İntrinsic (gerçek) yarıiletkenlerde n p‟ye eşittir ve









exp ; exp c c B v v B nN _   k T_ pN _   k T_ (2.8.15) Fermi enerjisi









1 3 ln 2 c v 4k TB mp mn      (2.8.16)

Fermi seviyesi elektronlar ve hollerin eşit etkin kütlesi için sıcaklıktan bağımsızdır ve boşluğun ortasına yerleşmiştir. mn<<mp için Fermi seviyesi artan sıcaklıkla iletim bandının ucuna yaklaşır. Eğer  ve L iki band εc ve εc+∆L‟de band ucu ile birlikte dikkate alınırsa taşıyıcı konsantrasyonu









1 2 1 2 L c n B cL n B nnn N F  k T N F    k T (2.8.17) burada 3/ 2 2 2 2 B c m k T N         ve 3/ 2 2 2 2 L B cL m k T N     _ _ (2.8.18)

etkin durum yoğunluğudur. Toplam elektron yoğunluğu

 

1 2

x c n

D A

nN N  N F  (2.8.19)

ile verilmektedir (Seeger, 2004).

2.8.1. Fermi Fonksiyonunun Özellikleri

Fermi-Dirac dağılım fonksiyonunun mutlak sıfırdan daha yüksek sıcaklıklardaki (T>0) özelliklerini göz önüne alalım.

1. Elektron enerjisi Fermi enerjisine eşit olduğu halde (E=EF), (2.7.1.1) dağılım fonksiyonu şu şekli alır:

F(E)=1/2, E=EF için (2.8.1.1)

Mutlak sıfırdan daha büyük sıcaklıklarda Fermi durumunun elektronlarla işgal edilmesi olasılığı 0.5‟tir. Fermi fonksiyonu (2.7.1.1), Fermi enerjisi bölgesinde (E-(2-3)kT‟den EF+(2-3)kT‟ye kadar) birden sıfıra kadar değişmektedir. Dolayısıyla, bu bölgede enerji durumlarının elektronlarla işgal olasılığı birden ve sıfırdan farklıdır.

2. Elektron enerjisinin Fermi enerjisinden daha büyük olduğu durumda (E-EF>>kT), (2.7.1.1) dağılım fonksiyonunun paydasındaki bir ihtimal edilebilir ve (2.7.1.1) denklemi şu şekilde yazılabilir:

( ) exp E EF exp EF exp E exp E

F E A kT kT kT kT           _ _ _{  } _ _ _         (2.8.1.2) Burada A=exp EF kT    

 ‟dir ve belirli bir sıcaklık için sabit olarak kabul edilir. (2.8.1.2)

Fermi fonksiyonu klasik mekaniğin Boltzman dağılım fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. (2.8.1.2) Boltzman fonksiyonuna uyan elektron sistemine (veya yarıiletkene) yozlaşmamış elektron sistemi (veya yozlaşmamış yarıiletken) denir. Yozlaşmamış elektron sisteminin oluşması, E-EF≥(2-3)kT durumunda gerçekleşmektedir.

3. Elektron enerjisi Fermi enerjisinden daha küçük ise (E-EF<<kT), (2.7.1.1) dağılım

Fonksiyonu birdir F(E)=1, yani enerji durumları elektronlarla tam işgal edilmektedir (şekil 2.7..a).

4. Kristalde her hangi bir enerji durumunun elektronla işgali ya da boş olmasının (yani boşlukla işgali) toplam olasılığı birdir.

 

 

1

n p

F E F E  (2.8.1.3)

Burada F E_n

 

ve F_p

 

E elektronların ve deliklerin Fermi dağılım fonksiyonudur. Bu denklemden deliklerin dağılım fonksiyonu şu şekilde yazılabilir (Caferov, 1998).

1 1 ( ) 1 ( ) 1 exp 1 exp 1 P n F F F E F E E E E E kT kT         _  _         (2.8.1.4)

Eğer elektronların enerjisi eksenin pozitif yönünde artmakta ve deliklerin enerjisi eksenin negatif yönünde artmaktaysa, bu halde deliklerin dağılım fonksiyonu, elektronların dağılım fonksiyonuna benzer. Yozlaşmamış delikler sisteminde, EF -E>>kT şartı için Fermi dağılım fonksiyonu

( ) exp F P E E F E kT     _ _   (2.8.1.5) olarak yazılabilir.

Böylece, mutlak sıfırdan daha büyük sıcaklıklarda (T>0) Fermi dağılım fonksiyonu üç enerji bölgesine ayrılabilir. Dağılım fonksiyonunun birinci bölgesi E=0‟dan E=EF-(2-3)kT‟ye kadar yayılmaktadır (Şekil 2.7.a) ve bu enerjili durumların elektron işgali olasılığı yaklaşık birdir (F(E)=1). İkinci, geçiş bölgesinde (E=EF-(2-3)kT ve E=EF+(2-3)kT) aralığında dağılım fonksiyonu birden sıfıra kadar eksponansiyel (üstel) olarak değişmektedir. Üçüncü bölgede (E=EF+(2-3)kT ve E=∞ aralığında) enerji durumlarının elektronla işgal olasılığı sıfırdır (Caferov, 1998).

2.9. Özden Yarıiletkenlerde Fermi Seviyesinin Yeri ve Yük Taşıyıcılarının Konsantrasyonu

Özden yarıiletkenlerde elektronların iletim bandındaki konsantrasyonu

exp g F c E E n N kT     _ _   (2.9.1) veya exp c F c E E n N kT     _ _   (2.9.1a)

ile verilir. Burada Nc iletim bandındaki etkin durum yoğunluğur.

3/ 2 2 2 2 n c m kT N h          (2.9.2)

Böylece, iletim bandının dibindeki elektronların konsantrasyonu Fermi enerjisinin yasak banddaki seviyesi, sıcaklık ve elektronların etkin kütlesi ile bağlıdır. Deliklerin valans bandındaki konsantrasyonu exp F v E p N kT    _ _   (2.9.3) veya exp F v v E E p N kT     _ _   (2.9.3a)

ifadesiyle verilir. Burada Nv valans bandındaki etkin durum yoğunluğudur (Caferov, 1998). 3/ 2 2 2 2 p v m kT N h      _ _   (2.9.4)

Silisyum için iletim ve valans bandlarındaki durum yoğunlukları sırasıyla Nc=6.36x1014T3/2 (cm-3) ve Nv=1.65x1015T3/2 (cm-3) ile verilir. Özden yarıiletkende elektronların ve deliklerin konsantrasyonlarının çarpımı

2 exp c v exp g i c v c v E E E n np N N N N kT kT        _ _ _ _     (2.9.5)

ifadesiyle verilir. Burada ni özden yük taşıyıcıların konsantrasyonudur. Özden yarıiletkenlerde (belirli sıcaklıklarda) elektronların ve deliklerin konsantrasyonlarının çarpımı sabittir ve özden yük taşıyıcılarının konsantrasyonunun karesi eşittir. (2.9.5) eşitliği kütle hareketi kanunu olarak tanımlanır. (2.9.5) eşitliğinden özden yük taşıyıcılarının konsantrasyonunu exp 2 g i c v E n N N kT    _ _   (2.9.6)

yazabiliriz ve (2.9.2), (2.9.4) denklemlerini (N N_C, _V) yerine koyarsak

3/ 2 3/ 4 2 2 ( ) exp 2 2 g i n p E kT n m m h kT         _{  } _     (2.9.7)

olarak ifade edilebilir. Böylece, yozlaşmamış özden yarıiletkenlerde yük taşıyıcılarının konsantrasyonu, sıcaklık, yasak band genişliği, elektronların ve deliklerin etkin kütlesi ile bağlıdır. Özden yarıiletkenlerde yük taşıyıcılarının konsantrasyonunun sıcaklıkla değişimi ölçümlerinden, (2.9.7) denklemini kullanarak, yarıiletkenin yasak band genişliği E_g bulunabilir (Caferov, 1998).

Özden yarıiletkende yük taşıyıcılarının meydana gelmesi, kristalde kimyasal bağların kopması ve eşit sayılı elektron ve deliklerin jenerasyonuna bağlıdır. Bu nedenle özden yarıiletkende Fermi enerjisinin (veya Fermi seviyesinin) enerji band diyagramındaki yeri, elektronların iletim bandında ve deliklerin valans bandında konsantrasyonları eşitliğinden (elektriksel nötrlük şartından) bulunur.

n=p (2.9.8) (2.9.8) eşitliğinde n ve p yerine (2.9.1a) ve (2.9.3) ifadelerini koyarsak

exp c F exp F v c v E E E E N N kT kT   _ _ _          (2.9.9)

buluruz. Basit dönüşümler uygulanarak

exp . xp v c F F v c N E E E E e N kT kT        _ _{ } _     (2.9.10)

ve (2.9.10) denkleminde logaritma alarak

1 ln 2 2 g v F c E N E kT N   (2.9.11) elde ederiz.

Elektronların ve deliklerin etkin durum yoğunluklarının ifadelerini (2.9.2) ve (2.9.4) kullanarak, (2.9.11) denkleminin başka bir formunu

3 ln 2 4 g p F n E m E kT m     (2.9.12) buluruz (Caferov, 1998).

(2.9.12) denklemi özden yarıiletkenlerde Fermi düzeyinin (veya Fermi seviyesinin) sıcaklıkla, elektronların ve deliklerin etkin kütleleri ile (mp/mn oranıyla) ilişkisini göstermektedir (şekil 2.9.1). Mutlak sıfırda (T→0) Fermi seviyesi yasak bandın tam ortasında (EF=Eg/2) yerleşmektedir. Sıcaklık arttıkça Fermi seviyesi iletim bandına (mn<mp için) veya valans bandına yaklaşır (mn>mp için). Eşit değerli elektron ve

deliklerin etkin kütlesi için



m_nm_p



, Fermi seviyesi, sıcaklık arttıkça yasak bandın

Eğer Fermi seviyesi, iletim bandının dibinden veya valans bandının tavanından (2-3)kT‟den daha uzak mesafede bulunursa, yarıiletken bu durumda yozlaşmamış yarıiletken olarak tanımlanır. Fermi seviyesi her hangi bandın birinden (2-3)kT‟den daha yakın mesafede yerleşirse yarıiletken yozlaşmış yarıiletken olarak tanımlanır (Caferov, 1998).

Şekil 2.10‟da yarıiletkenin yasak band genişliğinin E_g E_CE_V sıcaklıkla değişmediği gösterilmektedir



E_g sabit



. Gerçekte, sıcaklık arttıkça yarıiletkenin örgü parametresi

de büyümektedir ve bu nedenle de yasak band genişliği sıcaklıkla değişmektedir

 

g

E T . Yarıiletkenlerin çoğunluğunda, sıcaklık arttıkça yasak band genişliği lineer küçülmektedir (şekil 2.12.2)

 

0

g g

E T E T (2.9.13)

Burada E_g0 mutlak sıfırdaki (T=0) yasak bandın genişliği,  (eV/derece) yasak bandın sıcaklıkla değişimi katsayıdır.

Şekil 2.11. Yarıiletkenin yasak band genişliğinin (Eg) sıcaklıkla değişimi (Caferov, 1998).

Yasak band genişliğinin sıcaklıkla değişimini (2.9.13) hesaba katarsak özden yük taşıyıcılarının konsantrasyonunun ifadelerinin (2.9.6) ve (2.9.7)

0 exp 2 g i c v E T n N N kT      _ _   (2.9.14) veya 3/ 2 0 3/ 4 2 2 ( ) exp 2 2 g i n p E T kT n m m kT           _{  } _     (2.9.14a) şekline dönüşür.

Eğer yarıiletkenin yasak band genişliği büyükse (Eg>>kT), bu halde yük taşıyıcılarının konsantrasyonunun sıcaklıkla değişimi (2.9.14a) ifadesinden görüldüğü gibi esasen eksponansiyel terimle belirlenmektedir (Caferov, 1998)

3. MATERYAL ve METOT

Kuantum fiziğinin bilim dünyasına getirdiği pek çok yenilik, mevcut teorilerinin gelişmesine hatta belli oranda kökten değişmesine sebep olmuştur. Bu alanlardan birisi de istatistik fiziktir. Bilindiği üzere elektronların pek çok davranışı kuantum istatistiksel yaklaşımlarla açıklanabilmektedir. Bir kuantum istatiksel yaklaşım olan Fermi-Dirac (FD) fonksiyonunun çözümünden elde edilen sonuçlar malzemelerdeki elektron yoğunluğu, toplam enerji veya manyetik moment gibi pek çok özelliğin teorik olarak elde edilmesine imkan sağlamaktadır. Aynı zamanda bu fonksiyon plazma teorisinde de görülmektedir. Literatürde bu fonksiyonun çözümü için farklı metotlar kullanılmıştır (Abidi ve Mohammad, 1984; Lukyanov, 1995; Sommerfeld,1928; Glasser, 1964; Selvakumar, 1982; Kiess, 1987; Gong, 1991; Sagar, 1991; Goano, 1993). Ancak FD fonksiyonlarının çözümü için basit analitik ifadeler elde edilememiştir. Bu tez çalışmamızdaki amacımız Fermi Dirac fonksiyonları için genel bir ifade elde etmek ve elde ettiğimiz ifade ile yarıiletkenlerin elektron yoğunluğunu hesaplamakta kullanmaktır. Elektron yoğunluğunu













1/2 3/2 1/2 2 2 2 1 2 / 4 exp / 1 c c n C n B B d m n N F k T k T             _{ }       



_{ } (3.1)

ile ifade edilir. Burada N iletim bandındaki etkin durum yoğunluğu, _C  elektro kimyasal potansiyel, k Boltzmann sabiti, _B T sıcaklık, F Fermi Dirac integralidir. _1/2

Fermi Dirac integrali

 

_

_

0 1/ exp 1 j j x dx F j x      



(3.2)

3.1. Fermi Dirac İntegralinin Çözümü

 

01 t t F dt e        



(3.1.1)

Fermi Dirac fonksiyonu olarak tanımlanmaktadır. Burada  değişkeni    aralığında ve  parametresi keyfi olarak rasyonel ve rasyonel olmayan değerler alır. Genellikle yarıiletken fiziğinde fonksiyonun

 

_

_

_ 0 1 1 1 t t F dt e         



 (3.1.2)

şeklindedir. FD fonksiyonu için aşağıdaki binom açılım teoremini keyfi bir reel n ve

x y için yazarsak (Gradshteyn ve Ryzhik, 1980; Guseinov ve Mamedov, 2006;

Mamedov, 2005)





 

 

0 1 n m n m m m m x y f n x y     



 (3.1.3) Burada f₀

 

n 1 ve             1 .... 1 , ! 1 , ! m m n n n m

tam sayılar için m

f n

m n

rasyonel sayılar için

m n           _{  }      (3.1.4)

(3.1.3) eşitliğinde meydana gelen f_m

 

n katsayısı m 0 için sıfırdır ve pozitif tamsayı terimleri ile negatif faktöriyeller toplama katkıda bulunmaz. ‟nin pozitif tamsayı değerleri hızlı hesaplamalar için bilgisayarın hafızasında depolanmıştır. Binom katsayıları için aşağıdaki tekrarlama bağıntısını kullanırız (Guseinov ve Mamedov, 2006).

 



1



1



1



m m m

f n  f n  f  n (3.1.5)

Bu katsayıları yerine koyup bilgisayar hafızasından geri çağırırsak f_m

 

n katsayısının bazı durumları aşağıdaki eşitlik ile tanımlanmaktadır(Guseinov ve Mamedov, 2006).



,





1 / 2



1

f n m n n  m (3.1.6)

(3.1.3) eşitliğini dikkate alırsak (3.1.1) eşitliğinde meydana gelen



1 t



1

e 



fonksiyonu için aşağıdaki gibi seri açılımı yazarız (Guseinov ve Mamedov, 2006).





 

     1 0 , 1 lim 1 1 , i t N i t N t i i e t f e e t           _   _   _{ } 



_  (3.1.7)

Tamamlanmamış Gama fonksiyonları ve binom katsayıları terimlerinde determinanttan hareket ederek FD fonksiyonu ifadesi oluşturabiliriz.(3.1.1) eşitliğinde (3.1.7) eşitliğini dikkate alırsak FD fonksiyonları için aşağıdaki formülü alırız (Guseinov ve Mamedov, 2006).          



 



  1 1 ' 1 1 ' 0 lim 1 , 1 1, 1 lim 1 , 0 1 N i i N i N j j N j F n f K j f e j      _{ }       _                 





(3.1.8) ve

 

 

 









1 1 0 1 lim 1 , 0 1 L i i L i F f e i                    



(3.1.9)

(3.7) eşitliğindeki Ki



 ,



ifadesi aşağıdaki eşitlik ile tanımlanmaktadır (Mamedov

2008).





  0 , t i i K t e dt      _ 



(3.1.10)

Binom açılımı teoremlerini kullanarak K_i



 ,



integrallerini hesaplayabiliriz.



,



i

K   integralleri için tamamlanmamış gama fonksiyonları ve binom katsayıları terimlerinde aşağıdaki eşitlikleri elde ederiz (Guseinov ve Mamedov, 2006).

              1 0 1 0 1, 1 , 0 , 1, lim 1 , j j j j j i _M j j j j M j j i f tamsayı i K j i f rasyonel i                      _         _  _  





(3.1.11)

Alternatif formülleri kullanarak K_i



 ,



integrallerini aşağıdaki gibi yazarız. Rasyonel

 için





_

_{ }

1

_

0 , 1 1 k i k i k K e i k k                



(3.1.12)

Pozitif tamsayısı için





_{   }

1 1 ! , 1 ! k k i k k K i k i                



(3.1.13)

(3.1.8), (3.1.9) ve (3.1.11) deki N N L ve M, ', toplamın üst limitidir.(3.1.8), (3.1.9) ve

(3.1.11) deki 

  

 , ,x ve



 



,x



ifadeleri aşağıdaki ifadeler tarafından tanımlanan fonksiyonlar olarak bilinmektedir (Gradshteyn ve Ryzhik, 1980).

 

1 0 t t e dt      

_

(3.1.14)





1 0 , x t x t e dt   _  



(3.1.15)





1 , t x x t e dt      



(3.1.16)

 

  



,x





,x



    (3.1.17)

Bu fonksiyonlar farklı algoritmalar ile gösterilmektedir (Gradshteyn ve Ryzhik, 1980; Guseinov ve Mamedov, 2006; Mamedov, 2005).

4. BULGULAR

Bu bölümde, Bölüm 2‟ den yararlanarak elde ettiğimiz Bölüm 3‟ deki integrasyonları Mathematica 5.0 programında kullanarak saf ve bileşik yarıiletkenler için elektron konsantrasyonları hesaplanmış olup çizelge 1 ve çizelge 2‟ de literatürden bulunan sonuçlar bir arada gösterilmiştir. Ayrıca çizelge 3‟ de literatürden bulunan diğer bazı yarıiletkenler için (İndiyum Arsenik, silikon ve İndiyum Fosfor) elektron konsantrasyon ve enerji değerleri bilgi sahibi olmak amacıyla tablo halinde sunulmuştur.

Çizelge 1. Galyum Arsenik (GaAs) için yapılan hesaplama tablosu

GaAs T (K) C N (ev) n (cm-3) Gökçen, M. 2008 D. Tezi Gazi Üniv. ve Anonim, 2011 300 4.7x1017 1.8x1013 Bu çalışma 300 4.7x1017 1.83x1013

Çizelge 2. GaAs, Si, Ge için yapılan hesaplama tablosu GaAs n (cm-3) Anonim, 2011 1.8x1013 Bu çalışma 1.83x1013 Si n (cm-3) Anonim, 2011 1.4x1010 Bu çalışma 1.4x1010 Ge n (cm-3) Anonim, 2011 1.x106 Bu çalışma 1.x106

Çizelge 3. 300 K de bazı yarıiletkenlerin Enerji ve hole konsantrasyon değerleri (Semiconductor Devices Moddelling and Techhonology Nandita Dasgupta)

Yarıiletken Ev (j) P=n (cm-3)

İndiyum Arsenik 0.56x10-19 1.3 x1015

Silikon 1.792x10-19 1.5 x1010

5. SONUÇ ve TARTIŞMA

Bu çalışmada yapmaya çalıştığımız tez konumuzun gereği Fermi-Dirac yaklaşımını anlamak ve FD integrallerinden yola çıkarak daha basit bir integrasyon elde ederek elektron konsantrasyonu için daha basit ve kullanışlı bir formül elde edebilmekti. Böyle bir integrasyonun 3. Bölümde ayrıntıları verilmiş olup Denklem 2.8.9 ile elektron konsantrasyonu hesaplanmıştır. Elde edilen sonuçlar çizelge 1ve çizelge 2 de verilmiştir. Bu sonuçların doğruluğunun kontrol edilmesi 4. Bölümde ayrıntılı olarak sunulmuştur. Literatürde bu tür hesaplamalardan elde edilen sonuçların az olmasından dolayı yapacağımız karşılaştırmalar kısıtlamaktadır.